Primitives

Primitive d'une fonction I-

Définition

Soit f une fonction. Trouver une primitive de f, c'est trouver une fonction F dont la dérivée est f. Autrement dit, F'(x) = f(x) ∀ x ∈ Df. Exemple : Une primitive de f(x) = 2x sur ℝ est F(x) = x² Remarque : Trouver une primitive, c'est le sens contraire de trouver une dérivée. Tableau des primitives : En se référent au tableau des dérivées, on obtient les résultats suivants :: Domaine Fonction de Primitive définition a

ℝ

xn, avec n ∈ ℕ

ℝ

1 𝑥𝑛

ℝ*

, avec n > -1 1

ℝ+

𝑥

ax + k, k∈ ℝ 𝑥 𝑛 +1 𝑛+1

−

+ k, k∈ ℝ

1 𝑛−1 𝑥 𝑛 −1

+ k, k∈ ℝ

2 𝑥+ k, k∈ ℝ

Soient u et v deux fonctions admettant pour primitives respectives U et V sur un intervalle I. Soit g une fonction ayant pour primitive G sur un intervalle J contenant u(I).

Somme Produit

Fonction

Domaine de définition

Primitive

F=u+v F = ku

I

F=U+V

I

F = kU

avec k ∈ ℝ f = u'.un,

n∈ ℕ 𝑢′ Puissances 𝑓= 𝑛 𝑢 n ∈ ℕ* Composée f = u' × g u J.HERTZOG

I I∩{x tels que

F= un(x

≠0}

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𝐹=

1 𝑛+1

un+1

−1 (𝑛 − 1)𝑢𝑛−1

F=G u 2007/2008

II-

Théorème

Comme la dérivée d'une constante k vaut 0, il existe une infinité de primitives pour une même fonction. Preuve : Soit f une fonction et F est une primitive de f. Soit G(x) = F(x) + k, alors G'(x) = F'(x) + 0 = F'(x) = f(x) ∀ x ∈ Df. Ce qui veut dire que G est aussi une primitive de f. D'où le Théorème : Une fonction admet une infinité de primitives qui diffèrent toutes d'une constante. Autrement dit : Soit f une fonction et F une primitive de f, alors ∀ k ∈ ℝ, F + k est aussi une primitive de f.

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2007/2008

III- Exemples 1) Trouver UNE primitives d'une fonction Enoncé : Soit f(x) = 3x. Trouver une primitive de f sur son domaine de définition. Réponse : Df = ℝ. Soit F(x) =

3 2

x².

F'(x) = 3x = f(x) 3

Donc F(x) = x² est une primitive de f sur ℝ. 2

2) Trouver LES primitives d'une fonction Enoncé : Soit f(x) = 3x. Quelles sont les primitives de f sur son ensemble de définition? Réponse : Df = ℝ. Soit F(x) =

3 2

x².

F'(x) = 3x = f(x) donc F est une primitive de f sur ℝ. Les primitives de f sur ℝ sont de la forme

3 2

x² + k, avec k ∈ ℝ.

3) Trouver LA primitive d'une fonction (qui satisfait une condition) Enoncé : Soit f(x) = 3x. Trouver la primitive de f qui vaut 11 au point d'abscisse 2. Réponse : Df = ℝ. 3

Soit F(x) = x². 2

F'(x) = 3x = f(x) donc F est une primitive de f sur ℝ. 3 Les primitives de f sur ℝ sont de la forme x² + k, avec k ∈ ℝ. 2 On a F(2) = 11 3

Donc 2² + k = 11 2

6 + k = 11 Soit k = 5. 3

La primitive de f qui prend la valeur 10 au point d'abscisse 2 est F(x) = x² + 5 2

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