Solução Equações Não Lineares.pdf

Universidade Federal do Pará Instituto de Tecnologia

Faculdade de Engenharia Química Disciplina: Análise Numérica

Solução de equações não lineares

Belém/PA 2016

Fundamentos Seja uma equação de uma única variável na forma:

f x  0 A solução dessa equação, também chamada de raiz, é um valor numérico de x que satisfaz a equação. Uma equação pode não ter solução ou várias, graficamente:

Obs: para equações simples, o valor de x pode ser determinado

analiticamente, porém na maioria dos casos, a solução analítica de uma raiz é impossível. Ex: seja a área do segmento As de um circulo com

raio r (área sombreada). O objetivo é determinar o ângulo (θ) conhecendo-se o valor de As e r, assim a área pode ser expressa por:

1 2 A s  r    Sen  2

Pela equação, observa-se que não é possível obter θ de forma explicita, dessa forma faz-se necessário o uso de uma abordagem numérica. A solução numérica de f(x)=0, consistem em um valor de x que satisfaz

de forma aproximada, isto é, o valor de f(x) próximo de zero. Para determinar o ângulo θ para um circulo de raio r=3m e As=8m2,

que satisfaça:

1 2 A s  r    Sen   8  4,5    Sen  2 f     8  4,5    Sen   0

Solução: 1 passo: plotar o gráfico da função f(θ)= 8 – 4,5(θ-Sen(θ)). 2 passo: verificar o intervalo na qual a solução intercepta o eixo x, neste caso aproximadamente θ=2,4. 3 passo: substituir o valor de θ=2,4 e verificar se o valor de f(θ) está

próximo de zero. Substituir em seguida o valor θ=2,435 e verificar novamente.

Para =2,4  f     0, 2396

Para =2,43  f     0,00368338

Podemos dizer que a ultima solução é a mais precisa, porém não exata, dessa forma na analise numérica é necessário

estabelecer uma precisão. Para =2,43  f     0,00368338

Na solução de equações, os métodos numéricos se dividem em

dois grupos: confinamento e aberto.

No confinamento, um intervalo é identificado, e usando-se um método numérico, reduz-se o tamanho do intervalo até que a distancia entre os pontos seja menor que a precisão desejada.

No aberto, usa-se uma estimativa inicial, próximo da solução real, obtém-se valores precisos, mas em certos casos podem

não levar a solução.

Métodos de confinamento: método da bisseção e método regula-falsi. Métodos aberto: método de Newton, método da Secante e iteração do ponto fixo. Estimação de erros em soluções numéricas

- Erro real: diferença entre a solução exata e a solução numérica, geralmente não se conhece a solução exata, portanto não pode ser calculado. E real  exata  numérica

- Tolerância em f(x): em vez de considerar o erro na solução, é possível considerar o desvio de f(xSN) em relação a zero, isto é f(xexata)=0. A tolerância em f(x) é definida como o valor absoluto entre a diferença entre f(xexata) e f(xSN): Tolf (x)  f  x exata   f  x SN   0    

- Tolerância na solução: a tolerância é a máxima quantidade na qual a solução exata pode desviar da solução numérica. Para um intervalo [a,b], pode-se assumir que a solução numérica seja o ponto médio desse intervalo, isto é: ab x SN  2

Dessa forma, a tolerância é igual à metade da distância entre elas, isto é: ba Tol  2

- Erro relativo real: E relativo real

solexata  solnumérica  solexata

- Erro relativo estimado: E relativo estimado

n 1 solnnumerica  solnumerica  1 solnnumerica

Método da Bisseção - Encontra a raiz de uma função na forma f(x)=0 em um dado intervalo [a,b]. a

x

b

Teorema de Bolzano Se f(a).f(b)<0, então existe pelo menos uma raiz em [a,b].

Procedimento: a

x1

b

ab x1  2

Calculo f(x1), se f(x1)=0, x1 é a raiz. Se não for zero, usa-se o teorema de Bolzano.

A raiz nesse caso, vai estar entre a e x1 ou x1 e b. Como saber qual lado está a raiz:

f(a).f(x1)<0, se der um valor menor que zero, a raiz estará entre a e x1, caso o valor for maior que zero, a raiz estará entre x1 e b. a  x1 b x2  Se f(a).f(x1)<0 a x2 x1 2 Usando o teorema de Bolzano, f(a).f(x2)<0, em seguida: a

x3

x2

a  x2 x3  2

O processo de bisseção será finalizado quando uma tolerância ou limite de erro seja atingido. Algoritmo: 1 – Escolher o intervalo, encontrando os pontos a e b, onde existe a solução. Os pontos são encontrados plotando-se o gráfico de f(x) vs x. 2 – Calcular a primeira estimativa da solução numérica, por: ab x1  2

3 – Determinar se a solução está entre a e x1 ou entre x1 e b, pelo teorema de Bolzano.

4 – Selecione o novo subintervalo que contém a solução, isto é, a e x1 ou x1 e b e volte para o passo 2.

5 – Os passos 2 e 4 são repetidos até que a tolerância ou erro seja atingido. Quantas iterações são realizadas: n

log  b  a   log   

  erro

log  2 

; próximo inteiro

Apresentação dos resultados: i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

a

b

Xi

F(a) F(b) F(Xi) Erro

MÉTODO REGULA FALSI (Falsa Posição ou Interpolação linear) f(x)

Método de confinamento, usado para obter a solução de uma equação na forma f(x)=0 em um dado intervalo [a,b]. A solução tem início com a obtenção de um intervalo [a1,b1], que mostra intervalo da solução. Após a obtenção dos intervalos, os valores das funções nos intervalos nos pontos são f(a1) e f(b1), é traçado uma reta que intercepta o eixo para a primeira estimativa.

f(b1)

a1

a2

solução f(a1)

b1

x

Para a segunda iteração, o novo intervalo será [a2,b2], calcula-se f(a2), em seguida é traçado uma linha reta. A linha reta intercepta o eixo x para a nova estimativa.

Para a terceira iteração, o novo intervalo será [a3,b3], calcula-se f(a3), em seguida é traçado uma linha reta. A linha reta intercepta o eixo x para a nova estimativa. As iterações continuam, até se alcançar a precisão da solução numérica desejada.

f(x)

f(b1)

a1

f(a1)

xSN1 a2

f(a2)

xSN2 a3

solução b1 b2 b3

x

A equação da reta que conecta os pontos (b, f(b)) e (a,f(a)) é expressa por:

y

f  b  f a  ba

 x  b  f b

O ponto xSN onde a reta cruza o eixo é definido pela substituição de y=0 na equação da reta, logo:

x SN 

af  b   bf  a  f b  f a 

Quantas iterações são realizadas: log  b  a   log    n ; próximo inteiro log  2    erro

Algoritmo:

1 – Escolher o intervalo, encontrando os pontos a e b, onde existe a solução. Os pontos são encontrados plotando-se o gráfico de f(x) vs x. 2 – Calcular a primeira estimativa da solução numérica, por: x SN 

af  b   bf  a  f b  f a 

3 – Determinar se a solução está entre a e x1 ou entre x1 e b, pelo teorema de Bolzano. 4 – Selecione o subintervalo que contém a solução como novo intervalo e volte para o passo 2.

Os passos 2 a 4 são repetidos até que uma tolerância ou erro sejam alcançados. n n 1 x  x Apresentação dos resultados: E erro relativo estimado  sn n 1 sn x sn i a b Xi F(a) F(b) F(Xi) Erro 0 1 2 3 4 5 6 7

x SN 

af  b   bf  a  f b  f a 

Método de Newton (Newnton-Raphson)

Solução na forma f(x)=0, onde f(x) é contínua e diferenciável, e sua equação possui uma solução próxima a um ponto dado. A partir da série de Taylor, pode-se obter a fórmula iterativa para a solução da equação.

f(x) f(x1)

Para o ponto x1 a expansão de f(x), é expressa: f(x2) f(x3)

Se o ponto x2 é solução de f(x)=0, e x1 é um ponto próximo de x2.

solução x4

x3

x2

x1

x

Considerando apenas os dois primeiros termos na série, uma solução aproximada pode ser obtida para x2:

Portanto:

De forma geral, a próxima solução xi+1 pode ser obtida a partir da solução atual, isto é:

Algoritmo: 1 – Escolher um ponto x1 como tentativa inicial de solução; 2 – Para i=1,2,............., até que o erro seja menor que um valor especificado,

calcule xi+1. Os erros usados no cálculo do método de Newton, podem ser:

E erro relativo estimado

x x  n 1 x sn n sn

n 1 sn

Apresentação dos resultados: i 0 1 2 3 4 5 6

Xi

F(Xi) F’(Xi

F(Xi)/F’(Xi)

Erro

Método da Secante O método usa dois pontos na vizinhança da solução estimada para determinar a nova solução estimada. Forma aproximada do método de Newton. f(x)

f(x)

f(x1)

f(x1) f(x2) x2

solução

x3 solução

f(x2)

x1

x

x3

x2

x1

x

Da definição de derivada f’(x):

f '  xi  

f  x i   f  x i 1  xi  xi 1

onde xi e xi-1 são duas aproximações para a raiz. Sabendo que: f  xi  xi 1  xi  f '  xi 

f  xi  xi 1  xi  f  x i   f  x i 1  xi  xi 1

xi  xi 1    xi 1  xi  f  xi  f  x i   f  x i 1 

Método da Iteração do Ponto Fixo Resolve uma equação na forma f(x)=0. Para implementá-lo, rescreve-se a equação em duas funções que sejam equivalentes, isto é:

y  x f x  0   y  g  x  onde g(x) é a função de iteração. A solução é conhecida como ponto fixo, sendo obtida pela seguinte processo iterativo:

xi 1  g(x i )

A função de iteração pode apresentar diferentes formas, logo diferentes funções de iteração podem ser obtidas. O método converge se na vizinhança do ponto fixo, a derivada de g(x) possui um valor absoluto menor que 1, isto é:

g'  x   1 O critério de parada para o método da secante e ponto fixo é o mesmo do método de Newton-Raphson.