матанализ - часть 7

Функции многих действительных переменных. §1 Основные понятия Определение.1 Координатным пространством ¡ действительных чисел. ¡ n   ( x1 ,..., xn ) xi  ¡ n ,1, n 

n

называется множество упорядоченных наборов n

Элемент пространства ¡ n - это точка x  ( x1 ,..., x n ) В курсе линейной алгебры было показано, что ¡ n - линейное пространство. Определение.2 Пусть на множестве X задана функция  : X  X  ¡ n ,удовлетворяющая следующим свойствам: 1.  ( x, y )  0,  ( x, y )  0  x  y 2.  ( x, y )   ( y, x) 3.  ( x, z )   ( x, y )   ( y, z ) - неравенство треугольника Если выполнены все условия, то говорят, что задано метрическое пространство с метрикой  Пример: 1.  ( x, y )  x 2  y 3 , ¡ - не метрическое 2.

¡

 ( x, y )  x  yметрика 

метрическое пространство 3. X – множество студентов  ( x, y )  ? Теорема. Пространство ¡

n

- метрическое и метрика вводится следующим образом: n

ρ ( x, y ) = x − y = ( x − y , x − y ) = (∑ ( x k − y k ) 2 )

1

2

k =1

Без доказательства. Примеры метрик: n

2 1. ρ ( x, y ) = x − y = ( x − y, x − y ) = (∑ ( x k − y k ) )

1

2

k =1

xk − y k 2. ρ ( x, y ) = max k n

3. ρ ( x, y ) = ∑ x k − y k k =1

Линейное пространство называется нормированным, если указано правило,

ставящее в соответствие каждому элементу x вещественное число, называемое нормой этого элемента и обозначаемое x , причем указанное правило удовлетворяет трем аксиомам: x > 0, x = 0 ⇔ x = θ 1) 2)

αx = α ⋅ x

3)

x+ y ≤ x + y

Пример: Пространство R 2 элемент x = ( x1 , x 2 ) Написать метрику каждого из трех видов для данного пространства. 1.

x = x12 + x 22

2.

x = x1 + x 2

3.

x = max xi i

Определение.3 Множество Ш r (a )   x  ¡ центром точке a и радиусом r

n

 ( x, a)  r называется открытым шаром с

Пример: ¡ 1 : (a  r , a  r )

y

а r

n

¡ 2 :  ( x, y )   ( xk  yk ) 2 k 1

0

x

Задача:

Нарисовать шар с центром в точке О(0,0) и радиусом r  1 в ¡ Ш1 (0)   ( x1 , x2 )  ¡ 2  ( x, 0)  1

2

1.  ( x, y )  ( x1  0) 2  ( x2  0) 2  1 y

1 0

2.

 ( x, y )  x1  0  x 2  0  1 x1  x 2  1

1

x

X2

1

-1

3.

0

X1

ρ ( x, y ) = max ( x1 − 0 , x 2 − 0 ) k

X2

1

-1

Определение.4 Замкнутым шаром с центром в точке а и радиусом Ш r ( a )   x  ¡ n  ( x , a )  r Определение.5 Сферой с центром в точке а и радиусом S r ( a )   x  ¡ n  ( x, a )  r 

0

X1

r называется

r называется множество:

Определение.6 Окрестностью точки а называется любой открытый шар, содержащий а, необязательно с центром в точке а (U (a )) Определение.7 0

Проколотая окрестность (U ) - окрестность без точки а

Свойства окрестности 1. U (a )Шδ (a ) : Ш δ (a )  U (a ) , при этом δ может быть выбрано рациональным. Доказательство: U (a ) = Ш δ ( x0 ) 1.a = x 0 - доказано 2.a ≠ x 0 0 < ρ ( a, x 0 ) = δ 0 < δ 1

. a

δ := δ 1 − δ 0 > 0 Ш δ ( a ) - искомый x ∈ Ш δ ( a ) , ρ ( a, x ) < δ хотим показать, что ρ ( x, x 0 ) < δ 1 ρ ( x, x 0 ) ≤ ρ ( x , a ) + ρ ( a , x 0 ) < δ + δ 0 = δ 1 Показано, что Ш δ ( a) ⊂ U (a ) . Что и требовалось доказать. 2. ∀U (a ),V (a )∃W (a ) ⊂ V (a ) ∩ U (a ) Доказательство: U ( aШ )

x1 (

0 ')

V (aШ )

x (

0

W ( aШ )

a3 ( )

2

.

.

.

’

a

”

")

 3  min ( 1   (a, x0 ')); ( 2   (a, x0 ") ) x W (a)  ( x, x0 ')   ( x, a )   (a, x0 ')   3   ( a, x0 ') 

1 ; 1   ( x0 ', a )   2   (a, x0 ")   2   ( x0 ", a )   ( x0 ', a )  1 ;  2   ( x0 ", a )  1   ( a, x0 ') 



3. Для любых точек a 1  a 2 V (a1 ),U ( a 2 ) : V (a1 )  U (a 2 )   Доказательство: l 3 V (a1 )  Ø r (a1 ),U (a 2 )  Ø r (a 2 ) Пусть Ø r (a1 )  Ø r (a 2 )  X l l 2l l = ρ (a1 , a 2 ) ≤ ρ ( a1 , x ) + ρ ( x, a 2 ) < + = 3 3 3 2l l< 3 Получили противоречие, значит предположение неверно. Пусть l   (a1 , a 2 ) , r 

Определение.8 Точка M 0 называется внутренней точкой множества X , если существует окрестность точки M 0 , включенная в X . Определение.9 Точка M 0 является граничной точкой множества X , если любая окрестность точки M 0 удовлетворяет условиям: U (M 0 ) ∩ X ≠ ∅ U ( M 0 ) ∩ CX ≠ ∅

Определение.10 Точка M 0 является внешней точкой множества X , если существует такая окрестность точки M 0 ,пересечение которой с множеством X будет пустым множеством Определение.11 Множество X - открытое, если все его точки являются внутренними. Определение.12 Множество X - замкнутое, если каждая граничная точка этого множества является элементом данного множества Пример: (0;1) – открытое множество Точки0,1 – граничные [0,1] – замкнутое множество Опрделение.13 Точка M 0 - изолированная точка множества X , если ∃U ( M 0 ) ∩ X = { M 0 } Определение.14 Точка M 0 - предельная точка множества X , если любая окрестность точки M 0 содержит хотя бы одну точку этого множества, не равную M 0 Определение.15 Множество X - связное, если существует непрерывная кривая, содержащая две точки множества, целиком лежащая в этом множестве.

§2 Предел функции нескольких переменных Определение.1 Если каждой точке x ∈ D ⊂ ¡ n поставлено в соответствие по известному закону некоторое единственное число u , то говорят, что задана функция u = u (x ) или u = f (x) . При этом множество D - область задания функции. Пример: u ( x, y ) = R 2 − x 2 − y 2 1) R 2 − x 2 − y 2 ≥ 0 x2 + y 2 ≤ R2

y

D

x

u  cos( x 2  y 2 ) 2 2 2) cos( x  y )  0     2 k  ( x 2  y 2 )   2 k 2 2

y



5 3 2

2

 0

2

3 2

5 2

Определение.2 Графиком функции u  f ( x) называется множество точек пространства n1 R вида ( x, f ( x )) Определение.3 Множество точек X пространства R n , удовлетворяющих условию f ( x)  C (C  const ) , называется множеством уровня функции f , соответствующим значению C . В случае n  2 - линия уровня n  3 - поверхность Пример: z ( x, y )  R 2  x 2  y 2 - верхняя полусфера Определение.4 Пусть каждому натуральному M поставлено в соответствие x ( m )  R n , тогда m множество таких точек  ( x ) , m  1, 2,... называется последовательностью точек. а – предел последовательности ( x) m , когда

x

 (( x) m , a)  0, m  0   0N : m  N   (( x ) m , a )   Теорема. (m) Последовательность x ( m ) сходится к а  i  1,..., m, xi  ai Доказательство: 1 Необходимость (m)  xi   a, m   Пусть  - евклидова метрика xi( m )  ai  ( x1( m )  a1 ) 2  ...  ( xn( m )  an ) 2   ( x ( m ) , a )   Получим: xi( m )  ai   2 Достаточность x  ai (m) i

xi( m )  ai 

 n n

 2 ( x ( m ) , a)   ( xi( m )  ai ) 2  i 1

2 n 2 n

  Определение.5 (m) Последовательность  x    , если расстояние от ее членов до начала координат стремится к бесконечности. lim  ( x ( m ) , 0)   m 

Пусть f : D r R , D  R n , x 0 - предельная точка Определение.6 Число а называется пределом функции f при x  x 0 (называется предельным значением функции в точке x 0 ), если   x ( m )   x 0 ; lim x ( m )  x 0 выполнено  f ( x ( m ) )  a m 

m 

Определение.7 Число а называется предельным значением функции f при x  x 0 , если   0  0 : x  D : 0   ( x, x 0 )    f ( x )  a   Критерий Коши существования предела функции в точке. Функция f имеет в точке x 0 предельное значение а тогда и только тогда ,когда   0  0 : x ', x ": 0   ( x ', x 0 )   , 0   ( x ", x 0 )    f ( x ')  f ( x ")  

Повторное предельное значение Пусть функция u  f ( x, y ), f : R 2  R определена в прямоугольнике x  x0  d1 y  y0  d 2 За исключением, может быть, точки M ( x0 , y0 ) Пусть для каждого фиксированного y выполнено:  lim f ( x, y )   ( y )  lim  ( y )  b 0  y  y0  d 2 x  x0 и y  y0 y  fix

В этом случае говорят, что существует повторное предельное значение b функции f ( x, y ) в точке M ( x0 , y0 ) . Аналогично определяется : lim lim f ( x, y )  b x  x0 y  y0

Теорема. Пусть функция u  f  x, y  определена на R2  R x  x0  d1 y  y0  d 2 и имеет предельное значение в точке M ( x0 , y0 ) . Пусть для любого фиксированного

f ( x, y )   ( x) и для любого x : 0  x  x0  d1  ylim  y0

f ( x, y )   ( y ) , тогда существуют повторные фиксированного y : 0  x  x0  d 2  xlim  x0 lim f ( x, y )  lim lim f ( x, y )  b . предельные значения xlim  x0 y  y0 y  y0 x  x0 Без доказательства. Пример: 1  cos( x 2  y 2 ) x2  y 2 1 1 1   lim  lim  2  2 - не существует 2 2 2 2 2 2 x 0 ( x  y ) x y x0 2 x y x 0 2 x y   y 0 y 0 y 0

1

lim

2

x y ( x  y)2 lim  lim 3  0 так как по теореме о зажатой x  x 2  xy  y 2 x  x  y 3 y  y 

последовательности x y x y x y 1 1 0 2     0 2 x  xy  y xy xy y x xy  3

x2  y 2 lim  0 так как по теореме о зажатой последовательности x  x 4  y 4 y 

x2  y 2 x2 y2 x2 y2 1 1 0 4  4  4  4  4  2  2 0 4 4 4 x y x y x y x y x y xy  4

lim ( x 2  y 2 )e  ( x  y )  0

x  y 

0  ( x 2  y 2 )e  ( x  y ) 

так как по теореме о зажатой последовательности

x2 y2 x2 y 2     0 e x  y e x  y e x e y xy 

§3 Непрерывность функций нескольких переменных Определение.1 Функция u  f ( x)( f : D  R ) непрерывна в точке x 0 , если предельное значение 0 этой функции в точке x 0 равно значению функции в этой точке.( lim0 f ( x )  f ( x ) ). xx

Точки, в которых функция не является непрерывной, являются точками разрыва. Определение.1’ Функция u  f  x  непрерывна в точке x 0 , если   0  0 : x  D  ( x, x 0 )     f ( x)  f ( x 0 )   Определение.2 Функция u  f ( x, y ) называется непрерывной на множестве M ,если она непрерывна в каждой точке этого множества. Пример: 1  2 2  2 2 ,x  y  0 u x y , x2  y2  0  0  Выяснить непрерывность в точке O(0;0) 1 1 1 n2 x  , y  Найдем lim ,пусть тогда 2 2 lim  x 0 x  y n  2 n n y 0 Функция не является непрерывной. Определение.3 0 0 0 Пусть точки x   x1 ,..., xn  и x   x1 ,..., xn  . Дадим каждой из переменных x1 ,..., xn 0 приращение xi  xi  xi . Полным приращением функции u  f ( x) в точке x 0 , соответствующим приращениям аргумента x1 ,..., xn называется выражение:

u  f ( x10  x20 ,..., xn0  xn0 )  f ( x10 ,..., xn0 ) . Определение.3’ Функция u  f ( x) непрерывна в точке x 0 , если

lim u  0

x1  0 M xn 0

Рассмотрим частичные приращения функции в точке x   x1 ,..., xn  , зафиксируем все аргументы, кроме первого. Дадим первому аргументу приращение x1 так, что

 x1  x1 , x2 ,..., xn   D . Соответствующее приращение функции называется частным

приращением в точке x , соответствующим приращению x1 аргумента x1 .  x1 u  f ( x1  x1 , x2 ,..., xn )  f ( x1 ,..., xn ) . Аналогично определяются частные приращения функции, соответствующие приращениям других аргументов.

Определение.4 Функция u  f ( x) называется непрерывной в точке x по xk , если  xk u является бесконечно малой функцией в точке x , то есть lim  xk u  0 xk  0

Ясно, что из непрерывности функции в точке следует непрерывность функции по каждой из переменных. Обратное, вообще говоря, не верно. Пример: Является ли функция непрерывной по x, y и в точке O(0;0) ? 

1

xy , x2  y 2  0 u   x  y2 2 , x  y2  0  0  

2

x 0 0  0 x 4  0 Функция непрерывна по x . Аналогично показывается, что функция непрерывна по y . xy lim 2 x  0 x  y 2 - не существует. y 0  xu  f (0  x, 0)  f (0, 0) 

Функция не является непрерывной в точке O(0;0)  2



xy 3 , x4  y 4  0 x4  y 4 4 , x  y4  0 0

u  

x 0 0  0 x 2  0 Функция непрерывна по x . Аналогично показывается, что функция непрерывна по y . xy 3 lim 4 - не существует x 0 x  y 4 y 0  xu  f (0  x, 0)  f (0, 0) 

 3



u 



x3 y 3 , x2  y 2  0 x2  y 2 2 , x  y2  0 0

x3 0 0  0 x 2  0 Функция непрерывна по x . Аналогично показывается, что функция непрерывна по y . x3 y3 Найдем lim x 0 x 2  y 2 y 0  xu  f (0  x, 0)  f (0, 0) 

1 a ,y n n 3 3 x y Найдем lim 2 x 0 x  y 2 y 0 Пусть x 

1 a3  3 3 lim n n 2  0 x  1 a  2 2 n n применим теорему о зажатой последовательности x3 y3 x3 y3 x 2 y 2 0 2    0  f (0, 0) 0 x  y2 2 xy 2 xy 0 Значит, функция непрерывна в точке O(0;0) . 

4

x 2 2 2 ,x  y  0 u x y , x2  y2  0  0  

2

x , lim  x u   x  0 x 2 Функция не является непрерывной по x . 0  yu  0  0 0  y 2 Функция непрерывна по y . Функция не является непрерывной в точке O(0;0) .  xu 



5

1 , x2  y 2  0 u   x  y2 2 , x  y2  0  0  

2

1 1 0  2 x  0 x Функция не является непрерывной по x . Аналогично показывается, что функция не является непрерывной по y . Функция не является непрерывной в точке O(0;0) .  xu  f (0  x, 0)  f (0, 0) 

2

§4 Основные свойства непрерывных функций 1. Непрерывность и арифметические операторы. Пусть f (x) и g (x) непрерывны в точке x 0 . Тогда функции ( f  g )( x), ( f  g )( x )  f непрерывны в точке x 0 . Если g ( x 0 )  0 , то функция    x  непрерывна в этой точке.  g 2. О непрерывности сложной функции Пусть x1  1 (t1...tk ) M xk   k (t1...tk )

(*)

Эти функции заданы на N  ¡ n . Тогда каждой t (t1 ...t k ) ставится в соответствие точка x( x1 ...x n ) . Рассмотрим функцию u  f ( x1 ...x n ) , где x1 ,..., x n являются функциями переменных t1 ,..., t k и эти функции определяются соотношением (*). Пусть функции xi   i (t1 ...t k ) непрерывны в точке t 0 , а функция u  f ( x1 ...x n ) 0 0 0 непрерывна в точке x 0 , где xi   i (t1 ...t k ) . Тогда сложная функция u  f ( x1 ...x n ) непрерывна в точке t 0

3.

Об устойчивости знака непрерывной функции. Пусть u  f (x) - непрерывна в точке x 0 и если f ( x 0 )  0 , то Ш ( x 0 ) : x  Ш ( x 0 ) f ( x )  0 и f ( x ) f ( x 0 )  0

4. О прохождении непрерывной функции через любое промежуточное значение. Пусть функция u  f (x) непрерывна на связном множестве M , f ( x1 ), f ( x 2 )  f ( x1 )  f ( x 2 )  - некоторые значения функции в точках x1 , x 2 . Пусть число C принадлежит промежутку от f ( x1 ) до f ( x 2 ) ,тогда на любой непрерывной кривой L , соединяющей точки x1 , x 2 , и целиком располагающейся в M , существует точка x 0 : f ( x )  C 5. Ограниченность функции, непрерывной на замкнутом ограниченном множестве. Первая теорема Вейерштрасса. Если функция u  f (x) непрерывна на замкнутом ограниченном множестве, то она ограничена на нем. 6.

Достижение функцией, непрерывной на замкнутом ограниченном множестве, своей точной верхней и точной нижней граней.

Вторая теорема Вейерштрасса. Если функция непрерывна на замкнутом ограниченном множестве, то она на нем достигает своей точной нижней и точной верхней граней.