Libro I (2018) Números.pdf

MATEMÁTICA

LIBRO I PDV ONLINE

NÚMEROS Y

PROPORCIONALIDAD

1

Números

1.

Números naturales cardinales y enteros

1.1

Definiciones Los elementos del conjunto Naturales”.

0

ℕ = {1, 2, 3, 4, 5,…} se denominan “Números

Los “Números Cardinales” corresponden a la unión del conjunto de los números naturales con el cero. ℕ0 = {0, 1, 2, 3, 4, 5,…} = ℕ U {0} Los elementos del conjunto “Números Enteros”.

 

ℤ = {…,-2, -1, 0, 1, 2,…} se denominan



Los elementos del conjunto enteros positivos”.

= {1, 2, 3...} se denominan “números

Los elementos del conjunto enteros negativos”.



= {…, -3, -2, -1} se denominan “números

 0

Los elementos del conjunto enteros no negativos”.

 0

= {0, 1, 2, 3...} se denominan “números

 0

Los elementos del conjunto enteros no positivos”.

 0

= {…-3, -2, -1, 0} se denominan “números

OBSERVACIÓN: 

El cero no es negativo ni positivo

Números

1.2

2

Valor Absoluto

El valor absoluto de un número entero n representa la distancia que existe entre este número y el cero. Se simboliza |n| Definición: |n|=

-3

-2

n, si n es un entero no negativo -n, si n es un entero negativo

-1

-3 = -(-3)=3

1.3

0

1

2

3

3 = 3

Operatoria en ℤ

Adición Al sumar números de igual signo, se suman los valores absolutos de ellos conservando el signo. Al sumar dos números de distintos signos, al de mayor valor absoluto se le resta el de menor valor absoluto, y al resultado se le agrega el signo del número mayor en valor absoluto.

Multiplicación Si se multiplican dos números de igual signo el resultado es siempre positivo. Si se multiplican dos números de distintos signo el resultado siempre es negativo.

OBSERVACIONES: 

El elemento neutro aditivo es el cero. (a + 0 = a)



El elemento inverso aditivo (opuesto) de a es -a. (a + -a = 0)



El elemento neutro multiplicativo es el 1. (1·a = a)



|a–b|=|b–a|



| a · b | = | a |·| b |



| a : b | = | a |:| b |, b ≠ 0

3

Números

1.4

Orden en ℤ

Los números enteros están “ordenados” de manera que un número es mayor que otro cuando se encuentra a la derecha de él.

ℤ -4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Dados dos números enteros cualesquiera a y b, se define la relación “mayor que” (>) entre a y b como: a > b si y solo si (a – b) es un entero positivo

Propiedades de orden Dados los números enteros a, b y c, se cumplen las siguientes propiedades

Tricotomía: entre a y b se cumplen sólo una de las siguientes relaciones a
ó

a>b y

ó

a=b

Transitiva:

si a < b

b < c, entonces a < c.

Aditiva:

a < b <=> a + c < b + c

Multiplicativa: si c > 0, a < b <=> a · c < b · c si c < 0, a < b <=> a · c > b · c

OBSERVACIONES: 

aa



Si a ≥ b, entonces | a – b | = a – b



Si a ≤ b, entonces | a – b | = b – a

Números

4

1.5 Sucesor, Antecesor, Números pares, Números impares y Cuadrados perfectos. Sea n un número entero, entonces: El sucesor de n es (n + 1). El antecesor de n es (n – 1). El entero 2n es siempre par. {…-4, -2, 0, 2, 4…} El entero (2n – 1) es siempre impar. {…-3, -1, 1, 3…} El entero (2n + 1) es siempre impar. Son pares consecutivos 2n y 2n + 2. Son impares consecutivos 2n + 1 y 2n + 3. El cuadrado perfecto de n es n2, con n > 0. {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49…}

OBSERVACIÓN: 

El cero es un número entero par

5

1.6

Números

Potencias de base entera y exponente entero no negativo an = a·a·a·...·a, con a

∈ ℤ y n ∈ ℤ+

n factores a0 = 1, a ≠ 0

OBSERVACIONES: 

0n = 0, con n ∈





1n = 1, con n ∈

 0



00 no está definido

Signos de una potencia de base negativa Si a < 0 entonces:

an =

Positiva, si n es par Negativa, si n es impar

Números

6

Propiedades de las potencias Dados a y b números enteros, m y n enteros positivos, se cumplen las siguientes propiedades. Multiplicación de potencias de igual base an·am = an+m División de potencias de igual base an:am = an – m, a ≠ 0 Multiplicación de potencias de igual exponente an·bn = (a·b)n División de potencias de igual exponente an:bn = (a:b)n, b ≠ 0 Potencia de una potencia

a  n

1.7

m

 anm

Prioridad de las operaciones

Al realizar distintas operaciones a la vez, se debe respetar el siguiente orden: 1.

Resolver los paréntesis.

2.

Realizar las potencias.

3.

Realizar multiplicaciones y/o divisiones de izquierda a derecha.

4.

Realizar adiciones y/o sustracciones.

7

Números

1.8

Múltiplos y Divisores

Dados los números enteros a y b, b es divisor de a (o factor de a) si existe un número entero c tal que: a = b · c. Si b es divisor de a entonces a es múltiplo de b.

OBSERVACIONES: 

Todo número entero es múltiplo de si mismo.



Todo número entero, distinto de cero, es divisor de si mismo.



El cero es múltiplo de todos los números enteros.



El número uno es divisor de todo número.



Los múltiplos de un número entero n se obtienen multiplicando n por cada número entero. M(n) = {…-3n, -2n, -1n, 0n, 1n, 2n, 3n…}.



En la división de números enteros a : b, b es divisor de a si el resto de la división es cero.

Algunas reglas de divisibilidad Un número entero es divisible: Por

Cuando

2

Termina en cifra par.

3

La suma de sus cifras es múltiplo de tres.

4

El número formado por las dos últimas cifras es múltiplo de cuatro ó termina en doble cero.

5

Termina en 0 o 5.

6

Es divisible por dos y por tres a la vez.

8 9 10

El número formado por las tres últimas cifras es múltiplo de ocho o termina en triple cero. La suma de sus cifras es múltiplo de nueve. La última cifra es cero.

Números

1.9

8

Números primos, compuestos y descomposición en factores primos

Números primos: Son aquellos enteros positivos que tienen sólo dos divisores positivos distintos. Los primeros números primos son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37,… Números compuestos: Son todos los enteros positivos mayores que uno que no son primos, es decir, son aquellos que tienen más de dos divisores positivos distintos. Los primeros números compuestos son: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20,…

OBSERVACIONES: 

El número 1 no es primo ni compuesto



Si un número n es primo, sus únicos divisores son 1 y n

Teorema fundamental de la aritmética Todo número compuesto se puede expresar de manera única como un producto de números primos, llamada también factorización prima de un número.

9

Números

1.10 Mínimo Común Múltiplo (m.c.m.) El m.c.m. de dos o más números naturales es el menor número natural, que es múltiplo común de todos ellos.

1.11 Máximo Común Divisor (M.C.D.) El M.C.D. de dos o más números naturales es el mayor número natural, que es divisor común de todos ellos.

Cálculo del m.c.m y M.C.D. mediante descomposición en factores primos Se debe descomponer los números dados en factores primos.  El m.c.m. se obtiene como producto de todos los factores primos, en el caso de existir factores primos comunes se considera aquel que posea el exponente mayor.  El M.C.D. se obtiene como producto de los factores primos comunes considerando aquel que posea el exponente menor.

Números

2.

10

Números Racionales 

2.1

Definición de número racional

Los números racionales son todos aquellos números de la forma

a con a y b números b

enteros y b distinto de cero. El conjunto de los números racionales se representa por la letra .

a   / a, b  b

 y b  0 

OBSERVACIÓN: 

Todo número entero n es racional porque se puede escribir de la forma n . 1

2.2

tipos de fracciones

Fracción propia e impropia Sean a y b números enteros. i) ii)

2.3

a es una fracción propia. b a Si |a| > |b|, entonces es una fracción impropia. b Si |a| < |b|, entonces

Fracciones equivalentes

Dos fracciones

a c y son equivalentes entre si, si y solo si a·d = b·c . b d Sean

a c , є ℚ, con b y d ≠ 0. Entonces, a  c  a·d =b·c b d b d

11

2.4

Números

amplificación y simplificación de una fracción

La amplificación equivalentes. a)

y

simplificación

de

fracciones

permiten

obtener

fracciones

Amplificación Se multiplica el numerador y el denominador de una fracción por un mismo número entero distinto de cero.

a an , con n ∈ ℤ y n ≠ 0  b bn b)

Simplificación Se divide el numerador y el denominador por un mismo número entero distinto de cero.

a a:n , con n ∈ ℤ y n ≠ 0  b b :n

OBSERVACIÓN: 

La fracción

a es irreductible si el máximo común divisor b

de a y b es 1

Números

2.5

12

Adición y sustracción de números racionales

i)

Si

a c a c ad  bc , ∈ ℚ, entonces:   b d b d bd

ii)

Si

a b a b ab , ∈ ℚ, entonces:   c c c c c

OBSERVACIONES: 

El inverso aditivo (u opuesto) de

a a es  , con b ≠ 0, de modo que b b

a  a    0. b  b 



El número mixto A

b se transforma a fracción impropia con la c

siguiente fórmula: A

b Ac b  , con A ≥ 0, b > 0, c > 0. c c b Ac b  , con A ≥ 0, b > 0, c > 0. c c



Número mixto negativo A



Toda fracción impropia se puede expresar como un número mixto.

13

2.6

Números

Multiplicación y División de números racionales Si

a c y ∈ ℚ, entonces: b d

Multiplicación:

a c ac .  b d bd División:

a c a d ad :    , b d b c bc

c0

OBSERVACIÓN: 

El inverso multiplicativo (o recíproco) de de modo que

a b  1 b a

a b es con a y b  0, b a

Números

2.7

14

Relación de orden en ℚ Sean

a c a c y ∈ ℚ, y b, d ∈ ℤ+. Entonces,  a·d ≥ b·c  b d b d

OBSERVACIONES: 

Para comparar números racionales positivos, también se pueden utilizar los siguientes procedimientos:  Igualar numeradores: Al igualar los numeradores, el mayor racional es el que tiene el menor denominador.  Igualar denominadores: Al igualar los denominadores, el mayor racional es el que tiene el mayor numerador.  Convertir a número decimal y ordenar en forma posicional para comparar cifra a cifra hasta encontrar una distinta.



Entre dos números racionales cualesquiera hay infinitos números racionales.

15

Números

2.8

Números decimales Finitos

Periódicos

infinitos

Semiperiódicos

Decimales

No periódicos

Al efectuar la división entre el numerador y el denominador de un número racional, se obtiene un desarrollo decimal, el cual puede ser finito, infinito periódico o infinito semiperiódico.

Transformación de decimal a fracción: Decimal Finito Se escribe en el numerador todos los dígitos que forman el número decimal y en el denominador una potencia de 10 con tantos ceros como cifras decimales tenga dicho número. Ejemplo: 1,25 

125 100

Decimal Infinito Periódico Se escribe en el numerador la diferencia entre el número decimal completo (sin considerar la coma) y el número formado por todas las cifras que anteceden al período. En el denominador se colocan tantos nueves como cifras tenga el período. Ejemplo: 1,25 

125  1 99

Decimal Infinito Semiperiódico Se escribe en el numerador la diferencia entre el número completo (sin considerar la coma) y el número formado por todas las cifras que anteceden al período.

En el

denominador se escriben tantos nueves como cifras tenga el período, seguido de tantos ceros como cifras decimales tenga el ante período Ejemplo: 1,25 

125  12 90

Números

2.9

16

Operatoria con números decimales

Adición o sustracción de números decimales Para sumar o restar números decimales se ordenan en forma posicional, es decir, se ubican las cantidades enteras bajo las enteras, las comas bajo las comas, la parte decimal bajo la decimal y a continuación se realiza la operatoria respectiva.

Multiplicación de números decimales Para multiplicar dos o más números decimales, se multiplican como si fueran números enteros, ubicando la coma en el resultado final, de derecha a izquierda, tantos lugares decimales como decimales tengan los números en conjunto.

División de números decimales Para dividir números decimales, se puede transformar el dividendo y el divisor en números enteros amplificando por una potencia en base 10.

OBSERVACIÓN: 

Para resolver operaciones que involucren números decimales periódicos

y/o

semiperiódicos,

se

sugiere

transformar

decimales a fracción y luego realizar las operaciones.

los

17

Números

2.10 Redondeo y truncamiento de un número En algunos casos se requiere utilizar solamente una parte de un número como por ejemplo el número

. Como este número tiene un desarrollo decimal infinito no

periódico, se aproxima por redondeo o truncamiento, a una cantidad que no afecte significativamente los cálculos finales, de acuerdo a un contexto.

Redondeo Si el dígito que sigue a la derecha de la última cifra a considerar es mayor o igual a cinco, entonces esta cifra se aumenta en una unidad y las cifras a la derecha de esta se completan con ceros. Si el dígito que sigue a la derecha de la última cifra a considerar es menor a cinco, esta se conserva y todas las cifras a la derecha de esta se reemplazan por ceros.

Truncamiento Todas las cifras que siguen a la derecha de la última cifra considerada se reemplazan por ceros.

Números

18

2.11 Aproximación Es una representación no exacta y más sencilla de un número. Idealmente esta representación debe ser tal que, al reemplazar al número original, no produzca desviaciones significativas respecto de lo real.

Aproximación por exceso o por defecto Al aproximar un número con una cantidad determinada de cifras, el resultado puede ser menor o mayor que el número original. Si la aproximación es mayor al número original, es una aproximación por exceso. Si la aproximación es menor al número original, es una aproximación por defecto.

Errores Cuando se aproxima por exceso o por defecto un número, se comete un error, el cual corresponde al valor absoluto de la diferencia entre el valor exacto y su aproximación.

19

Potencias en Q

2.12 Potencias en ℚ Definición: Se denomina potencia de base racional y exponente entero a toda expresión de la forma n

c  d  , con c y d distintos de cero, donde:   n

c c c cn c  d   d  d  ...  d  n , si n > 0 d   n factores

0

c  d  1   n

-n

c  d  d    c  , si n < 0    

Propiedades: Dados

a c y distintos de cero, y n, m números enteros, se cumplen las siguientes b d

propiedades. Multiplicación de potencias de igual base n

m

 a   b

m

 a   b

 a  a b  b    

nm

División de potencias de igual base n

 a  a b : b    

n m

Multiplicación de potencias de igual exponente n

n

n

n

 a  c  a c ac b    d  b  d  b  d        

Potencias en Q

20

División de potencias de igual exponente n

n

n

n

 a  c  a c  a  d b  :  d  b : d  b  c          Potencia de una potencia m

  a n      b    

nm

 a   b

21

Potencias en Q

2.13 Notación científica y abreviada Un número está escrito en notación científica si se escribe de la forma k · 10n, donde 1  |k| < 10 y n es un número entero. Un número está escrito en forma abreviada, si se escribe de la forma p · 10n, donde |p| es el menor entero y n es un número entero.

Reales

3.

22

Números irracionales ℚ’

3.1

Definición de número irracional

Son números con desarrollos decimales infinitos no periódicos, como por ejemplo  = 3,1415927…. No es posible escribirlos como un número racional.

3.2

Raíces cuadradas

La definición y algunas propiedades de las raíces cuadradas, para a y b racionales no negativos, son:

Definiciones: a  b  b2  a

Propiedades: a  b  ab

a  b  a2  b

a b



a b

a2  a

números

23

Reales

OBSERVACIONES: Si a y b son primos, entonces. 

a y

b son irracionales.



a +

b es irracional.



a ·

b es irracional, con a ≠ b.



a :

b es irracional, con a ≠ b.

Reales

24

4.

Números reales ℝ

4.1

definición de número real

El conjunto de los números reales racionales

(ℝ) es la unión del conjunto de los números

(ℚ) con los irracionales (ℚ’), el cual se expresa como

 =   ’





’ 



  ’ = ∅

4.2 

Operatoria en ℝ El resultado de una operación entre racionales es siempre otro número racional (excluyendo la división por cero).



Las operaciones entre números irracionales no siempre resultan un número irracional.



El resultado de las operaciones entre un número racional

(ℚ) y un irracional (ℚ’)

es un número irracional, exceptuándose la multiplicación y la división por cero.

OBSERVACIÓN: Los números de la forma

n

no son números reales.

a con a < 0 y n par,

25

5. 5.1

Reales

Regularidades numéricas y cuadrados mágicos Regularidades numéricas

Las regularidades (patrones) son relaciones entre números, figuras u objetos que pueden describirse por medio de una fórmula o término general.

5.2

Cuadrados mágicos

Un cuadrado mágico es un conjunto de números ordenados en filas y columnas, de manera que los números de cada fila, cada columna y diagonal mayor suman lo mismo.

Complejos

6. 6.1

26

Números Complejos  Definición de la unidad imaginaria

El cuadrado de un número real siempre es no negativo. Por ejemplo, no existe un número real x para el cual x2 = -1. Para que esta ecuación tenga solución, se introduce un número llamado unidad imaginaria, que denotamos con i y cuyo cuadrado es -1. i2 = -1

6.2

Definición de número complejo ()

Un número de la forma z = a + bi, se llama número complejo, en donde a y b son números reales e i la unidad imaginaria. Esta forma de representar al número complejo se le denomina forma binómica o algebraica. En todo número complejo se distinguen dos partes: Parte real de z es a y se denota como Re(z) = a. Parte imaginaria de z es b y se denota como Im(z)=b.

OBSERVACIONES: Dado el complejo z = a + bi, se tiene que: 

Si b = 0, entonces z es un Complejo Real Puro (z = a)



Si a = 0 y b ≠ 0 , entonces z es un Complejo Imaginario Puro (z = bi)



A la expresión binómica, también se le denomina forma canónica del número complejo.



En el conjunto de los números complejos, no existe relación de orden.



El conjunto de los números reales es un subconjunto de los números complejos.

27

Complejos

 



’

 

6.3

Igualdad de números complejos

Dos números complejos son iguales cuando sus partes reales y sus partes imaginarias son iguales respectivamente. Si z1= a + bi

y

z2 = c + di, con z1 = z2, entonces se cumple que a = c y b = d.

a + bi = c + di  a = c y b = d

Complejos

6.4

28

Expresión binómica y cartesiana de un número complejo

Un número complejo z = a + bi se puede Im

expresar como un par ordenado z = (a, b) de números reales donde la primera componente es

b

z = (a, b)

su parte real y la segunda componente es su parte imaginaria. a

Representación de números complejos El complejo z = (a, b)

Re

puede ser representado

en un gráfico de Argand, mediante una flecha (vector) que une el origen (0, 0) y el punto final de coordenadas (a, b).

6.5

Módulo de un número complejo Si z = a + bi, entonces el módulo de z es z, tal que

z 

a2  b2

OBSERVACIONES: 

El módulo de todo número complejo es un número real no negativo.



En el plano complejo (diagrama de Argand), el módulo de un número complejo es la distancia del número al origen.

29

6.6

Complejos

Conjugado de un número complejo Si z = a + bi, entonces el conjugado de z es z , tal que

z  a  bi

OBSERVACIÓN: 

El conjugado del conjugado de un complejo, es el mismo complejo.

zz Los módulos de z, z , -z y -z son iguales.



6.7

Adición y sustracción de números complejos Sean z1= a + bi y z2 = c + di. Entonces: z1 ± z2 = ( a ± c ) + ( b ± d )i

OBSERVACIONES:

6.8



El neutro aditivo es el complejo (0, 0) = 0 + 0i.



El inverso aditivo de z es -z. Si z = a + bi, entonces -z = -a – bi.

Multiplicación de números complejos

Sean z1 = a + bi

y z2 = c + di. Entonces: z1 · z2 = (ac – bd) + (ad + bc)i

OBSERVACIÓN: 

El neutro multiplicativo es el complejo (1, 0) ó 1 + 0i = 1.

Complejos

6.9

30

Recíproco de un número complejo Sea z = a + bi, entonces el recíproco de z es z-1 =

1 , con z ≠ 0 z

a b  i a2  b2 a2  b2

z1 

OBSERVACIONES: 

El complejo (0, 0) no tiene inverso multiplicativo.



z1 

1 z   z z

z z

2

6.10 División de números complejos Si z1 = a + bi y z2 = c + di, con z2 distinto de cero, entonces:

z1 ac  bd bc  ad  2  2 i z2 c  d2 c  d2

OBSERVACIONES: 

z1  z1  z2-1 z2



z1 z z z z  1 2  1 22 z2 z2  z2 z2

31

Complejos

6.11 Potencias de i Algunos valores de las potencias de i son: i1

i

i5

= -1

i

6

= -1

7

= -i = 1

=

i

2

i

3

= -i

i

i4

= 1

i8

=

i

En los ejemplos anteriores se observa que cada cuatro potencias consecutivas de i se repiten los valores. Por lo tanto, in es igual a ip, donde p es el resto de dividir n por 4 (n  0 y 0 ≤ p < 4)

Raíz cuadrada de números negativos Para todo a

∈ ℝ+ se tiene que: a  a  i

Razones y Proporciones

32

7.

Razones y proporciones

7.1

Razón

Es una comparación entre dos cantidades mediante su cuociente. Se escribe a : b o se lee “a es a b”; donde a se denomina antecedente y b consecuente.

7.2

a , b

Proporción

Es una igualdad formada por dos razones.

a c o a : b = c : d y se lee “a es a b como  b d

c es a d”, donde a y d son los extremos; b y c son los medios.

Teorema fundamental “En toda proporción el producto de los extremos es igual al producto de los medios”.

a c   ad  bc b d

33

7.3

Razones y Proporciones

Serie de razones

Es la igualdad de dos o más razones.

x y z    k (k, constante). También se escribe a b c

Por ejemplo, una serie de razones es como x : y : z = a : b : c

7.4

Proporcionalidad directa

Dos variables x e y son directamente proporcionales cuando el cuociente entre sus valores correspondientes se mantiene constante

y k, x

k: constante

Gráfico de una proporcionalidad directa y y = k·x

x

Razones y Proporciones

7.5

34

Proporcionalidad inversa

Dos variables x e y son inversamente proporcionales cuando el producto entre sus valores correspondientes se mantiene constante y·x = k,

k: constante

Gráfico de una proporcionalidad Inversa. y

yx k  y 

k x

x

La curva es una hiperbola equilatera (no toca los ejes)

7.6

Porcentaje

El tanto por ciento es un caso particular de proporcionalidad directa en que uno de los términos de la proporción es 100:

Q P P  Q C C 100 100 Q  P%  C

35

8. 8.1

Interés

Cálculo de interés Interés simple

Una cantidad C crece periódicamente a una tasa del i% en un horizonte de tiempo representado por n períodos, en un régimen de crecimiento simple, si el crecimiento en cada período es constante (i% de C). La cantidad final CF después de cumplidos los n períodos es:

Cf  C 

ni C 100

Ganancia  Cf  C 

8.2

ni C 100

Interés compuesto

Una cantidad C crece periódicamente a una tasa del i% en un horizonte de tiempo representado por n períodos, en un régimen de crecimiento compuesto, si el crecimiento en cada período se agrega a C de modo que al final de cada período hay una nueva cantidad sobre la cual se aplica la tasa del i% La cantidad final Cf después de cumplido los n períodos es:

n

i   Cf  C   1  100  

Ganancia = Cf  C