Convolución_cardenas V1.2.docx

CONVOLUCIÓN Como se sabe, el comportamiento de la transformada de Laplace es lineal dado esto la transformada de una suma es la suma de transformadas, pero en el caso del producto generalmente la transformada no conmuta es decir la transformada de un producto no es el producto de las transformadas. Para esto necesitamos definir un nuevo operando que es la convolución. Se denomina convolución a una función que de forma lineal y continua, transforma una señal de entrada en una nueva señal de salida, la función de convolución se expresa por el símbolo ∗. Definición matemática de la convolución: Se tiene la función ℎ: 𝐶(𝐼)𝑋𝐶(𝐼) → 𝐶(𝐼), Donde C es el grupo de funciones continuas En un dominio tal que 𝐼 = [0, +∞] Dado por la siguiente expresión: 𝑡

ℎ(𝑡) = (𝑓 ∗ 𝑔)(𝑡) = ∫ 𝑓(𝑡 − 𝜏)𝑔(𝜏) 𝑑𝜏 0

Las propiedades de la convolución son: 1. 𝑓 ∗ 𝑔 = 𝑔 ∗ 𝑓 (𝑙𝑒𝑦 𝑐𝑜𝑛𝑚𝑢𝑡𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎) 2. 𝑓 ∗ (𝑔 + ℎ) = 𝑓 ∗ 𝑔 + 𝑓 ∗ ℎ (𝐿𝑒𝑦 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑡𝑖𝑣𝑎) 3. (𝑓 ∗ 𝑔) ∗ ℎ = 𝑓 ∗ (𝑔 ∗ ℎ) (𝑙𝑒𝑦 𝑎𝑠𝑜𝑐𝑖𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎) 4. 𝑓 ∗ 0 = 0 ∗ 𝑓 = 0 Pasos para resolver un producto de convolución de dos funciones 𝑓(𝑥) y 𝑔(𝑧): 1. Trasladar los valores respecto al origen de una de las funciones es decir 𝑔(𝑧) = 𝑔(−𝑧) para todo 𝑧 desde 0 a ∞ . 2. Ir trasladando una función sobre la otra de la siguiente forma 𝑓(𝑧)𝑔(𝑥 − 𝑧). 3. Para cada valor de 𝑥 calculamos el valor de que resulta de sumar los productos obtenidos de multiplicar todos los 𝑧 de los correspondientes valores de las funciones 𝑓(𝑧) y 𝑔(𝑥 − 𝑧).

El teorema de convolución dice si 𝐿{𝑓(𝑡)} 𝑦 𝐿{𝑔(𝑦)} existen para un intervalo tal que 𝑠 > 𝑎 ≥ 0 entonces podemos decir: 𝐿{(𝑓 ∗ 𝑔)(𝑡)} = 𝐿{𝑓(𝑡)} ∗ 𝐿{𝑔(𝑡)} = 𝐹(𝑠)𝐺(𝑠) Un ejemplo de dicho teorema es: Teniendo la siguiente transformada inversa encuentre su respuesta en el tiempo: 𝐿−1 {

1 } (𝑠 − 2)(𝑠 − 3)

Para solucionar el siguiente ejercicio usamos el teorema de convolución: 𝐿−1 {

1 1 1 } = 𝐿−1 { } (𝑠 − 2)(𝑠 − 3) 𝑠 − 2𝑠 − 3 = 𝐿−1 {

1 1 } ∗ 𝐿−1 { } 𝑠−2 𝑠−3

Resolviendo las transformadas inversas de Laplace se obtuvo: = 𝑒 2𝑡 ∗ 𝑒 3𝑡 Usando la definición de convolución planteamos la siguiente integral: 𝑡

= ∫ 𝑒 2𝜏 𝑒 3(𝑡−𝜏) 𝑑𝜏 0

La respuesta en función del tiempo es la siguiente: = 𝑒 3𝑡 − 𝑒 2𝑡