Presentación Lógica Computacional

ANDRES BONILLA ANGEL DARIO CLAVIJO RAFAEL RIVEROS

En el razonamiento existen argumentos válidos y otros que no lo son; los argumentos no válidos se llaman Falacias. Los patrones de razonamiento pueden expresarse de varias formas, la conclusión se establece después de las premisas y se presenta mediante palabras como “Por tanto”, “En conclusión” y “Como consecuencia” Si el esquema de razonamiento es válido se usa el símbolo╞ para separar las premisas de la conclusión. El símbolo╞ también es usado para denotar tautologías. Un argumento es válido si la conclusión de deduce lógicamente, siempre que se cumplan todas las premisas. Para saber si la conclusión de las premisas es verdadera se toman las premisas y se realiza una conjunción entre ellas. La demostración de la validez entre las premisas y la conclusión se realiza bajo el condicional, si el resultado es una Tautología podemos decir que el razonamiento es válido.

Las equivalencias lógicas crean Implicaciones Lógicas, cualquier implicación lógica se puede demostrar mediante el método de tabla de verdad. Un argumento es válido si las premisas en su conjunto implican lógicamente la conclusión. Si A1, A2, A3,… An son las premisas y C la conclusión, se debe mostrar que la siguiente expresión es una tautología: A1Λ A2 Λ A3… Λ An → C Para poder demostrar una implicación mediante el método de tabla de verdad, se escriben en columnas cada una de las partes de la expresión y en una columna con el rótulo de PREMISAS se escribe el valor de verdad mediante la conjunción entre las premisas, también se reserva otra columna con el rótulo de VÁLIDO la cual nos indicara si las premisas implican o no la conclusión; tal como se puede apreciar en el ejemplo.

Considere la siguiente expresión P→Q, Q→R╞ P→R y demuestre si es válida la conclusión respecto de las premisas.

P

Q

R

(P→Q)

(Q→R)

PREMISAS

(P→R)

VÁLIDO

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

F

V

F

F

F

V

V

F

V

F

V

F

V

V

V

F

F

F

V

F

F

V

F

V

V

V

V

V

V

V

F

V

F

V

F

F

V

V

F

F

V

V

V

V

V

V

F

F

F

V

V

V

V

V

Como se puede apreciar en la anterior tabla de verdad, la conclusión es válida, puesto que todas las asignaciones posibles conducen a V en la columna válido.

Muchos argumentos lógicos, son, argumentos compuestos en el sentido de que la conclusión de un argumento es la premisa para el próximo. Toda demostración es una secuencia de tales argumentos. El siguiente ejemplo tiene que ver con el razonamiento usado por Sherlock Holmes en relación con un asesinato en particular1: “Y ahora llegamos a la gran pregunta del porqué. El robo no ha sido el objeto del asesinato, puesto que nada desapareció ¿Fue por motivos políticos o fue una mujer? Ésta es la pregunta con que me enfrento. Desde el principio me he inclinado hacia esta última suposición. Los asesinos políticos se complacen demasiado en hacer sólo su trabajo y huir. Este asesinato, por el contrario, había sido realizado muy deliberadamente, y quien lo perpetró ha dejado huellas por toda la habitación, mostrando que estuvo ahí todo el tiempo.” Para expresar esta cita, utilizamos las siguientes variables proposicionales: P1: Fue un robo. P2: Algo desapareció. P3: Fue político. P4: Fue una mujer. P5: El asesino huyó inmediatamente. P6: El asesino dejó huellas por toda la habitación. 1

Citado de Un Estudio en Escarlata

La siguiente tabla nos muestra la demostración de la motivación del crimen, obsérvese que tras cada premisa aparece una nueva de acuerdo al enunciado y a la premisa anterior, también aparecen nuevas premisas por medio de las reglas de inferencia. DERIVACION FORMAL

REGLA

COMENTARIO

1. P1→ P2

Premisa

Si fue un robo, hubiera desaparecido algo.

2. ~P2

Premisa

No desapareció nada.

3. ~P1

1,2, MT

4. ~P1 → P3 v P4

Premisa

5. P3 v P4

3,4, MP

No fue un robo. Si no fue un robo, fue algo político o fue una mujer. Fue político, o una mujer.

6. P3 → P5

Premisa

Si hubiera sido algo político, el asesino hubiera huido inmediatamente.

7. P6 → ~P5

Premisa

Si el asesino dejó huellas por toda la habitación, no pudo haber huido inmediatamente.

8. P6

Premisa

El asesino dejó huellas por toda la habitación.

9. ~P5

7,8, MP

El asesino no huyó inmediatamente.

10. ~P3

6,9, MT

No fue político.

11. P4

5,10, SD

Por consiguiente, fue una mujer.

MP: Modus Ponens

MT: Modus Tollens

SD: Silogismo Disyuntivo

Son demostraciones formalizadas, estos sistemas de derivaciones tienen unas características en común: * Existe una lista de argumentos lógicos admisibles, llamados Reglas de Inferencia. * Es una lista de expresiones lógicas que originalmente se encuentra vacía, se le pueden ir añadiendo expresiones si constituyen una premisa o si pueden obtenerse a partir de expresiones previas aplicando alguna regla de inferencia. Este proceso se continúa hasta que se alcanza la conclusión. * Las reglas de inferencia deben ser elegidas de forma tal que solo se deriven resultados válidos. * Un sistema para hacer derivaciones no solo debe ser válido sino completo.

REGLA

NOMBRE

A, B ╞ A Λ B

Ley de Combinación

AΛB╞B

Ley de Simplificación

A Λ B╞ A

Variante de la ley de Simplificación

A╞AvB

Ley de Adición

B╞AvB

Variante de la ley de Adición

A, A → B╞ B

Modus Ponens

~B, A → B╞ ~A

Modus Tollens

A → B, B → C╞ A → C

Silogismo Hipotético

A v B, ~A╞ B

Silogismo Disyuntivo

A v B, ~B╞ A

Variante del Silogismo Disyuntivo

A → B, ~A → B╞ B

Ley de Casos

A ↔ B╞ A → B

Eliminación de la Equivalencia

A ↔ B╞ B → A

Variación de eliminación de la equivalencia

A → B, B → A╞ A ↔ B

Introducción de la equivalencia

A, ~A╞ B

Ley de Inconsistencia

Para demostrar A → B en matemáticas, se utiliza con frecuencia el siguiente argumento informal: 1. Se supone A, y se añade A a las premisas. 2 Se demuestra B, utilizando A si es necesario. 3 Se prescinde de A, lo que significa que A no es necesariamente verdadera y se escribe A → B. TEOREMA 1: Sean A y B dos expresiones, y sean A1, A2, A3 … las premisas. Si B, A1, A2, A3… juntos implican lógicamente C, entonces A1, A2, A3,… implican lógicamente B → C Ejemplo: Una pareja tiene un niño, y están esperando un segundo hijo. Demostrar que si el segundo niño es una niña entonces la pareja tendrá una niña y un niño. Solución: Sea P “El primer hijo es un niño”. Sea Q “el segundo hijo es una niña”. Queremos demostrar Q → P Λ Q, dado que la premisa es P. De acuerdo al teorema de la deducción puede hacerse como sigue: 1. P es verdadero: la pareja tiene un niño. 2. Se supone Q; esto es, se supone que el segundo hijo es una niña. 3. A partir de P y Q se concluye P Λ Q por la ley de Combinación. 4. En este momento concluimos que Q → P Λ Q, es trivialmente verdadera aun si Q resulta falsa, si resulta verdadera puede ser licenciada la conclusión.