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Pontos em

2 R

e

3 R

Pontos em R2 Admita dois eixos, x e y, ortogonais (perpendiculares entre si) em O. Esses dois eixos dividem o plano em quatro regiões, denominadas quadrantes. Em cada uma dessas regiões, podemos representar infinitos pontos, expressos por meio de pares ordenados (xp , yp), em que xp é a abscissa do ponto e yp é sua ordenada.

Pontos em R2

Marcar no plano cartesiano: A(7, 5) B(–7, 5) C(–3, –5) D(6, –2) E(8, 0) F(–5, 0) G(0, 3) H(0,-2)

Distância entre dois pontos Definição: Dados dois pontos distintos do plano cartesiano, chama-se distância entre eles a medida do segmento de reta que tem os dois pontos por extremidades. Dado o plano cartesiano, vamos estabelecer a distância entre os pontos A e B.

YB

YA

C

XA

XB

Considerando dois pontos A(XA, YA) e B(XB, YB), temos: 2 AB

d

d

2 AC

d

2 BC

 dAB 

x

 x A    yB  y A  2

B

2

II. Distância de ponto a ponto Coordenadas do ponto médio de um segmento

As coordenadas xM e yM do ponto médio do segmentoAB são, respectivamente, as médias aritméticas das coordenadas dos pontos A e B.

As coordenadas do ponto médio M do segmento AB são:

GEOMETRIA ANALÍTICA – DISTÂNCIAS

Pontos em R3 O espaço tridimensional Assim como usamos um sistema de eixos coordenados para realizar representações no plano, também o fazemos para

representar sólidos e objetos. Definição: O conjunto de todas as triplas ordenadas de números reais

é chamado de espaço tridimensional, sendo denotado por R3 . Cada tripla ordenada (x, y, z) é chamada de um ponto no espaço tridimensional.

Máquinas operatrizes, sistemas automatizados e sistemas de robótica utilizam, na sua grande maioria, um sistema de 3 eixos cartesianos, como no exemplo da fresadora ao lado:

Visualização:

Região

Descrição

Plano xy

(x, y, 0)

Plano xz

(x, 0, z)

Plano yz

(0, y, z)

Eixo x

(x, 0, 0)

Eixo y

(0, y, 0)

Eixo z

(0, 0, z)

z

A (2, 0, 0) B (2, 4, 0) C (0, 4, 0) D (0, 4, 3)

y x

E (0, 0, 3) F (2, 0, 3) G (2, 4, 3) H (0, 0, 0)

A (0, 1, 0) B (4, 1, 0) C (4, 6, 0) D (0, 6, 0)

E (4, 1, -2) F (4, 6, -2) G (0, 6, -2) H (0, 1, -2)

z

x y

• Determine as coordenadas dos pontos:

Observando a peça a seguir, determine as coordenadas cartesianas de cada ponto indicado.

A(40, 0, 0), C(0, 25, 0), E(10, 25, 25), G(30, 0, 25), I(30, 10, 25)

B(40, 25, 0), D(0, 25, 25), F(0, 0, 25), H(40, 0, 25), J(40, 25, 10)

Distância entre dois pontos no espaço • Para o cálculo da distância entre dois pontos no espaço, o procedimento é o mesmo já utilizado no plano, apenas com o acréscimo da variável z, referente ao eixo das cotas no estudo.

dAB 

x

 x A    y B  y A    zB  z A  2

B

2

2