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UNIVERSIDADE REGIONAL INTEGRADA DO ALTO URUGUAI E DAS MISSÕES DEPARTAMENTO DE ENGENHARIAS E CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO ENGENHARIA CIVIL

OTIMIZAÇÃO ESTRUTURAL DE TRELIÇAS METÁLICAS ATRAVÉS DA FERRAMENTA SOLVER

Projeto Final de Curso II

Alessander Martins Reck

Orientadora: Profa. Dra. Daiane De Sena Brisotto

Erechim, Julho de 2017

UNIVERSIDADE REGIONAL INTEGRADA DO ALTO URUGUAI E DAS MISSÕES DEPARTAMENTO DE ENGENHARIAS E CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO ENGENHARIA CIVIL GEPEMASI – Grupo de Estudos e Pesquisas em Materiais e Sistemas GEAPI – Grupo de Engenharia Aplicada a Processos Industriais

OTIMIZAÇÃO ESTRUTURAL DE TRELIÇAS METÁLICAS ATRAVÉS DA FERRAMENTA SOLVER

Alessander Martins Reck

Projeto Final de Curso II realizado no Departamento de Engenharias e Ciência da Computação da URI, como parte dos requisitos para a obtenção do título de Engenheiro Civil.

Julho de 2017

OTIMIZAÇÃO ESTRUTURAL DE TRELIÇAS METÁLICAS ATRAVÉS DA FERRAMENTA SOLVER

Orientadora: Profa. Dra. Daiane De Sena Brisotto/ URI - Erechim

Banca Examinadora:

Prof. Dr. Gilson Francisco Paz Soares/ URI - Erechim

Prof. MSc. Clemerson Alberi Pedroso/ URI - Erechim

___________________________________ Profa. Dra. Daiane De Sena Brisotto Coordenadora do Projeto Final de Curso II

RESUMO

Devido a competição de mercado, o engenheiro projetista necessita estar não tão somente interessado em desenvolver um projeto que atenda aos requisitos de desempenho mínimo, mas que seja a melhor alternativa possível. A inexistência de uma receita de bolo perfeita para um projeto estrutural, faz com que o cálculo baseie-se em normas técnicas, conhecimento adquirido, tempo gasto em tentativas falhas e, principalmente, intuição de cada projetista. Visando diminuir ou eliminar a dependência de experiência do projetista, surgiu o campo de otimização estrutural, onde através de modelos matemáticos é possível encontrar a configuração ótima para um projeto estrutural de forma rápida e prática. O objetivo desse trabalho é apresentar uma metodologia para a otimização estrutural de treliças metálicas com seção circular e perfil do tipo U, através de planilhas e da ferramenta Solver que pertencem ao Excel, com o embasamento teórico adquirido na etapa de revisão bibliográfica. Pode-se afirmar que a metodologia proposta neste trabalho se mostrou válida. A ferramenta Solver apresentou-se como uma forte aliada no processo de otimização, fato comprovado através da redução de 17,97% no volume de aço em uma estrutura real com perfil do tipo U e 54,56% na mesma estrutura com seção transversal circular.

Palavras-chave: Perfil. Otimização. Solver. Treliças Metálicas

iii

ABSTRACT

Due to market competition, the design engineer needs to be not only interested in developing a project that meets the minimum performance requirements, but also in presenting the best structural alternative. The lack of a “perfect cake recipe” for a structural project, forces calculation and design to be based on technical norms, knowledge and experience acquired, time spent on various attempts and, mainly, to the intuition of each designer. In aim to reduce or eliminate the dependence of experience of the designer, the field of structural optimization came to light. Through mathematical models it is possible to find the optimal configuration for a structural project in a fast and practical way. The objective of this work is to present a methodology for the structural optimization of steel trusses with circular cross-section and U-shaped profile, through worksheets and the Solver tool that belong to Excel, based on the theory presented in the literature review section. It can be affirmed that the methodology proposed in this work is valid. The Solver tool presented itself a strong ally in the optimization process, a fact evidenced by the reduction of 17.97% in the steel volume in a real structure with a U-shaped profile and 54.56% in the same structure with a circular cross-section.

Keywords: Profile. Optimization. Solver. Metal Trusses.

iv

ÍNDICE

1. INTRODUÇÃO .................................................................................................................1 1.1. Objetivo do Trabalho .................................................................................................... 2 1.1.1.

Objetivo Geral ...................................................................................................... 2

1.1.2.

Objetivo Especifico .............................................................................................. 2

2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA .........................................................................................3 2.1. Otimização Estrutural .................................................................................................. 3 2.1.1.

Otimização Dimensional ..................................................................................... 4

2.1.2.

Otimização de Forma .......................................................................................... 4

2.1.3.

Otimização Topológica ........................................................................................ 4

2.2. Componentes Básicos de um Problema de Otimização ............................................. 5 2.2.1.

Função Objetivo .................................................................................................. 6

2.2.2.

Variáveis do Projeto ............................................................................................. 6

2.2.3.

Restrições ............................................................................................................. 6

2.3. Treliças ........................................................................................................................... 7 2.4. Estruturas Metálicas ..................................................................................................... 9 2.4.1.

Vantagens da Utilização do Aço em Elementos Estruturais............................ 10

2.4.2.

Desvantagens da Utilização do Aço em Elementos Estruturais ...................... 10

2.4.3.

Constantes Físicas do Aço ................................................................................. 11

2.4.4.

Propriedades dos Aços ....................................................................................... 11

2.5. Dimensionamento de Estruturas de Aço ................................................................... 12 2.5.1.

Normas Técnicas ............................................................................................... 12

2.5.2.

Combinação de Solicitações .............................................................................. 12

2.5.3.

Esforços Resistentes .......................................................................................... 14

2.5.4.

Peças Tracionadas ............................................................................................. 15

2.5.5.

Peças Comprimidas ........................................................................................... 16

2.6. A Ferramenta Solver ................................................................................................... 19 2.6.1.

Método de Cálculo Gradiente Reduzido Generalizado .................................... 20 v

2.6.2.

Processo de Utilização da Ferramenta Solver .................................................. 21

3. METODOLOGIA ...........................................................................................................27 3.1. Caso 1 - Treliça Simples com Seção Transversal Circular...................................... 27 3.1.1.

Definição do Problema ...................................................................................... 27

3.1.2.

Carregamento .................................................................................................... 28

3.1.3.

Função Objetivo ................................................................................................ 29

3.1.4.

Variáveis de Projeto ........................................................................................... 29

3.1.5.

Restrições de Projeto ......................................................................................... 29

3.2. Caso 2 – Treliça de um pavilhão ................................................................................ 30 3.2.1.

Definição do Problema ...................................................................................... 30

3.2.2.

Carregamento da Estrutura .............................................................................. 32

3.2.3.

Função Objetivo ................................................................................................ 32

3.2.4.

Variáveis de Projeto ........................................................................................... 32

3.2.5.

Restrições de Projeto ......................................................................................... 32

4. RESULTADOS E DISCUSSÕES ..................................................................................33 4.1. Caso 1 – Treliça Simples com Seção Circular .......................................................... 33 4.1.1.

Otimização Dimensional ................................................................................... 33

4.1.2.

Processo Simultâneo - Otimização Dimensional e de Forma.......................... 34

4.2. Caso 2 – Treliça de um Pavilhão ................................................................................ 37 4.2.1.

Otimização Dimensional e de Forma com Barras Circulares ......................... 37

4.2.2.

Otimização Dimensional e de Forma com Perfil U ......................................... 39

4.2.3.

Otimização Dimensional e de Forma com Perfil U com Carga Adicional. .... 42

5. CONCLUSÕES................................................................................................................45 REFERÊNCIAS .....................................................................................................................46 APÊNDICE A .........................................................................................................................49 APÊNDICE B..........................................................................................................................51 APÊNDICE C..........................................................................................................................55 APÊNDICE D..........................................................................................................................58

vi

ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 2.1 – Demonstração dos três processos de otimização em uma estrutura treliçada ....... 5 Figura 2.2 – Formas de treliça mais comuns ............................................................................. 8 Figura 2.3 – Valores dos coeficientes de ponderação das ações ..............................................13 Figura 2.4 – Valores dos fatores de combinação e de redução para ações variáveis ............... 14 Figura 2.5 – Valores dos coeficientes de ponderação da resistência 𝛄𝐚 .................................. 15 Figura 2.6 – Coeficiente de flambagem por flexão de elementos isolados ..............................18 Figura 2.7 – Habilitando a Ferramenta Solver ......................................................................... 19 Figura 2.8 – Interface de entrada da Ferramenta Solver .......................................................... 21 Figura 2.9 – Caixa de diálogo para adicionar restrição ............................................................22 Figura 2.10 – Caixa de diálogo das opções do Solver ............................................................. 23 Figura 2.11 – Caixa de diálogo de opções do Método Gradiente Reduzido Generalizado ..... 24 Figura 2.12 – Caixa das opções do método de cálculo Algoritmos Evolucionários ................25 Figura 3.1 – Treliça proposta para otimização: Geometria ......................................................28 Figura 3.2 – Treliça proposta para otimização com respectivo carregamento .........................28 Figura 3.3 - Catalogo da Empresa Gerdau Perfil Tipo U .........................................................31 Figura 4.1 – Volume das barras pré e pós processo de otimização dimensional ..................... 34 Figura 4.2 - Volume das barras pré e pós processo de otimização de forma e dimensional simultaneamente .......................................................................................................................35 Figura 4.3 – Comparação entre: a) Configuração Inicial e b) Configuração Final ..................36 Figura 4.4 - Volume das barras pré e pós processo de otimização com seção circular .......... 38 Figura 4.5 - Comparação entre: a) Configuração Inicial e b) Configuração Final .................. 39 Figura 4.6 - Volume das barras pré e pós processo de otimização com perfil U .....................41 Figura 4.7 - Comparação entre: a) Configuração Inicial e b) Configuração Final .................. 42 Figura 4.8 - Volume das barras da treliça pré e pós processo de otimização com o perfil do tipo U com carga adicional ...................................................................................................... 44 Figura 4.9 - Comparação entre: a) Configuração Inicial e b) Configuração Final .................. 44

vii

ÍNDICE DE TABELAS

Tabela 2.1 – Propriedades Mecânicas de Aços-Carbono. ........................................................ 10 Tabela 2.2 – Constantes Físicas do Aço ................................................................................... 11 Tabela 4.1 – Volume, comprimento e diâmetro das barras da treliça pré e pós-otimização dimensional............................................................................................................................... 33 Tabela 4.2 – Volume das barras da treliça pré e pós-otimização de forma e dimensional simultaneamente ....................................................................................................................... 35 Tabela 4.3 – Volume das barras da treliça pré e pós-otimização com seção circular. ............. 37 Tabela 4.4 – Volume das barras da treliça pré e pós-otimização com perfil U. ....................... 40 Tabela 4.5 – Volume das barras da treliça pré e pós processo de otimização com o perfil U com carga adicional. ................................................................................................................. 42

viii

SIMBOLOGIA

ABNT

Associação Brasileira de Normas Técnicas

−

AISC

Instituto Americano de Construção de Aço

−

ASTM

Sociedade Americana para testes e materiais

−

𝐴𝑐

Área líquida efetiva da seção transversal

𝑐𝑚2

𝐴𝑔

Área bruta da seção transversal

𝑐𝑚2

𝐴𝑛

Área líquida da barra

𝑐𝑚2

𝐵𝑎

Coeficiente de dilatação térmica

𝐶 −1

C

Carbono

−

Centro Brasileiro da Construção em Aço

−

Companhia Siderúrgica Nacional

-

𝐶𝑡

Coeficiente de redução da área líquida

−

𝐸

Módulo de Elasticidade

CBCA CSN

𝑀𝑃𝑎

𝐸𝐿𝑈

Estado Limite de Ruptura

−

𝐸𝐿𝑆

Estado Limite de Serviço

−

𝑓𝑑

Força solicitante de calculo

𝐾𝑁

𝑓𝑘

Força solicitante característica

𝐾𝑁

𝑓𝑢

Tensão limite de ruptura do aço

𝑀𝑃𝑎

𝑓𝑦

Tensão limite de escoamento do aço

𝑀𝑃𝑎

𝐺

Modulo de elasticidade transversal

𝑀𝑃𝑎

GRG

Gradiente Reduzido Generalizado

− 𝑐𝑚4

𝐼

Momento de inércia da seção transversal

𝐾

Coeficiente de flambagem

−

L

Comprimento da seção transversal

cm

Manganês

−

Norma Brasileira

−

Força axial de fambagem elástica

𝑘𝑁

Força axial de compressão resistente de cálculo

𝑘𝑁

Mn NBR 𝑁𝑐 𝑁𝑐,𝑅𝑑

ix

𝑁𝑐,𝑆𝑑

Força axial de compressão solicitante de cálculo

𝑘𝑁

𝑁𝑅𝑑

Força resistente de cálculco

𝑘𝑁

𝑁𝑡,𝑅𝑑

Força axial de tração resistente de cálculo

𝑘𝑁 𝑘𝑔/𝑚3

𝜌𝑎

Massa específica

𝜚

Fator de redução total da flambagem local

−

𝑟

Raio de Giração

𝑐𝑚

𝑆𝑑

Força resistente de calculo

𝐾𝑁

𝑆𝑘

Força resistente característica

𝐾𝑁

𝑣

Coeficiente de Poisson

−

𝑦𝑎

Coeficiente de ponderação da resistência

−

𝑦𝑔

Coeficiente de ponderação

−

𝛾𝑚

Coeficiente de ponderação das resistências

−

𝜒

Fator de redução da resistência à compressão

−

𝜆

Índice de esbeltez

−

𝜆0

Índice de esbeltez reduzido

−

x

1.

INTRODUÇÃO

Engenharia pode ser definida como aplicação de conhecimentos científicos, econômicos, sociais e práticos, com intuito de inventar, produzir, projetar, corrigir, consertar, aperfeiçoar, idealizar e solucionar os mais diversos problemas. Maia (2009) relata que o termo engenharia está tradicionalmente relacionado a concepção de objetos úteis, desde a concepção do produto até a etapa final, passando pelos processos de projeto básico, detalhamento, análises, planejamentos, produção, suporte ao cliente, entre outros processos. Conforme Coutinho (2006), até meatos do século passado os projetos de engenharia muitas vezes eram considerados um tipo de “arte” na qual exigia-se grande capacidade e experiência do projetista para solução dos problemas. Atualmente, em virtude da competição tecnológica, faz-se necessário a busca por projetos com maior redução no tempo de concepção, qualidade aprimorada, maior funcionalidade e condições econômicas garantidas, sendo a busca da excelência uma atividade inerente ao exercício da Engenharia. Com o avanço da engenharia surgiu o conceito de estrutura ótima, conceito empregado no processo de otimização estrutural. O conceito de estrutura ótima é subjetivo, ficando a critério do projetista o processo de escolha dos parâmetros que definem a qualidade da estrutura. Independentemente dos critérios definidos pelo projetista no processo de concepção da estrutura ótima, deve-se atender de forma primordial todos os requisitos de segurança impostos por normas técnicas. O processo de concepção de uma estrutura ótima é tratado pelo campo de otimização estrutural, utilizando-se de técnicas matemáticas na busca de obtenção de melhor configuração estrutural, segundo restrições pré-definidas. Na engenharia as restrições geralmente estão ligadas a questões estéticas, normas técnicas ou desempenho do material, sendo que o objetivo na grande maioria das vezes é minimizar custos da estrutura. O presente trabalho tem como enfoque o processo de otimização de treliças metálicas, visando minimizar as dimensões das seções transversais das barras treliçadas, juntamente com o processo de mudança da posição dos nós das mesmas, na busca pela

1

configuração com menor volume de aço, ou seja, a estrutura mais econômica, seguindo os requisitos normativos de dimensionamento e restrições arquitetônicas. Para o desenvolvimento do trabalho foi utilizado a ferramenta Solver do Excel, também chamada de ferramenta de teste de hipóteses, que possui como função principal encontrar um valor ideal de uma fórmula disposta em uma célula de uma planilha do Excel, respeitando limites, restrições e valores definidos.

1.1. Objetivo do Trabalho 1.1.1. Objetivo Geral Como objetivo deste trabalho pretende-se otimizar a área da seção transversal e posição dos nós das barras de treliças metálicas, de forma a minimizar o volume de material, ou seja, o consumo de aço, respeitando os requisitos de projeto e as normas técnicas.

1.1.2. Objetivo Especifico •

Formular uma metodologia para o problema de otimização dimensional e otimização de forma de treliças metálicas de seção circular, utilizando a ferramenta Solver e planilhas do Excel;

•

Validar a metodologia apresentada através da otimização de uma treliça de cobertura de um projeto estrutural real;

•

Estender a metodologia para treliças com seção transversal perfilada;

•

Avaliar de forma comparativa o consumo de aço entre a estrutura real e otimizada.

2

2.

REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

Neste capitulo é apresentado a revisão bibliográfica e fundamentação teórica sobre o tema em tudo, a qual serviu de base para a realização deste trabalho.

2.1. Otimização Estrutural Segundo Cordeiro (2007), a palavra “otimização” define-se como “fazer tão perfeito, efetivo ou funcional quanto possível”. Já Maia (2009) define otimização como a busca da melhor solução de uma operação, utilizando-se de restrições que devem ser satisfeitas. Silva (2015) coloca como objetivo da otimização a maximização ou minimização de uma função sujeita a restrições de desempenho ou/e geométrica. A otimização estrutural é um processo numérico/matemático que visa a obtenção de uma configuração que resulte em uma performance ótima, ou seja, relacione condições de segurança, performance dos materiais empregados no projeto e custo, segundo alguma medida de desempenho pré-definida, geralmente normas de dimensionamento. Visando melhor aproveitamento dos materiais estruturais, o processo de otimização estrutural mostra-se de grande importância, uma vez que a busca por um projeto ótimo é responsabilidade do profissional contratado para dimensionamento da estrutura. Entretanto, muitas vezes por falta de experiência, tempo escasso ou erros no processo de concepção dos elementos estruturais, o projeto acaba sendo superdimensionado ou sendo utilizada uma solução inadequada. A otimização é uma atividade natural em um ambiente de projeto, muitas vezes feita de maneira implícita. Através da experiência, opiniões de outros profissionais, dentre outros fatores, o engenheiro realiza decisões de projeto, as quais julga adequadas e possam levar a um projeto ótimo. Segundo Silva (2015), muitos profissionais de engenharia são muito bons nesta atividade e obtém sucesso somente com este tipo de análise, mesmo não havendo garantias que a solução encontrada seja a melhor do ponto de vista econômico. Entretanto, caso exista uma quantidade alta de variáveis a serem ajustadas com impactos diretos umas às 3

outras, este tipo de otimização torna-se inadequada, sendo muito complexo determinar o projeto ótimo de forma intuitiva. Conforme Maia (2009), no princípio, devido falta de tecnologia, computadores de alta velocidade ou meios que acelerassem a solução dos problemas de analise estrutural, eram utilizadas formulações através de equações diferencias, sendo as mesmas desenvolvidas de forma analítica com uso ocasional de métodos numéricos. Através das ferramentas computacionais disponíveis nos dias atuais é possível avaliar problemas bem mais complexos e em menos tempo, em comparação ao processo manual, através do uso de algoritmos e métodos numéricos que apontarão a melhor solução. Geralmente é a partir da melhor solução, baseado na experiência, que se inicia o processo computadorizado, avaliando-se, posteriormente, onde e quais avanços podem ser alcançados. Na área de engenharia estrutural existem três categorias de otimização: otimização dimensional, de forma (ou geométrica) e topológica.

2.1.1. Otimização Dimensional Para Cordeiro (2007), a otimização dimensional utiliza como variável de projeto alguma dimensão geométrica da estrutura, como a altura, largura e área. No caso de vigas de concreto armado, busca-se as dimensões de seção transversal que minimizem o volume de concreto, ou que resultem em menor custo de execução.

2.1.2. Otimização de Forma Entende-se como otimização de forma a alteração da área da seção transversal e posição dos nós das barras da estrutura. Segundo Silva (2015), é a busca da forma ótima dos contornos da estrutura, sendo aplicada em problemas de concentrações de tensões, no caso de estruturas continuas, treliças e torres de transmissão.

2.1.3. Otimização Topológica Pinho (2015) define a otimização de topologia como parte da ciência da otimização aplicada à fase de concepção da estrutura. Deaton e Grandhi (2014) definem otimização topológica como o processo de determinação do layout ideal para um determinado material dentro de um domínio de projeto, considerando-se uma função custo e as restrições mecânicas, de forma a minimizar seu peso e garantir que a estrutura não falhe.

4

Conforme afirma Silva (2015), em estruturas treliçadas, o processo de otimização topológica concentra-se na exclusão de barras pouco solicitadas, ou seja, que possuam áreas pequenas a ponto de serem desnecessárias para a estrutura. Na Fig. 2.1 é demostrado através de uma estrutura treliçada os três processos de otimização.

Figura 2.1 – Demonstração dos três processos de otimização em uma estrutura treliçada: (a) dimensional, (b) de forma e (c) topológica (SILVA,2015).

2.2. Componentes Básicos de um Problema de Otimização Mundstock (2006) descreve como componentes básicos de um problema de otimização: •

Função objetivo: Define o objetivo que será seguido matematicamente, de forma a maximizar ou minimizar valores;

•

Modelo do processo: Define a forma como será equacionada a função objetivo e as variáveis de projeto;

•

Restrições: Define limites impostos e restrições que devem ser respeitadas para o problema analisado. Parkinson et al. (2013) afirmam que normalmente 90% do esforço empregado na

otimização de um projeto é consumido no desenvolvimento e validação do modelo. Uma vez concluída esta etapa, os resultados podem ser rapidamente encontrados.

5

2.2.1. Função Objetivo De acordo com Maia (2009), a função objetivo é um escalar em termos das variáveis do problema, usada para buscar o valor máximo ou mínimo desejado, ou seja, medir a eficiência de um projeto. Esta função pode ser representada através da seguinte equação: 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … 𝑥4)

(2.1)

Mundstock (2006) afirma que podem existir inúmeras funções objetivo em um determinado processo. Entretanto, procura-se limitar os objetivos a no máximo dois ou três, uma vez que dificilmente os algoritmos conseguirão se mover para a convergência de todos os objetivos. No caso da otimização de estruturas, a função objetivo pode ser a redução de material, minimização do custo total da construção (custo de concreto, forma e armadura, por exemplo) deslocamentos, tensões, entre outros. 2.2.2. Variáveis do Projeto Conforme Mundstock (2006), variáveis do projeto são variáveis independentes da função objetivo, ou seja, podem ser alteradas afim de melhorar o desempenho da estrutura. No entanto, para sucesso do projeto é necessário que os valores assumidos como variáveis de projeto satisfaçam as restrições propostas. As variáveis de projeto podem ser do tipo discreta, assumindo apenas alguns valores dentro de um conjunto, ou contínua, assumindo valores dentro de um intervalo. As variáveis de projeto podem ser as dimensões da seção transversal, comprimento das barras, propriedades mecânicas dos materiais, como modulo de elasticidade, e situações de contorno, como tensões admissíveis. Estas variáveis são estabelecidas pelo projetista e sua representação é dada por um vetor, conforme Eq. (2.2). 𝑥1 𝑥2 𝑥={ } 𝑥3 𝑥4

(2.2)

2.2.3. Restrições As restrições são condições limites impostas ao problema de otimização na busca pela solução mais otimizada. São definidas pelas normas técnicas, propriedades dos materiais,

6

limitações geométricas, entre outras. As restrições podem ser de igualdade ou desigualdade, podendo serem escritas da seguinte forma, segundo Mundstock (2006): Extremizar F(x) Sujeito a: hj (x) = 0, j = 1,2. . . , m

(2.3a)

g j (x) ≤ 0, j = 1,2 … , p

(2.3b)

x∈X⊆ℜ

(2.3c)

onde hj (x) representa as restrições de igualdade e g j (x) as restrições de desigualdade. Sendo uma restrição de desigualdade chamada de ativa em um ponto viável x se g j (x) = 0. Caso contrário é chamada inativa. As restrições de desigualdade limitam por cima ou por baixo os valores das variáveis de projeto, sendo usadas para restringir, por exemplo, valores de tensão ou deslocamento. As restrições de igualdade são aplicadas quando se é necessário fixar um valor para um parâmetro, como por exemplo para satisfazer as equações de equilíbrio. Mundstock (2006) também salienta que as restrições de um problema de otimização devem ser impostas com cuidado, sempre possibilitando uma região viável de solução, tomando como risco a impossibilidade de solução do problema proposto.

2.3. Treliças Conforme Melconian (2015), treliças são um sistema estrutural formado por barras que se unem entre si em nós articulados através de pinos, soldas, rebites, parafusos, formando triângulos, com objetivo de formar uma estrutura rígida que suporte os esforços solicitantes. Segundo Botelho (2016), as treliças trabalham como peças inter-relacionadas nas articulações, com as cargas externas atuando principalmente nos nós, gerando somente esforços de tração e compressão nas barras. Isto não é totalmente correto, pois pelo menos o peso próprio está distribuído ao longo das barras. Entretanto, por simplificação, essa hipótese é mantida, sendo feito ajuste e correções apenas em casos especiais. Atualmente o sistema de treliças é utilizado em grande escala em pontes metálicas, coberturas, guindastes, torres de transmissão, estádios esportivos, entre outras aplicações, dado que são mais leves e resistentes do que as estruturas de nós rígidos em que as barras são solicitadas à flexão. As barras das treliças podem apresentar diferentes

7

configurações para a seção transversal, podendo ser redondas, chatas, cantoneiras, perfiladas, entre outras. As treliças podem adquirir as mais diversas formas, como mostra a Fig. 2.2. As barras dessas treliças recebem nomes especiais: as barras superiores e inferiores recebem o nome de banzos; as barras inclinadas de diagonais e as verticais de montante.

Figura 2.2 – Formas de treliça mais comuns (CBCA, 2016).

A direção e inclinação das diagonais é importante para garantir economia e um bom desempenho da treliça. No caso de estruturas em aço, é recomendável que as diagonais trabalhem sempre à tração, uma vez que estas barras são as mais longas da treliça e se submetidas à compressão apresentam a tendência de flambar devido a elevada esbeltez. Já para a treliça de madeira, como as barras em madeira são mais robustas, não existe a 8

preocupação de que trabalhem a tração, pelo contrário, dá-se preferência que sejam comprimidas para facilitar a ligação por simples encaixe (CBCA, 2016). Para dimensionamento dos esforços de uma treliça plana, Melconian (2015) sugere a utilização do Método dos Nós ou o Método de Ritter, que são os métodos analíticos utilizados com maior frequência. O Método dos Nós consiste em verificar o equilíbrio de cada nó da treliça, buscando encontrar os esforços presentes em cada barra. Devido a facilidade e necessidade de apenas conhecimentos básicos de trigonometria é o método mais utilizado e pode ser facilmente solucionado seguindo a sequência abaixo: 1° Determinação das reações de apoio; 2° Identificação das solicitações em cada barra (tração ou compressão); 3° Verificação de equilíbrio em cada nó. O método é repetido até que todas as barras estejam calculadas. Para início dos cálculos, pode-se considerar todas as barras tracionadas, sendo que as barras que apresentarem sinal negativo na solução, são consideradas comprimidas. Este será o método adotado neste trabalho.

2.4. Estruturas Metálicas De acordo com Pinheiro (2012), as estruturas metálicas vêm sendo utilizadas em escala industrial desde 1750. No Brasil, o início do processo de fabricação foi no ano de 1812 e desde então vem ocorrendo grandes avanços devido implantação das grandes siderúrgicas, como por exemplo, a Companhia Siderúrgica Nacional – CSN implantada em 1946. Conforme Pfeil (2012), entre as ligas metálicas, o aço é considerado o material mais versátil, sendo fabricado em formas e tipos variados, sempre buscando atender demanda do mercado, os esforços solicitantes e características estéticas dos projetos. Os aços são classificados em aços-carbono, que contêm teores normais de elementos residuais, e em açosliga, que são aços carbono acrescidos de elementos de liga ou apresentando altos teores de elementos residuais. Conforme o teor de carbono aumenta, a resistência mecânica do aço aumenta, mas ao mesmo tempo este se torna mais frágil. Os aços com baixo teor de carbono possuem menor resistência, mas são mais dúcteis. Ambos podem receber tratamentos térmicos que modificam suas propriedades mecânicas.

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Ainda de acordo com Pfeil (2012), as resistências à ruptura devido compressão ou tração dos aços são iguais, estando entre 300 MPa e 1200 MPa. Na tabela abaixo é apresentado os valores de resistência mecânica de aços-carbono e aços de baixa liga. Tabela 2.1 – Propriedades Mecânicas de Aços-Carbono (PFEIL,2012).

Lim. Escoamento

Res. Ruptura

𝒇𝒚 (Mpa)

𝒇𝒖 (Mpa)

Baixo

250

400

ASTM A7

-

240

370-500

ASTM A36

0,25-0,29

250(36 ksi)

400-500

ASTM A307(parafuso)

Baixo

-

415

ASTM A325(parafuso)

Médio

635 (min)

825 (min)

ASTM 572 Gr. 50

C < 0,23% Mn < 1,35%

345

450

ASTM A588

C < 0,17% Mn < 1,2%Cu<0,50%

345

485

ASTM A992

C < 0,23% Mn < 1,5%

345

450

Especificação

Teor de carbono %

ABNT MR 250

2.4.1. Vantagens da Utilização do Aço em Elementos Estruturais Conforme Pinheiro (2012), as principais vantagens da utilização de estruturas em aços são: a)

Processo de fabricação com alta precisão milimétrica, garantindo alto controle de qualidade;

b)

Garantia das propriedades e dimensões dos materiais;

c)

Material com boa resistência ao choque e a vibrações;

d)

Agilidade no processo de execução de obras, com garantia de limpeza;

e)

Havendo necessidade, é possível desmontar a estrutura e montar em outro local;

f)

Estruturas leves com alta resistência estrutural, possibilitando vencimento de grandes vãos;

g)

Possibilidade de utilização de sobra e reaproveitamento dos materiais em estoque.

2.4.2. Desvantagens da Utilização do Aço em Elementos Estruturais Pinheiro (2012) também cita desvantagens da utilização do aço em elementos estruturais, sendo elas:

10

a)

Execução em fabrica limitada, devido dificuldade de transporte;

b)

Elementos em aço são sucessíveis a oxidação devido contato com o ar atmosférico, necessitando tratamento superficial das peças;

c)

Mão-de-obra e equipamentos especializados no processo de fabricação e montagem são itens obrigatórios;

d)

O fornecimento de perfis metálicos é limitado.

2.4.3. Constantes Físicas do Aço A NBR 8800 (ABNT, 2008), que trata do dimensionamento de estruturas de aço, define para efeito de cálculo que as constantes físicas do material apresentem os valores indicas na Tab. 2.2. Tabela 2.2 – Constantes Físicas do Aço, NBR 8800 (ABNT, 2008).

Módulo de elasticidade

Ε=200.000 MPa

Coeficiente de Poisson

υ= 0,3

Módulo de elasticidade transversal Coeficiente de dilatação térmica Massa específica

G= 77 Mpa βa = 1,2X10−5 °C−1 ρa = 7850 kg/m³

2.4.4. Propriedades dos Aços Segundo Pfeil (2012) as principais propriedades de aços estruturais são: a)

Ductilidade: Capacidade do material se deformar sob determinada ação, até o momento da sua ruptura. Nos aços dúcteis submetidos a grandes tensões pode ocorrer deformações plásticas capazes de redistribuir as tensões.

b)

Fragilidade: Oposto a ductilidade, ocorre quando o aço é submetido a baixas temperaturas ambientais e efeitos térmicos locais, como por exemplo, solda elétrica. O principal problema da presença da fragilidade no aço é a ruptura brusca, sem aviso prévio, o que ocasiona maior risco estrutural.

c)

Resiliência e Tenacidade: A resiliência e tenacidade estão relacionadas a capacidade do metal absorver energia mecânica.

d)

Dureza: Basicamente, dureza é a resistência ao risco ou abrasão, sendo medida pela resistência que a superfície do material apresenta na popular escala de Mohs.

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e)

Efeito de Temperatura Elevada: As propriedades físicas dos aços tendem a variar em temperaturas elevadas. Em temperaturas elevadas superiores a 100°C o limite de escoamento fica limitado, a resistência a ruptura diminui, bem como o modulo de elasticidade E.

f)

Fadiga: As peças metálicas submetidas a esforços repetidos tendem a sofrer ruptura com tensão inferior e obtida em ensaios estáticos.

g)

Corrosão: É o processo de reação do aço com alguns elementos presentes no ambiente exposto. Devido ao processo de corrosão ocorre a perda de seção, o que pode levar ao colapso da estrutura.

2.5. Dimensionamento de Estruturas de Aço 2.5.1. Normas Técnicas Conforme afirma Pfeil (2012), os objetivos de um projeto estrutural são: •

Garantir a segurança estrutural contra colapso da estrutura;

•

Assegurar o bom desempenho estrutural, evitando a ocorrência de grandes deslocamentos, vibrações e danos locais. No processo de dimensionamento devem ser utilizados os conhecimentos de

analise estrutural e resistência dos materiais, bem como as recomendações normativas. A NBR 8800 (ABNT, 2008) é a norma brasileira que norteia o dimensionamento de elementos de aço, sendo baseada na normativa americana AISC-LRFD (2005). No processo de dimensionamento de estruturas é necessário o atendimento aos Estados Limites Últimos (ELU), associados a carga excessivas que podem gerar o colapso da estrutura, e aos Estados Limites de Utilização (ELS), relacionados a questões de durabilidade e conforto do usuário.

2.5.2. Combinação de Solicitações A norma brasileira NBR 8800 (ABNT, 2008) procurou adotar uma formulação compatível com normas internacionais e nacionais de segurança estrutural, sendo as combinações normais de ações para os Estados Limites Últimos escritas em função de valores característicos das ações permanentes G e variáveis Q, conforme mostra a Eq. (2.4):

12

m

n

𝐹𝑑 = ∑(γgi FGi,k ) + γq1 FQ1,k + ∑(γqj ψoj 𝐹Qj,k) i=1

(2.4)

j=2

onde: 𝐹𝑑 é a força solicitante de cálculo; FGi,k representa os valores característicos das ações permanentes; FQ1,k é o valor característico da ação variável considerada principal para a combinação; FQj,k representa valores característicos das ações variáveis consideradas secundárias; γgi é o coeficiente de ponderação da ação principal; γq1 é o coeficiente de ponderação da ação variável considerada principal; γqj é o coeficiente de ponderação das ações variáveis consideradas secundárias; ψoj é o fator de combinação para ações variáveis secundárias.

A Fig. 2.3 apresenta os coeficientes de ponderação das ações para as estruturas metálicas, conforme a NBR 8800 (ABNT, 2008).

Figura 2.3 – Valores dos coeficientes de ponderação das ações (NBR 8800:2008).

A Fig. 2.4 mostra os valores dos fatores de minoração de ações variáveis secundarias, segundo a NBR 8800 (ABNT, 2008).

13

Figura 2.4 – Valores dos fatores de combinação e de redução para ações variáveis (NBR 8800:2008).

2.5.3. Esforços Resistentes Denominam-se esforços resistentes em uma dada seção de estrutura as resultantes internas na seção considerada (PFEIL, 2012). A resistência de cálculo 𝑁rd é definida pela Eq. (2.5): 𝑁rd =

Sk γa

(2.5)

onde: 𝑁Rd é a força resistente de cálculo; Sk é a força resistente característica; γa é o coeficiente de ponderação da resistência. Os valores dos coeficientes de ponderação da resistência (γa ), que considera a possíveis causas que possam levar a tensão resistente do material a ser menor do que estabelecida em ensaios padronizados, são apresentados na Fig. 2.5 retirado da NBR 8800 (ABNT, 2008).

14

Figura 2.5 – Valores dos coeficientes de ponderação da resistência 𝛄𝐚 (NBR 8800:2008).

2.5.4. Peças Tracionadas 2.5.4.1 Estado limite de ruptura (ELU) A NBR 8800 (ABNT, 2008) define que para peças tracionadas a força axial de tração resistente de cálculo, a ser usada no dimensionamento é o menor dos valores obtidos entre o estado limite último de escoamento da seção bruta e o estado limite último de ruptura da seção liquida, de acordo com as expressões:

a)

Para escoamento da seção bruta 𝑁𝑡,𝑅𝑑 =

𝐴𝑔 𝑓𝑦 𝛾𝑎1

(2.6)

onde: 𝑁𝑡,𝑅𝑑 é a força axial de tração resistente de cálculo; 𝐴𝑔 é a área bruta da seção transversal da barra; 𝑓𝑦 é a resistência ao escoamento do aço; γa1 é o coeficiente de ponderação da resistência devido escoamento, flambagem e estabilidade.

b)

Para ruptura da seção líquida 𝑁𝑡,𝑅𝑑 =

𝐴𝑐 𝑓𝑢 𝛾𝑎2

(2.7)

onde: 𝐴𝑐 é a área liquida efetiva da seção transversal da barra; 𝑓𝑢 é a resistência à ruptura do aço. γa2 é o coeficiente de ponderação da resistência devido à ruptura. 15

A área liquida efetiva (Ac) é dada pela expressão: 𝐴𝐶 = 𝐶𝑡 𝐴𝑛

(2.8)

onde: 𝐶𝑡 é um coeficiente de redução da área liquida; 𝐴𝑛 é a área liquida da barra. O item 5.2.4.2 da NBR 8800 (ABNT, 2008) define que em regiões em que não existam furos, a área líquida (An), deve ser tornada igual à área bruta da seção transversal (Ag). Já o item 5.2.5 da referida norma, define que o coeficiente de redução Ct deve ser igual a 1 quando a força de tração for transmitida diretamente para cada um dos elementos da seção transversal da barra, por soldas ou parafusos.

2.5.4.2 Estado limite de serviço (ELS) O Estado Limite de Serviço recomenda que as peças submetidas a tração sejam limitadas a flexibilidade por meio do limite de Esbeltez fornecido pela seguinte expressão:

λ=

𝐿 ≤ 300 𝑟

(2.9)

sendo 𝐿 o comprimento da seção transversal submetida a tração e 𝑟 o raio de giração em relação ao esforço. O raio de giração (𝑟) é definido expressão abaixo.

𝑟=

𝐼 𝐴𝑔

(2.10)

onde 𝐼 é a inercia da seção transversal.

2.5.5. Peças Comprimidas 2.5.5.1 Estado Limite de Ruptura (ELU) A NBR 8800 (ABNT, 2008) define que para atendimento do Estado Limite de Ruptura, as barras submetidas à força axial de compressão devem atender a seguinte condição:

16

𝑁𝐶,𝑆𝑑 ≤ 𝑁𝐶,𝑅𝑑 (2.11) 𝑁𝐶,𝑆𝑑 é a força axial de compressão solicitante de cálculo que deve ser menor que a força axial de compressão resistente de cálculo 𝑁𝐶,𝑅𝑑 , que está associada aos estados-limites últimos de instabilidade por flexão, torção ou flexo-torção e de flambagem local, determinada pela expressão: 𝑁𝑐,𝑅𝑑 =

𝜒𝜚𝐴𝑔 𝑓𝑦 𝛾𝑎1

(2.12)

onde: 𝜒 é o fator de redução associado à resistência à compressão; 𝜚 é o fator de redução total associado à flambagem local.

O fator de redução (𝜒) é dado por: 2

𝜆𝑜 ≤ 1,5: 𝜒 = 0,658𝜆0

(2.13a)

ou 𝜆𝑜 > 1,5: 𝜒 =

0,877 𝜆20

(2.13b)

onde 𝜆𝑜 é o índice de esbeltez reduzido.

O índice de esbeltez reduzido (𝜆𝑜 ) é encontrado através da seguinte relação:

𝜚𝐴𝑔 𝑓𝑦 𝜆𝑜 = √ 𝑁𝑐

(2.14)

onde 𝑁𝑐 é a força axial de flambagem elástica. A força axial de flambagem elástica (Nc) para flambagem por flexão é determinada por: 𝜋 2 𝐸𝐼 𝑁𝐶 = (𝐾𝐿)2

(2.15)

17

onde: 𝐸 é o modulo de elasticidade do aço; 𝐾 é o coeficiente de flambagem.

O coeficiente de flambagem (K) é definido através da linha elástica de flambagem, a qual possui comportamento determinado através da vinculação de apoio. Os valores do coeficiente (K) são apresentados na Fig. 2.6.

Figura 2.6 – Coeficiente de flambagem por flexão de elementos isolados (NBR 8800 (ABNT, 2008).

2.5.5.2 Estado limite de serviço (ELS) O Estado Limite de Serviço recomenda que as peças submetidas à compressão sejam limitadas à flexibilidade por meio do limite de esbeltez fornecido pela expressão:

𝜆=

𝐾𝐿 ≤ 200 𝑟

(2.16)

O raio de giração (r) é encontrado através da Eq. (2.10) apresentada no item 2.5.4.2.

18

2.6. A Ferramenta Solver O Excel faz parte do pacote Office da Microsoft desde 1993. O mesmo é utilizado em grande escala no mundo todo, sendo considerado uma ferramenta importante na engenharia e utilizada muitas vezes como base para desenvolvimento de ferramentas matemáticas. O grande sucesso de Excel está ligado ao seu manuseio simples e fácil, com uma aparência básica, através de planilhas que facilitam muito a rotina de milhões de pessoas. Uma das ferramentas do Excel é o Solver, muitas vezes chamado de ferramenta de teste de hipóteses, que possui como função principal encontrar um valor ideal (máximo ou mínimo) de uma fórmula (função objetiva) disposta em uma célula de uma planilha do Excel, conforme restrições, limites ou valores definidos. O Solver trabalha com um grupo de células denominadas variáveis de decisão, ajustando os valores nas células definidas como variáveis, para satisfazer aos limites definidos nas células de restrição e produzir o resultado na célula objetiva (célula com resultado final). O Solver não vem habilitado previamente necessitando ser habilitado após instalação do Excel, como mostra a Fig. 2.7.

Figura 2.7 – Habilitando a Ferramenta Solver. 19

O Solver possibilita a utilização de três métodos de solução, o que deve ser definido pelo usuário: •

Gradiente Reduzido Generalizado (GRG) Não Linear: Ideal para problema simples não lineares;

•

LP Simples: Ideal para problemas lineares;

•

Evolucionário: Ideal para problemas mais complexos. No presente trabalho o método de cálculo utilizado pela ferramenta Solver é o do

Gradiente Reduzido Generalizado, aplicado com objetivo de reduzir seção transversal e modificar posição dos nós de treliças metálicas.

2.6.1. Método de Cálculo Gradiente Reduzido Generalizado Sacoman (2012) relato que o método do Gradiente Reduzido Generalizado teve início na década de 60 com Rosen, que buscava solucionar problemas matemáticos com função-objetivo não-linear e restrições lineares. O método do Gradiente Reduzido foi exposto por Wolfe (1963), sendo muito semelhante ao apresentado por Rosen. O diferencial estava na formulação mais simples. No ano de 1966, Carpentier e Abadie generalizaram o método de Wolfe, ficando o mesmo conhecido como método do Gradiente Reduzido Generalizado. Conforme Dantas et al. (2012), o Método de Gradiente Reduzido Generalizado trata da solução de problemas não lineares nos quais a função objetiva pode ter não linearidade de qualquer forma, desde que a função seja diferenciável. Dantas et al. (2012) explicam, em linhas gerais, o funcionamento do método da seguinte forma:

Minimizar Z (X) Sujeito a: 0 ≤ 𝑔𝑗 (𝑥) ≤ 𝑢𝑏(𝑖), 𝑖 = 1, 𝑚,𝐶

(2.17)

𝑙𝑏(𝑖) < 𝑋𝑖 < 𝑢𝑏(𝑖), 𝑖 = 𝑚 + 1, 𝑚 + 𝑛

(2.18)

onde X é um vetor de 𝑛 variáveis. Assume-se que as funções Z e 𝑔𝑗 são diferenciáveis. Maia (2009) afirma que no método de Gradiente Reduzido Generalizado, a direção de procura é tal que qualquer tipo de restrição ativada permanece ativa para algum pequeno deslocamento nessa direção. No caso de alguma restrição ativada não permanecer

20

satisfeita integralmente, é utilizado o Método de Newton para garantir o retorno aos limites impostos pelas restrições definidas.

2.6.2. Processo de Utilização da Ferramenta Solver A interface da ferramenta Solver é muito prática e de fácil utilização, além de estar disponível na grande maioria dos idiomas. A interface inicial da ferramenta é apresentada na Fig. 2.8.

Figura 2.8 – Interface de entrada da Ferramenta Solver.

No primeiro campo em branco, denominado “Definir Objetivo”, é definida a localização da célula de objetivo, que deve conter uma fórmula. O próximo passo é definir o sentido da otimização, optando entre “Máx”, “Min” e “ Valor de’’, que representam, respectivamente, as opções de maximização, minimização e definição de valor exato para a função objetivo. 21

No campo “Alterando Células Variáveis” devem ser definidas as células que terão seus valores alterados no processo de otimização, visando encontrar o valor definido no campo “Definir objetivo’’. Salienta-se que quando maior o número de células variáveis, maior será o tempo necessário para resolução do Solver, podendo ser inseridas até 200 células variáveis. As restrições do projeto devem ser adicionadas no campo “Sujeito às Restrições” através do botão “Adicionar”, como também podem ser alteradas e excluídas posteriormente. O botão “Adicionar” gera uma nova caixa de diálogo, conforme Fig. 2.9.

Figura 2.9 – Caixa de diálogo para adicionar restrição.

No campo “ Referência de Célula” são inseridas as células ou intervalos de células a serem restringidas. Nota-se que ao lado é apresentado o símbolo de menor/igual, que pode ser alterado por menor, igual, maior, número inteiro, entre outros. Em relação ao campo “Restrição”, este define o valor ou célula que será referência para a restrição. Voltando à interface inicial, nota-se que o campo “Tornar Variáveis Irrestritas Não Negativas” está selecionado. Em situações usuais muitas vezes buscamos respostas apenas positivas, o que justifica a seleção desse campo. Em seguida, deve ser escolhido o método de solução no menu “Selecionar um Método de Solução”. Entre as opções estão o de Método do GRG Não Linear, LP Simplex e Evolutionary, abordados anteriormente no item 2.6. Na interface inicial, o botão “Opções” abre uma nova caixa de diálogo com três abas, relacionadas aos métodos de solução utilizados pelo solver. Essa nova caixa é apresenta na Fig. 2.10.

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Figura 2.10 – Caixa de diálogo das opções do Solver.

A primeira aba “Todos os Métodos” está relacionada as opções dos três métodos disponíveis para cálculo. No campo “Precisão de Restrição” é definido o grau de precisão dos cálculos, sendo que o quanto maior o valor inserido, menor será a precisão encontrada pelo Solver. A opção “Usar Escala Automática” permite que a ferramenta altere as variáveis para escalas menores ou maiores, visando diminuir o impacto de valores considerados grandes ou pequenos no processo de solução do problema. Quando habilitada, a opção “Mostrar Resultados de Iterações” apresenta os valores de cada tentativa, o que muitas é tratado como um incomodo. “Ignorar restrições de Números Inteiros” refere-se à possibilidade de ignorar todas as restrições inteiras, binarias e totalmente diferentes. Na aba “Nível de Número Inteiro Ideal (%)’’ é definido o percentual máximo de diferença tolerável entre a melhor solução inteira e o objetivo encontrado, normalmente definido em 1%. A caixa “Tempo Máx. (Segundos) ” está relacionada ao tempo permitido para que o Solver processe o problema de otimização, enquanto a caixa “Iterações” define o número máximo de iterações possíveis na busca da melhor solução. Lembrando que quanto maior o número de iterações, maior será o tempo necessário para resolução.

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Para o método de solução Evolucionário é possível definir em “Subproblemas Màx” a quantidade máxima de subproblemas, e em “Soluções Viáveis Max” é definido o número máximo de soluções. Na aba “GRG Não Linear” são mostrados opções referentes ao método de resolução Gradiente Reduzido Generalizado, como mostrado na Fig. 2.11.

Figura 2.11 – Caixa de diálogo de opções do Método Gradiente Reduzido Generalizado.

O campo “Convergência” define o valor de mudança permitida nas últimas cinco iterações antes que a ferramenta termine o processo de cálculo. Quanto menor o valor, mais próximo da solução ótima, entretanto resultará em maior tempo de processamento. A caixa “Derivativos” dá como opções disponíveis “Encaminhar” e “Central”, que estimam derivados por operadores de diferença finitas anteriores e operadores de diferença finitas centrais, respectivamente. Por padrão é ativado a opção “Encaminhar”. Na caixa “Multi-Inicialização”, a opção “Usar Inicio Múltiplo” indica que, quando acionado, o método rodará repetitivamente, utilizando diferentes pontos de início para as variáveis de decisão. A caixa “Tamanho da População” está relacionada a quantidade de diferentes pontos de início, e o campo “Propagação Aleatória” solicita um número inteiro positivo para 24

ser utilizado na geração aleatória de pontos de início. Ambas as caixas dependem do acionamento da opção “Usar Inicio Múltiplo”. A última opção, “ Limites Necessários em Variáveis”, refere-se à utilização ou não do recurso “Usar Inicio Múltiplo”, usada apenas quando existirem limites inferiores e superiores definidos nas variáveis de decisão. Na última aba, “Evolutionary”, são tratadas as opções do método de cálculo por Algoritmos Evolucionários, como é mostrado na Fig. 2.12.

Figura 2.12 – Caixa das opções do método de cálculo Algoritmos Evolucionários.

Na caixa “Convergência” é definido o percentual máximo de diferença permitido para os valores de objetivo encontrados. Em “Taxa de Mutação” é definida a frequência com que alguns membros da população serão alterados para a criação de uma nova tentativa de solução, durante cada subproblema considerado para o Método Evolucionário. O valor deve estar entre 0 e 1. Na caixa “Tamanho da População” é definido quantidade mínima de pontos diferentes utilizadas durante o processamento. 25

“Propagação Aleatória” define número positivo inteiro utilizado no produtor da geração aleatório de números utilizado na resolução do Método Evolucionário. “Tempo máximo sem aperfeiçoamento” define o tempo limite em que a ferramenta permanecera buscando melhorar a resposta encontrada, sem encontrar melhora significa no valor final, sem finalizar o processo de cálculo. “Limites Necessários em Variáveis” refere-se à necessidade ou não de utilização do método Evolucionário, apenas quando existirem limites inferiores e superiores definidos nas variáveis de decisão. Após a definição das opções, é possível processar a ferramenta através do botão “Resolver”, sendo gerados os seguintes relatórios para problemas lineares: Relatório de Resposta, Relatório de Limites e o Relatório de Sensibilidade. O Relatório de Resposta fornece valores originais e finais da célula objetivo e todas as células variáveis, assim como uma lista com cada restrição do problema. O Relatório de Sensibilidade fornece o valor final da cada célula variável, custo reduzido, o coeficiente da função objetivo, entre outros fatores. O Relatório de Limites fornece os limites inferior e superior de cada célula ajustável, mantendo todas as outras células em valores atuais e satisfazendo as restrições.

26

3.

METODOLOGIA

Este capítulo apresenta a metodologia proposta para o desenvolvimento deste trabalho, sendo está dividida em duas etapas. Na primeira etapa do trabalho, visando confirmar a possibilidade de otimização de estruturas treliçadas com a ferramenta Solver, foi otimizada uma treliça simples de aço, com seção transversal circular, bi apoiada. Inicialmente, foi realizada a otimização dimensional da área da seção transversal das barras e, somente após a conclusão desta etapa, introduziu-se o processo de otimização de forma com a mudança da posição dos nós da treliça. Salienta-se que para a obtenção dos resultados otimizados foi utilizado na ferramenta Solver o Método do Gradiente Reduzido Generalizado Na segunda etapa do trabalho buscou-se otimizar uma treliça mais elaborada, pertencente a uma estrutura real. Também estendeu-se o processo de otimização para perfiz do tipo U, além da seção circular. Para o desenvolvimento do modelo de otimização foram implementadas no Excel as fórmulas matemáticas de dimensionamento de estruturas de aço, conforme NBR 8800 (ABNT, 2008), bem como uma rotina para o cálculo dos esforços nas barras da treliça através do Método dos Nós.

3.1. Caso 1 - Treliça Simples com Seção Transversal Circular 3.1.1. Definição do Problema Na primeira fase do trabalho foi analisada uma treliça simples de aço bi apoiada, com barras de seção transversal circular. O objetivo do problema de otimização é a minimização do volume de material das barras, ou seja, do peso da estrutura e, consequentemente, do seu custo. A treliça em estudo é apresenta na Fig. 3.1, sendo a geometria definida em função de sua simplicidade

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Figura 3.1 – Treliça proposta para otimização: Geometria.

O diâmetro inicial das barras foi definido buscando satisfazer a condição de esbeltez limite da barra mais longa da treliça, no caso à barra BC. Como esta barra possui comprimento de 6 metros, chegou-se a um diâmetro inicial de 12 cm, definido conforme o item 2.5.4.2 o qual foi aplicado para todas as barras. Em relação ao material empregado foram adotadas barras de aço ASTM 36, muito usado em estruturas, com resistência ao escoamento de 25 KN/cm² e resistência à ruptura de 40 KN/cm².

3.1.2. Carregamento O carregamento total de cada nó da treliça deve-se ao peso próprio da estrutura, considerado uma ação permanente, e as sobrecargas de utilização, consideradas ações variáveis. O apêndice A apresenta os cálculos realizados para o levantamento dos carregamentos dos nós da treliça. A Fig.3.2 mostra a treliça com o respectivo carregamento.

Figura 3.2 – Treliça proposta para otimização com respectivo carregamento. 28

O processo de determinação dos esforços da treliça foi realizado utilizando o Método dos Nós, apresentado no item 2.3 deste trabalho, através de uma rotina de cálculo implementada em uma planilha do Excel. Para a realização do processo de determinação dos esforços das barras e mudança de posição dos nós, foram introduzidas coordenadas cartesianas que delimitassem a posição inicial de cada barra, sendo que o nó A foi considerado localizado na origem (0;0).

3.1.3. Função Objetivo A expressão que representa a função objetivo é apresentada pela equação:

𝑉𝑡 = ∑ 𝑉𝑏

(3.1)

onde: 𝑉𝑡 = Volume total de aço; 𝑉𝑏 = Volume de aço das barras; O volume das barras é calculado pelo produto da área da seção transversal da barra pelo comprimento das mesmas.

3.1.4. Variáveis de Projeto As variáveis de projeto são o diâmetro das barras da treliça (d) e a posição dos nós das mesmas, ou seja, o comprimento das barras (L). Salienta-se que as posições de alguns nós foram fixadas, afim de garantir que o comprimento do vão AD não fosse alterado, uma vez que seus valores são definidos como uma restrição de projeto. Com o objetivo de proporcionar maior facilidade na análise dos resultados, primeiramente foi realizado o processo de otimização dimensional, através da variação do diâmetro das barras. Em seguida além da otimização dimensional, foi realizado simultaneamente o processo de otimização de forma, com a variação da posição dos nós da treliça.

3.1.5. Restrições de Projeto As restrições de projeto referem-se aos estados limites impostos pela norma de dimensionamento: o ELU, que se refere a resistência de ruptura da barra quando submetida a

29

esforços de tração ou compressão, e o ELS, relacionado às condições de esbeltez limite que devem ser atendidas. Além destas, também existem as restrições arquitetônicas relativas as posições dos apoios A e D, que não devem ser alteradas; a altura da treliça, que deve ser constante, ou seja, os nós B e C devem ter a mesma ordenada, bem como o nó E que também não deve ter sua ordenada alterada.

3.2. Caso 2 – Treliça de um pavilhão 3.2.1. Definição do Problema Na sequência do trabalho foi analisada uma treliça mais elaborada, com vão de 20m, altura máxima de 1,5 m e altura mínima de 0,80 m, como mostra a Fig. 3.3. A mesma foi retirada do trabalho de graduação de Cavalcante (2011). Em um primeiro momento, a estrutura foi calculada e otimizada considerando-se barras com seção transversal circular e, posteriormente, barras com perfil do tipo U. Com o estudo desta estrutura buscou-se avaliar a eficácia da ferramenta Solver em projetos de otimização em estruturas treliçadas em condições reais, tendo como objetivo a redução do volume de aço, através da otimização da posição dos nós e redução da área da seção das barras.

Figura 3.3 – Treliça a ser otimizada: a) Situação Real, b) Modelo Analítico.

30

Considerando as barras da treliça com seção circular, o diâmetro inicial foi definido buscando satisfazer a condição de esbeltez limite da barra mais longa da treliça, no caso as barras QT/TU/YX/XU. Como estas barras possuem comprimento de 1,74 metros, chegou-se ao diâmetro inicial de 3,5 cm, definido conforme item 2.5.4.2 o qual foi aplicado para todas as barras. Para a otimização considerando o perfil do tipo U, foi consultado o catálogo de produtos da empresa Gerdau, apresentado na Figura 3.5. Para que a condição de esbeltez fosse respeitada, foi adotado o perfil tipo U com peso nominal de 6,10 kg/m, (perfil com menor peso).

Figura 3.3 - Catalogo da Empresa Gerdau Perfil Tipo U

Devido a utilização do perfil U com menor peso do catálogo, verificou-se após o processo de otimização que não ocorreram mudanças na seção transversal das barras, apenas na posição dos nós, como é apresentando posteriormente no item 4.2.2. Sendo assim, a estrutura recebeu uma carga adicional vertical no nó U, para que ocorre também o processo de otimização dimensional. Neste caso, foi considerado um perfil U com peso nominal de 7,44 kg/m para todas as barras da treliça a ser otimizada.

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Em relação ao tipo de aço empregado, foi adotado o mesmo tipo de aço utilizado no caso 1 (ASTM 36).

3.2.2. Carregamento da Estrutura O carregamento total da treliça deve-se ao peso próprio da estrutura, ao telhado, composto por 232 telhas ondulas de cimento reforçado com fio sintético, de 55 kg por unidade, totalizando 125.175 KN distribuídos em dez terças, além de uma carga acidental de 1kN, definida conforme a NBR 6120 (ABNT, 1980). Após o processamento da estrutura com o perfil U pela ferramenta Solver, constatou-se que não houveram alterações na seção transversal das barras, uma vez que o perfil já possuía a configuração ótima. Desta forma, foi acrescentado uma carga adicional de 20kN no nó U. O apêndice C apresenta os cálculos realizados para o levantamento dos carregamentos dos nós da treliça, sendo que o processo de determinação dos esforços nas barras foi realizado através do Método dos Nós, conforme descrito no item 3.1.2.

3.2.3. Função Objetivo A função objetivo é a mesma do caso anterior, definida pela Eq. 3.1

3.2.4. Variáveis de Projeto As variáveis de projeto são as mesmas do caso 1, ou seja, o diâmetro das barras da treliça e a posição dos nós das mesmas. Entretanto, no processo de otimização com o perfil tipo U, a variável diâmetro das barras foi substituída pela área dos perfis disponíveis no catálogo apresentando na Fig 3.5. Salienta-se que as posições de alguns nós foram fixadas, afim de garantir o comprimento do vão em 20 m não fosse alterado, já que a mudança nesses nós quebraria uma restrição de projeto.

3.2.5. Restrições de Projeto Assim como no caso 1, as restrições de projeto dizem respeito ao ELU e ELS. Além destas, também foram tratadas como restrições questões arquitetônicas, como a altura, inclinação, simetria e o vão da treliça. Foram fixados os nós B, p e V responsáveis pela inclinação e altura da treliça, e os nós A, o e U responsáveis pelo vão e simetria da treliça. Essas restrições foram respeitadas no processo de otimização de ambos os tipos de barras.

32

4.

RESULTADOS E DISCUSSÕES

Neste capítulo são apresentados os resultados obtidos através do processo de otimização. 4.1. Caso 1 – Treliça Simples com Seção Circular 4.1.1. Otimização Dimensional A Tab. 4.1 apresenta o diâmetro e volume das barras da treliça estudada, antes e depois do processo de otimização dimensional, bem como a diferença percentual de volume das barras entre as duas situações analisadas. A Fig. 4.1 mostra graficamente o volume inicial e final de cada barra da treliça. Tabela 4.1 – Volume, comprimento e diâmetro das barras da treliça pré e pós-otimização dimensional.

Barra AB AE BC BE EC ED CD

L Inicial (cm) 360,56 500,00 600,00 424,26 424,26 500,00 360,56 TOTAL

ϕ Inicial (cm) 12,00 12,00 12,00 12,00 12,00 12,00 12,00

V Inicial (cm³)

L Final (cm)

ϕ Final (cm)

V Final (cm³)

Diferença entre V Inicial e V Final (%)

40778,38 56548,67 67858,40 47982,68 47982,68 56548,67 40778,38 358477,84

360,56 500,00 600,00 424,26 424,26 500,00 360,56

7,21 10,00 12,00 5,66 5,66 6,67 7,21

14721,02 39269,91 67858,40 10674,68 10674,68 17470,75 14721,02 175390,46

-63,90 -30,56 0,00 -77,75 -77,75 -69,10 -63,90 -51,07

33

67,858

Volume de Aço (cm³)

70000

56,549

60000

56,549 47,983

50000

40,778 40000

47,983

40,778

39,270

30000 20000

17,471

14,721

10,675

14,721

10,675

10000 0 AB

AE

BC

BE

EC

ED

CD

Barras da Treliça V Inicial (cm³)

V Final (cm³)

Figura 4.1 – Volume das barras pré e pós processo de otimização dimensional.

Através dos resultados apresentados é possível identificar uma redução de 51,07% no volume de aço após o processo de otimização do diâmetro das barras. A barra BC permaneceu com o seu volume constante, já que a mesma foi utilizada com parâmetro inicial para dimensionamento, como apresentado no item 3.1.1 deste trabalho.

O Apêndice B

apresenta os cálculos realizados para a treliça, bem como o relatório de resposta de otimização gerado pela ferramenta Solver. É importante ressaltar que primeiramente foi apenas considerado a otimização do diâmetro das barras, sendo que o comprimento das mesmas permaneceu inalterado durante o processo.

4.1.2. Processo Simultâneo - Otimização Dimensional e de Forma A Tab. 4.2 apresenta o volume das barras da treliça antes e após o processo de otimização simultâneo do diâmetro das barras e mudança da posição dos nós, bem como a diferença percentual de volume das barras entre as duas situações. Já a Fig. 4.2, apresenta graficamente o volume inicial e final de cada barra da treliça:

34

Tabela 4.2 – Volume das barras da treliça pré e pós-otimização de forma e dimensional simultaneamente L Inicial ϕ Inicial Barra (cm) (cm)

V Inicial (cm³)

L Final (cm)

ϕ Final (cm)

V Final (cm³)

Diferença entre V Inicial e V Final (%)

AB AE BC BE EC ED

360,56 500,00 600,00 424,26 424,26 500,00

12,00 12,00 12,00 12,00 12,00 12,00

40778,38 56548,67 67858,40 47982,68 47982,68 56548,67

367,42 499,44 333,16 226,40 227,42 500,56

7,78 6,66 7,75 3,02 3,03 6,67

17485,14 17395,19 15729,54 1620,26 1642,21 17511,51

-57,12 -69,24 -76,82 -96,62 -96,58 -69,03

CD

360,56 TOTAL

12,00

40778,38 358477,84

367,17

7,34

15550,56 86934,42

-61,87 -75,75

67,858

Volume de Aço (cm³)

70000 56,549

60000

56,549 47,983

50000

47,983

40,778

40,778

40000 30000 20000

17,485

17,395

17,512 15,551

15,730

10000

1,620

1,642

0 AB

AE

BC

BE

EC

ED

CD

Barras da Treliça V Inicial (cm³)

V Final (cm³)

Figura 4.2 - Volume das barras pré e pós processo de otimização de forma e dimensional simultaneamente.

Os resultados mostram uma redução de 75,75% no volume de aço após o processo de otimização dimensional e de forma, comparado com o volume inicial das barras. O Apêndice B apresenta o relatório de resposta gerado pela ferramenta Solver, assim como os cálculos realizados para dimensionamento da treliça. A Fig. 4.3 apresenta a configuração inicial e final da treliça pré e pós o processo de otimização estrutural. 35

Figura 4.3 – Comparação entre: a) Configuração Inicial e b) Configuração Final.

Tanto o processo inicial que visava apenas modificação do diâmetro das barras da treliça, quanto o processo após inclusão da mudança da posição dos nós apresentaram resultados bastantes satisfatórios. É possível notar que após a mudança da posição dos nós, duas barras (AB e CD) das setes presentes na treliça tiveram aumento no diâmetro em relação ao processo de otimização dimensional. E este aumento foi suprido pela redução no comprimento das barras, resultando em um menor volume de aço em todas as barras. Nota-se que o percentual de 75,75% de redução no consumo de aço foi encontrado com maior facilidade devido não existência de restrições que limitassem a altura mínima da treliça, restrições estéticas ou condições relacionadas a padronização do diâmetro das barras. O processo de otimização atendeu todos os requisitos de dimensionamento e segurança da NBR 8800 (ABNT, 2008), como apresentado no Apêndice B.

36

4.2. Caso 2 – Treliça de um Pavilhão 4.2.1. Otimização Dimensional e de Forma com Barras Circulares A Tab. 4.3 apresenta o diâmetro e volume das barras da treliça com barras circulares, antes e depois do processo de otimização, bem como a diferença percentual de volume das barras entre as duas situações analisadas. Em virtude do grande número de barras na treliça (81), a Fig. 4.4 mostra graficamente o volume inicial e final das barras com maior variação de volume. Tabela 4.3 – Volume das barras da treliça pré e pós-otimização com seção circular.

Barra

Diferença entre L Inicial ϕ Inicial V Inicial L Final ϕ Final V Final V Inicial e V Final (cm) (cm) (cm³) (cm) (cm) (cm³) (%)

AB=op AC=np AD=no Bd=mo CD=mn CE=km DE=kn

80.00 100.00 132.55 100.24 87.00 100.00 132.55

3.50 3.50 3.50 3.50 3.50 3.50 3.50

1539.38 1924.23 2550.52 1928.93 1674.08 1924.23 2550.52

80.00 72.53 111.79 72.70 85.08 87.28 121.89

1.60 1.25 2.43 1.45 1.31 1.16 1.63

321.70 176.90 1035.70 241.46 230.97 185.69 505.66

-79.10 -90.81 -59.39 -87.48 -86.20 -90.35 -80.17

DF=nl EF=lk EG=ik EH=kj FH=jl GH=ij GI=gi HI=gj HJ=hj JI=hg

100.24 94.00 100.00 142.13 100.24 101.00 100.00 142.13 100.24 108.00

3.50 3.50 3.50 3.50 3.50 3.50 3.50 3.50 3.50 3.50

1928.93 1808.77 1924.23 2734.91 1928.93 1943.47 1924.23 2734.91 1928.93 2078.16

87.50 91.19 80.20 125.71 80.39 96.80 105.39 143.10 105.65 104.18

2.31 1.82 1.44 2.51 2.21 1.29 1.44 1.91 2.87 2.08

732.35 476.40 261.98 1248.09 618.28 253.30 344.27 818.27 1366.90 710.40

-62.03 -73.66 -86.39 -54.36 -67.95 -86.97 -82.11 -70.08 -29.14 -65.82

JL=fh IL=gf IK=eg KL=ef KM=le

100.24 152.40 100.00 115.00 100.00

3.50 3.50 3.50 3.50 3.50

1928.93 2932.47 1924.23 2212.86 1924.23

88.13 141.07 87.91 110.33 122.19

2.62 2.82 1.69 1.47 1.69

951.10 1763.99 393.06 375.05 546.36

-50.69 -39.85 -79.57 -83.05 -71.61

ML=cf MO=ab MP=bc

152.40 100.00 163.22

3.50 3.50 3.50

2932.47 1924.23 3140.73

164.63 92.45 155.76

2.20 1.81 3.12

1246.11 476.86 2374.39

-57.51 -75.22 -24.40 37

MN=cd

122.00

3.50

2347.56

118.88

2.38

1055.75

-55.03

NL=df NP=db PO=ab PR=Zb PQ=Yb OQ=Ay RT=XZ QR=ZY QT=YX QS=WY

100.24 100.24 129.00 100.24 163.22 100.00 100.24 136.00 174.50 100.00

3.50 3.50 3.50 3.50 3.50 3.50 3.50 3.50 3.50 3.50

1928.93 1928.93 2482.25 1928.93 3140.73 1924.23 1928.93 2616.95 3357.70 1924.23

122.49 92.68 125.36 104.34 162.94 104.09 136.13 132.64 196.59 135.80

3.22 2.80 1.67 3.02 3.26 1.81 3.45 2.65 2.62 1.81

2000.84 1145.33 550.09 1491.51 2717.97 536.89 2538.64 1466.32 2121.65 699.32

3.73 -40.62 -77.84 -22.68 -13.46 -72.10 31.61 -43.97 -36.81 -63.66

TV=VX TS=WX TU=VX

100.24 143.00 174.50

3.50 3.50 3.50

1928.93 2751.64 3357.70

112.44 142.15 181.07

3.13 1.90 3.62

1728.45 802.09 3730.23

-10.39 -70.85 11.09

SU=UW VU

100.00 150.00

3.50 3.50

1924.23 1443.17

112.16 150.00

1.81 2.00

577.61 471.24

-69.98 -67.35

41289.17

-54.56

TOTAL

90862.5617

Volume de Aço (cm³)

4000

3,730 3,358

3000 2,539 2000

1,924

1,924

1,943 1,929

1,924

2,001 1,929

1000 177

186

262

253

0 AC=np CE=km

EG=ik

GH=ij

NL=df

RT=XZ

TU=VX

Barras da Treliça

V Inicial (cm³)

V Final (cm³)

Figura 4.4 - Volume das barras pré e pós processo de otimização com seção circular.

38

Os resultados apresentados mostram uma redução de 54,56% no volume de aço após o processo de otimização das barras. Mesmo com uma redução de 54,56% no volume total de aço, algumas barras tiveram o seu volume aumentado. É o caso das barras NL, df, RT, XZ, TU e VX, que após o processamento apresentaram de 7,73% a 31,61% de aumento no seu volume. O Apêndice D apresenta os cálculos realizados para a treliça, bem como o relatório de resposta de otimização gerado pela ferramenta Solver. É importante lembrar que todo o processo de otimização foi realizado de forma simultânea, ou seja, o diâmetro das barras e a mudança da posição dos nós ocorrerem ao mesmo tempo. A Fig. 4.5 apresenta a configuração inicial e final da treliça pré e pós o processo de otimização estrutural.

Figura 4.5 - Comparação entre: a) Configuração Inicial e b) Configuração Final.

4.2.2. Otimização Dimensional e de Forma com Perfil U A Tab. 4.4 apresenta a área e volume das barras da treliça com perfil tipo U, antes e depois do processo de otimização, bem como a diferença percentual de volume das barras entre as duas situações analisadas. A Fig. 4.6 mostra graficamente o volume inicial e final das com maior variação de volume.

39

Tabela 4.4 – Volume das barras da treliça pré e pós-otimização com perfil U.

Barra

L Inicial A Inicial (cm) (cm²)

V Inicial L Final A Final (cm³) (cm) (cm²)

V Final (cm³)

Diferença entre V Inicial e V Final (%)

AB=op AC=np AD=no Bd=mo CD=mn CE=km DE=kn

80.00 100.00 132.55 100.24 87.00 100.00 132.55

7.78 7.78 7.78 7.78 7.78 7.78 7.78

1244.80 1556.00 2062.45 1559.81 1353.72 1556.00 2062.45

80.00 64.25 106.15 64.41 84.50 35.44 91.63

7.78 7.78 7.78 7.78 7.78 7.78 7.78

1244.80 999.76 1651.72 1002.21 1314.78 551.44 1425.74

0.00 -35.75 -19.91 -35.75 -2.88 -64.56 -30.87

DF=nl EF=lk EG=ik EH=kj FH=jl GH=ij GI=gi HI=gj HJ=hj JI=hg

100.24 94.00 100.00 142.13 100.24 101.00 100.00 142.13 100.24 108.00

7.78 7.78 7.78 7.78 7.78 7.78 7.78 7.78 7.78 7.78

1559.81 1462.64 1556.00 2211.55 1559.81 1571.56 1556.00 2211.55 1559.81 1680.48

35.53 86.98 71.80 116.71 71.98 92.00 96.02 132.98 96.26 98.73

7.78 7.78 7.78 7.78 7.78 7.78 7.78 7.78 7.78 7.78

552.79 1353.38 1117.27 1815.97 1120.01 1431.59 1494.09 2069.24 1497.74 1536.18

-64.56 -7.47 -28.20 -17.89 -28.20 -8.91 -3.98 -6.43 -3.98 -8.59

JL=fh IL=gf IK=eg KL=ef KM=le ML=cf MO=ab MP=bc MN=cd NL=df

100.24 152.40 100.00 115.00 100.00 152.40 100.00 163.22 122.00 100.24

7.78 7.78 7.78 7.78 7.78 7.78 7.78 7.78 7.78 7.78

1559.81 2371.31 1556.00 1789.40 1556.00 2371.31 1556.00 2539.71 1898.32 1559.81

143.28 179.59 142.93 108.73 114.41 157.84 107.78 164.51 116.74 114.69

7.78 7.78 7.78 7.78 7.78 7.78 7.78 7.78 7.78 7.78

2229.51 2794.44 2224.07 1691.86 1780.26 2455.96 1677.12 2559.81 1816.48 1784.61

42.93 17.84 42.93 -5.45 14.41 3.57 7.78 0.79 -4.31 14.41

NP=db PO=ab PR=Zb PQ=Yb OQ=Ay RT=XZ QR=ZY QT=YX

100.24 129.00 100.24 163.22 100.00 100.24 136.00 174.50

7.78 7.78 7.78 7.78 7.78 7.78 7.78 7.78

1559.81 2007.24 1559.81 2539.71 1556.00 1559.81 2116.16 2715.16

108.05 124.29 85.11 150.52 84.91 132.06 130.23 191.84

7.78 7.78 7.78 7.78 7.78 7.78 7.78 7.78

1681.23 1933.88 1324.36 2342.06 1321.12 2054.86 2026.36 2984.98

7.78 -3.65 -15.09 -7.78 -15.09 31.74 -4.24 9.94 40

QS=WY

100.00

7.78

1556.00

131.74

7.78

2049.85

31.74

TV=VX TS=WX TU=VX SU=UW VU

100.24 143.00 174.50 100.00 150.00 TOTAL

7.78 7.78 7.78 7.78 7.78

1559.81 2225.08 2715.16 1556.00 2334.00 74641.83

151.08 139.45 205.33 150.71 150.00

7.78 7.78 7.78 7.78 7.78

2350.76 2169.85 3194.90 2345.02 2334.00 73306.07

50.71 -2.48 17.67 50.71 0.00 -1.79

Volume de Aço (cm³)

3000 2,230

2,062

2,224

2,351

2,345

2000 1,560 1,426

1,556

1,560

1,556

1,560

1,556

1000 553

551

0 CE=km

DE=kn

DF=nl

JL=fh

IK=eg

TV=VX SU=UW

Barras da Treliça V Inicial (cm³)

V Final (cm³)

Figura 4.6 - Volume das barras pré e pós processo de otimização com perfil U.

Os resultados apresentados mostram uma redução de apenas 1,79% no volume de aço após o processo de otimização com o perfil de tipo U. Esta pequena redução ocorreu devido a utilização do menor perfil disponível no catálogo, uma vez que este já era o perfil ótimo para o carregamento em questão. Sendo assim, apenas a otimização de forma ocorreu através da mudança da posição dos nós, como mostra a Fig. 4.7. Desta forma, no item 4.2.3 é apresenta a treliça estudada com um acréscimo de carga vertical, para que o processo de otimização dimensional também ocorresse, utilizando o mesmo perfil.

41

Figura 4.7 - Comparação entre: a) Configuração Inicial e b) Configuração Final.

4.2.3. Otimização Dimensional e de Forma com Perfil U com Carga Adicional. A Tab. 4.5 apresenta a área e volume das barras da treliça com perfil tipo U acrescida de uma carga vertical, antes e depois do processo de otimização, bem como a diferença percentual de volume das barras entre as duas situações analisadas. A Fig. 4.8 mostra graficamente o volume inicial e final das sete barras com maior variação de volume. Tabela 4.5 – Volume das barras da treliça pré e pós processo de otimização com o perfil U com carga adicional.

Barra

L Inicial A Inicial V Inicial L Final A Final (cm) (cm) (cm³) (cm) (cm)

V Final (cm³)

Diferença entre V Inicial e V Final (%)

AB=op AC=np

80.00 100.00

9.48 9.48

1516.80 1896.00

80.00 50.58

7.78 7.78

1244.80 787.04

-17.93 -58.49

AD=no Bd=mo CD=mn CE=km DE=kn DF=nl EF=lk EG=ik

132.55 100.24 87.00 100.00 132.55 100.24 94.00 100.00

9.48 9.48 9.48 9.48 9.48 9.48 9.48 9.48

2513.11 1900.64 1649.52 1896.00 2513.11 1900.64 1782.24 1896.00

97.66 50.70 83.54 82.14 117.16 82.34 89.29 148.99

7.78 7.78 7.78 7.78 7.78 7.78 7.78 7.78

1519.59 788.96 1299.89 1278.05 1822.95 1281.18 1389.36 2318.24

-39.53 -58.49 -21.20 -32.59 -27.46 -32.59 -22.04 +22.27 42

EH=kj

142.13

9.48

2694.79

179.28

7.78

2789.59

+3.52

FH=jl GH=ij GI=gi HI=gj HJ=hj JI=hg JL=fh IL=gf IK=eg KL=ef

100.24 101.00 100.00 142.13 100.24 108.00 100.24 152.40 100.00 115.00

9.48 9.48 9.48 9.48 9.48 9.48 9.48 9.48 9.48 9.48

1900.64 1914.96 1896.00 2694.79 1900.64 2047.68 1900.64 2889.46 1896.00 2180.40

149.35 99.72 114.20 151.61 114.48 107.71 114.48 162.57 114.20 115.71

7.78 7.78 7.78 7.78 7.78 7.78 7.78 7.78 7.78 7.78

2323.92 1551.63 1776.90 2359.01 1781.25 1676.02 1781.25 2529.59 1776.90 1800.40

+22.27 -18.97 -6.28 -12.46 -6.28 -18.15 -6.28 -12.45 -6.28 -17.43

KM=le ML=cf MO=ab

100.00 152.40 100.00

9.48 9.48 9.48

1896.00 2889.46 1896.00

101.94 154.21 101.94

7.78 7.78 7.78

1586.21 2399.48 1586.21

-16.34 -16.96 -16.34

MP=bc MN=cd NL=df NP=db PO=ab PR=Zb

163.22 122.00 100.24 100.24 129.00 100.24

9.48 9.48 9.48 9.48 9.48 9.48

3094.66 2313.12 1900.64 1900.64 2445.84 1900.64

165.19 122.84 102.19 102.19 129.98 96.54

7.78 7.78 7.78 7.78 7.78 7.78

2570.30 1911.43 1590.10 1590.10 2022.47 1502.15

-16.94 -17.37 -16.34 -16.34 -17.31 -20.97

PQ=Yb OQ=Ay RT=XZ QR=ZY QT=YX QS=WY TV=VX TS=WX TU=VX SU=UW

163.22 100.00 100.24 136.00 174.50 100.00 100.24 143.00 174.50 100.00

9.48 9.48 9.48 9.48 9.48 9.48 9.48 9.48 9.48 9.48

3094.66 1896.00 1900.64 2578.56 3308.45 1896.00 1900.64 2711.28 3308.45 1896.00

161.77 96.30 96.54 136.72 172.79 96.30 93.64 143.46 171.19 93.41

7.78 7.78 7.78 7.78 7.78 7.78 7.78 7.78 7.78 7.78

2517.11 1498.48 1502.15 2127.36 2688.57 1498.48 1457.04 2232.26 2663.75 1453.48

-18.66 -20.97 -20.97 -17.50 -18.74 -20.97 -23.34 -17.67 -19.49 -23.34

VU

150.00 TOTAL

9.48

2844.00 150.00 90951.744

7.78

2334.00 74607.64

-17.93 -17.97

43

Volume de Aço (cm³)

3000 2000

1,901

1,896

787

1000

2,318 2,324 1,901 1,901 1,896 1,901 1,896 1,457 1,278 1,281

789

0 AC=np Bd=mo CE=km

DF=nl

EG=ik

FH=jl

TV=VX

Barras da Treliça V Inicial (cm³)

V Final (cm³)

Figura 4.8 - Volume das barras da treliça pré e pós processo de otimização com o perfil do tipo U com carga adicional.

Os resultados apresentados mostram uma redução de 17,97% no volume de aço após o processo de otimização com perfil tipo U e carga vertical adicional. Diferente do que o ocorreu no item 4.2.2, o processo de otimização dimensional e de forma ocorreu com sucesso. Todas as barras que inicialmente possuíam o perfil U com peso nominal de 7,44 kg/m (área=9,48cm²) foram substituídas pelo perfil U com peso nominal de 6,10 kg/m (área=7,78 cm²). Isso só foi possível graças ao processo de otimização da forma. Entretanto, mesmo com a redução do volume total de aço, algumas barras tiveram seu volume aumentado. É caso das barras EG, ik, jl, EH, kj e FH que tiveram um aumento entre 3,52% e 22,27%. A Fig. 4.9 apresenta a comparação entre a estrutura inicial e a estrutura final, após o processamento com a ferramenta Solver.

Figura 4.9 - Comparação entre: a) Configuração Inicial e b) Configuração Final. 44

5.

CONCLUSÕES

No trabalho foi desenvolvido uma metodologia para otimização dimensional e de forma de treliças metálicas. A metodologia foi aplicada primeiramente em uma treliça simples e, em seguida em uma treliça real com maior complexibilidade. O processo de otimização foi realizado através da ferramenta Solver, junto a planilhas do Excel para que o processo fosse possível. Na ferramenta Solver utilizou-se o Método do Gradiente Reduzido Generalizado, aplicável a problemas simples não lineares. Os resultados obtidos mostram que a metodologia proposta é válida, obtendo resultados satisfatórios, tanto no processo de otimização dimensional, quanto no processo de otimização de forma, de treliças simples e de treliças com maior complexibilidade, confirmando a eficácia da ferramenta no processo de otimização estrutural, assim como apresentado por Maia (2009) e Argenta (2016). Nota-se que foi possível atender as condições de segurança definidas pela NBR 8800 (ABNT, 2008), que define as condições para dimensionamento de estruturas de aço no Brasil, através dos resultados apresentados no Apêndice B e Apêndice D, além de outras restrições impostas, na maioria das vezes, por questões arquitetônicas e estéticas. A ferramenta Solver mostrou-se eficaz na busca da solução ideal de um projeto estrutural, possibilitando economia de material e também de tempo no processo de concepção da estrutura como um todo. Visando a aplicação no ambiente prático, seria necessária uma avaliação mais criteriosa, considerado o custo envolvido no processo de fabricação e montagem da estrutura. De acordo com Argenta (2016), é importante enfatizar que a implantação de um sistema de otimização estrutural computadorizado em um ambiente de projeto traz grandes possibilidades de ganhos, não restringindo-se necessariamente à economia de materiais e redução de custos, pelo fato de ser possível modelar o problema conforme as necessidades do projeto, alterando-se função objetivo e restrições, sem, no entanto, alterar os princípios teóricos explorados neste trabalho

45

Como sugestão de continuidade ao trabalho propõem-se o melhoramento do modelo, com implementação de diferentes perfis, análise de diferentes estruturas treliçadas e uma melhor avaliação da redução do volume de aço, considerado o custo no processo de fabricação e montagem.

46

REFERÊNCIAS

ARGENTA, L. D. Otimização dimensional de vigas de concreto. Monografia (Graduação em Engenharia Civil) – Departamento de Engenharias e Ciência da Computação. URI, Rio Grande do Sul, 2016. BOTELHO, M, H, C. Resistência dos Materiais: para entender e gostar. 3a ed. ,2016 CAVALCANTE, J. P.B. Análise estática de treliça via modelagem numérica. Monografia (Graduação em Ciência e Tecnologia). RN, Angicos, 2011. CBCA. Centro Brasileiro da Construção de Aço. Rio de Janeiro: Home page https://pt.pdfcoke.com/document/211392301/Apostila-Modulo-4 Acesso em 17/11/2016. CORDEIRO, M. F. Uma técnica para otimização estrutural mediante a derivada topológica. Dissertação (Mestrado em Engenharia Mecânica) – Coordenação dos programas de pós-graduação de Engenharia. UFRJ, Rio de Janeiro, 2007. COUTINHO, D. K. Método de otimização topológica em estruturas tridimensionais. Dissertação (Mestrado em Engenharia Mecânica) – Coordenação dos programas de pósgraduação de Engenharia. UFRN, Natal, 2006. DANTAS, O.D.; SILVA, E. M.; BARIONI, L. G.; OLIVEIRA, M. A. A.; LIMA, J. F. W. Comparação dos métodos GRG2 (Solver do Excel) e Downhill Simplex para a parametrização da função beta. In: XXXIX SIMPÓSIO BRASILEIRO DE PESQUISA OPERACIONAL, Fortaleza, 2012. DEATON, J. D.; GRANDHI, R. V. A survey of structural and multidisciplinary continuum topology optimization: post 2000. Structural and Multidisciplinary Optimization. 2013.

47

MAIA, J.P. R. Otimização estrutural: estudo e aplicações em problemas clássicos de vigas utilizando a ferramenta Solver. Dissertação (Mestrado em Engenharia de Estruturas) – Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil. USP, São Carlos, 2009. MELCONINA, S. Mecânica técnica e resistência dos materiais. 19a ed. ,2015 MUNDSTOCK, D.C. Otimização de forma utilizando o método dos elementos de contorno e cálculo de sensibilidade por variáveis complexas. Dissertação (Mestrado em Engenharia Mecânica) – Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica. UFRGS, Porto Alegre, 2006. NBR 6120: 1980: Cargas para o cálculo de estruturas de edificações. Rio de Janeiro, 1980. NBR 8800: 2008: Projeto de estruturas de aço e de estruturas mistas de aço e concreto de edifícios. Rio de Janeiro, 2008. PARKINSON, A. R.; BALLING, R. J., HEDENGREN, J. D. Optimization Methods for Engineering Design: Applications and Theory. Notas de aula - Bringham Young University, 2013. PFEIL, W. Estruturas de Aço – Dimensionamento Prático de Acordo com a NBR 8800:2008. 8a ed. Rio de Janeiro ,2012 PINHEIRO, A,C,F. Estruturas Metálicas – Cálculos, detalhes, exercícios e projetos. 2a ed. São Paulo, 2012 PINHO, F,A,X,C. Métodos de densidade em otimização de topologia aplicados a subsistemas de edifícios. Dissertação (Mestrado em Engenharia Civil) – Programa de PósGraduação em Engenharia Civil. UFG, Goiânia, 2015. SACOMAN, M.A.R. Otimização de projetos utilizando GRG, Solver e Excel. UNESP, São Paulo, 2012. SILVA, F.E.C. Otimização dimensional, de forma e topológica de estruturas treliçadas utilizando um algoritmo híbrido. Dissertação (Mestrado em Engenharia Mecânica) – Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica. UFPR, Curitiba, 2015.

48

APÊNDICES

49

APÊNDICE A – COMBINAÇÕES DE AÇÕES E CARREGAMENTOS – CASO 1

Carregamentos presentes na treliça NÓ A DIREÇÃO Y: Cargas Permanentes Peso Próprio

5,52 KN

Proposta pelo Exercício

0,00 KN

1,25.5,52+1,5*0

6,90 KN

Peso Próprio

5,52 KN

Proposta pelo Exercício

20,00 KN

1,25.5,52+1,5*20

36,90 KN

Peso Próprio

5,52 KN

Cargas Variáveis Combinação normal de ações NÓ B DIREÇÃO Y: Cargas Permanentes

Cargas Variáveis Combinação normal de ações NÓ C DIREÇÃO Y: Cargas Permanentes

Cargas Variáveis Proposta pelo Exercício

30 KN

Combinação normal de ações 1,25.5,52+1,5*30

51,90 KN

Peso Próprio

0,00 KN

Proposta pelo Exercício

50,00 KN

1,25.0+1,5*50

75,00 KN

NÓ C DIREÇÃO X: Cargas Permanentes

Cargas Variáveis Combinação normal de ações

50

NÓ D DIREÇÃO Y: Cargas Permanentes Peso Próprio

5,52 KN

Proposta pelo Exercício

0,00 KN

1,25.5,52+1,5*0

6,90 KN

Peso Próprio

5,52 KN

Proposta pelo Exercício

40,00 KN

1,25.5,52+1,5*40

84,90 KN

Cargas Variáveis Combinação normal de ações NÓ E DIREÇÃO Y: Cargas Permanentes

Cargas Variáveis Combinação normal de ações

51

APÊNDICE B – RELATORIO DE RESPOSTAS E PLANILHA DE CALCULO – CASO 1

52

53

54

55

APÊNDICE C – COMBINAÇÕES DE AÇÕES E CARREGAMENTOS – CASO 2

Carregamentos Presentes na Treliça com Barras Circulares NÓ A, C, D, E, G, H, I, K, L, M, N, O, Q, R, S, T, U, Y, Z, W, X, o, m, n, k, i, j, g, e, f, d, c, a, DIREÇÃO Y: Cargas Permanentes Peso Próprio 0,086 KN

Combinação normal de ações 1,25.0,086+1,25*0

0,1075 KN

Peso Próprio Telhado

0,086 KN 2,086 KN

Acidental

1,000 KN

1,25.0,086+1,25*2,086+1,25*1

3,965 KN

Peso Próprio Telhado

0,086 KN 4,172 KN

Acidental

2,000 KN

1,25.0,086+1,25*4,172+1,25*2

7,823 KN

NÓ B, F, J, P, p, l, h, b DIREÇÃO Y: Cargas Permanentes

Cargas Variáveis

Combinação normal de ações

NÓ V DIREÇÃO Y: Cargas Permanentes

Cargas Variáveis

Combinação normal de ações

56

Carregamentos Presentes na Treliça com Perfil do Tipo U NÓ A, C, D, E, G, H, I, K, L, M, N, O, Q, R, S, T, U, Y, Z, W, X, o, m, n, k, i, j, g, e, f, d, c, a, DIREÇÃO Y: Cargas Permanentes Peso Próprio 0,071 KN

Combinação normal de ações 1,25.0,071+1,25*0

0,089 KN

Peso Próprio Telhado

0,071 KN 2,086 KN

Acidental

1,000 KN

1,25.0,071+1,25*2,086+1,25*1

3,946 KN

Peso Próprio Telhado

0,071 KN 4,172 KN

Acidental

2,000 KN

1,25.0,071+1,25*4,172+1,25*2

7,804 KN

NÓ B, F, J, P, p, l, h, b DIREÇÃO Y: Cargas Permanentes

Carga Variáveis Combinação normal de ações

NÓ V DIREÇÃO Y: Cargas Permanentes

Carga Variáveis Combinação normal de ações

57

Carregamentos Presentes na Treliça com Perfil do Tipo U com Carga Adicional NÓ A, C, D, E, G, H, I, K, L, M, N, O, Q, R, S, T, U, Y, Z, W, X, o, m, n, k, i, j, g, e, f, d, c, a, DIREÇÃO Y: Cargas Permanentes Peso Próprio 0,086 KN

Combinação normal de ações 1,25.0,086+1,5*0

0,108 KN

Peso Próprio Telhado

0,086 KN 2,086 KN

Acidental

1,000 KN

1,25.0,086+1,25*2,086+1,5*1

3,966 KN

Peso Próprio Adicional

0,086 KN 20,00 KN

1,25.0,086+1,25*20

25,108 KN

Peso Próprio Telhado

0,086 KN 4,172 KN

Acidental

2,000 KN

1,25.0,071+1,25*4,172+1,25*2

7,823 KN

NÓ B, F, J, P, p, l, h, b DIREÇÃO Y: Cargas Permanentes

Carga Variáveis Combinação normal de ações

NÓ U DIREÇÃO Y: Cargas Permanentes

Combinação normal de ações NÓ V DIREÇÃO Y: Cargas Permanentes

Carga Variáveis Combinação normal de ações

58

APÊNDICE D – RELATORIO DE RESPOSTAS E PLANILHA DE CALCULOS – CASO 2 Microsoft Excel 15.0 Relatório de Respostas Planilha: [OTIMIZAÇAO SOLVER BARRAS CIRCULARES PROCESSADO - PFC-II.xlsx]PFC II Relatório Criado: 5/17/2017 3:08:57 PM Resultado: O Solver fez uma convergência para a solução atual. Todas as Restrições foram satisfeitas. Mecanismo do Solver Mecanismo: GRG Não Linear Tempo da Solução: 18.484 Segundos. Iterações: 96 Subproblemas: 0 Opções do Solver Tempo Máx. Ilimitado, Iterações Ilimitado, Precision 0.00000000001 Convergência 0.000000000001, Tamanho da População 1000, Propagação Aleatória 0, Central de Derivativos Subproblemas Máx. Ilimitado, Soluç. Máx. Núm. Inteiro Ilimitado, Tolerância de Número Inteiro 1%, Assumir Não Negativo Célula do Objetivo (Mín.) Célula Nome Valor Original $E$80 VOLUME TOTAL V (cm³) 90862.56

Célula $C$39 $C$40 $C$41 $C$42 $C$43 $C$44 $C$45 $C$46 $C$47 $C$48 $C$49 $C$50 $C$51 $C$52 $C$53 $C$54 $C$55 $C$56 $C$57 $C$58 $C$59 $C$60 $C$61 $C$62 $C$63 $C$64 $C$65 $C$66 $C$67 $C$68 $C$69 $C$70 $C$71 $C$72 $C$73

Nome AB=op d (cm) AC=np d (cm) AD=no d (cm) Bd=mo d (cm) CD=mn d (cm) CE=km d (cm) DE=kn d (cm) DF=nl d (cm) EF=lk d (cm) EG=ik d (cm) EH=kj d (cm) FH=jl d (cm) GH=ij d (cm) GI=gi d (cm) HI=gj d (cm) HJ=hj d (cm) JI=hg d (cm) JL=fh d (cm) IL=gf d (cm) IK=eg d (cm) KL=ef d (cm) KM=le d (cm) ML=cf d (cm) MO=ab d (cm) MP=bc d (cm) MN=cd d (cm) NL=df d (cm) NP=db d (cm) PO=ab d (cm) PR=Zb d (cm) PQ=Yb d (cm) OQ=Ay d (cm) RT=XZ d (cm) QR=ZY d (cm) QT=YX d (cm)

Células Variáveis Valor Original 3.50 3.50 3.50 3.50 3.50 3.50 3.50 3.50 3.50 3.50 3.50 3.50 3.50 3.50 3.50 3.50 3.50 3.50 3.50 3.50 3.50 3.50 3.50 3.50 3.50 3.50 3.50 3.50 3.50 3.50 3.50 3.50 3.50 3.50 3.50

Valor Final 41289.17

Valor Final 1.60 1.25 2.43 1.45 1.31 1.16 1.63 2.31 1.82 1.44 2.51 2.21 1.29 1.44 1.91 2.87 2.08 2.62 2.82 1.69 1.47 1.69 2.20 1.81 3.12 2.38 3.22 2.80 1.67 3.02 3.26 1.81 3.45 2.65 2.62

Número Inteiro Conting. Conting. Conting. Conting. Conting. Conting. Conting. Conting. Conting. Conting. Conting. Conting. Conting. Conting. Conting. Conting. Conting. Conting. Conting. Conting. Conting. Conting. Conting. Conting. Conting. Conting. Conting. Conting. Conting. Conting. Conting. Conting. Conting. Conting. Conting.

59

$C$74 $C$75 $C$76 $C$77 $C$78 $C$79 $B$16 $C$17 $B$18 $C$19 $B$20 $C$21 $B$22 $C$23 $B$24 $C$25 $B$26 $C$27 $B$28 $C$29 $B$30 $C$31 $B$32 $C$33 $C$35

QS=WY d (cm) TV=VX d (cm) TS=WX d (cm) TU=VX d (cm) SU=UW d (cm) VU d (cm) C=m Coord.X (m) D=n Coord.Y (m) E=k Coord.X (m) F=l Coord.Y (m) G=i Coord.X (m) H=j Coord.Y (m) I=g Coord.X (m) J=h Coord.Y (m) K=e Coord.X (m) L=f Coord.Y (m) M=d Coord.X (m) N=c Coord.Y (m) O=a Coord.X (m) P=b Coord.Y (m) Q=Y Coord.X (m) R=Z Coord.Y (m) S=W Coord.X (m) T=X Coord.Y (m) V Coord.Y (m)

Célula $B$100 $B$110 $B$101 $B$117 $B$113 $B$108 $B$120 $B$111 $B$107 $B$84 $B$85 $B$118 $B$112 $B$109 $B$119 $B$116 $B$114 $B$106 $B$91 $B$92 $B$93 $B$121 $B$105 $B$94 $B$124 $B$122 $B$123 $B$115 $B$104 $B$96 $C$21 $B$95 $C$23 $B$98 $B$97 $C$31 $C$25

Nome JI=hg Nsd (KN) NL=df Nsd (KN) JL=fh Nsd (KN) QR=ZY Nsd (KN) PR=Zb Nsd (KN) MP=bc Nsd (KN) TV=VX Nsd (KN) NP=db Nsd (KN) MO=ab Nsd (KN) AB=op Nsd (KN) AC=np Nsd (KN) QT=YX Nsd (KN) PO=ab Nsd (KN) MN=cd Nsd (KN) QS=WY Nsd (KN) RT=XZ Nsd (KN) PQ=Yb Nsd (KN) ML=cf Nsd (KN) DF=nl Nsd (KN) EF=lk Nsd (KN) EG=ik Nsd (KN) TS=WX Nsd (KN) KM=le Nsd (KN) EH=kj Nsd (KN) VU Nsd (KN) TU=VX Nsd (KN) SU=UW Nsd (KN) OQ=Ay Nsd (KN) KL=ef Nsd (KN) GH=ij Nsd (KN) H=j Coord.Y (m) FH=jl Nsd (KN) J=h Coord.Y (m) HI=gj Nsd (KN) GI=gi Nsd (KN) R=Z Coord.Y (m) L=f Coord.Y (m)

3.50 3.50 3.50 3.50 3.50 3.50 1.000 0.870 2.000 0.940 3.000 1.010 4.000 1.080 5.000 1.150 6.000 1.220 7.000 1.290 8.000 1.360 9.000 1.430 1.500

1.81 3.13 1.90 3.62 1.81 2.00 0.725 0.851 1.598 0.912 2.400 0.968 3.454 1.042 4.333 1.103 5.555 1.189 6.479 1.254 7.520 1.326 8.878 1.421 1.500

Restrições Valor da Célula Fórmula -3.91 $B$100>=$D$100 -55.67 $B$110>=$D$110 -46.96 $B$101>=$D$101 -0.05 $B$117>=$D$117 -58.76 $B$113>=$D$113 -5.18 $B$108>=$D$108 -58.52 $B$120>=$D$120 -55.67 $B$111>=$D$111 58.61 $B$107<=$D$107 -3.91 $B$84>=$D$84 13.95 $B$85<=$D$85 0.14 $B$118<=$D$118 0.05 $B$112<=$D$112 -0.05 $B$109>=$D$109 58.52 $B$119<=$D$119 -58.76 $B$116>=$D$116 0.00 $B$114>=$D$114 6.37 $B$106<=$D$106 -28.65 $B$91>=$D$91 -3.91 $B$92>=$D$92 37.12 $B$93<=$D$93 0.05 $B$121<=$D$121 50.81 $B$105<=$D$105 -13.39 $B$94>=$D$94 0.41 $B$124<=$D$124 -0.23 $B$122>=$D$122 58.52 $B$123<=$D$123 58.61 $B$115<=$D$115 0.05 $B$104<=$D$104 0.05 $B$96<=$D$96 0.968 $C$21<=$C$23 -28.65 $B$95>=$D$95 1.042 $C$23<=$C$25 13.20 $B$98<=$D$98 37.12 $B$97<=$D$97 1.326 $C$31<=$C$33 1.103 $C$25<=$C$27

Conting. Conting. Conting. Conting. Conting. Conting. Conting. Conting. Conting. Conting. Conting. Conting. Conting. Conting. Conting. Conting. Conting. Conting. Conting. Conting. Conting. Conting. Conting. Conting. Conting.

Status Margem de Atraso Não-associação 9.51 Associação 0.00 Associação 0.00 Não-associação 21.70 Associação 0.00 Não-associação 24.81 Associação 0.00 Associação 0.00 Associação 0 Não-associação 4.00 Não-associação 13.76953259 Não-associação 122.504243 Não-associação 49.81731707 Não-associação 17.42 Associação 0 Associação 0.00 Não-associação 32.81 Não-associação 79.64096232 Associação 0.00 Não-associação 6.37 Associação 0 Não-associação 64.0717487 Associação 0 Não-associação 6.15 Não-associação 70.99106449 Não-associação 40.30 Associação 0 Associação 0 Não-associação 38.57981612 Não-associação 29.68601041 Não-associação 0.073771939 Associação 0.00 Não-associação 0.061536971 Não-associação 51.77757893 Associação 0 Não-associação 0.095058334 Não-associação 0.08553582

60

$B$86 $B$90 $B$89 $B$102 $F$110 $F$101 $F$103 $C$33 $F$100 $C$19 $F$111 $F$104 $F$106 $F$105 $F$102 $F$119 $F$112 $F$123 $F$121 $B$99 $F$88 $F$89 $F$84 $F$91 $F$122 $F$85 $F$90 $F$95 $F$117 $F$113 $F$107 $F$114 $F$109 $C$29 $I$31 $I$28 $I$26 $I$24 $F$86 $F$116 $F$115 $F$108 $F$118 $C$27 $F$93 $F$92 $F$94 $F$87 $F$97 $F$120 $F$124 $C$17 $F$99 $F$98 $I$14 $F$96 $I$16 $I$14 $I$20 $I$19 $B$103 $I$23 $B$16 $C$35

AD=no Nsd (KN) DE=kn Nsd (KN) CE=km Nsd (KN) IL=gf Nsd (KN) SEGURO Esbeltez SEGURO Esbeltez SEGURO Esbeltez T=X Coord.Y (m) SEGURO Esbeltez F=l Coord.Y (m) SEGURO Esbeltez SEGURO Esbeltez SEGURO Esbeltez SEGURO Esbeltez SEGURO Esbeltez SEGURO Esbeltez SEGURO Esbeltez SEGURO Esbeltez SEGURO Esbeltez HJ=hj Nsd (KN) SEGURO Esbeltez SEGURO Esbeltez SEGURO Esbeltez SEGURO Esbeltez SEGURO Esbeltez SEGURO Esbeltez SEGURO Esbeltez SEGURO Esbeltez SEGURO Esbeltez SEGURO Esbeltez SEGURO Esbeltez SEGURO Esbeltez SEGURO Esbeltez P=b Coord.Y (m) α18=α24 Ângulo α15=α26 Ângulo α13=α28 Ângulo α11=α30 Ângulo SEGURO Esbeltez SEGURO Esbeltez SEGURO Esbeltez SEGURO Esbeltez SEGURO Esbeltez N=c Coord.Y (m) SEGURO Esbeltez SEGURO Esbeltez SEGURO Esbeltez SEGURO Esbeltez SEGURO Esbeltez SEGURO Esbeltez SEGURO Esbeltez D=n Coord.Y (m) SEGURO Esbeltez SEGURO Esbeltez α1=α40 Ângulo SEGURO Esbeltez α3=α38 Ângulo α1=α40 Ângulo α7=α34 Ângulo α6=α36 Ângulo IK=eg Nsd (KN) α10=α32 Ângulo C=m Coord.X (m) V Coord.Y (m)

-21.50 20.43 13.95 -6.36 151.94 134.48 208.42 1.421 200.00 0.912 132.16 300.00 300.00 289.71 200.00 300.00 300.00 247.79 300.00 -46.96 258.86 300.00 200.00 151.62 200.00 232.80 300.00 145.33 200.00 138.36 204.08 200.00 200.00 1.254 4.00 4.00 4.00 4.00 184.13 158.03 229.77 200.00 300.00 1.189 222.45 200.00 200.00 200.00 292.32 143.77 300.00 0.851 147.24 300.00 4.00 300.00 4.00 4.00 4.00 4.00 50.81 4.00 0.725 1.500

$B$86>=$D$86 $B$90<=$D$90 $B$89<=$D$89 $B$102>=$D$102 $F$110<=$G$110 $F$101<=$G$101 $F$103<=$G$103 $C$33<=$C$35 $F$100<=$G$100 $C$19<=$C$21 $F$111<=$G$111 $F$104<=$G$104 $F$106<=$G$106 $F$105<=$G$105 $F$102<=$G$102 $F$119<=$G$119 $F$112<=$G$112 $F$123<=$G$123 $F$121<=$G$121 $B$99>=$D$99 $F$88<=$G$88 $F$89<=$G$89 $F$84<=$G$84 $F$91<=$G$91 $F$122<=$G$122 $F$85<=$G$85 $F$90<=$G$90 $F$95<=$G$95 $F$117<=$G$117 $F$113<=$G$113 $F$107<=$G$107 $F$114<=$G$114 $F$109<=$G$109 $C$29<=$C$31 $I$31=$I$32 $I$28=$I$31 $I$26=$I$28 $I$24=$I$26 $F$86<=$G$86 $F$116<=$G$116 $F$115<=$G$115 $F$108<=$G$108 $F$118<=$G$118 $C$27<=$C$29 $F$93<=$G$93 $F$92<=$G$92 $F$94<=$G$94 $F$87<=$G$87 $F$97<=$G$97 $F$120<=$G$120 $F$124<=$G$124 $C$17<=$C$19 $F$99<=$G$99 $F$98<=$G$98 $I$14=$I$16 $F$96<=$G$96 $I$16=$I$19 $I$14>=4 $I$20=$I$23 $I$19=$I$20 $B$103<=$D$103 $I$23=$I$24 $B$16>=0.1 $C$35>=1.5

Associação Não-associação Não-associação Não-associação Não-associação Não-associação Não-associação Não-associação Associação Não-associação Não-associação Associação Associação Não-associação Associação Associação Associação Não-associação Associação Associação Não-associação Associação Associação Não-associação Associação Não-associação Associação Não-associação Associação Não-associação Não-associação Associação Associação Não-associação Associação Associação Associação Associação Não-associação Não-associação Não-associação Associação Associação Não-associação Não-associação Associação Associação Associação Não-associação Não-associação Associação Não-associação Não-associação Associação Associação Associação Associação Não-associação Associação Associação Associação Associação Não-associação Associação

0.00 26.70923663 10.22672991 18.24 48.05690941 65.52064732 91.57718985 0.078515378 0 0.056138273 67.83669348 0 0 10.29422485 0 0 0 52.20885548 0 0.00 41.14365467 0 0 48.38432697 0 67.19557527 0 54.66799369 0 61.64175337 95.92458152 0 0 0.072862087 0 0 0 0 15.86583589 41.9664322 70.23472034 0 0 0.064715439 77.55219252 0 0 0 7.678825452 56.22969247 0 0.061097679 52.75751085 0 0 0 0 0.00 0 0 0 0 0.625 0.000

61

PROCESSO DE CALCULO E DIMENSIONAMENTO DA TRELIÇA - PARTE II - BARRAS CIRCULARES Aço ASTM (Parametros Iniciais) fu (KN/cm²) 40 fy (KN/cm²) 25 REAÇÕES E (Gpa) y (KN/m³) Ya1 Ya2 K ϱ

Nó

Coord.X (m)

Coord.Y (m)

A=o B=p C=m D=n E=k F=l G=i H=j I=g J=h K=e L=f M=d N=c O=a P=b Q=Y R=Z S=W T=X U V

0.000 0.000 0.725 0.725 1.598 1.598 2.400 2.400 3.454 3.454 4.333 4.333 5.555 5.555 6.479 6.479 7.520 7.520 8.878 8.878 10.000 10.000

0.000 0.800 0.000 0.851 0.000 0.912 0.000 0.968 0.000 1.042 0.000 1.103 0.000 1.189 0.000 1.254 0.000 1.326 0.000 1.421 0.000 1.500

BARRA AB=op AC=np AD=no Bd=mo CD=mn CE=km DE=kn DF=nl EF=lk EG=ik EH=kj FH=jl GH=ij GI=gi HI=gj HJ=hj JI=hg JL=fh IL=gf IK=eg KL=ef KM=le ML=cf MO=ab MP=bc MN=cd NL=df NP=db PO=ab PR=Zb PQ=Yb OQ=Ay RT=XZ QR=ZY QT=YX QS=WY TV=VX TS=WX TU=VX SU=UW VU

L (cm) 80.00 72.53 111.79 72.70 85.08 87.28 121.89 87.50 91.19 80.20 125.71 80.39 96.80 105.39 143.10 105.65 104.18 88.13 141.07 87.91 110.33 122.19 164.63 92.45 155.76 118.88 122.49 92.68 125.36 104.34 162.94 104.09 136.13 132.64 196.59 135.80 112.44 142.15 181.07 112.16 150.00

d (cm) 1.60 1.25 2.43 1.45 1.31 1.16 1.63 2.31 1.82 1.44 2.51 2.21 1.29 1.44 1.91 2.87 2.08 2.62 2.82 1.69 1.47 1.69 2.20 1.81 3.12 2.38 3.22 2.80 1.67 3.02 3.26 1.81 3.45 2.65 2.62 1.81 3.13 1.90 3.62 1.81 2.00 VOLUME TOTAL

Definição do Carregamento /Nó Carga Adic.Y P. Proprio Y (KN) (KN) 0.000 -0.039 -2.086 -0.039 0.000 -0.039 0.000 -0.039 0.000 -0.039 -2.086 -0.039 0.000 -0.039 0.000 -0.039 0.000 -0.039 -2.086 -0.039 0.000 -0.039 0.000 -0.039 0.000 -0.039 0.000 -0.039 0.000 -0.039 -2.086 -0.039 0.000 -0.039 0.000 -0.039 0.000 -0.039 0.000 -0.039 0.000 -0.039 -4.172 -0.039

A (cm²) 2.01 1.22 4.63 1.66 1.36 1.06 2.07 4.19 2.61 1.63 4.96 3.85 1.31 1.63 2.86 6.47 3.41 5.40 6.25 2.24 1.70 2.24 3.78 2.58 7.62 4.44 8.17 6.18 2.19 7.15 8.34 2.58 9.32 5.53 5.40 2.57 7.69 2.82 10.30 2.57 3.14

REAÇÃO AY (KN) REAÇÃO AX (KN) REAÇÃO OY (KN)

200 0.000077 1.1 1.35 1 1

V (cm³) 321.70 176.90 1035.70 241.46 230.97 185.69 505.66 732.35 476.40 261.98 1248.09 618.28 253.30 344.27 818.27 1366.90 710.40 951.10 1763.99 393.06 375.05 546.36 1246.11 476.86 2374.39 1055.75 2000.84 1145.33 550.09 1491.51 2717.97 536.89 2538.64 1466.32 2121.65 699.32 1728.45 802.09 3730.23 577.61 471.24 41289.17

20.32

0.00

20.32

Processo de Determinação de Angulos Acidental Y (KN) 0 -1 0 0 0 -1 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 -2

Carga Total Y (KN) -0.049 -3.907 -0.049 -0.049 -0.049 -3.907 -0.049 -0.049 -0.049 -3.907 -0.049 -0.049 -0.049 -0.049 -0.049 -3.907 -0.049 -0.049 -0.049 -0.049 -0.049 -7.764 -24.224

I (cm4) r (cm) 0.32 0.40 0.12 0.31 1.71 0.61 0.22 0.36 0.15 0.33 0.09 0.29 0.34 0.41 1.39 0.58 0.54 0.46 0.21 0.36 1.96 0.63 1.18 0.55 0.14 0.32 0.21 0.36 0.65 0.48 3.33 0.72 0.93 0.52 2.32 0.66 3.11 0.71 0.40 0.42 0.23 0.37 0.40 0.42 1.14 0.55 0.53 0.45 4.62 0.78 1.57 0.59 5.31 0.81 3.04 0.70 0.38 0.42 4.06 0.75 5.54 0.81 0.53 0.45 6.92 0.86 2.43 0.66 2.32 0.66 0.53 0.45 4.70 0.78 0.63 0.47 8.44 0.91 0.53 0.45 0.79 0.50 PESO PROPRIO TOTAL

α1=α40 α2=α39 α3=α38 α4=α37 α5=α35 α6=α36 α7=α34 α8=α33 α9=α31 α10=α32 α11=α30 α12=α29 α13=α28 α14=α27 α15=α26 α16=α25 α17=α23 α18=α24 α19=α22 α20=α21

Ângulo

Seno

Cosseno

4.00 49.55 4.00 44.27 50.36 4.00 4.00 42.57 51.45 4.00 4.00 42.08 4.00 53.59 4.00 50.30 46.31 4.00 4.00 51.72

0.07 0.76 0.07 0.70 0.77 0.07 0.07 0.68 0.78 0.07 0.07 0.67 0.07 0.80 0.07 0.77 0.72 0.07 0.07 0.79

1.00 0.65 1.00 0.72 0.64 1.00 1.00 0.74 0.62 1.00 1.00 0.74 1.00 0.59 1.00 0.64 0.69 1.00 1.00 0.62

P. Proprio (KN) -0.02 -0.01 -0.08 -0.02 -0.02 -0.01 -0.04 -0.06 -0.04 -0.02 -0.10 -0.05 -0.02 -0.03 -0.06 -0.11 -0.05 -0.07 -0.14 -0.03 -0.03 -0.04 -0.10 -0.04 -0.18 -0.08 -0.15 -0.09 -0.04 -0.11 -0.21 -0.04 -0.20 -0.11 -0.16 -0.05 -0.13 -0.06 -0.29 -0.04 -0.04 -3.18

62

BARRA AB=op AC=np AD=no Bd=mo CD=mn CE=km DE=kn DF=nl EF=lk EG=ik EH=kj FH=jl GH=ij GI=gi HI=gj HJ=hj JI=hg JL=fh IL=gf IK=eg KL=ef KM=le ML=cf MO=ab MP=bc MN=cd NL=df NP=db PO=ab PR=Zb PQ=Yb OQ=Ay RT=XZ QR=ZY QT=YX QS=WY TV=VX TS=WX TU=VX SU=UW VU

Nsd (KN) -3.91 13.95 -21.50 0.00 0.05 13.95 20.43 -28.65 -3.91 37.12 -13.39 -28.65 0.05 37.12 13.20 -46.96 -3.91 -46.96 -6.36 50.81 0.05 50.81 6.37 58.61 -5.18 -0.05 -55.67 -55.67 0.05 -58.76 0.00 58.61 -58.76 -0.05 0.14 58.52 -58.52 0.05 -0.23 58.52 0.41

SITUAÇÃO COMPRIMIDA TRACIONADA COMPRIMIDA COMPRIMIDA TRACIONADA TRACIONADA TRACIONADA COMPRIMIDA COMPRIMIDA TRACIONADA COMPRIMIDA COMPRIMIDA TRACIONADA TRACIONADA TRACIONADA COMPRIMIDA COMPRIMIDA COMPRIMIDA COMPRIMIDA TRACIONADA TRACIONADA TRACIONADA TRACIONADA TRACIONADA COMPRIMIDA COMPRIMIDA COMPRIMIDA COMPRIMIDA TRACIONADA COMPRIMIDA COMPRIMIDA TRACIONADA COMPRIMIDA COMPRIMIDA TRACIONADA TRACIONADA COMPRIMIDA TRACIONADA COMPRIMIDA TRACIONADA TRACIONADA

Processo de Dimensionamento e Verificação de Segurança Nrd (KN) Ver. Ruptura Esbeltez Esbel. Limite Ver. Esbeltez -7.91 SEGURO 200.00 200 OK 27.72 SEGURO 232.80 300 OK -21.50 SEGURO 184.13 200 OK -6.53 SEGURO 200.00 200 OK 30.85 SEGURO 258.86 300 OK 24.18 SEGURO 300.00 300 OK 47.14 SEGURO 300.00 300 OK -28.65 SEGURO 151.62 200 OK -10.28 SEGURO 200.00 200 OK 37.12 SEGURO 222.45 300 OK -19.53 SEGURO 200.00 200 OK -28.65 SEGURO 145.33 200 OK 29.74 SEGURO 300.00 300 OK 37.12 SEGURO 292.32 300 OK 64.98 SEGURO 300.00 300 OK -46.96 SEGURO 147.24 200 OK -13.41 SEGURO 200.00 200 OK -46.96 SEGURO 134.48 200 OK -24.60 SEGURO 200.00 200 OK 50.81 SEGURO 208.42 300 OK 38.63 SEGURO 300.00 300 OK 50.81 SEGURO 289.71 300 OK 86.01 SEGURO 300.00 300 OK 58.61 SEGURO 204.08 300 OK -29.99 SEGURO 200.00 200 OK -17.47 SEGURO 200.00 200 OK -55.67 SEGURO 151.94 200 OK -55.67 SEGURO 132.16 200 OK 49.87 SEGURO 300.00 300 OK -58.76 SEGURO 138.36 200 OK -32.81 SEGURO 200.00 200 OK 58.61 SEGURO 229.77 300 OK -58.76 SEGURO 158.03 200 OK -21.75 SEGURO 200.00 200 OK 122.64 SEGURO 300.00 300 OK 58.52 SEGURO 300.00 300 OK -58.52 SEGURO 143.77 200 OK 64.12 SEGURO 300.00 300 OK -40.53 SEGURO 200.00 200 OK 58.52 SEGURO 247.79 300 OK 71.40 SEGURO 300.00 300 OK

Nc (KN) 9.92 4.44 26.97 8.19 4.00 2.33 4.55 35.94 12.89 6.52 24.50 35.94 2.87 3.77 6.27 58.90 16.83 58.90 30.85 10.16 3.73 5.26 8.30 12.22 37.61 21.91 69.83 69.83 4.81 73.70 41.16 9.64 73.70 27.28 11.84 5.65 73.40 6.19 50.83 8.28 6.89

λo 2.25 2.62 2.07 2.25 2.91 3.38 3.38 1.71 2.25 2.50 2.25 1.64 3.38 3.29 3.38 1.66 2.25 1.51 2.25 2.35 3.38 3.26 3.38 2.30 2.25 2.25 1.71 1.49 3.38 1.56 2.25 2.59 1.78 2.25 3.38 3.38 1.62 3.38 2.25 2.79 3.38

χ 0.17 0.13 0.20 0.17 0.10 0.08 0.08 0.30 0.17 0.14 0.17 0.33 0.08 0.08 0.08 0.32 0.17 0.38 0.17 0.16 0.08 0.08 0.08 0.17 0.17 0.17 0.30 0.40 0.08 0.36 0.17 0.13 0.28 0.17 0.08 0.08 0.34 0.08 0.17 0.11 0.08

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Microsoft Excel 16.0 Relatório de Respostas Planilha: [OTIMIZAÇAO SOLVER BARRAS PERFIL U - PFC-II PROCESSADO SOLVER.xlsx]PFC II Relatório Criado: 5/15/2017 10:25:29 PM Resultado: O Solver fez uma convergência para a solução atual. Todas as Restrições foram satisfeitas. Mecanismo do Solver Mecanismo: GRG Não Linear Tempo da Solução: 3.297 Segundos. Iterações: 21 Subproblemas: 0 Opções do Solver Tempo Máx. Ilimitado, Iterações Ilimitado, Precision 0.000001 Convergência 0.0001, Tamanho da População 1000, Propagação Aleatória 0, Central de Derivativos Subproblemas Máx. Ilimitado, Soluç. Máx. Núm. Inteiro Ilimitado, Tolerância de Número Inteiro 1%, Assumir Não Negativo Célula do Objetivo (Mín.) Célula Nome Valor Original $E$80 VOLUME TOTAL Ix (cm4) 74641.83

Célula $B$16 $C$17 $B$18 $C$19 $B$20 $C$21 $B$22 $C$23 $B$24 $C$25 $B$26 $C$27 $B$28 $C$29 $B$30 $C$31 $B$32 $C$33 $C$35

Nome C=m Coord.X (m) D=n Coord.Y (m) E=k Coord.X (m) F=l Coord.Y (m) G=i Coord.X (m) H=j Coord.Y (m) I=g Coord.X (m) J=h Coord.Y (m) K=e Coord.X (m) L=f Coord.Y (m) M=d Coord.X (m) N=c Coord.Y (m) O=a Coord.X (m) P=b Coord.Y (m) Q=Y Coord.X (m) R=Z Coord.Y (m) S=W Coord.X (m) T=X Coord.Y (m) V Coord.Y (m)

Célula $I$14 $F$98 $I$20 $B$109 $B$100 $F$119 $F$97 $F$96 $F$94 $F$91 $C$29 $B$101 $F$114 $F$86 $I$24 $I$26 $I$28 $I$31 $I$19 $F$93 $F$95 $F$99 $I$14 $I$16 $B$117 $I$23 $B$110

Nome α1=α40 Ângulo SEGURO Esbeltez α7=α34 Ângulo MN=cd Nsd (KN) JI=hg Nsd (KN) SEGURO Esbeltez SEGURO Esbeltez SEGURO Esbeltez SEGURO Esbeltez SEGURO Esbeltez P=b Coord.Y (m) JL=fh Nsd (KN) SEGURO Esbeltez SEGURO Esbeltez α11=α30 Ângulo α13=α28 Ângulo α15=α26 Ângulo α18=α24 Ângulo α6=α36 Ângulo SEGURO Esbeltez SEGURO Esbeltez SEGURO Esbeltez α1=α40 Ângulo α3=α38 Ângulo QR=ZY Nsd (KN) α10=α32 Ângulo NL=df Nsd (KN)

Células Variáveis Valor Original 1.000 0.870 2.000 0.940 3.000 1.010 4.000 1.080 5.000 1.150 6.000 1.220 7.000 1.290 8.000 1.360 9.000 1.430 1.500

Valor Final 73306.07

Valor Final 0.643 0.845 0.997 0.870 1.715 0.920 2.675 0.987 4.105 1.087 5.249 1.167 6.326 1.243 7.176 1.302 8.493 1.395 1.500

Restrições Valor da Célula Fórmula 4.00 $I$14>=4 129.53 $F$98<=$G$98 4.00 $I$20=$I$23 -0.09 $B$109<=$D$109 -3.94 $B$100<=$D$100 128.32 $F$119<=$G$119 93.53 $F$97<=$G$97 89.62 $F$96<=$G$96 113.68 $F$94<=$G$94 34.60 $F$91<=$G$91 1.243 $C$29<=$C$31 -39.01 $B$101<=$D$101 146.61 $F$114<=$G$114 103.40 $F$86<=$G$86 4.00 $I$24=$I$26 4.00 $I$26=$I$28 4.00 $I$28=$I$31 4.00 $I$31=$I$32 4.00 $I$19=$I$20 69.94 $F$93<=$G$93 70.11 $F$95<=$G$95 93.76 $F$99<=$G$99 4.00 $I$14=$I$16 4.00 $I$16=$I$19 -0.09 $B$117<=$D$117 4.00 $I$23=$I$24 -51.98 $B$110<=$D$110

Número Inteiro Conting. Conting. Conting. Conting. Conting. Conting. Conting. Conting. Conting. Conting. Conting. Conting. Conting. Conting. Conting. Conting. Conting. Conting. Conting.

Status Margem de Atraso Não-associação 0.00 Não-associação 170.4659215 Associação 0 Não-associação 94.7778296 Não-associação 136.3439504 Não-associação 171.6799771 Não-associação 206.4704522 Não-associação 210.3824729 Não-associação 86.32031181 Não-associação 165.3955893 Não-associação 0.059433629 Não-associação 101.8652166 Não-associação 153.3871329 Não-associação 96.60247134 Associação 0 Associação 0 Associação 0 Associação 0 Associação 0 Não-associação 230.058808 Não-associação 129.8876615 Não-associação 106.2415848 Associação 0 Associação 0 Não-associação 76.17871034 Associação 0 Não-associação 150.0871242

64

$B$102 $F$90 $F$89 $F$122 $F$120 $F$117 $F$113 $F$88 $F$87 $F$92 $C$19 $F$124 $F$123 $F$108 $F$121 $F$115 $F$116 $F$112 $F$107 $F$110 $C$21 $F$100 $F$85 $F$84 $F$102 $F$118 $F$111 $F$109 $F$106 $F$105 $F$101 $F$104 $B$98 $F$103 $C$33 $C$31 $C$27 $C$17 $C$25 $C$23 $B$108 $B$103 $B$99 $B$96 $B$114 $B$104 $B$123 $B$124 $B$122 $B$84 $B$105 $B$92 $B$95 $B$112 $B$106 $B$90 $B$89 $B$86 $B$119 $B$115 $B$85 $B$120 $B$97 $B$93 $B$94 $B$113 $B$107 $B$121 $B$91 $B$116 $B$111 $B$118 $C$35 $B$16

IL=gf Nsd (KN) SEGURO Esbeltez SEGURO Esbeltez SEGURO Esbeltez SEGURO Esbeltez SEGURO Esbeltez SEGURO Esbeltez SEGURO Esbeltez SEGURO Esbeltez SEGURO Esbeltez F=l Coord.Y (m) SEGURO Esbeltez SEGURO Esbeltez SEGURO Esbeltez SEGURO Esbeltez SEGURO Esbeltez SEGURO Esbeltez SEGURO Esbeltez SEGURO Esbeltez SEGURO Esbeltez H=j Coord.Y (m) SEGURO Esbeltez SEGURO Esbeltez SEGURO Esbeltez SEGURO Esbeltez SEGURO Esbeltez SEGURO Esbeltez SEGURO Esbeltez SEGURO Esbeltez SEGURO Esbeltez SEGURO Esbeltez SEGURO Esbeltez HI=gj Nsd (KN) SEGURO Esbeltez T=X Coord.Y (m) R=Z Coord.Y (m) N=c Coord.Y (m) D=n Coord.Y (m) L=f Coord.Y (m) J=h Coord.Y (m) MP=bc Nsd (KN) IK=eg Nsd (KN) HJ=hj Nsd (KN) GH=ij Nsd (KN) PQ=Yb Nsd (KN) KL=ef Nsd (KN) SU=UW Nsd (KN) VU Nsd (KN) TU=VX Nsd (KN) AB=op Nsd (KN) KM=le Nsd (KN) EF=lk Nsd (KN) FH=jl Nsd (KN) PO=ab Nsd (KN) ML=cf Nsd (KN) DE=kn Nsd (KN) CE=km Nsd (KN) AD=no Nsd (KN) QS=WY Nsd (KN) OQ=Ay Nsd (KN) AC=np Nsd (KN) TV=VX Nsd (KN) GI=gi Nsd (KN) EG=ik Nsd (KN) EH=kj Nsd (KN) PR=Zb Nsd (KN) MO=ab Nsd (KN) TS=WX Nsd (KN) DF=nl Nsd (KN) RT=XZ Nsd (KN) NP=db Nsd (KN) QT=YX Nsd (KN) V Coord.Y (m) C=m Coord.X (m)

-9.83 89.25 34.52 200.00 147.16 126.85 82.90 82.31 62.74 84.72 0.870 146.11 146.80 160.24 135.83 82.70 128.63 121.06 104.99 111.72 0.920 96.16 62.59 77.92 174.93 186.86 105.24 113.71 153.74 111.44 139.57 105.91 14.43 139.23 1.395 1.302 1.167 0.845 1.087 0.987 -6.21 46.73 -39.01 0.09 0.44 0.09 56.35 0.09 0.00 -3.94 46.73 -3.94 -19.56 0.09 7.07 16.86 12.99 -21.46 56.35 55.93 12.99 -56.49 28.50 28.50 -14.60 -56.31 55.93 0.09 -19.56 -56.31 -51.98 -0.26 1.500 0.643

$B$102<=$D$102 $F$90<=$G$90 $F$89<=$G$89 $F$122<=$G$122 $F$120<=$G$120 $F$117<=$G$117 $F$113<=$G$113 $F$88<=$G$88 $F$87<=$G$87 $F$92<=$G$92 $C$19<=$C$21 $F$124<=$G$124 $F$123<=$G$123 $F$108<=$G$108 $F$121<=$G$121 $F$115<=$G$115 $F$116<=$G$116 $F$112<=$G$112 $F$107<=$G$107 $F$110<=$G$110 $C$21<=$C$23 $F$100<=$G$100 $F$85<=$G$85 $F$84<=$G$84 $F$102<=$G$102 $F$118<=$G$118 $F$111<=$G$111 $F$109<=$G$109 $F$106<=$G$106 $F$105<=$G$105 $F$101<=$G$101 $F$104<=$G$104 $B$98<=$D$98 $F$103<=$G$103 $C$33<=$C$35 $C$31<=$C$33 $C$27<=$C$29 $C$17<=$C$19 $C$25<=$C$27 $C$23<=$C$25 $B$108<=$D$108 $B$103<=$D$103 $B$99<=$D$99 $B$96<=$D$96 $B$114<=$D$114 $B$104<=$D$104 $B$123<=$D$123 $B$124<=$D$124 $B$122<=$D$122 $B$84<=$D$84 $B$105<=$D$105 $B$92<=$D$92 $B$95<=$D$95 $B$112<=$D$112 $B$106<=$D$106 $B$90<=$D$90 $B$89<=$D$89 $B$86<=$D$86 $B$119<=$D$119 $B$115<=$D$115 $B$85<=$D$85 $B$120<=$D$120 $B$97<=$D$97 $B$93<=$D$93 $B$94<=$D$94 $B$113<=$D$113 $B$107<=$D$107 $B$121<=$D$121 $B$91<=$D$91 $B$116<=$D$116 $B$111<=$D$111 $B$118<=$D$118 $C$35>=1.5 $B$16>=0.1

Não-associação Não-associação Não-associação Associação Não-associação Não-associação Não-associação Não-associação Não-associação Não-associação Não-associação Não-associação Não-associação Não-associação Não-associação Não-associação Não-associação Não-associação Não-associação Não-associação Não-associação Não-associação Não-associação Não-associação Não-associação Não-associação Não-associação Não-associação Não-associação Não-associação Não-associação Não-associação Não-associação Não-associação Não-associação Não-associação Não-associação Não-associação Não-associação Não-associação Não-associação Não-associação Não-associação Não-associação Não-associação Não-associação Não-associação Não-associação Não-associação Não-associação Não-associação Não-associação Não-associação Não-associação Não-associação Não-associação Não-associação Não-associação Não-associação Não-associação Não-associação Não-associação Não-associação Não-associação Não-associação Não-associação Não-associação Não-associação Não-associação Não-associação Não-associação Não-associação Associação Não-associação

49.83744013 210.7487808 265.4800598 0 52.84291402 73.15020814 117.0954215 217.694752 137.2617512 115.2783562 0.050262975 153.8919544 153.2021293 39.75620032 164.1678052 217.2977943 71.36597717 178.9393624 195.0123943 88.28347244 0.067214658 103.8354047 237.4148973 122.075709 25.06861188 13.14065873 94.75548896 86.28849463 146.2575312 188.5561761 60.4329869 194.0895621 162.3916042 160.7736745 0.105495738 0.092216718 0.075448948 0.024807625 0.080088685 0.100054475 53.8961806 130.0840802 178.2908828 176.7310743 176.3812689 176.7310743 120.4666403 176.7310737 30.60950177 205.581747 130.0840802 174.5243676 268.6324457 176.7310743 169.7502852 159.961256 163.8266753 135.9872565 120.4666403 120.8893298 163.8266753 113.0291843 148.3214075 148.3214075 109.3483641 234.4518538 120.8893298 176.7310743 1042.035539 130.3081391 162.5237867 35.32266205 0.000 0.543

65

PROCESSO DE CALCULO E DIMENSIONAMENTO DA TRELIÇA - PARTE II - PERFIL U Aço ASTM (Parametros fu (KN/cm²) 40 fy (KN/cm²) 25 REAÇÕES E (Gpa) 200 REAÇÃO AY REAÇÃO AX (KN) REAÇÃO OY (KN) y (KN/m³) 0.000077 21.12 0.00 21.12 Ya1 1.1 Ya2 1.35 K 1 ϱ 1

Nó

Coord.X (m)

A=o B=p C=m D=n E=k F=l G=i H=j I=g J=h K=e L=f M=d N=c O=a P=b Q=Y R=Z S=W T=X U V

0.000 0.000 0.643 0.643 0.997 0.997 1.715 1.715 2.675 2.675 4.105 4.105 5.249 5.249 6.326 6.326 7.176 7.176 8.493 8.493 10.000 10.000

BARRA AB=op AC=np AD=no Bd=mo CD=mn CE=km DE=kn DF=nl EF=lk EG=ik EH=kj FH=jl GH=ij GI=gi HI=gj HJ=hj JI=hg JL=fh IL=gf IK=eg KL=ef KM=le ML=cf MO=ab MP=bc MN=cd NL=df NP=db PO=ab PR=Zb PQ=Yb OQ=Ay RT=XZ QR=ZY QT=YX QS=WY TV=VX TS=WX TU=VX SU=UW VU

L (cm) 80.00 64.25 106.15 64.41 84.50 35.44 91.63 35.53 86.98 71.80 116.71 71.98 92.00 96.02 132.98 96.26 98.73 143.28 179.59 142.93 108.73 114.41 157.84 107.78 164.51 116.74 114.69 108.05 124.29 85.11 150.52 84.91 132.06 130.23 191.84 131.74 151.08 139.45 205.33 150.71 150.00

Definição do Carregamento /Nó Carga Adic.Y P. Proprio Y Acidental Y( (KN) (KN) KN) 0.000 0.000 -0.070 0 0.800 -2.086 -0.070 -1 0.000 0.000 -0.070 0 0.845 0.000 -0.070 0 0.000 0.000 -0.070 0 0.870 -2.086 -0.070 -1 0.000 0.000 -0.070 0 0.920 0.000 -0.070 0 0.000 0.000 -0.070 0 0.987 -2.086 -0.070 -1 0.000 0.000 -0.070 0 1.087 0.000 -0.070 0 0.000 0.000 -0.070 0 1.167 0.000 -0.070 0 0.000 0.000 -0.070 0 1.243 -2.086 -0.070 -1 0.000 0.000 -0.070 0 1.302 0.000 -0.070 0 0.000 0.000 -0.070 0 1.395 0.000 -0.070 0 0.000 0.000 -0.070 0 1.500 -4.172 -0.070 -2

Coord.Y (m)

A (cm²) V (cm³) 7.78 1244.80 7.78 999.76 7.78 1651.72 7.78 1002.21 7.78 1314.78 7.78 551.44 7.78 1425.74 7.78 552.79 7.78 1353.38 7.78 1117.27 7.78 1815.97 7.78 1120.01 7.78 1431.59 7.78 1494.09 7.78 2069.24 7.78 1497.74 7.78 1536.18 7.78 2229.51 7.78 2794.44 7.78 2224.07 7.78 1691.86 7.78 1780.26 7.78 2455.96 7.78 1677.12 7.78 2559.81 7.78 1816.48 7.78 1784.61 7.78 1681.23 7.78 1933.88 7.78 1324.36 7.78 2342.06 7.78 1321.12 7.78 2054.86 7.78 2026.36 7.78 2984.98 7.78 2049.85 7.78 2350.76 7.78 2169.85 7.78 3194.90 7.78 2345.02 7.78 2334.00 VOLUME TOTAL

Ix (cm4) 68.9 68.9 68.9 68.9 68.9 68.9 68.9 68.9 68.9 68.9 68.9 68.9 68.9 68.9 68.9 68.9 68.9 68.9 68.9 68.9 68.9 68.9 68.9 68.9 68.9 68.9 68.9 68.9 68.9 68.9 68.9 68.9 68.9 68.9 68.9 68.9 68.9 68.9 68.9 68.9 68.9 73306.07

Processo de Determinação de Angulos Carga Total Y (KN) -0.087 -3.945 -0.087 -0.087 -0.087 -3.945 -0.087 -0.087 -0.087 -3.945 -0.087 -0.087 -0.087 -0.087 -0.087 -3.945 -0.087 -0.087 -0.087 -0.087 -0.087 -7.802 -25.061

rx (cm) Iy (cm4) 2.98 8.20 2.98 8.20 2.98 8.20 2.98 8.20 2.98 8.20 2.98 8.20 2.98 8.20 2.98 8.20 2.98 8.20 2.98 8.20 2.98 8.20 2.98 8.20 2.98 8.20 2.98 8.20 2.98 8.20 2.98 8.20 2.98 8.20 2.98 8.20 2.98 8.20 2.98 8.20 2.98 8.20 2.98 8.20 2.98 8.20 2.98 8.20 2.98 8.20 2.98 8.20 2.98 8.20 2.98 8.20 2.98 8.20 2.98 8.20 2.98 8.20 2.98 8.20 2.98 8.20 2.98 8.20 2.98 8.20 2.98 8.20 2.98 8.20 2.98 8.20 2.98 8.20 2.98 8.20 2.98 8.20 PESO PROPRIO TOTAL

Ângulo

Seno

Cosseno

α1=α40 α2=α39 α3=α38 α4=α37 α5=α35 α6=α36 α7=α34 α8=α33 α9=α31 α10=α32 α11=α30 α12=α29 α13=α28 α14=α27 α15=α26 α16=α25 α17=α23 α18=α24 α19=α22 α20=α21

4.00 52.75 4.00 67.25 52.03 4.00 4.00 43.78 37.26 4.00 4.00 43.54 4.00 49.07 4.00 55.66 46.63 4.00 4.00 42.78

0.07 0.80 0.07 0.92 0.79 0.07 0.07 0.69 0.61 0.07 0.07 0.69 0.07 0.76 0.07 0.83 0.73 0.07 0.07 0.68

1.00 0.61 1.00 0.39 0.62 1.00 1.00 0.72 0.80 1.00 1.00 0.72 1.00 0.66 1.00 0.56 0.69 1.00 1.00 0.73

ry (cm) 1.03 1.03 1.03 1.03 1.03 1.03 1.03 1.03 1.03 1.03 1.03 1.03 1.03 1.03 1.03 1.03 1.03 1.03 1.03 1.03 1.03 1.03 1.03 1.03 1.03 1.03 1.03 1.03 1.03 1.03 1.03 1.03 1.03 1.03 1.03 1.03 1.03 1.03 1.03 1.03 1.03

P. Proprio (KN) -0.10 -0.08 -0.13 -0.08 -0.10 -0.04 -0.11 -0.04 -0.10 -0.09 -0.14 -0.09 -0.11 -0.12 -0.16 -0.12 -0.12 -0.17 -0.22 -0.17 -0.13 -0.14 -0.19 -0.13 -0.20 -0.14 -0.14 -0.13 -0.15 -0.10 -0.18 -0.10 -0.16 -0.16 -0.23 -0.16 -0.18 -0.17 -0.25 -0.18 -0.18 -5.64

PERFIL ADOTADO 76x6.1 76x6.1 76x6.1 76x6.1 76x6.1 76x6.1 76x6.1 76x6.1 76x6.1 76x6.1 76x6.1 76x6.1 76x6.1 76x6.1 76x6.1 76x6.1 76x6.1 76x6.1 76x6.1 76x6.1 76x6.1 76x6.1 76x6.1 76x6.1 76x6.1 76x6.1 76x6.1 76x6.1 76x6.1 76x6.1 76x6.1 76x6.1 76x6.1 76x6.1 76x6.1 76x6.1 76x6.1 76x6.1 76x6.1 76x6.1 76x6.1

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BARRA AB=op AC=np AD=no Bd=mo CD=mn CE=km DE=kn DF=nl EF=lk EG=ik EH=kj FH=jl GH=ij GI=gi HI=gj HJ=hj JI=hg JL=fh IL=gf IK=eg KL=ef KM=le ML=cf MO=ab MP=bc MN=cd NL=df NP=db PO=ab PR=Zb PQ=Yb OQ=Ay RT=XZ QR=ZY QT=YX QS=WY TV=VX TS=WX TU=VX SU=UW VU

Nsd (KN) -3.94 12.99 -21.46 0.00 0.09 12.99 16.86 -19.56 -3.94 28.50 -14.60 -19.56 0.09 28.50 14.43 -39.01 -3.94 -39.01 -9.83 46.73 0.09 46.73 7.07 55.93 -6.21 -0.09 -51.98 -51.98 0.09 -56.31 0.44 55.93 -56.31 -0.09 -0.26 56.35 -56.49 0.09 0.00 56.35 0.09

SITUAÇÃO COMPRIMIDA TRACIONADA COMPRIMIDA COMPRIMIDA TRACIONADA TRACIONADA TRACIONADA COMPRIMIDA COMPRIMIDA TRACIONADA COMPRIMIDA COMPRIMIDA TRACIONADA TRACIONADA TRACIONADA COMPRIMIDA COMPRIMIDA COMPRIMIDA COMPRIMIDA TRACIONADA TRACIONADA TRACIONADA TRACIONADA TRACIONADA COMPRIMIDA COMPRIMIDA COMPRIMIDA COMPRIMIDA TRACIONADA COMPRIMIDA TRACIONADA TRACIONADA COMPRIMIDA COMPRIMIDA COMPRIMIDA TRACIONADA COMPRIMIDA TRACIONADA COMPRIMIDA TRACIONADA TRACIONADA

Processo de Dimensionamento e Verificação de Segurança Nrd (KN) Ver. Ruptura Esbeltez Esbel. Limite Ver. Esbeltez -201.64 SEGURO 77.92 200 OK 176.82 SEGURO 62.59 300 OK -114.52 SEGURO 103.40 200 OK -311.07 SEGURO 62.74 200 OK 176.82 SEGURO 82.31 300 OK 176.82 SEGURO 34.52 300 OK 176.82 SEGURO 89.25 300 OK -1022.48 SEGURO 34.60 200 OK -170.58 SEGURO 84.72 200 OK 176.82 SEGURO 69.94 300 OK -94.74 SEGURO 113.68 200 OK -249.07 SEGURO 70.11 200 OK 176.82 SEGURO 89.62 300 OK 176.82 SEGURO 93.53 300 OK 176.82 SEGURO 129.53 300 OK -139.28 SEGURO 93.76 200 OK -132.40 SEGURO 96.16 200 OK -62.86 SEGURO 139.57 200 OK -40.01 SEGURO 174.93 200 OK 176.82 SEGURO 139.23 300 OK 176.82 SEGURO 105.91 300 OK 176.82 SEGURO 111.44 300 OK 176.82 SEGURO 153.74 300 OK 176.82 SEGURO 104.99 300 OK -47.68 SEGURO 160.24 200 OK -94.69 SEGURO 113.71 200 OK -98.10 SEGURO 111.72 200 OK -110.54 SEGURO 105.24 200 OK 176.82 SEGURO 121.06 300 OK -178.14 SEGURO 82.90 200 OK 176.82 SEGURO 146.61 300 OK 176.82 SEGURO 82.70 300 OK -74.00 SEGURO 128.63 200 OK -76.09 SEGURO 126.85 200 OK -35.07 SEGURO 186.86 200 OK 176.82 SEGURO 128.32 300 OK -56.54 SEGURO 147.16 200 OK 176.82 SEGURO 135.83 300 OK -30.61 SEGURO 200.00 200 OK 176.82 SEGURO 146.80 300 OK 176.82 SEGURO 146.11 300 OK

Nc (KN) 252.91 392.07 143.64 390.16 226.70 1288.75 192.79 1282.47 213.95 313.94 118.83 312.41 191.22 175.55 91.53 174.70 166.07 78.84 50.18 79.23 136.91 123.65 64.97 139.33 59.81 118.77 123.05 138.65 104.79 223.44 71.44 224.53 92.81 95.44 43.98 93.27 70.92 83.23 38.39 71.26 71.94

λo 0.88 0.70 1.16 0.71 0.93 0.39 1.00 0.39 0.95 0.79 1.28 0.79 1.01 1.05 1.46 1.06 1.08 1.57 1.97 1.57 1.19 1.25 1.73 1.18 1.80 1.28 1.26 1.18 1.36 0.93 1.65 0.93 1.45 1.43 2.10 1.44 1.66 1.53 2.25 1.65 1.64

χ 1.14 1.77 0.65 1.76 1.02 5.81 0.87 5.78 0.96 1.42 0.54 1.41 0.86 0.79 0.41 0.79 0.75 0.36 0.23 0.36 0.62 0.56 0.29 0.63 0.27 0.54 0.55 0.63 0.47 1.01 0.32 1.01 0.42 0.43 0.20 0.42 0.32 0.38 0.17 0.32 0.32

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Microsoft Excel 15.0 Relatório de Respostas Planilha: [PERFIL U REFORÇADO PROCESSADO - PFC II.xlsx]PFC II Relatório Criado: 5/17/2017 4:38:40 PM Resultado: O Solver encontrou uma solução. Todas as Restrições e condições de adequação foram satisfeitas. Mecanismo do Solver Mecanismo: GRG Não Linear Tempo da Solução: 2.062 Segundos. Iterações: 35 Subproblemas: 0 Opções do Solver Tempo Máx. Ilimitado, Iterações Ilimitado, Precision 0.000000000001, Usar Escala Automática Convergência 0.000001, Tamanho da População 100, Propagação Aleatória 0, Encaminhar Derivativos, Limites Necessários Subproblemas Máx. Ilimitado, Soluç. Máx. Núm. Inteiro Ilimitado, Tolerância de Número Inteiro 1%, Assumir Não Negativo Célula do Objetivo (Mín.) Célula Nome Valor Original $D$80 VOLUME TOTAL V (cm³) 90951.74

Célula $B$16 $C$17 $B$18 $C$19 $B$20 $C$21 $B$22 $C$23 $B$24 $C$25 $B$26 $C$27 $B$28 $C$29 $B$30 $C$31 $B$32 $C$33 $N$40

Nome C=m Coord.X (m) D=n Coord.Y (m) E=k Coord.X (m) F=l Coord.Y (m) G=i Coord.X (m) H=j Coord.Y (m) I=g Coord.X (m) J=h Coord.Y (m) K=e Coord.X (m) L=f Coord.Y (m) M=d Coord.X (m) N=c Coord.Y (m) O=a Coord.X (m) P=b Coord.Y (m) Q=Y Coord.X (m) R=Z Coord.Y (m) S=W Coord.X (m) T=X Coord.Y (m) PERFIL b(mm)

Células Variáveis Valor Original 1.000 0.870 2.000 0.940 3.000 1.010 4.000 1.080 5.000 1.150 6.000 1.220 7.000 1.290 8.000 1.360 9.000 1.430 2

Valor Final 74607.64

Valor Final 0.506 0.835 1.327 0.893 2.817 0.997 3.959 1.077 5.101 1.157 6.120 1.228 7.140 1.300 8.103 1.367 9.066 1.435 1

Número Inteiro Conting. Conting. Conting. Conting. Conting. Conting. Conting. Conting. Conting. Conting. Conting. Conting. Conting. Conting. Conting. Conting. Conting. Conting. Conting.

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PFC 2 - PROCESSO DE CALCULO E DIMENSIONAMENTO DA TRELIÇA ANTES DA OTIMIZAÇÃO Aço ASTM (Parametros Iniciais) fu (KN/cm²) 40 fy (KN/cm²) 25 REAÇÕES E (Gpa) 200 REAÇÃO AY (KN) REAÇÃO AX (KN) REAÇÃO OY (KN) y (KN/m³) 0.000077 33.65 0.00 33.65 Ya1 1.1 Ya2 1.35 K 1 ϱ 1 Definição do Carregamento /Nó Carga Adic.Y P. Proprio Y (KN) (KN) 0.000 -0.071 -2.086 -0.071 0.000 -0.071 0.000 -0.071 0.000 -0.071 -2.086 -0.071 0.000 -0.071 0.000 -0.071 0.000 -0.071 -2.086 -0.071 0.000 -0.071 0.000 -0.071 0.000 -0.071 0.000 -0.071 0.000 -0.071 -2.086 -0.071 0.000 -0.071 0.000 -0.071 0.000 -0.071 0.000 -0.071 -20.000 -0.071 -4.172 -0.071

Nó

Coord.X (m)

Coord.Y (m)

A=o B=p C=m D=n E=k F=l G=i H=j I=g J=h K=e L=f M=d N=c O=a P=b Q=Y R=Z S=W T=X U V

0.000 0.000 0.506 0.506 1.327 1.327 2.817 2.817 3.959 3.959 5.101 5.101 6.120 6.120 7.140 7.140 8.103 8.103 9.066 9.066 10.000 10.000

0.000 0.800 0.000 0.835 0.000 0.893 0.000 0.997 0.000 1.077 0.000 1.157 0.000 1.228 0.000 1.300 0.000 1.367 0.000 1.435 0.000 1.500

BARRA AB=op AC=np AD=no Bd=mo CD=mn CE=km DE=kn DF=nl EF=lk EG=ik EH=kj FH=jl GH=ij GI=gi HI=gj HJ=hj JI=hg JL=fh IL=gf IK=eg KL=ef KM=le ML=cf MO=ab MP=bc MN=cd NL=df NP=db PO=ab PR=Zb PQ=Yb OQ=Ay RT=XZ QR=ZY QT=YX QS=WY TV=VX TS=WX TU=VX SU=UW VU

L (cm) A (cm²) 80.00 7.78 50.58 7.78 97.66 7.78 50.70 7.78 83.54 7.78 82.14 7.78 117.16 7.78 82.34 7.78 89.29 7.78 148.99 7.78 179.28 7.78 149.35 7.78 99.72 7.78 114.20 7.78 151.61 7.78 114.48 7.78 107.71 7.78 114.48 7.78 162.57 7.78 114.20 7.78 115.71 7.78 101.94 7.78 154.21 7.78 101.94 7.78 165.19 7.78 122.84 7.78 102.19 7.78 102.19 7.78 129.98 7.78 96.54 7.78 161.77 7.78 96.30 7.78 96.54 7.78 136.72 7.78 172.79 7.78 96.30 7.78 93.64 7.78 143.46 7.78 171.19 7.78 93.41 7.78 150.00 7.78 VOLUME TOTAL

V (cm³) 1244.80 787.04 1519.59 788.96 1299.89 1278.05 1822.95 1281.18 1389.36 2318.24 2789.59 2323.92 1551.63 1776.90 2359.01 1781.25 1676.02 1781.25 2529.59 1776.90 1800.40 1586.21 2399.48 1586.21 2570.30 1911.43 1590.10 1590.10 2022.47 1502.15 2517.11 1498.48 1502.15 2127.36 2688.57 1498.48 1457.04 2232.26 2663.75 1453.48 2334.00 74607.64

Ix (cm4) 68.9 68.9 68.9 68.9 68.9 68.9 68.9 68.9 68.9 68.9 68.9 68.9 68.9 68.9 68.9 68.9 68.9 68.9 68.9 68.9 68.9 68.9 68.9 68.9 68.9 68.9 68.9 68.9 68.9 68.9 68.9 68.9 68.9 68.9 68.9 68.9 68.9 68.9 68.9 68.9 68.9

Processo de Determinação de Angulos Acidental Y Carga Total Y (KN) (KN) 0 -0.089 -1 -3.946 0 -0.089 0 -0.089 0 -0.089 -1 -3.946 0 -0.089 0 -0.089 0 -0.089 -1 -3.946 0 -0.089 0 -0.089 0 -0.089 0 -0.089 0 -0.089 -1 -3.946 0 -0.089 0 -0.089 0 -0.089 0 -0.089 0 -25.089 -2 -7.804 -50.095 rx (cm) Iy (cm4) 2.98 8.20 2.98 8.20 2.98 8.20 2.98 8.20 2.98 8.20 2.98 8.20 2.98 8.20 2.98 8.20 2.98 8.20 2.98 8.20 2.98 8.20 2.98 8.20 2.98 8.20 2.98 8.20 2.98 8.20 2.98 8.20 2.98 8.20 2.98 8.20 2.98 8.20 2.98 8.20 2.98 8.20 2.98 8.20 2.98 8.20 2.98 8.20 2.98 8.20 2.98 8.20 2.98 8.20 2.98 8.20 2.98 8.20 2.98 8.20 2.98 8.20 2.98 8.20 2.98 8.20 2.98 8.20 2.98 8.20 2.98 8.20 2.98 8.20 2.98 8.20 2.98 8.20 2.98 8.20 2.98 8.20 PESO PROPRIO TOTAL

Ângulo

Seno

Cosseno

α1=α40 α2=α39 α3=α38 α4=α37 α5=α35 α6=α36 α7=α34 α8=α33 α9=α31 α10=α32 α11=α30 α12=α29 α13=α28 α14=α27 α15=α26 α16=α25 α17=α23 α18=α24 α19=α22 α20=α21

4.00 58.81 4.00 45.49 33.79 4.00 4.00 41.13 45.38 4.00 4.00 48.62 4.00 51.89 4.00 53.46 56.13 4.00 4.00 56.93

0.07 0.86 0.07 0.71 0.56 0.07 0.07 0.66 0.71 0.07 0.07 0.75 0.07 0.79 0.07 0.80 0.83 0.07 0.07 0.84

1.00 0.52 1.00 0.70 0.83 1.00 1.00 0.75 0.70 1.00 1.00 0.66 1.00 0.62 1.00 0.60 0.56 1.00 1.00 0.55

ry (cm) 1.03 1.03 1.03 1.03 1.03 1.03 1.03 1.03 1.03 1.03 1.03 1.03 1.03 1.03 1.03 1.03 1.03 1.03 1.03 1.03 1.03 1.03 1.03 1.03 1.03 1.03 1.03 1.03 1.03 1.03 1.03 1.03 1.03 1.03 1.03 1.03 1.03 1.03 1.03 1.03 1.03

P. Proprio (KN) -0.10 -0.06 -0.12 -0.06 -0.10 -0.10 -0.14 -0.10 -0.11 -0.18 -0.21 -0.18 -0.12 -0.14 -0.18 -0.14 -0.13 -0.14 -0.19 -0.14 -0.14 -0.12 -0.18 -0.12 -0.20 -0.15 -0.12 -0.12 -0.16 -0.12 -0.19 -0.12 -0.12 -0.16 -0.21 -0.12 -0.11 -0.17 -0.21 -0.11 -0.18 -5.74

PERFIL ADOTADO 76x6.1 76x6.1 76x6.1 76x6.1 76x6.1 76x6.1 76x6.1 76x6.1 76x6.1 76x6.1 76x6.1 76x6.1 76x6.1 76x6.1 76x6.1 76x6.1 76x6.1 76x6.1 76x6.1 76x6.1 76x6.1 76x6.1 76x6.1 76x6.1 76x6.1 76x6.1 76x6.1 76x6.1 76x6.1 76x6.1 76x6.1 76x6.1 76x6.1 76x6.1 76x6.1 76x6.1 76x6.1 76x6.1 76x6.1 76x6.1 76x6.1

70

BARRA AB=op AC=np AD=no Bd=mo CD=mn CE=km DE=kn DF=nl EF=lk EG=ik EH=kj FH=jl GH=ij GI=gi HI=gj HJ=hj JI=hg JL=fh IL=gf IK=eg KL=ef KM=le ML=cf MO=ab MP=bc MN=cd NL=df NP=db PO=ab PR=Zb PQ=Yb OQ=Ay RT=XZ QR=ZY QT=YX QS=WY TV=VX TS=WX TU=VX SU=UW VU

Nsd (KN) -3.95 17.93 -34.62 0.00 0.09 17.93 36.98 -43.96 -3.95 77.22 -40.15 -43.96 0.09 77.22 27.90 -98.47 -3.95 -98.47 -20.11 112.36 0.09 112.36 16.50 132.84 -15.51 -0.09 -123.57 -123.57 0.09 -138.47 8.88 132.84 -138.47 -0.09 -8.38 142.80 -147.17 0.09 7.36 142.80 12.75

SITUAÇÃO COMPRIMIDA TRACIONADA COMPRIMIDA COMPRIMIDA TRACIONADA TRACIONADA TRACIONADA COMPRIMIDA COMPRIMIDA TRACIONADA COMPRIMIDA COMPRIMIDA TRACIONADA TRACIONADA TRACIONADA COMPRIMIDA COMPRIMIDA COMPRIMIDA COMPRIMIDA TRACIONADA TRACIONADA TRACIONADA TRACIONADA TRACIONADA COMPRIMIDA COMPRIMIDA COMPRIMIDA COMPRIMIDA TRACIONADA COMPRIMIDA TRACIONADA TRACIONADA COMPRIMIDA COMPRIMIDA COMPRIMIDA TRACIONADA COMPRIMIDA TRACIONADA TRACIONADA TRACIONADA TRACIONADA

Nrd (KN) -201.64 176.82 -135.31 -501.94 176.82 176.82 176.82 -190.35 -161.86 176.82 -40.15 -57.85 176.82 176.82 176.82 -98.47 -111.23 -98.47 -48.83 176.82 176.82 176.82 176.82 176.82 -47.29 -85.52 -123.57 -123.57 176.82 -138.47 176.82 176.82 -138.47 -69.04 -43.22 176.82 -147.17 176.82 176.82 176.82 176.82

Processo de Dimensionamento e Verificação de Segurança Ver. Esbeltez Esbel. Limite Esbeltez Ver. Ruptura OK 200 77.92 SEGURO OK 300 49.27 SEGURO OK 200 95.13 SEGURO OK 200 49.39 SEGURO OK 300 81.37 SEGURO OK 300 80.01 SEGURO OK 300 114.12 SEGURO OK 200 80.20 SEGURO OK 200 86.97 SEGURO OK 300 145.12 SEGURO OK 200 174.63 SEGURO OK 200 145.48 SEGURO OK 300 97.13 SEGURO OK 300 111.23 SEGURO OK 300 147.67 SEGURO OK 200 111.51 SEGURO OK 200 104.92 SEGURO OK 200 111.51 SEGURO OK 200 158.35 SEGURO OK 300 111.23 SEGURO OK 300 112.70 SEGURO OK 300 99.30 SEGURO OK 300 150.21 SEGURO OK 300 99.30 SEGURO OK 200 160.90 SEGURO OK 200 119.66 SEGURO OK 200 99.54 SEGURO OK 200 99.54 SEGURO OK 300 126.61 SEGURO OK 200 94.03 SEGURO OK 300 157.57 SEGURO OK 300 93.80 SEGURO OK 200 94.03 SEGURO OK 200 133.17 SEGURO OK 200 168.30 SEGURO OK 300 93.80 SEGURO OK 200 91.21 SEGURO OK 300 139.74 SEGURO OK 300 166.75 SEGURO OK 300 90.99 SEGURO OK 300 146.11 SEGURO

Nc (KN) 252.91 632.66 169.71 629.58 231.93 239.92 117.93 238.75 203.02 72.92 50.36 72.56 162.77 124.12 70.42 123.51 139.51 123.51 61.24 124.12 120.90 155.75 68.07 155.75 59.32 107.26 154.99 154.99 95.81 173.68 61.85 174.53 173.68 86.59 54.22 174.53 184.60 78.65 55.23 185.50 71.94

λo 0.88 0.55 1.07 0.56 0.92 0.90 1.28 0.90 0.98 1.63 1.97 1.64 1.09 1.25 1.66 1.25 1.18 1.25 1.78 1.25 1.27 1.12 1.69 1.12 1.81 1.35 1.12 1.12 1.42 1.06 1.77 1.06 1.06 1.50 1.89 1.06 1.03 1.57 1.88 1.02 1.64

χ 1.14 2.85 0.77 2.84 1.05 1.08 0.53 1.08 0.92 0.33 0.23 0.33 0.73 0.56 0.32 0.56 0.63 0.56 0.28 0.56 0.55 0.70 0.31 0.70 0.27 0.48 0.70 0.70 0.43 0.78 0.28 0.79 0.78 0.39 0.24 0.79 0.83 0.35 0.25 0.84 0.32

71