Pp Toa Do Giai Toan Bien Hinh_2009

Chuyên ñề toán Hình học 11.

Soạn: ðỗ Cao Long

Phương pháp tọa ñộ với một số bài toán về phép dời hình 1. Phép tịnh tiến
Phép tính tiến theo vectơ v = ( a; b ) biến ñiểm M ( xM ; yM ) thành ñiểm M ′ ( xM ′ ; yM ′ ) .



 xM ′ − xM = a Biểu thức tọa ñộ của phép tịnh tiến trên là  . (Suy ra từ MM ′ = v )  yM ′ − y M = b
1  Ví dụ 1: Phép tịnh tiến theo vectơ u = ( −3;5 ) biến ñiểm M  ; 4  thành ñiểm M ′ . Hãy tính 2  tọa ñộ của M ′ ? Giải: • Gọi tọa ñộ của M ′ ( x; y ) . 5  1  

 xM ′ − xM = xu
 x − = −3  x = − ⇔ ⇔ Từ giả thiết ta có MM ′ = u ⇔  2 2.  yM ′ − yM = yu
 y − 4 = 5  y = 9  5  • Vậy tọa ñộ của ñiểm M ′ là M ′  − ;9  .  2 
 1 2 2  Ví dụ 2: Phép tịnh tiến theo vectơ v =  − ;  biến ñiểm M thành ñiểm M ′  −1;  . Hãy 3  3 7  tính tọa ñộ của M ? Giải: • Gọi tọa ñộ của M ( x; y ) . 1 1 2   − 1 − x = − x = − 1 + = −


x − x = x    M ′ M   3 3 3 v Từ giả thiết ta có MM ′ = v ⇔  ⇔ ⇔ .  yM ′ − yM = yv
2 − y = 2 y = 2 − 2 = 8  3  7 3 7 21  2 8  • Vậy tọa ñộ của ñiểm M là M  − ;  .  3 21  Bài tập tự luyện:
Bài 1: Biết phép tịnh tiến theo vectơ u biến ñiểm A ( 2; −6 ) thành ñiểm A′ ( −3; 4 ) . Hãy tính
tọa ñộ của vectơ u ?
3  Bài 2: Phép tịnh tiến theo vectơ a =  ; −1 biến ñường thẳng ( d ) : 2 x − y + 5 = 0 thành 2  ñường thẳng ( d ′ ) . Hãy viết phương trình của ( d ′ ) ?

Bài 3: Viết phương trình ñường tròn ( C ′ ) là ảnh của ñường tròn ( C ) qua phép tịnh tiến theo 
vectơ MN với M ( 2; −4 ) , N ( −3;1) . Biết phương trình của ( C ) là 2

1  a) x + y − 4 x + 6 x − 3 = 0 b)  x −  + y 2 = 12 2 
Bài 4: Cho vectơ v = ( −2;1) và hai ñiểm A ( −3;3) , B ( 2; −5 ) . 2

2

a) Xác ñịnh ảnh của các ñiểm A, B qua phép tịnh tiến Tv
?

b) Qua phép tịnh tiến Tv
, tam giác ABC biến thành tam giác nhận G ( 2; 0 ) làm trọng tâm. Hãy xác ñịnh tọa ñộ của ñỉnh C ?

1/5

Chuyên ñề toán Hình học 11.

Soạn: ðỗ Cao Long

Bài 5: Cho phép biến hình f biến mỗi ñiểm M ( x; y ) thành ñiểm M ′ ( x′; y′ ) sao cho  x′ = x + 1 .   y′ = y − 2 a) Tính ñộ dài MM ′ . Suy ra f là phép dời hình. b) Xác ñịnh ảnh của các ñiểm A ( −1; −2 ) , B ( 2; −4 ) , C ( −3;1) qua phép dời hình f ? c) Cho ñường tròn ( C ) có tâm I ( 3; 2 ) , bán kính R = 2 . Viết phương trình ñường tròn ( C ′ ) là ảnh của ñường tròn ( C ) qua phép dời hình f .

Bài 6: Xác ñịnh phương trình của parabol ( P′ ) là ảnh của parabol ( P ) : y = x 2 − 3 x + 1 qua
phép tịnh tiến Tu
, biết u = ( −2;5 ) . ðáp số :
Bài 1: u = ( −5;10 )

Bài 2: ( d ′ ) : y = 2 x + 1 2

Bài 4: a) A′ ( −5; 4 ) , B′ ( 0; −4 )

9 2  b)  x +  + ( y − 5 ) = 12 . 2  b) C (13; −1)

Bài 5: a) MM ′ = 5

b) A′ ( −2; −1) , B′ ( −4; 0 ) , C ′ ( 3; −6 )

Bài 3: a) x + y + 6 x − 4 y − 3 = 0 2

2

c) x 2 + y 2 − 8 x + 12 = 0 Bài 6: ( P′ ) : y = x 2 − 7 x + 6

II. Phép ñối xứng trục Ví dụ 1: Tìm tọa ñộ ñiểm M ′ là ảnh của ñiểm M ( −2;3) qua phép ñối xứng trục § ∆ , biết phương trình của ( ∆ ) : y = 3 x + 1 . Giải: • Gọi ( d ) là ñường thẳng qua M ( −2;3) và vuông góc với ( ∆ ) : 3x − y + 1 = 0 . Khi ñó vectơ
chỉ phương u = (1;3) của ( ∆ ) là vectơ pháp tuyến của ( d ) . Ta có phương trình của ( d ) :1( x + 2 ) + 3 ( y − 3) = 0 hay ( d ) : x + 3 y − 7 = 0 .

• Gọi H là giao ñiểm của ( d ) và ( ∆ ) , khi dó tọa ñộ của H là nghiệm của hệ 3 x − y + 1 = 0  x + 3y − 7 = 0 2 11  2 11  Giải hệ ñược x = ; y = . Suy ra tọa ñộ H  ;  . 5 5 5 5  • M ′ là ảnh của M qua phép ñối xứng § ∆ nên H là trung ñiểm của MM ′ .

 xM + xM ′ = 2 xH  x ′ = 2 xH − xM Do ñó ta có  ⇒ M  yM + yM ′ = 2 y H  yM ′ = 2 y H − yM

2 14   xM ′ = 2. 5 − ( −2 ) = 5 ⇒  y ′ = 2. 11 − 3 = 7  M 5 5

M

H M’

(∆)

 14 7  • Vậy tọa ñộ của M ′ là M ′  ;  .  5 5

2/5

Chuyên ñề toán Hình học 11.

Soạn: ðỗ Cao Long

Một số bài toán ñược sinh ra từ bài toán trên. Bài toán 1: Viết phương trình ñường thẳng ( d ′ ) là ảnh của ñường thẳng ( d ) qua phép ñối xứng trục § ∆ , với ( ∆ ) là ñường thẳng cho trước. Các bước giải: • Giải hệ phương trình gồm phương trình của ( d ) và ( ∆ ) .


Nếu hệ có nghiệm duy nhất thì ( d ) và ( ∆ ) cắt nhau tại mọt ñiểm, gọi ñiểm ñó là I. • Lấy ñiểm M tùy ý thuộc ( d ) . - Tìm tọa ñộ ñiểm M ′ ñối xứng với M qua ( ∆ ) . {Làm như Ví dụ 1} • ðường thẳng ( d ′ ) ñối xứng với ( d ) qua ( ∆ ) chính là ñường thẳng ñi qua hai ñiểm I, M′. 
{ Nhận IM ′ làm vectơ chỉ phương}.
Nếu hệ vô nghiệm thì ( d ) và ( ∆ ) song song với nhau. • Lấy ñiểm M tùy ý thuộc ( d ) .

- Tìm tọa ñộ ñiểm M ′ ñối xứng với M qua ( ∆ ) . {Làm như Ví dụ 1} • ðường thẳng ( d ′ ) ñối xứng với ( d ) qua ( ∆ ) chính là ñường thẳng ñi qua M ′ và song

song với ( d ) và ( ∆ ) . { Có vectơ pháp tuyến là vectơ pháp tuyến của ( ∆ ) }

Bài toán 2: Viết phương trình ñường tròn ( C ′ ) là ảnh của ñường tròn ( C ) qua phép ñối xứng trục § ∆ , với ( ∆ ) là ñường thẳng cho trước. Các bước giải: • Xác ñịnh tọa ñộ tâm I và bán kính R của ñường tròn ( C ) .

{ ðường tròn có phương trình ( x − a ) + ( y − b ) = R 2 thì có tâm I ( a; b ) , bán kính R} 2

2

• Tìm tọa ñộ ñiểm I ′ ñối xứng với I qua ( ∆ ) . {Làm như Ví dụ 1} • ðường tròn ( C ′ ) ñối xứng với ( C ) qua ( ∆ ) là ñường tròn tâm I ′ ( a′; b′ ) , bán kính R.

- Phương trình của ( C ′ ) : ( x − a′ ) + ( y − b′ ) = R 2 2

2

Bài tập tự luyện: Bài 1: Viết phương trình ñường tròn ( C ′ ) là ảnh của ñường tròn ( C ) : x 2 + y 2 + 10 y − 5 = 0 qua phép ñối xứng trục § ∆ , với ( ∆ ) có phương trình : a) x − 1 = 0

b) 2 x − y + 1 = 0

Bài 2: Viết phương trình ñường thẳng ( d ′ ) ñối xứng với ñường thẳng ( d ) qua ñường thẳng

( ∆ ) : x − 3 y + 2 = 0 , biết phương trình của ( d ) là: a) ( d ) : x − y − 3 = 0 b) ( d ) : x − 3 y + 5 = 0 . Bài 3: Viết phương trình của parabol ( P′ ) ñối xứng với parabol ( P ) : y = − x 2 − 2 x qua ñường thẳng ( ∆ ) có phương trình : b) ( ∆ ) : y + 2 = 0 a) ( ∆ ) : x − 3 = 0 Bài 4: Chứng minh rằng ñường thẳng ( d ) : y = x + 2 là trục ñối xứng của ñồ thị ( C ) của hàm số y =

x −1 . x +1

3/5

Chuyên ñề toán Hình học 11.

Soạn: ðỗ Cao Long

ðáp số :

Bài 2: a) ( d ′ ) : x + 7 y − 23 = 0

48 26 1 x+ y− =0 5 5 5 b) ( d ′ ) : x − 3 y − 1 = 0

Bài 3: a) ( P′ ) : y = − x 2 + 14 x − 48

b) ( P′ ) : y = x 2 + 2 x − 4

Bài 1: a) x 2 + y 2 − 4 x + 10 y − 1 = 0

b) x 2 + y 2 +

 x −1  Bài 4: Lấy ñiểm tùy ý M  x0 ; y0 = 0  thuộc ( C ) , x0 ≠ −1 . x0 + 1   Xác ñịnh ñiểm M ′ ñối xứng với M qua ( d ) . Sau ñó xác ñịnh tọa ñộ trung ñiểm I của MM ′ . Chứng tỏ I ∈ ( d ) !

III. Phép ñối xứng tâm – Phép quay Cho hai ñiểm M ( xM ; yM ) , I ( a; b ) . Gọi ñiểm M ′ ( xM ′ ; yM ′ ) là ñiểm ñối xứng với M qua ñiểm I. Khi ñó I là trung ñiểm của MM ′ nên ta có  xM + xM ′ = 2 xI  x ′ = 2 xI − xM  xM ′ = 2a − xM ⇔ M . Hay  .   yM + yM ′ = 2 y I  yM ′ = 2 y I − yM  yM ′ = 2b − yM Bài tập tự luyện: Bài 1: Viết phương trình ñường thẳng ( d ′ ) ñối xứng với ñường thẳng ( d ) : x − 2 y + 2 = 0 qua ñiểm I (1;1) . { ðáp số: ( d ′ ) : x − 2 y = 0 }
Gợi ý: • Lấy ñiểm M ( 0;1) ∈ ( d ) . {Có thể chọn ñiểm khác} Xác ñịnh ñiểm M ′ là ñiểm ñối xứng với M qua ñiểm I. • ðường thẳng ( d ′ ) ñối xứng với ( d ) qua I là ñường thẳng ñi qua M ′ và song song với ( d ) Cách khác: • Dùng biểu thức tọa ñộ của phép ñối xứng tâm !!! Giải: - Xét ñiểm M tùy ý thuộc ( d ) có tọa ñộ M ( x; y ) . Khi ñó, ta có x − 2 y + 2 = 0 (*). Gọi M ′ ( x′; y′ ) là ñiểm ñối xứng với M ( x; y ) qua ñiểm I (1;1) .  x + x′ = 2.1 = 2  x = 2 − x′ ⇔ Ta có   y + y ′ = 2.1 = 2  y = 2 − y′ Thay vào (*), ta ñược ( 2 − x′ ) − 2 ( 2 − y′ ) + 2 = 0 ⇔ − x′ + 2 y ′ = 0 . ðẳng thức này chứng tỏ tọa ñộ ñiểm M ′ thỏa mãn phương trình ñường thẳng ( d ′) : − x + 2 y = 0 .

- Vậy quỹ tích của M ′ là ñường thẳng ( d ′ ) : − x + 2 y = 0 chính là ảnh của ( d ) qua phép ñối xứng tâm § I .

Bài 2: Viết phương trình ñường tròn ( C ′ ) ñối xứng với ñường tròn ( C ) qua ñiểm E (1; 2 ) . Biết phương trình của ( C ) : x 2 + y 2 − 4 x − 2 y + 3 = 0 . {ðáp số: x 2 + y 2 − 6 y + 7 = 0 }
Gợi ý: • Xác ñịnh tâm của ( C ) là ñiểm I ( 2;1) và bán kính R. Xác ñịnh ñiểm I ′ là ñiểm ñối xứng với I qua ñiểm E. 4/5

Chuyên ñề toán Hình học 11.

Soạn: ðỗ Cao Long

• ðường tròn ( C ′ ) ñối xứng với ( C ) qua E là ñường tròn tâm I ′ và bán kính R.

Bài 3: Cho parabol ( P ) : y = x 2 − 2 x và ñiểm I ( −1;3) . Hãy viết phương trình của ñường

( P′ )

là ảnh của ( P ) qua phép ñối xứng tâm § I . {ðáp số: ( P′ ) : y = − x 2 − 6 x } Gợi ý: Giải như cách khác, Bài 2.

5/5