Estatística Lista De Exercicios 3

Lista de exercícios 3 - Estatística - Distribuições de probabilidade

Prof. Ricardo Pinheiro November 28, 2009 UniverCidade - Unidade Campo Grande - Tecnologia em Sistemas de Informação - Estatística e Probabilidade.

1

Monte a distribuição de probabilidade: 1.

2.

2

Em famílias com 3 crianças, determine a probabilidade de termos meninos e meninas, admitindo-se as mesmas probabilidades para ambos. Represente gracamente também. Três bolas de gude são retiradas, sem restrição, de uma urna que contém 4 bolas vermelhas e 6 bolas brancas. Se X é uma variável aleatória que representa ao total de bolas de gude vermelhas retiradas, construa uma tabela que mostre a distribuição de probabilidade de X , e represente gracamente essa distribuição.

Distribuição binomial: 1.

Se 20% dos parafusos produzidos por uam máquina são defeituosos, determinar a probabilidade de, entre 4 parafusos escohidos ao acaso, termos: (a) (b) (c)

2.

A probabilidade de um estudante que entra numa escola, de concluir o curso é de 40%. Qual é a probabilidade de, entre 5 estudantes: (a) (b) (c)

3.

Nenhum graduar-se. Um graduar-se. Pelo menos um graduar-se.

Lançamos 10 vezes uma moeda honesta. Qual é a probabilidade de obtermos, nesses lançamentos: (a) (b) (c) (d)

4.

1 parafuso com defeito. nenhum parafuso com defeito. no máximo 2 parafusos com defeito.

3 caras. 4 caras. 5 caras. 6 caras.

Entre 800 famílias com 5 crianças cada uma, quantas se esperaria que tivessem: (a) (b)

3 meninos. 5 meninas. 1

(c)

2 ou 3 meninos.

A probabilidade de termos meninos e meninas é a mesma. 5.

Um vendedor de seguros vende apólices a 5 homens, todos da mesma idade e de boa saúde. De acordo com as tabelas atuariais, a probabilidade de um homem dessa idade estar vivo daqui a 30 anos é de 23 .Determine a probabilidade de estarem vivos daqui a 30 anos: (a) (b) (c) (d)

6.

Calcular para uma distribuição normal, com p = 0, 7 e N = 60 : (a) (b)

3

Os 5 homens. Pelo menos 3. Apenas 2. Pelo menos 1 homem. Média Desvio padrão.

Distribuição normal: 1.

2.

Dois estudantes foram informados de que alcançaram as variáveis reduzidas z1 = 0, 8 e z2 = −0, 4, respectivamente, em um exame de múltipla escolha de inglês. Se suas notas foram 88 e 64, qual é a média e o desvio padrão do exame? Determinar a probabilidade em cada um dos casos abaixo: (a) (b) (c) (d) (e) (f ) (g)

3.

O peso médio de 500 estudantes homens numa escola é de 75,5 kg. O desvio padrão é de 7,5 kg. Admitindo que eles estão distribuídos normalmente, determine quantos estudantes: (a) (b)

4.

5.

0 ≤ z ≤ 1, 2. −0, 68 ≤ z ≤ 0. −0, 46 ≤ z ≤ 2, 21. 0, 81 ≤ z ≤ 1, 94. À esquerda de z = −0, 6. À direita de z = −1, 28. À direita de z = 2, 05 e à esquerda de z = −1, 44.

Estão entre 60 e 77,5 kg. Estão acima de 92,5 kg.

A média dos diâmetros internos de uma amostra de 200 arruelas produzidas por uma máquina é de 0,502 centímetros, e o desvio padrão é de 0,005 centímetros. A tolerância máxima para o diâmetro deve estar entre 0,496 a 0,508 centímetros. Se estiver fora desse intervalo, são consideradas defeituosas. Calcule qual é o porcentual de arruelas com defeito produzidos pela máquina, admitindo que elas distribuem-se normalmente. Em um exame de estatística, a média foi de 78 e o desvio padrão foi 10. Determinar: (a) (b)

Os graus reduzidos de 2 estudantes que tiraram 93 e 62, respectivamente. As notas de 2 estudantes cujos graus reduzidos foram de -0,6 e 1,2 respectivamente. 2

6.

Determinar as ordenadas da curva normal para: (a) (b) (c)

7.

z = 2, 25. z = −0, 32. z = −1, 18.

Se as alturas de 300 estudantes são normalmente distribuídas, com média de 172,12 cm, e desvio padrão de 7,62 cm, quantos estudantes tem alturas: (a) (b) (c) (d)

Superiores a 182,88 cm. Iguais a 162,56 cm ou menos. Entre 165,10 cm e 180,34 cm, inclusive. Iguais a 172,72 cm.

Gabarito

Questão 1: 1.

Seja B =evento correspondente ao nacimento de um menino, e G =evento correspondente ao nascimento de uma menina. Se as probabilidades de natalidade são iguais, então P r{B} = P r{G} = 12 . Em famílias de três crianças, podemos ter os seguintes eventos mutualmente exclusivos: (a) (b) (c)

(d)

3 meninos (BBB). Então, P r{BBB} = P r{B} · P r{B} · P r{B} = 18 . 3 meninas (GGG). Então, P r{GGG} = P r{G} · P r{G} · P r{G} = 18 . 2 meninos e 1 menina (BBG+BGB +GBB). Então P r{BBG+BGB +GBB} =P r{BBG}+ P r{BGB} + P r{GBB} =P r{B} · P r{B} · P r{G} + P r{B} · P r{G} · P r{B} + P r{G} · P r{B} · P r{B}= 18 + 18 + 18 = 83 . 2 meninas e 1 menino (GGB + GBG + BGG). Por simetria, teremos a mesma probabilidade do item anterior, ou seja, 83 .

Representando-se por X a variável aleatória que representa o número de meninos numa família com três crianças, a distribuição de probabilidade está na tabela abaixo: Número de meninos (X) 0 1 2 3 1 3 3 1 Probabilidade p(X) 8 8 8 8 2.

X p(X)

0 1

2

3

1 6

3 10

1 30

1 2

Questão 2: 1.

A probabilidade de um parafuso ter defeito é de 20%, ou seja, p = 0, 2. Logo, a probabilidade de um parafuso ser perfeito é q = 1 − p = 1 − 0, 2 = 0, 8. (a) (b) (c)

P r{1 paraf uso def eituoso entre 4} = C4,1 (0, 2)1 (0, 8)3 = 0, 4096. P r{nenhum paraf uso def eituoso} = C4,0 (0, 2)0 (0, 8)4 = 0, 4096. P r{2 paraf usos def eituosos entre 4} = C4,2 (0, 2)2 (0, 8)2 = 0, 1536. Como queremos a proba-

bilidade de, no máximo 2 parafusos terem defeito, teremos que somar (a), (b) e (c). Logo, 0, 4096 + 0, 4096 + 0, 1536 = 0, 9728. 3

2.

40% = p = 0, 4. (a) (b) (c)

3.

P r{nenhum} = C5,0 (0, 4)0 (0, 6)5 = 0, 07776. P r{um} = C5,1 (0, 4)1 (0, 6)4 = 0, 2592. P r{pelo menos um} = 1 − P r{nenhum} = 1 − 0, 07776 = 0, 92224.

p = 21 . (a)

P r{3} = C10,3 ( 12 )3 ( 12 )7 =

(b)

P r{4} = C10,4 ( 21 )4 ( 12 )6 =

(c)

P r{5} = C10,5 ( 21 )5 ( 12 )5 =

(d)

P r{6} = C10,6 ( 21 )6 ( 12 )4 =

15 . 128 105 . 512 63 . 256 105 . 512

Logo, P r{entre 3 e 6 caras} = 4.

p= (a) (b) (c)

5.

p=

15 128

+

105 512

+

63 256

+

105 512

=

99 128

= 0, 7734.

1 2

. Em 800 famílias, teremos então 800 · 10 = 250 famílias. 32 1 P r{5 meninas} = C5,5 ( 21 )5 ( 12 )0 = . Em 800 famílias, teremos então 800 · 32 = 25 famílias. 1 2 1 3 10 10 P r{2 ou 3 meninos} = P r{2 meninos} + P r{3 meninos} = C5,2 ( 2 ) ( 2 ) = 32 + 32 = 20 . Em 32 20 800 famílias, teremos então 800 · 32 = 500 famílias. P r{3 meninos} = C5,3 ( 21 )3 ( 12 )2 =

10 32 1 32

2 3

32 243 192 (b) 243 40 (c) 243 242 (d) 243 (a)

6.

p = 0, 7, N = 60. (a) (b)

Média: µ = N p; µ = 60 · 0, 7 = 42. √ √ Desvio padrão: σ = N pq σ = 60 · 0, 7 · 0, 3 = 3, 54.

Questão 3: 1.

2.

¯ zs. Logo, para o primeiro estudante, teremos que 88 = X +¯0, 8s. Para Temos a equação X = X + o segundo estudante, teremos que 64 = X −¯0, 4s. Logo, resolvendo simultaneamente, teremos que a média é X¯ = 72 e o desvio padrão é s = 20.

Probabilidade de z é a área da curva entre os valores pedidos. (a)

(b)

Pegamos a tabela que segue à esta lista de exercícios, e percorre-se a coluna z para baixo, até achar o valor 1, 2. Depois, percorre-se para a direita, até achar o valor 0, já que z = 1, 20. Encontramos o valor 0, 3849. Essa é a probabilidade de z estar entre 0 e 1, 2, ou seja, P r{0 ≤ z ≤ 1, 2}, que é a área da curva compreendida entre z = 0 e z = 1, 2. Por simetria, o valor desejado está entre 0 e 0, 68. Percorremos a mesma tabela, na coluna z , até achar 0, 6. Então, segue-se à direita até a coluna onde temos o valor 8. O valor obtido é 0, 2517. 4

(c)

(d)

Se queremos o valor de −0, 46 ≤ z ≤ 2, 21, buscaremos inicialmente o valor de −0, 46 ≤ z ≤ 0 + 0 ≤ z ≤ 2, 21. Por simetria, teremos então o valor de 0 ≤ z ≤ 0, 46 + 0 ≤ z ≤ 2, 21. Percorrendo a tabela para os mesmos valores, obteremos 0, 1772 + 0, 4864 = 0, 6636. Área pedida é a área entre z = 0 e z = 1, 94 subtraída da área entre z = 0 e z = 0, 81 = 0, 4738 − 0, 2910 = 0, 1828.

(e)

Área pedida é a área à esquerda de z = 0 subtraída da área entre z = −0, 6 e z = 0 = 0, 5 − 0, 2258 = 0, 2742.

(f )

Área pedida é a área entre z = −1, 28 e z = 0 somada à área à direita de z = 0 = 0, 3997+0, 5 = 0, 8997.

(g)

3.

Média: µ = 75, 5 kg. Desvio padrão: σ = 7, 5 kg. Em unidades reduzidas, teremos que z = X−µ . σ 59,75−75,50 Logo, para o primeiro valor, teremos que z1 = = −2, 10. O segundo valor terá a variável 7,5 77,75−75,50 reduzida z2 = = 0, 30. 7,5 (a)

(b)

4.

Área pedida é a área total, subtraída da área entre z = −1, 44 e z = 0 e subtraída também da área entre z = 0 e z = 2, 05. Logo, teremos 1 − 0, 4251 − 0, 4798 = 0, 0951.

Logo, −2, 10 ≤ z ≤ 0, 30 signica que será a soma da área entre z = −2, 10 e z = 0, somada à área entre z = 0 e z = 0, 30. Logo, teremos então 0, 4821 + 0, 1179 = 0, 6. O número de estudantes será então 500 · 0, 6 = 300. Os estudantes com peso superior a 92,5 kg devem pesar pelo menos 92,75 kg. A variável reduzida z será então z = 2, 30. Queremos calcular então a área à direita de z = 2, 30. Essa área é a área à direita de z = 0, subtraída da área entre z = 0 e z = 2, 30.Logo, teremos que o valor será de 0, 5 − 0, 4893 = 0, 0107. O número de estudantes será então de 500 · 0, 0107 = 5.

Variáveis reduzidas de 0,496 e 0,508: z1 = 0,496−0,502 = −1, 2, e z2 = 0,508−0,502 = 1, 2. A proporção 0,005 0,005 de arruelas perfeitas será a área entre z = −1, 2 e z = 1, 2. Logo, será 2·(área entre z = 0 e z = 1, 2)= 2 · 0, 3849 = 0, 7698. Ou seja, 76, 98% das arruelas produzidas são perfeitas, e 23, 02% das arruelas produzidas são consideradas defeituosas.

5.

Respostas: (a) 1,5 e 1,6; (b) 72 e 90.

6.

Respostas: (a) 0,0317; (b) 0,3790; (c) 0,1989.

7.

Respostas: (a) 20; (b) 36; (c) 277; (d) 40.

Fórmulas e tabelas: 1.

2.

3.

Distribuição binomial: p(X) = CN,X pX q N −X , onde N é o número de tentativas, X é o número de ocorrencias do evento, p é a probabilidade de sucesso, e q = 1 − p é a probabilidade de insucesso. − (X−µ) σ2

2

Distribuição normal: Y = e , onde σ é o desvio padrão, π = 3, 15159..., e = 2, 71828..., µ é a média, e X é o elemento. √1 σ 2π

Forma reduzida da distribuição normal: Y =

5

√1 σ 2π

1

e− z2 , onde z =

X−µ σ .

Áreas de uma distribuição normal padrão z

0,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

0,0

0,0000

0,0040

0,0080

0,012

0,016

0,0199

0,0239

0,0279

0,0319

0,0359

0,1

0,0398

0,0438

0,0478

0,0517

0,0557

0,0596

0,0636

0,0675

0,0714

0,0753

0,2

0,0793

0,0832

0,0871

0,0910

0,0948

0,0987

0,1026

0,1064

0,1103

0,1141

0,3

0,1179

0,1217

0,1255

0,1293

0,1331

0,1368

0,1406

0,1443

0,1480

0,1517

0,4

0,1554

0,1591

0,1628

0,1664

0,1700

0,1736

0,1772

0,1808

0,1844

0,1879

0,5

0,1915

0,1950

0,1985

0,2019

0,2054

0,2088

0,2123

0,2157

0,2190

0,2224

0,6

0,2257

0,2291

0,2324

0,2357

0,2389

0,2422

0,2454

0,2486

0,2517

0,2549

0,7

0,2580

0,2611

0,2642

0,2673

0,2704

0,2734

0,2764

0,2794

0,2823

0,2852

0,8

0,2881

0,2910

0,2939

0,2967

0,2995

0,3023

0,3051

0,3078

0,3106

0,3133

0,9

0,3159

0,3186

0,3212

0,3238

0,3264

0,3289

0,3315

0,3340

0,3365

0,3389

1,0

0,3413

0,3438

0,3461

0,3485

0,3508

0,3531

0,3554

0,3577

0,3599

0,3621

1,1

0,3643

0,3665

0,3686

0,3708

0,3729

0,3749

0,3770

0,3790

0,3810

0,3830

1,2

0,3849

0,3869

0,3888

0,3907

0,3925

0,3944

0,3962

0,3980

0,3997

0,4015

1,3

0,4032

0,4049

0,4066

0,4082

0,4099

0,4115

0,4131

0,4147

0,4162

0,4177

1,4

0,4192

0,4207

0,4222

0,4236

0,4251

0,4265

0,4279

0,4292

0,4306

0,4319

1,5

0,4332

0,4345

0,4357

0,4370

0,4382

0,4394

0,4406

0,4418

0,4429

0,4441

1,6

0,4452

0,4463

0,4474

0,4484

0,4495

0,4505

0,4515

0,4525

0,4535

0,4545

1,7

0,4554

0,4564

0,4573

0,4582

0,4591

0,4599

0,4608

0,4616

0,4625

0,4633

1,8

0,4641

0,4649

0,4656

0,4664

0,4671

0,4678

0,4686

0,4693

0,4699

0,4706

1,9

0,4713

0,4719

0,4726

0,4732

0,4738

0,4744

0,4750

0,4756

0,4761

0,4767

2,0

0,4772

0,4778

0,4783

0,4788

0,4793

0,4798

0,4803

0,4808

0,4812

0,4817

2,1

0,4821

0,4826

0,4830

0,4834

0,4838

0,4842

0,4846

0,4850

0,4854

0,4857

2,2

0,4861

0,4864

0,4868

0,4871

0,4875

0,4878

0,4881

0,4884

0,4887

0,4890

2,3

0,4893

0,4896

0,4898

0,4901

0,4904

0,4906

0,4909

0,4911

0,4913

0,4916

2,4

0,4918

0,4920

0,4922

0,4925

0,4927

0,4929

0,4931

0,4932

0,4934

0,4936

2,5

0,4938

0,4940

0,4941

0,4943

0,4945

0,4946

0,4948

0,4949

0,4951

0,4952

2,6

0,4953

0,4955

0,4956

0,4957

0,4959

0,4960

0,4961

0,4962

0,4963

0,4964

2,7

0,4965

0,4966

0,4967

0,4968

0,4969

0,4970

0,4971

0,4972

0,4973

0,4974

2,8

0,4974

0,4975

0,4976

0,4977

0,4977

0,4978

0,4979

0,4979

0,4980

0,4981

2,9

0,4981

0,4982

0,4982

0,4983

0,4984

0,4984

0,4985

0,4985

0,4986

0,4986

3,0

0,4987

0,4987

0,4987

0,4988

0,4988

0,4989

0,4989

0,4989

0,4990

0,4990

3,1

0,4990

0,4991

0,4991

0,4991

0,4992

0,4992

0,4992

0,4992

0,4993

0,4993

3,2

0,4993

0,4993

0,4994

0,4994

0,4994

0,4994

0,4994

0,4995

0,4995

0,4995

3,3

0,4995

0,4995

0,4995

0,4996

0,4996

0,4996

0,4996

0,4996

0,4996

0,4997

3,4

0,4997

0,4997

0,4997

0,4997

0,4997

0,4997

0,4997

0,4997

0,4997

0,4998

3,5

0,4998

0,4998

0,4998

0,4998

0,4998

0,4998

0,4998

0,4998

0,4998

0,4998

3,6

0,4998

0,4998

0,4999

0,4999

0,4999

0,4999

0,4999

0,4999

0,4999

0,4999

3,7

0,4999

0,4999

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0,4999

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