Sistemas_livres_com_amortecimento.pdf

Sistemas Lineares com 1 Grau de Liberdade Vibrações Livres com Amortecimento

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

Vibrações Livres com Amortecimento

Fonte: http://paws.kettering.edu/~drussell/Demos/SHO/damp.html



Introdução Devido à crescente preocupação com o efeito das ações dinâmicas nas

estruturas têm sido cada vez mais utilizados dispositivos de controle de vibração na Engenharia. Naturalmente, como consequência, existe muita investigação neste campo e o número de aplicações deste tipo de ferramentas tem sido cada vez maior. Assim sendo, torna-se difícil descrever cada uma delas num curso como este e, por isso, vai ser feita uma pequena referência a cada um dos mais importantes, dando especial atenção aos amortecedores viscosos. Existem três grandes grupos de dispositivos de controle estrutural: • Passivo; • Ativo; • Semi–Ativo.



Introdução

Controle Passivo – Um sistema de controle passivo se resume à instalação de um ou mais dispositivos incorporados à estrutura que absorvem ou consomem uma parte da energia transmitida pelo carregamento dinâmico, reduzindo, assim, a dissipação dessa energia nos membros da estrutura principal (Avila, 2002). Controle Semi–Ativo – Os controladores semi-ativos, são aqueles que não adicionam energia ao sistema estrutural controlado, mas possuem propriedades, as quais, controladas de forma ótima, reduzem a resposta do sistema. Têm a vantagem de possuir a adaptabilidade dos controladores ativos sem demandar grandes quantidades de energia, podendo, em muitas aplicações, operar com baterias de emergência, no caso de falta de energia. Em suma, é uma espécie de dispositivo passivo controlável. São também chamados de “passivos inteligentes” porque dissipam a energia tal como os sistemas passivos. Controle Ativo – O controle ativo consiste na aplicação de forças à estrutura através de atuadores alimentados por fontes de energia externa. A magnitude dessas forças é calculada em tempo real por um computador, utilizando um dos variados algoritmos de controle ativo, sendo função da resposta da estrutura medida através de sensores, também em tempo real. (Avila, 2002).



Introdução Sistemas Passivos – No que diz respeito a sistemas de controle passivo,

dentro dos absorsores de energia, existem os amortecedores de massa sintonizada, usualmente denominados com TMD's (“Tuned Mass Dampers”), e os amortecedores de líquido sintonizado, também conhecidos como TLD's (“Tuned Liquid Dampers”). Os TMD's são constituídos por uma massa ligada à estrutura através de uma mola e um amortecedor. Este é um bom sistema para a Engenharia do Vento e no domínio das pontes de grande vão, embora seja sintonizado apenas para uma dada frequência, ou seja, têm de ser colocadas tantas unidades quanto o número diferente de modos de vibração a controlar. Um bom exemplo da utilização deste tipo de sistema de controle de vibração é uma das recentes Maravilhas da Engenharia – o Taipei 101 em Taiwan.



Introdução Sistemas Passivos – Quanto aos TLD's, têm um

comportamento muito idêntico aos TMD's, já que são dimensionados para um determinado modo de vibração. São especialmente interessantes para funcionarem em estruturas caracterizadas por terem baixas frequências e funcionam, como o próprio nome indica, com a utilização de água. Conforme a configuração do tanque onde é colocado o líquido, este introduz uma compensação de fase

ao

movimento

economicamente

da

estrutura.

favorável

já

que

É

uma são

solução

facilmente

sintonizados, dependendo apenas da quantidade de água que se coloca em cada tanque. Taipei 101 em Taiwan



Introdução



Introdução Sistemas Passivos – Também muito importantes nesta categoria de

sistemas de controle de vibração são os Dissipadores de Energia Passivos em que se enquadram os amortecedores viscosos, viscoelásticos, friccionais e histeréticos. Estes amortecedores servem, sobretudo, para problemas de Engenharia Sísmica pois reduzem as vibrações em Estado Limite Último. São ótimas soluções de reabilitação devido ao fato de poderem ser colocados numa estrutura existente, terem uma elevada fiabilidade e um reduzido custo direto e em manutenção. Têm o problema de só funcionarem quando a estrutura já está afetada pelas vibrações, não impedindo assim o movimento da estrutura inicialmente. No que toca aos quatro tipos de amortecedores, irá ser feita apenas uma referência aos viscosos e viscoelásticos por serem os mais utilizados e por serem os que mais se enquadram no âmbito deste curso.



Introdução Sistemas Semi–Ativos – Este é um tipo de sistema que constitui uma

solução intermédia relativamente aos sistemas ativos e passivos. São também chamados de “passivos inteligentes” porque dissipam a energia tal como os sistemas passivos, mas têm maior adaptabilidade já que têm a capacidade de se ajustarem em face da resposta efetiva da estrutura. Existem, neste grupo, quatro conhecidos tipos: dispositivos de rigidez variável, amortecedores de atrito variável, amortecedores viscosos de orifício variável e amortecedores de viscosidade variável. Sistemas Ativos – Estes sistemas têm a particularidade de funcionarem para várias frequências e por isso têm uma elevada eficiência mas têm, também, um elevado custo e um menor grau de fiabilidade. Existe um grande número de diferentes dispositivos que podem ser utilizados, tais como cabos ativos, diagonais ativas e atuadores piezoeléctricos, mas é nos amortecedores de massa ativa, ou AMD's (“Active Mass Dampers”), que se centra a maior atenção devido ao fato de serem os mais utilizados.



Introdução Devido à grande quantidade de informações, poderia ser feita uma

descrição exaustiva de cada um dos amortecedores, mas desviar-se-ia do âmbito do curso e por isso apenas se irá fazer um pequeno resumo do funcionamento e características dos dispositivos de rigidez variável, ou AVS's (“Active Variable Stiffnes”) e dos Amortecedores de Orifício Variável ou AOS’s. Os AVS's são cilindros hidráulicos, regulados por válvulas que permitem mobilizar ou desmobilizar rigidez axial, localizados nas diagonais da estrutura. Estes dispositivos requerem uma pequena quantidade de energia e a escolha da rigidez mais eficaz é feita por um controlador que recolhe e transmite a informação recebida da base do edifício. Os AOS's, são amortecedores que têm um cilindro com uma válvula que permite controlar o fluxo de líquido com o objetivo de maximizar os ciclos de dissipação de energia – são normalmente utilizados para sismos de elevada amplitude.



Introdução

Variable Stiffness Suspension System

Quarter Car Model Fonte: O. M. Anubi, D. R. Patel, and C. D. Crane III.



Introdução

Amortecedor Magnetoreológico



Introdução Amortecedor de Massa tipo Pêndulo – Um amortecedor de massa

sintonizado (AMS) é um dispositivo composto de uma massa, uma mola e um amortecedor que é ligado à estrutura com o objetivo de reduzir a resposta dinâmica da mesma. A frequência do amortecedor é sintonizada para uma frequência particular da estrutura, pois, uma vez que a estrutura for excitada, o amortecedor irá vibrar fora de fase com o movimento da estrutura.



Introdução Sistemas Híbridos – Este tipo de sistema combina

sistemas passivos com sistemas ativos. Neste grupo os mais conhecidos são os HMD's (“Hybrid Mass Dampers”) que fazem uma combinação de TMD's com sistemas ativos, através da exploração do efeito passivo dos TMD's e a implementação de um sistema ativo paralelo que aumenta o desempenho do aparelho, aumentando o movimento da massa passiva e aumentando a robustez do dispositivo face a problemas de sintonização.



Vibrações Livres com Amortecimento



Vibrações Livres com Amortecimento

Neutralizador viscoelástico para linhas aéreas



Vibrações Livres com Amortecimento

Neutralizador viscoelástico para linhas aéreas



Vibrações Livres com Amortecimento Amortecedores de vibrações de torção

do tipo viscoso – O Amortecedor viscoso reduz a vibração torcional através da uma ação elástica e de amortecimento proveniente da combinação da massa secundária (anel de inércia) com a massa primária (carcaça). Amortecedores

hidráulicos

–

O

Amortecedor hidro-elástico reduz as vibrações torcionais através do princípio de deslocamento hidrodinâmico.



Vibrações Livres com Amortecimento Active Mass Damping

Tuned Mass Damping

João Bosco da Silva

Vibrações Livres com amortecimento 

Amortecimento Viscoso

c

k

k cx

m 

m

c

João Bosco da Silva

Vibrações Livres com amortecimento 

Amortecimento Viscoso

 F  mx

Solução: x  Ce

c

k m 

x  C1e

 mx   kx  cx  x 

kx cx m

st

c k x  x  0 m m

 x  s Ce st ;  x  s 2Ce st

c k k  st 2  2 c  s  s   0  s  s   Ce  0 m m m m  Raízes: s1,2

2

c   2m

S1      2   c 2 m    c 2 m    k m   t    



 C2 e

 c     2 m  

k m

S2      2   c 2 m   c 2 m    k m   t    

Com: c 2m 

k m

João Bosco da Silva

Vibrações Livres com amortecimento 

Amortecimento Viscoso c k x  x  0 m m

 x 

Solução: x  Ce

kx cx

m

Raízes: s1,2

m



Para:

x  C1e

c 2m  k m

 x  sCest ; x  s2Cest

c k  st  2 s s   Ce  0 m m 

c

k

st

 c 2m 

c

c   2m

2m   k m t 2

c k s  0 m m

 s2 

2



 C2 e

 c      2m   c 2m 

c

2m  k m t 2

 Radical da equação das raízes se anula  duas raízes iguais

C3    c 2m t  c 2m t x   C1  C2  e    C3e  

Ou:

x   A  Bt  e

 c 2mt

 Função Real, sem oscilação, tendendo assintoticamente a zero, conforme comanda o fator

exponencial

e

 c 2mt

k m

.

João Bosco da Silva

Vibrações Livres com amortecimento 

Constante de Amortecimento Crítico e Fator de Amortecimento

s1,2

c

k m 

c   2m

2

 c  k    2 m   m

Obs.: o amortecimento crítico representa a menor magnitude de amortecimento para a qual nenhuma oscilação ocorre, em sistemas estruturais submetidos a vibrações livres.

kx cx

Fator de Amortecimento:   c cc

    cc c c c c Consequentemente:     c   2m 2m cc cc 2m

m

x  C1e

cc k     cc  2 mk = 2m 2m m

    

    c 2m      

  2   2       c 2m    k m   t           

para   1 

   xCe 1

 C2 e



 2 1 t

    

 2   2  t

   C e 2





 2 1 t

João Bosco da Silva

Vibrações Livres com amortecimento 

Análise Complementar da Solução

Caso em que   1 ou c 2m  k m c

k m 

para   1

kx cx m

   xCe



 2 1 t

1

Neste exemplo:

   C e 2

 2 1  



 2 1 t

João Bosco da Silva

Vibrações Livres com amortecimento 

Análise Complementar da Solução:   1 ou c 2m  k m  x  x0 Aplicando as condições iniciais: Quando t  0   x  x0

Na equação: x0

   Ce



 2 1 t

1

   C e



 2 1  t

2

, obtém-se: C1  C2  x0

Na sua derivada temporal:



x0  C1      1 

2



 x0  C2     

   e



 2 1  t





 C2      1







   e

  2  1   C2     2  1   x0



1 C 

 2  1  x0    x0  x0



 2  1  x0    x0  x0

1

2

  2

1 e C2    2

  2 1



  2 1



 2 1  t

João Bosco da Silva

Vibrações Livres com amortecimento 

Análise Complementar da Solução

Caso em que   1 ou c 2m  k m    i 1    t    i 1    t   xCe C e 2

c

k m

1

m

xe

  t

  2 2      C  sin  1    t   C  cos  1    t    C1  C2  i C1  C2  

d      x  X e   t sin  1   2  t       



2

  2 2  i 1    t   i 1    t        x  e   t C1e  C2 e    Usando a equação de Euler: e  i  cos    i sin  

kx cx



2











 x  X e t sin d t   

Onde: d 



para   1



1 2 

João Bosco da Silva

Vibrações Livres com amortecimento 

Análise Complementar da Solução:   1 ou c 2m  k m  x  x0 Aplicando as condições iniciais: Quando t  0   x  x0 Na equação: x  e

  t

   C  sin  iC1  C2 



1

2



 2     cos t  C 1 t   C     1  C2  





João Bosco da Silva

Vibrações Livres com amortecimento Análise Complementar da Solução



Caso em que   1 ou c 2m  k m c

k m 

kx cx m

d d             x  e   t C  sin  1   2  t   C  cos  1   2  t            









Equação para:   1

1  Fazendo na equação acima z –1, wd – 01, de modo que para t finito, d  sin d t –  d t e cos(wdt) cos d t   tem-se sin(wdt) wdtrrrr – 11.

Então tem-se: x  e   t C d t  C 

Onde: d 

x  e t  A  Bt 





1 2 

para   1

João Bosco da Silva

Vibrações Livres com amortecimento 

Movimento com Amortecimento abaixo do Crítico para   1 

x  X e t sin d t   

x c

k m 

x sin  

kx cx m



d t

João Bosco da Silva

Vibrações Livres com amortecimento 

Movimento com Amortecimento abaixo do Crítico x  Xe t sin d t 

Onde: d 

x  Xe  t    sin d t    c

k m 



1   2  cos d t   

X  e t    sin d t   

1   2 cos d t    0 

   sin  t   d 

1   2 cos d t    0 

kx cx m

sin d t   



1 2 

tan d t 

tan d t  1  tan d t  2

sin d t    cos d t 

1  2  1 2 

 sin d t   

2 sin d t    1   2  sin d t   + 1  

1 



1

2





2

e sin d t    1   2

João Bosco da Silva

Vibrações Livres com amortecimento 

Movimento com Amortecimento abaixo do Crítico,   1 x

c

k m

xXe

kx cx m

   t

1   2 Xe t

x 

sin d t   



  2

 3

3

2

  2 7 2

2 5 2

4

  2

x   1   2 Xet

d t

João Bosco da Silva

Vibrações Livres com amortecimento 

Efeito do Amortecimento no Movimento Livre

   xCe



 2 1 t

1

   C e 2



 2 1 t

x  X e t sin d t   

x  e t  A  Bt 

x

x  0  quando t  0 x0  1

Condições Iniciais:

1

 0   0, 259

x 

  0,866

 1

x

   e



 2  1 t

   e

para   0



 2  1 t

para   1

2  2  1

 2

x 

1 sin  t  

e t

 1

t

2

sin



1 2 t

x  te t



para   1

para   1

João Bosco da Silva

Vibrações Livres com amortecimento 

Efeito do Amortecimento no Movimento Livre

João Bosco da Silva

Vibrações Livres com amortecimento 

Decremento Logarítmico

x  t   Xe

m

sin d t  d t

c

k

 t

kx cx

A taxa de decaimento de um sistema amortecido é convenientemente expressa pelo quociente entre duas amplitudes sucessivas. Se x j e x j 1 representam as amplitudes da jésima e

 j 1ésima

e x j 1 



ciclos, então: x j 



1   2 Xe



  t j   d





1   2 Xe

  t j



 d       t j xj 1   2 Xe   d Consequentemente,   e  constante     t j  d  2 x j +1 1   Xe d        xj    2 Decremento Logarítmico    ln   ln e    d     d      x j 1  2      1     d  

m

sin  t



Para pequenos amortecimentos, tem-se:   2 



João Bosco da Silva

Vibrações Livres com amortecimento Decremento Logarítmico



x  t   Xe  t sin d t 

O decremento logarítmico pode também ser calculado pelo quociente de amplitudes de ciclos diversos.

Assim se xn é a amplitude do ciclo de ordem n,

m 

e x0 a amplitude do primeiro ciclo, escreve-se:

c

k

kx cx m

 xj  x0 x0 x1 x2       x j 1  xn x1 x2 x3 xn   xn 1

n

O logarítmico natural desta expressão é:      xj   x0  1 x0 Consequentemente:  = ln ln    n ln   n  ;   n xn  xn   x j 1 

1    1   2  x0  1  x0  Logo: n  ln    ln   ; onde,     xn  2   xn 

2  1 2

João Bosco da Silva

Vibrações Livres com amortecimento 

Decremento Logarítmico Calculo do tempo necessário para uma oscilação alcançar uma certa perda de amplitude. x  t   Xe  t sin d t 

c

k m 

kx cx m

O período é dado por:  d 

2 2  d 1 2 

d    n      1   2   x0   2  1  x0   t  n d   ln   ln        xn  2    xn  1   2       d  

Obs.: O decremento logarítmico da amplitude fornece também uma medida do amortecimento viscoso.

Como,  

2  1 2

  



 2 

2

2

João Bosco da Silva

Vibrações Livres com amortecimento 

Amortecimento de Coulomb Direção do Movimento

x

kx

m

k

x  0

mx   kx  Fd

Fd

m

mx   kx  Fd  sinal x 

Direção do Movimento

kx

m Fd

x  0

para x  0

mx   kx  Fd

para x  0

 x   k m  x   Fd m  para x  0 Solução Completa

Solução:

 x

Função Complementar



 xa

1

Solução Particular



 xb

Onde: xa  A sin  t   B cos  t   X sin  t    e xb  C Substituindo xb na equação (1), tem-se:  k m  C   Fd m   C  Fd k xa xb     Assim, a solução geral se escreve: x  A sin  t   B cos  t    Fd k   x  0 

João Bosco da Silva

Vibrações Livres com amortecimento 

Amortecimento de Coulomb Direção do Movimento

kx

m

x

k

x  0 x  A sin  t   B cos  t  

Fd

m

Fd k

 x  0 

Direção do Movimento

kx

m

x  0

Fd

Condições Iniciais:

x  x0  Fd  A  0 e B  x  0  quando t  0 k x  0 

F  F  Logo, a solução geral se escreve: x   x0  d  cos  t   d k  k  Movimento para a esquerda até x tornar-se zero.

 x  0

João Bosco da Silva

Vibrações Livres com amortecimento 

Amortecimento de Coulomb Direção do Movimento

kx

m

x

k

x  0

Fd

m

Direção do Movimento

kx

m

x  0

Fd

F  x   x0  d k 

Fd  cos  t     k 

 x  0

Movimento para a esquerda até x tornar-se zero.



F 

F



2F 

Consequentemente:  t   e x   x0  d   1  d    x0  d  k  k k    4F   Análise semelhante do movimento para a direita conclui-se: x    x0  d  k  

João Bosco da Silva

Vibrações Livres com amortecimento 

Amortecimento de Coulomb x

x

  2 

x0

4 Fd k

k m Fd k Direção do Movimento

kx

m

Fd k

Fd Direção do Movimento

kx

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João Bosco da Silva

Vibrações Livres com amortecimento 

Exemplos

João Bosco da Silva