álgebralineali1 (1).pdf

1

    1.- suma:  u ,v V  u  v V (cerradura bajo la suma) 2.-producto por un escalar:    u V ,      u V (cerradura bajo la multiplicación por un escalar)

V es un espacio vectorial si cumple los    siguientes axiomas, siendo u ,v , w vectores y  ,  escalares:     a) Conmutativa: u  v  v  u       b) Asociativa: u  v   w  u  v  w      u      u       c) Elemento neutro: u  0  0  u  u   1 u  u      d) Opuesto: u   u    u   u  0     e) Distributiva:  u  v    u   v    u   u   u Ejem1. Dimensión espacio vectorial: .- vectores de R 2  dimV  2 , 2,4  .- Vectores de R 3  dimV  3 , 2 ,4 ,0  1 0  .- matrices M 2 x 2  dimV  4 ,  0 1 1 0 0   .- matrices M 3 x 3  dimV  9 ,  0 1 0  0 0 1   .- polinomio P1 x   dimV  2 , x  3 .- polinomio P2 x   dimV  3 , x 2  x  3

.- polinomio P3 x   dimV  4 x  x  x  3 3

2

Subspacio vectorial. Espacio vectorial V   Subespacio vectorial S 

Rn

(0,0,1) (2,0,1) (2,5,1) (2,3,2)

V

(4,1,1)

(2,1,1) (2,3,1) (3,0,1) (3,1,1)

s e os En unto init f j on n in s c a e te r és ent ctor cu ve en

(2,0,0) (1,3,6)

R3

Debe cumplir tres propiedades

Espacios vectoriales. Sea un conjunto no vacío V (llamado espacio   vectorial), cuyos elementos denotaremos u ,v   (miembros vectores u ,v ) y  es un escalar cualquiera. V Tiene definida dos operaciones binarias.

(1,2,5)(1,2,7) (3,6,18) (1,1,6) (1,0,0) (1,2,8) (1,3,5) (1,1,5) (1,2,7) (1,2,6) (2,5,11)

S

Las tres propiedades que debe cumplir son:  1.- Sea 0  S     2.- Sea u1 y u 2  S  u1  u2  S   3.- Sea u1  S       u1  S Ejm2. Sea S 

x , x 1

2 , x3

  R 3 / 2 x2  x3  0 , ¿ S

es subespacio vectorial de R 3 ? Solución:   0 , 0 ,0)  2 0   0   0 1.- Sea 0  S . El vector 0  ( x1 x2 x 3

 0  0 cumple con la primera propiedad, el vector cero pertenece al subespacio vectorial.     2.- Sea u1 y u 2  S  u1  u2  S . Se define dos vectores:  u1 x1 , x2 , x3     x  y1 , x2  y2 , x3  y3 )   u1  u 2  ( 1      u 2  y1 , y2 , y3  x1

x2

x3

Se tiene entonces: 2  x 2  y 2    x3  y 3   0 

2 x 2  2 y 2  x3  y 3  0

 2 x2  x3  2 y 2  y3   0  0   0   0  0  0 Se cumple la segunda propiedad.  3.- Se define un vector y un escalar, u1  S         u1  S , u1  x1 , x2 , x3    . Se tiene que:

 x1 , x2 , x3   (  x1 , x2 , x3 ) , entonces:    x1

x2

x3

2 x2    x3   0  2 x2   x3  0  Docente: Ing. MSc. Blanca Yraida Carvajal Contenido libro texto, material de apoyo del Prof. Lino Chacón. Web y preparación de Clase.

2

 2 x2  x3   0   0  0  0  0 Se cumple con la tercera propiedad. Lo que indica que S sí es subespacio vectorial de R3 . Ejm3.

S

x , x 1

2 , x3

  R 3 / x1  x3  0  x22  2 x3  0

¿ S es subespacio vectorial de R 3 ? Solución:  1.- Sea 0  S . El vector 0  0  0  0  0   0  0 ,0 ,0     2 0   20   0  0 Se cumple, el vector cero pertenece al subespacio vectorial.     2.- Sea u1 y u 2  S  u1  u2  S . Se define dos vectores:  u1 x1 , x2 , x3       u1  u 2  x1  y1 , x2  y 2 , x3  y3  u 2  y1 , y 2 , y3  Se tiene entonces: .- Para la primera ecuación implícita, general o cartesiana. x1  y1   x3  y3   0 

x1  x3    y1  y3   0  0  0  0  0  0  0   0   0  0  0 se cumple

.- Para la segunda ecuación: x2  y2 2  2 x3  y3   0 

 



0  0  2 x2 y 2  0  2 x2 y 2  0 , no se cumple.

Se debe cumplir en éste caso para ambas, ya que su conectivo y   incluye ambas ecuaciones implícitas. Por lo tanto en éste caso el subespacio denominado S en el ejemplo 3, no es subespacio. Del espacio vectorial indicado. Ejm4. Sea U 

 x , x   R 1

2

2

2

Obs. Cuando propiedad no cumple, se detiene e inmediatamente escribe que no es subespacio vectorial del espacio indicado. .- Hecho útil, según Richard Hill. Como un subespacio es un espacio vectorial, debe contener al vector cero. Entonces, para determinar si un subconjunto S es un subespacio, primero verificamos si el vector cero está en S , y si el vector cero no está en S , se da por terminado el problema. No es subespacio: Si la ecuación implícita tiene un término(s) con un exponente. Si tiene términos independientes. Si tiene términos (variables de la coordenada) multiplicando. Todo éste análisis es posible con observar las ecuaciones implícitas. Pero aunque se sabe si es subespacio o no. Igual debe hacer la demostración por cuestión de evaluación académica. Términos que es necesario definir, serán útiles para este corte y el siguiente: 1) Espacio columna de la matriz de coeficientes

x22  2 x2 y 2  y 22  2 x3  2 y3  0  x22  2 x3  y 22  2 y3  2 x2 y 2  0 



subespacio o subconjunto puede ser cualquier variable y en mayúscula. Así mismo en diferentes textos también denotan al espacio vectorial como E . En el material de apoyo va a estar denotado por V . Comprobación:   1.- Sea 0  U . El vector 0  0 ,0   0  0  2  0  2 No cumple. Por lo tanto no es subespacio vectorial.



/ x1  x2  2 , ¿ U es

subespacio vectorial de R ? Solución: Se puede notar que en éste caso el subespacio está identificado como U , quiere decir, que el

EC  A : está dado por el subespacio R n , generado

por los vectores columna de A . 2) Espacio renglón de la matriz de coeficientes

ER A : está dado por el subespacio R n , generado

por los vectores fila de A . 3) Espacio nulo de la matriz de coeficientes EN  A : sea A una matriz de m x n , el conjunto

x  R



/ AX  0 . En algunos contextos EN  A también se llama núcleo o Kernel de A y se denota por ker A . n

Docente: Ing. MSc. Blanca Yraida Carvajal Contenido libro texto, material de apoyo del Prof. Lino Chacón. Web y preparación de Clase.

3

Combinación lineal.  Un vector v se dice que es combinación lineal de     un conjunto de vectores S u1 ,u2 ,u3 , ,un  . Sí  escalares  1 , 2 , 3 , , n tales que      v   1u1   2u2   3u3     nun tiene solución. Ejm5. Determine si el vector 2,1,4  es combinación lineal de los vectores 4 ,1,1   1,3,1 . Solución: i ) El vector 2,1,4  será combinación lineal de los vectores 4 ,1,1   1,3,1 , si  escalares    tales que: 2,1,4   4,1,1    1,3,1 ii ) Se escribe el sistema de ecuación lineal correspondiente.

4    2    3  1      4 

ii ) Se escribe la matriz aumentada A B , se realiza operaciones elementales, hasta formar una matriz escalonada o matriz escalonada reducida.  4  1  2 operac. elementales      1 3  1  f 2  f1  1 1  4  O .E .

3  1  1  4  1  2  4 f  f 1 2    1 1  4  f1  f 3

O .E .

 3  1   1 0  13   2  1 13 f 2   0 4  5  1 4 f 3

O .E .

 1 0  7 13  1 3  1   0 1  2 13  f  f 3 0 1  2 13     2  0 1  5 4   3 f 2  f 1 0 0  57 52 Utilizando el teorema de Rouché-Frobenius, se tiene que : RC  2 , R A  3  RC  R A . Sistema

incompatible. Por lo tanto, el vector 2,1,4  no es combinación lineal (CL) de los vectores dados. Ejm6… Determine si el vector 4 ,5,7 ,7  es combinación lineal de los vectores 2,1,1,3   1,1,2,1 .

Ejm7. Determinar si el vector 3,7 ,0 ,3 es combinación lineal del conjunto 1,1,2,1,2,5,3,4 ,1,2,4 ,3 i ) El vector 3,7 ,0 ,3 será combinación lineal (c.l.) de los vectores 1,1,2,1,2,5,3,4 ,1,2,4 ,3 , si  escalares  ,    tales que: 3,7 ,0 ,3 =  1,1,2,1   2,5,3,4   1,2,4,3 ii ) Se escribe el sistema de ecuación lineal correspondiente.   2     3   5   2  7   2  3   4  0   4   3  3 ii ) Se escribe la matriz aumentada A B , se realiza operaciones elementales, hasta formar una matriz escalonada o matriz escalonada reducida.

1 1  2  1

2 5 3 4

   

1 2 4 3

3 7  0  3

O .E .

  f1  f 2  2 f1  f

1 2 0 3  0  1  0 2

1 1 2 2

 3   4    6   0 

1 2 0 0  0  1  0 0

1 7 2 6

 3    14  6     12

1 0  0  0

2 1 0 1 1 2 0 1

 3   2  6     2

1 0  0  0

2 1 1 2 0 1 0 1

 3  6    2    2

3

 f  f 1 4

O .E .

 3 f3  f 2 2 f3  f

4

O .E .

 1 7 f2  f3 16 f

4

O .E .

 f 2  f3

O .E .

  f3  f4 2f  f 3 2  f  f 3 1

4

1 2 0  5  1 0 0  1  0 1 0  2  O .E . 0 1 0  2       0 0 1   2   2 f 2  f1 0 0 1   2      0 0 0  0  0 0 0  0  Utilizando el teorema de Rouché-Frobenius, se tiene que : RC  3 , R A  3, n  3  RC  RA  RA  n . Solución compatible o única. Por lo tanto, el vector 3,7 ,0 ,3 es combinación lineal (Cl) de los vectores dados. Ejm8…  2  1  como Escriba en caso de ser posible v   1 2  combinación lineal de  1 0   0  1  1  2   ,  ,  A   0 1 1 0 2 1        Obs.:  Un vector v es una combinación lineal de     S u1 ,u2 ,u3 , ,un  , entonces esa combinación puede no ser única, es decir, puede dar como  infinitas soluciones, donde v es Cl.     S u1 ,u2 ,u3 , ,un  de muchas maneras.

i  Se escribe la combinación nula de los vectores del conjunto y es LI, sí       0 .  1,3,3    2,8 ,7    4 ,2,1  0 ,0 ,0  ii  Se forma el sistema:

1  2   4  0  3  8   2  0 3  7     0 

iii  se forma la matriz A B

1  2 4  0   3 8  2  0 3 7  1  0  

1  2 4  0    0 14  14  0   0 13  13  0    1  2 4  0   0 1  1  0  0 1  1  0   

O .E .

  3 f1  f 2 3f  f 1 3 O .E .

 1 14 f 2 1 13 f

3 O .E .

  f2  f 3 2f  f 2 1

RC  2  1 0 2  0    R A  2 R A  n Tiene 0 1  1  0  0 0 0  0  n  3    Dependencia e independencia lineal. infinitas soluciones.     Un conjunto de vectores u1 ,u2 ,u3 , ,un  son iv Se forma el sistema final. linealmente independiente si el sistema       2  0    2  1u1   2u2   3u3     nun  0       0     , donde   R 1   2   3     n  0   Variable libre. es linealmente dependiente. Teorema: Un conjunto de vectores son S  R 3 /   2 ,    ,   linealmente dependientes, si y sólo sí alguno de ellos se puede expresar como combinación lineal Ejm10… Determine si el conjunto de los otros. Teorema: Sea S un con conjunto de k vectores S  2 x 3  x  1, x 3  1, x 3  x 2  x  1,3 x 3  2  x 2 en R n . Entonces sí k  R n , S es linealmente es LD o LI. dependiente. Lema: Un sistema homogéneo de ecuaciones Ejm 11… Sea v1 ,v2 ,v3 ,v4  un subconjunto LI de V lineales con más incógnitas que ecuaciones tiene Determine si el conjunto siempre una solución no trivial. v1  v2  v3  v4 ,v1  v2  v3  3v4 ,3v1  v2  v3  7 v4  es LD o LI. Ejm9. Determine si el conjunto





S1,3,3, 2,8 ,7 ,4 ,2,1 es LD o LI. Solución:





Docente: Ing. MSc. Blanca Yraida Carvajal Contenido libro texto, material de apoyo del Prof. Lino Chacón. Web y preparación de Clase.