Flexión De Vigas.docx

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR EN LA INGENIERÍA CIVIL: DEFLEXIÓN DE VIGAS Integrantes:

Rivas Beltramé, Fabrizio Gonzales Mamani, Nelson Sánchez Vega, César Docente: Mg. Yaan Bedoya Barriga 2017

Introducción Con frecuencia se requiere describir el comportamiento de algún sistema o fenómeno real, ya sea físico, sociológico, o incluso económico, en términos matemáticos. La descripción matemática de un sistema o fenómeno se denomina modelo matemático, el cual se construye con ciertos objetivos en mente. El modelo matemático puede ser una ecuación diferencial o un sistema de ecuaciones diferenciales. Una vez formulado un modelo matemático equivalente a una ecuación diferencial o a un sistema de ecuaciones diferenciales, se enfrenta el no menos importante problema de intentar resolverlo. Si podemos resolverlo, entonces consideramos que el modelo será razonable cuando su solución sea consistente con datos experimentales o con hechos conocidos acerca del comportamiento del sistema. Pero si las predicciones generadas por la solución no son adecuadas, podemos incrementar el nivel de resolución del modelo o formular premisas alternativas sobre los mecanismos causantes del cambio en el sistema.

Pasos del proceso de modelación Las ecuaciones diferenciales se usan para obtener resultados aproximados en distintos campos, uno de ellos es la Ingeniería Civil y la Física (que están ligadas estrechamente).

En el presente trabajo se analizará el pandeo de vigas, en diferentes posiciones aplicando masas variables. Objetivos 

Obtener la ecuación de la curva elástica y su máxima deflexión vertical (flecha)



Relacionar el curso de Ecuaciones Diferenciales con la vida real.

Marco teórico 

Ecuación diferencial (E.D.): Ecuación que relaciona una función (o variable dependiente), su variable o variables (variables independientes), y sus derivadas. Si la ecuación contiene derivadas respecto a una sola variable independiente, entonces se dice que es una ecuación diferencial ordinaria (E.D.O); y si contiene las derivadas parciales respecto a dos o más variables independientes, se llama ecuación en derivadas parciales (E.D.P.).



Ecuación diferencial lineal Se dice que una ecuación diferencial es lineal si tiene la forma

Y se llama lineal homogénea si además g(x) = 0. 

Problema de valor de frontera: Es un problema que busca determinar una solución a una ecuación diferencial sujeta a condiciones sobre la función desconocida, especificadas en dos o más valores de la variable independiente. Tales condiciones se llaman condiciones de frontera.

Flexión de vigas Consideramos vigas horizontales a aquellas que son uniformes en forma y material. El eje de simetría (línea punteada) se llama curva elástica y su ecuación da información acerca de la flexión de la viga producida por su propio peso y por cargas externas. En mecánica se demuestra que el momento de flexión de todas las fuerzas exteriores que actúan sobre la viga está dado por:

𝑀 =

𝐸𝐼 𝑟

donde E es el módulo de elasticidad de Young que depende del material y del diseño de la viga, I es el momento de inercia de la sección transversal de la viga en x, tomado con respecto a una línea horizontal que pasa por el centro de gravedad de la sección. El producto EI se llama rigidez a la flexión y es una constante, r es el radio de curvatura de la curva elástica con ecuación: 3

[1 + (𝑦 ′ )2 ]2 𝑟 = 𝑦 ′′

r

Como y′ en todos sus puntos es muy pequeña, entonces,

𝑟 =

1 𝑦 ′′

De ahí que: M = EIy″ (1) El momento M en la sección transversal es la suma algebraica de los momentos de las fuerzas exteriores. Suponemos que las fuerzas hacia arriba dan momentos positivos y las fuerzas hacia abajo dan momentos negativos, el eje y se toma positivo hacia arriba. El desplazamiento y de la curva elástica desde el eje x se llama flecha de la viga. Además, por teoría de la elasticidad tenemos que el momento de flexión M(x) en un punto x a lo largo de la viga está relacionado con la carga por unidad de longitud w(x) mediante la ecuación

(2) Derivando la ecuación (1):

(3) Igualando (2) y (3), obtenemos la ecuación diferencial de cuarto orden para la deformación de una viga en función a la carga por unidad de longitud.

𝐸𝐼

𝑑4 𝑦 𝑑𝑥 4

= 𝑊(𝑥)

(4)

Sin embargo, la ecuación obtenida, al ser un problema de valores de frontera, se deben tomar en cuenta los diferentes casos en los que se aplican las cargas.

Tipos de vigas

La tabla siguiente resume las condiciones de frontera asociadas con (4).

Ejemplos Ejemplo 01: Viga simplemente apoyada Una viga uniforme, de longitud l = 5 m, apoyada según se muestra en la figura se flexiona bajo su propio peso, que es w = 2 kg/m. Hallar la ecuación de la curva elástica.

Como la viga está simplemente apoyada, cada extremo soportará la mitad del peso de la viga:

𝑤𝑙 =5 2 Tomando un punto P a una distancia x del origen, observamos primero las fuerzas que actúan a la izquierda de P:

Una fuerza hacia arriba:

𝑤𝑙 2

Una fuerza hacia abajo wx en el centro de OP; entonces, el momento total de flexión en P es:

𝑤𝑙 𝑥 𝑥 𝑤𝑥 2 𝑀= 𝑥 − 𝑤𝑥 ( ) = 𝑤𝑙 − 2 2 2 2 𝑀 = 5𝑥 − 𝑥 2 Para demostrar que el momento flector en P es independiente del segmento estudiado, vamos a ver qué pasa en PQ. Hay dos fuerzas: Una fuerza hacia arriba

𝑤𝑙 2

a una distancia 𝑙 − 𝑥 de 𝑃.

Una fuerza hacia abajo 𝑤(𝑙 − 𝑥) a una distancia

𝑙−𝑥 2

de 𝑃.

Entonces, 𝑀=

(𝑙 − 𝑥) 𝑤𝑙 (𝑙 − 𝑥) − 𝑤(𝑙 − 𝑥) 2 2 𝑀=

𝑤𝑙 𝑤 𝑥 − 𝑥2 2 2

Sustituyendo el valor de M en la ecuación 𝑀 = 𝐸 𝑙 𝑦′′ teniendo en cuenta que 𝑦 = 0 cuando 𝑥 = 0 y cuando 𝑥 = 𝑙, tenemos: 𝐸 𝑙 𝑦 ′′ =

𝑤𝑙 𝑤 𝑥 − 𝑥2 2 2

Integrando: 𝐸𝑙𝑦=

𝑤𝑙 3 𝑤 4 𝑥 − 𝑥 + 𝑐1 𝑥 + 𝑐2 12 24

Para las condiciones dadas 𝑐2 = 0 y 𝑐1 = −

𝑤𝑙3 24

Por tanto: 𝑦=

𝑤 (−𝑥 4 + 2𝑙𝑥 3 − 𝑙 3 𝑥) 24𝐸𝐼

y, en particular, para este caso: 𝑦=

1 (−𝑥 4 + 10𝑥 3 − 125𝑥) 24𝐸𝐼

Ejemplo 02: Viga cantilever. (Apoyada en un extremo y libre en el otro). Una viga uniforme de longitud 𝑙 = 5𝑚 y con 𝑤 = 2 𝐾𝑔/𝑚 tiene libre un extremo. Hallar la curva elástica y la flecha del extremo libre. Para calcular M, es más sencillo estudiar el segmento a la derecha de P, en el que actúa la fuerza 𝑤(𝑙 − 𝑥): 𝑙−𝑥 𝑤 𝑀 = −𝑤(𝑙 − 𝑥) ( ) = − (𝑙 − 𝑥)2 = −(5 − 𝑥)2 2 2

Sustituyendo en la ecuación: 𝑀 = 𝐸 𝐼 𝑦′′ Tenemos:

𝐸 𝐼 𝑦′′ =

−𝑤(𝑙 − 𝑥)2 2

con las condiciones siguientes: cuando 𝑥 = 0, 𝑦 = 0, y la pendiente de la recta tangente 𝑦′ = 0. Integrando: 𝐸 𝐼 𝑦′ = Para 𝑥 = 0, 𝑦 = 0, entonces 𝑐1 = −

𝑤 1 ∗ (𝑙 − 𝑥)3 + 𝑐1 2 3 𝑤 3 𝑙 6

Integrando de nuevo 𝐸𝐼𝑦=−

𝑤 𝑤 (𝑙 − 𝑥)4 − 𝑙 3 𝑥 + 𝑐2 24 6

𝑤

Para 𝑥 = 0, 𝑦 = 0, entonces 𝑐2 = 24 𝑙 4 𝐸𝐼𝑦=−

∴ 𝑦=

𝑤 𝑤 𝑤 (𝑙 − 𝑥)4 − 𝑙 3 𝑥 + 𝑙 4 24 6 24

𝑤 (−𝑥 4 + 4𝑙𝑥 3 − 6𝑙 2 𝑥 2 ) 24𝐸𝐼

La flecha será la deformación máxima que ocurre cuando 𝑥 = 𝑙, 𝑦𝑚𝑎𝑥 = −

𝑤 4 𝑙 8𝐸𝐼

En particular, para este caso, la curva elástica es:

𝑦=

1 (−𝑥 4 + 20𝑥 3 − 150𝑥 2 ) 12𝐸𝐼

y la flecha: 𝑦𝑚𝑎𝑥 =

625 4𝐸𝐼

Ejercicio resuelto A. DETERMINE LA ECUACIÓN DE LA CURVA DE DEFLEXIÓN SUJETA A LAS CONDICIONES DE FRONTERA 𝑤0

𝑑2 𝑀 = 𝑤0 𝑥 𝑑𝑥 2 𝑑2 (𝐸𝐼𝑦 ′′ ) 𝑑4 𝑦 = 𝐸𝐼 = 𝑤0 𝑥 𝑑𝑥 2 𝑑𝑥 4 𝑑4 𝑦 𝑤0 𝑥 = 𝑑𝑥 4 𝐸𝐼 La solución complementaria está dada por: 𝑑4 𝑦 =0 𝑑𝑥 4 De donde:

𝑚4 = 0

∴ 𝑦𝑐 = 𝐶1 + 𝐶2 𝑥 + 𝐶3 𝑥 2 + 𝐶4 𝑥 3

𝑚1 = 0 𝑚2 = 0

→ →

𝑦1 = 1 𝑦2 = 𝑥

𝑚3 = 0 𝑚4 = 0

→ →

𝑦3 = 𝑥 2 𝑦4 = 𝑥 3

Por otro lado, el operador que anula a 𝑤0 𝑥 es 𝐷 2 , por lo que la solución particular está dada por: 𝑚5 = 0 → 𝑦5 = 𝑥 4 𝑚2 = 0

𝑚6 = 0

De donde:

→

𝑦6 = 𝑥 5

𝑦𝑝 = 𝐴𝑥 4 + 𝐵𝑥 5 Derivando:  𝑦𝑝 ′ = 4𝐴𝑥 3 + 5𝐵𝑥 4  𝑦𝑝 ′′ = 12𝐴𝑥 2 + 20𝐵𝑥 3  𝑦𝑝 ′′′ = 24𝐴𝑥 1 + 60𝐵𝑥 2  𝑦𝑝 (4) = 24𝐴 + 120𝐵𝑥 1 Reemplazando en la E.D.: 24𝐴 + 120𝐵𝑥 1 = Se debe cumplir que:

𝑤0 𝑥 𝐸𝐼

 24𝐴 = 0 𝑤  120𝐵 = 𝐸𝐼0 𝑤

0 Se tiene que 𝐴 = 0 ; 𝐵 = 120𝐸𝐼

∴ 𝑦𝑝 = Finalmente:

𝑤0 𝑥5 120𝐸𝐼

𝑦 = 𝑦𝑐 + 𝑦𝑝 = 𝐶1 + 𝐶2 𝑥 + 𝐶3 𝑥 2 + 𝐶4 𝑥 3 + Derivando: 𝑤0  𝑦 ′ = 𝐶2 + 2𝐶3 𝑥 + 3𝐶4 𝑥 2 + 24𝐸𝐼 𝑥4

𝑤0 𝑥5 120𝐸𝐼

𝑤

 𝑦 ′′ = 2𝐶3 + 6𝐶4 𝑥 + 6𝐸𝐼0 𝑥 3 Las condiciones de frontera son: 𝑦(0) = 0 , 𝑦′′(0) = 0 ; 𝑦(𝐿) = 0 , 𝑦′′(𝐿) = 0  𝑦(0) = 𝐶1 = 0 → 𝐶1 = 0 ′′  𝑦 (0) = 2𝐶3 = 0 → 𝐶3 = 0 𝑤0 3 𝑤 ′′ (𝐿)  𝑦 = 6𝐶4 𝐿 + 𝐿 =0 → 𝐶4 = − 0 𝐿2 6𝐸𝐼

 𝑦(𝐿) = 𝐶2 𝐿 + 𝐶4 𝐿3 + 7𝑤

𝑤

36𝐸𝐼

𝑤0 𝐿5 120𝐸𝐼

=0 𝑤

→

𝐶2 = 𝑤

7𝑤0 4 𝐿 360𝐸𝐼

0 0 0 0 ∴ 𝑦 = 360𝐸𝐼 𝐿4 𝑥 − 36𝐸𝐼 𝐿2 𝑥 3 + 120𝐸𝐼 𝑥 5 = 360𝐸𝐼 (7𝐿4 𝑥 − 10𝐿2 𝑥 3 + 3𝑥 5 )

…Solución general

B. GRAFIQUE LA CURVA DE DEFLEXIÓN CUANDO: 𝑤0 = 36𝐸𝐼 y 𝐿 = 1 Para dichos valores: 𝑦=

1 (7𝑥 10

− 10𝑥 3 + 3𝑥 5 )

…Solución particular

Cuya gráfica es:

(Recordemos que 0 < 𝑥 < 1)

Conclusión La solución de esta E.D. es vital para prevenir el valor máximo de deflexión que van a sufrir las estructuras de una construcción en función del módulo de elasticidad del material y las fuerzas que se aplican (cargas) es muy importante para prevenir fallas y daños. Es preciso se realice el análisis previo a la elaboración del proyecto tomando en cuenta la mecánica de rocas, la sección transversal de la obra y la elección del material a usar en las vigas. Esta ecuación, entre sus principales usos tiene: 

Cálculo de punto máximo de deflexión



Aplicación en diseño de estructuras



Ubicación de puntos estratégicos donde colocar aros



Optimización de materiales

Bibliografía

 Calixto Molina, M. (2002). Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Orden  

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