La Papiroflexia Como Recurso Lúdico En La Geometría 2009

2009 INSTITUCIÓN EDUCATIVA MARÍA AUXILIADORA DE GALAPA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS MILAGRO ESTHER VILLANUEVA DE MOYA

[LA PAPIROFLEXIA COMO RECURSO DIDÁCTICO EN LA ENSEÑANZA DE LA GEOMETRÍA] El presente documento permite dar a conocer el proyecto que vincula la papiroflexia como herramienta fundamental en la enseñanza de la geometría, desde el grado 6° hasta 9°, proyecto que ya se ha extendido a diferentes grados de la institución

LA PAPIROFLEXIA COMO RECURSO LÚDICO PARA LA ENSEÑANZA DE LA GEOMETRÍA DESCRIPCIÓN GENERAL DEL PROYECTO El proyecto titulado LA PAPIROFLEXIA COMO RECURSO LÚDICO PARA LA ENSEÑANZA DE LA GEOMETRÍA es una experiencia que se viene implementando desde el año 2005 6º A y 6º B del INEMA, hoy grado 10º de la misma institución, y que surgió a partir de los problemas de conceptualización que mostraron estos mismos estudiantes en cuánto a la geometría. A pesar que la geometría tiene muchas ventajas con respecto a otras ramas de la matemática por su carácter gráfico, gran parte de los estudiantes tienden aún a confundir lo que en realidad es el objeto de estudio de la geometría con procedimientos propios de un dibujante, logrando únicamente la memorización de las propiedades y de algoritmos para el trazado de figuras y no se contrasta esto con los elementos propios y manipulables de su realidad. Algunos estudiantes manifestaron que no prestan atención a sus clases de geometría por falta de métodos nuevos y creativos empleados por algunos docentes, otros aunque están atentos a sus clases no se sienten muy contentos porque la manipulación de elementos y conceptos geométricos solo la hacen con su cuaderno o con el tablero. Todo esto impide que la aprehensión de conceptos geométricos se dé en forma inadecuada y no se logren a cabalidad los propósitos trazados en el curso. JUSTIFICACIÓN Los docentes que laboraban en el grado 6º de la Institución María Auxiliadora de Galapa quisieron presentar a los estudiantes la geometría de una de una manera más llamativa y divertida buscando superar esa apatía y desagrado que mostraron algunos de ellos para el estudio de esta área de matemática en general. Pretendían además que las clases se tornaran más participativas y productivas para lograr que ellos mejoren notablemente la calidad de la educación matemática, sean competentes en la institución y en su contexto en general. Para conseguir lo anterior han utilizado el origami como esa herramienta didáctica en el aula de clase que además de mejorar el ambiente de aprendizaje, evita que los conceptos aprendidos por los estudiantes no se queden únicamente en el proceso memorístico, sino que trascienda a su realidad inmediata. DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA Realizando un diagnóstico con los estudiantes de 6º de la Institución Educativa María Auxiliadora de Galapa, se pudo observar que existían dificultades para reconocer elementos geométricos de su entorno, sin embargo el trazado de figuras geométricas y repetición de conceptos se realizaba casi perfecto, siempre y cuando se guiaran por su esquema algorítmico establecido, pues al modificar algunos pasos de dicho esquema trazado se truncaba su actividad y les era difícil continuar con ella; lo cual llevó a pensar que éste procedimiento se estaba desarrollando de manera memorística e inadecuada, impidiendo así un eficaz logro de metas trazadas para el curso. A partir de esta situación surge la inquietud de encontrar una herramienta o mecanismo que facilite la comprensión y aplicación de conceptos geométricos en la solución de problemas cotidianos y que se utilice de una manera lúdica en el aula de clase. PROPÓSITOS 1. PROPÓSITO GENERAL Fomentar el uso y la comprensión de conceptos geométricos utilizando como herramienta la papiroflexia u origami. 2. PROPÓSITOS ESPECIFICOS 2.1. CURRICULARES



Estudiar y analizar conceptos básicos de geometría (punto, línea recta, líneas paralelas, perpendiculares, etc)  Estudiar y analizar las propiedades de diversas figuras geométricas y poliedros  Desarrollar la destreza., exactitud, precisión manual, lateralidad y percepción espacial a través de la elaboración de figuras en papel 2.2. TRANSVERSALES  Fomentar la imaginación y la creatividad dentro de la educación plástica y artística en el origami ofreciendo un componente lúdico en sus realizaciones creativas en papel  Crear espacios de motivación personal para desarrollar la creatividad y medir el grado de coordinación entre los real y lo abstracto  Fortalecimiento de la autoestima a través de la elaboración de sus propias creaciones REFERENTE TEÓRICO-CONCEPTUAL El marco conceptual que encauza nuestro trabajo se basa prácticamente en la idea de hacer más significativo el conocimiento matemático, en éste caso de la geometría que en esencia es abstracto y descontextualizado (Moreno, 2002), la presencia de estos factores en las matemáticas motiva a la búsqueda de estrategias y herramientas mediadoras para el aprendizaje. Además teóricamente nos fundamentamos en la teoría elaborada por los educadores matemáticos Pierre y Dina Van Hiele, la cual hace referencia a la capacidad cognitiva del estudiante en geometría y de la cual podemos resaltar las siguientes características:  El aprendizaje de la Geometría se hace pasando por unos determinados niveles de pensamiento y conocimiento que no van asociados a la edad y que solo alcanzado a un nivel se puede pasar al siguiente.  Alcanzar un nivel superior de pensamiento significa que, con un nuevo orden de pensamiento, una persona es capaz, respecto a determinadas operaciones, de aplicarlas a nuevos objetos.  Destaca como aspectos importantes el lenguaje utilizado y la significatividad de los contenidos  No hay un método panacea para alcanzar un nivel nuevo pero, mediante unas actividades y enseñanza adecuada se puede predisponer a los estudiantes a su adquisición  El paso de un nivel a otro depende más de la enseñanza recibida que de la edad o madurez El modelo Van Hiele consta de cinco niveles de razonamiento a través de los cuales progresa el razonamiento matemático de los individuos, desde que inician su aprendizaje hasta que llegan hasta el máximo grado de desarrollo intelectual, en el campo a estudiar. Estos niveles son: Nivel 0: VISUALIZACIÓN O RECONOCIMIENTO Nivel 1: ANÁLISIS Nivel 2: ORDENACIÓN O CLASIFICACIÓN Nivel 3: DEDUCCIÓN FORMAL Nivel 4: RIGOR La actividad matemática se enfrenta con un cierto tipo de estructuras que se prestan a unos modos peculiares de tratamiento, que incluyen: a) una simbolización adecuada, que permite presentar eficazmente, desde el punto de vista operativo, las entidades que maneja b) una manipulación racional rigurosa, que compele al asenso de aquellos que se adhieren a las convenciones iniciales de partida c) un dominio efectivo de la realidad a la que se dirige, primero racional, del modelo mental que se construye, y luego, si se pretende, de la realidad exterior modelada La lúdica entra entonces a jugar un papel muy importante en la enseñanza de las matemáticas en este caso de la geometría, permitiendo que el proceso de aprendizaje sea mucho más eficaz, enriquecedor

y placentero para los estudiantes. La actividad matemática ha tenido desde siempre una componente lúdica que ha sido la que ha dado lugar a una buena parte de las creaciones más interesantes que en ella han surgido. El juego, tal como el sociólogo J. Huizinga (1938) lo analiza en su obra Homo ludens, presenta unas cuantas características peculiares:  es una actividad libre, en el sentido de la paideia griega, es decir, una actividad que se ejercita por sí misma, no por el provecho que de ella se pueda derivar  tiene una cierta función en el desarrollo del hombre; el cachorro humano, como el animal, juega y se prepara con ello para la vida; también el hombre adulto juega y al hacerlo experimenta un sentido de liberación, de evasión, de relajación  el juego no es broma; el peor revientajuegos es el que no se toma en serio su juego  el juego, como la obra de arte, produce placer a través de su contemplación y de su ejecución  el juego se ejercita separado de la vida ordinaria en el tiempo y en el espacio  existen ciertos elementos de tensión en él, cuya liberación y catarsis causan gran placer  el juego da origen a lazos especiales entre quienes lo practican  a través de sus reglas el juego crea un nuevo orden, una nueva vida, llena de ritmo y armonía. Un breve análisis de lo que representa la actividad matemática basta para permitirnos comprobar que muchos de estos rasgos están bien presentes en ella. La matemática, por su naturaleza misma, es también juego, si bien este juego implica otros aspectos, como el científico, instrumental, filosófico, que juntos hacen de la actividad matemática uno de los verdaderos ejes de nuestra cultura. Si el juego y la matemática, en su propia naturaleza, tienen tantos rasgos comunes, no es menos cierto que también participan de las mismas características en lo que respecta a su propia práctica. Esto es especialmente interesante cuando nos preguntamos por los métodos más adecuados para transmitir a nuestros alumnos el profundo interés y el entusiasmo que las matemáticas pueden generar y para proporcionar una primera familiarización con los procesos usuales de la actividad matemática. De esta manera presentamos entonces la enseñanza de la geometría de una manera lúdica, utilizando como herramienta clave para este proceso el origami o papiroflexia. El origami es el arte de origen japonés del plegado de papel (literalmente significa "Plegar" (oru) "Papel" (kami), en español de España se conoce como papiroflexia o "hacer pajaritas de papel". El origami es definido como “el arte educativo en el cual las personas desarrollan su expresión artística e intelectual”. Partiendo de una base inicial (cuadrados o rectángulos generalmente) se obtienen figuras que pueden ir desde sencillos modelos hasta plegados de gran complejidad. En cada trozo de papel que se utiliza hay patrones geométricos, combinaciones de ángulos y rectas que permiten a la hoja llegar a tener variadas e interesantes formas. Además el origami permite una conexión entre el cerebro, la mano, el ojo y de ahí su importancia en el aprendizaje de las matemáticas como estimulante del cerebro. En éste caso se utilizará como herramienta para la enseñanza de la geometría. Generalmente no se utilizan cuchillos, ni tijeras, ni adhesivos, simplemente se necesitan las manos y el papel, pero también hay herramientas como las pinzas que ayudan a un mejor manejo del papel, reglas y escuadras. Doblando y desdoblando el papel llegaremos a obtener la apariencia más exacta de la figura que queremos conseguir, aunque es frecuente que se precise de la unión de dos o más partes, pero insertándose una en otra. El tipo de papel a utilizar no tiene por que ser especial, podemos utilizar cualquier tipo de papel y con el tiempo y seamos un poco más expertos utilizaremos papeles especiales para conseguir mejores efectos en las figuras que creemos. Para doblar una figura no se necesita ser un experto, solo hay que recordar algunos consejos a la hora de ponernos “manos a la obra”  Utilizar papel manejable.  Realizar un plegado cuidadoso y pulcro, especialmente en los vértices.

 Trabajar en una superficie dura y lisa.  La perfección en el doblez se alcanza pasando la uña del dedo pulgar a lo largo del pliegue.  Seguir cuidadosamente la secuencia de confección de la figura.  No eliminar pasos intermedios.  Poner atención en cada paso, a su ejecución y dirección.  Estar concentrado en la labor a desarrollar.  Trabajar con las manos limpias. El origami es una disciplina que tiene muchas consideraciones, algunos la definen como un arte educativo en el cual las personas desarrollan su expresión artística, este arte se vuelve creativo, luego pasa a ser un pasatiempo y en los últimos años esta tomando vuelo desde el punto de vista matemático y científico. En sí, origami es una palabra de origen japonés que significa doblar papel y tomando este significado se creó la palabra de origen europeo: papiroflexia, con la cual se define este arte en España. El origami tiene varias facetas, se pueden considerar los plegados y el desarrollo del papel por separado, estos tuvieron un inicio por aparte pero luego se fusionaron en lo que conocemos ahora. Siempre se ha pensado que el origami es un juego en donde se hacen figuras sencillas y relacionadas con los seres vivos, esto fue en sus comienzos, pero el origami llama a figuras de dimensiones inimaginables desde elefantes de 2.70 m de altura hasta pájaros hechos de cuadrados cuyo lado tenía 4 milésimas de cm. Hay figuras que toman muchas horas (y días) de trabajo. Si queremos hablar de una clasificación del origami podemos considerar varios aspectos: la finalidad, el tipo de papel utilizado y la cantidad de piezas utilizadas. A continuación se presentan tres clasificaciones que se proponen de acuerdo a cada uno de los aspectos mencionados. De acuerdo a la finalidad:  Artístico: construcción de figuras de la naturaleza o para ornamento.  Educativo: construcción de figuras para el estudio de propiedades geométricas más que nada. De acuerdo a la forma del papel:  A papel completo: trozo de papel inicial en forma cuadrangular, rectangular o triangular.  Tiras: trozo inicial de papel en forma de tiras largas. De acuerdo a la cantidad de trozos:  Tradicional: un solo trozo de papel inicial (u ocasionalmente dos o tres a lo mucho.  Modular: varios trozos de papel inicial que se pliegan para formar unidades (módulos), generalmente igualen, que se ensamblan para formar una figura compleja. Es conocido en Japón como "yunnito". Transformar un pedazo plano de papel en una figura tri-dimensional, es un ejercicio único en la comprensión espacial. El origami es también importante en la enseñanza de la simetría, pues muchas veces doblar, lo que se hace en un lado, se hace igual al otro lado. Esto es, por lo tanto, una regla fundamental del Álgebra que se muestra fuera del marco formal de una lección de Matemática. Dentro del campo de la geometría, el origami fomenta el uso y comprensión de conceptos geométricos, tales como diagonal, mediana, vértice, bisectriz etc. Además, el doblado de papel, también permite a los alumnos crear y manipular figuras geométricas como cuadrados, rectángulos y triángulos y visualizar cuerpos geométricos. CONTENIDOS CURRICULARES QUE SE PUEDEN TRABAJAR CON ORIGAMI 1. CONCEPTOS  Situación en el espacio, distancias, giros y ángulos con relación a uno mismo y a otros puntos de referencia  Las figuras y sus elementos  Regularidades y simetrías(reconocimiento y reproducción)  Estimación de medidas

2. PROCEDIMIENTOS  Descripción de la situación y posición de un objeto en el espacio con relación a uno mismo y a otros puntos de referencia  Lectura, interpretación y construcción a escala de las figuras presentadas  Construcción de cuerpos geométricos a partir de figuras  Reconocimiento de las figuras geométricas que se van obteniendo utilizando diversos criterios  Búsqueda de simetría y regularidad 3. ACTITUDES  Interés y gusto por la descripción precisa de situaciones, orientaciones y relaciones espaciales utilizando el lenguaje geométrico básico ( el lenguaje geométrico debe introducirse según realizamos la actividad)  Sensibilidad y gusto por la elaboración y presentación cuidadosa de construcciones geométricas  Interés y perseverancia en la búsqueda de soluciones a situaciones problemáticas relacionadas con la organización y utilización del espacio  Curiosidad e interés por identificar formas y relaciones geométricas en los objetos del entorno (pensamiento asociativo, reconocer y buscar la geometría que nos rodea y cómo plasmarlo en nuestras figuras) ETAPAS PARA EJECUCIÓN DEL PROYECTO ETAPAS

CONTENIDOS

I

Conceptos básicos de la geometría

II

Figuras geométricas y sus propiedades

III

Propiedades de los cuadriláteros

IV

Transformaciones geométricas

V

Poliedros y sus propiedades

VI

Triángulos, cuadriláteros y circunferencia

VII

Teorema de Pitágoras

VIII

Líneas Notables de un triángulo

IX

Congruencia y semejanza de triángulos

X

Escalas y homotecias

METODOLOGÍA La metodología a utilizar permite que el estudiante experimente un constante proceso de descubrimiento y construcción de conocimientos a través la manipulación de material didáctico (papel) como herramienta facilitadora del aprendizaje de la geometría. Las clases son orientadas en su mayoría por el docente, sin embargo se darán espacios para que los estudiantes sean quienes las lideren. Para involucrar este nuevo recurso en la clase de geometría el docente presenta a los estudiantes un cuento que a medida que se vaya desarrollando irá dando origen a figuras de papel en las que se

apreciarán elementos geométricos que los mismos estudiantes irán descubriendo y comparando con los elementos de su entorno. A partir de esta primera actividad los estudiantes irán investigando acerca de lo que es la papiroflexia, su origen, técnica utilizada para construcción de figuras, etc; todo esto para que más adelante sean ellos quienes orienten una clase con sus demás compañeros. Con el transcurrir del tiempo se irán incluyendo diversas actividades que de una u otra manera pongan de manifiesto elementos geométricos, para que los estudiantes deduzcan características, conceptos básicos y la relación que todos ellos guardan con su realidad. A medida que se van desarrollando las actividades los contenidos van siendo más complejos y se han categorizado en las diferentes etapas antes mencionadas. Este proyecto se inicia con los estudiantes de 6º y se ha trazado un plan de trabajo para desarrollar con ellos mismos hasta el grado noveno; sin embargo se pretende extender a grados posteriores para obtener mejores resultados en cuanto a la calidad de la educación matemática actual. TÉCNICAS DE EVALUACIÓN Para evaluar las etapas que se desarrollaron se utilizaron los siguientes medios:  Observación directa del profesor en el momento de manipular y maniobrar con el papel  Espacios de creación libre de figuras y explicación adecuada de procedimientos llevados a cabo para tal fin por parte de los estudiantes  Talleres grupales e individuales fuera y dentro del aula  Consultas e investigaciones en textos e internet  Evaluaciones escritas  Evaluaciones orales (uso adecuado del lenguaje geométrico y manejo de conceptos )  Autoevaluación  Puesta en común RESULTADOS OBTENIDOS La papiroflexia ha sido un gran recurso didáctico para la aprehensión de conceptos y procedimientos geométricos en la Institución Educativa María Auxiliadora de Galapa, tiene varios años de estar desarrollándose e internamente ha arrojado resultados satisfactorios dentro del grupo de estudiantes en el cual se está implementando. El proyecto como tal, se ha presentado en eventos a nivel municipal y departamental mostrando todos los resultados e impacto obtenido y por ello, se presentó también en el foro nacional de competencias matemáticas en el año 2006 y como taller para docentes en el 9° encuentro de matemáticas educativas en la ciudad de Valledupar en octubre de 2008. Con la papiroflexia como recurso lúdico para la enseñanza de la geometría, los alumnos han mostrado mayor interés y gusto para trabajar en el área, hoy en día les gusta participar y colaborar mucho en clases, manejan con propiedad los conceptos básicos de geometría (punto, línea, paralelas, perpendiculares, intersecantes, etc.), logran identificar claramente las propiedades de los polígonos además que los construyen con gran habilidad y destreza, construyen y clasifican poliedros según sus propiedades, identifican transformaciones geométricas y las líneas notables de los triángulos, aplican el teorema de Pitágoras de manera adecuada, entre otros; todo lo anterior asociado con situaciones de su entorno. Además de esto han desarrollado mayor fluidez en su parte oral (explicaciones a sus compañeros, exposiciones, etc), se ha fomentado el liderazgo en el aula de clase, el pensamiento crítico y sobre todo el desarrollo de competencias. Es de resaltar también que la integración y comunicación de los estudiantes ha mejorado notablemente y han ido aumentando poco a poco su autoestima. El proyecto hoy en día no solo se está desarrollando con los estudiantes con los cuales se inició, sino que se está implementando en otros grados, es decir se han involucrado más docentes en el desarrollo de este. También hace parte de las actividades que se desarrollan en las jornadas de cualificación a docentes por medio de la secretaría de Educación del Atlántico.

En fin los estudiantes han dado sus primeros pasos para mejorar la calidad de la educación matemática de Institución Educativa María Auxiliadora de Galapa. ACTIVIDADES A continuación se presentan algunas de las actividades elaboradas para los estudiantes: 1. EL CUENTO DEL CUADRADO La actividad básicamente está centrada en la lectura de un cuento titulado “el cuento del cuadrado”, con dicha lectura, los estudiantes además de estar atentos a ella, deben ir realizando con ayuda del docente cada una de las figuras mencionadas que van dando forma y sentido a la historia presentada. Cada una de esas figuras lleva inmersa en si conceptos como el punto, la línea, líneas paralelas, perpendiculares, ángulos rectos, cuadrados, triángulos, rombos, etc. 2. ELABOREMOS FIGURAS EN PAPEL Se van dando instrucciones para elaborar diferentes figuras en papel y al final la elaboración de éstas se hace un recuento de los conceptos aprendidos y que se pueden apreciar en cada una de las figuras. Esta actividad se realiza en diferentes espacios durante las actividades académicas buscando como propósito final la recolección de los procedimientos para realizar las figuras teniendo en cuenta el lenguaje matemático. 3. CONSTRUYAMOS POLÍGONOS EN PAPEL A través del plegado del papel se van elaborando cuadrados, rectángulos, triángulo, hexágonos, pentágonos; a medida que se vayan elaborando cada una de las figuras antes en mención se van descubriendo las diferentes propiedades que poseen ellas y de ésta manera se hace un análisis minucioso de semejanzas y diferencias existentes. 4. TRIÁNGULOS, CUADRILÁTEROS Y CIRCUNFERENCIA Para desarrollar esta temática se inicia con la elaboración de figuras en papel que lleven al estudiante a encontrar características de los elementos a estudiar, se generarán discusiones en torno a las dificultades que se presenten y se aclararán en compañía del docente. Se plantearan además situaciones problemas y evaluaciones por competencias que permitirán ver la asimilación de la temática. 5. LÍNEAS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO Como ya los estudiantes saben construir triángulos, a partir de aquí se comienza a indicar una serie de pasos que les permitirán distinguir lo que es la altura, la mediatriz, la bisectriz de un triángulo identificando además como se denomina el punto de encuentro de cada una de ellas. Ya realizada la actividad con material manipulable, se procederá a realizar este mismo proceso pero utilizando los instrumentos geométricos y por último se procede a la resolución de situaciones problema. 6. EL PROBLEMA DE LA CAJA En esta actividad se le indica a los estudiantes en el lenguaje matemático apropiado cómo se elabora una caja, a partir de ella se formulan una serie de situaciones que van a llevarlos al análisis y fortalecimiento de conceptos de área y de volumen. 7. SÓLIDOS GEOMÉTRICOS En esta actividad se realiza la construcción de sólidos geométricos con una nueva faceta del origami, la cual es el origami modular, la cual motiva mucho a los estudiantes por la vistosidad y resultados obtenidos al ensamblar las figura

PLAN DE TRABAJO DE GEOMETRÍA CON ORIGAMI ÁREA: MATEMÁTICAS ASIGNATURA: GEOMETRÍA DOCENTE(S): MILAGRO VILLANUEVA

GRADO: 6°- 9°

No

ESTANDARES

1. 2. 3.

Represento objetos tridimensionales desde diferentes posiciones y vistas. Clasifico polígonos en relación con sus propiedades. Predigo y comparo los resultados de aplicar transformaciones rígidas (traslaciones, rotaciones, reflexiones) y homotecias (ampliaciones y reducciones) sobre figuras bidimensionales en situaciones matemáticas y en el arte. Resuelvo y formulo problemas que involucren relaciones y propiedades de semejanza y congruencia usando representaciones visuales. Resuelvo y formulo problemas usando modelos geométricos. Identifico características de localización de objetos en sistemas de representación cartesiana y geográfica. Conjeturo y verifico propiedades de congruencias y semejanzas entre figuras bidimensionales y entre objetos tridimensionales en la solución de problemas. Reconozco y contrasto propiedades y relaciones geométricas utilizadas en demostración de teoremas básicos (Pitágoras y Tales). Aplico y justifico criterios de congruencias y semejanza entre triángulos en la resolución y formulación de problemas. Uso representaciones geométricas para resolver y formular problemas en las matemáticas y en otras disciplinas

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PROPÓSITO GENERAL Fomentar el uso y la comprensión de conceptos geométricos utilizando como herramienta la papiroflexia u origami. PROPÓSITOS TEMÁTICOS  Identifica entes geométricos del entorno  Establece relaciones entre rectas  Construye ángulos y polígonos  Construye figuras planas mediante diferentes técnicas, teniendo presente sus propiedades  Clasifica triángulos y cuadriláteros  Aplica el concepto de área y perímetro en los polígonos  Efectúa transformaciones geométricas en el plano  Valora la utilidad de la geometría para analizar diferentes situaciones relativas al entorno y recrea su presencia en la naturaleza y el arte  Representa objetos tridimensionales desde diferentes posiciones y perspectivas  Generaliza procedimientos para encontrar el área de regiones planas y volúmenes de sólidos  Reconoce y aplica las propiedades básicas de la circunferencia y sus elementos

  

Reconoce y contrasta propiedades y relaciones geométricas utilizadas en la demostración de diferentes teoremas Aplica y justifica criterios de congruencia y semejanza de triángulos en la resolución y formulación de problemas Establece relaciones entre algunos conceptos matemáticos previos como semejanza y sus aplicaciones en otros conceptos como escala

CONTENIDOS  Conceptos básicos de la geometría, como son, el punto, la línea recta, el plano, líneas paralelas, líneas perpendiculares, líneas transversales, ángulos, etc  Propiedades de algunas figuras geométricas planas, tal como el triángulo, el cuadrado, el rectángulo  Propiedades de los cuadriláteros, paralelogramos, trapecios  Traslaciones, rotaciones y reflexiones  Propiedades de los poliedros  Triángulos, cuadriláteros y circunferencia  Teorema de Pitágoras  Líneas notables de un triángulo  Congruencia y semejanza de triángulos  Escalas y homotecias

HERRAMIENTA UTILIZADAS PARA LAS CLASES El cuento del cuadrado Traducción libre por Alejandra León Castellá

a) Había una vez un pequeño cuadrado… b) Estaba muy triste, porque nadie quería jugar con él. "Ay", lloraba," si yo fuera tan flaco como mi hermano el rectángulo, o tan redondo como el círculo, o si yo tuviera esquinas tan preciosas como mi hermana el triángulo… Pero yo no tengo nada especial, todas mis esquinas son igual de largas y aburridas." Entonces tomó un… libro muy interesante y leyó este cuento.

c) Había una vez una pequeña bruja que dormía todo el día y volaba toda la noche en su escoba por el cielo ennegrecido. Hacía tanto frío, que siempre le daba por estornudar, hasta que se enfermó. Entonces se buscó un… pañuelo y se limpió la nariz.

g) " Mami, debes venir a visitarme. Mi casa de bruja es tan linda y tengo una excelente vista desde mi… ventana."

h) Al leer la carta, la mamá se fue hacia su… armario.

i) Allí se buscó un bellísimo… pañuelo de lunares rojos.

i) "Este es exactamente el correcto", pensó ella. "El pañuelo me mantendrá el pelo acomodado." Ella se lo probó frente a su… espejo viejo.

d) Su madre al verla estornudar le dijo: No puedes salir más de noche a volar en tu escoba. Mejor trae tu… velero. Y haz un pequeño viaje. El aire del mar te va a sentar bien.

e) Obediente, la brujita, tomó su velero y viajó por todos los mares hasta que descubrió en una bellísima play una… casa de brujas.

k) La bruja estaba ambienta, entonces antes de tomar su escoba, para ir a visitar a la pequeña bruja, decidió freírse un riquísimo… pescado.

f) "Aquí quiero quedarme", pensó la pequeña bruja y le escribió a su madre una… carta.

l) Y de postre buscó una tableta de… chocolate.

m) Después alistó su… cartera grande.

n) Y se montó en su escoba. "Oh, se me olvidaba algo.", dijo, mientras regresaba a su casa a buscar una… bolsa mágica.

0) Así se montó en su escoba y viajó por encima de los mares del mundo, hasta que finalmente encontró a la pequeña bruja que jugaba en la playa mientras observaba una colorida… mariposa.

p) "Que es esa horrible criatura", dijo la madre. Sacó una varita mágica y transformó a la mariposa en un gordo y horrible… sapo.

q) "Por favor no lo hagas", dijo la pequeña brujita. A mi me gustaba la bella mariposa. "Pues a mi me gusta más el sapo", dijo la madre. Pero por suerte pasó por allí otra mariposa y las dos se sintieron felices. Y desde entonces vivieron felices hasta su muerte. Nuestro pequeño cuadrado cerró el libro y se frotó los ojos. ¿Estaba despierto o soñaba? ¿ Será posible que todas estas cosas se puedan hacer al doblar un simple cuadrado? Entonces, eso quiere decir que todas estas formas están dentro de mi: un libro, un pañuelo, un bote, una casa, la carta, la ventana, el armario, el pañuelo para la cabeza, el

espejo, el pez, el chocolate, la bolsa mágica, la mariposa y el sapo. "Ahora creo que si podré encontrar niños y niñas que quieran doblar todas esas formas conmigo. Ahora no voy a aburrirme." Y, de pura alegría y entusiasmo, el cuadrado se tornó… rojo y brillante.

PARA EL DOCENTE: RECOMENDACIONES Es importante hacer algunas advertencias sobre esta propuesta y su realización con las y los más pequeños. El origami es un arte que requiere de paciencia, orden y secuencia en el aprendizaje. El tamaño del cuadrado para manitas pequeñas no debe ser ni muy grande ni muy pequeño, entre 16 a18 centímetros de base es apropiado para empezar. Se puede practicar con papel blanco primero y luego pasar a papeles de colores. Para reafirmar el autoestima y fortalecer la memoria, es importante practicar muchas veces una misma figura. Luego usarla, en la medida de lo posible, como la base para la próxima figura. El cuento así lo sugiere. Se parte de un cuadrado que se dobla solo una vez (b) por la mitad para formar un libro. Este libro (c) es la base del próximo, que requiere solo otro doblez, por la mitad más corta, para convertirse en un pañuelo y así sucesivamente: El libro es la base del armario (h), el armario es la base de la barra de chocolate (l), la barra de chocolate es la base de la cartera (m), etc. Además, muchas de estas figuras no trascienden el papel hasta que no se decoran con algunos elementos (dibujados o pegados): los lunares del pañuelo, los contenidos del libro y las perillas del armario, la puerta y las ventanas de la casa, etc. La práctica continua con papel puede permitir que docentes, madres y padres de familia y estudiantes visualicen las formas geométricas, las relacionen con lo que conocen a su alrededor, practiquen el orden en un proceso, realicen secuencias de pasos y manipulen las formas (dimensiones, proporciones, simetrías, rotación, etc.), mientras practican y perfeccionan destrezas motoras finas, crecen en abstracción y creatividad y descubren y se apropian de las figuras en sí. Porque, como decía Frank Openheimer , solo las cosas que descubrimos nosotros mismos, son realmente nuestras, aunque otras personas las hayan descubierto antes.

POLÍGONOS Y DOBLADO DE PAPEL RECTÁNGULO Ahora vamos a hacer algunos polígonos doblando papel. Para empezar necesitas una hoja de papel de cualquier tamaño; sólo considera que entre más pequeña sea, más difícil será hacer los dobleces. Las hojas de papel bond funcionan muy bien, si tienes papel de reciclaje, ¡qué mejor! Recuerda que los polígonos son figuras formadas por líneas. Para hacer nuestros polígonos, vamos a trazar líneas en la hoja. Para una línea recta, sólo hay que hacer un doblez así:

Cuando desdoblas la hoja habrás trazado una línea que se ve más o menos así:

A partir de esta línea vamos a obtener un rectángulo. Vuelve a doblar la hoja, pero ahora dobla sobre la línea que obtuvimos hace un rato. Para lograrlo, haz que la esquina B quede sobre la línea que acabamos de trazar.

Si vuelves a desdoblar la hoja notarás que se han marcado dos líneas. Estas líneas son perpendiculares, es decir, entre ellas hay un ángulo de 90°.

¿Estás de acuerdo en que estos dobleces forman un ángulo recto? ¿Por qué? Cuando hacemos lo mismo, pero con el otro extremo, trazamos otra línea que también es perpendicular a la original.

Después de este tercer doblez, tu hoja queda así:

¿Podrías decir qué tipo de líneas son las que hicimos en estos dos últimos dobleces? Si ambas son perpendiculares a la misma línea, entre ellas son... Para terminar de trazar nuestro rectángulo, hay que doblar hacia abajo procurando que los puntos D y E queden sobre sus respectivas líneas. Al desdoblar la hoja verás el rectángulo terminado.

CUADRADO Ahora vamos a construir un cuadrado a partir de un rectángulo.

Primero dobla la esquina superior izquierda hacia abajo de manera que la línea AD coincida con la línea AC.

Para obtener el cuadrado, recorta la línea EF y listo. Tu cuadrado quedará con una de sus diagonales trazada:

TRIÁNGULO EQUILÁTERO A partir de un rectángulo también se puede trazar un triángulo equilátero. La base de nuestro triángulo será la línea DC. Para comenzar, primero dobla el rectángulo por la mitad, haciendo que los puntos A y D coincidan con los puntos B y C, respectivamente.

Ahora dobla la esquina inferior derecha hacia arriba de manera que el extremo C quede sobre el doblez que acabamos de hacer.

El punto donde se unen el vértice C y la línea central es justamente el tercer vértice que necesitamos. Para completar el triángulo marca los lados OD y OC y recorta.

HEXÁGONO REGULAR Podemos hacer un hexágono regular de dos maneras. La primera es a partir de un triángulo equilátero. Comienza por dividir a la mitad el triángulo desde dos vértices distintos. Puedes hacerlo sobreponiendo la línea AB y la AC , y luego la BC sobre la AC.

Ese punto en donde se intersectan los dobleces es el centro del triángulo. Para terminar, dobla los vértices hacia adentro y hazlos coincidir en el centro del triángulo. Tu hexágono está listo.

Otra manera de hacer un hexágono regular es entrelazando dos tiras de papel del mismo ancho. Hazlo de esta manera: No dobles las tiras, simplemente forma los lazos; así no te costará trabajo jalar los extremos para formar un hexágono al centro del nudo que se verá así:

Ya sólo tienes que esconder lo que sobra de las tiras doblándolas hacia atrás. Tu hexágono regular está listo.

PENTÁGONO REGULAR Para hacer un pentágono regular, haz un nudo con la tira de papel de esta manera:

Una vez que recorras todo el papel, el nudo tiene básicamente la forma de un pentágono. Esconde lo que sobra de las tiras y listo.

TALLER DE GEOMETRÍA: LA CAJA

Una vez construida la caja, con tu regla, determina: (Todo con un decimal) Medidas de la caja (Largo, ancho, alto) Área de cada cara y área total. Volumen Diagonal de cada cara Diagonal del paralelepípedo Si la medida de un fósforo es 4,5 x 0,3 x 0,3 centímetros ¿Cuántos fósforos caben en la caja construida? (3 decimales) ¿Cuánto costaría esta caja de fósforos por ti construida si una caja de 45 fósforos en el comercio vale $80? Si ampliaras cada arista en 2 cm., ¿cuántos fósforos más cabrían? En el caso anterior, ¿qué medida debería tener el cuadrado original con el que se construyó el paralelepípedo?

EL TEOREMA DE PITÁGORAS En la actualidad, existen más de 1000 demostraciones del Teorema de Pitágoras lo que confirma que es uno de los teoremas que más han llamado la atención a través de la historia. Existen varias demostraciones que utilizan la papiroflexia para justificar este teorema y que se basan en pruebas geométricas clásicas. La más antigua que conozco es la que publicó en 1883 Sundara Row en su libro "Geometric Exercices in Paper Folding" y que recogen, entre otros, Kunihiko Kasahara (1989 y 2001) y Jesús de la Peña Hernández (2000). Basándome en la demostración matemática de este teorema propuesta por el matemático inglés Henry Perigal (1801-1898) he ideado una demostración “papirofléxica” del Teorema de Pitágoras. Me baso en un puzzle de cuatro piezas trapezoidales hechas de papiroflexia, ideado por Jean Jonson y publicado por Judy Hall (1995) y Jesús de la Peña Hernández (2000). Estos autores no utilizan el puzzle para demostrar explícitamente el teorema de Pitágoras y además las piezas trapezoidales del puzzle que propongo no tienen por qué tener las mismas proporciones que las ideadas por Jean Jonson.

Construimos cuatro piezas trapezoidales de la siguiente manera:

La demostración de Perigal es la siguiente: Sobre el mayor de los cuadrados construidos sobre los catetos se determina el centro (no necesariamente ha de ser este punto) y se trazan dos rectas, una paralela y otra perpendicular a la hipotenusa del triángulo. Con las cuatro piezas obtenidas más el cuadrado construido sobre el otro cateto podemos cubrir el cuadrado construido sobre la hipotenusa (Perigal 1874).

Y ya sólo queda colocar las piezas para demostrar el teorema de Pitágoras: Para realizar la papirodemostración del teorema de Pitágoras de un triángulo rectángulo cualquiera vamos a construir un puzzle de cinco piezas: una pieza cuadrada y cuatro trapezoidales iguales. Sea

un

triángulo

rectángulo

Para construir la pieza cuadrada:

cualquiera:

Origami modular: una oportunidad para estudiar poliedros en secundaria Noraísa González González V íctor Larios Osorio Introducción La secundaria en México introduce a los alumnos al estudio de los cuerpos geométricos utilizando diversos medios que, cada uno, ofrece ventajas y desventajas. En el Libro para el maestro de secundaria para Matemática se hace hincapié en la necesidad de que este estudio de figuras tridimensionales se lleve a cabo recurriendo a “la manipulación de los modelos físicos de los sólidos geométricos y otros objetos del mundo real” (pág. 291), por lo que durante algunas sesiones, en el segundo grado de la Secundaria „Mariano Matamoros‟ (Querétaro), se llevaron a cabo una serie de actividades dirigidas al estudio de algunos sólidos geométricos y al desarrollo de habilidades de razonamiento a través de la construcción y manipulación de estos cuerpos utilizando la técnica de construcción conocida como origami modular. El llamado origami modular se basa en la construcción de módulos o unidades (casi siempre iguales) que se pueden ensamblar en cuerpos geométricos o, en su caso, en figuras decorativas. Esta técnica tiene ventajas que le permiten ser considerada en una clase de matemática: los resultados son coloridos y existe la posibilidad de producir una sorpresa en los alumnos al saber que no tienen que usar herramientas típicas como la regla (para trazar y medir), el compás, las tijeras y el pegamento. Además, el costo de los materiales es mucho menor que el de otras tecnologías y está al alcance de la mayoría de los alumnos. Por otro lado, el origami es considerado un arte de economía, pues los productos resultan de trozos finitos y bien definidos de papel, por lo que se tiene que echar mano no sólo de habilidades motrices sino también de las habilidades de razonamiento y de la imaginación espacial para hallarle el sentido a una construcción cuando se está ensamblando o, incluso, cuando se están haciendo los módulos. Esta técnica también ofrece la posibilidad de manipular al final un modelo tridimensional sin haber tenido que hacer muchos trazos, aunque se tiene la desventaja de que a veces es tedioso hacer muchos módulos o el ensamble resulta un poco laborioso; sin embargo, para una persona perseverante, curiosa y paciente esta desventaja se puede convertir en un reto, mientras que para una persona que se impaciente le puede ayudar a desarrollar algunas actitudes como la paciencia. Así que con el origami modular se pensó en actividades que llevaran a los alumnos a conocer un tipo particular de poliedros: los regulares (ver figura 1). Para ello se hizo necesaria la recuperación de conocimientos relacionados con figuras geométricas como el cuadrado, el rectángulo y el triángulo equilátero, así como de algunas de sus propiedades que fueron aprovechadas

para realizar su construcción utilizando doblado de papel y, posteriormente, armar los siguientes poliedros: Tetraedro {3,3} (4 caras) Hexaedro o cubo {4,3} (6 caras) Octaedro {3,4} (8 caras) Dodecaedro {5,3} (12 caras) Icosaedro {3,5} (20 caras)

Tetraedro

Hexaedro o cubo

Octaedro

Dodecaedro

Icosaedro Figura 1. Poliedros regulares o sólidos platónicos Actividades Las actividades de construcción, de observación y análisis, y de discusión en el grupo que permiten la socialización de los resultados, de las observaciones y de los procedimientos obtenidos, pueden hacer de este recurso algo muy provechoso para la enseñanza y el aprendizaje de la matemática en la escuela secundaria. Se puede decir que las actividades que se realizaron tuvieron los siguientes propósitos, independientemente de aquellos que se presentan en el programa correspondiente: . Estudiar y analizar las propiedades de algunas figuras geométricas planas, tal como el rectángulo, el cuadrado y el triángulo equilátero. En estas propiedades se incluyeron la identificación de sus partes y de propiedades que permitieran su construcción. . Construir los poliedros regulares y estudiar sus propiedades básicas, particularmente sobre la forma y número de sus caras, así como la cantidad de vértices y de aristas. . Iniciar un estudio introductorio sobre las simetrías de los sólidos platónicos y sobre las relaciones que existen entre la forma de las caras de cada uno de ellos y el número de aristas que concurren en cada vértice. Además, el fomento de actitudes relacionadas con la investigación, la colaboración en equipo y el respeto a los demás en cuanto a su trabajo y sus opiniones, fueron situaciones que se propiciaron y se mantuvieron durante el desarrollo de las actividades para así permitir alcanzar el desarrollo de los conocimientos y las habilidades deseadas en un trabajo en conjunto. De esta manera, el trabajo en equipo se convirtió en un medio para promover el intercambio de ideas y la

cooperación, así como para ahorrar tiempo en las construcciones que requerían varios módulos. Por otro lado, vale la pena recordar que en el caso del origami modular existen diferentes tipos de módulos que varían entre sí no sólo por el procedimiento de construcción ni por la forma del trozo de papel inicial, sino también por el tipo de poliedro que se quiere obtener y por la parte de éste que cada módulo va a constituir principalmente: un vértice, una cara o una arista. Así pues, con estas consideraciones y algunas otras más básicas se realizaron las actividades que se describen a continuación. I. Preliminares. Inicialmente se realizó una recuperación de algunas características de las figuras geométricas que se utilizarían en la construcción de los poliedros. Esta recuperación se hizo a través de una investigación bibliográfica, el uso de los apuntes y la discusión en clase de figuras como el rectángulo, el cuadrado y el triángulo equilátero. Para el caso del rectángulo se consideraron las siguientes: . sus lados opuestos son de la misma longitud, y . sus ángulos (internos) son rectos. Fue interesante observar que, en su mayoría, los alumnos establecieron como característica necesaria para un rectángulo que tuviese dos lados largos y dos cortos, lo cual eliminaría automáticamente al cuadrado como un caso particular de los rectángulos y resulta ser un tema de investigación muy interesante, pero que no fue ahondado por no formar parte de los objetivos de las actividades. Además, esta característica se vio reforzada por el hecho de que el procedimiento para obtener un pedazo de papel de forma rectangular es aparentemente muy diferente al procedimiento que se sigue para obtener un cuadrado. Para el caso del cuadrado se recordaron las siguientes características: . sus cuatro lados son de la misma longitud, y . sus cuatro ángulos (internos) son rectos. En el caso del triángulo equilátero éstas son: . sus tres lados son de la misma longitud, y . sus tres ángulos (internos) son iguales y miden 60°. Una vez que estas características fueron recordadas se realizaron, con dobleces y sin usar ni regla ni compás ni lápiz, la construcción de cuadrados y triángulos equiláteros a partir de hojas rectangulares de papel. Para el caso de los cuadrados se les pidió a los alumnos que establecieran un procedimiento para obtener, a partir de una hoja tamaño carta, cuatro cuadrados del mismo tamaño, lo cual ocurrió al considerar el procedimiento „tradicional‟ para la obtención de cuadrados, tal como se muestra en el siguiente 1 diagrama:

3

Para el caso del triángulo equilátero existió una mayor complejidad, pero proporcionándoles algunas pistas (propiedades de los triángulos) a los alumnos se obtuvo un procedimiento que se muestra a continuación:

2

2

1

3

6 5 Simultáneamente al proceso de construcción se fueron recordando o estableciendo los nombres de las partes de las figuras geométricas a las que posteriormente se haría referencia al momento de construir los poliedros: vértices, aristas, caras, etcétera; así como de otros conceptos como: ejes de simetría, líneas perpendiculares y paralelas, congruencia entre figuras, etcétera. II. El cubo y el octaedro. Los primeros poliedros que se construyeron fueron el 2 hexaedro (cubo)¸ cuyo símbolo de Schläfi es {4,3}, y el octaedro {3,4}. Para ello se hizo una investigación inicial sobre el número de caras de los poliedros, el número de aristas y de vértices, poniéndose especial interés en el número de aristas que concurren en cada vértice y en el ángulo que forman dos aristas adyacentes sobre un cara (hecho relacionado directamente con la forma de tal cara). Con esta información se calculó la cantidad de módulos y de material necesario considerando los tipos módulos que se iban a utilizar. En ambos casos se parte de cuadrados de papel y se siguen los siguientes pasos para construir un cubo: 4

1 1

5

4

2

3

6

4 5

una especie de punta de flecha: Al igual que para el caso anterior, se notó que para la construcción completa eran necesarios seis módulos que se ensamblan como sigue:

5. En este paso los dobleces se hacen de sólo 90° sobre la superficie horizontal en la que se trabaja para obtener algo como lo que se muestra en el siguiente paso: Se hizo notar, tras la construcción de algunos módulos, que cada uno de ellos correspondía a una cara del poliedro, así que fueron necesarios seis que se ensamblaron como sigue:

1

2 Una vez que se terminaron de construir, los módulos fueron ensamblados y se obtuvieron los modelos de un cubo y de un octaedro, como por ejemplo:

2

1

3. Nota: Aquí se muestran sólo tres módulos ensamblados, por lo que habría que continuar de manera semejante con los tres restantes. Para construir los octaedros se recurrió a un tipo de módulo que genera sólo un „esqueleto‟ del poliedro, y éste se inicia a partir de cuadrados. El diagrama correspondiente es: 2

3

1 5. En este paso hay que presionar 4 en donde se indica con los triángulos para forzar al papel a que se levante y se forme

En este momento los alumnos recopilaron información sobre estos dos poliedros en cuanto a la cantidad de caras, aristas y vértices en cada caso, así como lo relativo a los ejes de simetría aprovechando la posibilidad de la manipulación directa. III. El dodecaedro. Para construir el dodecaedro {5,3} era necesario un módulo que permitiese la aparición de caras pentagonales y que en cada vértice concurriesen tres aristas, por lo que se recurrió al llamado módulo triangular de una pieza, que es atribuido a Benett Arnstein (Gurkewitz y Arnstein, 1995:37) y se inicia con un papel en forma de triángulo equilátero, por lo cual en este momento se recupera uno de los elementos que se trabajaron en la primera parte. El procedimiento de construcción se ilustra en el siguiente diagrama:

6

Para la figura se requieren 20 módulos, que se ensamblan aprovechando las puntas de cada uno y las „bolsas‟ que se crean bajo cada una de ellas: se insertan aquéllas en éstas como se muestra a continuación.

módulos necesario es la misma que la cantidad de aristas que tiene el poliedro. El siguiente diagrama ilustra su construcción:

Como resultado se forma primero un anillo pentagonal y luego se siguen uniendo módulos. Todos los lados deben quedar formados por anillos pentagonales. La figura debe quedar como aparece en la siguiente fotografía:

1

3

2 6

4

5 7

Nuevamente, después de la construcción y de algunas observaciones, se realizó la recopilación de la información referente a la cantidad de caras, aristas y vértices, así como acerca de los ejes de simetría. Otra cosa que se puede explorar es plantear a los alumnos situaciones relacionadas con la forma de los módulos. Por ejemplo, preguntar si un módulo en particular, cuyo procedimiento de construcción les es proporcionado a fin de obtener un poliedro en particular, les sirve para construir algún otro poliedro; si la respuesta es afirmativa, entonces averiguar cuál sería dicho poliedro, pero si es negativa inquirir si es posible modificar el módulo a fin de adaptarlo para un sólido diferente. Por ejemplo: si se considera que este módulo triangular sirve para poliedros en cuyos vértices concurren tres aristas, se podría preguntar si se puede utilizar para construir un cubo (en el que también en cada una de sus vértices concurren tres aristas), y si no se puede, entonces preguntar sobre las modificaciones posibles que se le podrían hacer al módulo para que sirviera. También es posible comenzar a „empujar‟ a los alumnos a que investiguen qué otros poliedros se pueden construir con un módulo en particular, pues, por ejemplo, este módulo triangular sirve para construir poliedros también con caras hexagonales y crear algo así como un futbolano o icosaedro truncado t{3,5}. IV. El tetraedro y el icosaedro Para el tetraedro {3,3} primero se miraron en un dibujo en perspectiva el número de caras y de aristas que tenía, pues el módulo que se utilizó se basa precisamente en este último dato. Hay que recordar que en un dibujo en perspectiva algunos elementos del poliedro quedan ocultos y es necesario que el alumno imagine el cuerpo desde diversos puntos de vista y esté de acuerdo con sus compañeros sobre el trabajo a realizar. El módulo al que se recurrió fue desarrollado por Lewis Simon y Benett Arnstein, el cual es llamado módulo triangular de arista (Gurkewitz y Arnstein, 1995:53) y se inicia con un rectángulo cuya longitud es el doble que su anchura (la mitad de un cuadrado cortado longitudinalmente). Por otro lado, la cantidad de

8

10 11

9

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14

En este paso hay que desdoblar la construcción hasta regresar al paso 7: 12 Para el ensamble se insertan los „picos‟ en las „bolsas‟ de tal manera que coincidan los dobleces. Se requieren 6 módulos, ensamblando 3 en cada uno de los vértices. El resultado es el siguiente:

Nuevamente, la recopilación de información referente a la cantidad de caras del poliedro, de sus aristas y vértices, sobre la cantidad de aristas que concurren en cada uno de los vértices (y si para todos los vértices es la misma cantidad) y sobre sus ejes de simetría, se realizó aprovechando la posibilidad de manipular los modelos. Igual que se comentó al final de la subsección anterior, se plantearon interrogantes acerca de la posibilidad de utilizar este módulo triangular de arista para construir algún otro poliedro. Tras revisar cuáles se habían construido y observar que sólo faltaba el icosaedro {3,5} se aventuró la respuesta de que éste podría ser realizado con dicho módulo. De hecho, una observación que apareció fue que con este módulo, en cada cara, se forma un ángulo de 60° en todos sus vértice, siendo una pista para determinar si realmente se podría utilizar para el icosaedro sin tener que construirlo primero. Tras el

cálculo de que serían necesarios 30 módulos, que se ensamblan de igual manera que para el tetraedro (los picos en las bolsas) hasta llegar a 5 piezas en cada uno de los vértices, se realizó el modelo que se ilustra a continuación:

Finalmente, las observaciones sobre la cantidad de caras, aristas y vértices se realizaron nuevamente, así como la determinación de cuántas aristas concurren en un vértices y la referente a los ejes de simetría. Comentarios finales Durante estas actividades se pudo observar que se despertó el interés en los alumnos y su participación se vio reflejada en la construcción de más modelos que los inicialmente fijados, en la participación en una muestra cultural en la escuela e, incluso, en la construcción de modelos de diferentes tamaños. El detalle relacionado con la manipulación manual a través de dobleces, la aparente sencillez de las construcciones y la sorpresa consiguiente del tipo de resultados sin el uso de cuales instrumentos llevó a despertar el interés que se dirigió hacia el estudio de los sólidos geométricos. El interés y la capacidad de razonamiento y de imaginación espacial se combinaron en los alumnos durante las construcciones, al grado de que una proporción significativa de ellos comenzaba a ensamblar los módulos tratando de lograr la construcción, que en más de una ocasión fue lograda exitosamente sin ayuda externa. El trabajo en equipo, que incluyó la comunicación y la cooperación entre los alumnos, se vio también fortalecido porque una vez que alguien lograba ensamblar los módulos o realizar las construcciones, generalmente existía la disposición para ayudar a los compañeros de clase (aunque no estuviesen necesariamente en el mismo equipo) a construir los modelos. Con las construcciones terminadas y la manipulación directa que se hizo, los alumnos lograron adquirir una seguridad suficiente para el manejo de los conceptos que se abordaron sobre simetrías y las partes de los poliedros. Hay que recordar que la manipulación directa de los modelos permite visualizar las simetrías de una manera mucho más accesible que por medio de dibujos o proyecciones en una pantalla. Por otro lado, se hizo una primera generalización de la relación existente entre la cantidad de caras, de aristas y de vértices de estos poliedros. De esta manera se realizó un primer acercamiento a la fórmula de Euler, la cual proporciona una herramienta que se puede usar para el cálculo de módulos necesarios para una cierta construcción, teniendo datos relacionados con las caras, los vértices y las aristas. Hay que aclarar que en este caso la orientación realizada por la profesora fue más explícita, en parte por la complejidad de manejar varias variables simultáneamente y determinar una relación.

Además, se logró que los alumnos comenzaran a establecer la relación de dualidad entre algunos de los poliedros (entre el hexaedro y el octaedro, entre el dodecaedro y el icosaedro, y entre el tetraedro y sí mismo) aprovechando la información recabada sobre la cantidad de aristas que concurren en cada uno de los vértices de los poliedros e imaginando los poliedros que se forman al considerar como vértices los puntos centrales de cada cara de un poliedro dado. Con base en todo lo anterior y en otras experiencias se puede afirmar que el origami, cuando se le considera como un auxiliar de la enseñanza de la matemática, ofrece técnicas que no sólo permiten la construcción de sólidos geométricos, particularmente poliedros, sino también de figuras en el plano utilizando materiales que son de fácil adquisición y económicos. Estas técnicas pueden ser explotadas al interior del aula mediante actividades centradas en construcciones de la geometría euclidiana, pero que al no utilizar la regla y el compás se permiten operaciones que pueden considerarse más cercanas al espíritu geométrico griego relativo al razonamiento deductivo y al uso de la regla no graduada y del compás sin memoria. Las técnicas de origami modular ofrecen la posibilidad de construir modelos que no se quedan en los poliedros regulares o semirregulares, sino también incluso en poliedros sin ejes de simetría, sólo es cuestión de buscar las técnicas y los módulos necesarios. Es preciso señalar que la utilización del origami en las clases de matemática no busca como objetivo principal el que los alumnos aprendan a doblar papel y a hacer figuras, sino que se busca propiciar el aprendizaje de conceptos matemáticos y el desarrollo de habilidades relacionadas. Por esto se hace necesario que las actividades diseñadas vayan dirigidas hacia tal aprendizaje a través de la construcción, la observación, el análisis y la investigación de casos y situaciones que podrían resultar interesantes o sorprendentes para el alumno. El origami ofrece la posibilidad de explorar un territorio geométrico con herramientas accesibles al alumno tanto desde un punto de vista material como cognitivo. En resumen, podemos argumentar que lo llamativo de los productos resultantes, que la potencialidad que tienen las técnicas en cuanto a la capacidad de ofrecer un medio de manipulación directa, que el hecho de que todas las técnicas pueden ser desarrolladas o entendidas como resultado de operaciones geométricas (que permite pensar en las razones matemáticas que sustentan las construcciones), que las posibilidades de investigación y observación directa sobre los modelos construidos, y que la situación particular de que (como consecuencia de lo anterior) las figuras o cuerpos resultantes pueden considerarse como representaciones de figuras o sólidos geométricos, hacen del origami un medio propicio para el diseño de actividades que permitan el aprendizaje del alumno sobre conceptos geométricos y matemáticos en la escuela secundaria.

CUADRILÁTEROS FIGURA: RECTANGULO Nombre de la Actividad Nivel Fase 1 Construcción de un rectángulo I

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CONSIGNA

1.- Tomen un trozo de papel irregular. 2.- Dóblenlo y córtenle un lado. 3.- Dóblenle otro lado de tal forma que quede haciendo ángulo recto con el primero, quedando otro lado. 4.- Escojan uno de los lados existentes y doblen perpendicularmente para que quede un tercer lado. 5.- Formen el cuarto lado de igual manera que los tres lados anteriores. 2 Nombrar los puntos donde unen dos lados de un rectángulo II 1 1.- Tomen un rectángulo e identifiquen sus cuatro esquinas. En cada esquina se encuentran dos lados que se tocan en ese mismo punto. 2.- Denle un nombre a ese punto. 3.- Ahora encuentra el punto de estos de arriba a la izquierda y ponle "A". 4.- Enseguida y en el mismo sentido que las manecillas del reloj localiza el siguiente punto y llámale "B". 5.- Continúa con la misma secuencia y llama "C" y "D" a los siguientes puntos. 3 Identificación de las partes de un rectángulo. I 2 1.- Doblen un rectángulo a través de dos esquinas (no importa si las otras dos esquinas no coinciden). 2.- Pónganle nombre al doblez que resulta (diagonal). 3.- Con el mismo procedimiento del paso 1, pero con las otras esquinas, encuentra la otra diagonal. 4.- Nombren el punto donde se cruzan las diagonales. 4 Comprobación de las propiedades del rectángulo. II 4 1.- Dado un rectángulo por superposición comprueben: a) si los cuatro ángulos son rectos e iguales; b) si los cuatro lados a veces no son iguales;

PLAN DE TRABAJO

OBSERVACIONES

1.- Se formarán equipos de tres integrantes. 2.- Elaborarán cada uno un rectángulo. 3.- En equipo compararán las figuras resultantes, estableciendo los parecidos y las diferencias.

Se pretende que el alumno identifique el rectángulo a través de la orientación dirigida y comparta sus experiencias con sus compañeros.

Sentados alrededor del salón identificarán lo vértices, de manera individual y con orientación dirigida.

Se pretende generalizar la idea de identificación de vértices.

Sentados alrededor del salón por parejas realizarán de forma individual los dobleces para después intercambiar opiniones acerca de los dobleces y los nombres otorgados.

Para esta actividad se requieren rectángulos de diversas dimensiones.

En equipos de 3 tratarán de realizar la comprobación.

Se pretende que el alumno alcance un nivel de pensamiento que le permita realizar comprobaciones iniciales

Se intercambiarán opiniones en los mismos

Se necesitarán rectángulos de diversas dimensiones.

Después de que los alumnos hayan nombrado las partes se le darán a conocer el nombre aceptado comúnmente.

c) si las parejas de lados opuestos son iguales entre sí.

FIGURA: ROMBO Nombre de la Actividad Nivel Fase CONSIGNA 5 Construcción de un rombo. Método I. I 2 1.- Tomen un rectángulo AB'CD' y obtengan la diagonal AC. 2.- Sobrepongan A y C para formar un doblez perpendicular a la diagonal en su punto medio (el punto O). 3.- El punto B se forma con la intersección del doblez del paso 3 con el lado B'C. 4.- El punto D se forma con la intersección del doblez del paso 3 con el lado AD'. 5.- Doblen de C a D y corten el triángulo que se forma con los puntos C, D y D'. Hagan lo mismo doblando de A a B y cortando el triángulo ABB'. 6.- El cuadrilátero ABCD es un rombo. 6 Construcción de un rombo. Método II. I 2 1.- Dado un rectángulo A'B'C'D', hagan dobleces en la mitad superponiendo el lado A'D' sobre B'C' y A'B' sobre C'D' para obtener los puntos medios de las lados A, B, C, D y el punto central O. 2.- Hagan un doblez que vaya de A a B, otro que vaya de B a C, otro de C a D y otro de D a A. 3.- Eliminen los triángulos que se forman en las esquinas del rectángulo. 4.- La figura resultante es un rombo. 7 Relación existente entre los rombos y los rectángulos. II 3 1.- Construyan un rombo que tenga diagonales de aproximadamente 20 cm y 14 cm. 2.- Recórtenlo y doblen las puntas de tal manera que sigan sobre el centro. 3.- Responda: a) ¿qué figura se forma?

equipos.

y no formales.

Los resultados y experiencias se intercambiarán ante el grupo.

Para la actividad se utilizarán rectángulos de diversas dimensiones.

PLAN DE TRABAJO

OBSERVACIONES

Se colocarán en círculo los alumnos para realizar de manera individual los dobleces. Identificarán en equipos las partes del rombo y las mencionarán junto con algunas características que se observen.

Se pretende que el alumno identifique la forma de la figura (el rombo) utilizando la orientación dirigida, pasando posteriormente al intercambio de experiencias. Al partir de rectángulos se sugiere que en estas dos actividades se utilicen rectángulos de distintas dimensiones, incluyendo cuadrados o casi cuadrados.

Se colocarán en círculo los alumnos para realizar de manera individual los dobleces. Identificarán en equipos las partes del rombo y las mencionarán junto con algunas características que se observen.

Se pretende que el alumno identifique la forma de la figura (el rombo) utilizando la orientación dirigida, pasando posteriormente al intercambio de experiencias. Al partir de rectángulos se sugiere que en estas dos actividades se utilicen rectángulos de distintas dimensiones, incluyendo cuadrados o casi cuadrados.

Cada alumno realizará el rombo y los dobleces. En equipos de 3 comentarán las características de la figura resultante. En el grupo de intercambiarán los resultados y observaciones.

Se intenta, al convertir un rombo en un rectángulo, que el alumno observe las relaciones entre estados dos figuras y las ubique como "parientes" dentro del mismo grupo de cuadriláteros (los

b) ¿cómo es su tamaño comparado con el del rombo? 8 Comprobación de las propiedades del rombo. III 4 1.- Construyan un rombo y por superposición comprueben: a) si los cuatro lados son iguales; b) si las diagonales son perpendiculares entre sí; c) si el punto O es el punto medio de las diagonales; d) si los ángulos opuestos son iguales; e) si es un paralelogramo. FIGURA: CUADRADO Nombre de la Actividad Nivel Fase 9 Construcción de un cuadrado. I

2

II

2

CONSIGNA

1.- tomen un rectángulo cualquiera y dóblenlo de tal manera que un lado corto coincida con un lado largo. El resultado es una figura hecha por un triángulo y un rectángulo más pequeño. 2.- Doblen por la línea que une al triángulo con el rectángulo pequeño y corten por ahí utilizando la navaja. 3.- Al quitar el rectángulo pequeño queda únicamente un triángulo doble. Desdóblenlo y se obtiene un cuadrado. 10 Determinar las partes del cuadrado.

paralelogramos).

El grupo se organizará en parejas. Individualmente se realizará la construcción de los rombos. En equipo se realizarán las comprobaciones. Se intercambiarán experiencias y observaciones en el grupo.

PLAN DE TRABAJO De manera individual se llevarán a cabo los dobleces y los cortes.

1.- Tomen un cuadrado y hagan Organizar a los alumnos en un doblez que vaya de esquina equipos de tres integrantes. a esquina. ¿Cómo llamarían a Se harán los dobleces y las este doblez? comprobaciones de manera 2.- Hagan otro doblez que el individual. otro par de esquinas. Se compararán los resultados 3.- Observen el punto donde se dentro de los equipos y, cruzan los dobleces. ¿Cómo posteriormente, en el grupo. llamarían a ese punto? 4.- Ese punto, ¿cómo divide a cada uno de los dobleces? 5.- ¿Qué ángulo forman los dobleces entre sí? 11 Comprobación de que el cuadrado es un caso particular de los rectángulos. II 4 1.- Tomen un cuadrado y Se formarán equipos de tres apliquen las propiedades del integrantes para intentar hacer rectángulo: la demostración en equipo. Comprobar que Se compararán los resultados a) los cuatro ángulos son en cada equipo. iguales; Se compararán los resultados, b) los lados opuestos son las observaciones y las iguales entre sí; conclusiones a nivel grupal. c) las diagonales se cortan

Se pretende que el alumno determine las características que no varían en los rombos, para lo cual se necesitarán rombos de distintas dimensiones y el intercambio de experiencias entre los alumnos.

OBSERVACIONES Se pretende que el alumno comience a construir cuadrados. Al igual que en otras actividades, se sugiere utilizar rectángulos de diversas dimensiones.

Se pretende que el alumno determine y nombre cuáles son las partes del cuadrado que siempre se presentan, aunque varíen de tamaño.

Se pretende que el alumno relacione las características de los rectángulos que posee el cuadrado para finalmente concluir que éste último es un caso particular de aquéllos. Nuevamente, y es

entre sí en sus puntos medios. (Actividad no. 4.)

importante, se sugiere utilizar cuadrados de diversas dimensiones para evitar el creer que el tamaño influye en este tipo de relaciones.

12 Comprobación de que el cuadrado es un caso particular de los rombos. II 4 1.- Tomen un cuadrado y Se formarán equipos de tres apliquen las propiedades del integrantes para intentar rombo: hacer la demostración en Comprobar que equipo. a) los cuatro lados son Se compararán los iguales; resultados en cada equipo. b) las diagonales son Se compararán los perpendiculares entre sí; resultados, las observaciones c) los ángulos opuestos son y las conclusiones a nivel iguales. grupal. (Actividad no. 8.) 13 Comprobación de las carácterísticas generales de los cuadrados. III 4 1.- Tomen un cuadrado y, por Se formarán equipos de tres superposición, comprueben las integrantes. propiedades del cuadrado: Se harán los dobleces de a) si los cuatro lados son manera individual. iguales; Se compararán los b) si los cuatro ángulos son resultados por equipo. iguales; Se compararán los c) si sus diagonales son resultados, las observaciones perpendiculares entre sí y se y las conclusiones a nivel cortan en sus puntos medios. grupal, estableciendo relaciones entre esta actividad y las dos anteriores. FIGURA: TRAPECIO Nombre de la Actividad Nivel Fase CONSIGNA 14 Construcción de un trapecio. I 2 1.- Tomen un rectángulo y elijan un lado al que llamaremos "borde". 2.- En el lado opuesto a la "base" escojan un punto. 3.- Unan los extremos de la "base" con el punto que escogieron utilizando dos dobleces. 4.- Hagan un doblez que sea paralelo a la "base". 5.- En la parte inferior, pegada a la "base", se forma una figura de cuatro lados a la que llamaremos trapecio. 15 Partes de los trapecios. II 2 1.- Tomen un trapecio y dóblenlo por dos esquinas opuestas. El doblez que resulta es una diagonal. 2.- La otra diagonal se obtiene de manera semejante, pero usando el

Se pretende que el alumno relacione las características de los rombos que posee el cuadrado para relacionarlos entre sí y concluir que éste es un caso particular de aquéllos. Nuevamente es importante utilizar cuadrados de distintas dimensiones. Se pretende que el alumno generalice las características inmutables de los cuadrados y lo considere como rectángulo y rombo, simultáneamente.

PLAN DE TRABAJO

OBSERVACIONES

El grupo se organiza en equipos de 2 ó 3 integrantes. Los dobleces y las construcciones se realizan de manera individual. Se comparan los resultados en los equipos.

Se pretende que el alumno logre una visualización general de los trapecios.

Después de organizar por equipos al grupo, los dobleces y la observación se llevará a cabo individualmente, para posteriormente intercambiar experiencias en los equipos.

El alumno determinará qué partes del trapecio son invariables, sin considerar cuestiones de tipo cuantitativo.

otro par de esquinas. 3.- EL punto donde se cruzan las diagonales, ¿cómo lo llamarías? 4.- El lado que llamamos inicialmente "base" se le llama "base mayor". 5.- Al lado opuesto a la "base mayor" se le llama "base menor". 6.- Las dos "bases", ¿son paralelas entre sí? 16 Construcción de un trapecio escaleno. I

2

1.- Tomen un rectángulo y hagan el mismo procedimiento que se hizo para hacer el trapecio (actividad 14), con la pequeña diferencia de que el punto escogido en el lado opuesto a la "base" NO sea el punto medio. 17 Propiedades de los trapecios escalenos. III 4 1.- Tomen un trapecio escaleno y comprueben que: a) las dos bases son paralelas entre sí; b) los dos lados que no son bases NO son iguales; c) las diagonales tampoco son iguales. 2.- Si saben acerca del triángulo escaleno establecer la relación éste por lo del nombre. 18 Construcción de un trapecio isósceles. I 2 1.- Tomen un rectángulo y hagan el mismo proceso que se siguió para el trapecio (actividad 14), pero ahora el punto elegido debe ser el PUNTO MEDIO del lado opuesto a la base. 19 Propiedades del trapecio isósceles. III 4 1.- Tomen un trapecio isósceles y comprueben que: a) las dos bases son paralelas; b) los lados que no son bases son iguales; c) las diagonales son iguales; d) los ángulos en los extremos de la base mayor son iguales; y e) los ángulos en los extremos de la base menor son iguales.

Se organizan a los alumnos por equipos. La construcción se lleva individualmente y, al final, se comparan resultados en los equipos.

El alumno podrá visualizar la forma general de un trapecio escaleno y, sólo en caso de conocer a los triángulos escalenos, podrá comparar su forma y su forma con éstos últimos.

En equipos de tres integrantes llevar a cabo la actividad. Comentar dentro del equipo los resultados y posteriormente comentarlos a nivel grupal.

Se pretende que el alumno generalice las características de los trapecios escalenos.

Organizar equipos y doblar individualmente. Comparar los dobleces en los equipos y plantear la cuestión del nombre.

El alumno podrá visualizar la forma general de los trapecios isósceles y, sólo si conoce los triángulos isósceles, podrá comparar en forma y nombre aquéllos con éstos.

Organizar el grupo en equipos de tres alumnos. Realizar las comprobaciones y comentar los resultados en los equipos. Posteriormente comentar los resultados y observaciones a nivel grupal.

Se pretende que el alumno determine las características y propiedades generales de los trapecios isósceles, sin importar criterios cuantitativos.

2.- Si saben acerca del triángulo isósceles establecer la relación con éste por lo del nombre. 20 Construcción de un trapecio rectángulo. I 2 1.- Tomen un rectángulo y realicen el mismo procedimiento que se llevó a cabo para construir el trapecio (actividad 14) pero el punto escogido debe ser uno de los dos extremos del lado opuesto a la "base". 21 Propiedades del trapecio rectángulo. III 4 1.- Tomen un trapecio rectángulo y comprueben: a) si las dos bases son paralelas; b) si los lados que no son bases NO son iguales; c) si los ángulos en los extremos de uno de los dos lados que no son bases son rectos. 2.- Si saben acerca del triángulo rectángulo establecer la posible relación a través del nombre. 3.- Determinen si el trapecio rectángulo es trapecio isósceles o trapecio escaleno. FIGURA: TRAPEZOIDE Nombre de la Actividad Nivel Fase CONSIGNA 22 Construcción de un trapezoide. I

2

1.- Tomen un cuadrado y háganle un doblez que pase por el centro, pero que no sea diagonal. 2.- Corten por el doblez hecho. 3.- Se han obtenido dos figuras congruentes, ¿qué son? 4.- Se hace ahora otro doblez que pase por el centro del cuadrado inicial y que sea perpendicular al primer doblez. 5.- Corten por el doblez realizado. 6.- Se han obtenido cuatro figuras. ¿Qué son?, ¿cómo son?

Organizar el grupo en equipos de tres alumnos. Realizar la construcción de manera individual. Comentar los resultados en los equipos.

El alumno podrá crear y visualizar los trapecios rectángulos a partir de un rectángulo, formándose una idea general de los mismos.

Organizar al grupo en equipos de tres. Realizar los dobleces y las observaciones inicialmente de manera individual. Comparar los resultados por equipos y, posteriormente, a nivel grupal junto con las conclusiones.

Se pretende que el alumno determine las propiedades y características generales de los trapecios rectángulos y establecer, sólo si conocen los triángulos rectángulos, una analogía con éstos a través del nombre. Finalmente el alumno establecerá una relación de esta figura con las propiedades de los trapecios escalenos para concluir que aquéllos son un subconjunto de éstos últimos.

PLAN DE TRABAJO

OBSERVACIONES

Organizar al grupo por parejas. Realizar individualmente los dobleces y compararlos con su pareja.

Se pretende que, con la ayuda de todo el grupo, el alumno encuentra las características que tienen los trapezoides. Al igual que en actividades anteriores, es recomendable utilizar cuadrados de distintos tamaños.

Herramienta triangular para medir ángulos: Transportador

1. Doble el papel a la mitad y desdóblelo nuevamente.

Traducción por Luis Gerardo Meza, Instituto Tecnológico de Costa Rica, y Alejandra León Castellá, Fundación CIENTEC con autorización de la editorial. Nivel Esta publicación está dirigida a estudiantes de la educación media y superior, a clubes de origami y otros programas extracurriculares.

¿Qué significan las marcas en los arcos de la izquierda? ¿Cual es la razón entre el largo y el ancho de cada rectángulo, respectivamente, y el lado del cuadrado completo?

2. Doble la esquina superior derecha para abajo de tal manera que el vértice A caiga sobre el segmento BC. Asegúrese de que el doblez pasa por el vértice D. Kunihiko Kasahara, quien ha escrito muchos libros sobre origami, ha mostrado que con cuatro dobleces se puede hacer una herramienta muy útil para medir ocho ángulos de diferentes medidas. Si usted olvida su transportador alguna vez, aún podrá tener mucho poder de medición de ángulos con sólo utilizar una pieza cuadrada de papel. El proceso de doblado para hacer esta herramienta de medición es fácil si usted sigue las instrucciones paso a paso. Materiales necesarios para cada estudiante • Una hoja cuadrada de papel de origami u otro papel fino • Su diario de origami

¿Qué clase de triángulo acaba de construir?

3. Doble la esquina izquierda inferior hacia arriba hasta que se una con la esquina derecha del cuadrado.

Asociación Trabaje con una pareja. Cada persona deberá doblar su propia herramienta de medición.

Instrucciones de doblado y preguntas Cuando usted doble, piense en las respuestas a las preguntas generadas por los diferentes pasos del doblado. Cuando haya terminado, conteste las preguntas en su diario de origami.

¿Qué clase de triángulo ha formado?

4. Doble la base del triángulo tal como se muestra en la figura.

¿Qué tienen en común todos los triángulos del dibujo superior?

5. Usted ha doblado una herramienta triangular que sirve para medir ángulos.

2. Haga una lista de las diferentes medidas de los ángulos encontrados. 3. Las y los arquitectos llaman los triángulos 30-60-90 triángulos de 30° y los de 45-4590, triángulos de 45°. Explique por qué piensa que es así. 4. Use su herramienta para medir ángulos internos y externos en cada uno de los polígonos a continuación. Para medir algunos de los ángulos, necesitará la combinación de dos herramientas. Polígono regular

Medida de Medida cada ángulo ángulo interior exterior

del

Triángulo equilátero Hexágono regular Octágono regular Dodecágono regular

Recuerde contestar cada una de las preguntas en su diario de progreso en origami.

Explore su modelo Anote las respuestas a las siguientes preguntas en su diario de origami. 1. Desdoble su herramienta de medición angular y encuentre la medida de cada uno de los ángulos formados por los dobleces. Escriba los ángulos sobre los triángulos correspondientes en su herramienta y guárdelo para utilizarlo como referencia. Explique cómo averiguó la medida de cada Notas para las y los docentes

ángulo.

Objetivos • Explorar la relación entre las medidas de los ángulos • Explorar diversos tipos de triángulos rectángulos. • Aplicar el teorema de la suma de los ángulos de un triángulo. • Doblar la herramienta triangular de medición de

ángulos • Apreciar el poder, la simplicidad y la economía del origami

Materiales para educadores • Un cuadrado de papel encerado o un papel grande para demostración • Un proyector de filminas (transparencias) Tiempo 30 minutos Asociación Las y los estudiantes deben trabajar en parejas. Cada estudiante debe construir su propia herramienta de medición. Instrucciones generales El papel encerado de envolver alimentos (Patty paper) funciona bien porque los y las jóvenes pueden escribir las medidas de los ángulos directamente sobre el papel y mantenerlo dentro del diario de origami para referencia futura. Si los y las estudiantes tiene dificultad en seguir las instrucciones, usted puede demostrar la secuencia del doblado usando papel encerado en el proyector de filminas o con un papel grande. Estimule a sus estudiantes para que piensen sobre las preguntas incluidas en las instrucciones, mientras completan la secuencia. Después de que cada estudiantes haya completado el doblado, recuérdeles regresar a las preguntas y contestarlas en su diario de origami. Respuestas 1. La línea en el centro de los arcos indica que los segmentos son congruentes. 2. El lado largo del rectángulo y el lado del cuadrado son del mismo tamaño. El ancho del rectángulo es la mitad del largo del cuadrado. 3. Un triángulo rectángulo escaleno. 4. Un triángulo rectángulo escaleno 30-60-90. 5. Todos son triángulos rectángulos escalenos. 6. (No hay pregunta.) Explorando su modelo

1. Los y las estudiantes pueden anotar las medidas de los ángulos directamente en el diagrama. Deben justificar sus procedimientos y conclusiones en el diario de origami. Las razonamientos variarán de acuerdo a los ángulos medidos. Estimule a sus estudiantes para que compartan sus argumentos. 2. Los diferentes ángulos en la herramienta de medición son: 15°, 30°, 45°, 60°, 75°, 90°, 105°, 120°, 150° y 180°. 3. Las y los arquitectos utilizan herramientas con forma de triángulo rectángulo. Si usted conoce la medida de uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo, entonces usted puede calcular la medida del otro ángulo agudo. 4. Polígono regular

Medida de Medida del cada ángulo ángulo exterior interior

Triángulo equilátero

60°

120°

Hexágono regular

120°

60°

Octágono regular

135°

45°

Dodecágono regular

150°

30°

CONSTRUCCIÓN DE CÓNICAS MEDIANTE PAPIROFLEXIA En matemáticas recibe el nombre de cónicas un conjunto de curvas formado por la elipse, la parábola y la hipérbola. Dibujarlas y construirlas no siempre es fácil. En esta experiencia te mostramos un método que te permite llegar a obtener cualquiera de estas tres curvas mediante el plegado de una hoja de papel (papiroflexia). ELIPSE Toma un papel y dibuja en él una circunferencia lo más grande posible. Utiliza un rotulador para que pueda verse al trasluz. A continuación pinta un punto dentro de la circunferencia pero procurando que quede lejos del centro de la misma. Ya tienes preparado el material y podemos empezar a plegar de la siguiente manera: Tienes que plegar el papel de manera que, mirando a trasluz, hagas coincidir un punto de la circunferencia con el punto pintado dentro de ella como indican los dibujos.

Marca bien la línea de pliegue y abre el papel. Repítelo varias veces con distintos puntos de la circunferencia o direcciones de plegado. Cuantas más mejor. Después de haberlo hecho suficientes veces, abre de nuevo el papel y podrás ver que los pliegues perfilan una elipse en la que el punto que dibujaste es uno de los focos y el centro de la circunferencia el otro.

en la figura puedes observar como, poco a poco, va perfilándose la elipse una vez que se han hecho algunos cuantos pliegues HIPÉRBOLA Se procede de la misma manera que con la elipse pero pintando el punto fuera de la circunferencia en lugar de dentro. En este caso te conviene que la circunferencia sea un poco más pequeña, pero no demasiado. Los focos de la hipérbola resultante también son el punto dibujado y el centro de la circunferencia.

PARÁBOLA En este caso en lugar de una circunferencia hay que pintar una recta. Píntala mejor cerca de borde corto del papel y paralela al mismo. Pinta un punto no demasiado lejos de la recta en el lado que tienes más espacio y lejos de los bordes. Pliega el papel haciendo que al trasluz coincida un punto de la recta con el que tú has pintado. Marca bien el pliegue y después abre el papel. Repítelo varias veces con distintos puntos de la recta. Después de los plegados, al abrir el papel, verás que los pliegues perfilan una parábola en la que el foco es el punto que has pintado, y la recta la directriz.

VEMOS FORMAS GEOMÉTRICAS. CALCULAMOS LONGITUDES Y ÁREAS CON AYUDA DE LA PAPIROFLEXIA Una hoja Din A4 es un rectángulo de dimensiones 210 mm x 297 mm. Doblamos la hoja según las indicaciones de: como hacer un TRIÁNGULO EQUILÁTERO con una HOJA DINA4 Nos encontramos con una primera figura conocida: UN Nos fijamos en una altura del triángulo. Desplegamos y plegamos la hoja y nos damos cuenta que la altura mide (en mm.) AD = Llamaremos H a la altura AD del triángulo T1 Llamaremos L a la longitud del lado AB = AC = BD TODAS LAS MEDIDAS Y LOS CÁLCULOS LOS HAREMOS EN FUNCIÓN DE L y H Doblamos, haciendo coincidir dos vértices del triangulo y obtenemos UN Nombramos los vértices y ponemos las longitudes de los lados, en función de L y H. ¿Qué relación hay entre los elementos de este triangulo T2 y el triángulo T1? T1

lado AB = AC = BC =

T2

Altura : Área: Altura : Área

¿Qué relación hay entre el área de T1 y el área de T2? Si H = 210 mm ¿Cuánto mide L? y el área de T1 y T2 Desplegamos T2 y doblamos haciendo coincidir los vértices dos a dos así quedaran marcadas las tres alturas Define las tres rectas notables del triángulo ALTURA MEDIANA MEDIATRIZ

Observa: En un TRIÁNGULO EQUILÁTERO las tres coinciden Doblando el vértice A sobre el punto D obtenemos UN ¿Por qué figuras está formado? ¿Qué dimensiones tendrá esta figura? LADO CB EF CE Altura del trapecio

es en relación con T1

¿Cómo podemos calcular su área? ¿Qué relación hay entre el área de T3 y la de T1 El área del TRAPECIO es Si doblamos el punto B sobre E obtenemos UN ¿Por qué figuras está formado?¿Qué dimensiones tendrá esta figura?. LADO es en relación con T1 CD=DF=FE=EC Diagonal menor ED Diagonal mayor CF ¿Cómo podemos calcular su área? El área del ROMBO es Desplegamos para obtener T1 y plegamos los vértices A, B y C sobre el punto O y obtenemos UN ¿Por qué figuras está formado Lado del hexágono: Apotema es ¿Cómo podemos calcular su área?

El área de un polígono regular es OTRA PRÁCTICA CON PAPIROFLEXIA. TRIÁNGULOS ISÓSCELES Partimos de un folio DINA4 (221mm x 297 mm) . Doblamos el folio por la mitad, unos alumnos por el lado más largo y otros por el menor. Haz los siguientes dobleces.

Trabajaremos sobre el triángulo ABH El ángulo A mide: El ángulo B mide: Por lo tanto el triángulo ABH es lado

mide

El ángulo H mide:

¿por qué?

BH AH AB PERÍMETRO Y ÁREA DEL TRIÁNGULO ABH: Trabajaremos sobre el triángulo A‟B‟C‟ El ángulo A‟ mide: El ángulo B‟ mide: Por lo tanto el triángulo ABC es lado mide ¿por qué? A‟B‟ A‟C‟ B‟C‟ PERÍMETRO Y ÁREA DEL TRIÁNGULO A‟B‟C‟:

El ángulo C‟ mide:

Aˆ  HB y HA Aˆ '  de: ángulo

Bˆ  Hˆ  forman un HB HA Bˆ '  Cˆ '   A‟B‟ y A‟C‟ forman un A' B '  C ' A' ángulo de: AB Los triángulos que cumplen estascondiciones se dice que son SEMEJANTES C ' B' perímetro de ABH área de ABH   perímetro de A' B' C ' área de A' B' C ' Calcula el perímetro y el área de las tres figuras que hemos formado Cada alumno tomará un folio y hará un corte paralelo a un lado (procura doblar bien el folio antes de recortar) Con este nuevo rectángulo cada alumno realizará la práctica anterior y comparará los resultados entre sí

Aˆ

Bˆ

Hˆ

HB

HA

AB

Aˆ '

Bˆ '

Cˆ '

A‟B‟

C‟A‟

C‟B‟

HB A' B '

HA C ' A'

AB C ' B'