лаг1 - часть 2

20. Системы линейных уравнений. Критерий совместности и критерий определенности. Общий вид системы линейных уравнений:

a11x1 a12x2 ...a1nxn b1  a21x1 a22x2 ...a2nxn b2 (1) a x a x ...a x b mn n m  m1 1 m2 2 (  1 ,  2 ,...,  n )- решение системы –упорядоченная совокупность чисел, которые при подставлении в сумму вместо x 1 , x 2 ,..., x n обращает уравнения системы (1) в верное равенство. Запишем матрицу системы (1), добавив справа столбец свободных членов:

 a11 ~  A   a21  ...  am1

a12 a22 ... am 2

... ... ... ...

a1n a2 n ... amn

b1  b2  (2) ...  bm 

Матрица (2) расширенная матрица системы линейных уравнений. Определение: Если в системе все bк (k=1,...m) равны нулю, то такая система называется однородной. Если хотя бы один из них bк  0, то система называется неоднородной. Определение: Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, в противном случае она называется несовместной. Определение: Совместная система линейных уравнений называется определённой, если она имеет единственное решение и неопределённой - если решений множество. Критерий совместности (Теорема Кронекера-Капелли): для того, чтобы система уравнений была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы этой сис~ темы и ранг расширенной матрицы были равны. ( r ( A )  r ( A ) или противоречива: ~ r ( A )  r ( A )  1 ).

Доказательство: Необходимость. Пусть сумма (1)-совместна, докажем что  ,  ,...,   A   n ) и 1 1 2 A 2  ...   n A n  B . Из послед, т.е. есть решения ( 1 2 ~ него столбца м. A вычтем линейную комбинацию столбцов матрицы A, получим  a11 a12 ... a1 n 0    ~  a 21 a 22 ... a 2 n 0  матрицу A1   ... ... ... ... ...    a   m 1 a m 2 ... a mn 0  ~ r(A)  r(A)

~ ~ r ( A )  r ( A1 )  r ( A ) .

~

Достаточность. Пусть r ( A )  r ( A )  r , докажем, что сумма совместна. Т.к. ~ r ( A )  r ( A ) , то существует минор M r  0 , который является базисным. На основании ~ теоремы о базисном миноре последний столбец матрицы A является линейной комбинацией остальных столбцов матрицы.  1 A1   2 A 2  ...   n A n  B (  1 ,  2 ,...,  n )- решение системы (1), т.е. система (1)совместна. Критерий определённости. Совместная система является определенной, если r ( A )  n и неопределенной, если r ( A )  n .( n – кол-во неизвестных.)

Доказательство а) Пусть r ( A )  n - это значит, что столбцы матрицы A линейно зависимы, т.е. существуют числа  1 ,  2 ,...,  n не все равные нулю и такие, что  1 A1   2 A 2  ...   n A n  0 (*). По условию система 1 совместна, т.е. существуют решения (  1 ,  2 ,...,  n ) системы (1)

 1 A1   2 A 2  ...   n A n  B (**). (*)+(**)= ( 1   1 ) A1  ( 2   2 ) A2  ...  ( n   n ) An  B ,т.е.

( 1   1 ,  2   2 ,...,  n   n ) -

решение системы (1). б)Пусть r =n (значит m  n ), докажем, что сумма (1) – определена. Пусть решений два, тогда  1 A1   2 A 2  ...   n A n  B ,  1 A1   2 A 2  ...   n A n  B ,хотя бы одно  i   i , тогда ( 1   1 ) A1  ( 2   2 ) A2  ...  ( n   n ) An  0 ,но так как ранг матрицы А равен n ,то все столбцы матрицы А линейно независимы, значит линейная комбинация этих столбцов = 0, только когда все коэффициенты = 0, т.е. ( 1   1 )  0 , … ( n   n )  0 - противоречие => 1 решение.(ч.т.д.) Замечание: Неопределённая сумма имеет б.много решений, т.к. из (*) и (**)следует, что ( k  1   1 , k  2   2 ,..., k  n   n ) , где k=0,1,-1,2,-2,… -является решениями.

21. Решение совместной системы линейных уравнений. ~ А)Формула Крамера. а) Пусть m=n и |A|≠ 0, значит r ( A )  r ( A ) вместна и определенна.

a11x1  ...  a1k xk  ...  a1n xn  b1  a21x1  ...  a2 k xk  ...  a2 n xn  b2  ................................................... an1 x1  ...  ank xk  ...  ann xn  bn

 n

, т.е. система со-

* A1k

(1)

* A2k ...

← алгебраические дополнения

* A nk

элем. k-того столбца. Предположим что х1…хn не неизвестные а их значения. Т.е. все эти равенства верные. Сложим все строки системы:

( a11 A1k  a 21 A2 k

0

 ( a1n A1k  a 2 n A2 k

 ...  a n1 Ank ) x1  ...  ( a1k A1k  a 2 k A2 k 0

 ...  a nn Ank ) xn  b1 A1k  b2 A2 k

 | Ak |

 | A|

 ...  a nk Ank ) x k  ...

 ...  bn Ank

Ak получается из матрица A заменой k-того столбца столбцом свободных членов, чу| Ak | жим столбцом. Отсюда получаем: x k  | A | , k  1, n - формулы Крамера. В) Пусть имеется СЛУ с n неизвестными, причем r ( A )  r  n . Для определенности будем считать что базисный минор матрицы А расположен в левом верхнем углу матрицы А. Этот же минор будет базисным и для расширенной матрицы системы. Каждая строка расширенной матрицы системы не пересекающая базисный минор является линейной комбинацией строк, пересекающих базисный минор поэтому система СЛУ (1) эквивалентна системе:

a11x1  ... a1n xn  b1 . .......... .......... .......... (2)  ar1x1  ... arn xn  br Если r  n то неизвестные xr+1…xn называются свободными и слагаемые содержащие свободные неизвестные перенесем в правые части уравнений. Тогда система (2) примет вид:

a11x1 ...a1nxn b1 a1,r1xr1 ...a1nxn . .......... .......... (3) .......... ar1x1 ...arnxn br ar,r1xr1 ...arnxn

Неизвестные x1…xr - главные (базисные) неизвестные. Придавая свободным неизвестным различные значения x r  1  С r  1 ... x n  С n (4) из системы (3) мы будем каждый раз получать систему r уравнений с r неизвестными имеющие единственные решения x1  С 1 ... x r  С r (5) . Т.к. определитель этой системы (3) есть базисный минор М≠0 объединяя (4) и (5) мы получаем общее решение системы (1): x 1  С 1 ... x r  С r , x r  1  С r  1 ... x n  С n . Придавая величинам С r  1 ... С n всевозможные значения из поля Р мы получаем все решения системы (1), каждое из которых называется частным в отличие от общего. СЛУ можно решать матричным методом: АХ=В. Можно методом Гаусса: его суть в последовательном исключение неизвестных. Или методом Гаусса-Жордано: Представляет собой модификацию метода Гаусса, вмнсто того чтобы исключить xk только в уравнениях k+1…n исключают xk также и в уравнениях 1…k-1. При решении системы методом Гаусса-Жордано выбирают разрешающее уравнение и разрешающее неизвестное. В качестве разрешающего уравнения можно взять любое уравнение системы. А в качестве разрешающей неизвестной, неизвестное, коэффициенты при котором в выбранном уравнении отличны от 0. Далее делим обе части разрешающего уравнения на коэффициенты при разрешающем неизвестном и исключаем разрешающее неизвестное из всех уравнений системы кроме разрешающего. Преобразования производим до тех пор пока каждое уравнение системы не побывает в качестве разрешающего.

22. Однородные системы линейных уравнений. Теорема о существовании фундаментальной системы решений. Определение: СЛУ над полем Р называется однородной если все ее свободные члены равны 0, в противном случае она называется неоднородной. Теорема: ОСЛУ всегда совместна т.к. имеет по крайней мере нулевое решение. Для того чтобы Ослу имела не нулевое решение необходимо чтобы ранг матрицы этой системы был меньше числа неизвестных. В частности ОСЛУ с m уравнениями и n неизвестными имеет отличные от 0 решения тогда и только тогда когда А  0 . Утверждение этой теоремы является следствием критерия определенности. Пусть x 1   1 ... x n   n - какое-нибудь отличное от нуля решение ОСЛУ, это решение можно рассматривать как строку e1   1 ... n  из n чисел. Если С – произвольное число то ясно что строка С  e1  С   1 ...С   n  тоже решение ОСЛУ. Всякая линейная комбинация решений ОСЛУ является решением этой системы.

Определение: Линейно-независимая система решений e 1 ... e n ОСЛУ называется фундаментальной если каждое решение ОСЛУ является комбинацией этих решений.( Совокупность max числа линейно-независимых решений называется фундаментальной системой решений). Теорема: Если r ( А )  n то ОСЛУ обладает ФСР. Доказательство: Пусть r ( А )  n и пусть для определенности минор Mr≠0 расположен в левом верхнем углу матрицы А. Перенесем слагаемые содержащие свободные неизвестные xr+1…xn в правую часть уравнения получим систему:

a11x1 ... a1n xn  a1,r1xr1 ... a1n xn . .......... .......... .......... (2)  ar1x1 ... arnxn  ar,r1xr1 ... arnxn Придавая свободным неизвестным значения x r  1  0 ... x n  0 мы из системы (2) получим x 1   1 ... x r   r . Это дает нам строку-решение e1   1 ,  2 ... r ,1, 0 ... 0  . Затем придавая свободным неизвестным значения (0,1,0…0) получим x 1   1 ... x r   r . Это дает нам строку-решение e 2   1 ,  2 ...  r , 0 ,1, 0 ... 0  и т.д. Продолжая этот процесс мы найдем всего k=n-r решений: .

 e1   1 ,  2 ... r ,1,0 ... 0   e 2   1 ,  2 ... r ,0,1,0 ... 0  (3) .......... .......... .......... ......  e   ,  ... ,0 ,0 ... 1 1 2 r  n -r

Эти n-r решений независимы т.к. ранг образованной ими матрицы имеет ранг n-r решений. Покажем теперь что решения е1,е2… еn-r образуют ФСР. Согласно определению ФСР для этого надо показать что каждое решение ОСЛУ можно представить в виде линейной комбинации решений е1,е2…еn-r. Пусть e  V 1 , V 2 ... V r , V r  1 ... V n  - произвольное решение ОСЛУ. Рассмотрим строку e 0  e  V r  1  e1  V r  2  e 2  ...  V r  e n  r . Легко видеть что все элементы стоящие на последних n-r местах этой строки е0 будут равны 0, т.е. e 0  S 1 , S 2 ... S r , 0 , 0 ... 0  . Т.к. е0 линейная комбинация решений то строка е0 сама будет решением ОСЛУ. А т.к. значение всех свободных неизвестных в строке е0=0 то из однородности в этом случае системы (2) определитель которой отличен от 0, получаем что и значение всех неизвестных в е0=0, т.е. е0 есть 0 строка. Отсюда следует что

e  V r  1  e1  V r  2  e 2  ...  V r  e n  r

(ч.т.д.) Таким образом можно сказать что общее решение ОСЛУ имеет вид С 1  e1  С 2  e 2  ...  C n  r  e n  r (5) где е1,е2…еn-r - ФСР, а С1,С2…Cn-r – произвольные числа.

Важно отметить: Общее решение неоднородной СЛУ равно сумме общего решения соответствующей ОСЛУ и произвольного но фиксированного решения СЛУ. Отсюда следует что если е1,е2…еn-r - ФСР (ОСЛУ) и е0 - произвольное фиксированное решение СЛУ то общее решение СЛУ имеет вид е 0  С 1  e1  С 2  e 2  ...  C n  r  e n  r , где С1,С2…Cn-r – произвольные числа.

Сформулированное утверждение следует из следующих очевидных утверждений : 1) Сумма любого решения неоднородной СЛУ и соответствующей ей ОСЛУ является решением неоднородной СЛУ. 2) Разность двух произвольных решений неоднородной системы двух уравнений является решением соответствующей ОСЛУ. Матричная форма доказательств этих утверждений самая короткая.

23. Линейные операции над векторами и их свойства. Доказать одно из них. Определение: вектор - это направленный отрезок. Будем обозначать вектор AB . А - начало вектора, В - конец вектора. А В - означает длина вектора (символ модуля).Вектор называется нулевым, если его начало и конец совпадают. Определение: Два вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или на параллельных плоскостях. Определение: Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Определение: Пусть вектор AB и вектор A1B1 коллинеарны и пусть плоскость π пересекает прямые на которых они лежат. Плоскость π разбивает все пространство на два полупространство. Если перемещаясь по прямым в направление векторов AB и A1B1 мы попадем в одно полупространство(разные) то векторы AB и A1B1 называются одинаковонаправленными (противоположнонаправленными). Определение: Два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и направление. Два нулевых вектора считаются равными. Из определения равенства векторов следует, что мы не различаем двух равных векторов, имеющих разные точки приложения. Иными словами, точка приложения вектора a может быть произвольной. В соответствии с этим векторы в геометрии называются свободными. Элементы множества могут находиться в некоторых отношениях между собой. Отношения между парами объектов называются бинарными (двойными). Примером бинарных отношений является равенство. Отношение равенства между векторами обладает следующими свойствами : 1) АВ  АВ - рефлексивность. 2) АВ  CD , то CD  АВ - симметричность. 3) Если АВ  CD , CD  EF то АВ  EF - транзитивность.

Бинарное отношение которое рефлексивно симметрично и транзитивно называется соотношением эквивалентности, таким образом отношение равенства векторов является отношением эквивалентности. Линейными называются операции сложения и умножения вектора на число.    a и b называется вектор, идущий из начала Сложение: Суммой a  b двух векторов    вектора a в конец вектора b при условии, что начало b приложено к концу вектора  a . Правило построения суммы 2-х векторов называется правилом треугольника:

a,b-вектора   Правило параллелограмма : От точки А отложим a и b , построим параллелограмм,   тогда вектор диагональ с началом в точке А является суммой a и b . Определение: Произведение а на вещественное число  называется b удовлетворяющее следующему условию:   1) b  = * a   2) b   a  3) b  a ,если  >0  4) b  a ,если  <0

Cвойства линейных операций над векторами     1. a  b  b  a (коммутативность). Доказательство: Это свойство доказывается геометрическим построением. Эти свойства позволяют оперировать с векторами так же как и с вещественными числами.       2. ( a  b )  c  a  ( b  c ) (ассоциативность). 

Доказательство: Рассмотрим АВ  a , CD  c , BC  b  a  ( b  c )  AB  ( BC  CD )  AB  BD  AD

 ( a  b )  c  ( AB  BC )  CD  AС  СD  AD (ч.т.д.) По индукции может быть определена сумма любого числа векторов: a1+ a2+ a3+ a4= ((a1+ a2)+ a3)+ a4= (a1+ a2+ a3)+ a4= (a1+ (a2+ a3))+ a4= a1+ ((a2+ a3)+ a4)= a1+ (a2+ (a3+ a4))= (a1+ a2)+ (a3+ a4) При этом в силу коммутативности можно произвольно менять порядок слагаемых, из сказанного вытекает следующее правило замыкающего вектора: Для того чтобы сложить n векторов нужно записать их в любом порядке. Приложить первый вектор к какой-нибудь точке О, а каждый следующий к концу предыдущего, тогда замыкающий вектор ОАn и будет их суммой.   3. a  0  a .   4. a  (  1 ) a  0 . 5.а=(а) 6. (+)а=а+а(дистрибутивность относительно сложения чисел) 7. (а+b)= а+b (дистрибутивность относительно сложения векторов) 8. 1*a=a



24. Определение разности двух векторов. Доказать что для любых векторов a и   b разность a  b существует и единственна. Определение: Разностью двух векторов а и b называется такой вектор от прибавления которого к b получается а. Для того чтобы получить а-b надо отложить от одной точки а и b, построить на этих сторонах параллелограмм, тогда вектор диагональ направленный в сторону уменьшающегося вектора является разностью векторов. Теорема. Для любых векторов а и b, а-b существует и единственно, и выражается формулой а-b=а+(-b) Доказательство. b+(а+(-b))= b((-b)+a)= (b+(-b))+a=0+a=a Убедимся теперь в единственности. Пусть наряду с с=а+(-b) существует d такой что b+d=a (d+b)+(-b)= d+(b+(-b))=d+0=d (d+b)+(-b)=a+(-b)=c следовательно с=d (ч.т.д.) Т.о. a+b=c a=c-b т.е. в векторных равенствах вектора можно переносить из одной части в другую со сменой знака Определение: Вектор е длина которого равна 1 и имеющий такое же направление что и ае называется ортом

a

0



a a

.

25. Определение базиса, координаты вектора в базисе. Теорема о разложении вектора по базису.    Выражения вида  1 a 1   2 a 2  ...   k a k называются линейной комбинацией векторов    a 1 , a 2 ... a k . Числа  1 ,  2 ...  k - коэффициенты линейной комбинации векторов. Ли   нейная комбинация векторов обладает следующими свойствами: 1) Если a 1 , a 2 ... a k коллинеарны то любая их линейная комбинация с ними коллинеарна.    2) Если a 1 , a 2 ... a k компланарны то любая их линейная комбинация с ними компланарна. Определение: 1) Любые три некомпланарных вектора взятые в определенном порядке называются базисом в пространстве. 2) Базисом на плоскости называется любая упорядоченная пара не коллинеарных векторов на этой плоскости. 3) Базисом на прямой называется любой отличный от 0 вектор этой прямой. Вектор базиса на плоскость < >0, а в пространстве никакие 2 вектора не являются коллинеарными. Если вектор представлен как линейная комбинация некоторых векторов то говорят что этот вектор разложен по этим векторам.        Определение: Если ( е 1 , е 2 , е 3 ) базис в пространстве и a   1 е1   2 е 2   3 е 3 то числа      1 ,  2 ,  3 называются координатами вектора a в базисе ( е 1 , е 2 , е 3 ) . Обозначение  а ( 1 ,  2 ,  3 ) .      а ( 1 ,  2 ,  3 )  а   1 е1   2 е 2   3 е 3

Теорема. (о разложении по базису): 1)Каждый вектор какой-нибудь прямой может быть разложен по базису на этой прямой.

2)Каждый векторнекоторой плоскости может быть разложен по базису на этой плоскости 3)Каждый вектор может быть разложен по базису в пространстве. 4)Координата вектора в каждой из трех случаев определяется однозначно  Доказательство: 1) Пусть е - базис на прямой и   а  е









и – если а  е . Ясно что а  b .

 а

 е

  a   b     е  a e

. И пусть

  a  b    е e

( + если

.

  2) Пусть ( е 1 , е 2 ) базис на плоскости. Перенесем начала векторов а, е1 и е2 в точку О. 

Через конец А вектора а проведем прямую е 2 .    Из рисунка видно что a  OP  PA   e1   e 2 .    3) Пусть ( е 1 , е 2 , е 3 ) базис в пространстве. Вектор а – произвольный.     Отложим вектора е 1 , е 2 , е 3 , а от некоторой точки О. Дальше все рассуждения аналогичны пункту 2).     a  OP  PA   e 1   e 2   e 3

    0  0 e1  0 e 2  0 e 3

 0 ( 0 ,0 ,0 )

4) Докажем единственность разложения по базису. Методом от противного. Пусть вектор а можно разложить по базису двумя разными способами.         a   1 е1   2 е 2   3 е 3 (1) a   1 е1   2 е 2   3 е 3 (2) . Из (2) вычтем     (1): 0  (  1   1 ) е1  (  2   2 ) е 2  (  3   3 ) е 3     2  3  3  е1  2 е2  е3 а это противоречит некомпланарности базисных векторов. 1  1 1  1 Полученное противоречие доказывает единственность разложения векторов. (ч.т.д.) Опираясь на свойства сложения и умножения векторов легко доказать следующие свойства:1) При умножении вектора на число его координаты умножаются на это число. 2) При сложении векторов соответствующие координаты этих векторов складываются.

26. Линейная зависимость векторов. Свойства понятия линейной зависимости, доказать одно из них. Определение: Векторы a 1 a 2 ... a n называются линейно зависимыми, если существуют такие  1 2 ... n , хотя бы одно из которых отлично от нуля, что имеет место равенство:  1 a 1   2 a 2  ...  n a n  0 (*) Если (*) выполняется только тогда когда i  0 , то система векторов называются линейно независимымой.  Свойства: 1.Если среди a 1 a 2 ... a n есть 0 то эта система векторов линейно независима. 2.Если к линейно независимымой системе векторов a 1 a 2 ... a n добавить один или несколько b1b2…bj , то a 1 a 2 ... a n ,b1b2…bj будет линейно независимымой. 3.Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда один из векторов этой системы раскладывается в линейную комбинацию остальных. 4.Любые два коллинеарных вектора линейно зависимы и наоборот, два линейно зависимых вектора коллинеарны. 5.Любые три компланарных вектора линейно зависимы и три линейно зависимых вектора компланарны. 6. Любые четыре вектора линейно зависимы. Доказательства: 1. Получим что один из коэффициентов всегда отличен от 0.

5. Пусть даны три компланарных вектора рассмотрим любые два из них. Если они коллинеарны то линейно зависимы и сами по себе и с третьим вектором. Если же эти векторы не коллинеарны то третий вектор раскладывается по ним как по векторам базиса и следовательно они линейно зависимы. Обратно. Из трех линейно зависимых векторов один раскладывается по двум другим следовательно они коллинеарны. 6. Рассмотрим три вектора из четырех. Если они компланарны то линейно зависимы и сами по себе и с третьим вектором. Если они не компланарны то четвертый вектор по ним раскладывается как по векторам базиса. Следовательно все четыре вектора линейно зависимы.

27. Основная теорема о величинах векторов на оси. Проекция вектора на ось. Величина проекции вектора на ось. Проекция (величина проекции) суммы векторов. Проекция (величина проекции) произведения вектора на число. Проекция (величина проекции) линейной комбинации векторов. Определение: Будем называть координатной осью прямую l на которой с помощью еденичного вектора e заданы начало отсчета, направление,еденица длины. Определение: Углом между а и осью l называется угол между этим вектором и вектором задающим направление оси . Определение: Пусть вектор лежит на оси l. Величиной вектора а расположенного на оси l будем называть длину этого вектора если а и ось l а  l и -а если аl. Обозначение вел l a . Основная теорема о величинах векторов на оси: Для любых 3-х точек А,В,C оси l имеет место следующее соотношение между величинами векторов вел l AB  вел l BC  вел l ( AС ) (1) или что все равно вел l ( AB  BC )  вел l AB  вел l BC (1' )

Доказательство: Если все три точки А,В,С различны то их взаимное расположение может быть таким как показано на рисунке . В случае 1 равенство (1) утверждает что длина отрезка равна сумме длин его частей следовательно оно справедливо. АС  СВ  АВ  АС  АВ  СВ В случае 2 вел l ( AС )  вел l AB  вел l BC

Все остальные случаи рассматриваются аналогично. Пусть теперь А и В совпадают, в этом случае утверждение теоремы очевидно. (теорема доказана). Пусть е некоторая прямая и плоскость П не параллельна прямой е. Через произвольную точку А проведем плоскость П’ параллельную П. Плоскость П'  е  А' . Точка А’ называется проекцией точки А на прямую е взятой параллельно плоскости П. Если П перпендикулярна е то проекция называется прямоугольной(ортогональной), в этом случае А’ – основание перпендикуляра опущенного из точки А. Возьмем произвольный вектор a  АВ . Проецируя точки А и В на е получим вектор А ' В ' который называется пр е a ( П ) . Пусть е – координатная ось ОЕ - масштабный вектор этой оси. Тогда наряду с проекцией А ' В ' вектор a на ось е, взятой параллельно П можно говорить о величине этой проекции которую будем обозначать пр е a ( П )  вел е A ' B ' . Теорема: Величина прямоугольной проекции вектора a на ось е равна произведению длины этого вектора на

cos(

 ae)

. Т.е.

 пр е a  а cos( a e )

.

Проекция вектора на ось е в плоскости. Пусть ось е лежит в плоскости α и е1 прямая не параллельная е, лежащая в этой плоскости. Через произвольную точку А проведем прямую параллельную е1. Тогда точка А’ называется проекцией точки А взятой параллельно е1. Понятие проекции и величины проекции вектора на ось вводятся аналогично. Понятие точки и вектора на плоскости. Точка А’ – проекция точки А на плоскости П, взятой параллельно прямой е. Если е перпендикулярна - П проекция перпендикулярна П, то проекция называется ортогональной (прямоугольной). Аналогично предыдущим пунктам вводится понятие вектора на плоскости. Проекция суммы векторов. Пусть на ось е проецируются вектора a и b . Проецирование производится параллельно плоскости П или прямой е1, если a , b и е находятся в одной плоскости.

Легко доказать ( смотри рисунок) что пр е ( a  b )  пр е a  пр е b (2) . Из основной теоремы о величинах векторов на оси следует, что величина пр е ( a  b )  пр е a  пр е b (3) . С помощью метода математической индукции равенства (2) И (3) можно распространить на случай произвольного числа слагаемых: пр е ( a 1  a 2  ...  a k )  пр е a 1  пр е a k  ...  пр е a k (4)

пр е ( a 1  a 2  ...  a k )  пр е a 1  пр е a k  ...  пр е a k (5)

Проекция произведения вектора на число: Покажем что имеют места равенства: п р е  a    п р е a

пр е  a    пр е a

Доказательство: При α=0 равенство очевидно. Пусть α отлично от 0. Если рассмотреть подобные треугольники то равенство становится очевидным. Формулы (4)-(7) попр е ( 1 a 1   2 a 2  ...   k a k )   1 пр е a 1   2 пр е a k  ...   k пр е a k зволяют записать: пр е ( 1 a 1   2 a 2  ...   k a k )   1 пр е a 1   2 пр е a k  ...   k пр е a k Т.е. линейная комбинация векторов на ось е есть линейная комбинация проекций этих векторов. Тоже самое относится к величинам проекций.

28. Декартовы системы координат в пространстве, на плоскости и на прямой. Теорема о линейной комбинации векторов и следствия из нее. Фиксируем в пространстве любую точку О - начало системы координат. Пусть ( е 1 , е 2 , е 3 ) - базис в пространстве, отложим векторы е 1 , е 2 , е 3 от точки О. Три плоскости определяемые попарно координатными осями называются координатными плоскостями. Будем говорить, что мы построили систему координат. Пусть a - произвольный вектор, его можно единственным образом представить в виде a  x e 1  y e 2  z e 3 . Коэффициенты x,y,z в называются координатами вектора a в пространстве. Они независят от выбора начала координат. x e 1 , y e 2 , z e 3 - проекции вектора a на координатные оси Ox, Oy,Oz, а

числа x,y,z – являются величинами этих проекций соответственно, если e 1 , e 2 , e 3 - масштабные векторы соответствующих координатных осей. Если система координат задана то для указания вектора употребляют запись a (x,y,z). Пусть М – произвольная точка пространства. ОМ - радиус вектор этой точки. Декартовыми координатами точки М называются координаты (x,y,z) ее радиус вектора(смотри рисунок). Координаты точки зависят от начала выбора системы координат. Простейшая Декартова система координат – прямоугольная. В случае ПДСК векторы e 1 , e 2 , e 3 - попарно ортогональны и длина каждого из них, измеренная масштабной единицей принятой для всего пространства равна 1. В ПДСК базисные векторы обозначаются i (ось ОХ), j (ось ОY), k (ось ОZ). Все проекции в этом случае предполагаются прямоугольными. В отличие от специальных(ПДСК) ДСК в общем случае называются общими ДСК.

Базисная тройка векторов подразделяется на два типа правая и левая. Базис ( е 1 , е 2 , е 3 ) называется правым, если при наблюдении с конца третьего вектора кратчайший поворот от первого вектора ко второму осуществляется против часовой стрелки и наоборот. Соответствующие им системы координат также называются правыми и левыми. Замечание: Если длины базисных векторов равны 1 то СК называется нормированной. Во многих случаях длина вектора называется его нормой. Если базисные вектора попарно ортогональны то и СК – ортогональная. Ортогональная и нормированная СК называется ортонормированной. Координаты линейной комбинации векторов. Введение координат для векторов позволяет сводить различные соотношения между векторами к числовым соотношениям между их координатами. Теорема: Координаты линейных комбинаций векторов равны таким же линейным комбинациям соответствующих координат линейных векторов. Доказательство: Координаты векторов есть величины их проекций на соответствующих координатных осях. Но тогда утверждение теоремы следует из теоремы о величинах проекций линейных комбинаций векторов. d   a   b  c это равносильно следующей системе равенств

 d 1   a 1   b1   c1  d 2   a 2   b2  c 2  d 3   a 3   b 3   c 3 Следствие 1: M 1 M 2  OM

2

 OM

1

M 1 M 2 ( x 2  x1 , y 2  y1 , z 2  z1 )

Следствие 2: Для того чтобы два вектора были коллинеарны необходимо и достаточно чтобы их координаты были пропорциональны.

параллелен вектору b следовательно b   ( а ) (**) a ( x 1 , y 1 , z 1 ) b ( x 2 , y 2 , z 2 ) . Векторное равенство (**) равносильно: x2 y 2 z 2   Если все координаты отличны от 0 то x   x  2 x1 y1 z1 . 1

Доказательство:

Пусть

вектор

a

 y 2   y1  z 2   z1

29. Вывод формул выражающих координаты точки в одной ДСК через координаты этой же точки в другой ДСК. O , ( e1 , e 2 )

O ' , ( e1 ' , e 2 ' )

В старой системе: O' (1 ' , 2 ' ) e '1 ( 11 ,  21 ) e ' 2 ( 12 ,  22 ) . OM  O' M  OO '  1e1   2 e2  x ' e1 ' y ' e2 '  1e1   2 e2   x ' (11e1   21e2 )  y ' (12 e1   22 e2 )  (11 x' 12 y '1 )e1   ( 21 x ' 22 y ' 2 )e2  x e 1  y e 2  (  11 x '   12 y '   1 ) e 1  ( 

OM

21

x ' 

22

y '  2 ) e 2

В силу единственности разложения вектора по базису получим:

x  11x'12y'1 y   x' y'  21 22 2

. Эти

формулы выражают старые координаты точки М через ее новые координаты. О ' ( 1 ,  2 ,  3 )

e '1 (  11 , 

x , y , z старые  M    x ' , y ' , z ' новые 

21

,  31 )

e ' 2 (  12 ,  22 ,  32 )

e ' 3 (  13 ,  23 ,  33 )

тогда связь между новыми и старыми координатами:

x  11x'12 y'13z'1  y  21x'22 y'23z'2 z  31x'32 y'33z'3

30. Скалярное произведение векторов. Определение и основные свойства. Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Обозначается ( a , b ) или a  b .  a  b | a |  | b |  cos  ,   ( a , b ) (1)

0     180 

Если хотя бы один из векторов – нулевой вектор то скалярное произведение равно 0. OE

1



a a

OE

2



b b

Через m и n обозначим оси

определяемые единичными векторами OE OE 2 . | b |  cos   пр a b

| a |  cos   пр b a

1

и

Вместо (1) мы можем написать

a  b  | a |  пр . a b  | b |  пр . b a

Понятие скалярного произведения имеет свой источник в физике. Например если a сила, точка приложения которой перемещается из начала вектора b в конец, то работа при этом совершаемая равна A  | a |  | b |  cos   a  b . Свойства скалярного произведения: 1) a  b  b  a (2) – коммутативность. 2) (  a , b )   ( a , b ) (3) ( a ,  b )   ( a , b ) (3’) Доказательство: ( a , b )  | b |  пр b  a  | b |   пр b a   | b |  пр b a   ( a , b ) (3) – доказано. ( 3 ' )  ( 2 ), ( 3 ) ( a ,  b )  (  b , a )   ( b , a )   ( a , b )        3)Дистрибутивность a ( b  c )  a  b  a  c

Доказательство

:

a ( b  c )  a пр a ( b  c )  a ( пр a b  пр a c )  a пр a b  a пр a c  a  b  a  c

Из первых трех свойств вытекает, что скалярное произведение двух линейных комбинаций векторов можно производить почленно. Отметим некоторые геометрические свойства скалярного произведения: 4)Для того, чтобы a  b  0 , необходимо и достаточно чтобы хотя бы один из векторов равнялся 0 или a  b .

2

2

5) a  a  a  | a | Выражение скалярного произведения через координаты перемножаемых векторов: Пусть в пространстве задана ДПСК. Составим таблицу скалярных произведений базисных векторов. i j  0 j j 1 k j0

i i  1 j i  0 k i  0

Пусть

ik  0 j k  0 k k  1

a  xi  y j  zk

b  x'i  y ' j  z 'k

a  b  ( x i  y j  z k )( x ' i  y ' j  z ' k )  xx '  yy '  zz ' a  b  xx '  yy '  zz '

Необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух ненулевых векторов: xx '  yy '  zz '  0 a

2

 a a  x2  y2  z2

a 

x2  y2  z2



Если a  x , y , z  и вектор a составляет с осями координат углы   ( a , i ) x  a cos     ( a , k ) тогда y  a cos  . cos  , cos  , cos  называются направляющими z  a cos 

тора a .

Если 2

a

 1 2

то

a

2

 1  cos 2

cos   cos   cos   1 .

2

  cos

2

  cos

2



   (a , j)

cos век-

Пусть МM

задана ' x '  x ,

координата двух МM ' y ' y , z ' z  2

М

точек  ( x ' x )

2

x ,

y, z

 ( y ' y )

2

и

 ( z ' z )

М ' x ' , y ' , z ' 

тогда

2

Расстояние между двумя точками МM '  ( x '  x ) 2  ( y '  y ) 2  ( z '  z ) 2

Вычисление угла между векторами a b xx ' yy ' zz ' cos    . 2 2 a b x  y  z 2  x '2  y ' 2  z '2

31. Векторное произведение векторов. Определение и основные свойства. Определение: Векторным произведением векторов a и b называется вектор обозначаемый [ a , b ] или a  b который удовлетворяет трем следующим условиям: 1.  a  b  a  b sin  ,   ( a , b )

2. Вектор a  b перпендикулярен векторам a и b . 3. Тройка векторов a , b , a  b является правой. Рассмотрим основные свойства векторного произведения: 1) [ a , b ]  0 является необходимым и достаточным условием линейной зависимости( коллинеарности) векторов a иb . 2) Если a не параллелен b то a  b  площади параллелограмма построенного на векторах ОА  a и ОВ  b , точка О – произвольная. Это утверждение следует из условия 1 векторного произведения векторов и известной теоремы из школьной геометрии: площадь треугольника

S 

 1 AB  BC  sin( AB , BC ) 2

3) [ a , b ]   [ b , a ] Доказательство: [ a , b ]  4) [(  a ), b ]   [ a , b ] (а)

 [b , a ]

[ a , (  b )]   [ a , b ] (б)

Доказательство: Докажем равенство (а). При α=0 или a параллельном b утверждение очевидно. Пусть α≠0 и a не параллельно b . Правая часть:  [ a , b ]   [ a , b ]    a  b sin  Левая часть: 1. α >0 [(  a ), b ]   a  b sin     a  b sin  2. α <0 [(  a ), b ]   a  b sin     a  b sin(    )    a  b sin  Векторы в обеих частях коллинеарны так как и тот и другой перпендикулярны векторам a и b , осталось доказать что эти векторы соноправленны. Если α >0 то эти векторы направлены также как и [ a , b ] . Если α <0, то каждый из этих векторов направлен противоположно вектору [ a , b ] (ч.т.д.) Равенство (б) следует из (а) и свойства (3): [ a , b ]   [ b , a ] 5) Дистрибутивность: [ a  b , с ]  [ a , с ]  [ b , с ] (а' ) [a , b  с ]  [a , b ]  [a , с ]

(б' )

Доказательство: Докажем равенство (а’). Пусть С

).

С 

С 

единичный вектор(орт

С С

Сначала

.

докажем

[ a  b , с ]  [ a , с ]  [b , с ]

От точки О отложим векторы a и проведем плоскость Повернем OA ' по часовой стрелке на С  . конца вектора a , c  , OA ' ' правая тройка. OA ' '  [ a , c  ] . Докажем равенство(*). Повернем треугольник OA’B’ на угол 90 градусов если смотреть с конца вектора С  . OA ' '  [ a , c  ] A '' В ' '  [b , c ]

равенство (*)

. С  . Через точку О С  . перпендикулярную 90 градусов если смотреть с OA ' '  OA '  a  c  sin  . OA ' '  a , c  . Значит

OВ ' '  [ a  | b , c  ] OB ' '  OA ' '  A ' ' В ' '

[ a  b , с ]  [ a , с ]  [b , с ]

части

равенства

[a  b , с ]  [a , с ]  [b , с ]

(*) доказана. Теперь обе c (*) умножим на : (ч.т.д.)

Выражение векторного произведения через координаты перемножаемых векторов. Если задано разложение векторов a и b по векторам базиса ( е 1 , е 2 , е 3 ) то мы можем записать на основании свойств 4 и 5: a ( 1 ,  2 ,  3 ) b (  1 ,  2 ,  3 ) a  b  [(  1 e1   2 e 2   3 e 3 )  (  1 e1   2 e 2   3 e 3 )]  св.4  св.5



(  1  2   2  1 )[ e1 , e 2 ]  ( 2  3   3  2 )[ e 2 , e 3 ] 

 ( 3  1   1  3 )[ e 3 , e 1 ] [ e1 , e 2 ]   e 3

В ортонормированном базисе

( е1 , е 2 , е 3 )

: [ e 2 , e 3 ]   e1 . (+ если тройка векторов пра[ e 3 , e1 ]   e 2

вая, - если левая) Для определенности будем считать что базис всегда правый. Таким образом получим следующее утверждение: В ортонормированном базисе ( i , j , k ) векторное произведение векторов выражается через координаты сомножителей следующей формулой: [ a  b ]  [( x i  y j  z k )  ( x ' i  y ' j  z ' k )]   ( yz '  zy ' ) i  ( zx '  z ' x ) j  ( xy '  yx ' ) k (**)

.

Чтобы запомнить эту формулу достаточно заметить что если разложить определитель по элементам первой строки, то мы получим правую i

часть(**) x

x'

j k y z  ( yz '  zy ' ) i  ( zx '  z ' x ) j  ( xy '  yx ' ) k . y' z'

Таким образом [ a , b ] 

i j k x y z произведение не x' y' z'

Замечание:

Векторное

обладает

свойством

ассоциативности.

Например:

[[i , j], j]  [i ,[ j, j]]  [ k , j ]k

 [i , 0]0

32. Смешанное произведение векторов. Определение и основные свойства. Пусть a , b , с - какие либо три вектора; [ a , b ]  c - смешанное произведение векторов a , b , с . Следующая теорема позволяет выяснить геометрический смысл смешанного произведения. Теорема1: Пусть a , b , с - три некомпланарных вектора. Отложим их от одной точки О. И построим на этих векторах параллелепипед. [ a , b ]  c   V объему построенного параллелепипеда с + или – в зависимости от того какой является тройка векторов: правой(+) или левой(-). Отложим от точки О е  a , b . [ a , b ]  S  e , где S – площадь параллелограмма. [ a , b ]  c  S ( e  c )  S  пр e c   S  h , где h – высота параллелепипеда, a , b , с - правая тройка значит +, левая значит - . [ a , b ]  c   S  h   V (ч.т.д.)

Теорема 2: Для того чтобы три вектора a , b , с были компланарны( линейно зависимы) необходимо и достаточно чтобы [ a , b ]  c  0 (1) Доказательство: Пусть a , b , с –компланарны, Если бы эти векторы были не компланарны, тогда на этих векторах можно построить параллелипипед. Объём которого равен V=а,b*c0- а это противоречит (1). Получили противоречие  a , b , с – компланарны.(ч.т.д.) Из теорем 1 и 2 следует что [ a , b ]  c  a  [ b , c ] т.к. модули и левой и правой частей равны объему одного и того же параллелепипеда и тройки a , b , c , a , b , c векторов имеют одинаковую ориентацию. Поэтому в дальнейшем смешанное произведение будем обозначать просто a , b , c . Смешанное произведение меняет знак при перестановке двух сомножителей нечетное число раз, т.к. каждая перестановка двух сомножителей меняет ориентацию тройки векторов. Теорема 3: Смешанное произведение векторов a , b , c выражается через их координаты a (  1 ,  2 ,  3 ) , b (  1 ,  2 ,  3 ) , с (  1 ,  2 ,  3 ) в произвольном базисе ( е 1 , е 2 , е 3 )

1  2  3 следующей формулой: a b c  1  2  3  (е1 , е2 , е3 ) (3) 1  2  3 a  b  [(  1 e1   2 e 2   3 e 3 )  (  1 e1   2 e 2   3 e 3 )] 

Доказательство:

св.4  св.5



(  1  2   2  1 )[ e1 , e 2 ]  ( 2  3   3  2 )[ e 2 , e 3 ] 

 ( 3  1   1  3 )[ e 3 , e 1 ] (@)

с   1 e1   2 e 2   3 e 3

[ a , b ]  c  @  ( 1 e1   2 e 2   3 e3 )  ( 1  2   2  1 ) 3 [ e1 , e2 ]  e3  ( 2  3   3  2 ) 1 [ e 2 , e3 ]  e1  ( 3  1   1  3 ) 2 [ e3 , e1 ]  e2  ( 1  2  3    1 2  3   1 2  3   1  2 3   1 2 3   1 2  3 )  e1 , e2 , e3 

1  2  3   1  2  3  ( е1 , е 2 , е3 ) 1  2  3 Если базис

( е1 , е 2 , е 3 )

правый ортонормированный то

(ч.т.д.)

( е1 , е 2 , е 3 )  1

и тогда

1  2  3 ab c  1 2 3 1  2  3 Необходимое и достаточное условие компланарности( линейной зависимости) трех

1 2  3 векторов можно теперь записать в координатном виде 1  2 3  0 1  2  3 33. Двойное векторное произведение векторов. Определение и формула для вычисления( без доказательства). Двойным векторным произведением называется произведение [ a [ b c ]] . Можно доказать что для любых трех векторов a , b , с [ a [ b c ]]  b ( a  c )  c ( a  b )

34. Алгебраические линии и поверхности. Теоремы об инвариантности( неизменности) порядка. Определение1: Алгебраической поверхностью называется множество точек, которое в какой-нибудь ДСК может быть задано уравнением вида

A1 x k1 y e1 z m1  A2 x k 2 y e2 z m 2  ...  As x k s y es z ms  0 (1) . k i , e i , m i - неотрицательные целые числа. Наибольшее из этих чисел называется степенью уравнения или порядком поверхности. Определение2: Алгебраической линией на плоскости называется множество точек которое в какой-нибудь ДСК на плоскости может быть определено уравнением

A1 x k1 y e1  A2 x k 2 y e2  ...  As x k s y es  0 (2) . k i , e i называются степенью уравнения или порядком линии. Теорема об инвариантности( неизменности) порядка: 1. Если поверхность в некоторой ДСК может быть задана уравнением вида (1) то и в любой другой ДСК она может быть задана уравнением того же вида имеющим ту же степень. 2. Если линия на плоскости в некоторой ДСК может быть задана уравнением вида (2) то и в любой другой ДСК она может быть задана уравнением того же вида имеющим туже степень. Доказательство: Обе теоремы доказываются одинаково. Докажем теорему 2. С этой целью перейдем от ДСК о которой речь шла в определении к произвольной новой ДСК.

Новые координаты  x  11x'12 y'1 . Чтобы получить новое уравнение линии

  y   21x' 22 y' 2

 11 x '   12 y '  1  в степень

k

k

e

нужно x и y подставить в (2)  x '  y '    в степень e . Ясно что Ax y при 21 22 2 этом превратится в многочлен в степени (k+e). Степень суммы многочленов не превышает степени старшего члена( степень могла бы понизиться если бы члены с наибольшей степенью взаимно уничтожились). Таким образом мы доказали пока что алгебраическая линия в любой ДСК имеет уравнение вида (2) причем степень уравнения при переходе от одной ДСК к другой не может повыситься. Остается доказать что она не может и понизиться и должна оставаться постоянной. Предположим противное, что при переходе от одной СК к другой степень понизилась, тогда при обратном переходе она должна повыситься что невозможно.(ч.т.д.) 35. Общие уравнения плоскости и прямой. Уравнения первой степени или линейные уравнения связывающие координаты точки Ax  Вy  Сz  D  0 (1)

в пространстве имеют вид A 2  B 2  C 2  0

. Аналогично на плоскости

Ax  Вy  С  0 (2) A2  B 2  0

.

Теорема1: В общей ДСК в пространстве каждая плоскость может быть задана линейным уравнением (1). Обратно каждое линейное уравнение (1) в ОДСК определяет плоскость. Теорема2: В ОДСК на плоскости каждая прямая линия может быть задана уравнением(2). Обратно каждое линейное уравнение (2) в ОДСК на плоскости определяет прямую линию. Доказательство: Обе теоремы доказываются одинаково. Докажем теорему 1. Пусть задана некоторая плоскость. Систему координат выберем так: точка О и два базисных вектора ( е 1 , е 2 ) поместим в плоскость, а вектор е 3 выполним произвольно. В такой СК наша плоскость будет иметь линейное уравнение Z=0. В силу теоремы об инвариантности наша плоскость будет иметь линейное уравнение и в любой другой ДСК. Обратно пусть мы имеем ОДСК и линейное уравнение(1). Докажем что это линейное уравнение определяет плоскость. Перейдем к другой ДСК. Для определенности пусть С≠0. Сделаем замену переменных:  x'  x . Покажем что эта система ра  y'  y  z '  Ax  By  Cz  D венств определяет переход к новой системе координат( выражает связь между старыми

  и новыми координатами точки).  x  x ' .  y  y' A B 1 D   z   C x' C y ' C z ' C

A ) C B Переход к новой СК: е 2 ( 0 ,1,  ) C 1 е3 ( 0 ,0 , ) C е1 (1, 0 , 

D

Новое начало СК в старой системе O ' ( 0 , 0 ,  C ) . Уравнение плоскости будет иметь уравнение(т.е. уравнение (1) переходит в новой СК в уравнение) Z’=0. Значит и уравнение(1) определяет плоскость. (ч.т.д.) Уравнение (1) и (2) называются общими уравнениями плоскости и прямой на плоскости соответственно. 36. Параметрические уравнения прямой и плоскости. А)Параметрические уравнения прямой. Прямая линия на плоскости или в пространстве полностью определяется точкой, лежащей на этой прямой( начальная точка) и вектором, параллельным этой прямой(направляющим вектором). Аналогично плоскость полностью определяется точкой принадлежащей плоскости и двумя неколлинеарными векторами в этой плоскости(начальная точка и направляющие вектора в плоскости). Рассмотрим точку М радиус вектор которой r . Ясно что точка М будет принадлежать прямой тогда и только тогда когда r  r a  r  r  t  a (4) , где t - некоторое определенное вещественное число. Другими словами для любой точки М принадлежащей прямой существует t, такое что имеет место (4) и наоборот, какое бы число t мы не подставили в (4) вместо t, вектор r определяемый (4) будет радиус-вектором некоторой точки на прямой. В формуле (4) переменная величина t пробегающая все вещественные значения называется параметром. А уравнение (4) векторно-параметрическим уравнением прямой. Векторно-параметрическое уравнение прямой выглядит одинаково и для прямой на плоскости и в пространстве. Но при разложении по базису оно сводится в одном случае к двум а в другом к трем скалярным уравнениям. В пространстве: - па x  x0  ta1  y  y0  ta2 (5)  z  z0  ta3 раметрические уравнения прямой в пространстве. 0

x  x0  ta1 (6) y  y  ta 0 2 

0

- параметрические уравнения прямой на плоскости.

Б) Пусть точка М произвольная точка в пространстве. Начало вектора r  r 0 лежит в плоскости следовательно его конец – точка М лежит на плоскости тогда и только тогда когда этот вектор лежит в рассматриваемой плоскости. Поэтому точка М лежит в плоскости тогда и только тогда когда найдутся t1 и t2, такие что r  r0  t 1  p  t 2  q (7) . Другими словами точка М с радиус вектором r принадлежит плоскости тогда и только тогда когда существуют t1 и t2, такие что выполняется (7). И наоборот, какие бы числа мы не подставили в (7) вместо t1 и t2 вектор r определенный уравнением (7) будет радиус-вектором точки лежащей в плоскости. Переменные t1 и t2 пробегающие все вещественные значения называются параметрами. А уравнение (7) называется векторно-параметрическим уравнением плоскости. Уравнение (7) эквивалентно трем скаляр-

ным уравнениям

 x  x0  t1  p1  t 2  q1  y  y 0  t1  p 2  t 2  q 2 (8)  z  z 0  t1  p3  t 2  q3

- параметрические уравнения плоско-

сти.

37. Переход от общих уравнений плоскости и прямой на плоскости к их параметрическим уравнениям. Геометрический смысл коэффициентов А,В,С (А,В) в общем уравнении плоскости(прямой на плоскости). Для этого перехода мы должны знать начальную точку и направляющие вектора. Пусть Ax  By  Cz  D  0 найдем начальную точку. Пусть

y0  0 z0  0 x0  

D . Для прямой наA

чальная точка находится аналогично. Найдем теперь направляющие векторы. Пусть Ax  By  C  0 (*) - уравнение прямой на плоскости и ( x 0 , y 0 ) - начальная точка(*). Ax 0  By 0  C  0 . A ( x  x 0 )  B ( y  y 0 )  0 (**) . Уравнение (*) равносильно уравнению (**). Если обозначить буквой М точку с координатами ( x , y ) то вектор М 0 М параллелен прямой тогда и только тогда когда точка М принадлежит прямой, т.е. когда верно равенство (**). Отсюда следует утверждение: Каждый ненулевой вектор с координатами (α1, α2) удовлетворяет условию: A  1  B 2  0 может быть принят за направляющий вектор прямой которая имеет своим уравнением уравнение Ax  By  C  0 в ОДСК. В частности вектор с координатами (-В,А) можно взять в качестве направляющего вектора прямой. Аналогично доказывается утверждение: Любых два неколлинеарных вектора координаты которых удовлетворяют условию могут быть приняты за направляющие векторы в плоскости, имеющую своим уравнением Ax  By  Cz  D  0 в ОДСК.

Геометрический смысл коэффициентов А,В,С(А,В) в общем уравнении плоскости (прямой на плоскости) в прямоугольной ДСК: Обозначим через n - вектор с координатами (А,В). Левая часть уравнения (**) является скалярным произведением векторов n и М 0 М только в ПДСК. Поэтому из уравнения (**) следует что вектор с координатами (А,В) перпендикулярен вектору М 0 М , если точка М принадлежит прямой. Таким образом вектор n (А,В) перпендикулярен прямой, которая задается общим уравнением (*) в ПДСК и называется нормальным вектором прямой. Аналогично вектор n (А,В,С) является ортогональным плоскости которая задается общим уравнением Ax  By  Cz  D  0 в ПДСК и называется нормальным вектором в плоскости.