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V SIMPOSIO INTERNACIONAL DE PLANEAMIENTO DE MINADO

GEOESTADÍSTICA PARA VETAS CON GEOMETRÍA NO EUCLIDIANA

Alfredo Marín Suárez, Ph.D. en Geoestadística École Nationale Supérieure Des Mines De Paris GEOSTATS DR. MARIN E.I.R.L. [email protected] www.geoestadistica.org

HISTORIA Madame Curie (Polonia - Francia)

Henri Poincaré (Francia)

(1854 – 1912)

Primer congreso Solvay (1911)

École Polytechnique – École Nationale Supérieure des Mines de Paris

Paul Lévy (Francia)

Georges Matheron (Francia)

Alfredo Marín (Perú)

(1886 – 1971)

(1930 – 2000)

(1943 – …)

École Polytechnique – École Nationale Supérieure des Mines de Paris

École Polytechnique – École Nationale Supérieure des Mines de Paris

École Nationale Supérieure des Mines de Paris (Discípulo de G. Matheron)

Estudiantes de la Escuela de Minas UNI (Perú)

-J. Aldujar -A. Teves -R. Cardenas -R. Ponce etc

Discipulos de George Matheron Alfredo Marín Marco Alfaro Jacques Rivoirard Pierre Chauvet

Doctoral Graduation Ceremony Alfredo Marín Fontainebleau 1978

Actual asesor Geoestadístico de David Lowell

Precursor del descubrimiento de La Escondida y descubridor de 16 yacimientos en el mundo. Activador de Pierina y descubridor del verdadero potencial de Toromocho, yacimiento que encomendó al Dr. Alfredo Marín la estimación de recursos y reservas con Simulación Condicional con n variables, aplicando el método Bandas Rotantes de su tesis doctoral

André Journel 1967

Alain Marechal Centro de Geoestadística Codelco - U. Chile

Chuquicamat a

Ecole Nationale 1970

Santiago Teniente

Simulación de la explotación a mediano y largo Plazo.

Ley Tiempo

Bogotá

Lima

Centromin Minero Perú UNI Arequipa 1973 La Paz

Alain Marechal y Alfredo Santiago de Chile Marín (U - Chile)

Huarón Antamina Lima

Casapalca Centromin

C.Verde

Minero Perú

NORTE AMERICA Universidad de Alberta 2000

H. Parker USA 1979 Universidad Stanford 1979

A. Marín 1979

Montreal (Michel David ) 1976 ALMADÉN España (Formación de grupo de Geoestadística)

Universidad Colorado 1983

André Journel

UNI

Canadá (2016)

DIFUSIÓN DE LA GEOESTADÍSTICA EN AMÉRICA POR EGRESADOS DE LA UNI

Colorado – USA (1983)

México (2017)

Egresados UNI

Argentina (2010) Patagonia

TRABAJO PRESENTADO Y APROBADO EN EL CONGRESO MUNDIAL DE GEOESTADÍSTICA

Jacques Rivoirard Lontuille Actual Director del Centro de Actual investigador del Centro de Geoestadística de Fontainebleau Geoestadística de Fontainebleau

RESUMEN

Este artículo presenta la aplicación práctica del aporte de introducir un 'triedro móvil' modificado haciendo uso de la teoría abstracta de la Geometría de Riemann, que nos puede permitir modelar las funciones aleatorias L2 (Ω, σ, P) de la geoestadística, en un plano especial 2-D dentro de tal triedro, una característica no disponible en ningún software existente en el mercado.

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Antecedentes Esta metodología esta motivada por la irregularidad de las vetas en: grosor de veta, rumbo, buzamiento y dominios parciales.

Sección transversal de un sistema de vetas con su complejidad frecuente (Bateman, 1982)

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Problema a resolver: La inexactitud y subjetividad al usar software que necesitan un modelamiento geológico tridimensional complejo al elaborar el Sólido Geológico y agravada con la concepción de bloques tridimensionales. Objetivos: • Evitar la construcción del Sólido Geológico, dada su subjetividad. • Evitar hacer bloques dentro de una veta angosta, dado que así se está empleando los software para bloques tridimensionales que corresponden a yacimientos masivos y no a vetas, que ajustan la mina al software del mercado. • Estimar el tonelaje sin depender de las subjetividades de la construcción del Sólido Geológico y su gran diferencia en la conciliación de recursos al considerar bloques en vetas angostas.

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Marco Teórico

MARCO TEÓRICO VARIEDAD DE RIEMANN Una variedad diferenciable de dimensión n es un conjunto 𝑀 y una familia de mapeos biyectivos 𝑥𝛼 : 𝑈𝛼 ⊂ ℝ𝑛 → 𝑀 de conjuntos abiertos 𝑈𝛼 de ℝ𝑛 en M tal que: 1 ⋃𝛼 𝑥𝛼 𝑈𝛼 = 𝑀. (2) Para cualquier 𝛼, 𝛽 con 𝑊 = 𝑥𝛼 𝑈𝛼 ⋂𝑥𝛽 𝑈𝛽 ≠ 𝜙, los conjuntos 𝑥𝛼−1 (𝑊) and 𝑥𝛽−1 (𝑊) son abiertos en ℝ𝑛 y los mapeos 𝑥𝛼−1 𝜊𝑥𝛽 son diferenciables. (3) La familia

⋃𝛼 , 𝑥𝛼

es maximal relativo a las condiciones (1) y (2).

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CONDICIÓN DE DIFERENCIABILIDAD

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Espacio Tangente en Variedades: Sea 𝑀 una variedad diferenciable, y sea 𝑝 un punto de 𝑀. Un mapeo lineal 𝑣: 𝐶 ∞ (𝑀) → ℝ es llamado una derivación en p si satisfice la regla de Leibniz: 𝑣 𝑓𝑔 = 𝑓 𝑝 𝑣𝑔 + 𝑔 𝑝 𝑣𝑓; ∀𝑓, 𝑔 ∈ 𝐶 ∞ (𝑀) El conjunto de todas las derivaciones 𝐶 ∞ (𝑀) en 𝑝 , denotado por 𝑇𝑝 𝑀, es llamado espacio tangente a 𝑀 en 𝑝. Un elemento de 𝑇𝑝 𝑀 es llamado un vector tangent en 𝑝. Una métrica Riemanniana en una variedad diferenciable 𝑀 es una correspondencia que asocia a cada punto 𝑝 de 𝑀 un producto interno , 𝑝 en el especio tangente 𝑇𝑝 𝑀, que varía diferenciablemente, esta métrica es también llamada tensor métrico. Una variedad diferenciable dotado con una métrica Riemanniana es llamada variedad Riemanniana (Lee, 2013; Do Carmo, 1979).

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APLICANDO METODOLOGÍA EN EL ESPACIO EUCLIDIANO ℝ𝟑 Un ejemplo de variedad Riemanniana en el espacio Euclidiano ℝ3 es una superficie de dimensión 2 con la métrica usual de ℝ3 y el espacio tangente aquí es un plano. Superficie Regular: Un subconjunto 𝑆 ⊂ ℝ3 es una superficie regular si, para cada 𝑝 𝜖 𝑆 existe una vecindad 𝑉 en ℝ3 y un mapeo 𝑥: 𝑈 → 𝑉 ∩ 𝑆, de un conjunto abierto 𝑈 ⊂ ℝ2 en 𝑉 ∩ 𝑆 ⊂ ℝ3 tal que.

a) 𝑥 es diferenciable. b) 𝑥 es homeomorfismo. c) ∀𝑞 ∈ 𝑈, 𝑑𝑥𝑞 : ℝ2 → ℝ3 es uno a uno.

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SUPERFICIE REGULAR

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Triedro Propuesto por Dr. Alfredo Marin: Ahora construimos un triedro, dado un punto en una superficie y un vector tangente a la superficie en ese punto, esta construcción es diferente del triedro de Frenet-Serret, en casos muy específicos de la geometría de la superficie, estos pueden coincidir. Sea 𝑆 ⊂ ℝ3 una superficie regular, una parametrización (𝑥, 𝑈) en el punto 𝑝 ∈ 𝑆 y una curva parametrizada regular 𝛼: ] − 𝜀, 𝜀[→ ℝ3 contenido 𝑆 tal que 𝛼 ′ 0 = 𝑣 y 𝛼 0 = 𝑝 , claramente 𝑣 ∈ 𝑇𝑝 𝑆. En el plano tangente 𝑇𝑝 𝑆 rotamos el vector 𝑣 un ángulo 𝜋/2 en sentido antihorario formando una base para el plano tangente 𝑇𝑝 𝑆. Ahora tomamos el vector producto cruz 𝑤 = 𝑣 × 𝑢 y formamos el triedro propuesto.

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TRIEDRO PROPUESTO

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Veta Hada 4 Yacimiento Polimetálico de Cu, Pb, Zn, Ag Provincia Metalogenética de la mina RAURA

¡Por consiguiente la veta puede modelizarse mediante una superficie de Riemann!

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Incertidumbre de continuidad

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Se identifica los canales X, Y, Z de muestreo y/o las muestras de taladros con sus leyes y anchos de veta real, de las labores. N

T B

ABCD, Bloque unitario en el plano

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COMPARACIÓN DE LOS TRES MÉTODOS

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Veta Hada 4 de Raura Zn %: Método del Triedro vs Kriging Ordinario vs Método Manual

Zn %

8 6 4

Zn%_KO

2

Zn%_TRI Zn%_MM

0

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 Contornos de comparación

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Veta Hada 4 de Raura Tonelaje: Método del Triedro vs Kriging Tonelaje Ordinario vs Método Manual 25,000.00 20,000.00 15,000.00 TON_KO 10,000.00

TON_TRI

5,000.00

TON_MM

0.00 1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 Contornos de comparación

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CONCLUSIÓN PRÁCTICA: 1. Los triedros permiten hacer el seguimiento a las inflexiones de una veta; es decir, cambiando continuamente el sistema de coordenadas, a manera de “perseguir” a las vetas y a sus tajeos, mejor aún cuando son vetas muy delgadas, por ejemplo en vetas de un promedio de 5 cm o algo más.

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2. Con el uso del triedro móvil propuesto, ya no se necesita construir el modelo

geológico concebido en su forma clásica en los software de tres dimensiones existentes en el mercado. En efecto, la construcción del modelo geológico en vetas, concebido por los software de tres dimensiones, es engorroso, dificultoso e inexacto; al no disponer de información apropiada para su construcción.

3. De esta forma tenemos el diseño de la metodología que va a permitir , apoyar a la realización de estudios de paragénesis y estimar o simular los recursos a mediano y corto plazo, para que luego el ingeniero de minas haga el cálculo de reservas minables.

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TEÓRICA:

• Con este trabajo se supera la concepción clásica de la Geoestadística de Matheron que usa la geometría Euclidiana, evolucionándola por una geoestadística NO Euclidiana. • Con este trabajo, se espera abrir un nuevo campo de investigación en aplicaciones teóricas y prácticas en Minería, Geología, Geofísica, Petróleo, SIG, Geodesia, Curvatura del Universo en Astronomía, entre otros dominios de las Variables Regionalizadas, reformulando los algoritmos de Geoestadística actual con Métricas de la Geometría Riemanniana, y construyendo una Geoestadística No Euclidiana de Riemann.

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¡MUCHAS GRACIAS! [email protected]

www.geoestadistica.org GEOSTATS DR. MARÍN E.I.R.L.

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