Giai De Toan Khoi D

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2009 Môn: TOÁN; Khối: D (Đáp án - thang điểm gồm 04 trang)

ĐÁP ÁN − THANG ĐIỂM Câu I (2,0 điểm)

Đáp án

Điểm

1. (1,0 điểm) Khảo sát… Khi m = 0, y = x 4 − 2 x 2 . • Tập xác định: D = \. • Sự biến thiên:

0,25

- Chiều biến thiên: y ' = 4 x3 − 4 x; y ' = 0 ⇔ x = ±1 hoặc x = 0. Hàm số nghịch biến trên: (−∞ ; − 1) và (0;1); đồng biến trên: (−1;0) và (1; + ∞). - Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại x = ±1, yCT = −1; đạt cực đại tại x = 0, yCĐ = 0. - Giới hạn: lim y = lim y = +∞. x →−∞

0,25

x →+∞

- Bảng biến thiên:

x −∞ −1 0 1 y' − 0 + 0 − 0 + +∞ 0 y −1 −1

• Đồ thị:

+∞ +∞

0,25

y 8

0,25 −2

−1

O 1 −1

2

x

2. (1,0 điểm) Tìm m... Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm ) và đường thẳng y = −1: x 4 − (3m + 2) x 2 + 3m = −1. Đặt t = x 2 , t ≥ 0; phương trình trở thành: t 2 − (3m + 2)t + 3m + 1 = 0

⇔ t = 1 hoặc t = 3m + 1.

0,25

⎧0 < 3m + 1 < 4 Yêu cầu của bài toán tương đương: ⎨ ⎩3m + 1 ≠ 1 1 ⇔ − < m < 1, m ≠ 0. 3

II (2,0 điểm)

0,25

0,25 0,25

1. (1,0 điểm) Giải phương trình… Phương trình đã cho tương đương:

3 cos5 x − (sin 5 x + sin x) − sin x = 0

0,25

3 1 cos5 x − sin 5 x = sin x 2 2 ⎛π ⎞ ⇔ sin ⎜ − 5 x ⎟ = sin x ⎝3 ⎠

⇔

0,25

Trang 1/4

Câu

Đáp án

⇔

π 3

− 5 x = x + k 2π hoặc

Vậy: x =

π 18

+k

π 3

π

− 5 x = π − x + k 2π .

3

hoặc x = −

π 6

+k

π 2

( k ∈ ] ).

Điểm 0,25 0,25

2. (1,0 điểm) Giải hệ phương trình… 3 ⎧ ⎪⎪ x + y + 1 − x = 0 Hệ đã cho tương đương: ⎨ ⎪( x + y ) 2 − 5 + 1 = 0 ⎪⎩ x2 3 ⎧ 3 ⎧ ⎪x + y = x −1 ⎪⎪ x + y = x − 1 ⎪ ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ 2 ⎪⎛ 3 − 1 ⎞ − 5 + 1 = 0 ⎪ 4 −6 +2=0 ⎜ ⎟ 2 ⎪⎩⎝ x ⎠ ⎪⎩ x 2 x x ⎧1 1 ⎧1 ⎪⎪ x = 2 ⎪ =1 ⇔ ⎨x hoặc ⎨ ⎪⎩ x + y = 2 ⎪x + y = 1 ⎪⎩ 2 x = 2 ⎧ ⎧x = 1 ⎪ ⇔ ⎨ hoặc ⎨ 3 y = 1 ⎩ ⎪⎩ y = − 2 . 3⎞ ⎛ Nghiệm của hệ: ( x; y ) = (1;1) và ( x; y ) = ⎜ 2; − ⎟ . 2⎠ ⎝

III

0,25

0,25

0,25

Tính tích phân…

(1,0 điểm)

Đặt t = e x , dx = e3

dt I=∫ = t (t − 1) e

dt ; x = 1, t = e; x = 3, t = e3 . t e3

⎛ 1

1⎞

∫ ⎜⎝ t − 1 − t ⎟⎠ dt

0,25

0,25

e

e3

IV

0,25

e3

= ln| t − 1| e − ln| t | e

0,25

= ln(e 2 + e + 1) − 2.

0,25

Tính thể tích khối chóp...

(1,0 điểm)

M

A' I

C' B'

2a

3a

K A

C

H a B

Hạ IH ⊥ AC ( H ∈ AC ) ⇒ IH ⊥ ( ABC ) ; IH là đường cao của tứ diện IABC . IH CI 2 2 4a = = ⇒ IH = AA ' = . ⇒ IH // AA ' ⇒ AA ' CA ' 3 3 3

AC = A ' C 2 − A ' A2 = a 5, BC = AC 2 − AB 2 = 2a. 1 Diện tích tam giác ABC : SΔABC = AB.BC = a 2 . 2 1 4a 3 Thể tích khối tứ diện IABC : V = IH .S ΔABC = . 3 9

Trang 2/4

0,50

Câu

Đáp án

Hạ AK ⊥ A ' B ( K ∈ A ' B). Vì BC ⊥ ( ABB ' A ') nên AK ⊥ BC ⇒ AK ⊥ ( IBC ). Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( IBC ) là AK .

AK = V (1,0 điểm)

2 SΔAA ' B = A' B

AA '. AB A ' A2 + AB 2

=

2a 5 . 5

Điểm 0,25 0,25

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất… Do x + y = 1, nên: S = 16 x 2 y 2 + 12( x3 + y 3 ) + 9 xy + 25 xy

= 16 x 2 y 2 + 12 ⎡⎣( x + y )3 − 3 xy ( x + y ) ⎤⎦ + 34 xy = 16 x 2 y 2 − 2 xy + 12. Đặt t = xy, ta được: S = 16t 2 − 2t + 12; 0 ≤ xy ≤

( x + y )2 1 ⎡ 1⎤ = ⇒ t ∈ ⎢0; ⎥ . 4 4 ⎣ 4⎦

⎡ 1⎤ Xét hàm f (t ) = 16t 2 − 2t + 12 trên đoạn ⎢0; ⎥ ⎣ 4⎦ 1 191 25 ⎛1⎞ ⎛1⎞ , f⎜ ⎟ = . f '(t ) = 32t − 2; f '(t ) = 0 ⇔ t = ; f (0) = 12, f ⎜ ⎟ = 16 16 2 ⎝ 16 ⎠ ⎝ 4⎠ ⎛ 1 ⎞ 25 ⎛ 1 ⎞ 191 max f (t ) = f ⎜ ⎟ = ; min f (t ) = f ⎜ ⎟ = . ⎡ 1⎤ ⎝ 4 ⎠ 2 ⎡0; 1 ⎤ ⎝ 16 ⎠ 16 0; ⎢⎣ 4 ⎥⎦

0,25

0,25

⎢⎣ 4 ⎥⎦

Giá trị lớn nhất của S bằng

⎧x + y = 1 25 ⎪ ⎛1 1⎞ ; khi ⎨ 1 ⇔ ( x; y ) = ⎜ ; ⎟ . 2 ⎝2 2⎠ ⎪⎩ xy = 4

⎧x + y = 1 191 ⎪ ; khi ⎨ Giá trị nhỏ nhất của S bằng 1 16 ⎪⎩ xy = 16

0,25

0,25

⎛2+ 3 2− 3⎞ ⎛2− 3 2+ 3⎞ ⇔ ( x; y ) = ⎜⎜ ; ; ⎟⎟ hoặc ( x; y ) = ⎜⎜ ⎟. 4 ⎠ 4 ⎟⎠ ⎝ 4 ⎝ 4

VI.a (2,0 điểm)

1. (1,0 điểm) Viết phương trình đường thẳng… ⎧7 x − 2 y − 3 = 0 ⇒ A(1;2). Toạ độ A thoả mãn hệ: ⎨ ⎩6 x − y − 4 = 0 B đối xứng với A qua M , suy ra B = (3; −2).

0,25

Đường thẳng BC đi qua B và vuông góc với đường thẳng 6 x − y − 4 = 0. Phương trình BC : x + 6 y + 9 = 0.

0,25

⎧7 x − 2 y − 3 = 0 3⎞ ⎛ ⇒ N ⎜ 0; − ⎟ . Toạ độ trung điểm N của đoạn thẳng BC thoả mãn hệ: ⎨ 2⎠ ⎝ ⎩x + 6 y + 9 = 0 JJJG JJJJG ⇒ AC = 2.MN = ( −4; −3) ; phương trình đường thẳng AC : 3x − 4 y + 5 = 0.

0,25 0,25

2. (1,0 điểm) Xác định toạ độ điểm D... ⎧x = 2 − t JJJG ⎪ AB = (−1;1;2), phương trình AB : ⎨ y = 1 + t ⎪ z = 2t. ⎩

0,25

JJJG D thuộc đường thẳng AB ⇒ D(2 − t ;1 + t ;2t ) ⇒ CD = (1 − t ; t ;2t ).

0,25

Trang 3/4

Câu

Đáp án

Điểm

G Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng ( P ) : n = (1;1;1). C không thuộc mặt phẳng ( P ).

G JJJG 1 ⎛5 1 ⎞ CD //( P) ⇔ n.CD = 0 ⇔ 1.(1 − t ) + 1.t + 1.2t = 0 ⇔ t = − . Vậy D ⎜ ; ; −1⎟ . 2 2 2 ⎝ ⎠

VII.a (1,0 điểm)

Tìm tập hợp các điểm… Đặt z = x + yi ( x, y ∈ \ ); z − 3 + 4i = ( x − 3) + ( y + 4 ) i. Từ giả thiết, ta có:

( x − 3) 2 + ( y + 4 ) 2

0,25

2

2

= 2 ⇔ ( x − 3 ) + ( y + 4 ) = 4.

Tập hợp điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I ( 3; − 4 ) bán kính R = 2. VI.b (2,0 điểm)

0,50

0,50 0,25

1. (1,0 điểm) Xác định toạ độ điểm M ... 2

Gọi điểm M ( a; b ) . Do M ( a; b ) thuộc (C ) nên ( a − 1) + b 2 = 1; O ∈ (C ) ⇒ IO = IM = 1.

0,25

n = 120D nên OM 2 = IO 2 + IM 2 − 2 IO.IM .cos120D ⇔ a 2 + b 2 = 3. Tam giác IMO có OIM

0,25

3 ⎧ a= ⎧⎪( a − 1)2 + b 2 = 1 ⎛3 3⎞ 2 ⎪⎪ Toạ độ điểm M là nghiệm của hệ ⎨ Vậy M = ⎜⎜ ; ± ⇔⎨ ⎟. 2 ⎟⎠ ⎝2 ⎪⎩a 2 + b 2 = 3 ⎪b = ± 3 . ⎪⎩ 2

0,50

2. (1,0 điểm) Viết phương trình đường thẳng… ⎧x+ 2 y −2 z = = ⎪ Toạ độ giao điểm I của Δ với ( P) thoả mãn hệ: ⎨ 1 1 −1 ⇒ I (−3;1;1). ⎪⎩ x + 2 y − 3z + 4 = 0 G G Vectơ pháp tuyến của ( P ) : n = (1;2; −3); vectơ chỉ phương của Δ : u = (1;1; −1).

VII.b

0,25

0,25

G G G Đường thẳng d cần tìm qua I và có vectơ chỉ phương v = ⎡⎣ n, u ⎤⎦ = (1; −2; −1) .

0,25

⎧ x = −3 + t ⎪ Phương trình d : ⎨ y = 1 − 2t ⎪ z = 1 − t. ⎩

0,25

Tìm các giá trị của tham số m...

(1,0 điểm)

Phương trình hoành độ giao điểm:

x2 + x − 1 = −2 x + m ⇔ 3x 2 + (1 − m) x − 1 = 0 ( x ≠ 0). x

Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 khác 0 với mọi m. Hoành độ trung điểm I của AB : xI =

I ∈ Oy ⇔ xI = 0 ⇔

x1 + x2 m − 1 . = 2 6

m −1 = 0 ⇔ m = 1. 6 -------------Hết-------------

Trang 4/4

0,25 0,25 0,25 0,25