матанализ - часть 3

§3 Вычисление объёмов тел. Рассмотрим многогранник ( X ) объёма X , целиком содержащийся в некотором теле, и многогранник (Y ) объёма Y , содержащий в себе данное тело. Существуют всегда точная * верхняя граница V* для X и точная нижняя граница V * для Y , причём V*  V ; которые соответственно называются внутренним и внешним объёмом тела. Если обе величины V*  sup{ X } и V *  inf{Y } совпадают, то их общее значение V называется объёмом тела (V ). В этом случае тело (V ) называется кубируемым. Вычисление объёма тела по площадям поперечных сечений. Пусть тело V расположено в пространстве между плоскостями x  a и x  b , и для x  [a, b] известна площадь его поперечного сечения S  S ( x) . Тогда, чтобы определить объём этого тела, рассечём его плоскостями x  x0  a, x  x1 ,..., x  xi 1 ,x  xi ,x  xn 1 ,x  xn  b на n слоёв ( a  x0  x1  x2  ...  xn 1  xn  b ), на каждом из отрезков [ xi 1 , xi ] возьмём произвольную точку i ; будем считать, что объём слоя, заключённого между плоскостями x  xi 1 и x  xi приближённо равен объёму Vi цилиндра с площадью основания S (i ) и высотой xi  xi  xi 1 :Vi  S (i ) xi . Сумма объёмов Vi – объём ступенчатой фигуры – при max xi  0( n  ) стремится к искомому объёму V , поэтому: i 1,2,...,n

V  lim

maxxi 0 i 1,2 ,...,n

n

Vi  lim i 1

maxxi  0 i 1,2 ,...,n

n

b

i 1

a

 S  i  xi   S ( x)dx (1)

Пример: найти объём эллипсоида

x2 y 2 z 2   1 a 2 b2 c 2

Рассекая эллипсоид плоскостью, параллельной плоскости Oyz и на расстоянии x от неё ( a  x  a ), y2 z2  1 2 2 2  2   получим эллипс:  . x x  b  1 2   c  1 2    a  a       x2  S ( x )   bc  1  Площадь этого эллипса равна   . Поэтому по формуле (1), имеем: a2   x2  4 V   bc   1  2 dx   abc . a  3 a  a



Вычисление объёма тела вращения. Если объём V получается в результате вращения кривой y  f ( x),a  x  b , вокруг оси Ox , то, очевидно, S ( x)   f 2 ( x) , b

2 поэтому по формуле (1) VOx    f ( x)dx (2). a

18

Аналогично определяется объём V тела, получаемого вращением кривой x  f ( y ) b

2 вокруг оси Oy , равный VOy    f ( y )dy (3). a

Пример: Найти объём тела, образованного вращением фигуры, x2 ограниченной линиями y  ,x  0, y  2 2 вокруг оси Oy . 2 2 2

2 2

2 По формуле (3) находим: VOy     2 ydy   y 0

 8 .

0

Вычисление площади поверхности тела вращения. Пусть кривая AB является графиком функции y  f ( x)  0 , где x  [a; b] , а функция y  f ( x) и её производная y   f ( x) непрерывны на этом отрезке. Найдём площадь S поверхности, образованной вращением кривой AB вокруг оси Ox . 1. Через произвольную точку x  [a; b] проведём плоскость P , перпендикулярно оси Ox . Плоскость P пересекает поверхность вращения по окружности с радиусом y  f ( x) . Величина S поверхности части фигуры вращения, лежащей левее плоскости, является функцией от x , т.е. s  s ( x)( s (a )  0è s(b)=S) . 2. Дадим аргументу x приращение x  dx . Через точку x  dx  [a; b] также проведём плоскость, перпендикулярную оси Ox . Функция s  s ( x) получит приращение s . Найдём дифференциал площади ds , заменяя образованную между сечениями фигуру усечённым конусом, образующая которого равна dl , а радиусы оснований равны y и y  dy . Площадь его боковой поверхности равна ds   ( y  y  dy ) dl   2 y dl   dy dl . Отбрасывая произведение dy dl как бесконечно малую высшего порядка,

чем

ds ,

получаем

ds  2 y dl ,

или,

так

как

dl  1  ( yx ) 2 dx ,

то

ds  2 y 1  ( yx ) 2 dx . 3. Интегрируя полученное равенство в пределах от x  a до x  b , получаем b

S x  2  y 1  ( yx ) 2 dx (4). a

Если кривая задана параметрическими уравнениями x  x(t ), y  y (t ),t1  t  t2 , то формула (4) для площади поверхности вращения принимает вид: t2

S x  2  y (t ) ( x(t )) 2  ( y(t ))2 dt (5). t1

19

Пример: найти площадь поверхности шара радиуса R . Можно считать, что поверхность шара образована вращением полуокружности y  R 2  x 2 , R  x  R , вокруг оси Ox . По формуле (4) находим: S  2



R



R

2



x

R  x  1  2

2



R2  x2 

 dx 2

R



R

R

R 2  x 2  x 2 dx 2 R x  R  4 R 2 .

20

§4 Физические приложения определённого интеграла. Механическая работа. Пусть точка M движется по прямой, причём на перемещении s на неё вдоль той же прямой действует постоянная сила F . Тогда работа W  F s . Если же величина силы не остаётся постоянной, а непрерывно меняется от точки к точке, то для выражения работы приходится прибегнуть к определённому интегралу. Пусть путь s , проходимый точкой, будет независимой переменной; при этом предположим, что начальному положению A точки M соответствует значение s  s0 , а конечному B – значение s  S . Каждому значению s в промежутке [ s0 , S ] отвечает определённое положение движущейся точки, а также определённое значение величины F , которую можно рассматривать как функцию от s . Возьмём произвольную точку M s. принадлежащую пути Найдём приближённое выражение для элемента работы, соответствующего приращению ds пути, от s до s  ds , при котором точка перейдёт из положения M в M  . В положении M на точку действует сила F , пренебрежём изменением силы F при переходе из M в M  , S

считая её приближённо постоянной, тогда dW  F ds , а вся работа W   F ds (1). s0

Пример: Какую работу нужно затратить, чтобы растянуть пружину на 0.05 м, если сила 100Н растягивает пружину на 0.01м? По закону Гука F  kx . Согласно условию F  100 Н растягивает пружину на x  0.01 м; откуда k  10000 ; следовательно F  10000 x . Искомая работа на основании формулы (1) равна: 0.05

W



10000 xdx 5000 x 2

0

0.05 0

 12.5 (Дж).

Вычисление статических моментов и координат центра тяжести плоской кривой. Пусть на плоскости Oxy задана система материальных точек M 1 ( x1 ; y1 ),M 2 ( x2 ; y2 ),..., M n ( xn ; yn ) соответственно с массами m1 ,m2 ,...,mn . Статическим моментом S x системы материальных точек относительно оси Ox n

называется сумма масс этих точек на их ординаты: S x   mi yi (2). i 1

Аналогично определяется статический момент S y этой системы относительно оси n

Oy : S y   mi xi (3). i 1

21

Если массы распределены непрерывным образом вдоль некоторой кривой, то для выражения статического момента понадобится интегрирование. Пусть y  f ( x)(a  x  b) – уравнение материальной кривой AB . Будем считать её однородной с постоянной линейной плотностью  . Для произвольного x  [a, b] на кривой AB найдётся точка с координатами ( x; y ) . Выделим на кривой элементарный участок длины dl , содержащий точку ( x; y ) . Тогда масса этого участка равна  dl . Будем считать, что на y не изменяется. Тогда дифференциал участке dl статического момента dS x   dl y . Отсюда следует, что статический момент S x кривой AB относительно оси Ox равен b

b

a

a

S x    ydl    y  1  ( y x ) 2 dx (4). b

2 Аналогично S x    x  1  ( yx ) dx (5). a

Центром тяжести материальной точки плоской кривой y  f ( x),x  [a, b] называется точка плоскости, обладающая следующим свойством: если в этой точке сосредоточить всю массу m заданной кривой, то статический момент этой точки относительно любой координатной оси будет равен статическому моменту всей кривой относительно той же оси. Обозначим через C ( xc ; yc ) центр тяжести кривой AB . Из определения центра тяжести следуют равенства m xc  S y и m yc  S x или  l xc  S y и  l yc  S x . Отсюда b

Sy

S xc  , yc  x или xc  l l

 xdl a

l

b



2  x  1  ( yx ) dx a

b



b

b

 ydl  y  1  ( y ) x

(6); yc 

1  ( y x ) dx 2

a

l

a



b



1  ( yx ) dx

Пример: Найти центр тяжести однородной дуги окружности x  y 2  R 2 , расположенной в первой координатной четверти. 2

R . Найдём статический 2 момент её относительно оси Ox . Так как уравнение дуги есть x , то y  R 2  x 2 и y  R2  x2 

R

0

2



x

Sx    R  x  1   2

2



R

R2  x2 

2  dx   R  dx   R x 0   R . R

0

22

dx

a

a

Очевидно длина дуги окружности l 

2

2

(7) .

Отсюда 

координаты  

Sx  R2 2R 2R   . Итак центр тяжести имеет  l   R  . Следовательно xc   2 2R 2R  ; .     yc 

Вычисление статических моментов и координат центра тяжести плоской фигуры. Пусть дана материальная плоская фигура, ограниченная кривой y  f ( x)  0 и прямыми y  0, x  a, x  b . Будем считать, что поверхностная плотность  фигуры b

постоянна. Тогда масса всей фигуры m    f ( x)dx . Выделим a

элементарный участок фигуры в виде бесконечно узкой вертикальной полосы и будем приближённо считать его прямоугольником. Тогда масса его равна  ydx . Центр тяжести C% прямоугольника лежит на пересечении диагоналей прямоугольника. Эта точка C% имеет приближённо координаты  1   y; x . Тогда для элементарных статических моментов относительно осей Ox и Oy  2  1 1 2 выполнены соотношения: dS x   ydx  y   y dx и dS y   ydx x   xydx . 2 2 b

b

1 2 Следовательно, S x    y dx(8),S y    xydx(9) . 2 a a По аналогии с плоской кривой получаем, обозначив координаты центра тяжести плоской фигуры через C ( xc ; yc ) , что m xc  S y ,m yc  S x . Отсюда: b

xc 

Sy m



Sy



S

 xydx a b

 ydx

b

(10) и xc 

Sx Sx   m S

a

1 2 y dx 2 a b

 ydx

(11) .

a

Пример: Найти координаты центра тяжести полукруга x 2  y 2  R 2 , y  0 . Очевидно, что xc  0 . Площадь полукруга равна R

1 Sx    2 R



Откуда

R x 2

yc 

2



2

 R2 . Находим S x : 2

R

1  x3  1  R3 R3  2 dx    R 2 x      R 3  R 3       R3 . 2  3 R 2  3 3  3

Sx 2 R 3 4 R  4R     2 R S 3  . Итак центр тяжести имеет координаты C  0; . 3   3  2 23

Тема 4. Несобственный интеграл. §1 Несобственные интегралы первого рода.  f :[ a, )  ¡ , f [a, A], A  a 



f ( x) dx (1)

назовём

несобственным

интегралом

a

первого рода. Несобственный интеграл (1) называется сходящимся, если   A  lim   f ( x)dx  и значение этого предела является значением интеграла (1). A  a  





конечный



A

 f ( x)dx  , если указанный предел не существует или равен , то

f ( x)dx  lim  A

 a несобственный интеграл (1) называется расходящимся. a

a

Аналогично вводятся несобственные интегралы вида



f ( x)dx ,



:









f ( x)dx :



a

f ( x)dx 



f ( x)dx – интеграл в левой части сходится  сходятся оба интеграла в



a

правой

части. 

Пример: исследовать на сходимость

dx

x

p

.

1



 1

 , p  1  x  p 1 A  A p 1 1  , p 1   1   dx 1    lim   p dx   lim   p  1 1  lim   p  1  p  1   , p 1 p A A A x  1x    ln | A |  p 1 A   , p  1  ln | x | 1 , p  1 A



таким образом,

dx

x

p

сходится  p  1 .

1



Пример: исследовать на сходимость

dx . 2  1)

 x( x 1



 1

 dx  lim  x( x 2  1) A 

   x  1  1  2   dx  lim    1  x x 2  1   A   ln | x |  2 ln | x  1|  1 



A

A

 1 1    lim  ln | A |  ln | A2  1|  ln(2)   lim  ln A 2 2   A 

24

  

 1 1  ln(2)   ln(2)  сходится.  2 A2  1 2  A

,



dx – расходится. x 



Теорема 1. Замена переменной в несобственном интеграле первого рода. 1)  :[ , )  ¡ , непрерывно дифференцируема и монотонно возрастает;

 (t )   ; 2)  ( )  a и tlim  3) f :[a, )  ¡ , тогда из сходимости одного из интегралов следует сходимость 

другого и их равенство:

 a



f ( x)dx;  f ( (t )) (t )dt . 

Доказательство: Рассмотрим  на [ ,  ]  x пробегает значения [a, R ] , при этом  ( )  a; (  )  R , таким образом, выполнены все условия Теоремы о замене переменной в определённом R

интеграле и имеет место равенство

 a



f ( x)dx; f ( (t )) (t )dt , если R   , то и    . 

Теорема 2. Интегрирование по частям в несобственном интеграле.  u , v :[ a, )  ¡ и непрерывно дифференцируемы; lim  u ( x) v ( x )   M , тогда из сходимости одного из интегралов x  



a

a

 v( x)u( x)dx следует сходимость другого и справедлива формула



 u ( x)v( x)dx

или

a

 udv  M  u(a)v(a) 



  vdu . a

Теорема 3. Критерий Коши сходимости несобственного интеграла первого рода. 



f ( x)dx сходится    00  a :A, A  A0 

A

 f ( x)dx   .

A

a

Доказательство: 

 a

A

f ( x)dx сходится   lim  f ( x)dx , по критерию Коши сходимости функции  A a

A

A

A

a

a

A

A, A : F ( A)  F ( A)     f ( x)dx   f ( x )dx  доказана.

25

 f ( x)dx   , таким образом, теорема

Несобственный интеграл (1) называется абсолютно сходящимся, если сходится 

интеграл



f ( x) dx .

a

Если несобственный интеграл (1) сходится, но не сходится абсолютно, то он называется условно сходящимся. Теорема 4. Если несобственный интеграл сходится абсолютно, то он сходится. Доказательство: 



f ( x)dx сходится абсолютно  сходится

a





f ( x) dx .

a

Воспользуемся критерием Коши    00  a :A, A  A0 

A



f ( x) dx   .

A A

Тогда по свойству определённого интеграла



f ( x)dx 

A 

образом, по критерию Коши



A



f ( x) dx   , таким

A

f ( x)dx сходится.

a

Теорема 5. (Теорема Вейерштрассе) f , g :[a, )  ¡ ; f , g [a, A] , тогда, если x f ( x)  g ( x) , то из сходимости  





g ( x)dx  сходимость

a



f ( x) dx .

a

Доказательство: Воспользуемся критерием Коши   00  a :A, A  A0 

A

 g ( x)dx   .

A A



f ( x ) dx 

A

A

 g ( x)dx   ,

это

означает

абсолютную

сходимость

несобственного

A 

интеграла



f ( x)dx .

a

Теорема 6. Признак сравнения. f , g :[a, )  ¡ ; f , g [a, A]; f , g 

–

f ( x)  k  0 (в частности 1, если f : g ), тогда x  g ( x ) x  расходятся одновременно.  lim

Доказательство: 26

неотрицательны, 

 a

f ( x)dx и

тогда

если



 g ( x)dx a

сходятся и

k f ( x) k k k   , по определению предела для    x0 : x  x0  2 g ( x) 2 2 k f ( x) k k f ( x ) 3k k 3k   k      g ( x )  f ( x)  g ( x) 2 g ( x) 2 2 g ( x) 2 2 2 



 a1  min{a, x0 } : 



1) если сходится





f ( x)dx , то сходится



 g ( x)dx

 g ( x)dx

сходится 

сходится.

a







Если расходится

f ( x)dx , то расходится

расходится 

a1

 g ( x)dx

 g ( x)dx ,

f ( x)dx сходится 

a1



то сходится







a1

3k g ( x)dx  2

f ( x)dx сходится. 

 g ( x)dx ,

то расходится

f ( x)dx расходится 

a1





 g ( x)dx



 расходится

a1

a



 сходится

a

Если расходится 

 g ( x)dx



a1





a1

3k g ( x)dx  2

расходится.

a





a

2) если сходится 











f ( x)dx  расходится

a1

a



 g ( x)dx

a1



a1



k

 2 g ( x)dx 

a1

a





f ( x)dx  сходится

k

 2 g ( x)dx 

a1

f ( x)dx расходится.

a

Замечание 1. Если в условии Теоремы 5 неравенство f ( x)  g ( x ) выполнено не для 

всех x  a , а x  b,b  a , тогда

 a

b

f ( x)dx 



f ( x )dx 

a ( конечноечисло )



 b

f ( x)dx . 

 g ( x)dx 

Замечание 2. Если f , g  0 и x g ( x)  f ( x ) , то из расходимости

a



расходимость



f ( x)dx .

a

Доказательство: 



g ( x)dx

расходится

   00  a : A, A  A0 

A

 g ( x)dx   .

A

a

A

A



A

A

a

 f ( x)dx   g ( x)dx   , таким образом, интеграл 

27

f ( x)dx расходится.



Пример: исследовать на абсолютную сходимость

 1

sin x dx . xp



sin x 1 dx  p   p сходится  p  1 , таким образом, p x x 1 x при p  1 .



 1

sin x dx сходится абсолютно xp

Теорема 7. Теорема Дирихле.  f , g :[ , )  ¡ : A

1)

 f ( x)dx

- ограничен A ;

a

2) g  0 , монотонно убывает, g ( xx) 0 , тогда





f ( x) g ( x)dx - сходится.

a

Доказательство: A



f ( x)dx ограничен A  M :

a

A

 f ( x)dx  M a

    g ( x)  0  g ( x)   g ( x)  0   по Теореме о среднем 2M  2M  x   

A

A

A

A

A

A

a

a

a

a

A

 f ( x) g ( x)dx  a

 f ( x) g ( x)dx   f ( x) g ( x)dx   f ( x) g ( x)dx   f ( x) g ( x)dx   f ( x) g ( x)dx 

  M  M   , таким образом, по критерию Коши данный интеграл сходится. 2M 2M 

Пример: исследовать на сходимость

 1

 0  p 1



1

 sin x x

p

sin x dx . xp

dx по теореме Дирихле g ( x) 

1

A

 sin xdx   cos x

A 1

1 , f ( x )  sin x . xp

 cos1  cos A  2 при 0  p  1 – сходится условно;

1

при p  1 – сходится абсолютно (доказано ранее);  p0



 sin xdx  lim  cos x 1

A

A 1

 lim  cos1  cos A   , таким образом, при p  0 – A

расходится; покажем, что при p  0 интеграл расходится:

28

  00  a : A, A  A0 

A



f ( x)dx   ;



A

  2 n 2



x q sin xdx 

  2 n 3

  2 n 2



  2 n 3

 1



1 sin xdx   cos x 2 3

 2 n  2 n

 q  p   sin x  dx    sin x x q dx ;   p  q  0 x   1       1  2 n  cos   2 n   ,  3   2  2

 cos 

таким

образом, доказано, что данный интеграл расходится при p  0 . 

 1

 абсолютно   p  1сходится  sin x cos x  dx,  p dx 0  p  1сходится  условно  xp x 1  p  1расходится   Теорема 8. Теорема Абеля

 f , g :[a, )  ¡ ; f , g [a, A], если выполнены два условия: 

1)



f ( x)dx – сходится;

a



2) g ( x) – монотонна и ограничена; тогда



f ( x) g ( x)dx – сходится.

a

Доказательство: 



f ( x) g ( x)dx 

a





f ( x )  g ( x)  g 0  g 0  dx 

a



 a



f ( x)  g ( x )  g 0  dx  g 0  f ( x)dx ; a



g 0  f ( x )dx - сходится по условию; a

g 0  lim g ( x) , таким образом, g ( x)  g 0 – монотонно стремится к 0 и из x  



сходимости

интеграла



A

f ( x)dx ограниченность

a

 f ( x)dx ,

таким

выполнены все условия теоремы Дирихле 





f ( x)  g ( x)  g 0  dx

– сходится 

a







f ( x) g ( x)dx – сходится.

a



Пример: исследовать на сходимость

 1

  f ( x) 

образом,

a

sin x arctg ( x)dx . x



sin x sin x ,g ( x )  arctg ( x ) :сходится;  dx x x 1 

( ) монотонна arctg x и

 sin x ограничена потеоремеАбеля  arctg ( x)dxсходится. 2 x 1 29



§2 Несобственные интегралы второго рода. Точка x  b является особой точкой функции f ( x ) , если данная функция определена и неограниченна на [a, b) , а на отрезке [a, b   ),ãäå    b  a – ограничена. 1 (0,1]неограничена,  ,1]   ограничена. x

Пример: y 

b

 f ( x)dx , где

Выражение вида

b – особая точка f ( x) , называется несобственным

a

интегралом второго рода (интеграл от неограниченной функции). b



f ( x)dx : lim

a

b 

 0



f ( x)dx ,

b



аналогично

определяется

несобственный

интеграл

a

b

f ( x)dx , где a – особая точка

a



b

f ( x)dx : lim  0

a



f ( x)dx .

a 

Если функция f ( x ) определена на [a, b] \ c , а в окрестности точки c является b

неограниченной, то интеграл на [a, c  1 ] и [c   2 , b] :

 a

 lim

1 0

c 1



c

b

a

c

f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx 

b

f ( x )dx  lim

 2 0

a



f ( x )dx .

c  2

1

Пример: исследовать на сходимость

dx

x

p

.

0

1

1

dx 0 x p  lim  0  0  1

 0

1  , p  1   x  p 1 1  p 1  p 1  1   , p  1  , p  1  dx   p  1  lim  lim   , p  1   p  1  p  1     0 x p  0    1 , p  1  ln1  ln  , p  1  ln x  , p  1  

dx сходится p  1 . xp

Критерии Коши сходимости несобственного интеграла второго рода b

  f :[a, b)и  b особая точка, тогда  f ( x) dxсходится   0   0; a

b  b, b  b   

b

 f ( x)dx   .

b

30

Теорема Вейерштрассе. 

f , g :[a, b)  ¡ , где b – особая точка, тогда, если x f ( x)  g ( x) , то из b

сходимости  g ( x)dx  сходимость a

b

 f ( x)dx . a

Доказательство: Воспользуемся критерием Коши   0  0; b  b, b  b   

b

 g ( x)dx   .

b b



f ( x) dx 

b

b

 g ( x)dx   ,

это

означает

абсолютную

сходимость

несобственного

b 

интеграла



f ( x)dx .

a

Связь несобственных интегралов первого и второго рода. Теорема 1.   f непрерывна на [a, b),b особая точка, тогда из сходимости одного из интегралов 

b



f ( x)dx ,

a



1 ba

1 1  f  b   2 dt следует сходимость другого и равенство между ними. t t 

Доказательство: 1 Введём замену переменной x  b  , тогда t 

1 dx   t  b  x ,dt  (b  x) 2 

  b 1 1  f b    dt  t   ,  x  b     f ( x) dx , по теореме о замене 1  t  t 2   a ba  t  1 , x  a  ba   переменной в несобственном интеграле первого рода из сходимости одного из интегралов  b 1 1   f  b  t  t 2 dt и  f ( x)dx следует сходимость второго и их равенство. 

1 ba

a

31