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LÓGICA MATEMÁTICA

autora

DENISE CANDAL REIS FERNANDES

1ª edição SESES rio de janeiro  2016

Conselho editorial  luis claudio dallier, roberto paes e paola gil de almeida Autora do original  denise candal reis fernandes Projeto editorial  roberto paes Coordenação de produção  paola gil de almeida, paula r. de a. machado e aline karina rabello Projeto gráfico  paulo vitor bastos Diagramação  bfs media Revisão linguística  bfs media Revisão de conteúdo  jonas da conceição ricardo Imagem de capa  shaiith | shutterstock.com

Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra pode ser reproduzida ou transmitida por quaisquer meios (eletrônico ou mecânico, incluindo fotocópia e gravação) ou arquivada em qualquer sistema ou banco de dados sem permissão escrita da Editora. Copyright seses, 2016. Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (cip) F363l Fernandes, Denise Candal Reis

Lógica matemática / Denise Candal Reis Fernandes.



Rio de Janeiro: SESES, 2016.



136 p. : il.



isbn: 978-85-5548-294-6



1. Lógica. 2. Implicação. 3. Equivalência. 4. Argumentos. 5. Sofisma.



6. Demonstração. I. SESES. II. Estácio. cdd 511.3

Diretoria de Ensino — Fábrica de Conhecimento Rua do Bispo, 83, bloco F, Campus João Uchôa Rio Comprido — Rio de Janeiro — rj — cep 20261-063

Sumário Prefácio 7 1. Fundamentos de Lógica 1.1  Problemas de raciocínio lógico 1.1.1  O princípio da casa dos pombos 1.2  Outros problemas envolvendo raciocínio lógico 1.3  A linguagem da lógica proposicional 1.3.1  Linguagem, Sintaxe e Semântica 1.3.2  Lógica Proposicional 1.4 Proposições 1.5  Princípios da lógica matemática 1.6  Valor lógico 1.7  Tabela verdade 1.8 Conectivos

2. Análise de Operações Lógicas 2.1  Operações lógicas fundamentais. 2.1.1 Negação. 2.2 Conjunção 2.3 Disjunção 2.4 Condicional 2.5 Bicondicional 2.6  Construção de tabela verdade de proposições composta 2.7  Tautologias, contradições e contingências: análise lógica por tabela verdade. 2.7.1 Tautologias 2.7.2 Contradições 2.7.3 Contingências

9 11 11 13 22 22 23 24 25 26 27 28

35 37 37 38 39 40 42 47 50 50 51 51

3. Implicações e Equivalências Lógicas 3.1  Implicações Lógicas 3.1.1  Definição e notação 3.1.2  Propriedades da implicação lógica 3.1.3  Tautologias e implicação lógica 3.1.4  Regras de inferência 3.2  Equivalências lógicas 3.2.1  Propriedades da equivalência lógica 3.2.2  Tautologias e equivalências lógicas 3.2.3  Regras de equivalência 3.3  Proposições associadas a uma condicional 3.4  As negações 3.4.1  Negando o “e” (Leis de Morgan) 3.4.2  Negando o “ou” (Leis de Morgan) 3.4.3  Negando a Condicional. 3.4.4  Negando o Bicondicional

57 58 58 59 60 63 71 71 71 72 78 81 81 82 83 84

4. Argumentos 85 4.1 Sentenças 4.2 Argumentos 4.3  Validade dos argumentos 4.4 Sofismas 4.5  Argumentos válidos fundamentais 4.6  Sentenças abertas, conjunto universo e conjunto verdade 4.6.1  Sentença aberta e conjunto universo 4.6.2  Conjunto verdade 4.7 Quantificadores 4.8  Quantificador universal 4.8.1  Quantificador existencial 4.8.2  Quantificador de existência e unicidade 4.9  Negação de proposições com quantificadores 4.9.1  Negação de proposição com quantificador universal 4.9.2  Negação de proposição com quantificador existencial

86 88 89 91 94 97 97 97 100 100 101 102 103 103 104

4.9.3  Negativa de proposições com dois quantificadores 4.9.4  Negações de proposições compostas quantificadas

5. Técnicas de Demonstrações 5.1  Demonstração utilizando tabela verdade 5.2  Demonstração direta 5.3  Demonstração condicional 5.4  Demonstração por absurdo 5.5  Anexo. Introdução a álgebra de boole 5.5.1  Sistema Binário 5.6  Lógica digital 5.7  Álgebra de boole 5.7.1  O sistema algébrico de boole 5.7.2  Os operadores 5.8  Portas lógicas

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111 113 116 121 124 127 127 127 128 128 128 129

Prefácio Prezados(as) alunos(as), Em várias atividades que desempenhamos no dia a dia, é importante desenvolvermos a capacidade de aprender conceitos e argumentar, inferindo certezas sobre a validade de certas afirmações, a partir do reconhecimento da validade de outras, de modo geral, mais simples. A Lógica Matemática trata justamente deste estudo. O desenvolvimento e aprimoramento da utilização da Lógica e do Raciocínio Lógico nos possibilita a formação de imagens mentais interessantes sobre as quais podemos nos apoiar de forma a desenvolvermos a capacidade de reconhecer semelhanças em situações que aparentemente são diferentes, mas que podemos tratar de modo único e já conhecido. A Lógica nos permite utilizar a construção de algoritmos de modo a resolver questões de maneira sistemática, formular conjecturas e verificá-las. Saber pensar1 desdobra duplo horizonte combinado: de um lado, exige habilidade metodológica; de outro, habilidade política. Saber pensar é a teoria mais prática que existe, ou a prática mais teórica que existe. Já não cabe separar pensar de intervir, ainda que as duas atividades tenham sua tessitura própria. Pensar é atividade tipicamente mental e intervir é atividade eminentemente prática, mas ambas se entrelaçam e fazem um todo só2. Há outra face interessante do saber pensar que é a possível confluência entre epistemologia e política social. Do ponto de vista epistemológico, saber pensar supõe traquejo metódico para lidar de maneira adequada com o conhecimento e seu processo de construção, desconstrução e reconstrução, enquanto, do ponto de vista da política social, saber pensar é pilastra crucial da cidadania ativa, para saber melhor intervir. Dito de outro modo, saber pensar é o emblema da cidadania inteligente. Relembrando Paulo Freire, saber “ler” a realidade, para a desconstruir criticamente e para nela intervir alternativamente. (DEMO, 2002) Começaremos, no capítulo um, propondo e resolvendo problemas intuitivos de Raciocínio Lógico e Lógica Matemática, introduzindo, então, a noção de proposição e sua relação com as sentenças, conectivos e valor lógico. 1 Pedro Demo em Saber pensar, disponível em http://abeno.org.br/ckfinder/userfiles/files/revista-abeno-2005-1. pdf#page=75. Acesso em 02/04/2016. 2 Demo P. Saber pensar. São Paulo: Cortez; 2000.

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As operações realizadas sobre as proposições são chamadas de operações lógicas, as quais obedecem às regras de cálculo, o cálculo proposicional. No capítulo dois, estudaremos as operações lógicas fundamentais: Negação, Conjunção, Disjunção Inclusiva, Disjunção Exclusiva, Condicional e Bicondicional, e suas tabelas-verdade. No capítulo três, estudaremos as estruturas lógicas - implicações lógicas e equivalências lógicas. Determinaremos quando podemos dizer que uma proposição implica outra, ou quando uma proposição é equivalente a outra. Ainda, analisaremos como negar proposições compostas apresentando-as de maneira mais simplificada, utilizando também a noção de equivalência lógica. De maneira simplificada, podemos dizer que a Lógica Matemática possui como objetivo o estudo da validade de argumentos. No capítulo quatro, identificaremos a estrutura de um argumento, identificando como um argumento válido ou não. Trataremos ainda neste capítulo dos quantificadores e respetivas negações, aplicando as relações lógicas já estudadas, em proposições com quantificadores. Para demonstramos a validade dos argumentos podemos utilizar algumas técnicas de demonstrações. Até então, utilizamos a tabela verdade para demonstrar que um argumento é válido. No capítulo cinco, veremos outras técnicas de demonstrações que nos permitirão demonstrar a validade de argumentos, sem montar a tabela verdade. Além disso, ainda neste capítulo teremos uma introdução a Álgebra de Boole, quando identificaremos o sistema de numeração binária, associando valores lógicos - verdadeiro e falso - ao zero e um. Conheceremos também as portas lógicas e as associaremos às operações com conectivos. Bons estudos!

1 Fundamentos de Lógica

1.  Fundamentos de Lógica Podemos dizer que Lógica Matemática é, essencialmente, o estudo da natureza do raciocínio e das formas de aumentar ou melhorar sua utilização. Associamos a Lógica Matemática a análise de métodos de raciocínio, a um conjunto de regras para verificação se um pensamento é verdadeiro ou falso. A Lógica está interessada, principalmente, na forma em detrimento ao conteúdo dos argumentos, estuda conceitos e juízos, e é uma ferramenta poderosa que nos permite reconhecer contradições e eliminar probabilidades de erro. De maneira geral, a Lógica Matemática ainda tem por objetivo demonstrar se um argumento é válido ou mesmo ambíguo, evitando assim o duplo sentido. E para que se estuda Lógica? Estudamos Lógica Matemática para aumentar a capacidade de análise crítica dos argumentos utilizados na organização das ideias e dos processos criativos; melhorar a capacidade de racionalização e organização de ideias, bem como melhorar a compreensão de conceitos básicos, na verificação formal de programas, ou ainda para facilitar o entendimento do conteúdo de tópicos mais avançados. Raciocinar utilizando regras lógicas é muito importante para disciplinar o pensamento inferencial, evitando erros, e desenvolvendo a capacidade argumentativa, ajudando a detectar contradições lógicas. Podemos exercitar, treinar, desenvolver o pensamento lógico pode de modo a chegarmos a conclusões verdadeiras acerca dos mais variados assuntos.

OBJETIVOS •  Identificar a importância da Lógica matemática e sua contribuição às disciplinas correlatas. •  Resolver problemas intuitivos de Raciocínio Lógico e Lógica Matemática. •  Identificar e representar uma proposição. •  Analisar o valor lógico de proposição simples.

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1.1  Problemas de raciocínio lógico 1.1.1  O princípio da casa dos pombos Um tipo de problema bem interessante que envolve Raciocínio Lógico e Lógica Matemática é um problema clássico: trata-se do Princípio da Casa dos Pombos, também conhecido por Princípio das Gavetas de Dirichlet. Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet, matemático alemão, utilizou este problema, em 1834, com o nome de Schubfachprinzip, que significa justamente princípio das gavetas. A ideia do Princípio da Casa dos Pombos é que se pensarmos em um pombal no qual existam mais pombos que casinhas disponíveis, então algumas casinhas precisarão alojar pelo menos dois pombos. Podemos enunciar, de maneira simplificada, o Princípio da Casa dos Pombos como: Se precisamos colocar n+1 pombos em n casas, então pelo menos uma casa deverá conter, pelo menos, dois pombos. Raciocinando sobre o Princípio das Gavetas, podemos enunciá-lo como: Se temos n objetos para serem guardados em m gavetas, então pelo menos uma gaveta deverá conter mais de um objeto. Pensando em termos mais formal, o princípio pode ser encarado como se o número de elementos de um conjunto finito A é maior do que o número de elementos de um outro conjunto B, então uma função de A em B não pode ser uma função injetora. Ainda que se pense ser um fato bem elementar, este princípio é muito útil quando resolvemos problemas não tão imediatos, basta, no problema, na situação proposta, identificarmos quem faz o papel dos objetos e quem faz o papel das gavetas. SUGESTÃO DE OBJETO EDUCACIONAL: Princípio da Casa dos Pombos. http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/17106 Descrição do Objeto Educacional: Tipo do recurso: Animação/simulação Objetivo: Apresentar aos alunos o Princípio da Casa dos Pombos na versão simples e generalizada; Apresentar uma variedade não trivial de aplicações desse princípio em contextos diversificados

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Descrição do recurso: Neste software apresentamos o Princípio da Casa dos Pombos e sugerimos três atividades com aplicações variadas: uma aplicação geométrica, uma aplicação combinatória e outra em contexto de Teoria de Números elementar

EXEMPLO 1.

Em uma sala há um grupo de pessoas reunidas. Quantas pessoas devemos ter, no

mínimo, nesta sala, de modo a que possamos garantir que duas delas tenham nascido em um mesmo mês? Resolução: Pensando no “pior dos mundos” cada pessoa pode fazer aniversário em um mês diferente. Com esta ideia, associamos então cada pessoa ao seu mês de nascimento. Utilizando o Princípio das Casas de Pombos, uma vez que temos 12 casas precisaremos ter 13 pessoas, pois esta 13a pessoa fará aniversário em um dos meses já contemplados. 2.

Em uma caixa, há 7 lenços brancos, 9 cinzas e 10 amarelos. Lenços serão retira-

dos, ao acaso, de dentro dessa caixa. Quantos lenços, no mínimo, devem ser retirados ao acaso, de dentro dessa caixa, para que se possa garantir que, dentre os lenços retirados, haja um de cada cor? Resolução: Pensando na pior das hipóteses, tiraríamos: 10 lenços amarelos 9 lenços cinzas 1 lenço branco Totalizando: 20 lenços.

EXERCÍCIO RESOLVIDO 01. Quantas pessoas, no mínimo, devemos ter em um grupo para que possamos garantir a existência de, pelo menos, duas tendo nomes que começam com a mesma letra? (Considere um alfabeto com 26 letras.) Resolução: Pensando no “pior dos mundos” cada pessoa pode ter seu nome começando por cada uma das 26 letras do alfabeto.

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Se tivermos mais 1 pessoa, a letra do nome dessa pessoa coincidirá com alguma anterior. Precisaremos ter então 27 pessoas 02. Temos em uma caixa duas cores de bolas, de forma que 5 são vermelhas e 3 são azuis. Quantas bolas devemos tirar da caixa para garantirmos que haja duas bolas de cores diferentes? Resolução: Pensando no “pior dos mundos”, na “pior das hipóteses”, teremos a garantia do que se pede. Na pior das hipóteses retiraremos as 5 bolas vermelhas e só então, na sexta bola retirada, conseguiremos retirar a bola azul. Assim, teríamos 6 bolas retiradas. 03. Tenho 16 meias em uma gaveta, sendo 8 meias brancas e 10 meias pretas. Quantas meias, no mínimo, devem ser retiradas da gaveta, para se ter certeza de obter um par de meias de cores diferentes? Resolução: Pensando no “pior dos mundos”, na “pior das hipóteses”, teremos a garantia do que se pede. Na pior das hipóteses retiraremos as 10 meias pretas. Repare que ainda não temos um par de meias de cores diferentes. A 11a meia será branca, e dessa forma, teremos um par de meias de cores diferentes.

1.2  Outros problemas envolvendo raciocínio lógico 1. Uma lagarta sobe em uma árvore. Todos os dias sobe 7 metros, porém, à noite, escorrega e desce 5 metros. Ao anoitecer do 15º dia, a subida tem fim. Qual a altura dessa árvore? Resolução: 7m

5m

7m Subiu 2 m

Dia 1

Noite 1

2m

2m Dia 2

5m

7m

Subiu mais 2 m

Noite 2

Figura 1.1  – 

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Observe que, no primeiro dia, durante o dia, a lagarta sobe 7 metros. A noite, ela desce 5 metros. Dessa forma, no início do segundo dia, terá subido, na realidade, 2 metros somente. Continuando com este raciocínio, em 14 dias (dias e noites) a lagarta sobe 14 x 2 = 28 m. No 15o dia, pela manhã, sobe mais 7. Assim, a árvore tem 28 + 7 = 35 m 2. Três irmãs - Ana, Maria e Cláudia - foram a uma festa com vestidos de cores diferentes. Uma vestiu azul, a outra vestiu branco, e a terceira, preto. Chegando à festa, o anfitrião perguntou quem eram. •  A de azul respondeu: “Ana é a que está de branco”; •  A de branco disse: “Eu sou Maria”; •  A de preto respondeu: “Cláudia é quem está de branco”. O anfitrião sabia que Ana sempre diz a verdade. Ele foi capaz de identificar quem era cada irmã. As cores dos vestidos de Ana, Maria e Cláudia eram... Resolução: Vamos pensar em uma das irmãs e as possibilidades de cores dos vestidos. Ana pode estar de azul, de branco o de preto. Raciocinaremos sobre cada uma destas hipóteses. 1a hipótese: Ana está de azul. Pensando no que cada uma respondeu: •  A de azul respondeu: “Ana é a que está de branco” •  A de branco disse: “Eu sou Maria” •  A de preto respondeu: “Cláudia é quem está de branco”. Mas sabemos que Ana diz sempre a verdade!!! Esta irmã – a de azul - não pode ser Ana. Neste caso ela responderia: "Ana está de Azul". Portanto: Ana não está de Azul. 2a hipótese: Ana está de branco. Analisando o que cada uma respondeu: •  A de azul respondeu: "Ana é a que está de branco"; •  A de branco disse: "Eu sou Maria"; •  A de preto respondeu: "Cláudia é quem está de branco".

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Ana diz sempre a verdade. Esta irmã - branco - não pode ser Ana. Neste caso ela responderia: "Eu sou Ana". Portanto: Ana não está de branco. Logo: Ana está de Preto. Assim, chegamos a conclusão que Ana veste preto e, como Ana sempre diz a verdade. A que veste preto, ou seja, Ana, a que diz a verdade respondeu: "Cláudia é quem está de branco". Dessa forma, Cláudia está de branco e Maria está de azul. 3. Você está numa cela onde existem duas portas, cada uma vigiada por um guarda. Existe uma porta que dá para a liberdade, e outra para a morte. Você está livre para escolher a porta que quiser e por ela sair. Poderá fazer apenas uma pergunta a um dos dois guardas que vigiam as portas. Um dos guardas sempre fala a verdade, e o outro sempre mente e você não sabe quem é o mentiroso e quem fala a verdade. Que pergunta você faria? Resolução: Pergunte a qualquer um deles: Qual a porta que o seu companheiro apontaria como sendo a porta da liberdade? Ora, o mentiroso apontaria a porta da morte como sendo a porta que o seu companheiro (o sincero) diria que é a porta da liberdade. O sincero, sabendo que seu companheiro sempre mente, diria que ele apontaria a porta da morte como sendo a porta da liberdade.

REFLEXÃO Júlio César de Melo e Sousa (1895-1974), brasileiro, professor, pedagogo, matemático e escritor, mais conhecido pelo seu pseudônimo, Malba Tahan, escreveu o clássico da literatura

O Homem que Calculava, premiado inclusive pela Academia Brasileira de Letras. Júlio César de Melo e Sousa, considerado pioneiro da divugação da educação matemática no país, procura colocar a matemática de forma lúdica, interessante e divertida.

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LEITURA O Homem que Calculava http://educacao.globo.com/literatura/assunto/resumos-de-livros/o-homem-quecalculava.html

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Figura 1.2  –  Neste livro, Julio Cesar conta a história de Beremiz, um jovem árabe que viaja para Badgá com Hank Tade-Maiá, bagdali -natural de Bagdá. Beremiz, muito habilidoso em matemática, vai resolvendo vários problemas surgidos de situações ao longo da viagem. Um exemplo de situação resolvida no livro, é a do problema dos camelos. Vamos a ela: “ Poucas horas havia que viajávamos sem interrupção, quando nos ocorreu uma aventura digna de registro, na qual meu companheiro Beremiz, com grande talento, pôs em prática as suas habilidades de exímio algebrista. Encontramos, perto de um antigo caravançará meio abandonado, três homens que discutiam acaloradamente ao pé de um lote de camelos. Por entre pragas e impropérios gritavam possessos, furiosos: - Não pode ser! - Isto é um roubo! - Não aceito! O inteligente Beremiz procurou informa-se do que se tratava. - Somos irmãos – esclareceu o mais velho – e recebemos, como herança, esses 35 camelos. Segundo a vontade expressa de meu pai, devo receber a metade, o meu irmão Hamed Namir uma terça parte e ao Harim, o mais moço, deve tocar apenas a nona parte. Não

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sabemos, porém, como dividir dessa forma 35 camelos e a cada partilha proposta segue-se a recusa dos outros dois, pois a metade de 35 é 17 e meio. Como fazer a partilha se a terça parte e a nona parte de 35 também não são exatas? - É muito simples – atalhou o Homem que calculava. – Encarrego-me de fazer, com justiça, essa divisão, se permitirem que eu junte aos 35 camelos da herança este belo animal que, em boa hora, aqui nos trouxe! Neste ponto, procurei intervir na questão: - Não posso consentir em semelhante loucura! Como poderíamos concluir a viagem se ficássemos sem o camelo? - Não se preocupes com o resultado, ó Bagdá!! – replicou-me em voz baixa Beremiz. – Sei muito bem o que estou fazendo. Cede-me o teu camelo e verás no fim a que conclusão quero chegar. Tal foi o tom de segurança com que ele falou, que não tive dúvida em entregar-lhe o meu belo jamal, que, imediatamente, foi reunido aos 35 ali presentes, para serem repartidos pelos três herdeiros. - Vou, meus amigos- disse ele, dirigindo-se aos três irmãos – fazer a divisão justa e exata dos camelos que são agora, como vêem, em número de 36. E, voltando-se para o mais velho dos irmãos, assim falou: - Deverias receber, meu amigo, a metade de 35, isto é, 17 e meio. Receberás a metade de 36 e, portanto, 18. Nada tens a reclamar, pois é claro que saístes lucrando com esta divisão! E, dirigindo-se ao segundo herdeiro, continuou: - E tu, Hamed Namir, deverás receber um terço de 35, isto é, 11 e pouco. Vais receber um terço de 36, isto é 12. Não poderás protestar, pois tu também saíste com visível lucro na transação. E disse, por fim, ao moço: - E tu, jovem, Hamir Namir, segundo a vontade de teu pai, deverias receber uma nona parte de 35. Isto é, 3 e tanto. Vais receber uma nona parte de 36, isto é, 4. O teu lucro é igualmente notável. Só tens a agradecer-me pelo resultado! E concluiu com a maior segurança e serenidade: - Pela vantajosa divisão feita entre os irmãos Namir – partilha em que todos os três saíram lucrando – couberam 18 camelos ao primeiro, 12 ao segundo e 4 ao terceiro, o que dá o resultado (18+12+4) de 34 camelos. Dos 36 camelos, sobraram, portanto dois. Um pertence ao amigo e companheiro, outro toca a mim, por ter resolvido, a contento de todos, o complicado problema da herança!

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- Sois inteligente, ó Estrangeiro! – exclamou o mais velho dos três irmãos – Acertamos nossa partilha na certeza de que foi feita justiça e equidade! E o astucioso Beremiz – o Homem que Calculava – tomou logo posse de um dos mais belos “jamales” do grupo e disse-me entregando-me pela rédea o animal que me pertencia: - Poderás agora, meu amigo, continuara viagem no teu camelo manso e seguro! Tenho outro especialmente para mim! E continuamos nossa jornada para Bagdá.” Assim, temos o seguinte problema: Beremis Samir, o Homem que Calculava, e seu companheiro viajam num camelo pelo deserto. Brigam 3 irmãos por uma herança deixada pelo pai que morrera. Eram 35 camelos. O velho destinara 1/2 para o mais velho, 1/3 para o do meio e 1/9 para o mais novo. Solução: Dar o camelo em que montavam. Total: 36 camelos. Para o irmão mais velho 36/2 = 18 Para o irmão do meio, 36/3 = 12 Para o irmão caçula, 36/9 = 4 A Soma dos camelos dos irmãos é então: 18 + 12 + 4 = 34 E Beremis Samir, O Homem que Calculava, ganhou 1 camelo.

CONEXÃO Texto do problema, com comentários, em: http://www.uesb.br/mat/semat/seemat_arquivos/docs/mc4.pdf

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CURIOSIDADE Personagens Importantes na Lógica: Aristóteles, o Pai da Lógica Formal. Aristóteles (século IV a.C. 384 - 322 a.C.), um dos maiores pensadores de todos os tempos, foi um filósofo grego, pode ser considerado o pai do pensamento lógico, o fundador da Lógica Formal. Segundo Aristóteles, que foi aluno de Platão e professor de Alexandre, o Grande, a Lógica era um instrumento para todas as ciências, e ainda defendia que, partindo de conhecimentos considerados verdadeiros, podemos obter novos conhecimentos. Este pioneiro da Lógica Formal formulou regras de encadeamento de raciocínios que, a partir de premissas verdadeiras, chegava-se a conclusões verdadeiras.

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Figura 1.3  –  Alexandre de Afrodísia reunião e publicou, no século II da era cristã, as obras de Aristóteles sob o nome de Organun, que significa "ferramenta para o correto pensar". Esta obra estabeleceu princípios tão sólidos e robustos que são considerados válidos até hoje. Já no século XIX, alguns filósifos e matemáticos eles perceberam que somente a Lógica Fomal não era suficiente para se trabalhar no rigor matemático, uma vez que ela utilizava a linguagem natural e esta poderia ser imprecisa e vulnerável a ambiguidades. Boole e a Álgebra Booleana George Boole (1815-1864) foi um matemático inglês que criou uma álgebra da lógica, realizando uma analogia entre formas lógicas e símbolos algébricos. Boole publicou em 1854 este estudo em “An Investigation of the Laws of Thought on Which to Found the Mathematical Theories of Logic and Probabilities”. Este trabalho originou a Álgebra Booleana,

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a qual possui aplicações em construção de computadores, circuitos e sistemas de comunicação. Observe que este estudo foi publicado quase um século antes dos computadores digitais serem inventados.

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Figura 1.4  – 

Figura 1.5  –  Leibniz e a Língua Racional Gottfried Wilhelm Von Leibniz (1646-1716) foi um matemático e filósofo alemão, que acreditando na propensão da linguagem comum à ambiguidades e imprecisões, desenvolveu uma linguagem artificial, uma língua racional. Tratava-se de uma espécie de cálculo universal para o raciocínio, na qual as estruturas do cálculo, leis sintáticas lógicas, substituíam as estruturas do pensamento. ©© WIKIMEDIA.ORG

Figura 1.6  – 

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Leibniz construiu uma linguagem universal baseada em um alfabeto do pensamento (characteristica universalis), utilizando procedimentos análogos aos procedimentos matemáticos. Aos 20 anos, em 1666, o matemático alemão esboçou então um método para reduzir pensamentos de qualquer tipo e assunto, a enunciados de perfeita exatidão: De Arte Combinatória (Sobre a Arte das Combinações).

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De Morgan e suas Leis Augustus De Morgan (1806-1871) foi um matemático nascido em Madura, Índia, que contribuiu significativamente com o desenvolvimento da moderna simbólica. Augustus, que perdeu a visão do olho direito logo após o nascimento, introduziu as importantes leis de De Morgan e reformulou a Lógica Matemática. Figura 1.7  –  Frege e a Filosofia-Lógica Gottlob Frege (1848-1925) foi um matemático e lógico alemão que trabalhou na área da lógica com a filosofia da lógica matemática ©© WIKIMEDIA.ORG

e com a lógica da filosofia, enfim, na fronteira entre a Filosofia e a Lógica Matemática. Figura 1.8  –  Bertrand Russell, um Lógico na Educação Bertrand Arthur William Russell (1872-1970), filósofo e matemático foi um dos mais importantes lógicos do século 20, contribuindo de forma inovadora para os fundamentos da matemática e para o desenvolvimento da logica forma e filosofia. Além de descobrir o paradoxo que leva seu nome Paradoxo de Russell, Bertrand Russell defendia o logicismo, a visão de que a matemática é, em algum sentido significativo, redutível à lógica formal. A defesa do logicismo de Russel, em seus livros Principles e Principia Mathematica, baseava-se em duas teses. A primeira é que todas as verdades matemáticas podem ser traduzidas em verdades lógicas. A segunda é de que todas as

Figura 1.9  – 

provas matemáticas podem ser reformuladas como provas lógicas.

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Como um dos fundadores da "filosofia analítica", Russell, além de usar a lógica para esclarecer questões nos fundamentos da matemática, utilizava a lógica para esclarecer questões de filosofia. Em 1950, Bertrand Russell recebeu o Prêmio Nobel de Literatura, "em reconhecimento de seus variados e importantes escritos nos quais advoga ideais humanitários e a liberdade de pensamento".

LEITURA Bertrand Russell - Um lógico na Educação http://revistaescola.abril.com.br/formacao/bertrand-russell-logico-educacao-423329.shtml Autores vida e obra: Bertrand Russel. http://www.lpm.com.br/site/default.asp?TroncoID=805134&SecaoID=948848&SubsecaoID=0&Template=../livros/layout_autor.asp&AutorID=506200

MULTIMÍDIA Sugestão de vídeo: “Ser ou não ser” - Aristoteles e a Lógica - Viviane Mosé - Globo - Fantástico disponível em: .

1.3  A linguagem da lógica proposicional 1.3.1  Linguagem, Sintaxe e Semântica Linguagem é um sistema de símbolos, sinais ou mesmo objetos instituídos como signos, como um código. Dependendo da forma como estes símbolos são dispostos em sequência, apresentam significados distintos. A linguagem escrita possui um conjunto de símbolos - as letras do alfabeto, os sinais de pontuação, os acentos gráficos etc. Além desse conjunto de

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símbolos, a linguagem escrita possui também regras para juntar esses símbolos formando palavras e regras para juntar as palavras para formar frases. A este conjunto de símbolos e as regras de formação de palavras a partir dos símbolos chamamos de Sintaxe. No entanto, observamos que nem sempre quando agrupamos as letras, temos uma palavra existente, ou seja, nem sempre este agrupamento de letras possui significado. Assim, além da Sintaxe, temos outro elemento essencial a ser levado em consideração na linguagem: o significado, a interpretação, a Semântica. É importante que se perceba então a existência de uma significativa ligação entre a Semântica de determinada língua, a linguagem corrente e a Lógica Matemática. A Semântica trata da análise das sentenças, da relação dos elementos de uma língua e seus significados, tendo por objetivo escrever ou mesmo traduzir as sentenças da língua natural em uma forma lógica. Interessante perceber que podemos comparar os constituintes sintáticos e os componentes da lógica. A construção do significado nas línguas naturais está ligada intimamente à sintaxe e as estruturas lógicas das sentenças. A estruturação das sentenças pode modificar o seu sentido. Sabemos que quando estamos considerando o significado de uma sentença não podemos simplesmente considerar o somatório dos significados das palavras que a compõem, mas sim, precisamos observar as estruturas sintáticas e lógicas para que haja uma interpretação correta da sentença. Trataremos agora da estrutura, equivalente às sentenças da Gramática, da Lógica Matemática - as proposições. 1.3.2  Lógica Proposicional O alfabeto de uma linguagem é o conjunto dos símbolos que compõe a linguagem. Quando acrescentamos uma linguagem simbólica à Lógica Formal Aristotélica, temos a Lógica Proposicional, obtendo maior precisão. O alfabeto da lógica proposicional é constituído pelos símbolos: as proposições simples (atômicas), os conectivos lógicos e os delimitadores (os parênteses que servem para que as ambiguidades sejam evitadas) .

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1.4  Proposições Proposição (ou fórmula) é todo conjunto de palavras ou símbolos que expressam um pensamento de sentido completo. As proposições podem ser classificadas em proposições simples ou compostas. Proposição simples ou proposição atômica é aquela que não contém outra proposição como parte de si mesma, são os elementos indivisíveis da Lógica. Notação: De maneira geral, representamos as proposições simples por letras latinas minúsculas ( p,q,r,s,...) Eventualmente, quando precisamos analisar muitas proposições simples, utilizamos a letra p indexada por um número natural: p0, p1, p2, ...

EXEMPLO p: Maria é insuportável. q: Vamos ao cinema hoje. r: Faremos as tarefas de casa. s: Chove muito.

Proposição composta ou proposição molecular é aquela formada pela combinação de duas ou mais proposições simples. Notação: De maneira geral, representamos as proposições compostas por letras latinas maiúsculas (P,Q,R,S,...)

EXEMPLO R: Maria é insuportável e Pedro é irritante. S: Maria é insuportável ou Pedro é irritante. T: Se Maria é insuportável, então Pedro é irritante. V: Maria é insuportável se e somente se Pedro é irritante.

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1.5  Princípios da lógica matemática

COMENTÁRIO De acordo com o dicionário Aurélio (http://dicionariodoaurelio.com/principio), o vocábulo PRINCÍPIO significa origem, base de uma ciência ou de uma teoria. Significado de Princípio 1. O primeiro impulso dado a uma coisa. 2. Ato de principiar uma coisa. 3. Origem. 4. Causa primária. 5. O que constitui a matéria. 6. O que entra na composição de algo. 7. Opinião. 8. Frase que exprime uma conduta ou um tipo de comportamento. 9. Aquilo que regula o comportamento ou a ação de alguém; preceito moral. 10. Frase ou raciocínio que é base de uma arte, de uma ciência ou de uma teoria. 11. O princípio da vida, as primeiras épocas da vida. 12. Antecedentes. 13. Educação, instrução. 14. Opiniões, convicções. 15. Regras ou conhecimentos fundamentais e mais gerais. 16. a princípio: no começo, no primeiro tempo.

A lógica clássica estabelece dois princípios fundamentais: o Princípio da Não Contradição e o Princípio do Terceiro Excluído. O Princípio da Não Contradição estabelece que uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. Podemos ainda interpretar o Princípio da Não Contradição como: considerando duas proposições uma sendo a negação da outra, uma delas é falsa, ou seja, uma sentença e sua negação não podem ser ambas verdadeiras.

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O Princípio do Terceiro Excluído estabelece que toda proposição deve ser verdadeira ou falsa, isto é, verifica-se sempre um destes casos e nunca um terceiro. Podemos ainda interpretar o Princípio do Terceiro Excluído como: considerando duas proposições contraditórias, uma delas é verdadeira, ou ainda, ou a própria proposição dada é verdadeira ou sua negação. Por causa destes princípios, a lógica clássica é dita bivalente, já que as proposições simples são verdadeiras ou falsas. A opção verdadeira exclui a opção falsa, e vice-versa Reparem que até então estávamos tratando da parte “sintática” da Lógica Proposicional. A partir do momento em que necessitamos se uma proposição é verdadeira ou falsa, esta valoração diz respeito a parte da “semântica”. Quando analisamos determinação de “verdadeiro” ou “falso”, chamamos de valor verdade ou valor lógico das proposições.

1.6  Valor lógico Valor lógico de uma proposição é a verdade (V) se a proposição é verdadeira e a falsidade (F) se a proposição é falsa. Observando os Princípios da Lógica Matemática podemos afirmar que: Toda proposição tem um, e um só, dos valores V ou F.

EXEMPLO p: Brasília é a capital do Brasil. V(p) = V q: O quadrado do número 3 é igual a 9. V(q) = F

EXERCÍCIO RESOLVIDO 01. Determine o valor lógico das proposições simples: (a) p: 2 é um número primo. V(p) = V. Justificativa: O número 2 é o único número par que é primo.

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(b) q: 2 é um número racional. V(q) = F. Justificativa: 2 é um decimal infinito não periódico, logo, é irracional. (c) r: π = 3,1415... V(r) = V. Justificativa: 3,1415 é o valor de π com 4 casas decimais realmente. (d) s: x é um número par. V(s) = nada podemos afirmar. Justificativa: s não é uma proposição fechada, isto é, um pensamento fechado de sentido completo. (e) t: Paris é a capital da Inglaterra. V(t) = F. Justificativa: A capital da Inglaterra é Londres.

1.7  Tabela verdade Tabela verdade é um método mecânico, um dispositivo prático que utilizamos para determinar o valor lógico de uma proposição composta, a partir unicamente dos valores lógicos das proposições simples componentes. O processo de construção da Tabela verdade consiste em construirmos e analisarmos todas as possibilidades de ocorrência dos valores lógicos das proposições simples componentes e suas combinações. Veremos agora as possibilidades de proposições compostas, com 1 e 2 proposições simples componentes. Proposição Simples p V F

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Proposição composta com 2 proposições simples Quando temos duas proposições simples, podemos ter: •  as duas proposições sendo verdadeiras, •  a primeira proposição sendo verdadeira e a segunda falsa, •  a primeira proposição sendo falsa e a segunda verdadeira, •  as duas proposições sendo falsas. p

q

V V F F

V F V F

Proposições compostas com 3 proposições simples. Quando temos três proposições simples, podemos ter: •  todas as três proposições sendo verdadeiras, •  duas proposições sendo verdadeiras e uma falsa, •  uma proposição sendo verdadeira e duas falsas, •  todas as proposições sendo falsas. p

q

r

V V V F F F V F

V V F V F V F F

V F V V V F F F

1.8  Conectivos Quando estudamos aritmética e álgebra efetuamos operações (adição, subtração, multiplicação, divisão) com seus elementos – os números. Podemos pensar de maneira análoga, em Lógica, ou seja, podemos efetuar operações com os seus elementos básicos - as proposições. O Cálculo Proposicional consiste em estudar as operações sobre as proposições, utilizando os conectivos, que são os símbolos análogos aos da aritmética e álgebra: soma (+), subtração (-), multiplicação (x) e divisão (/).

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Podemos criar proposições compostas novas a partir de outras proposições, através de operações ditas operações lógicas, com o auxílio de elementos conhecidos como conectivos. Os conectivos e proposições obedecem a regras do cálculo proposicional. Os conectivos: •  Negação Simbolicamente: ~, ¬ , ´ Linguagem Corrente: “Não”, “É falso que”.

EXEMPLO p: Iremos a praia amanhã. ~p: Não iremos a praia amanhã.

•  Conjunção Simbolicamente: ∧ Linguagem Corrente: “E”, “Mas”, “Além disso”, “Também”.

EXEMPLO p: Uma jibóia se enrolou em fiação de poste. q: Uma jibóia foi resgatada por um bombeiro. p ∧ q : Uma jibóia se enrolou em fiação de poste e foi resgatada por um bombeiro.

•  Disjunção Simbolicamente: ∨ Linguagem Corrente: “Ou”

EXEMPLO p: Iremos a praia. q: Almoçaremos no Shopping. p ∨ q : Iremos a praia ou almoçaremos no shopping.

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•  Condicional Simbolicamente: → Linguagem Corrente: “Se...então”, “Implica”, “Logo”.

EXEMPLO p: O time jogou bem. q: O time ganhou o campeonato. p → q : Se o time jogar bem então ganhará o campeonato.

•  Bicondicional Simbolicamente: ↔ Linguagem Corrente: “...Se e somente se...”.

EXEMPLO p: Fez sol hoje. q: Vamos a praia. p ↔ q : Fez sol hoje se e somente se vamos a praia. 1.

Sejam as proposições:

p: A inflação registrou alta este mês. q: O dólar subiu vertiginosamente. Ficaremos com : ~p: A inflação não registrou alta este mês. ~q: O dólar não subiu vertiginosamente. p ∧ q: A inflação registrou alta este mês e o dólar subiu vertiginosamente. p ∨ q: A inflação registrou alta este mês ou o dólar subiu vertiginosamente. p > q: Se a inflação registrou alta este mês, então o dólar subiu vertiginosamente. p < > q: A inflação registrou alta este mês se e somente se o dólar subiu vertiginosamente.

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EXERCÍCIO RESOLVIDO 01. Sejam as proposições: p: 2 é um número par. q:

2 é racional.

Determine em linguagem corrente as proposições ~p, ~q, p ∧ q, p ∨ q, p → q, p ↔ q . Ficaremos com: ~p: 2 não é um número par. ~q:

2 não é um racional.

p ∧ q: 2 é um número par e p ∨ q: 2 é um número par ou

2 é racional. 2 é racional.

p → q: Se 2 é um número par então

2 é racional.

p ↔ q: 2 é um número par se e somente se

2 é racional.

02. Sejam as proposições: p: A produção da indústria subiu 0,4% em janeiro. q: Em relação a janeiro de 2015, a atividade fabril caiu 13,8%. Determine em linguagem corrente as proposições ~p, ~q, p ∧ q, p ∨ ~q, ~p → q, p ↔ q Ficaremos com: ~p: A produção da indústria não subiu 0,4% em janeiro ~q: Em relação a janeiro de 2015, a atividade fabril não caiu 13,8%. p ^ q: A produção da indústria subiu 0,4% em janeiro e, em relação a janeiro de 2015, a atividade fabril caiu 13,8%. pv ~ q: A produção da indústria subiu 0,4% em janeiro ou, em relação a janeiro de 2015, a atividade fabril não caiu 13,8%. ~p → q: Se a produção da indústria não subiu 0,4% em janeiro, então em relação a janeiro de 2015, a atividade fabril caiu 13,8%. p ↔ q: a produção da indústria subiu 0,4% em janeiro se e somente se, em relação a janeiro de 2015, a atividade fabril caiu 13,8%.

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COMENTÁRIO Pensando em termos de quantidade mínima de proposições que são necessárias para a utilização dos conectivos, temos um conectivo unário (~) e quatro conectivos binários (∨, ∧, →, ↔). Dizemos que os conectivos são unários quando só necessitam de uma proposição: ~p. Os conectivos são ditos binários quando necessitam de duas proposições para serem utilizados: p v q, p ∧ q, p → q, p ↔ q.

EXERCÍCIO RESOLVIDO 01. Transcreva em linguagem simbólica lógica as proposições escritas abaixo em linguagem corrente: a) Sábado fará sol e domingo choverá. Resolução: p: Sábado fará sol. q: Domingo choverá. Linguagem Corrente: Sábado fará sol e domingo choverá. Linguagem Lógica: p ∧ q b) Dois é um número ímpar ou um número primo. Resolução: p: Dois é um número ímpar. q: Dois é um número primo. Linguagem Corrente: Dois é um número ímpar ou um número primo. Linguagem Lógica: p v q Observe que, neste momento, não estamos preocupados com o valor verdade das proposições. c) Se você for ao shopping, então achará o presente que procura. Resolução: p: Você vai ao shopping. q: Você achará o presente que procura. Linguagem Corrente: Se você for ao shopping, então achará o presente que procura. Linguagem Lógica: p → q

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02. Dadas as proposições p: “O vocalista da banda canta bem” e q: “A banda faz muito sucesso” traduza para a linguagem corrente as proposições: a) ~p ∧ q b) p ∧~q c) p∨~q d) ~p → q e) p∧~q → p Resolução: a) ~p∧q: O vocalista da banda não canta bem e a banda faz muito sucesso. b) p∧~q: O vocalista da banda canta bem e a banda não faz muito sucesso. c) p∨~q : O vocalista da banda canta bem ou a banda não faz muito sucesso. d) ~p→q: Se o vocalista da banda não canta bem então a banda faz muito sucesso. e) p∧~q→p: O vocalista da banda canta bem ou a banda não faz muito sucesso, então o vocalista da banda canta bem.

RESUMO O que vimos neste capítulo? Neste capítulo 1, identificamos a importância da Lógica matemática e sua contribuição às disciplinas correlatas e resolvemos problemas intuitivos de Raciocínio Lógico e Lógica Matemática. Além disso, identificar e representamos uma proposição e analisar o valor lógico de proposição simples.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ALENCAR FILHO, Edgard de. Iniciação a lógica matemática. 18. ed. São Paulo: Nobel, 2002. CHAUÍ, Marilena. Introdução à história da filosofia: dos pré-socráticos a Aristóteles. v. I. São Paulo: Brasiliense, 1994. MACHADO, Nílson José. Lógica? É Lógico! São Paulo: Scipione, 2000. O´CONNOR, J.J; ROBERTSON, E. F. MacTutor History of Mathematics archive. Disponível em: . Acesso: 05 mar. 2016. ANDRADE, Alexsandra Oliveira Andrade. I Semana de Educação Matemática da Uesb. Mini-Curso: Histórias da Matemática. Disponível em:
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Dicionário Aurélio Online. Disponível em: . Acesso: 05 mar. 2016. Enciclopedia Britanica. Disponível em: . Acesso: 05 mar. 2016. FERRARI, Marcio. Nova Escola. Bertrand - Russell um Lógico na Educação. Disponível em: . Acesso: 05 mar. 2016. LPM Editores. Vida e Obra – Bertrand Russel. Disponível em: . Acesso: 05 mar. 2016. MEC. Banco Nacional de Objetos Educacionais. Casas, Pombos e Matemática. Disponível em: . Acesso: 05 mar. 2016.

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2 Análise de Operações Lógicas

2.  Análise de Operações Lógicas O alfabeto da lógica proposicional é constituído pelos símbolos: as proposições simples (atômicas), os conectivos lógicos e os delimitadores. No capítulo anterior, tratamos das proposições e conhecemos os conectivos lógicos. As operações realizadas sobre as proposições são chamadas de operações lógicas, as quais obedecem às regras de cálculo, o cálculo proposicional. Conforme vimos anteriormente, podemos criar novas proposições a partir de outras proposições, utilizando os conectivos, utilizando as operações lógicas. Cada conectivo indica uma operação lógica diferente. Estudaremos agora as operações lógicas fundamentais: Negação, Conjunção, Disjunção Inclusiva, Disjunção Exclusiva, Condicional e Bicondicional, e suas tabelas-verdade.

REFLEXÃO Quando comparamos os constituintes sintáticos da linguagem corrente de uma língua e os componentes da lógica matemática, percebemos que o significado das línguas está ligado à sintaxe e as estruturas lógicas das sentenças. Podemos dizer que as proposições equivalem às orações e, assim, possuem sujeito e predicado. As proposições nunca são orações exclamativas, interrogativas ou imperativas, mas sim orações declarativas.

OBJETIVOS •  Analisar o valor lógico de proposição composta •  Construir a tabela verdade de uma proposição. •  Interpretar os possíveis valores de uma tabela verdade; •  Identificar uma Tautologia; •  Identificar uma Contradição; •  Identificar uma Contingência.

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2.1  Operações lógicas fundamentais. 2.1.1  Negação. A negação de uma proposição p é a proposição representada por ~p. O valor lógico da proposição ~p é oposto ao da proposição p, ou seja, quando o valor lógico da proposição p for verdadeiro, temos que o valor lógico da proposição ~p será falso, e vice versa. Em símbolos: ~p; ¬p, p´. Em linguagem corrente: utilizamos o advérbio não, não é o caso que, é falso que. Tabela verdade da negação: p

∼p

V F

F V

EXEMPLO Considere a proposição p: O Tribunal Regional Eleitoral cassou o mandato do deputado. Teremos então: ~p: O Tribunal Regional Eleitoral não cassou o mandato do deputado. ~p: É falso que o Tribunal Regional Eleitoral tenha cassado o mandato do deputado. ~p: Não é verdade que o Tribunal Regional Eleitoral tenha cassado o mandato do deputado.

ATENÇÃO Quando negamos a negação da proposição p, obtemos a própria proposição p: Em símbolos: ~(~p) significa p

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EXEMPLO p: O avião caiu. ~p: O avião não caiu. ~(~p): Não é o caso que o avião não caiu. ~(~p): O avião caiu.

2.2  Conjunção A conjunção de duas proposições p e q é a proposição representada por p∧q. A conjunção será verdadeira quando ambas as proposições forem verdadeiras. Se uma das proposições ou ambas forem falsas, então a conjunção será falsa também. Em símbolos: p ∧ q ; p•q. Em linguagem corrente: e

ATENÇÃO O conectivo “e” possui a ideia de eventos simultâneos.

EXEMPLO p: O zagueiro do time de várzea é inexperiente. q: O zagueiro do time de várzea está contundido. p ∧ q: O zagueiro do time de várzea é inexperiente e está contundido.

REFLEXÃO Vamos pensar em uma situação que você promete a uma criança: - “Vou te levar a praia e vou te levar ao cinema. ” Repare que você prometeu à criança que a levará à praia e também prometeu que a levará ao cinema. Na realidade, você se comprometeu a “fazer” as duas coisas.

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capítulo 2

Pois bem, se você a levar à praia e não a levar ao cinema, ela não ficará feliz, pois você não cumpriu o que havia prometido, lembrando que você prometeu as duas atividades. O mesmo se dará se você não a levar à praia e somente a levar ao cinema. Em ambas as situações, você falhou, não terá sido “verdadeiro”, será considerado, então, “falso”. O que você prometeu a criança é que cumpririam as duas atividades: levá-la à praia e levá-la ao cinema. Se ambas as promessas forem cumpridas, aí, sim, você será considerado como “verdadeiro”. Tabela verdade da conjunção: p

q

p∧q

V V F F

V F V F

V F F F

2.3  Disjunção A disjunção inclusiva ou somente disjunção de duas proposições p e q é a proposição representada por p v q. A disjunção será verdadeira quando pelo menos uma das proposições for verdadeira. A disjunção será falsa quando as duas proposições forem falsas. E símbolos: p v q , p + q (soma lógica) Em linguagem corrente: ou

EXEMPLO p: Os alunos da turma gostam de matemática. q: Os alunos da turma detestam português. p v q: Os alunos da turma gostam de matemática ou detestam de português. Neste caso, podemos ter alunos que gostam de matemática e também gostam de português, alunos que detestam português e detestam também matemática, mas também existe a possibilidade de ter alunos que gostam de matemática e detestam português simultaneamente.

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REFLEXÃO Vamos pensar em uma outra situação que você promete a uma criança: - “Vou te levar a praia ou vou te levar ao cinema. ” Repare que você prometeu à criança que a levará à praia ou que a levará ao cinema. Na realidade, você se comprometeu a “fazer” pelo menos uma das duas coisas. Pois bem, se você a levar à praia e não a levar ao cinema, ela ficará feliz, pois você cumpriu pelo menos uma das atividades que havia prometido. O mesmo se dará se você não a levar à praia e somente a levar ao cinema. Em ambas as situações, você cumpriu o prometido, você foi “verdadeiro”. É claro que se você levar a criança a praia e ao cinema, será melhor ainda para a criança, será mais “verdadeiro” ainda. No entanto, se você não levar a criança nem a praia, nem ao cinema, não terá cumprido o que prometeu, será considerado, então, “falso”. Tabela verdade da disjunção: p

q

p∨q

V V F F

V F V F

V V V F

2.4  Condicional A condicional de duas proposições p e q é a proposição representada por p → q. Chamamos a proposição p de hipótese ou antecedente e a proposição q de tese ou consequente. A condicional somente será falsa quando o valor lógico da hipótese (antecedente) p for verdadeiro e o da tese (consequente) q for falso, ou seja, a proposição condicional somente será falsa se partirmos de algo verdadeiro e chegarmos a algo falso. Em símbolos: p → q Em linguagem corrente: se ... então...

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EXEMPLO p: Você vai viajar. q: Eu irei ao teatro. p → q: Se você for viajar, então irei ao teatro.

ATENÇÃO Quando p → q , dizemos que: p é suficiente para q e também que q é necessário para p.

REFLEXÃO Vamos a uma situação diferente de promessa à criança. Você promete a ela que - “Se fizer sol, então eu te levarei a praia. ” Se fizer sol e você levar a criança à praia, você será considerado pela criança alguém que cumpre as suas promessas, alguém “verdadeiro”. Mas e se fizer sol, e por algum motivo, você não levar a criança à praia? Neste caso, você será considerado um mentiroso, um “falso”. E se não fizer sol? Bem, já que você não prometeu nada com relação à não fazer sol, o que quer que você venha a fazer, levar a criança ou não a praia, ela não poderá lhe taxar de mentiroso neste caso. Tabela verdade da condicional: p

q

p→q

V V F F

V F V F

V F V V

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2.5  Bicondicional A bicondicional de duas proposições p e q é a proposição representada por p ↔ q. A proposição bicondicional será verdadeira somente quando ambas são verdadeiras, ou ambas são falsas, ou seja, quando as duas proposições componentes tiverem o mesmo valor lógico. Em símbolos: ↔ Em linguagem corrente: p se e somente se q, p equivale a q, p é uma condição necessária e suficiente para q.

EXEMPLO p: Você viajará. q: Eu vou ao teatro. p ↔ q: Você viajará se e somente se eu for ao teatro.

ATENÇÃO A proposição bicondicional pode ser considerada como o “se...então...” na ida e na volta, significa pensar em duas condicionais ocorrendo simultaneamente, a ida e a volta: p → q e q↔p p → q : Se você for viajar, então irei ao teatro q ↔ p : Se eu for ao teatro então você viajou. Tabela verdade da bicondicional.

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p

q

p↔q

V V F F

V F V F

V F F V

EXERCÍCIO RESOLVIDO 01. Determine o valor lógico da proposição composta “A capital da Argentina é Brasília ou na Bélgica se fala francês. ” Resolução: Podemos considerar p: A capital da Argentina é Brasília” e q: “Na Bélgica se fala francês”. O valor lógico da proposição p: A capital da Argentina é Brasília” é falso . O valor lógico da proposição q: “Na Bélgica se fala francês” é verdadeiro. Como estamos lidando com uma proposição composta com o conectivo “ou”, para que este seja verdadeiro, basta que uma das proposições seja verdadeira, que é o caso. 02. Determine o valor lógico das proposições compostas, considerando as proposições simples: p: 2 < 40/5 q: A capital do Estado do Rio de Janeiro é Recife. a) V(p ^q) Resolução: Observe que a proposição p é verdadeira, enquanto que a proposição q é falsa. V(p ^q ) = V ^F = F O “e” será verdadeiro somente quando as duas proposições componentes o forem, o que não é o nosso caso. b) V(p v q ) Resolução: V(p v q ) = V v F = V O “ou” é verdadeiro quando pelo menos uma das proposições for verdadeira. c) V(p>q) Resolução: V(p→q) = V → F = F A condicional é falsa somente quando partimos de uma proposição verdadeira e chegamos em uma proposição falsa.

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d) V(p< >q) Resolução: V(p↔q) = V ↔ F O bicondicional é falso quando os valores verdade das proposições componentes forem diferentes. e) V(~p) Resolução: V(~p)= ~(V)= F 03. Determinar o valor lógico das proposições: a) Tiradentes era alemão ou morreu enforcado. Resolução: Consideremos como p: “Tiradentes era alemão” e q: “Tiradentes morreu enforcado”. Note que o valor lógico da proposição p é falso e o da proposição q é verdadeiro. Como temos um “ou”, para que este seja verdadeiro, basta que uma das proposições o seja, que é o caso. b) A capital do Brasil é Buenos Aires e Pitágoras era Grego. Resolução: Consideremos como p: ”A capital do Brasil é Buenos Aires” e q: “Pitágoras era Grego”. Note que o valor lógico da proposição p é falso e o da proposição q é verdadeiro. Como temos um “e”, para que este seja verdadeiro, ambas as proposições devem ser, o que não é o caso. 04. Determinar V(p), ou seja, o valor lógico da proposição simples p, considerando: a) V(q) = F e V(p ∨ q) = F Resolução: Uma vez que, para que o valor do “ou” seja falso, ambas as proposições precisam ser falsas, como o valor de q já é falso, é necessário que p seja falsa também. b) V(q) = F e V(p ∨ q) = V Resolução: Uma vez que para o valor do “ou” seja verdadeiro, pelo menos uma das proposições deve ser verdadeira, e como o valor de q já é falso, temos que o valor de p deve ser verdadeira.

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c) V(q)=V e V(p ∨ q) = V Resolução: Uma vez que para o valor do “ou” seja verdadeiro, pelo menos uma das proposições deve ser verdadeira, e como o valor de q já é verdadeiro, o valor de p pode ser tanto verdadeiro quanto ser falso. d) V(q)=F e V(p ∧ q) =F Resolução: Temos que para que o valor do “e” seja falso, basta que uma das proposições seja falsa. Como o valor de q já é falso, o valor de p pode ser falso ou verdadeiro. e) V(q)=V e V(p ∧ q) =F Resolução: Temos que para que o valor do “e” seja falso, basta que uma das proposições seja falsa. Como o valor de q é verdadeiro, necessariamente precisamos que p seja falso. f)

V(q)=F e V(p ∧ q) = V Resolução: Temos que para o valor do “e” ser verdadeiro, precisamos necessariamente que ambas

as proposições sejam verdadeiras. Como o valor lógico de q já é falso, não há como as duas condições serem satisfeitas de forma simultânea. g) V(q)=V e V(p ∧ q) = V Resolução: Temos que para o valor do “e” ser verdadeiro, precisamos necessariamente que ambas as proposições sejam verdadeiras. Como o valor lógico de q é verdadeiro, o valor de p deve ser verdadeiro também. h) V(q)=F e V(p → q) = F Resolução: A condicional será falsa somente quando o antecedente for verdadeiro e o consequente for falso. Isso significa que, como o valor de q já é falso, precisamos ter o valor de p como verdadeiro.

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i)

V(q)=F e V(p → q) = V Resolução: Para que o valor lógico da condicional seja verdadeiro, como o valor do consequente é falso,

precisamos que p seja falso também, pois se for verdadeiro, o valor da condicional seria falso. j)

V(q)=V e V(p → q) = F Resolução: A condicional será falsa somente quando o antecedente for verdadeiro e o consequente

for falso. Como o consequente é verdadeiro, não há como as condições dadas serem satisfeitas simultaneamente. k)

V(p → q) = F e V(p ∧ q) = F Resolução: A condicional será falsa somente quando o antecedente é verdadeiro e o consequente

for falso. Isso significa que temos V(p)=V e V(q)=F. Pensando no “e” entre p e q, este será falso mesmo, pois o “e” será falso quando pelo menos uma das proposições simples for falsa, o que é o caso. l)

V(p → q) = V e V(p ∧ q) = F Resolução: Para que a condicional seja verdadeira, temos os seguintes casos: V→V F→V F→F Pensando no fato de que o “e” precisa ser falso, temos que uma das proposições, pelo

menos precisa ser falsa, o que elimina a primeira alternativa (V → V). Dessa forma, diante das alternativas restantes (F → V e F → F) , precisamos ter V(p)=F m) V(p → q) = F e V(p ∨ q) = F Resolução: A condicional será falsa somente quando o antecedente é verdadeiro e o consequente for falso. Isso significa que temos V(p)=V e V(q)=F. Observe que o “ou” deve ser falso, o que significa que ambas as proposições precisam ser falsas, o que não é possível. Este caso não pode acontecer de forma simultânea.

46 •

capítulo 2

2.6  Construção de tabela verdade de proposições composta Até então construímos a tabela verdade de proposições simples e aprendemos a tabela verdade de proposições com os conectivos. Agora construiremos tabelas mais elaboradas, com várias proposições simples e diversos conectivos juntos. Na construção da tabela verdade de proposições compostas devemos observar as proposições simples componentes e o conectivo envolvido. Assim, o valor lógico de uma proposição composta depende unicamente dos valores lógicos das proposições simples componentes e do conectivo que as une.

EXEMPLO Vamos considerar a frase em linguagem corrente “Se você for ao cinema amanhã, então, não iremos a praia ou não jantaremos juntos”. Pede-se transformá-la em linguagem lógica e construir a sua tabela verdade de modo a que possamos identificar quando esta frase será verdadeira e quando será falsa. Resolução: Precisamos, a princípio, observar as ideias básicas das proposições simples do problema considerado. Temos: p: Você irá ao cinema amanhã. q: Iremos à praia. r: Almoçaremos juntos. A frase “Se você for ao cinema amanhã, então, não iremos a praia ou não jantaremos juntos” em linguagem lógica, utilizando as proposições que consideramos ficará: p → (~qv~r). Para montarmos a tabela verdade, precisamos compor primeiro as proposições simples em colunas e identificar o valor lógico de cada uma delas. Precisaremos analisar 7 colunas, uma vez que é necessário determinar o valor lógico de ~q, ~r. ~q v ~r e por fim, p → (~qv~r). Observe que: Na quarta coluna temos a negação da segunda coluna (q e ~q). A quinta coluna é a negação da terceira coluna. •  Na sexta coluna temos o conectivo “e” entre as colunas 4 e 5. O “e” é verdadeiro quando, pelo menos uma das proposições for verdadeira. •  A sétima coluna é a final, e representa a nossa frase, resultado da condicional e das colunas 1 e 6.

capítulo 2

• 47

•  A condicional será falsa somente quando o antecedente for verdadeiro e o consequente for falso. Do contrário, será verdadeira.

COLUNAS 1

a

a

2

3

4a

5a

6a

7a

p

q

r

~q

~r

~q ∨~r

p → (~q ∨~r)

V V V F V F F F

V V F V F V F F

V F V V F F V F

F F V F V F V V

F V F F V V F V

F V V F V V V V

F V V V V V V V

a

Observando a tabela verdade montada, a frase será falsa somente quando p, q e r forem verdadeiras.

EXERCÍCIO RESOLVIDO Construa a tabela verdade das proposições abaixo 01. ~p ∧ ~q p V V F F

q V F V F

~q F V F V

~p ∧ ~q F F F V

~p F F V V

02. p → ~q p V V F F

48 •

capítulo 2

q V F V F

~q F V F V

p → ~q F V V V

03. ~(p ∧ ~q) p V V F F

q V F V F

p ∧ ~q F V F F

~q F V F V

~(p ∧ ~q) V F V V

04. (p ∨ ~q) → ~p p V V F F

q V F V F

~q F V F V

~p F F V V

p ∧ ~q V V F V

(p ∧ ~q) → ~P F F V V

q V F V V F F V F

r V V F V F V F F

~q F V F F V V F V

p ∧ ~q F V V V V F F F

(p ∧ ~q) → ~r V V F V F V V V

q V F V F

~p F V F V

~p F F V V

p ∧ ~q V V F V

(p ∧ ~q) → ~p F F V V

05. (p ∧ ~q) → r p V V V F V F F F

06. (p ∨ ~q) → (p ∧ q) p V V F F

capítulo 2

• 49

2.7  Tautologias, contradições e contingências: análise lógica por tabela verdade. Eventualmente dizemos uma frase e sabemos que ela é sempre um pensamento falso ou sempre verdadeiro. Por exemplo: “Vamos à praia e não vamos à praia. ” Esta frase evidentemente é uma contradição, algo falso. Não é possível se ir e não se ir à praia. No entanto, nem sempre é imediata esta identificação. A partir da construção da tabela verdade, podemos afirmar se uma proposição, uma frase é sempre verdadeira, sempre falsa ou por vezes verdadeira e por vezes falsa. Definiremos então cada um desses casos em termos lógicos. 2.7.1  Tautologias Tautologia é toda proposição composta P(p,q,r,s,...) cujo valor lógico é sempre verdade, quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições simples componentes (p,q,r,s,...). Na prática, temos que a última coluna da sua tabela verdade aparece somente o valor lógico verdade (V).

EXEMPLO Considere a frase: “Vamos ao teatro ou não vamos ao teatro”, esta será sempre verdadeira. De fato, podemos representá-la de forma lógica como a proposição composta p ∨ ~p. A tabela verdade de p ∨ ~p: p V F

~p F V

p ∨ ~q V V

Observe que, na última coluna da proposição composta p ∨ ~p só aparece a letra V, ou seja, quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições componentes, no caso, p e ~p, o valor lógico da proposição composta será sempre verdadeiro, o que significa que a frase é uma tautologia.

50 •

capítulo 2

2.7.2  Contradições Contradição é toda proposição composta P(p,q,r,s,...) cujo valor lógico é sempre falso, quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições simples componentes (p,q,r,s,...). Na prática, uma proposição composta é uma contradição quando na última coluna de sua tabela verdade aparece somente o valor lógico falso (F)

EXEMPLO Considere a frase: “Vamos ao teatro ou não vamos ao teatro” Essa frase é uma contradição, não há como, ao mesmo tempo, ir e não ir ao teatro. Representando em linguagem lógica, temos p ∧ ~p, cuja tabela verdade é: p V F

p ∨ ~q V V

~p F V

Observe que, na tabela, a última coluna só aparece o valor falso. Isto significa que qualquer que seja o valor lógico das proposições componentes (p e ~p), a proposição composta é sempre falsa, é uma contradição

REFLEXÃO Uma vez que uma tautologia é sempre verdadeira (V), a negação da tautologia é sempre falsa (F), ou seja, a negação de uma tautologia é uma contradição e vice versa. p V F

~p F V

p ∨ ~q V V

~(p ∨ ~q) F F

2.7.3  Contingências Contigência é uma proposição composta, cuja última coluna de sua tabela verdade aparecem as letras V e F, cada uma pelo menos uma vez. Dessa forma, uma contingência é toda proposição composta que não é tautologia nem é contradição. capítulo 2

• 51

EXEMPLO Observe a frase: “Se o dia melhorar então o sol aparecerá. ” Não podemos afirmar que esta frase seja sempre verdadeira ou sempre falsa. Representação em linguagem lógica: p > q. p V V F F

p→q V F V V

q V F V F

Exemplos a) (p ∧ ~p) → (p ∨ q) p V V F F

q V F V F

p ∧ ~p F F V V

~p F F V V

p∧q V V V F

(p ∧ ~q) → (p ∨ q) V V V V

Observe que na quarta coluna (p ∧ ~p) temos uma proposição composta nossa conhecida: uma contradição. Esta será o antecedente da implicação (p ∧ ~p) → (p ∨ q) que desejamos considerar. Assim, como o antecedente é sempre falso, teremos o valor lógico da implicação sempre verdadeiro, o que configura a existência de uma tautologia. b) ~( p ∧ ~p) p V F

~p F V

p ∧ ~q F F

~(p ∧ ~q) V V

Lembramos que o “e” será verdadeiro somente quando as duas proposições componentes o forem (terceira coluna). Temos na terceira coluna uma contradição conhecida p ∧ ~p. Na quarta coluna negamos a contradição e obtemos, portanto, uma tautologia.

52 •

capítulo 2

c) p ∧ ( q → ~p) p V V F F

q V F V F

q → ~p F V V V

~p F F V V

p ∧ (q → ~p) F V F F

Observe que, na quarta coluna, a condicional só será falsa quando partindo de uma proposição verdadeira chegamos a uma proposição falsa. Além disso, convém observar que o “e” ( quinta coluna ) será verdadeiro quando ambas as proposições o forem. Na última coluna aparecem os valores lógicos V e F, portanto, a proposição composta é dita contingência.

EXERCÍCIO RESOLVIDO 01. Construindo a tabela verdade das proposições compostas abaixo, determine se são tautologias, contradições ou contingências. a) p ∨ ~(p ∧ q) p V V F F

q V F V F

p∧q V F F F

~(p ∧ q) F V V V

p ∧ ~(p ∨ q) V V V V

q V F V F

p∧q V F F F

p↔q V F F V

p ∧ q → (p ↔ q) V V V V

b) p ∧ q → (p ↔ q) p V V F F

c) (p ∧ q) ∧ ~(p ∨ q) p V V F F

q V F V F

p∧q V F F F

p∨q V V V F

~(p ∨ q) F F F V

(p ∧ q) ∧ ~(p ∨ q) F F F F

capítulo 2

• 53

d) p ∧ q → p ∧ q p V V F F

p∧q V V V F

q V F V F

p∨q V F F F

p∧q→p∧q F F F F

e) p ∨ (q ∧ ~q) ↔ p p V V F F

f)

q V F V F

q ∧ ~q F F F F

~q F V F V

p ∨ (q ∧ ~q) V V F F

p ∨ (q ∧~p) → p V V V V

(q → p) → (p → q) p V V F F

q→p V V F V

q V F V F

p→q V F V V

(q → p) → (p → q) V F V V

g) ~p ∧ ( p ∧ ~q) p V V F F

q V F V F

p ∨ ~q F V F F

~q F V F V

~p F F V V

~ p ∧(p ∧ ~ q) F F F F

02. Determine se frases abaixo são tautologias, contradições ou contingências, através da construção da tabela verdade. a) Não é o caso que o trânsito está engarrafado e não está engarrafado. Vamos transformar a frase em linguagem corrente em linguagem lógica: ~( p ∧ ~p) p V F

~p F V

p ∧ ~p F F

~(p ∧ ~p) V V

Na terceira coluna temos que analisar o valor lógico do “e”. Sabemos que ele será verdadeiro somente quando as duas proposições componentes o forem.

54 •

capítulo 2

Temos então na terceira coluna uma contradição. Na quarta coluna negamos a contradição e obtemos uma tautologia. b) O tempo está ensolarado e, se a previsão do tempo for coerente, então o tempo não estará ensolarado. Transformando a frase de linguagem corrente em linguagem lógica: p ∧ ( q → ~p) p V V F F

q V F V F

q → ~p F V V V

~p F F V V

p ∧ (q → ~p) F V F F

Na quarta coluna, a condicional será falsa somente quando partindo de uma proposição verdadeira chegamos a uma proposição falsa. Na quinta coluna, o “e” será verdadeiro quando ambas as proposições forem verdadeiras. Na quinta e última coluna temos os valores lógicos V e F, assim, a proposição composta é uma contingência. c) Se choveu torrencialmente e não choveu torrencialmente, então choveu torrencialmente ou o acidente foi fatal. Vamos transformar a frase em linguagem corrente, a princípio, em linguagem lógica: (p ∧ ~p) → (p ∨ q) p V V F F

q V F V F

~p F F V V

p ∧ ~p F F F F

p∨q V V V F

(p ∧ ~p) → (p ∨ q) V V V V

Na quarta coluna (p ∧ ~p) há uma proposição composta que já é nossa conhecida: uma contradição. Esta proposição conhecida é o antecedente da implicação (p ∧ ~p) → (p ∨ q). Observe que uma vez que o antecedente é sempre falso, o valor lógico da implicação sempre será verdadeiro, o que significa que a proposição considerada é uma tautologia.

capítulo 2

• 55

RESUMO O que vimos neste capítulo? No capítulo 2, analisamos o valor lógico de proposição composta, construindo a sua tabela verdade. Ainda, interpretamos os possíveis valores de uma tabela verdade, identificando uma Tautologia, uma Contradição e uma Contingência.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ALENCAR FILHO, Edgard de. Iniciação a lógica matemática. 18. ed. São Paulo: Nobel, 2002.

56 •

capítulo 2

3 Implicações e Equivalências Lógicas

3.  Implicações e Equivalências Lógicas Neste capítulo, estudaremos estruturas lógicas - implicações lógicas e equivalências logicas. Quando podemos dizer que uma proposição implica outra, ou quando uma proposição é equivalente a outra? Sempre com o auxílio das tabelas verdade responderemos a esta pergunta. Ainda, analisaremos como negar proposições compostas apresentando-as de maneira mais simplificada, utilizando também a noção de equivalência lógica.

OBJETIVOS •  Identificar e representar uma Implicação. •  Analisar uma Implicação, usando tabela verdade. •  Determinar a validade de uma Implicação e demonstrá-la. •  Identificar e representar uma Equivalência lógica. •  Construir demonstração de Equivalência lógica, usando tabela verdade. •  Determinar a validade de uma Equivalência e demonstrá-la. •  Identificar as proposições associadas a condicional: contrária, recíproca e contrapositiva. •  Identificar, dentre as proposições associadas a condicional, qual a equivalente a condicional. •  Negar proposições compostas.

3.1  Implicações Lógicas 3.1.1  Definição e notação Uma proposição P implica logicamente (ou simplesmente implica) uma proposição Q, se Q é verdadeira todas as vezes que P é verdadeira. Podemos ainda dizer que P implica logicamente Q, necessariamente, quando P for verdadeira, temos que Q é verdadeira também. Não precisamos analisar o que ocorre quando P é falso. Notação de P implica Q: P ⇒ Q

58 •

capítulo 3

3.1.2  Propriedades da implicação lógica A implicação lógica possui duas propriedades importantes: a propriedade reflexiva e a transitiva. •  Propriedade Reflexiva: P implica logicamente P. Notação: P ⇒ P Para comprovarmos esta propriedade, vamos construir a sua tabela verdade. P

P

V F

V F

De fato, quando a primeira proposição composta P é verdadeira (a segunda linha), observamos que a segunda proposição composta P também é. Dizemos então que P implica P. •  Propriedade Transitiva: Se P implica Q e Q implica R, então P implica R. Notação: Se P ⇒ Q e Q ⇒ R então P ⇒ R Considerando que P implica Q, pela definição de implicação lógica, sempre que P for verdadeira, sabemos que Q também o será. Considerando ainda que Q implica R, sempre que Q for verdadeira, temos que R também será. Dessa forma, sempre que P for verdadeira, Q será e R também. Assim, P ⇒ R.

EXEMPLO Vamos considerar a proposição: “ Choveu torrencialmente e as ruas alagaram ontem, implica que choveu torrencialmente ou as ruas alagaram ontem. “ Considerando que A partir do fato “Choveu torrencialmente e as ruas alagaram ontem” será que é possível concluirmos que “choveu torrencialmente ou as ruas alagaram ontem”? Transformando a linguagem corrente em linguagem lógica: p: Choveu torrencialmente. q: As ruas alagaram ontem.

capítulo 3

• 59

Efetivamente, é preciso verificar se p ∧ q implica logicamente p ∨ q. Em linguagem lógica, precisamos verificar se p ∧ q ⇒ p ∨ q. Vamos construir a tabela verdade de p ∧ q ⇒ p ∨ q. p V V F F

p∧q V F F F

q V F V F

p∨q V V V F

Pela tabela construída, quando p ∧ q é verdadeiro, o que ocorre na primeira linha, terceira coluna, temos que p ∨ q também será, primeira linha, quarta coluna. Assim, p ∧ q implica logicamente p ∨ q, ou ainda, p ∧ q ⇒ p ∨ q.

3.1.3  Tautologias e implicação lógica Podemos relacionar o conceito de implicação lógica e o de tautologia. Teorema: A proposição P implica a proposição Q (P ⇒ Q) se e somente se P → Q é uma tautologia. Esboço da Demonstração. Ida: Suponha que A proposição P implica a proposição Q (P ⇒ Q) Se P implica Q (P ⇒ Q), sempre que P é verdade, temos que Q também é verdade. Dessa forma podemos somente ter P sendo verdade e Q sendo verdade, P sendo falso e Q sendo falso e P sendo falso e Q sendo verdade. Observe as possibilidades na tabela a seguir: P V F F

P⇒Q V F F

Q V F V

Agora vamos determinar, nestes casos, a tabela para P → Q também. P V F F

60 •

capítulo 3

Q V F V

P⇒Q V F F

P→Q V V V

Observamos então que P → Q (quarta coluna) sempre é verdadeira, o que configura uma tautologia. Mostramos então que P → Q é uma tautologia. Volta: Suponha que P → Q é uma tautologia Se P → Q é uma tautologia é uma tautologia, a última coluna somente aparecerá V. A princípio, se pensarmos na tabela verdade genérica de P → Q, teremos: P V F F V

Q V F V F

P→Q V V V F

No entanto, como temos uma tautologia, a última linha não ocorre. P V F F

Q V F V

P→Q V V V

Para que P implique Q ( P ⇒ Q), precisamos que sempre que P for verdade, Q também deve ser. Esta situação só ocorre na primeira linha. Assim, temos, de fato, que P implica Q.

ATENÇÃO Os símbolos de condicional → e de implicação ⇒ são distintos, pois a condicional → é uma operação lógica e a implicação → é relação lógica.

REFLEXÃO Toda tautologia implica uma tautologia e somente uma contradição implica uma contradição.

capítulo 3

• 61

EXEMPLO Considere as proposições abaixo em sua linguagem corrente e linguagem lógica: p: Faz sol. q: Vou a piscina. P (p → (p ∧ q)): Se fizer sol, então faz sol e vou a piscina. Q (p ∧ q): Faz sol e vou à piscina. Será que é possível dizer que Q implica P (Q ⇒ P) ou P implica Q (P ⇒ Q)? Construindo a tabela verdade: p V V F F

q V F V F

p∧q V F F F

p→p∧q V F V V

Q: (p ∧ q) V F F F

P: (p → p ∧ q) V F V V

Primeiramente vamos analisar se Q ⇒ P. p V V F F

q V F V F

Observamos pela tabela que sempre que Q é verdadeira, P também é verdadeira. Assim, podemos dizer que Q ⇒ P. “Faz sol e vou à piscina” implica em “Se fizer sol, então faz sol e vou a piscina.” Analisando agora se P ⇒ Q. p V V F F

q V F V F

Q: (p ∧ q) V F F F

P: (p → p ∧ q) V F V V

Desta vez, não podemos dizer que P ⇒ Q, uma vez que nas duas últimas linhas temos P verdadeira e Q falsa.

62 •

capítulo 3

3.1.4  Regras de inferência Inferir significa deduzir, tirar por conclusão (Dicionário Priberam online). Veremos agora algumas Regras de Inferência importantes, regras ou normas que, diante de determinadas condições, podemos concluir determinadas proposições. Para cada Regra de Inferência, exibiremos as suas provas, através da definição de implicação lógica e também utilizando o teorema. Consideraremos para todas as Regras um exemplo com as seguintes proposições: p: Chove muito q: Faz frio. r: Você fica gripado. 1. Regra da adição: p ⇒ p ∨ q Exemplo Chove muito. (p) Podemos concluir que chove muito ou faz frio (p ∨ q) Provas: •  Utilizando a definição: Sempre que p é verdadeira, temos que p ∨ q também é. p V V F F

p∨q V V V F

q V F V F

•  Utilizando o teorema: Temos que provar que a condicional p → p ∨ q é uma tautologia. p V V F F

q V F V F

p∨q V V V F

p→p∨q V V V V

2. Regra da simplificação: p ∧ q ⇒ p

capítulo 3

• 63

EXEMPLO Chove muito e faz frio (p ∧ q). Podemos concluir que chove muito (p). Podemos concluir ainda também que faz frio (q).

Provas: •  Utilizando a definição: Sempre que p ∧ q é verdadeira, temos que p também é. p V V F F

q V F V F

p∧q V F F F

P V V F F

•  Utilizando o teorema: Temos que provar que a condicional p ∧ q → p é uma tautologia. p V V F F

q V F V F

p∧q V F F F

3. Modus ponens: p ∧ (p → q) ⇒ q

EXEMPLO Se chover muito então fará frio. (p → q) Chove muito. (p) Podemos concluir então que fará frio. (q)

64 •

capítulo 3

p∧q→p V V V V

Provas: •  Utilizando a definição: Sempre que p ∧ (p → q) é verdadeira, temos que q também é. p V V F F

p→q V F V V

q V F V F

p ∧ (p → q) V F F F

•  Utilizando o teorema: Temos que provar que a condicional p ∧ (p → q) → q é uma tautologia. p V V F F

p→q V F V V

q V F V F

p ∧ (p → q) V F F F

p ∧ (p → q) → q V V V V

4. Modus tollens: ~ q ∧ (p → q) ⇒ ~ p Exemplo Se chover muito então fará frio. Não faz frio. Podemos concluir então não choveu muito. Provas: •  Utilizando a definição: Sempre que ~ q ∧ (p → q) é verdadeira, temos que ~ p também é. p V V F F

q V F V F

p→q V F V V

~q F V F V

~q ∧ (p → q) F F F V

~p F F V V

•  Utilizando o teorema: Temos que provar que a condicional ~ q ∧ (p → q) → ~ p é uma tautologia. p

q

~q

p→q

~q ∧ (p → q)

~p

~q ∧ (p → q) → ~p

V

V

F

V

F

F

V

V

F

V

F

F

F

V

F

V

F

V

F

V

V

F

F

V

V

V

V

V

capítulo 3

• 65

5. Silogismo hipotético: (p > q) ∧ (q > r) ⇒ (p > r)

EXEMPLO Se chover muito então fará frio. Se fizer frio então você ficará gripado. Podemos concluir que se chover muito então você ficará gripado.

Provas: •  Utilizando a definição: Sempre que (p → q) ∧ (q → r) é verdadeira, temos que (p → r) também é. p

q

r

p→q

q→r

(p → q) ∧ (q → r)

p→r

V

V

V

V

V

V

V

V

F

F

F

V

F

F

F

V

F

V

F

F

V

V

V

F

V

F

F

F

V

V

F

V

F

F

F

V

F

V

F

V

F

V

V

V

F

V

F

F

F

F

F

F

V

V

V

V

•  Utilizando o teorema: Temos que provar que a condicional (p → q) ∧ (q → r) → (p → r) é uma tautologia. Vamos considerar para simplificarmos na tabela que P: (p → q) ∧ (q → r) e Q: (p → r). p

q

r

p→q

q→r

(p → q) ∧ (q → r)

p→r

P→Q

V

V

V

V

V

V

V

V

V

F

F

F

V

F

F

V

F

V

F

V

F

F

V

V

V

V

F

V

F

F

F

V

V

V

F

V

F

F

F

V

V

F

V

F

V

F

V

V

V

V

F

V

F

F

F

V

F

F

F

V

V

V

V

V

6. Silogismo disjuntivo: (p ∨ q) ∧ ~ p ⇒ q

66 •

capítulo 3

EXEMPLO Chove muito ou faz frio. Não chove muito. Podemos concluir que faz frio.

Provas: •  Utilizando a definição: Sempre que (p ∨ q) ∧ ~ p é verdadeira, temos que q também é. p V V F F

q V F V F

p∨q V V V F

~q F F V V

(p ∨ q) ∧ ~p F F V F

q V F V F

•  Utilizando o teorema: Pelo teorema: Precisamos provar que a condicional (p ∨ q) ∧ ~ p → q é uma tautologia. p V V F F

q V F V F

p∨q V V V F

~q F F V V

(p ∨ q) ∧ ~p F F V F

(p ∨ q) ∧ ~p → q V V V V

7. Eliminação: (p > (q ∨ r) ) ∧ ~q ⇒ p > r

EXEMPLO Se chove muito, então faz frio ou você fica gripado. Não faz frio. Podemos concluir que você ficará gripado.

Provas: •  Utilizando a definição: Sempre que (p → (q ∨ r) ) ∧ ~q é verdadeira, temos que p → r também é.

capítulo 3

• 67

p

q

r

q∨r

p → (q ∨ r)

~q

(p → (q ∨ r)) ∧ ~q

p→r

V

V

V

V

V

F

F

V

V

F

F

F

F

V

F

F

F

V

F

V

V

F

F

V

V

V

F

V

V

F

F

F

V

V

F

V

V

F

F

F

V

F

V

V

V

V

V

V

V

V

F

V

V

F

F

F

F

F

F

V

V

V

V

V

•  Utilizando o teorema: Temos que provar que a condicional [(p → (q ∨ r)) ∧~q] → [p → r] é uma tautologia. Consideremos P: (p → (q ∨ r) ) ∧ ~q e Q: p → r p

q

r

q∨r

p → (q ∨ r)

~q

(p → (q ∨ r)) ∧ ~q

P→Q

V

V

V

V

V

F

F

V

V

F

F

F

F

V

F

V

F

V

F

V

V

F

F

V

V

V

F

V

V

F

F

V

V

V

F

V

V

F

F

V

V

F

V

V

V

V

V

V

V

V

F

V

V

F

F

V

F

F

F

V

V

V

V

V

8. Prova por casos: (p > r) ∧ ( q > r) ⇒ (p ∨ q) > r

EXEMPLO Se chove muito, então você fica gripado. Se faz frio, então você fica gripado. Podemos concluir que se chove muito ou faz frio, então você fica gripado.

•  Utilizando a definição: Sempre que (p → r) ∧ (q → r) é verdadeira, temos que (p ∨ q) → r também é.

68 •

capítulo 3

p

q

r

p→r

q→r

(p → r) ∧ (q → r)

p∨q

(p ∨ q) → r

V

V

V

V

V

V

V

V

V

F

F

F

V

F

V

F

F

V

F

V

F

F

V

F

V

V

V

V

V

V

F

V

V

V

F

V

F

F

V

F

V

F

V

F

V

F

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

F

F

F

V

V

V

F

V

•  Utilizando o teorema: Precisamos provar que a condicional [(p → r) ∧ (q → r)] → [(p ∨ q) → r] é uma tautologia. Consideraremos: P: [(p → r) ∧ (q → r)] e Q: [(p ∨ q) → r] p

q

r

p→r

q→r

P: (p → r) ∧ (q → r)

p∨q

Q: (p ∨ q) → r

P→Q

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

F

F

F

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

F

V

F

V

V

V

V

V

V

V

F

V

V

V

V

F

V

F

F

V

F

V

V

F

V

F

V

F

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

F

F

F

V

V

V

F

V

V

EXERCÍCIO RESOLVIDO 01. Verifique se de fato trata-se de uma implicação lógica: Vou ao cinema. Implica em Vou ao cinema ou vou a praia. Resolução: Montando a tabela verdade: p

q

p∧q

V V F F

V F V F

V V V F

capítulo 3

• 69

02. Verifique se de fato trata-se de uma implicação lógica: Vou ao cinema e vou à praia. Implica em vou ao cinema. Resolução: Montando a tabela verdade: p

q

p∧q

V V F F

V F V F

V F F F

03. Verifique se de fato trata-se de uma implicação lógica: Faz sol. Se fizer sol, então vou a praia. Implica que vou a praia. Resolução: Montando a tabela verdade: p

q

V V F F

V F V F

p → q p ∧ (p → q) V F V F

V F F F

04. Verifique se de fato trata-se de uma implicação lógica: Se fizer sol, então vou a praia. Não fui a praia. Implica que não fez sol. Resolução: Montando a tabela verdade:

70 •

capítulo 3

p

q

~q

V V F F

V F V F

F V F V

p → q ~p ∧ (p → q) V F V V

F F F V

~p F F V V

3.2  Equivalências lógicas Duas proposições P(p,q,r,....) e Q(p,q,r,.....) são logicamente equivalente (ou somente equivalente) se as tabelas-verdade de ambas as proposições forem exatamente iguais. Notação: P(p,q,r,....) ⇔ Q(p,q,r,.....).

REFLEXÃO Observe que, na prática, quando temos uma equivalência lógica, se trocarmos uma dada proposição por qualquer outra equivalente a ela, estaremos somente mudando a maneira de enunciá-la.

3.2.1  Propriedades da equivalência lógica A implicação lógica possui três propriedades importantes: a propriedade reflexiva, a simétrica e a transitiva. •  Propriedade Reflexiva: P equivale a P. Notação: P ⇔ P •  Propriedade Simétrica: Se P equivale a Q então Q equivale a P. Notação: Se P ⇔ Q então Q ⇔ P •  Propriedade Transitiva: Se P equivale a Q e Q equivale a R, então P equivale aR Notação: Se P ⇔ Q e Q ⇔ R então P ⇔ R 3.2.2  Tautologias e equivalências lógicas Podemos também relacionar o conceito de equivalência lógica e o de tautologia. Teorema: As proposições P e Q são tautologicamente equivalentes se e somente se P ↔ Q é uma tautologia.

capítulo 3

• 71

ATENÇÃO Os símbolos de bicondicional ↔ e de equivalência ⇔ são distintos, pois a bicondicional ↔ é uma operação lógica e equivalência ⇔ é relação lógica.

REFLEXÃO Se as duas proposições forem ambas tautológicas ou ambas contradições, então são equivalentes.

3.2.3  Regras de equivalência Demonstraremos algumas regras de equivalência mais relevantes. ~~p ⇔ p p∧q⇔q∧p p∨q⇔q∨p (p ∧ q) ∧ r ⇔ p ∧ (q ∧ r) (p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ (q ∨ r) p∧p⇔p p∨p⇔p p ∧ (p ∨ q) ⇔ p p ∨ (p ∧ q) ⇔ p p→p∧q⇔p→q ~ (p ∨ q) ⇔ ~p ∧ ~q ~ (p ∧ q) ⇔ ~p ∨ ~q p → q ⇔ ~p ∨ q p → q ⇔ ~(p ∧ q) p ↔ q ⇔ (p → q) ∧ (q → p) p ↔ q ⇔ (~p ∨ q) ∧ (~q ∨ p) ~p → p ⇔ P p → q ⇔ ~q → ~p

Dupla Negação Comutativa Comutativa Associativa Associativa Idempotente Idempotente Absorção Absorção Absorção Lei de Morgan Lei de Morgan Def Implicação Def Implicação Def Bicondicional Def Bicondicional Regra de Clavius Contraposição

1. Dupla negação ~(~p) ⇔ p

72 •

capítulo 3

p

~p

~~p

V F

F V

V F

EXEMPLO p: Vou ao cinema. ~p: Não vou ao cinema. ~(~p): Não é o caso que não vou ao cinema. “Não é o caso que não vou ao cinema” é equivalente a “Vou ao cinema”.

2. Comutativas p∧q⇔q∧p

p∨q⇔q∨p

p

q

p∧q

q∧p

p

q

p∨q

q∨p

V V F F

V F V F

V F F F

V F F F

V V F F

V F V F

V V V F

V V V F

EXEMPLO p: Vou ao cinema. q: Vou ao teatro. p ∨ q: Vou ao cinema ou vou ao teatro. q ∨ p: Vou ao teatro ou vou ao cinema. “Vou ao cinema ou vou ao teatro” é equivalente a “Vou ao teatro ou vou ao cinema “.

3. Associativas (p ∧ q) ∧ r ⇔ p ∧ (q ∧ r) p

q

r

p∧q

(p ∧ q) ∧ r

q∧r

p ∨ (q ∧ r)

V

V

V

V

V

V

V

V

V

F

F

F

F

F

V

F

V

V

F

F

F

F

V

V

V

F

V

F

V

F

F

V

F

F

F

F

F

V

F

F

F

F

F

V

F

V

F

F

F

F

F

F

V

F

F

F

capítulo 3

• 73

(p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ (q ∨ r) p

q

r

p∨q

(p ∨ q) ∨ r

q∨r

p ∨ (q ∨ r)

V

V

V

V

V

V

V

V

V

F

V

V

V

V

V

F

V

V

V

V

V

F

V

V

V

V

V

V

V

F

F

V

V

F

V

F

F

V

F

V

V

V

F

V

F

V

V

V

V

F

F

F

F

F

F

F

3. Idempotentes p∧p⇔p p

p∧p

V F

V F

p∨p⇔p p

p∨p

V F

V F

4. Absorções p ∧ (p ∨ q) ⇔ p

p ∨ (p ∧ q) ⇔ p

p

q

p∨q

p ∧ (p ∨ q)

p

q

p∧q

p ∨ (p ∧ q)

V V F F

V F V F

V V V F

V V F F

V V F F

V F V F

V F F F

V V F F

EXEMPLO p: Vou ao cinema. q: Vou ao teatro. p ∨ q: Vou ao cinema ou vou ao teatro. “Vou ao cinema e, vou ao cinema ou ao teatro”, é equivalente a “vou ao cinema”.

74 •

capítulo 3

5. Distributivas p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) p

q

r

q∨r

p ∧ (q ∨ r)

p∧q

p∨q

(p ∨ q) → r

V

V

V

V

V

V

V

V

V

F

F

F

V

V

F

V

F

V

F

V

V

F

V

V

V

V

V

V

F

F

F

F

V

V

F

V

F

F

F

F

V

F

V

F

F

F

F

F

V

V

V

V

F

F

F

F

F

F

F

V

F

F

F

F

p ∨ (q ∧ r) ⇔ (p∨ q) ∧ (p ∨ r) p

q

r

q∧r

p ∨ (q ∧ r)

p∨q

p∨q

(p ∨ q) → r

V

V

V

V

V

V

V

V

V

F

F

F

V

V

V

V

F

V

F

F

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

F

F

V

V

V

V

V

F

V

F

F

F

V

F

V

V

V

F

F

V

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

6. Leis de Morgan ~(p ∧ q) ⇔~p ∨~q p

q

p∧q

~(p ∧ q)

~p

~q

~p ∧ ~q

V V F F

V F V F

V V V F

F V V V

F F V V

F V F V

F V V V

~(p ∨ q) ⇔ ~p ∧ ~q p

q

p∨q

~(p ∨ q)

~p

~q

~p ∧ ~q

V V F F

V F V F

V V V F

F F F V

F F V V

F V F V

F F F V

capítulo 3

• 75

EXEMPLO p: Vou ao cinema. q: Vou ao teatro. p ∨ q: Vou ao cinema ou vou ao teatro. p ∧ q: Vou ao cinema e vou ao teatro. “Não é o caso de que vou ao cinema ou vou ao teatro” é equivalente a “Não vou ao cinema e não vou ao teatro”. “Não é o caso de que vou ao cinema e vou ao teatro” é equivalente a “Não vou ao cinema ou não vou ao teatro”.

7. Definições de implicação p → q ⇔ ~p ∨ q p

q

p→q

~p

~p ∨ q

V V F F

V F V F

V F V F

F F V V

V F V V

p → q ⇔ ~(p ∧~q) p

q

p→q

~q

p ∧ ~q

~(p ∧~ q)

V V F F

V F V F

V F V V

F V F V

F V F F

V F V V

EXEMPLO p: Vou ao cinema. q: Vou ao teatro. p → q: Se vou ao cinema, então vou ao teatro. ~p ∨ q: Não vou ao cinema ou vou ao teatro. “Se vou ao cinema, então vou ao teatro” é equivalente a “Não vou ao cinema ou vou ao teatro”.

76 •

capítulo 3

EXERCÍCIO RESOLVIDO 01. Escreva uma frase equivalente a frase condicional, utilizando o conectivo “ou”. “Se você for ao shopping, então gastará dinheiro.” p → q ⇔ ~p ∨ q p

q

p→q

~p

~p ∨ q

V V F F

V F V F

V F V V

F F V V

V F V V

Você não vai ao shopping ou gastará dinheiro. 02. Escreva uma frase equivalente a frase condicional, utilizando o conectivo “ou”. “Se chover, então a rua ficará alagada”. p → q ⇔ ~p ∨ q p

q

p→q

~p

~p ∨ q

V V F F

V F V F

V F V V

F F V V

V F V V

Não choveu ou a rua ficou alagada.

8. Definições de bicondicional p ↔ q ⇔ (p → q) ∧ (q → p) p

q

p→q

q→p

(p → q) ∧ (q → p)

p↔q

V V F F

V F V F

V F V V

V V F V

V F F V

V F F V

p ↔ q ⇔ (~p ∨ q) ∧ (q ∨ p) p

q

~p

~p ∨ q

~q

~q ∨ p

(~p ∨ q) ∧ (~q ∨ p)

p↔q

V V F F

V F V F

V F V V

V V F V

F V F V

V V F V

V F F V

V F F V

capítulo 3

• 77

9. Contraposição p ↔ q ⇔ ~q → ~p p

q

p→q

~q

~p

~q → ~p

V V F F

V F V F

V F V V

F V F V

F F V V

V F V V

EXEMPLO Considere a frase condicional: “ Se você for ao cinema, então se atrasará para a aula”, representada, em linguagem lógica por p → q, onde p: “Você vai ao shopping” e q: “Você gastará dinheiro”. A contrapositiva ~q → ~p da frase condicional p → q é equivalente a própria frase (a condicional) ~q → ~p: Se você não se atrasou para a aula, então você não foi ao cinema.

3.3  Proposições associadas a uma condicional Dada a proposição condicional p → q , chamamos proposições associadas a p → q as três proposições condicionais que contém p e q: •  Recíproca de p → q: q→p •  Contrária de p → q: •  Contrapositiva de p → q:

~p → ~q ~q → ~p

EXEMPLO Considere a frase condicional: “ Se você for ao cinema, então se atrasará para a aula”, representada, em linguagem lógica por p → q, onde p: “Você vai ao cinema” e q: “Você se atrasará para a aula”. Vamos agora determinar, a partir desta condicional dada as condicionais associadas a ela e expressá-las sob a forma de frases.

78 •

capítulo 3

Condicional

p→q

Se você for ao cinema, então se atrasará para a aula.

Recíproca

q→p

Se você se atrasou para a aula, então foi ao cinema.

Contrária

~p → ~q

Se você não for ao cinema, então não se atrasará para a aula

Contrapositiva

~q → ~p

Se não se atrasou para a aula, então você não foi ao cinema.

Das três proposições associadas a condicional, podemos determinar qual ou quais delas é equivalente a condicional dada. Construindo a tabela verdade:

p V V F F

q V F V F

Condicional p→q V F V V

~q F V F V

~p F F V V

Contrapositiva ~q → ~p V F V V

Recíproca q→p V V F V

Contrária ~p → ~q V V F V

ATENÇÃO A proposição equivalente a condicional é a contrapositiva. No nosso exemplo: Se você for ao cinema, então se atrasará para a aula é equivalente a se você não se atrasou para a aula, então você não foi ao cinema.

EXERCÍCIO RESOLVIDO 01. Considere a proposição composta: P: Se fizer sol, então vou à praia. Identifique as proposições associadas a condicional dada, construa suas tabelas verdade e identifique qual delas é equivalente a proposição condicional inicial. Resolução: Identificando as proposições simples componentes: p: faz sol q: vou a praia.

capítulo 3

• 79

a) Recíproca q → p Se eu fui à praia então fez sol. p

q

p→q

q→p

V V F F

V F V F

V F V V

V V F V

Não são equivalentes. b) Contrária: ~p → ~q Se não fizer sol então eu não vou a praia. p

q

~p

~q

~p → ~q

p→q

V V F F

V F V F

F F V V

F V F V

V V F V

V F V V

Não são equivalentes. c) Contrapositiva: ~q → ~p Se não fui a praia então não fez sol. p

q

~q

~p

~q → ~p

p→q

V

V

F

F

V

V

V

F

V

F

F

F

F

V

F

V

V

V

F

F

V

V

V

V

São equivalentes. “Se não fui a praia então não fez sol” é equivalente a “Se fizer sol, então vou à praia.” 02. Dada a frase: Se você vier amanhã, então começarei a ficar feliz hoje. Determine as frases contrária, recíproca e contrapositiva da frase dada. A seguir, após construir a tabela verdade de cada uma delas, identifique qual a proposição equivalente a condicional dada. Resolução: Contrária: ~p > ~q Se você não vier amanhã, então não começarei a ficar feliz hoje.

80 •

capítulo 3

Recíproca: q > p Se eu começar a ficar feliz hoje, então você virá amanhã. Contrapositiva: ~q > ~p Se eu não começar a ficar feliz hoje, então você não virá amanhã. Condicional

Contrapositiva

Recíproca

Contrária

p

q

p→q

~q

~p

~q → ~p

q→p

~p → ~q

V

V

V

F

F

V

V

V

V

F

F

V

F

F

V

V

F

V

V

F

V

V

F

F

F

F

V

V

V

V

V

V

3.4  As negações 3.4.1  Negando o “e” (Leis de Morgan) ~(p ∧ q) ⇔ ~p ∨ ~q p

q

p∧q

~(p ∧ q)

~p

~q

~p ∨ ~q

V V F F

V F V F

V F F F

F V V V

F F V V

F V F V

F V V V

EXEMPLO Negando a frase " O menino tomou banho e foi à festa.", ficaremos com “Não é o caso que o menino tomou banho e foi a festa”. Precisamos então negar um “e”. ~(p ∧ q) ⇔ ~p ∨ ~q p

q

p∧q

~(p ∧ q)

~p

~q

~p ∨ ~q

V V F F

V F V F

V F F F

F V V V

F F V V

F V F V

F V V V

A negativa da frase " O menino tomou banho e foi à festa" será então “O menino não tomou banho ou não foi a festa”.

capítulo 3

• 81

EXERCÍCIO RESOLVIDO 01. Considerando as equivalências lógicas conhecidas como Leis de Morgan determine a equivalência lógica da fase: " Não ocorre que: nevou esta manhã e fomos ao cinema." Resolução: ~(p ∧ q) ⇔ ~p ∨ ~q Não nevou ontem ou não fomos ao cinema. 02. Negue “O tempo está quente e ensolarado”. Resolução: ~(p ∧ q) ⇔ ~p ∨ ~q O tempo está frio ou nublado.

3.4.2  Negando o “ou” (Leis de Morgan) ~( p ∨ q)⇔ ~∧ ~q p

q

p∨q

~(p ∨ q)

~p

~q

~p ∨ ~q

V V F F

V F V F

V V V F

F F F V

F F V V

F V F V

F V V V

EXEMPLO Negando a frase: “A menina foi à casa da avó ou fez o dever de casa ", ficaremos com “Não ocorre que: a menina foi à casa da avó ou fez o dever de casa.“ ~( p ∨ q)⇔ ~∧ ~q p

q

p∨q

~(p ∨ q)

~p

~q

~p ∨ ~q

V V F F

V F V F

V V V F

F F F V

F F V V

F V F V

F V V V

A negativa da frase “A menina foi à casa da avó ou fez o dever de casa " é então “A menina não foi à casa da avó e não fez o dever de casa”.

82 •

capítulo 3

EXERCÍCIO RESOLVIDO 01. Considerando as equivalências lógicas conhecidas como Leis de Morgan determine a equivalência lógica da fase: "Não ocorre que: o rapaz foi ao cinema ou fez a redação". Resolução: ~(p ∨ q) ⇔ ~p ∧ ~q O rapaz não foi ao cinema e não fez a redação. 02. Considerando as equivalências lógicas conhecidas como Leis de Morgan determine a equivalência lógica da frase: " Não ocorre que: fez sol ontem ou fomos a praia “. Resolução: ~(p ∨ q) ⇔ ~p ∧ ~q Não fez sol ontem e não fomos a praia. 03. Negue “Ele estudou muito ou teve sorte na prova”. Resolução: ~(p ∨ q) ⇔ ~p ∧ ~q Ele não estudou e teve azar na prova.

3.4.3  Negando a Condicional. ~(p → q) ⇔ ~p ∧ ~q p

q

p→q

~(p → q)

~q

p ∨ ~q

V V F F

V F V F

V F V V

F V F F

F V F V

F V F F

EXEMPLO Negando a frase: “Se você vier amanhã, então começarei a ficar feliz hoje”. ~(p → q) ⇔ p ∧ ~p Você virá amanhã e eu não começarei a ficar feliz hoje.

capítulo 3

• 83

EXERCÍCIO RESOLVIDO 01. Negue “Se o tempo está ensolarado então está calor.” Resolução: ~(p → q) ⇔ p ∧ ~q O tempo está ensolarado e está frio.

3.4.4  Negando o Bicondicional ~(p ↔ q) ⇔ ~[(p → q) ∧ (q → p)] ~(p ↔ q) ⇔ ~(p → q) ∨ ~(q → p) ~(p ↔ q) ⇔ (p ∧ ~q) ∨ (q ∧ ~p) p

q

V V F F

V F V F

p ↔ q ~(p ↔ q) V F F V

F V V F

~p

~q

p ∧ ~q

p ∧ ~p

(p ∧ ~q) ∨ (q ∧ ~p)

F F V V

F V F V

F V F V

F F V F

F V V F

RESUMO O que vimos neste capítulo? Neste capítulo 3, começamos identificando e representando uma Implicação, e posteriormente analisando-a, usando tabela verdade, de modo a determinar e demonstrar a validade da Implicação. Também, neste capítulo, identificamos e representamos uma Equivalência lógica, determinando e demonstrando a validade da mesma, com o auxílio da tabela verdade. Além disso, estudamos as proposições associadas a condicional: contrária, recíproca e contrapositiva, identificando, dentre as proposições associadas a condicional, qual a equivalente a condicional. Para finalizar, aprendemos a negar proposições compostas.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ALENCAR FILHO, Edgard de. Iniciação a lógica matemática. 18. ed. São Paulo: Nobel, 2002.

84 •

capítulo 3

4 Argumentos

4.  Argumentos De modo simplificado, podemos dizer que a Lógica Matemática possui como objetivo o estudo da validade de argumentos. De acordo com Viana (2012, p.2), as decisões que tomamos e/ou atividades que desempenhamos dizem respeito a opiniões que consideramos como corretas. De uma maneira geral, opiniões estão sujeitas a crítica racional, isto é, opiniões podem ser examinadas a luz das razões que as justificam. [...] Quando as razões e as opiniões são expressas por sentenças e estudamos as relações entre estas sentenças, estamos avaliando o argumento que foi produzido para mostrar de que modo as razões justificam as opiniões. (VIANA, 2012, p.2)

Neste sentido, precisamos encarar a Lógica Matemática como o estudo das relações entre opiniões e razões, sendo, então, necessário relacionarmos sentenças e argumentos.

OBJETIVOS •  Identificar a estrutura de um argumento; •  Reconhecer um argumento válido e um argumento inválido. •  Identificar conjuntos, universo e verdade de sentenças abertas. •  Identificar e aplicar os quantificadores a sentenças abertas. •  Indicar as negações de proposições com quantificadores. •  Aplicar as relações lógicas estudadas, em proposições com quantificadores.

4.1  Sentenças Uma proposição é uma sentença declarativa, a qual é uma expressão de uma linguagem, cujo conteúdo pode, diante de determinado contexto, ser identificada como verdadeiro ou falso. Quando falarmos em valor lógico nos referimos a um dos dois possíveis juízos que podemos atribuir a uma proposição: verdadeiro (V) ou falso (F).

86 •

capítulo 4

CURIOSIDADE Nem todas as sentenças são afirmativas. Quando lemos um texto, este é uma composição de frases, orações e períodos, constituindo uma sequência lógica de ideias. Podemos classificar as sentenças como Declarativas, Interrogativas, Exclamativas e Imperativas. •  Sentenças Declarativas. Sentenças Declarativa são utilizadas para emitir juízo sobre algo ou alguém. Elas podem ser Afirmativas e Negativas. Exemplos: Sentença Declarativa Negativa: A meteorologia não prevê chuva para hoje. Sentença Declarativa Afirmativas: Hoje teremos um dia de sol. •  Sentenças Interrogativas Sentenças interrogativas são utilizadas para perguntar alguma coisa, quando precisamos questionar sobre algo. Exemplo: Você irá a praia amanhã? •  Sentenças Exclamativas Sentenças Exclamativas são utilizadas para expressar sentimentos em relação a algo. Exemplo: Como está calor hoje! •  Sentenças Imperativas Sentenças Imperativas são utilizadas para incentivar alguém a fazer ou mesmo a deixar de fazer algo. Elas transmitem pedido ou ordem e podem ser afirmativas ou negativas. Exemplo: Não faça isso!

ATENÇÃO Somente sentenças declarativas podem ser identificadas como verdadeiras ou falsas.

capítulo 4

• 87

REFLEXÃO O termo Proposição origina-se do verbo propor, que, de acordo com o dicionário Michaellis, significa submeter à apreciação, requerer um juízo.

EXEMPLO Observe alguns exemplos de sentenças: (a) 5 + 5 = 20. Comentário: Trata-se de uma sentença falsa. (b) Sócrates é mortal. Comentário: Trata-se de uma sentença verdadeira. (c) O seu nome é Maria. Comentário: Depende do contexto, de quem se está referindo, se a pessoa se chama mesmo Maria. (d) Na loja da esquina há 10 quilos de tomates. Comentário: Depende do contexto, se há realmente 10 quilos.

4.2  Argumentos Nosso intuito então é avaliar juízos, conceitos e raciocínios, reconhecer contradições e identificar se um argumento é válido ou não. Um argumento é um conjunto de enunciados, sendo que um deles é a conclusão e os demais são premissas. Formalmente, dizemos que um argumento é uma sequência de proposições A1 , A2 ,A3 ,... , An , B (n≥ 0) onde os A1 , A2 ,A3 ,... , An são ditas premissas e a última proposição, B, é chamada de conclusão. Notação: A1,A2,…,An  B Consideramos as premissas de um argumento como justificativas para a conclusão.

88 •

capítulo 4

EXEMPLO Sócrates é homem. Todos os homens são mortais. Logo, Sócrates é mortal. Premissas: Sócrates é homem. Todos os homens são mortais. Conclusão: Sócrates é mortal.

4.3  Validade dos argumentos A ideia é utilizarmos as premissas de um argumento como justificativas para a sua conclusão. Há casos nos quais as premissas realmente justificam a conclusão e outros nos quais as premissas não justificam a conclusão, ou seja, as premissas não são suficientes para garantir a conclusão. Quando precisamos justificar a verdade de uma sentença, precisamos provar a conclusão baseado nas premissas, que são a nossa base de argumentação. Um argumento será válido se e somente se quando as premissas são verdadeiras, temos que a conclusão também será. Na prática, um argumento será verdadeiro se A1 ∧ A2 ∧ …∧ An ∧ B é uma tautologia. Como se lê: •  A1, A2, …, An acarretam B. •  B se deduz de A1, A2, …, An. •  B decorre de A1, A2, …, An. •  B se infere de A1, A2, …, An.

ATENÇÃO Associado a todo argumento válido temos uma Implicação lógica do tipo: A1 ∧ A2 ∧ … ∧ An ⇒ B Convém observar também que as regras de inferência vão nos auxiliar muito da determinação da validade de um argumento.

capítulo 4

• 89

EXEMPLO Observe o argumento: As ruas não ficaram alagadas. Se chover muito na cidade, então as ruas ficarão alagadas. Podemos então concluir que não choveu muito na cidade. Trata-se de um argumento verdadeiro. Como podemos verificar este fato? A princípio transformaremos o argumento dado em linguagem corrente para linguagem lógica. Consideraremos: p: Chove na cidade. q: As ruas ficam alagadas. O argumento fiará: ~q , p → q  ~p

ATENÇÃO Temos duas maneiras de verificar se um argumento A1, A2, …, An ⇒ B é verdadeiro. Precisamos verificar se A1 ∧ A2 ∧ … ∧ An → B é uma tautologia ou se A1 ∧ A2 ∧ … ∧ An ⇒ B Então vamos verificar a validade do argumento dado pelas duas condições. •  Verificando se A1 ∧ A2 ∧ … ∧ An → B é uma tautologia . Temos que verificar se condicional ~ q ∧ (p > q) > ~ p é uma tautologia. p V V F F

q V F V F

~q F V F V

p→q V F V V

~p ∧ (p → q) V F F F

~p F F V V

~q ∧ (p → q) ~p V V V V

•  Verificando se A1 ∧ A2 ∧ … ∧ An ⇒ B Temos que verificar se sempre que ~ q ∧ (p > q) é verdadeira, temos que ~ p também será.

90 •

capítulo 4

p V V F F

q V F V F

~q F V F V

p→q V F V V

~q ∧ (p → q) V F F F

~p F F V V

De fato, temos que o argumento ~q, p → q  ~p é válido. Ou ainda, sabemos que as ruas não ficaram alagadas. Sabemos ainda que se chover muito na cidade, então as ruas ficarão alagadas. Podemos então concluir que não choveu muito na cidade.

COMENTÁRIO Observe que este exemplo é efetivamente a Regra de Inferência de Modus Tollens: ~ q ∧ (p > q) ⇒ ~ p

4.4  Sofismas Vamos considerar argumento: Se os cientistas trabalharem com afinco, então descobrirão a cura da doença. Podemos concluir então que se os cientistas não trabalharem com afinco, então não descobrirão a cura da doença. Este argumento é válido? A princípio transformaremos o argumento dado em linguagem corrente para linguagem lógica. Consideraremos: p: Os cientistas trabalham com afinco. q: Os cientistas descobrirão a cura da doença. O argumento fiará: p → q  ~p →~q

capítulo 4

• 91

Vamos verificar a validade do argumento dado pelas duas condições. •  Verificando se A1 ∧ A2 ∧ … ∧ An → B é uma tautologia . Temos que verificar se condicional (p → q) > (~p → ~q) é uma tautologia. p V V F F

p→q V F V V

q V F V F

~p F F V V

~q F V F V

~p → ~q V V F V

(p → q) → (~p → ~q) V V F V

Observe que na última coluna na terceira linha aparece o F. Dessa forma, não se trata de uma tautologia. •  Verificando se A1 ∧ A2 ∧ … ∧ An ⇒ B Temos que verificar se sempre que p → q é verdadeira, se ~p → ~q também será. p V V F F

q V F V F

p→q V F V V

~p F F V V

~q F V F V

~p → ~q V V F V

Observe que na terceira linha, a terceira e a sexta coluna, partimos de algo verdadeiro e chegamos em algo falso. Assim, temos que o argumento p → q,~p ~q não é válido. Ou ainda, considerando que se os cientistas trabalharem com afinco, então descobrirão a cura da doença. Não podemos concluir que se os cientistas não trabalharem com afinco, então não descobrirão a cura da doença.

CONCEITO Sofisma é um argumento que não é válido.

92 •

capítulo 4

PERGUNTA Como mostrar que um argumento é um Sofisma? Basta exibir uma interpretação onde as premissas são verdadeiras e a conclusão é falsa.

REFLEXÃO As premissas dos argumentos são verdadeiras ou, pelo menos, admitidas como tal. A lógica só se preocupa com a validade dos argumentos e não com a verdade ou falsidade das premissas e a conclusão.

CURIOSIDADE O que vem a ser Sofisma? Vejamos o que o dicionário Priberam1, on-line nos diz. so•fis•ma

substantivo masculino 1. Argumento capcioso com que se pretende enganar ou fazer calar o adversário. 2. [Popular] Engano; logro. so•fis•mar - Conjugar (sofismar + -ar) verbo transitivo e intransitivo 1. Torcer (argumento ou questão). 2. Dar aparências de verdade a (asserção que se sabe ser falsa). 3. [Figurado, Popular] Lograr, iludir. verbo intransitivo 4. Usar sofismas; raciocinar por sofismas. Podemos encarar o sofisma como uma ideia que não se baseia em fatos, em evidências, mas sim em si mesma. O indivíduo que argumenta de modo sofismático tem uma inclinação por se entusiasmar por suas próprias palavras, não examinando o fenômeno, ou o problema por todas as possíveis perspectivas. O sofisma então é como um raciocínio, um argumento falso com aparência verdadeira. 1 

http://www.priberam.pt/dlpo/sofisma

capítulo 4

• 93

Bernardo (2009, Ano 2, n. 4) sinaliza que “os sofistas seguiam um argumento aonde quer que ele os levasse, sem se preocuparem com considerações pessoais, morais, cívicas ou religiosas”. O termo “sofisma”, que prefiro, vem do grego “sóphisma”, que traduzo agora como “só-pensamento”. O sofisma é uma espécie de ideia pura, de ideia que se alimenta de si mesma e não dos fatos, das evidências, da realidade, enfim. Como a realidade é extremamente dinâmica, alterando-se a cada instante, quem argumenta de maneira sofismática tende a ter preguiça de observar cada fenômeno por todas as perspectivas possíveis, preferindo se empolgar com as próprias palavras. Ao invés de confirmar o que pensa pelo olhar contínuo sobre a realidade em movimento, prefere apoiar o que pensa com o seu próprio pensamento. (BERNANDO, 2009, Ano 2. N.4)

LEITURA Um Sofisma é um sofisma? Por Gustavo Bernardo. Disponível em: http://www.revista.vestibular.uerj.br/coluna/coluna.php?seq_coluna=25

4.5  Argumentos válidos fundamentais Como vimos, temos duas maneiras de verificar se um argumento A1,A2,…,An  B é verdadeiro. A primeira maneira é verificar se A1 ∧ A2 ∧ … ∧ An → B é uma tautologia e a segunda é observar se a implicação lógica A1 ∧ A2 ∧ … ∧ An ⇒ B se verifica. Desta forma, as implicações logicas já estudadas e as equivalências nos serão muito úteis na verificação da validade de argumentos. Vamos destacar agora alguns argumentos válidos fundamentais. REGRA DE INFERÊNCIA

FÓRMULAS

Adição

pp∨q

Simplificação

p∧qp

Conjunção

p, q  p ∧ q

Absorção

p → q  p → (p ∧ q)

Modus Ponens

p ∧ (p → q) ⇒ q

Modus Tolens

~q ∧ (p → p) ⇒ ~p

Silogismo Disjuntivo

(p ∨ q) ∧~p ⇒ q

Silogismo Hipotético

(p → q) ∧ (q → r) p → r

94 •

capítulo 4

EXEMPLO Considere o argumento: “Vou ao cinema ou vou ao teatro. Não vou ao cinema. Posso deduzir que vou ao teatro. ” Podemos dizer que este argumento é válido? Resolução: Transformando o argumento de linguagem corrente para linguagem lógica, temos: p: Vou ao cinema. q: Vou ao teatro. O argumento: (p ∨ q), ~p, q O argumento (p ∨ q), ~p , q é válido se (p ∨ q) ∨ (~p) → q é uma tautologia, ou ainda, se está associado a equivalência lógica (p ∨ q) ∧ (~p) ⇒ q (Silogismo Disjuntivo) (i) Verificando se é tautologia. p V V F F

q V F V F

p∨q V V V F

~p F F V V

(p ∨ q) ∧ ~p F F V F

(p ∨ q) ∧ ~p → q V V V V

De fato, na última coluna só aparece o valor lógico verdade (V), sendo, portanto, uma tautologia. (ii) Verificando se está associado a implicação lógica. p V V F F

q V F V F

p∨q V V V F

~p F F V V

(p ∨ q) ∧ ~p F F V F

De fato, trata-se de uma implicação lógica, pois sempre que (p ∨ q) ∧ (~p) é verdadeiro, temos que q também é.

EXERCÍCIO RESOLVIDO 01. Considere o argumento: “Se o temporal foi devastador, então as ruas ficaram intransitáveis. Posso deduzir, a partir daí, que se as ruas ficaram intransitáveis então o temporal foi devastador? ”

capítulo 4

• 95

Podemos dizer que este argumento é válido? Resolução: Transformando o argumento de linguagem corrente para linguagem lógica, temos: p: o temporal foi devastador q: as ruas ficaram intransitáveis Pergunta: p → q, p → q é um argumento válido ou sofisma? p V V F F

q V F V F

p→q V F V V

q→p V V F V

O argumento dado não é válido, é um Sofisma.

02. Considere o argumento: "Se chover muito então o trânsito ficará caótico." Posso concluir, a partir daí que "Se o trânsito não ficou caótico então não choveu muito. "? Podemos dizer que este argumento é válido? Resolução: Transformando o argumento de linguagem corrente para linguagem lógica, temos: p: chover muito. q: trânsito ficará caótico. Pergunta: p → q, ~q → ~p é um argumento válido ou sofisma? p V V F F

q V F V F

Trata-se de um argumento válido.

96 •

capítulo 4

p→q V F V V

~q F V F V

~p F F V V

~p → ~p V F V V

4.6  Sentenças abertas, conjunto universo e conjunto verdade 4.6.1  Sentença aberta e conjunto universo Chama-se sentença aberta em A uma expressão p(x) tal que p(a) é falsa (F) ou verdadeira (V) para todo a ∈ A , isto é, p(x) é uma sentença aberta em A se e somente se p(x) torna-se uma proposição (V ou F) todas as vezes que se substitui a variável x por qualquer elemento a do conjunto A. O conjunto A recebe o nome de conjunto-universo (universo ou domínio).

EXEMPLO Sentença x + 2 = 10. Trata-se de sentença aberta na variável x. Se substituirmos a variável x por 8, a sentença será verdadeira, pois 8 + 2 = 10. Note que se substituirmos x por qualquer outro valor, por exemplo, 20, a sentença será falsa.

4.6.2  Conjunto verdade Chamamos de conjunto verdade de uma sentença aberta p(x) em um conjunto A, o conjunto de todos os elementos tais que p(a) é uma proposição verdadeira. Notação: Vp = {x/x ∈ A ∧ p(x)}

EXEMPLO Considere o conjunto {x/x ∈ N ∧ x +1 > 7} . O conjunto universo considerado é o conjunto dos números naturais, A proposição aberta considerada é x + 1 > 7. Os elementos que pertencem a este conjunto são aqueles números naturais que satisfazem a inequação x + 1 > 7. Isto significa que x > 7 – 1, ou ainda, x > 6. O conjunto verdade considerado será então {7, 8, 9,…}

capítulo 4

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EXERCÍCIO RESOLVIDO 01. Para cada propriedade e conjunto universo dado abaixo, determine o conjunto verdade: a) P(x): x + 5 > 3 e U = N . Resolução: A princípio precisamos resolver a inequação dada. x+5>3 x>3–5 x > –2 Como o conjunto Universo é o conjunto dos números naturais, temos que qualquer número natural satisfaz a inequação x > – 2. Assim, o conjunto verdade será: N b) P(x): x + 1 > 8 e U = N Resolução: A princípio precisamos resolver a inequação dada. x+1>8 x > 8 –1 x>7 Como o conjunto Universo é o conjunto dos números naturais, temos que o conjunto Verdade será { 8, 9, 10,...} c) P(x): x + 7 < 5 e U = N Resolução: x+7<5 x<5–7 x<–2 Como o conjunto Universo é o conjunto dos números naturais, e nenhum número natural é menor do que –2, temos que o Conjunto Verdade será o conjunto vazio. ∅ 02. Determine que valores satisfazem em N a sentença 2x – 10 < 5. Resolução: 2x < 5 + 10 2x < 15 x<

15 2

x < 7,5 x = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

98 •

capítulo 4

03. Determine que valores satisfazem em Z a sentença 2x –10 < 5. Resolução: 2 x < 5 + 10 2x < 15 x<

15 2

x < 7,5 x = {..., 4, 5, 6, 7} 04. Determine que valores satisfazem em R a sentença 2x – 10 < 5. Resolução: 2x < 5 + 10 2x < 15 x<

15 2

x < 7,5 15   x =  − ∞,  2  05. Determine que valores satisfazem em R a sentença x2 + 5x – 6 = 0 Resolução: x12 , =

−b ± ∆ 2a

∆ = b2 – 4ac ∆ = 52 – (4) · (1) · (–6) ∆ = 25 + 24 ∆ = 49 x12 , =

−5 ± 7  1 = 2  −6

06. Determine que valores satisfazem em N a sentença x2 + 5x – 6 = 0 Resolução: x12 , =

−b ± ∆ 2a

∆ = b2 – 4ac ∆ = 52 – (4) · (1) · (–6)

capítulo 4

• 99

∆ = 25 + 24 ∆ = 49 x12 , =

−5 ± 7  1 = 2  −6

Como estamos considerando como conjunto Universo o conjunto dos números Naturais, só nos servirá o 1.

COMENTÁRIO A sentença que não é aberta, dizemos ser fechada.

EXEMPLO Dadas as sentenças: "r: x é número ímpar" e "s: 2 é um número irracional" , temos que a sentença r é aberta e a sentença s é fechada.

4.7  Quantificadores Podemos, a partir de uma sentença aberta P, criar proposições ou sentenças fechadas, atribuindo-se valores às variáveis livres de P, sendo possível então determinar seu valor lógico verdadeiro ou falso. Uma outra forma de transformar sentenças abertas em fechadas é utilizarmos os quantificadores. Estes “quantificam” as variáveis livres da sentença, nos fornecendo informações relacionadas a “quantidade” de elementos.

4.8  Quantificador universal Considere p(x) uma sentença aberta em um conjunto não vazio A (A ≠ ∅) e o seu conjunto verdade Vp = {x/ x ∈ A ∧ p(x)} Se todos os elementos de A satisfazem a p(x), podemos dizer que para todo elemento x de A, p(x) é verdadeira, ou ainda, qualquer que seja o elemento x de A, p(x) é verdadeira.

100 •

capítulo 4

Notações: (∀ x ∈ A)(p(x)); ∀ x ∈ A,p(x); ∀ x,p(x) Ao operador lógico ∀ damos o nome de quantificador universal. Dessa forma, quando precisamos nos referir a todos os elementos de um conjunto, podemos utilizar o quantificador universal.

EXEMPLO Considere a propriedade p(x) = x é ímpar no conjunto Universo A = {3, 5, 7, 9, 11}. Utilizando o quantificador universal ∀, podemos dizer que (∀ x ∈ A)(x é ímpar). Desta forma, transformamos a sentença aberta “x é ímpar” em uma sentença fechada, uma proposição. A partir daí, podemos atribuir o seu valor lógico, neste caso, verdadeiro.

REFLEXÃO A sentença aberta p(x) não tem valor lógico, a menos que se atribua valor a x. No entanto, a sentença aberta p(x) com o símbolo ∀, antes dela, torna-se uma proposição, tendo portanto um valor lógico (V ou F). O símbolo ∀, referido a variável x, representa uma operação lógica que transforma a sentença aberta p(x) numa proposição (V ou F).

4.8.1  Quantificador existencial Considere p(x) uma sentença aberta em um conjunto não vazio A (A ≠ ∅) e o seu conjunto verdade Vp = {x/ x ∈A ∧ p(x)} Quando o conjunto verdade de A, Vp , não é vazio, então um elemento, pelo menos, do conjunto A satisfaz a sentença aberta p(x), e podemos afirmar: “Existe pelo menos um x ∈ A tal que p(x) é verdadeira“ “Para algum x ∈ A, p(x) é verdadeira” “Existe x∈ A tal que p(x)” “Para algum x ∈ A, p(x)” Notações: (∃ x ∈ A)p(x); ∃ x ∈ A,p(x) ; ∃ x,p(x)

capítulo 4

• 101

EXEMPLO Considere

a

propriedade

p(x)

=

x

é

número

primo

no

conjunto

Universo

A = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} . Utilizando o quantificador universal ∃, podemos dizer (∃ x ∈ A)(x é primo). Desta forma, transformamos a sentença aberta “x é primo” em uma sentença fechada, A partir daí, podemos atribuir o seu valor lógico, neste caso, verdadeiro. Existem 4 elementos que satisfazem a propriedade de ser número primo.

REFLEXÃO Tal como foi feito com o quantificador universal, é importante que se sinalize que a sentença aberta p(x) não tem valor lógico, a menos que se atribua valor a x. No entanto, a sentença aberta p(x) com o símbolo ∃ , antes dela, torna-se uma proposição, tendo portanto um valor lógico (V ou F). O símbolo ∃, referido a variável x, representa uma operação lógica que transforma a sentença aberta p(x) numa proposição (V ou F).

4.8.2  Quantificador de existência e unicidade Podemos ter o caso em que a proposição ∃ x ∈ A, p(x) é verdadeira para um único x ∈ A. Neste caso dizemos que existe um único valor de x que satisfaz a propriedade. Notação: (∃! x ∈ A)p(x) Dizemos: Existe um e um só tal que p(x). Ao operador lógico ∃! damos o nome de quantificador de Existência e Unicidade.

EXEMPLO Considere a propriedade x – 1 = 0 no conjunto dos números naturais. Somente o número 1 satisfaz a esta propriedade. Dizemos então que ∃! x ∈ N : x – 1 = 0

102 •

capítulo 4

CURIOSIDADE O símbolo de existência ∃, o “E” invertido, tem sua origem na palavra inglesa “Exists”, que significa ”existe”, enquanto que o símbolo do quantificador universal ∀, o “A” de cabeça para baixo tem sua origem na palavra inglesa “All”, que significa “todo”.

EXERCÍCIO RESOLVIDO 01. Determine o valor lógico de cada uma das proposições. a) ∀ x ∈ , x < x + 1.

d) ∀ x ∈  , x = 3.

b) ∃ x ∈ , x < x + 1.

e) ∃ x ∈ , x < 1.

c) ∃! x ∈ , x < x + 1.

f)

∃! x ∈ , x < x + 1.

Resolução: a)

∀ x ∈ , x < x + 1. Qualquer número inteiro é menor que seu sucessor. Verdade.

b)

∃ x ∈ , x < x + 1. Verdade.

c)

∃! x ∈ , x < x + 1. Falso.

d)

∀ x ∈  , x = 3. Falso.

e)

∃ x ∈ , x < 1. Verdade.

f)

∃! x ∈ , x < x + 1. Falso.

02. Dê o valor lógico de P(x): x + 1 > x e U = N a)

∀ x P(x).

b)

∃ x P(x) .

b)

∃ x P(x). Verdade.

Resolução: a)

∀ x P(x). Verdade.

4.9  Negação de proposições com quantificadores 4.9.1  Negação de proposição com quantificador universal Considere a frase em linguagem corrente “Todas os alunos aprenderam a matéria. ” Negando esta sentença, ficaríamos com “Nem todos os alunos aprenderam a matéria.” Poderíamos também dizer que “Existem alunos que não aprenderam a matéria. “ capítulo 4

• 103

Estruturalmente, observamos que esta sentença possui um quantificador universal (∀). Começaremos transformando a sentença, que está em linguagem corrente, para em linguagem lógica: ∀ x, p(x). A negação ficará ~[∀ x, p(x)] ou ainda ∃ x(~p(x)) Negação de proposição com quantificador universal: ~(∀ x, p(x)) ⇔ x(~p(x)) 4.9.2  Negação de proposição com quantificador existencial Considere a frase em linguagem corrente: Existem pessoas que gostam de atum. Negando esta sentença, ficaríamos com “Não existem pessoas que gostam de atum. ” Poderíamos também dizer que “Nenhuma pessoa gosta de atum “, ou ainda, “Todas as pessoas detestam atum”. Estruturalmente, observamos que esta sentença possui um quantificador existencial (∃). Começaremos transformando a sentença, que está em linguagem corrente, para em linguagem lógica: ∃ x, p(x). A negação ficará ~[∃ x, p(x)] ou ainda ∀ x(~p(x)) Negação de proposição com quantificador existencial: ~(∃ x,p(x)) ⇔ ∀x(~p(x))

REFLEXÃO A negação transforma uma proposição com o quantificador universal em uma proposição com quantificador existencial (seguido de negação) e vice-versa, tornando-as equivalentes.

EXERCÍCIO RESOLVIDO 01. Escreva as frases abaixo, utilizando os quantificadores. A seguir negue as proposições formadas e retorne a linguagem corrente. a) Toda pessoa fala francês ~(∀ x (p(x))) Ficamos com ∃ x(~p(x)) Existe uma pessoa que não fala francês.

104 •

capítulo 4

b) Existe um planeta que é habitável ~(∃ x (p(x))) Ficamos com ∃ x(~p(x)) Todo planeta não é habitável. 02. Negue as afirmações abaixo: a) Todos os alunos da turma A são bem comportados. ~(∀ x (p(x))) Ficamos com ∃ x(~p(x)) Existem pelo menos um aluno da turma A que não é bem comportado. b) Alguns homens são sábios. ~(∃ x (p(x))) Ficamos com ∀ x(~p(x)) Todos os homens não são sábios ou mesmo Nenhum homem é sábio. c) Todas as pessoas da turma são bonitas e inteligentes. ~(∀ x (p ∧ q) ⇔ (∃ x(~(p ∧ q)) ⇔ (∃ x(~p ∨ ~q)) Existe pelo menos uma pessoa da turma que não é bonita ou não é inteligente.

4.9.3  Negativa de proposições com dois quantificadores Podemos negar proposições com mais de um quantificador. O procedimento será o mesmo.

EXEMPLO Se negarmos a proposição (∀ y ∈ R)(∃ x ∈ R)(x + y = y) , teremos: ~[(∀ y ∈ R)(∃ x ∈ R)(x + y = y)] (∃ y ∈ R)(∀x ∈ R)(x + y ≠ y)

COMENTÁRIO Interessante, primeiramente, se intuir, e a seguir definir as negações “duplas”. ~ ∀ x~P(x) ⇔ ∃ x P(x) ~ ∃ x~P(x) ⇔ ∀ x P(x)

capítulo 4

• 105

4.9.4  Negações de proposições compostas quantificadas Podemos utilizar a negação dos conectivos já estudadas, as leis de Morgan e a negação da condicional e do bicondicional juntamente com os quantificadores. a) Negando o “E” Exemplo: Proposição em linguagem corrente: Todas as pessoas da turma ao lado são bonitas e inteligentes. Proposição em linguagem lógica: ∀ x (p ∧ q) ⇔ (∃x(~(p ∧ q)) ⇔ (∃ x(~p ∨ ~q) Negando: ~(∀ x (p ∧ q) ⇔ (∃ x(~(p∧ q)) ⇔ (∃ x(~p ∨ ~q)) Em linguagem corrente a negação ficará: Existe pelo menos uma pessoa da turma ao lado que não é bonita ou não é inteligente. Exemplo: Proposição em linguagem corrente: Toda pessoa envolvida no processo será contratada e efetivada. Proposição em linguagem lógica: ∀ x (p ∧ q) ⇔ (∃x(~(p ∧ q)) ⇔ (∃ x(~p∨~q) Negando a proposição: ~(∀ x (p ∧ q) ⇔ (∃x(~(p ∧ q)) ⇔ (∃ x(~p∨~q)) Em linguagem corrente a negação ficará: Existe pelo menos uma pessoa envolvida no processo que não será contratada ou não será efetivada. b) Negando o “OU” Exemplo: Proposição em linguagem corrente: Existe um elemento na composição da fórmula que contribui de forma positiva ou faz com que vivamos mais. Proposição em linguagem lógica: ∃ x (p∨q) ⇔ (∀x(~(p ∨ q)) ⇔ (∀ x(~p∧~q) Negando a proposição: ~(∃ x (p∨q) ⇔ (∀x(~(p∨q)) ⇔ (∀ x(~p∧~q)) Em linguagem corrente a negação ficará: Todo elemento na composição da fórmula não contribui de forma positiva e não faz com que vivemos mais. c) Negando o “SE..ENTÃO” Exemplo: Proposição em linguagem corrente: Todas as pessoas, se são pobres, então são infelizes.

106 •

capítulo 4

Proposição em linguagem lógica: ∀ x (p → q) ⇔ (∃x(~(p → q)) ⇔ (∃ x(p ∧~q) Negando a proposição: ~(∀ x (p → q) ⇔ (∃ x(~(p → q)) ⇔ (∃ x(p ∧~q)) Em linguagem corrente a negação ficará: Existe pelo menos uma pessoa que é pobre e é feliz.

EXERCÍCIO RESOLVIDO 01. (ESAF – Analista) Dizer que a afirmação “Todos os economistas são médicos” é falsa, do ponto de vista lógico, equivale a dizer que a seguinte afirmação é verdadeira: a) Nenhum economista é médico b) Pelo menos um economista não é médico c) Nenhum médico é economista d) Pelo menos um médico não é economista e) Todos os não-médicos são não-economistas Resolução: Se a sentença “Todos os economistas são médicos” é falsa, temos que a sua negativa é verdadeira. Transformando esta sentença de linguagem corrente para linguagem lógica, ficamos com: ∀ x, p(x). Negando esta sentença, obtemos: ~[∀x, p(x)], ou ainda, ∃x, ~ p(x). Em linguagem corrente, temos “Existem economistas que não são médicos” , ou ainda, “Pelo menos um economista não é médico”. Opção: (b) 02. (ESAF – MPOG/2009) A negação de “À noite, todos os gatos são pardos” é: a) De dia, todos os gatos são pardos. b) De dia, nenhum gato é pardo. c) De dia, existe pelo menos um gato que não é pardo. d) À noite, existe pelo menos um gato que não é pardo. e) À noite, nenhum gato é pardo. Resolução: No caso, precisamos negar um para todo, ou seja, ~[∀ x,p(x)], ou ainda, ∃x,~ p(x). Em linguagem corrente, ficamos com À noite, existe pelo menos um gato que não é pardo. Opção: (d)

capítulo 4

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03. (ESAF – Auditor do Tesouro Municipal) Pedro, após visitar uma aldeia distante, afirmou: “Não é verdade que todos os aldeões daquela aldeia não dormem a sesta”. A condição necessária e suficiente para que a afirmação de Pedro seja verdadeira é que seja verdadeira a seguinte proposição: a) No máximo um aldeão daquela aldeia não dorme a sesta. b) Todos os aldeões daquela aldeia dormem a sesta. c) Pelo menos um aldeão daquela aldeia dorme a sesta. d) Nenhum aldeão daquela aldeia não dorme a sesta. e) Nenhum aldeão daquela aldeia dorme a sesta. Resolução: A condição necessária e suficiente diz respeito ao “ se e somente se”, ou ainda, a uma sentença equivalente. Precisamos então determinar uma sentença equivalente a “Não é verdade que todos os aldeões daquela aldeia não dormem a sesta”. Transformando a sentença da linguagem corrente para a linguagem lógica, teremos : ~[∀x ~p(x)] Esta proposição será equivalente a ∃x(~~p(x)), ou ainda ∃xp(x). Em linguagem corrente, ficamos com “Existe pelo menos um aldeão daquela aldeia que dorme a sesta“, ou ainda, “Pelo menos um aldeão daquela aldeia dorme a sesta.” Opção: (c) 04. (CESPE) Considere a seguinte proposição: “Ninguém será considerado culpado ou condenado sem julgamento. ” Julgue os itens que se seguem, acerca dessa proposição. 1o. A proposição “Existe alguém que será considerado culpado ou condenado sem julgamento” é uma proposição logicamente equivalente à negação da proposição acima. 2o. “Todos serão considerados culpados e condenados sem julgamento” não é uma proposição logicamente equivalente à negação da proposição acima. Resolução: 1o. A proposição “Existe alguém que será considerado culpado ou condenado sem julgamento” é uma proposição logicamente equivalente à negação da proposição acima. Podemos escrever a proposição dada “Ninguém será considerado culpado ou condenado sem julgamento” como “Não existe pessoa considerada culpada ou condenada sem julgamento“ Transformando a proposição dada para linguagem lógica, ficaremos com: ~∃x(p ∨ q)

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capítulo 4

Negando a proposição dada, ~~∃x(p ∨ q) , ou ainda, ∃x(p ∨ q). Em linguagem corrente, “Existe pelo menos uma pessoa considerada culpada ou condenada sem julgamento “ Portanto, a afirmativa 1 é verdadeira. 2o. “Todos serão considerados culpados e condenados sem julgamento” não é uma proposição logicamente equivalente à negação da proposição acima. Conforme desenvolvimento do item 1, em linguagem corrente, a negativa da proposição dada será “Existe pelo menos uma pessoa considerada culpada ou condenada sem julgamento “. Dessa forma, “Todos serão considerados culpados e condenados sem julgamento” não é uma proposição logicamente equivalente à negação da proposição dada. Portanto, a afirmativa 2 é verdadeira. 05. (CESGRANRIO-TJ-RO-2008) A negação de “Nenhum rondoniense é casado” é: a) há pelo menos um rondoniense casado. b) alguns casados são rondonienses. c) todos os rondonienses são casados. d) todos os casados são rondonienses. e) todos os rondonienses são solteiros. Resolução: Podemos transformar a sentença “Nenhum rondoniense é casado” em “Não existe rondoniense que seja casado. ” Transformando esta sentença de linguagem corrente para linguagem lógica, ficamos com: ~∃x, p(x) Negando esta frase, temos que ~(~∃x, p(x)) que equivale a ∃x, p(x) . Dessa forma, existe, pelo menos um rondoniense que é casado.

RESUMO O que vimos neste capítulo? Neste capítulo 4, identificamos a estrutura de um argumento, bem como reconhecemos se um argumento é válido ou se é um sofisma. Ainda, identificamos conjuntos, universo e verdade de sentenças abertas. Também identificamos e aplicamos os quantificadores a sentenças abertas, negamos proposições com quantificadores, aplicando as relações estudadas até então.

capítulo 4

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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ALENCAR FILHO, Edgard de. Iniciação a lógica matemática. 18. ed. São Paulo: Nobel, 2002. BERNARDO, GUSTAVO. Um Sofisma é um sofisma? Revista Eletrônica do Vestibular. Disponível em . Acesso em 26 mar. 2016. VIANA, PETRUCIO. Validade, Forma e Conteúdo dos Argumentos. Disponível em . Acesso em 26 mar. 2016.

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capítulo 4

5 Técnicas de Demonstrações

5.  Técnicas de Demonstrações Para demonstrarmos a validade dos argumentos podemos utilizar algumas técnicas de demonstrações. •  Demonstração utilizando Tabela-Verdade. •  Demonstração Direta. •  Demonstração Condicional. •  Demonstração por Absurdo. Até o momento, utilizamos a tabela verdade para demonstrar que um argumento é válido. Outras técnicas de demonstrações nos permitirão demonstrar a validade de argumentos, sem montar a tabela verdade. Na aula de hoje trataremos da demonstração direta. As regras de Inferências devem ser usadas neste método de demonstração direta.

OBJETIVOS •  Validar a demonstração direta dos Argumentos. •  Construir a demonstração direta dos Argumentos. •  Validar argumentos utilizando a demonstração direta •  Utilizar as regras de Inferências e equivalências na validação e demonstração direta de argumentos válidos. •  Demonstrar argumentos adequados pelo método da demonstração condicional. •  Demonstrar argumentos, usando a demonstração por absurdo. •  Identificar o conjunto numérico binário. •  Associar os valores lógicos estudados, verdadeiro e falso, ao zero e um. •  Construir tabela verdade, usando o conjunto binário 0 e 1. •  Transformar um número no sistema decimal para o sistema binário e vice versa.

112 •

capítulo 5

5.1  Demonstração utilizando tabela verdade

EXEMPLO 01. Vamos considerar o argumento a seguir, em linguagem corrente. O jogador estreante se destacou na partida ou o time do jogador estreante perdeu a partida. O jogador estreante não se destacou na partida. Podemos concluir que o time do jogador estreante perdeu a partida Verificaremos, com o auxílio da tabela verdade, se este argumento é um argumento válido ou se é um sofisma. Resolução: Transformando o argumento para linguagem lógica, temos: (p ∨ q) ∧ ~p  q Temos duas maneiras de mostrar este argumento, utilizando a tabela verdade. Precisamos verificar se (p ∨ q) ∧ ~p → q é uma tautologia ou se a implicação lógica (p ∨ q) ∧ ~p ⇒ q é válida (i) Verificando se (p ∨ q) ∨ ~p → q é uma tautologia. Na última coluna há somente V. p V V F F

p∨q V V V F

q V F V F

~p F F V V

(p ∨ q) ∧ ~p F F V F

(p ∨ q) ∧ ~p → q V V V V

(ii) Verificando se a implicação lógica (p ∨ q) ∧ ~p ⇒ q é válida Sempre que (p ∨ q) ∧ ~ p é verdadeira, temos que q também é. p V V F F

q V F V F

p∨q V V V F

~p F F V V

(p ∨ q) ∧ ~p F F V F

q V F V F

Portanto, (p ∨ q) ∧ ~p  q é um argumento válido. Assim, considerando que o jogador estreante se destacou na partida ou o time do jogador estreante perdeu a partida. O jogador estreante não se destacou na partida. Podemos concluir que o time do jogador estreante perdeu a partida

capítulo 5

• 113

EXEMPLO Considere o argumento Vamos estudar Matemática ou iremos a praia. Não iremos a praia. Se estudarmos Matemática, então viajaremos no final do ano. Podemos concluir então que viajaremos no final do ano. Em linguagem lógica: (p ∨ q), (~q), (p → r)  r Precisamos verificar se (p ∨ q) ∧ (~q) ∧ (p → r) → r é uma tautologia. p

q

r

p∨q

~q

p→r

(p ∨ q) ∧ (~p ∧ (p → r)

[(p ∨ q) ∧ (~q) ∧ (p → r)] → r

V

V

V

V

F

V

F

V

V

F

F

V

F

F

F

V

F

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

F

V

F

V

V

V

F

V

V

F

F

V

V

F

F

V

F

V

F

V

V

V

V

F

V

V

F

V

F

F

F

F

V

V

F

V

Poderíamos mostrar que (p ∨ q) ∧ (~q) ∧ (p → r) ⇒ r é uma implicação válida. Neste caso, temos que mostrar que sempre que (p ∨ q) ∧ (~q) ∧ (p → r) é verdadeira, r também será. p

q

r

p∨q

~q

p→r

(p ∨ q) ∧ (~q) ∧ (p → r)

V

V

V

V

F

V

F

V

F

F

V

F

F

F

F

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

F

V

F

V

V

F

V

V

F

F

V

F

F

V

F

V

F

V

V

V

F

V

V

F

F

F

F

F

V

V

F

De fato, temos (p ∨ q),(~q),(p → r)  r um argumento válido. Vamos estudar Matemática ou iremos a praia. Não iremos a praia. Se estudarmos Matemática, então viajaremos no final do ano. Podemos concluir então que viajaremos no final do ano.

114 •

capítulo 5

REFLEXÃO Observe que à medida que a quantidade de proposições simples aumenta, a confecção da tabela se torna bem trabalhosa.

EXERCÍCIO RESOLVIDO Verifique se o argumento abaixo é válido, justificando sua resposta. Se o grupo teatral tiver boa performance, então a peça será um sucesso. O grupo teatral teve boa performance. Logo, a peça foi um sucesso. Resolução: Transformando o argumento para linguagem lógica, temos: (p → q) ∧ p  q Precisamos verificar se (p→ q) ∧ p → q é uma tautologia, ou se (p → q) ∧ p ⇒ q é implicação válida. (i) Verificando se (p → q) ∧ p → q é uma tautologia p

q

p→r

p ∨ (p → q)

p ∧ (p → q) → q

V

V

V

V

V

V

F

F

F

V

F

V

V

F

V

F

F

V

F

V

De fato, (p → q) ∧ p → q é tautologia, uma vez que na última coluna só temos V. (ii) Verificando se (p → q) ∧ p ⇒ q é implicação válida. p

q

p→r

p ∧ (p → q)

V

V

V

V

V

F

F

F

F

V

V

F

F

F

V

F

De fato, sempre que (p → q) ∧ p é verdade, temos que q também é.

capítulo 5

• 115

5.2  Demonstração direta Na técnica de Demonstração Direta utilizamos as regras de inferência e as equivalências lógicas, já nossas conhecidas. Fazemos "Inferências", ou seja, executamos os passos de uma Dedução ou Demonstração, a partir das premissas, até chegarmos à conclusão, sendo que cada passo deve estar acompanhado de sua respectiva justificativa. De modo prático, em uma demonstração direta, iniciamos assumindo a hipótese como verdadeira. Lembremos agora das Regras de Inferência: Adição Simplificação Modus Ponens Modus Tollens Silogismo Hipotético Silogismo Disjuntivo Eliminação Prova por Casos

p⇒p∨q p∧q⇒p p ∧ (p → q) ⇒ q ~q ∧ (p → q) ⇒ ~p (p → q) ∧ (q → r) ⇒ (p → r) (p ∨ q) ∧ ~p ⇒ q (p → (q ∨ r) ) ∧ ~q ⇒ p → r (p → r) ∧ (q → r) ⇒ (p ∨ q) → r

Além das Regras de Inferências, precisamos também relembrar as Equivalências Lógicas. Dupla Negação

~~p ⇔ p

Comutativa

p∧q⇔q∧p

Comutativa

p∨q⇔q∨p

Associativa

(p ∧ q) ∧ r ⇔ p ∧ (q ∧ r)

Associativa

(p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ (q ∨ r)

Idempotente

p∧p⇒p

Idempotente

p∨p⇒p

Absorção

p ∧ (p ∨ q) ⇔ p

Absorção

p ∨ (p ∧ q) ⇔ p

Absorção

p→p∧q⇔p→q

Lei de Morgan

~(p ∨ q) ⇔ ~p ∧ ~q

Lei de Morgan

~(p ∧ q) ⇔ ~p ∨ ~q

Def Implicação

p → q ⇔ ~p ∨ q

Def Implicação

p → q ⇔ ~p ∧ q

Def Bicondicional

p ↔ q ⇔ (p → q) ∧ (q → p)

Def Bicondicional

p ↔ q ⇔ (~p → q) ∧ (~q → p)

Regra de Clavius

~p → p ⇔ p

Contraposição

p → q ⇔ ~q → ~p

116 •

capítulo 5

EXEMPLO 01. Demonstre a validade do argumento p → ~q, q  ~p Resolução:

PASSO

PROPOSIÇÃO p → ~q q ~~ q → ~p q → ~p ~p

1. 2. 3. 4. 5

JUSTIFICATIVA Premissa Premissa 1, Contrapositiva 3, Dupla Negação 2, 4, Modus Ponens

02. Demonstre a validade do argumento (p → q), (r → ~q)  p  ~ r Resolução:

PASSO

PROPOSIÇÃO p→q r → ~q ~~ q → ~r q → ~r p → ~r

1. 2. 3. 4. 5

JUSTIFICATIVA Premissa Premissa 2, Contrapositiva 3, Dupla Negação 1, 4, Silogismo Hipotético

03. Demonstre a validade do argumento p → ~q, q  ~p Resolução:

PASSO

PROPOSIÇÃO p → ~q q ~~ q → ~p q → ~p ~p

1. 2. 3. 4. 5

JUSTIFICATIVA Premissa Premissa 1, Contrapositiva 3, Dupla Negação 2, 4, Modus Ponens

04. Demonstre a validade do argumento (p → ~q), q, (~p → r ∧ s)  r ∧ s Resolução:

PASSO 1. 2. 3. 4. 5 6

PROPOSIÇÃO p → ~q q ~q→r∧s ~~q q → ~p r ∧s

JUSTIFICATIVA Premissa Premissa Premissa 2, Dupla Negação 1, 4, Modus Ponens 3, 5, Modus Ponens

capítulo 5

• 117

ATENÇÃO Os argumentos podem ser escritos sob uma forma padronizada: colocamos as premissas sobre um traço horizontal, e a conclusão sob este traço ou separando as premissas da conclusão com o símbolo  .

EXEMPLO O argumento ~p → ~q,~q → ~r,r  p , também pode ser escrito como: ~p → ~q ~q → ~r r p

EXERCÍCIO RESOLVIDO 01. Demonstre a validade do argumento abaixo. ~p → ~ q ~q → ~ r r p Resolução:

PASSO

118 •

PROPOSIÇÃO ~p → ~q ~q → ~r r r→q q q→p p

1. 2. 3. 4. 5 6 7

capítulo 5

JUSTIFICATIVA Premissa Premissa Premissa 2, Contrapositiva, Dupla Negação 2, 4, Modus Ponens 1, Contrapositiva, Dupla Negação 5, 6, Modus Ponens

02. Demonstre a validade do argumento abaixo. p→q p∨r ~q r → (s ∧ t) s Resolução:

PASSO

PROPOSIÇÃO p→q p∨r ~q r → (s ∧ t) ~p r s∧t s

1. 2. 3. 4. 5 6 7 8

JUSTIFICATIVA Premissa Premissa Premissa Premissa 1,3, Modus Tollens 2,5, Silogismo Disjuntivo 4,6, Modus Ponens 7, Simplificação

03. Demonstre a validade do argumento abaixo. p→q r→s ~q ∧ r ~p ∧ s → x x Resolução:

PASSO 1. 2. 3. 4. 5 6 7 8 9 10

PROPOSIÇÃO p→q r→s ~q ∧ r ~p ∧ s → x ~q ~p r s ~p ∧ s x

JUSTIFICATIVA Premissa Premissa Premissa Premissa 3, Simplificação 1, 5, Contrapositiva 3, Simplificação 2, 7 , Modus Ponens 6, 8, Adição 4, 9, Modus Ponens

capítulo 5

• 119

04. (Esaf) Se Beto briga com Glória, então Glória vai ao cinema. Se Glória vai ao cinema, então Carla fica em casa. Se Carla fica em casa, então Raul briga com Carla. Ora, Raul não briga com Carla. Logo: a) Carla não fica em casa e Beto não briga com Glória. b) Carla fica em casa e Glória vai ao cinema. c) Carla não fica em casa e Glória vai ao cinema. d) Glória vai ao cinema e Beto briga com Glória. e) Glória não vai ao cinema e Beto briga com Glória. Resolução: Precisamos inicialmente identificar cada sentença dada como proposições simples definidas. p: Beto briga com Glória.

r: Carla fica em casa.

q: Glória vai ao cinema.

s: Raul briga com Carla.

Precisamos agora, desenvolver estas premissas (p → q),(q → r),(r → s),~s e ver se chegaremos a alguma das opções de resposta, que são:

120 •

capítulo 5

(a) (b) (c) (d) (e)

Carla não fica em casa e Beto não briga com Glória. Carla fica em casa e Glória vai ao cinema. Carla não fica em casa e Glória vai ao cinema. Glória vai ao cinema e Beto briga com Glória. Glória não vai ao cinema e Beto briga com Glória.

PASSO

PROPOSIÇÃO p→q q→r r→s ~s ~r ~q ~p

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

~r ∧ ~p r∧q ~r ∧ q q∧p ~q ∧ p

JUSTIFICATIVA Premissa Premissa Premissa Premissa 3, 4, Contrapositiva 2, 5, Contrapositiva 1, 6, Contrapositiva

Repare que temos como verdadeiras as negativas de p,q e r. Podemos então combiná-las com a adição, duas a duas. Não podemos combinar uma “negativa” com uma “positiva”, ou seja, não podemos ter como verdadeira a proposição p ∧ ~q, por exemplo. Podemos ter então: 8.

~r ∧ ~p

5, 7, Adição

Assim, dentre as opções fornecidas, podemos somente ter como conclusão que Carla não fica em casa e Beto não briga com Glória.

5.3  Demonstração condicional A Demonstração Condicional é um método utilizado somente para demostrar a validade de um argumento cuja a conclusão tem a forma condicional. P1,P2,P3, ... ,Pn  A → B Note que a conclusão é a condicional A → B. Para demonstrar a validade de argumentos cuja conclusão é uma fórmula condicional do tipo A → B, considera-se o antecedente A como uma premissa adicional. A partir daí, utilizando as regras de inferência, chegamos ao consequente B. Utilizaremos a regra de inferência Modus Ponens, para provamos a validade do argumento. Este é o método conhecido como Demonstração Condicional.

capítulo 5

• 121

EXEMPLO 01. Demonstre a validade do argumento p ∨ q, ~r ∨~q  ~p → ~r Resolução: Como a conclusão a qual devemos chegar é uma condicional, utilizaremos a demonstração condicional. Admitiremos como premissa adicional o antecedente da condicional a ser provada.

PASSO

PROPOSIÇÃO p∨q ~r ∨ ~q ~p q ~r ~p → ~r

1. 2. 3. 4. 5. 6.

JUSTIFICATIVA Premissa Premissa Premissa Adicional 1, 3, Silogismo Disjuntivo 2, 4, Silogismo Disjuntivo 3, 5, Modus Ponens

02. Demonstre a validade do argumento p ∨ (q → r), ~r, q  p Ou ainda, Demonstre a validade do argumento: p ∨ (q → r) ~r q p Resolução:

PASSO

PROPOSIÇÃO p ∨ (q → r) ~r q p ∨ (~q ∨ r) (p ∨ ~q) ∨ r p ∨ ~q p

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

JUSTIFICATIVA Premissa Premissa Premissa 1, Definição Condicional 4, Associativa 2, 5, Silogismo Disjuntivo 3, 6, Silogismo Disjuntivo

EXERCÍCIO RESOLVIDO 01. Demonstre a validade do argumento p ∨ (q → r),~r, q → p. Resolução:

PASSO

122 •

capítulo 5

PROPOSIÇÃO

JUSTIFICATIVA

p ∨ (q → r) ~r q p ∨ (~q ∨ r) (p ∨ ~q) ∨ r p ∨ ~q p q→p

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Premissa Premissa Premissa 1, Definição Implicação 4, Associatividade 2, 5, Silogismo Disjuntivo 3, 6, Silogismo Disjuntivo 3, 7, Modus Ponens

02. Demonstre a validade do argumento p ∨ q, ~r ∨ ~ q, ~p → ~r . Resolução:

PASSO

PROPOSIÇÃO p∨q ~r ∨ ~q ~p q ~r ~p → ~r

1. 2. 3. 4. 5. 6.

JUSTIFICATIVA Premissa. Premissa. Premissa Adicional. 1, 3, Silogismo Disjuntivo. 2, 4, Silogismo Disjuntivo. 3, 5, Modus Ponens.

03. Verifique, justificando sua resposta, se o argumento a seguir é válido. O temporal derrubou árvores na pacata rua do bairro ou o temporal da noite passada foi muito intenso. O temporal não deixou desabrigados no pacato bairro ou o temporal da noite passada não foi muito intenso. Logo, se o temporal não derrubou árvores na pacata rua do bairro, então o temporal não deixou desabrigados. Resolução: A princípio comporemos as proposições simples, a partir das sentenças dadas: p: O temporal derrubou árvores na pacata rua do bairro. q: O temporal da noite passada foi muito intenso. r: O temporal deixou desabrigados no pacato bairro. O argumento dado ficará então: (p ∨ q) ∧ (~r ∨ ~q)  (~p → ~r)

PASSO

PROPOSIÇÃO

JUSTIFICATIVA

1.

p∨q

Premissa.

2.

~r ∨ ~q

Premissa.

3.

~p

Premissa Adicional.

4.

q

1, 3, Silogismo Disjuntivo.

5.

~r

2, 4, Silogismo Disjuntivo.

6.

~p → ~r

3, 5, Modus Ponens.

capítulo 5

• 123

5.4  Demonstração por absurdo Para se demonstrar, por absurdo, um argumento P1, P , P3, ... ,Pn  Q, consideramos a negação da conclusão ~Q como premissa adicional concluímos então uma contradição qualquer C (uma fórmula falsa do tipo p ∧~p ). O Método de Demonstração por Absurdo também é conhecido como Método da Demonstração Indireta.

EXEMPLO 01. Demonstre a validade do argumento: p → ~q , r → q , ~ (p ∧ r). Resolução: Consideraremos a negação da conclusão do argumento, como uma premissa adicional.

PASSO

PROPOSIÇÃO p → ~q r→q p∧r p r ~q ~q → ~r ~r r ∧ ~r ~(p ∧ r)

1. 2. 3. 4. 5 6 7 8 9 10

JUSTIFICATIVA Premissa. Premissa. Premissa Adicional. 3, Simplificação. 3, Simplificação. 1, 4, Modus Ponens. 2, Contrapositiva. 6, 7, Modus Ponens. 5, 8, Conjunção. 3, 9, Absurdo.

02. Demonstre a validade do argumento ~(p ∧ q), p → r, q ∨ ~r  ~p ~(p ∧ q) p→r q ∨ ~r ~p Resolução:

PASSO

124 •

PROPOSIÇÃO ~(p ∧ q) p→r q ∨ ~r p r q ~p ∨ ~q ~q ~q ∧ q

1. 2. 3. 4. 5 6 7 8 9

capítulo 5

JUSTIFICATIVA Premissa. Premissa. Premissa. Premissa Adicional. 2, 4, Modus Ponens. 3, 5, Silogismo Disjuntivo. 1, Leis de Morgan. 4, 7, Silogismo Disjuntivo. 6, 8, Adição.

10

~p

4, 9, Absurdo.

EXERCÍCIO RESOLVIDO 01. Demonstre a validade do argumento p → q, q → r, ~r  ~p p→q q→r ~r ~p Resolução:

PASSO

PROPOSIÇÃO p→q q→r ~r p q r ~r ∧ r ~p

1. 2. 3. 4. 5 6 7 8

JUSTIFICATIVA Premissa. Premissa. Premissa. Premissa Adicional. 1, 4, Modus Ponens. 2, 5, Modus Ponens. 3, 6, Adição. 4, 7, Absurdo.

02. Demonstre a validade do argumento (~p → q) ∧ (r → s) p ↔ (t ∨ ~s) r ~t q Resolução:

PASSO 1. 2. 3. 4. 5 6 7 8 9 10

PROPOSIÇÃO (~p → q) ∧ (r → s) p ↔ (t ∨ ~s) r ~t ~q ~p → q r→s (p → (t∨~s)) ∧ ((t∨ ~s) → p) p → (t ∨ ~s) (t ∨ ~s) → p

JUSTIFICATIVA Premissa. Premissa. Premissa. Premissa. Premissa Adicional. 1, Simplificação. 1, Simplificação. 2,Definição Bicondicional. 8, Simplificação. 8, Simplificação.

capítulo 5

• 125

11 12 13 14 15 16

s p t ∨ ~s t t ∧ ~t q

3,7, Modus Ponens. 5,6,Contrapositiva. 12, 9, Modus Ponens. 13,11, Silogismo Disjuntivo 4,14, Adição. 5,15, Absurdo.

03. Considere o argumento abaixo e verifique, justificando a sua resposta, se se trata de um argumento válido. Não é o caso que, pagaremos as contas e viajaremos para Paris. Se viajarmos para Paris, então compraremos uma casa de campo. Viajaremos para Paris ou não compraremos uma casa de campo. Logo, não pagaremos as contas. Resolução: A princípio identificaremos cada sentença como uma proposição simples. p: Pagaremos as contas. q: Viajaremos para Paris. r: Compraremos uma casa de campo.

PASSO

126 •

PROPOSIÇÃO ~(p ∧ q) p→r q ∨ ~r p r q ~p ∨ ~q ~p p ∧ ~p ~p

1. 2. 3. 4. 5 6 7 8 9 10

capítulo 5

JUSTIFICATIVA Premissa. Premissa. Premissa. Premissa Adicional. 2, 4, Modus Ponens. 3, 5, Silogismo Disjuntivo. 1, Leis de Morgan. 6, 7, Silogismo Disjuntivo. 6, 8, Adição. 4, 9, Absurdo.

5.5  Anexo. Introdução a álgebra de boole 5.5.1  Sistema Binário Computadores baseiam-se em circuitos elétricos ou eletrônicos e grande parte dos componentes de circuitos elétricos podem somente assumir um dentre dois estados. Por conta disso, os computadores utilizam o Sistema Binário ou de base 2. Este sistema é um sistema de numeração no qual todas as quantidades, todos valores de variáveis são representados baseadas em apenas dois algarismos: zero e um. Podemos estabelecer a relação entre o número do sistema binário e o mesmo número no sistema decimal, fazendo as transformações decimal para binário e vice versa. Binário - Decimal 1 27

0 26

1 1 0 1 25 24 23 22 (1 x 27) + (1 x 25) + (1 x 24) + (1 x 2)

1 21

0 20

128 + 32 +16 +4 +2 = 182

Decimal - Binário 182 2 02 91 2 (0) 11 45 2 (1) 05 22 2 (1) 02 11 2 (1) 5

2

(1) 2

2

(0) (1)

5.6  Lógica digital A Lógica Digital se ocupa em tomar decisões a partir do cumprimento de determinadas condições, fazendo uso de valores que se alternam exclusivamente entre dois estados, sem valores intermediários, ou seja, é permitido se assumir apenas um dentre dois estados possíveis.

capítulo 5

• 127

Basicamente, o que se tem a princípio serão os dados de entrada e uma condição ou mesmo uma combinação de condições. Dessa forma, o que se faz é aplicar-se a condição aos dados de entrada de forma a se decidir quais são os dados de saída. Podemos então considerar a Lógica Digital como ferramenta ideal para trabalharmos com grandezas cujos valores são expressos no sistema binário. No computador, as operações são realizadas baseadas em tomadas de decisões, as quais são combinações das três operações lógicas correspondentes às condições: NOT, AND e OR. Ainda que a tomada de decisão seja complexa, esta está pautada em combinações destas operações.

5.7  Álgebra de boole 5.7.1  O sistema algébrico de boole A álgebra Booleana é um sistema algébrico que consiste: •  No conjunto {0,1}; •  Em duas operações binárias chamadas OR (operador: +) e AND (operador: • ); •  Em uma operação unária NOT (~ negação). A operação OR é chamada de soma lógica ou união; a operação AND é conhecida por produto lógico ou interseção e a operação NOT é dita complementação ou ainda inversão.

ATENÇÃO Observe que há uma relação entre a álgebra booleana (0 e 1) e a lógica (V e F).

LÓGICA BOOLEANA

LÓGICA

Zero Um

Falso Verdadeiro

5.7.2  Os operadores a) NOT O resultado do operador unário NOT sobre uma variável é a inversão ou negação do valor da variável. Se a A = 1 então A = 0 e vice-versa.

128 •

capítulo 5

A

A

0 1

1 0

b) AND (produto lógico) O resultado da aplicação deste operador sobre variáveis boolenas é igual a 1 somente se todas as variáveis forem iguais a 1. Caso contrário, o resultado é 0. A

B

A·B

1 1 0 0

1 0 1 0

1 0 0 0

c) OR (soma lógica) O resultado da aplicação deste operador sobre variáveis boolenas é igual a 1 se pelo menos uma das variáveis for igual a 1. Caso contrário, o resultado é 0. A

B

A+B

1 1 0 0

1 0 1 0

1 1 1 0

5.8  Portas lógicas Em um computador digital, as operações realizadas são fisicamente realizadas por circuitos eletrônicos - os circuitos lógicos ou portas lógicas. a) Porta Lógica NOT Há apenas um dado de entrada e o dado de saída é exatamente o oposto dele. Um “sim” gera um “não” e um “não” gera um “sim”. Esta condição é representada pela porta lógica NOT. A

NOT

Y

b) Porta Lógica AND A saída somente será “sim” se ambos os dados de entrada forem “sim”. Esta condição é representada pela porta lógica AND

capítulo 5

• 129

A B

AND

Y

c) Porta Lógica OR Para que o dado de saída seja “sim” basta que um dos dados de entrada seja “sim”. Esta condição é representada pela porta lógica OR A B

OR

Y

EXERCÍCIO RESOLVIDO 01. Completando as afirmativas (I), (II), e (III) abaixo, temos, respectivamente: (I) A condição: Um “sim” gera um “não” e um “não” gera um “sim”, é representada pela porta lógica ________. (II) A condição: A saída somente será “sim” se ambos os dados de entrada forem “sim” é representada pela porta lógica _______. (III) A condição: Para que o dado de saída seja “sim” basta que um dos dados de entrada seja “sim” é representada pela porta lógica _______. a) NOT, AND, OR. b) AND, NOT, OR. c) AND, OR, NOT. d) NOT, OR, AND. e) OR, NOT, AND. Resposta: (a) NOT, AND, OR. 02. Sabendo que os valores booleanos de A e B são respectivamente 0 e 1, determine o valor booleano de NOT(A + B) e A.B, respectivamente. a) 0 e 0 b) 0 e 1 c) 1 e 0 d) 0 e 2. e) 2 e 0

130 •

capítulo 5

Resposta: (c) 1 e 0 Comentários: OR (SOMA LOGICA) O resultado da aplicação deste operador sobre variáveis boolenas é igual a 1 se pelo menos uma das variáveis for igual a 1. Caso contrário, o resultado é 0. NOT: O resultado do operador unário NOT sobre uma variável é a inversão ou negação do valor da variável. Se a A = 1 então A = 0 e vice-versa.

A

B

A+B

NOT (A + B)

1 1 0 0

1 0 1 0

1 1 1 0

0 0 0 1

p

q

p∨q

~(p ∨ q)

V V F F

V F V F

V V V F

F F F V

AND (PRODUTO LOGICO): O resultado da aplicação deste operador sobre variáveis boolenas é igual a 1 somente se todas as variáveis forem iguais a 1. Caso contrário, o resultado é 0.

A

B

A·B

1 1 0 0

1 0 1 0

1 0 0 0

p

q

p∨q

V V F F

V F V F

V F F V

RESUMO Neste capítulo 5, validamos a demonstração direta dos Argumentos, bem como a construímos, utilizando as regras de Inferências e equivalências. Ainda, demonstramos argumentos

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ANOTAÇÕES pelo método da demonstração condicional. Também demonstramos argumentos, usando a demonstração por absurdo. Neste capítulo, identificar o conjunto numérico binário, associamos os valores lógicos estudados, verdadeiro e falso, ao zero e um e construímos tabela verdade, usando o conjunto binário 0 e 1. Transformamos também um número no sistema decimal para o sistema binário e vice versa.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ALENCAR FILHO, Edgard de. Iniciação a lógica matemática. 18. ed. São Paulo: Nobel, 2002. FOSSA, John A. Introdução ás técnicas de demonstração na Matemática. Editora Livraria da Física, 2009. ROSEN, Kenneth H. Matemática Discreta e Suas Aplicações. 6.ed. São Paulo: McGraw-Hill, 2009.

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