Exercices élémentaires De Géométrie Affine

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Publication de l'l. R. E. M. de Strasbourg

LE LIVRE du PROBLEME fascicule 2

exercices élémentaire de géométrie affine

CEDIC 1973 LYON - PARIS

12, rue du Moulin de la Pointe - 75013 Paris

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© CEDIC 1973

Droits de traduction et de reproduction réservés pour tous pays. Toute reproduction, même partielle, de cet ouvrage est interdite. Une copie ou reproduction par quelque procédé que ce soit, photo graphie, microfilm, bande magnétique, disque ou autre, constitue une contrefaçon passible des peines prévues par la loi du 11 mars 1957 sur la protection des droits d'auteur

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exercices élémentaires de

géométrie affine

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Le LIVRE DU PROBLEME est une œuvre collective. Sept rédacteurs, animateurs de l'I.R.E.M. ou collaborateurs bénévoles, ont contribué essentiellement à la conception et à la rédaction du présent fascicule. Ils ont bénéficié des conseils de nombreux collègues, de l'I.R.E.M. de Strasbourg ou d'ailleurs.

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SOMMAIRE Préface

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Première partie Chapitre 0 Ensembles gradués Chapitre 1 La théorie des parallèles Chapitre 2 Le parallélogramme Le théorème du point fixe Chapitre 3 Chapitre 4 Quelques transformations affines du plan Chapitre 5 Problèmes divers Chapitre 6 Abaques

15 29 39 49 55 59 63

Seconde partie Solutions

67

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PRÉFACE

s'il

L'enseignement de la géométrie en quatrième n'a de valeur que s'accompagne d'une initiation à la résolution de problèmes.

La digestion docile de connaissances qui ne débouche sur aucune activité de l'esprit est nuisible à la formation intellectuelle. Ce fascicule est un recueil commenté d'exercices destinés à alimenter un enseignement de géométrie affine élémentaire. Les énoncés sont rédigés à l'intention des professeurs. Ceux-ci sont invités à les choisir et à les adapter au niveau de leur classe, en procédant, si nécessaire, aux légères modifications de vocabulaire qui s'imposent. Conformément à ce qui est longuement expliqué dans le fascicule 1 (Pédagogie de l'exercice et du problème), on adaptera les énoncés à chaque finalité pédagogique, en présentant un thème, suivant les besoins, sous la forme d'un exercice d'exposition, d'une épreuve de contrôle, d'une manipulation…

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PRÉFACE

De nombreux exercices sont accompagnés d'une solution abrégée ou d'un commentaire. Celui-ci figure soit â la suite du texte, soit dans la seconde partie du fascicule. Le corrigé suggéré ne doit pas être servi tel quel. L'enseignant doit tirer le meilleur parti du thème. Renonçant à présenter dogmatiquement "la" solution-type, le professeur s'efforcera, au contraire, de s'inspirer des idées surgies parmi les élèves, pendant la recherche. Il montrera comment, cri progressant méthodiquement dans certaines voies, on peut aboutir â la réponse. Le professeur aura intérêt à chercher personnellement les problèmes et à résister à une lecture prématurée du commentaire. On transmet d'autant mieux l'art de découvrir que l'on a buté soimême sur les obstacles et qu'on est parvenu à les surmonter. L'introduction à la géométrie élémentaire peut se concevoir de diverses manières. Par exemple, quelques auteurs préconisent une initiation précoce à l'algèbre linéaire. Nous les invitons à présenter un travail analogue au notre pour accompagner leur enseignement. Notre point de vue est plus géométrique et se conforme davantage à l'esprit du programme actuellement cri vigueur. Un rôle primordial est attribué à l'étude des graduations à laquelle le chapitre 0 est consacré. La notion d'ensemble gradué intervient constamment dans la pratique. La plupart des instruments de mesure usuels que les enfants ont l'occasion de contempler et de manipuler repèrent la position d'un point (d'une aiguille) par un nombre. Ils conduisent à envisager une bijection entre un ensemble de points et un ensemble de nombres réels. Mais les ensembles munis d'une seule graduation (couramment utilisés pour effectues- des repérages) offrent peu de prise aux raisonnements mathématiques. La situation devient plus riche

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PRÉFACE

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lorsqu'on envisage simultanément une famille de graduations avec la possibilité d'effectuer des changements de graduations, grâce à des opérations explicitement décrites. Nous préférons nommer ensemble gradué affine (au lieu de droite affine selon la terminologie du programme) le modèle mathématique le plus intéressant : celui où ces opérations s'obtiennent en composant a) des changements d'origines ; b) des changements d'échelles. Dans le cas général, la formule de passage s'écrit x a ( x − x0 ) (avec a ≠ 0) (ce que les commentaires officiels du programme écrivent, d'une façon moins suggestive, f ( M ) = a g ( M ) + b ). On s'intéresse alors aux propriétés affines : ce sont celles qui ne dépendent pas du choix d'une graduation particulière, parmi les graduations "permises". De même, dans les sciences de la nature, on dit qu'une propriété a un sens physique, lorsqu'elle est indépendante du choix des repères (origines, unités, trièdres de référence, etc.). Pour qu'un ensemble E puisse être muni d'une structure d'ensemble gradué affine, il faut et il suffit qu'il soit possible d'établir une bijection entre E et R. Par exemple, Cantor a démontré que Rn pouvait être mis en bijection (discontinue) avec R. Mais il serait saugrenu d'évoquer ce théorème difficile devant les élèves de l'enseignement secondaire. Par contre, on attirera l'attention sur les nombreux exemples d'ensembles gradués affines, familiers et utiles, qui se présentent concrètement sous un aspect non rectiligne. Le problème 0.2.8 utilise un raisonnement valable, non seulement sur un modèle tiré à la règle, mais encore à propos d'une route présentant des virages, graduée grâce à l'abscisse curviligne.

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PRÉFACE

Pour passer de la géométrie unidimensionnelle à celle du plan, on introduit l'axiome de Thalès qui renseigne sur les liens qui unissent les structures affines de toutes ses droites. Nous groupons les exercices de géométrie plane, autour de trois "outils fondamentaux": le théorème des parallèles, le théorème du point fixe, et le théorème des segments homothétiques (chapitres 1 et 3). On présente ensuite le parallélogramme : cette figure est utilisée, soit isolément, soit insérée dans des réseaux. Le chapitre 4 traite de quelques transformations affines usuelles. On regroupe au chapitre 5 des situations pouvant donner lieu à des problèmes P (au sens du fascicule 1). Par souci d'application, le chapitre 6 traite de quelques abaques. C'est l'occasion d'opérer une synthèse entre le maniement des graduations sur des droites et l'utilisation des théorèmes fondamentaux. Il conduit à des travaux pratiques, à des manipulations (chapitre 5 du fascicule 1). Signalons la différence essentielle entre les nouvelles et les anciennes représentations de la géométrie. Les programmes traditionnels ne distinguaient pas suffisamment les propriétés affines (milieu, parallélisme, etc.) des propriétés métriques (distances, orthogonalités, angles,...). Les nouveaux programmes les séparent radicalement. Les cas d'égalité et de similitude sont définitivement jetés au rebut. Il restait à prouver que la nouvelle présentation ne réduit pas à néant le patrimoine de beaux problèmes accumulés par nos prédécesseurs, et permet d'exploiter des idées inédites. Le présent fascicule prouve que tous les théorèmes traditionnels de la géométrie affine élémentaire sont avantageusement abordés dans le nouveau contexte. Chacun en conviendra, dès qu'il se sera habitué à manier les graduations, avec l'aisance de nos pères manipulant des rapports de longueurs. Le mode d'emploi des graduations se réduit d'ailleurs à quelques règles méthodologiques simples que nous explicitons (chapitre 0, paragraphe 2).

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Ce fascicule se limite volontairement ù une première initiation: nous n'y incluons pas d'applications plus élaborées de l'homothétie et des transformations affines générales. D'autres fascicules consacrés au calcul barycentrique, à la convexité, au calcul vectoriel, à l'étude des axiomes d'incidence, sont en préparation. Si ce recueil de thèmes d'énoncés suscite un regain d'activité intellectuelle dans nos classes, et aide à contrecarrer le courant de passivité lié à un enseignement dogmatique, il aura pleinement atteint son objectif.

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Première partie

CHAPITRE 0

ENSEMBLES GRADUÉS 0. 1. Exemples Les sujets qui suivent sont des thèmes de réflexion ; le professeur leur donnera la forme qu'il jugera appropriée : illustration d'un cours oral, question d'intelligence, manipulation, exercice écrit ou oral. 0.1.1. Thermomètre On gradue le thermomètre à mercure de la façon suivante. On le plonge dans la glace fondante, ce qui fournit la graduation 0, puis dans l'eau bouillante, ce qui fournit la graduation 100. On divise l'intervalle [0 ; 100] du tube de quartz en 100 parties égales, grâce à une machine à diviser. On obtient ainsi l'échelle de température de Celsius ou centigrade.

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ENSEMBLES GRADUÉS

On étalonne le thermomètre à alcool en le graduant par comparaison avec un thermomètre à mercure; il n'a pas ses divisions régulièrement espacées. Pourquoi ? Il donne cependant la même échelle de température. Commentaires Les élèves ont la notion d'appareils gradués. On dégagera grâce à eux l'idée d'une bijection entre un ensemble et un intervalle de R, puis l'idée de changement possible de graduation. Le double décimètre donne l'exemple d'une graduation dans N avec une sous-graduation à une décimale. Il est immédiat d'envisager sur la même règle une graduation en millimètres, selon la formule de passage x ' = 10 x . Tout point se trouvant entre deux traits successifs peut être repéré par la donnée des nombres correspondants, qui réalisent un "encadrement" du point choisi. Cet exemple ne doit pas imposer l'idée que deux traits successifs sont toujours séparés par la même distance. Les exemples suivants montrent que ce n'est pas toujours le cas. Le thermomètre donne l'exemple d'une graduation dans Z avec, pour le thermomètre médical, une sous-graduation à une décimale. Il existe plusieurs échelles de température : on recherchera les définitions des échelles de Réaumur, Fahrenheit, Kelvin, et l'on effectuera des exercices de changement d'échelle. Toutes ces formules sont de "la même forme" : faire observer ce point. On peut imaginer toutes ces graduations en regard sur le même tube de quartz, ce qui concrétiserait l'existence de graduations ayant ou non le même pas, ayant ou non la même origine. Le pas n'a rien à voir avec l'espacement de traits successifs, et la graduation du thermomètre à alcool n'est pas rigoureusement régulière. Elle le serait si l'alcool, le mercure, le quartz avaient des propriétés idéales. Mais les coefficients de dilatation de ces corps ne sont qu'approximativement indépendants de la température. La forme des réservoirs et le calibrage des tubes viennent aussi perturber le phénomène.

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ENSEMBLES GRADUÉS

0.1.2. Dynamomètre Préciser son utilité et décrire l'appareil. On étalonne l'appareil en suspendant des poids connus au ressort, et en marquant l'indication du poids suspendu, en face de l'aiguille, sur la réglette. Après quoi, on utilise l'instrument pour mesurer des poids non connus. La règle n'est pas nécessairement graduée de traits équidistants. Par exemple, l'indication 5 kg n'est pas forcément située au milieu métrique du segment [0 ; 10]. Commentaires Le dynamomètre comporte une graduation qui dépend de la qualité du ressort utilisé et du dispositif porte-aiguille. Tandis que, pour le double décimètre, un "centimètre" étalon, reporté le long de la règle, gradue la règle (graduation invariante par translation), il faut pour le dynamomètre, autant de poids connus que de traits souhaités. Au procédé de l'encadrement s'ajoute le procédé de l'interpolation pour le repérage d'un point situé entre deux traits successifs T1 et T2. C'est la donnée d'un réel (pratiquement: d'un décimal) compris entre les réels qui correspondent aux traits T1 et T2. L'interpolation est purement "métrique" pour le double décimètre et le thermomètre à mercure, mais ne devrait pas l'être pour le thermomètre à alcool ou le dynamomètre, et ce point doit être souligné. Le nombre ainsi choisi "à l'estime" ne correspond pas forcément au nombre obtenu avec une graduation virtuelle assez fine.

0.1.3. Chronologies La notion "d'événement historique" est une abstraction difficile à préciser. Cependant, certains ouvrages d'histoire proposent impli-

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ENSEMBLES GRADUÉS

citement un modèle, qui décrit et répertorie un ensemble fini d'événements, gradué grâce à un calendrier. Chaque événement y est repéré par sa date. Le repérage en années peut s'affiner en insérant des événements secondaires entre les faits historiques essentiels et en utilisant des mois et des jours: la précision va rarement au-delà. L'exercice suivant montre que, dans cet exemple très familier aux élèves, la compatibilité des divers calendriers et la régularité des graduations n'est pas parfaite.

Exercices a)

Trouver la relation entre les dates (année) grégorienne, musulmane, juive.

b)

On marque les années et les jours sur une période plus longue que quatre années de notre calendrier. Quelle est la conséquence de la présence d'une année bissextile ?

Commentaires et informations Une année musulmane est purement lunaire, et est plus courte, de onze jours environ, qu'une année grégorienne. 34 années musulmanes correspondent à 33 années grégoriennes. L'an 0 du calendrier musulman se situe en l'an 622 de notre ère, année du départ de Mahomet à Médine. Une année juive équivaut globalement à une année grégorienne. Le calendrier juif est mixte: l'année est solaire, les mois sont lunaires. L'année a 12 mois, sauf 7 fois en 19 ans, où elle a 13 mois. Il n'y a qu'un changement d'origine entre la date grégorienne et la date juive. L'année 1972 correspond à l'année 5732 juive (à une différence de trois mois environ près, dont on ne tiendra pas compte dans les calculs de changement de date). On pourra étudier de même le calendrier orthodoxe ou le calendrier républicain.

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ENSEMBLES GRADUÉS Calendrier perpétuel: l'existence et la complexité relative d'un calendrier perpétuel tient aux irrégularités de la division des années en mois et jours. Si chaque année avait le même nombre de jours, un calcul élémentaire remplacerait tous les tableaux d'un calendrier perpétuel. Les deux graduations, en années et en semaines, seraient "compatibles". A titre d'exercice, on demandera de trouver quel jour de la semaine correspondrait au 14 juillet 1789, sachant que le 1er janvier 1972 est un samedi. (On trouve un calendrier perpétuel dans les Larousse en plusieurs volumes). Les années bissextiles introduisent une irrégularité.

0.1.4. La route Elle possède une graduation naturelle en kilomètres, marquée par les bornes kilométriques. Tout point est repéré par sa distance à l'origine (décimal plus ou moins précis selon le mode pratique de repérage). On a autant de graduations compatibles que d'origines, et d'unités "métriques". Les formules de passage sont immédiates à établir. On obtient une autre graduation permise en marquant en face de chaque point le temps de passage d'un mobile se déplaçant à vitesse constante v.

Que se passe-t-il si la vitesse n'est plus constante ?

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ENSEMBLES GRADUÉS

On pourra étudier la graduation en temps de passage d'un objet en chute libre, le long d'un mur gradué en mètres.

Exercice Au cours d'une étape du Tour de France, trois coureurs abordent le pied d'un col à 5 minutes d'intervalle. On suppose que les trois coureurs effectuent: – la montée à 20km/h, sur 10km; – une partie plate à 40km/h, sur 40km; – la descente à 60km/h, sur 10km. Comparer les graduations en temps de passage à la graduation kilométrique. Comparer les rapports AB correspondants: BC a) à la graduation kilométrique; b) à la graduation en temps; (A, B, C désignent les positions des trois coureurs).

Commentaires Dans le cas de la course cycliste, les graduations en temps et en distance sont compatibles sur chaque partie du parcours, mais non globalement. Le temps est ici une fonction affine par morceaux de la distance parcourue. On comparera sur un tableau la graduation en kilomètres et les graduations en minutes de passage des trois coureurs.

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ENSEMBLES GRADUÉS On observera que le km 10 n'est pas au milieu du segment [5km ; 20km], bien que chaque cycliste y passe à mi-temps.

Quant au rapport

AB , il est toujours égal à 1 pour la graduation t (en 1 BC

temps de passage compté depuis 0), mais n'est pas toujours égal à 1 pour la graduation en km. A quelle condition est-il tout de même égal à 1? Dans le cas de la chute libre d'un corps pesant, on sait que l'abscisse croît comme le carré du temps. On fera remarquer au passage que tous les corps tombent à la même vitesse (dans le vide ou dans une situation voisine), quel que soit leur matériau, alors que la vitesse du cycliste dépend... du cycliste!

0.1.5. Divers Il existe un grand nombre de problèmes concrets se traduisant par la réalisation de graduations, compatibles ou non, souvent compatibles "par morceaux": fournitures en électricité, mazout, abonnements, billets collectifs... On peut illustrer, comme dans 0.1.4, qu'une propriété reste vraie par changement compatible et n'est pas conservée par changement non compatible.

Exercice 1 La taxe à la valeur ajoutée (TVA) est de 20 % pour les caramels mous comme pour les caramels durs. C'est-à-dire que pour un prix de vente de 1,20F, le fisc prélève 0,20F. Un marchand a versé 840F au fisc au titre de la vente des caramels mous et durs; que peut-on dire des caramels vendus ?

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ENSEMBLES GRADUÉS

Commentaires Soit x(n) (resp. y(n)) le prix de vente, en francs (resp. la T.V.A.) de n caramels. On a y(n) =

1 x(n). Les deux graduations sont compatibles et 6

840 correspond à une vente de caramels pour une somme de (840 X 6) francs, sans qu'il soit possible de faire la part de chaque qualité vendue. y = y 1 + y2 étant connue (y1 et y2 représentent les sommes versées au fisc pour chaque qualité vendue), on en déduit x = x1 + x 2 (x1 et x2 représentent les prix de vente de chaque qualité vendue). Dans l'exercice suivant, ce passage n'est pas possible.

Exercice 2 Monsieur Lemou et Monsieur Ledur sont tous deux imposés sur le revenu, suivant le barème ci-dessous. Tranche

Pourcentage d'imposition

de 0 à 4 mille francs

2%

de 4 à 8 mille francs

10%

de 8 à 12 mille francs

25%

de 12 à 20 mille francs

50%

plus de 20 mille francs

75%

On utilise le tableau de la façon suivante: Les 2 % sont à prendre sur la première tranche, 10 % sur la seconde, etc..; ainsi, un revenu de 20 000 correspondrait à un impôt de : 80F + 400F + 1 000F + 4 000F = 5 480 F

Le total des impôts sur le revenu de Messieurs Lemou et Ledur étant de 8 000 F, que peut-on dire du revenu total de ces deux contribuables ? Même question avec un total d'impôt de 70F ?

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Commentaires Les revenus des deux contribuables sont des abscisses pour une unique graduation x ; x1 représente le revenu du premier, x2 celui du second. Les impôts sur le revenu constituent une seconde graduation y; y 1 représente l'impôt versé par le premier contribuable, y2 par le second. y n'étant pas compatible avec x, la connaissance de y 1 + y2 ne permet pas de déduire x1 + x2. On pourra étudier plusieurs sommes x1 + x 2 différentes, conduisant toutes à l'impôt global 8 000F'.

0. 2. Changement de graduation sur une droite affine 1

Méthodologie des changements de graduation

a) Composition avec une application affine A est une droite affine. Si une graduation attribue à trois points distincts A, B, C de A les valeurs réelles a, b, c, alors, pour tout k 0 et pour h, (k et h réels), il existe une graduation permise qui attribue les valeurs ka + h , kb + h , kc + h aux points A, B, C. b) Recollement de deux graduations Si les valeurs attribuées à deux points distincts par deux graduations permises, sont respectivement égales, alors les graduations sont égales. En particulier, s'il existe une graduation qui attribue les valeurs (a, b, m) (resp. (a, b, n)) aux points A, B, M (resp. A, B, N), où A ≠ B , alors il existe une graduation et une seule qui attribue les valeurs a, b, m, n aux points A, B, M, N.

1

L'expression "droite affine" est synonyme de "ensemble gradué affine".

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0.2.0. Application numérique (Exercice didactique)

(solution page 67).

Quatre points alignés A, B, C, D ont pour abscisses 1, 0, 3, 4 dans une première graduation, respectivement 0, b, - 1 , d dans une graduation compatible avec la précédente. Calculer b et d.

0.2.1. Exercice d'exposition

(solution page 68). Étant donné deux points distincts M et N d'une droite affine D, démontrer qu'il existe une graduation permise de D, et une seule, pour laquelle (M, N) est un repère (c'est-à-dire que les abscisses de M et N sont respectivement 0 et 1).

Exercices didactiques

(Commentaires page 68).

0.2.2. Un point M a pour abscisse m par rapport au repère (A, B). Trouver son abscisse par rapport au repère (B, A). 0.2.3. Un point M ≠ A a pour abscisse m par rapport au repère (A, B). Trouver l'abscisse de B dans le repère (A, M). 0.2.4. Soit deux points distincts A et C, et soit B le milieu de (A, C). Calculer l'abscisse X d'un point M par rapport au repère (B, C), connaissant son abscisse x par rapport au repère (A, C). 0.2.5. On donne sur une droite les points O, A, B, C, D, E repérés à l'aide des trois graduations compatibles g1 , g2, g3 selon le tableau suivant : O

A

B

C

g1

0

1

3

–1

g2

0

–2

g3

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1

2

D

E

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ENSEMBLES GRADUÉS

a) Compléter le tableau sachant que D est le milieu de (O, B) et E le milieu de (C, D). b) Calculer pour chaque graduation les nombres AC, BC, BD, CE . Comparer les trois valeurs du rapport AC BD Même question pour tous les autres rapports du même type. 0.2.6. Soit quatre points distincts A, B, C, D d'une droite, tels que B soit le milieu de (A, C) et C le milieu de (B, D). Trouver les abscisses de ces points par rapport au repère (A, D). 0.2.7.

(Commentaires page 69).

Sur une droite affine X, de repère (A, B), on considère la suite de points A1 , B1, A2 , B2 ,..., définie comme suit: B

⎧ AA = 1 AB ⎪ 1 3 ⎨ ⎪BB1 = 1 BA1 3 ⎩

⎧A A = 1 A B ⎪ 1 2 3 1 1 ⎨ ⎪B1B2 = 1 B1 A 2 3 ⎩

etc.

a) Marquer les points A1 à A4, B1 à B4 . b) La suite s'arrête-t-elle ? c) Calculer A1B1 . En déduire directement A 2B2 , A 3B3 , et A nBn pour tout naturel n. d) Vérifier que A n Bn < 1n . Qu'en conclure ? 2 e) Calcul numérique: calculer A 4 B4 et AA 4 , puis A 5B5 et AA5 . Qu'en déduire ?

0.2.8. Problème

(Commentaires page 69 ).

Soit 4 points A, B, C, D sur une droite affine. On construit le milieu M de 2 points parmi les précédents, et le milieu N des deux points restant. Enfin on considère le milieu P de (M, N).

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ENSEMBLES GRADUÉS

Le choix de la première paire (incluse dans {A, B, C, D}) influe-t-il sur le résultat final ?

0.2.9. Problème

(Commentaires page 69).

Soit 4 points O, A, B, C distincts sur une droite affine. Soit x l'abscisse de B dans le repère (O, A), y celle de C dans le repère (O, B), z celle de A dans le repère (O, C). Calculer le produit xyz. Généraliser.

0. 3. Une manipulation sur la droite physique

(Commentaires page 70).

On considère une droite du plan physique et un double décimètre. 0.3.1. On gradue la droite à l'aide du double décimètre, puis on translate le double décimètre le long de la droite et on construit ainsi une seconde graduation de la droite. Trouver la relation entre les deux graduations. 0.3.2. On suppose que le double décimètre est remplacé par une réglette graduée de façon spéciale: pour tout k, le point correspondant au centimètre k comporte l'indication k3. On translate encore la règle le long de la droite et on obtient une graduation y. Écrire y en fonction de k. Si x = k3 , y a-t-il, entre les graduations x et y, une relation y = ax + b (a # 0) (c'est-à-dire x et y sont-elles compatibles ? ) 0.3.3. Reprendre le problème en supposant que le point correspondant au centimètre k comporte l'indication θ(k), où θ est une bijection quelconque de R dans R. On note x = θ(k) et y la nouvelle graduation obtenue en translatant la règle. Pour quelles bijections θ a-t-on la relation y = ax + b (a ≠ 0) entre x et y ?

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ENSEMBLES GRADUÉS

0. 4. Le groupe des transformations affines de la droite L'ensemble des bijections de R dans R, de la forme x → y ax + b où a et b sont des réels (a ≠ 0), est un groupe (non commutatif). Le professeur pourra exploiter ce thème, sous la forme, par exemple, d'un exercice d'exposition.

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CHAPITRE 1

LE THÉORÈME DES PARALLÈLES

Axiome de Thalès Cet axiome peut s'énoncer comme suit: Quelles que soient les droites D et D' du plan affine, quelle que soit la projection bijective p de D sur D', parallèlement à une direction δ , et quels que soient les points distincts A, B, M de D, l'abscisse de p(M) dans le repère [p(A), p(B)] est égale à l'abscisse de M dans le repère (A, B). On peut donner de cet axiome la formulation équivalente suivante : Quelles que soient les droites D et D' du plan, quelles que soient la graduation permise f de D et la projection bijective p de D sur D'

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LE THÉORÈME DES PARALLÈLES

parallèlement à δ, l'application f de D'

o

p–1 est une graduation permise

Théorème réciproque Soit deux droites affines D et D' et soit p la projection bijective de D sur D', parallèlement à une direction δ. Soit M un point de D d'abscisse x dans le repère (A, B) et un point M' de D' d'abscisse x' dans le repère [p(A), p(B)] de D'. Si x' = x , alors M' = p(M).

A propos de l'exposé de la démonstration de ce théorème, il est à noter qu'il est maladroit de dessiner sur la figure le point p(M) à côté du point M', car un tel dessin sous-entend un raisonnement par l'absurde. * Ce théorème est une conséquence directe de l'axiome de Thalès, comme le prouve la démonstration qui suit: D'après l'axiome de Thalès, la droite de direction δ menée par M rencontre D' au point d'abscisse x. Ce point est donc le point M' lorsque x' = x . *

Cf. C. GLAESER, Mathématiques pour l 'élève prof esseur, Hermann 1971 (Exemple 2. VI. 14).

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LE THÉORÈME DES PARALLÈLES

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Théorème des parallèles Ce théorème résume l'axiome de Thalès et le théorème réciproque. On peut l'énoncer de la manière suivante: Soit D et D' deux droites du plan, et soit p une projection bijective de D sur D' parallèlement à une direction δ. Soit x l'abscisse d'un point M de D dans le repère (A, B) et soit x' l'abscisse d'un point M' de D' dans le repère [p(A), p(B)]; alors M' = p(M) si et seulement si x' = x Cas particuliers importants Si M est le milieu de (A, B), alors p(M) est le milieu de (p(A), p(B)) . Réciproquement, si quatre points A, B, A', B' sont tels que AA' soit parallèle à BB', alors les milieux I et I' de (A, B) et de (A', B') appartiennent à une même parallèle à AA'.

Soit trois points O, A, B, non alignés. Soit M un point de la droite OA et N un point de la droite OB. Les points M et N ont même abscisse dans les repères respectifs (O, A) et (O, B) si, et seulement si, ces points appartiennent à une même parallèle à AB.

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LE THÉORÈME DES PARALLÈLES

1. 1. Exercices d'application du théorème des parallèles

(Commentaires page 72).

1.1.1. Exercice Soit A, B, C, D quatre points non alignés. Les bipoints (A, C) et (B, D) ont même milieu si, et seulement si, les droites AB et AD sont respectivement parallèles aux droites CD et CB.

1.1.2. Exercice Montrer que l'image d'une droite D par une symétrie centrale est une droite D' parallèle à D.

1.1.3. Exercice Soit trois droites X, Y, Z concourantes en S, d et d' deux directions distinctes et ne contenant aucune de ces trois droites. Deux points A1 et B1 de X se projettent en A2 et B2 sur Y, parallèlement à d. A2 et B2 se projettent en A3 et B3 sur Z, parallèlement à d'. Montrer que A1A3 est parallèle à B1B3. B

1.1.4. Exercice Soit un triangle ABC. Par le milieu M de (A, B) on mène la parallèle à BC qui coupe AC en N. Par N, on mène la parallèle à AB qui coupe BC en P. a) Montrer que MP est parallèle à AC. b) Montrer que le point d'intersection I de MC et NP est le milieu de (N, P).

1.1.5. Problème On donne un parallélogramme ABCD. a) I étant un point quelconque de la diagonale BD, une droite passant par I coupe AB en E et CD en F. Une autre droite passant par I coupe BC en G et DA en H. Montrer que EG est parallèle à HF.

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LE THÉORÈME DES PARALLÈLES

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b) Une droite δ coupe AD en H' et CD en F'. Une droite δ' parallèle à s coupe AB en E' et BC en G'. Montrer que E'F' et G'H' se coupent en général sur la diagonale BD.

1. 2. Recollement de graduations

(Commentaires page 74).

A) Origine inchangée 1.2.1. Exercice On considère deux droites sécantes X et Y en A, et deux directions d et d' distinctes et ne contenant ni X, ni Y. Soit p la projection de X sur Y parallèlement à d, et soit p' la projection de Y sur X parallèlement à d'. A tout point M de X, on associe les points : M1 = p(M)

M' = p'(M1)

Trouver la relation entre les abscisses de M et M' dans un repère donné de X.

1.2.2. Exercice Trois droites X, Y, Z sont concourantes en A. A tout point M de X, on associe le point M1 de Y tel que MM1 // Z , le point M2 de Z tel que M1 M2 // X et le point M' de X tel que M2 M' // Y. Trouver la relation entre les abscisses m et m' de M et M' dans un repère donné (A, B) de X. La même relation se généralise-t-elle si on change le nombre de droites passant par A ?

1.2.3. Exercice On donne trois droites X, Y, Z concourantes en A. A tout point M de X, on associe le point M1 de Y tel que MM1 // Z , puis le point M2 de Z tel que M1 M2 // X .

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LE THÉORÈME DES PARALLÈLES

a) Peut-on déterminer une direction d telle que, pour tout M de X, la droite de direction d passant par M2 coupe X au milieu de (A, M) ? b) Question analogue, mais M1 est défini sur Y par MM1 ∈ d' , d' étant une direction donnée. La direction d dépend-elle de d' ? c) Construire une figure où les directions d et d' sont les mêmes. (On pourra se donner X, Y, puis construire Z pour obtenir la figure voulue).

1.2.4. Exercice Soit un parallélogramme ABCD et un point I non situé sur les côtés du parallélogramme. Soit Soit Soit Soit

{ { { {

E } l'intersection des droites IB et CD F } l'intersection des droites IB et AD G } l'intersection des droites ID et BC H } l'intersection des droites ID et AB

a) Montrer que FH et GE sont parallèles. b) La parallèle à AB menée par F coupe la parallèle à AD menée par H en C'. Montrer que I, C, C' sont alignés.

B) Changement d'origine 1.2.5. Exercice Soit trois droites non concourantes X, Y, Z, telles que X ∩ Y = {A}

et

X ∩ Z= {B}

A tout point M de X, on associe: M1 ∈ Y et puis M2 ∈ Z et puis M' ∈ X et d'où une application A de X dans X

MM1 // Z M1M2 // X M2M' // Y qui associe M' à M.

Trouver la relation entre les abscisses m et m' des points M et M' dans le repère (A, B).

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LE THÉORÈME DES PARALLÈLES

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Quelle est l'image de M' ? Y a-t-il des points invariants ? Quelle est la "nature" de l'application A ?

1.2.6. Exercice Soit un triangle ABC et le repère (C, B) sur la droite BC. Sur AB, on marque le point P tel que BA = 4BP ; on appelle M le milieu de (C, A). On projette A sur BC parallèlement à MP, en A; et de même M en M'. Calculer les abscisses de A' et M'. Conclure relativement à la position de ces points sur BC.

1. 3. Médianes d'un triangle

(Commentaires page 78).

1.3.1. Problème Existe-t-il un triangle ayant deux médianes parallèles ?

1.3.2. Exercice Dans un triangle ABC, on appelle A', B', C' les milieux de (B, C), (C, A), (A, B). On projette A', B', C' en A', B", C" sur BC, parallèlement à AA'. Trouver l'abscisse du point G commun aux droites AA', BB' dans le repère (B. B'}

1.3.3. Exercice Dans un parallélogramme ABCD, I et J désignent les milieux des côtés AB et DC .

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LE THÉORÈME DES PARALLÈLES

On désigne par E le point commun aux droites ID et AC, et par F le point commun aux droites BJ et AC. a) Montrer que E est le milieu de (A, F) et que F est le milieu de (E, C). Trouver les abscisses de E et F dans le repère (A, C). b) Application à l'étude de l'intersection des médianes d'un triangle (question à proposer quelques jours après a) ).

1. 4. Découverte de quelques propriétés géométriques remarquables (Commentaires page 79).

1.4.1. Exercice On donne quatre points A, B, C, D dont trois ne sont pas alignés. A partir d'un point M de AB, on construit: N , projection de M sur BC , parallèlement à AC ; P , projection de N sur CD , parallèlement à BD ; Q , projection de P sur DA , parallèlement à CA. Montrer que QM est parallèle à BD.

1.4.2. Problème a) Comment choisir quatre points A, B, C, D pour que les milieux respectifs I, J, K, L de (A, B), (B, C), (C, D) et (D, A) forment un parallélogramme ? b) Ce parallélogramme peut-il être aplati ?

1.4.3. Exercice Étant donnés quatre points A, B, C, D, montrer que les trois segments joignant les milieux des paires opposées ont même milieu.

1.4.4. Exercice A', B', C' désignent les milieux des côtés BC, CA et AB du triangle ABC. Sur AB, on marque les points D et E tels que BD = DE = EA .

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LE THÉORÈME DES PARALLÈLES

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Les droites B'C' et CE se coupent en S. Préciser quelle est l'intersection des droites AS et BC.

1.4.5. Exercice. Théorème de Ménélaüs On donne un triangle ABC. Soit P un point de la droite BC, Q un point de la droite CA et R un point de la droite AB. Ces points P, Q, R sont distincts de A, B et C. Montrer que P, Q, R sont alignés si, et seulement si, PB i QC i RA = 1 PC QA RB

1.4.6. Exercice Étant donnés quatre points I, J, K, L, existe-t-il un quadrilatère ABCD tel que I soit le milieu de (A, B), J le milieu de (B, C), K le milieu de (C, D) et L le milieu de (D, A) ?

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CHAPITRE 2

LE PARALLÉLOGRAMME Rappelons la définition et quelques propriétés du parallélogramme. (Nous l'avons déjà rencontré au chapitre précédent). Un quadruplet (A, B, C, D) est un parallélogramme lorsque les bipoints (A, C) et (B, D) ont même milieu. Pour qu'un quadruplet soit un parallélogramme, il faut et il suffit qu'il admette un centre de symétrie, appelé centre du parallélogramme. Lorsque A, B, C, D ne sont pas alignés, nous avons déjà vu que le parallélogramme est caractérisé par la propriété: AB // CD et AD // BC , mais la définition précédente est plus générale.

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LE PARALLÉLOGRAMME

Étant donnés trois points A, B, C, il existe un point D et un seul tel que (A, B, C, D) soit un parallélogramme.

2. 1. Manipulations: parallélogrammes articulés Pour matérialiser un parallélogramme, on peut utiliser quatre tiges articulées: tiges de mécano ou bandes de carton reliées par des attaches parisiennes. On peut associer des parallélogrammes articulés successifs avec un côté commun pour réaliser des translations ou des symétries centrales. a) Translations (Figure 1) On fixe To sur la planche à dessin; on place en M2 une pointe directrice et en N2 un crayon; on suit une figure (F) en M2 et on la reproduit ainsi par translation en N2.

b) Symétrie centrale (Figure 2) On articule deux tiges en leur .milieu commun C et on fixe C sur la

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LE PARALLÉLOGRAMME

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planche à dessin: A et A' restent symétriques par rapport à c; on place une pointe directrice en A et un crayon en A'.

2. 2. Manipulations graphiques (Commentaires page 81). Elles pourront être exécutées avec n'importe quels instruments à dessin (et notamment avec n'importe quel "traceur de parallèles" (Cf. Fascicule 1, Chapitre 5 ). 2.2.1. Tracé de figure On donne un point C et trois droites ne contenant pas C, et non parallèles deux à deux. Construire les symétriques de ces droites par rapport à C. Combien de parallélogrammes a-t-on alors tracés ? Joindre par un segment les couples de points symétriques par rapport à C. 2.2.2. Tracé de figure C1 , C2 ,..., Cn, A, B désignent n + 2 points (par exemple n = 3 ou n = 4). a) Construire les symétriques A1,B1 de B,A par rapport à ci , puis les symétriques A2,B2 de B1,A1 par rapport à C2, etc... enfin les symétriques An,Bn de Bn-1,An-1 par rapport à Cn .

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LE PARALLÉLOGRAMME

b) Peut-on trouver un point C qui soit simultanément le milieu de (A, Bn) et de (B, An ) ? Commentaires A l'occasion de la construction de parallélogrammes, il s'agit d'expérimenter les propriétés de la symétrie centrale, de la relation d'équipollence de bipoints et de la notion de translation.

2 . 2. 3 On remarquera l'importance de la parité de n. Cette manipulation pourra se prolonger par une investigation libre: les élèves sont invités à se poser des questions à propos de ce dessin et à ajouter de nouveaux éléments à la figure.

2. 3. Réseaux de parallélogrammes A) Définition et premier examen 2 . 3. 1 . Exercice d'exposition

Deux droites X et Y se coupent en O; soient (O, K1) un repère sur X et (O, H1) un repère sur Y. On trace un "fil du réseau" parallèle à Y par chaque point d'abscisse entière sur X. Les fils sont ...,Y–2, Y–1, Y, Y1, Y2, ... De même pour les fils du réseau parallèles à X. Deux fils de directions différentes se coupent en un "nœud du réseau". a) Comment déterminer un nœud ? Soit A le nœud N(2 ;1) et B le nœud N(3 ;2 ). Quels sont les autres nœuds qui appartiennent à la droite AB ? Généraliser à partir de N(1 ; j) et N(1+1 ; j+1) , puis de N(i.; j) et N(i+1 ; j–1) . On découvrira ainsi les "droites diagonales du réseau".

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LE PARALLÉLOGRAMME

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b) Parmi les parallélogrammes dont les sommets sont des nœuds et les côtés portés par des fils, lesquels ont une diagonale portée par une droite diagonale du réseau ? Démontrer qu'alors, la seconde diagonale est aussi portée par une droite diagonale du réseau. c) On marque les nœuds P(4 ; –1 ), Q( 1 ; 3 ) , P'( – 2 ; 1 ) . Caractériser les nœuds Q' tels que P'Q' soit parallèle à PQ. Caractériser les nœuds R alignés avec P et Q.

Commentaires Réalisation matérielle

Un géoplan (planche munie de pointes disposées aux nœuds) ou une planche à trous, où l'on place des chevilles, permettent de tendre des anneaux élastiques pour matérialiser des segments de droites dont le rôle sera indiqué par le choix des couleurs de ces élastiques. Ce matériel est particulièrement utile pour la recherche et le tâtonnement.

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LE PARALLÉLOGRAMME Pour le dessin, le papier quadrillé est pratique pour tracer des parallèle> dans les deux directions choisies. Les dessinateurs utilisent aussi des traceurs de parallèles (rouleaux marqueurs). Nœuds alignés

Trois nœuds N1 ( x1 , y1 ) , N2 ( x 2 , y 2 ) , N3 ( x3 , y3 ) sont alignés si et seu1ement si il existe k ∈ Q tel que ⎧ x 3 − x 1 = k ( x 2 − x1 ) ⎨ ⎩ y 3 − y1 = k ( y 2 − y1 )

N1 et N 2 étant donnés, l'ensemble des N3 alignés avec eux correspond à un ensemble de valeurs de k, qui dépend du plus grand commun diviseur des différences x2 – x1 et y2 – y1

2.3.2. Régionnement déterminé par un réseau a) On donne quatre droites du réseau formant un parallélogramme. Caractériser par leurs coordonnées les points situés dans chacune des 9 régions déterminées. Prouver que chaque région est convexe (chaque région peut être considérée bords compris ou non). b) On nomme région intérieure celle qui est bornée. Comment peut-on la définir avec précision, y compris sur le bord, en sorte que le plan soit la réunion de régions disjointes, qui se déduisent de la région intérieure par des translations ? Ces régions seront dites "mailles du réseau".

Commentaires On a l'occasion ici de travailler sur les systèmes d'inégalités. a) Une région sans bord est définie par des inégalités strictes, par exemple l'ensemble des points (x, y) vérifiant ⎧ 2<x<3 ⎨ ⎩ −4 < y < 1

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LE PARALLÉLOGRAMME

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Convexité Une région K est convexe si, lorsque deux points A et B sont dans K, alors tout point du segment [AB] est dans K. Les raisonnements se font soit par les propriétés des inégalités numériques, soit par celles de l'inclusion. b) Une maille est définie par exemple par ⎧ x i ≤ x ≤ x i +1 ⎨ ⎩ y i ≤ y ≤ y i +1

2.3.3. Réseaux plus ou moins fins On donne un réseau R défini à partir des repères (O, K1), (O, H1 ). a) Comparer R au réseau R' défini à partir de (O, K3) et (O, H2 ). Observer les fils, les nœuds, les mailles. b) On dit que l'un des réseaux est moins fin qu'un autre si les mailles du premier sont réunion de mailles de l'autre. Donner des exemples de réseaux de moins en moins fins. c) Montrer que toute droite diagonale de R est droite diagonale de réseaux moins fins que R. Quel est le plus fin de ces réseaux ?

Commentaires Notions indispensables pour l'utilisation de réseaux plus ou moins fins. C'est une occasion de discussion relativement à la relation d'ordre, spécialement de l'ordre total. La liaison avec la théorie des entiers conduit à des questions parfois difficiles qui disparaîtront plus loin lorsqu'on "efface" le réseau, dont le rôle n'est plus que de soutenir l'intuition. En arithmétique ou en géométrie, on distinguera soigneusement ce qui est aperçu et admis de ce qui est démontré. Au sujet de l'utilisation pédagogique des réseaux et du papier quadrillé, on pourra consulter les "Dialogues sur la Géométrie" de Lucienne Félix (Albert Blanchard - Paris, 1971).

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LE PARALLÉLOGRAMME

B) Exercices exploitant les réseaux

(Commentaires page 81).

2.3.4. Exercice A, B, C sont trois points non alignés et A', B', C' les milieux respectifs de (B, C), (C, A), (A, B). Soit R le réseau de repères (A', C) et (A', A). On considère les réseaux plus fins que R pour lesquels C' et le milieu B" de (A', C') sont des nœuds. Soit R' le moins fin de ces réseaux. a) Reconnaître les nœuds de R' qui appartiennent aux segments BC, CA, AB . b) D et E sont les points tels que (A, A', B, D) et (A, A', C, E) soient des parallélogrammes. La droite BE coupe les droites A'C' et AC respectivement en U et V. Comment sont placés ces points sur BE ?

2.3.5. Exercice Même figure que dans l'exercice 2.3.4. a) Comment le segment BB' est-il coupé par AA' ? Soit G le point d'intersection. b) Comment G est-il placé sur AA' ? Prouver que CC' passe par ce même point G.

2.3.6. Exercice Même figure que dans l'exercice 2.3.4. Soit Q le point de AB tel que QA = −3QB et P le point de AC tel que PA = −3PC . Prouver que CQ et BP se coupent sur AA' en un point L dont on déterminera la position sur BP, sur CQ, sur AA'.

C) Applications heuristiques des réseaux

(Commentaires page 82).

De nombreux problèmes de géométrie deviennent faciles à résoudre

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LE PARALLÉLOGRAMME

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dès que l'on a tracé quelques lignes auxiliaires "convenables". Mais les élèves qui ont peu d'imagination ne voient pas ce qu'il faut dessiner. L'expérience montre que la construction de réseaux de parallélogrammes ou l'emploi de papier quadrillé suggère souvent le tracé d'une ligne importante. (Exemple: les trois exercices précédents). Il y a lieu ensuite d'effacer le superflu. La méthode consiste donc à tracer des lignes surabondantes, puis à effacer tout ce qui n'intervient pas dans le raisonnement.

2.3.7. Exercice Sur du papier quadrillé, on donne un segment dont les extrémités sont des nœuds du quadrillage. Diviser ce segment en cinq parties égales en utilisant uniquement la règle.

2.3.8. Exercice On donne un parallélogramme (A, B, C, D) et un point M sur la diagonale BD. Soit I le symétrique de C par rapport à M. On projette I en É sur AB, parallèlement à AD, puis en F sur AD, parallèlement à AB. Montrer que les points É, M, F sont alignés.

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CHAPITRE 3

LE THÉORÈME DU POINT FIXE

3. 1. Énoncé D et D' désignent deux parallèles ne passant pas par un point O. On désigne par πo l'application de D sur D' qui associe à M ∈ D l'intersection πo(M) de 0M et D'. Pour qu'un point M' ∈ D' soit l'image πo(M) de M, il faut et il suffit que l'abscisse m de M dans un repère (A, B) de D soit égale à l'abscisse de M' dans le repère (πo(A), πo(B)) de D'. Question Si l'on omettait de supposer D et D' parallèles, l'énoncé précédent serait incorrect. Pourquoi ?

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LE THÉORÈME DU POINT FIXE

Démonstration a) Supposons que M' = po(M) Tant que la figure ne comporte que les seules parallèles D et D', l'axiome de Thalès ne peut fournir que les conséquences du tableau 1. Il convient donc de faire intervenir une autre projection parallèle. Essayons d'utiliser la projection parallèlement à OA (on pourrait songer aussi à la projection parallèlement à OM ou à OB).

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LE THÉORÈME DU POINT FIXE

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b) Supposons que M et M' aient pour abscisse x dans les repères (A, B) et (πo(A), πo(B)). D'après a), πo(M) a pour abscisse x dans le repère (πo(A), πo(B)) d'où M' = πo(M).

Commentaires La réciproque du théorème b), ci-dessus, fournit une condition pour que les droites soient concourantes (i.e. MM' passe par 0 si M et M' ont pour abscisse x dans les repères précédents) ou pour que trois points soient alignés.

3.1.1. Exercice

(Solution page 83).

On donne deux parallèles D et D', une sécante commune D", et trois points A, B, C situés sur D" et n'appartenant ni à D, ni à D'.

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LE THÉORÈME DU POINT FIXE

Une droite variable A passant par A coupe D en M et D' en M'. Montrer que le point d'intersection I de BM et CM' décrit une parallèle à D et D'.

3. 2. Théorème des segments homothétiques Soit deux droites parallèles D et D' munies des repères (A, B) et (A', B'). On dit que le repère (A', B') se déduit du repère (A, B) par translation lorsque (A, A', B', B) est un parallélogramme. On dit qu'on a gradué une direction lorsqu'on a muni toutes les droites de cette direction de repères déduits les uns des autres par translation. Si M et N sont deux points de D, et si M' et N' sont deux points de

MN sans aucune ambiguïté M'N ' M'N' lorsque D et D' appartiennent à la même direction graduée. D', on peut alors parler du rapport

Le théorème des segments homothétiques peut s'énoncer ainsi: Soit D et D' deux droites d'une direction graduée et O un point n'appartenant ni à D ni à D'. Une droite A passant par O coupe D en A et D' en A'. Soit M un point quelconque de D (M ≠ A). Alors un point M' de D' appartient à la droite 0M si, et seulement si : A ' M ' = OA ' AM OA

Démonstration Supposons que M' appartienne à la droite 0M et montrons que A ' M ' = OA ' AM OA

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LE THÉORÈME DU POINT FIXE

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Il suffit d'appliquer l'axiome de Thalès comme le montre le tableau qui suit:

D'après ce tableau, nous avons: b = OA ' = A ' M ' a OA A ' M "

Mais, les repères de D et D' se déduisant l'un de l'autre par translation, nous pouvons écrire A ' M" = AM Donc

OA ' = A ' M ' OA AM

Réciproque Cette relation définit le point M' lorsque M est donné. Si un point M' de D' vérifie cette relation, il est donc bien l'intersection de 0M avec D'.

3. 3. Exercices d'application (Solutions abrégées page 84 ).

3.3.1. Exercice Soit deux droites X et Y se coupant en S. Soit D une sécante qui coupe X en A, Y en B, et X1 la parallèle en B à X. A tout point P de D, on associe {P1} = SP inter X1 .

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LE THÉORÈME DU POINT FIXE

a) Montrer que la position de P1 sur X1 détermine le rapport PB . PA b) Utiliser X1 pour construire le point Q de D tel que QB = − 1 PB 2 PA QA

puis les points R et T de D tels que RB = − PB RA PA

TB = 2 PB TA PA

c) Soit D' une droite passant par P, coupant X et Y en A' et B'. A-t-on l'égalité PB ' = PB ? PA ' PA Construire sur D' les points Q', R' et T' tels que : Q 'B ' = − 1 PB ' 2 PA ' Q'A '

R ' B ' = − PB ' R'A' PA '

T ' B ' = 2 PB ' T'A' PA '

d) Les droites QQ', RR' et TT' sont-elles concourantes ?

3.3.2. Exercice a) Soit dieux droites X et Y se coupant en S, P un point n'appartenant pas à x u Y , et r un nombre réel. Montrer qu'il existe une droite Dr telle que toute droite passant par P, coupant X en A, Y en B, coupe Dr en Q tel que QB = r PB QA PA b) Le résultat est-il valable si X et Y sont parallèles ?

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CHAPITRE 4

QUELQUES TRANSFORMATIONS AFFINES DU PLAN 4.1. Symétries centrales et translations (Solutions abrégées page 85). 4.1.1. Exercice : Théorème de transitivité des équipollences Si (A, M') et (M, A') (resp. (M', A") et (M", A')) ont un même milieu O (resp. O') les segments AM" et A"M ont le même milieu, et AA " = 2OO ' = MM " .

4.1.2. Exercice On peut définir une translation T, à partir de n'importe quel point A et son transformé A1 =T(A), en associant à tout point M l'unique point M1 tel que (M, A1) et (M1, A) aient le même milieu. Prouver que cette définition ne dépend pas du choix de A

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QUELQUES TRANSFORMATIONS AFFINES

4.1.3. Exercice Trouver l'image d'une droite par une symétrie centrale, par une translation.

4.1.4. Exercice Démontrer que: 1- La composée de deux symétries centrales (ou de deux translations) est une translation; 2- La composée d'une translation et d'une symétrie centrale est une symétrie centrale; 3- Les compositions précédentes sont-elles commutatives ? 4- Que peut-on dire de la composée d'une suite de transformations qui sont, soit des translations, soit des symétries centrales ?

4.1.5. Problème Étudier un parallélogramme LMNO dont les quatre sommets appartiennent aux quatre côtés (éventuellement prolongés) d'un parallélogramme ABCD.

4. 2. Symétrie oblique

(Commentaires page 86).

4.2.1. Exercice On donne une droite Δ et une direction δ ne contenant pas Δ. Par un point M arbitraire du plan, on mène la droite de direction δ . Elle coupe Δ en I; on appelle M' le symétrique de M par rapport à I. La transformation ainsi définie s'appelle la symétrie oblique d'axe Δ, de direction δ , notée S(Δ, δ) . Étudier l'image d'une droite quelconque D.

4.2.2. Exercice a) Quatre points A, B, C, D sont tels que les droites AB et CD sont parallèles. Que dire des milieux de (A, C), (C, B), (B, D), (D, A) ? b) Généraliser, en remplaçant les milieux par des points ayant même abscisse dans les repères (C, A), (C, B), (D, A) et (D, B).

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QUELQUES TRANSFORMATIONS AFFINES

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4.2.3. Exercice Dans un triangle ABC, on prend M sur AB et la parallèle en M à BC coupe AC en N. Étudier l'ensemble des points d'intersection de MC et NB, lorsque décrit la droite AB, ou le segment [AB] .

4.3. Homothétie 4.3.1. Exercice On appelle homothétie de centre O et de rapport k, notée H(O, k), l'application du plan dans lui-même qui à tout point M associe le point M' tel que OM ' = kOM (autrement dit, si M a pour abscisse a, M' a pour abscisse ka dans un repère d'origine O). Étudier l'image d'une droite par une homothétie.

4.3.2. Exercice Soit un triangle ABC, et un point S distinct de A, B, C. Soit A' un oint de SA, B' et C' les projections de A', sur SB et SC, parallèlement à AB et AC. Étudier le triangle A'B'C'.

4.3.3. Exercice On considère deux parallélogrammes dont les côtés sont deux à eux parallèles, ainsi que deux diagonales. Montrer que les deux autres diagonales ont aussi même direction.

4.3.4. Exercice Reprendre le problème 1.1.5. b) (dans le cas où E'F' et H'G' se coupent en un point I') en utilisant l'homothétie.

Solution L'homothétie de centre I' qui transforme F' en E' transforme H' en G' (puisque F'H' et E'G' sont parallèles). Elle transforme la droite FC en la droite AB (parallèle à F'C' menée par E') et la droite H'A en la droite G'B. Par conséquent, elle transforme D en B. Les points I'DB sont donc alignés. .

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CHAPITRE 5

PROBLÈMES DIVERS

On propose quelques thèmes de problèmes à résoudre à l'aide des outils étudiés dans les chapitres précédents.

5. 1. Problème: Recollement de graduations

(Commentaires page 88).

Soit deux points A et B sur une droite X, Y une droite passant par A, Z une droite passant par B. On appelle π D la projection de X sur Y parallèlement à une droite D non parallèle à Y, π D', la projection de Y sur Z parallèlement à une autre droite D', non parallèle à Z, et πy la projection de Z sur X parallèlement à Y.

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PROBLÈMES DIVERS

Soit F l'application π Y π D ' π D de X dans X, M' = F(M), A' = F(A), B' = F(B) et enfin soit f : m m' l'application qui, à l'abscisse de M dans (A, B), fait correspondre l'abscisse de M' dans (A, B). a) D et D' sont données; on note a' = f(0), b' = f(l) (ce sont les abscisses de A' et B' dans (A, B)). Trouver f(m) à l'aide de a' et b'. Existe-t-il un point invariant par F, c'est-à-dire tel que f(m) = m ? b) Montrer que la donnée de a' et b' détermine en général les directions de D et D'. Étudier les cas particuliers. c) Quelle relation lie a' et b' lorsque MM ' est constant ? Peut-on choisir a' et b' de telle sorte que MM ' ait une valeur constante donnée ? Quelle est la nature de F dans ce cas ? d) Choisir a' et b' de façon que le point invariant soit un point donné de X, par exemple A, B, ou C d'abscisse dans (A, B) égale à 1/3. Expliquer pourquoi ce choix du point invariant laisse encore un paramètre arbitraire.

5. 2. Problème: Parallélogrammes et symétries

(Commentaires page 89).

Soit un parallélogramme ABCD, I et J les milieux de (A, B) et (C, D); K et L ceux de (B, C) et (A, D). a) Prouver que les droites DI, BJ, AK et CL forment un parallélogramme. Calculer les rapports des segments déterminés sur chaque droite. b) Un autre parallélogramme est celui formé par les droites DK, BL, AJ, CI. Tracer les trois parallélogrammes avec différentes

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PROBLEMES DIVERS

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couleurs. Considérer tous les points où se coupent les droites tracées. Comment se déduisent-ils les uns des autres, dans les symétries qui laissent (ABCD) globalement invariant ? Il est recommandé de faire une grande figure.

5. 3. Problème: Symétries obliques Soit un triangle ABC. Sur chaque côté, on prend comme repère (A, B), (B, C), (C, A) et l'on marque les points d'abscisses 1/3 et 2/3. Les six points forment un hexagone dont on demande d'étudier les diagonales. a) Combien y a-t-il de diagonales ? Comment sont-elles associées dans chacune des symétries qui laisse ABC globalement invariant ? b) Étudier les transformés dans ces symétries des points d'intersection des droites tracées.

5. 4. Problème

(Commentaires page 90).

On donne un triangle ABC et une direction δ . Une droite D variable, de direction δ , coupe AB en M et BC en Q. La parallèle à BC passant par M coupe AC en N, la droite de direction S passant par N coupe BC en P. Déterminer l'ensemble décrit par le centre du parallélogramme MNPQ, lorsque M décrit la droite AB, ou le segment AB.

5. 5. Problème des suites de points

(Commentaires page 90).

a) Soit un triangle A1 B1 C1 . On mène par chaque sommet la parallèle au côté opposé, formant ainsi le triangle ABC. Que sont A1 sur BC, B1 sur CA, C1 sur AB ?

SOMMAIRE

62

PROBLÈMES DIVERS

b) Partant de ABC, on construit A1 B1 C1 pour satisfaire aux conditions de a), puis A2 B2 C2 à partir de A1 B1 C1 suivant les mêmes conditions et ainsi de suite. Existe-t-il un point intérieur à tous les triangles AiBiCi ?

5. 6. Problème

(Solution abrégée page 91)

a) Quel est l'ensemble des milieux des segments dont les extrémités M et N décrivent respectivement deux segments non parallèles du plan, AB et CD ? b) Quel est l'ensemble des centres des parallélogrammes dont les sommets M, N, P, Q se trouvent respectivement sur les côtés d'un quadrilatère ABCD ?

SOMMAIRE

CHAPITRE 6

ABAQUES*

6. 1. Introduction 6.1.1. Exercice

(Solution page 91).

Soit X et Y deux droites parallèles munies des repères respectifs (A, B) et (C, D). On suppose que le repère (C, D) se déduit du repère (A, B) par translation. Un point P quelconque de X a pour abscisse x dans le repère (A, B), et un point Q quelconque de Y a pour abscisse y dans le repère (C, D). *

Ce chapitre est inspiré par des articles de T.J. FLETCHER (Second Séminaire International E. GALION, 1971) (O.C.D.L. - HATIER).

SOMMAIRE

64

ABAQUES

Démontrer qu'il existe une droite Z parallèle à x, et une seule, telle que dans un repère (É, F) bien choisi de Z, l'intersection R de PQ et de Z ait pour abscisse x + y quels que soient P et Q.

6.1.2. Abaque de l'addition On dessine trois droites X, Y et Z répondant aux conditions de l'exercice précédent. Réalisation pratique: Coller sur des cartons des bandes de papier millimétré. Les alignements de P, Q, R sont réalisés par le bord d'une règle ou par un fil tendu. Les résultats peuvent être donnés par des encadrements tenant compte des erreurs de lecture et de dessin.

6. 2. Abaques à points alignés La nomographie est une technique de calcul graphique approché. Elle utilise en particulier des abaques à points alignés * .

6.2.1. Exercice

(Solution page 92 ).

a) Soit trois droites X1 , X2, X3 d'une direction graduée, munies des repères (A1 , B1), (A2 , B2 ), (A3, B3 ). On suppose les points A1 , A2 et A3 alignés. Soit trois points M, P, Q appartenant respectivement à X1 , X2 , X3 et d'abscisses m, p, q. Caractériser l'alignement de ces trois points par une relation entre m, p, q – de la forme A 2 A3 .m + A 3 A1 .p + A1A 2 .q = 0 – de la forme q = am + bp avec a + b = 1 b) Réciproquement, on donne un nombre c. Trouver X3 telle que q = (1 — c)m + cp *

Voir par exemple: M. FRECHET et H. ROULLET. Nomographie. Collection Armand COLIN. Numéro 103.

SOMMAIRE

ABAQUES

65

c) Généralisation Trouver X3 et un repère affine sur X3 tels que q = αm + βp où α + β ≠ 0. Étudier par exemple: q = 3m + 2p

6. 3. Autres abaques Par des transformations (qui ne sont pas affines) des graduations de X1 et de X2, on peut lire sur X3 les quantités telles que au2 + bv2 , au 2 + bv 2 , a + b , etc... u v a) Lire au2 + bv2 Si l'on dispose d'un abaque donnant q = am + bp , on place sur X1 l'échelle u = r i —n et sur X2 l'échelle v = r i ; et on lit sur X3 : q = au2 + bv2. b) Lire

au 2 + bv 2

Si de plus, on place sur X3 l'échelle r = r2 = au2 + bv2 ou r =

q -, alors

au 2 + bv 2 .

c) Abaque de la multiplication

6.3.1. Exercice

(Solution page 93).

Deux droites parallèles X1 et X3 sont munies de repères affines (A1 , B1) et (A3, B3) quelconques. Comment graduer la droite X2 passant par A1 et A3, de telle sorte que les "abscisses" des points M, P, Q, alignés et appartenant respectivement à X1 , X2 , X3 , soient m, p, q liés par la relation q =mp (m est l'abscisse de M dans (A1 , B1 ); q est l'abscisse de Q dans (A3, B3) ). La graduation de X2 n'est pas affine.

SOMMAIRE

66

ABAQUES

6. 4. Conclusion La construction et l'utilisation d'abaques a donné lieu dans quelques classes françaises (et dans de nombreuses classes de GrandeBretagne) à des séances fructueuses de manipulations. Une autre technique de calcul manuel consiste à utiliser deux règles juxtaposées munies de graduations convenables. C'est en particulier le cas pour la règle à calcul usuelle munie de son échelle logarithmique. On trouvera quelques principes généraux concernant cette technique dans une courte publication de l'I.R.E.M. de Grenoble; mais le déplacement des règles graduées se rattache à la géométrie métrique et non à la géométrie affine (Cf. Chapitre 0, paragraphe 3).

SOMMAIRE

Seconde partie

SOLUTIONS

CHAPITRE 0

0.2.0. Solution détaillée On entraînera les élèves à opérer un changement d'origine suivi d'un changement d'unité sur la première graduation pour faire coïncider deux colonnes du tableau des abscisses, comme indiqué ci-après: changement d'origine

On en déduit

SOMMAIRE

b = 1/2

changement d'unité

et

d = – 3/2

68

SOLUTIONS

0.2.1. Solution détaillée II s'agit de déterminer un changement de graduation x → kx + h , k ≠ 0 , tel que

⎧km + h = 0 ⎨ ⎩kn + h = 1 m et n désignant les abscisses de M et N dans la première graduation. La résolution du système fournit les valeurs de k et h cherchées. Mais comme les élèves de quatrième ne connaissent pas encore la théorie des systèmes linéaires, on pourra opérer en deux temps: D'abord le changement d'origine x → x – m attribue la valeur 0 à M, et n – m ( ≠ 0) à N. Puis un changement d'unité conduit à la graduation cherchée

x −m . n−m

L'unicité de cette graduation se constate en remarquant que h = 0 et k = 0 est l'unique solution du système

⎧(k × 0) + h = 0 ⎨ ⎩(k × 1) + h = 0

0. 2. Commentaires L'exercice 0.2.3. ne correspond qu'à un changement d'unité. L'exercice 0.2.2. correspond à un changement d'origine, suivi d'un changement d'unité. De même pour l'exercice 0.2.4.

0.2.5. La question b) a pour objet de faire constater expérimentalement qu'en géométrie affine, les rapports de mesures algébriques de bipoints d'une même droite ne dépendent pas de la graduation choisie. Il sera toujours temps d'exposer cette remarque, dans un cours magistral, lorsque les élèves s'en seront déjà convaincus sur de nombreux exemples ! Ce n'est qu'à ce prix que la remarque les frappera. II faut distinguer ce que "remarque" l'élève de ce que seul le professeur remarque, et qui est immédiatement oublié par la classe.

SOMMAIRE

SOLUTIONS

69

0.2.6. Il faut traduire les hypothèses et l'énoncé ne suggère pas de prendre un repère plutôt qu'un autre. Un repère d'origine A permettra de trouver la réponse par un simple changement d'unité.

0.2.7. L'emploi des indices doit être rendu familier aux élèves. L'inégalité proposée en d) n'est pas obligatoire, mais rend la situation plus claire pour les débutants. On ne demande pas la valeur exacte de l'abscisse du point limite dont l'existence est prouvée si l'étude de R est suffisamment connue. Rappelons que la théorie des progressions donne

( )+

⎡ lim AA n = 1 ⎢1 + 4 + 4 2⎣ 9 9

2

⎤ ⎥ = 0, 6 ⎦

0.2.8. La démonstration repose sur l'identité

1 ⎛ x1 + x 2 + x 3 + x 4 ⎞ = 1 ⎛ x1 + x 3 + x 2 + x 4 ⎞ = 1 x + x + x + x ( 2 3 4) 2 ⎜⎝ 2 2 ⎟⎠ 2 ⎜⎝ 2 4 ⎟⎠ 4 1

0.2.9. A partir des graduations données, on construit les tableaux:

Le second tableau est obtenu par changement d'unité. Par recollement, on constate que xyz = 1 On peut généraliser en prenant davantage de points. Pour deux points, on retrouve le résultat de 0.2.3. Le résultat de ce problème sera utile dans la démonstration du théorème de Ménélaüs

SOMMAIRE

70

SOLUTIONS

On notera que dans tous les exercices de ce chapitre, le caractère rectiligne de l'ensemble gradué n'intervient pas. Les raisonnements que l'on effectue sur une ligne droite, tracée à la règle, peuvent être transposés sur l'exemple d'une route repérée grâce à l'abscisse curviligne. Il est théoriquement légitime de transposer ces raisonnements sur n'importe quel ensemble en bijection avec R. Mais il est inutile d'évoquer des exemples compliqués et sans intérêt, alors que la vie pratique abonde en graduations variées, utiles et familières.

0. 3. Commentaires Cet exercice sert à démystifier une confusion courante entre le changement d'origine et le "déplacement" de la règle graduée.

Un point M' de la règle se trouvant, avant le déplacement, en face du point M, se trouve après le déplacement en face du point N. Considérons les applications suivantes: f: D→R

ϕ : R→R

M→k

k → k3

F:D→D M→N Posons

g=ϕof

Φ:

R→R k→k–1 g: D→R M → k3

Le problème consiste à comparer les graduations Φof et f o F d'une part, et les graduations Φ o g et g o F d'autre part. On peut écrire que f(N) = k – 1

SOMMAIRE

SOLUTIONS

71

1) Comparaison de
x = f(M)

,

y = (Φ o f)(M)

,

z = (f

O

F)(M)

O

F

y = Φ(k) = k – 1

On a :

z = f(N) = k – 1 Donc

y=z

et

ϕO f =f

Illustrons graphiquement ce résultat: portons en abscisse le réel f(M) et en ordonnée les réels x, y, z (Cf. Figure 1).

2) Comparaison de Φ Soit

O

g et g

O

F

x = g(M) , , y = (~[~o g)(M) , z = (g o F)(M)

On a: x = k3 y = Φ(k3) = k3 – 1 z = ϕ [(f

SOMMAIRE

O

F)(M)] = ϕ (k – 1) = (k – 1)3

72

SOLUTIONS

On constate que, non seulement Φ O g ≠ g O F , mais encore que ces graduations ne sont pas compatibles. (Cf. Figure 2). Il n'existe pas de nombres réels a ≠ 0 et b, tels que, pour tout k réel, (k + 1)3 = ak3 + b .

Les courbes représentant y et z se déduisent de celle représentant x par des translations verticale et horizontale respectivement, de même amplitude.

CHAPITRE 1 1. 1. Commentaires 1.1.1. et 1.1.2. La caractérisation du parallélogramme et l'étude de l'image d'une droite par une symétrie centrale sont présentées ici comme une application directe du théorème des parallèles: on remarquera la simplification par rapport aux anciens programmes de quatrième, où l'on faisait intervenir des considérations de géométrie métrique.

SOMMAIRE

SOLUTIONS

73

1.1.3. Exercice Exercice didactique sur l'application répétée du théorème des parallèles (deux fois l'axiome et une fois l'énoncé réciproque).

1.1.4. Exercice On applique plusieurs fois de suite la conservation du milieu par projection, puis le théorème réciproque.

1.1.5. Problème La question a) se résout très aisément.

Les élèves sont principalement arrêtés par la complexité de la figure: il leur faudra beaucoup de tâtonnements pour faire intervenir les hypothèses dans un ordre efficace. La méthode consistera à reconstituer la figure progressivement. Par exemple, on n'envisagera d'abord que les points I, H, G, et I, F, E: grâce au parallélisme de HF et CE on pourra attribuer la valeur 0 à I, 1 à H et F, et x à G et E dans deux graduations compatibles.

SOMMAIRE

74

SOLUTIONS

On construira ensuite le point D et la droite ID et l'on projettera la graduation IH(; (resp. IFE) sur ID parallèlement à HD (resp. FD). On constatera ainsi que le point d'abscisse x, dans le repère (I, D), est confondu avec B. C.Q.F.D. La question b) peut se démontrer très élégamment grâce à l'homothétie (éventuellement la translation, dans un cas particulier). (Cf. Exercice 4.3.4). Remarque Un autre problème utilisant des projections parallèles dans plusieurs directions est discuté dans le chapitre 2 du fascicule 1 (Exercice 1).

1. 2. Commentaires Lorsque les graduations ont même origine, les abscisses x, x' du point M sont liées par une relation linéaire x' = kx avec k ≠ 0 .

1.2.1. Exercice On appelle b' l'abscisse de B' dans le repère (A, B)

Les graduations des lignes 1 et 3 se recollent. Donc m' = mb' . Remarque L'application

SOMMAIRE

X→X M → M'

est affine.

SOLUTIONS

75

1.2.2. Exercice Solution analogue. La relation est encore m' = mb' . Elle est valable' quel que soit le nombre de projections sur des droites passant par A et quelles que soient les directions de ces projections.

1.2.3. Exercice a) il suffit d'assurer la condition quand M est en B (Cf. l'exercice 1.2.2.).

b) Soit I le milieu de (A, B). La direction d' est celle de BB1, la direction d est celle de IB2. Comme on peut déterminer d' connaissant d, il en résulte que d. dépend de d'.

c) Pour que d et d' soient les mêmes, il suffit que IBB1B2 soit un parallélogramme. Connaissant X et Y, on choisit B1 sur Y et on achève le parallélogramme IBB1B2, ce qui détermine Z. B

B

1.2.4. Exercice

SOMMAIRE

B

B

76

SOLUTIONS

a) On applique d'abord l'axiome de Thalès en projetant la droite IB sur la droite ID parallèlement à BC, puis parallèlement à AB.

On recolle ensuite les graduations obtenues sur la droite ID.

On conclut qu'on peut attribuer aux points I, G, H les abscisses 0, x, y dans une graduation compatible avec la première. b) Si l'on observe les droites IHG et IFE, on se rend compte que la situation est la même que dans la dernière question du problème 1.1.5. Les parallèles à CB et CD considérées se coupent donc bien sur IC. Il est important de faire découvrir aux élèves que des énoncés d'apparences diverses peuvent recouvrir, en fait, le même problème.

1. 2. Commentaires (suite) Lorsque les graduations n'ont pas même origine, les abscisses sont liées par une relation non linéaire x → x' = kx + h

SOMMAIRE

où

k ≠ 0.

SOLUTIONS

1.2.5. Exercice

77

On utilise le schéma suivant:

Cf. exercice 1.2.1.

où m est (B, A). m – 1 est "translaté" puis m' = (A, B).

l'abscisse de M' dans le repère l'abscisse de M' dans un repère où l'origine est A ; 1 – m est l'abscisse de M' dans

Conséquence m + m' = 1 , l'image de M' est donc M. Un point invariant est tel que m = m' . Il y en a un seul qui est le milieu de (A, B). (Abscisse 1/2 dans (A, B) ). Remarque Dans le repère (O, B) où O est le milieu de (A, B), les abscisses de M et M' sont resp. 2m – 1 et 1 – 2m . L'application A est une symétrie par rapport à O (O est toujours le milieu de (M, M') ).

1.2.6. Exercice C'est un cas particulier numérique du théorème de Ménélaüs.

SOMMAIRE

78

SOLUTIONS

Dans le cadre intérieur, on a traduit les données du problème. On déduit:

1 = 1/ 4 − c 2 1− c

d'où

c = – 1/2

puis

b = −c 1− c

d'où b =1/3

Finalement, dans le repère (C, B), A' a pour abscisse 3 et M' a pour abscisse 3/2 .

1.3. Commentaires 1.3.1. Problème Avant de poser la question aux élèves, on pourra leur faire construire des triangles de formes diverses et faire constater que les médianes se coupent dans chaque cas de figure. L'intérêt de l'exercice est de susciter un souci de rigueur et de montrer qu'une figure ne constitue pas une démonstration en soi.. Une solution consiste à mener par A la parallèle à la médiane BB'. Cette parallèle coupe BC en D. D ayant pour abscisse 2 dans le repère (C, B), D n'est pas le milieu de (B, C). AD n'est donc pas la médiane issue de A du triangle.

SOMMAIRE

SOLUTIONS

79

Remarque Soit K le corps des entiers modulo 3. Dans la géométrie du plan K2, deux médianes sont toujours parallèles, car l'inverse de 2 est égal à 2 dans ce corps (2 X 2 ≡ 1 mod(3)), alors que dans R, on a 2 ≠ 1/ 2 .

1.3.2. Exercice Par projection, puis recollement, on montre aisément que dans le repère (B, C) les points C", A', B" ont respectivement pour abscisses 1/4, 1/2, 3/4.

1.3.3. Exercice a) On montre d'abord que DIBJ est un parallélogramme (IJ et DB se coupent en leur milieu). b) L'application à l'étude de l'intersection des médianes d'un triangle se fera de préférence un certain temps après avoir étudié la question a). On provoquera un effet de surprise en faisant reconnaître dans la figure 2 la "moitié" de la figure 1, étudiée une semaine plus tôt. L'entraînement à la "reconnaissance des formes" est primordial dans l'éducation mathématique.

1. 4. Commentaires Dans ces exercices, il est important de laisser l'élève découvrir lui-même la réponse. Celle-ci est surprenante et doit provoquer le désir d'une démonstration rigoureuse.

1.4.1. Exercice On laissera aux élèves le soin de poser eux-mêmes le problème, en leur faisant dessiner la figure à plusieurs reprises et constater que chaque fois QM est parallèle à BD

SOMMAIRE

80

SOLUTIONS

1.4.2. Problème Après avoir fait découvrir qu'on peut choisir A, B, C "quelconques", on pourra faire remarquer, après avoir fait dessiner plusieurs figures, que D peut prendre une position' "quelconque". L'intérêt de l'exercice serait pratiquement réduit à néant si on révélait la réponse à l'avance. On peut aussi présenter l'exercice 1.4.2. comme un cas particulier de l'exercice 1.4.1.

1.4.3. Exercice C'est une variante du problème 1.4.2.

1.4.4. Exercice C'est l'occasion d'apprendre aux élèves à faire une figure soignée, car si la figure est incorrecte, la propriété est mal mise en évidence. On résout l'exercice en remarquant que les droites DA' et BC rencontrent AS au même point: le point d'abscisse 2 dans le repère (A, S). Ce point n'est donc autre que A' !

1.4.5. Exercice Pour la démonstration de la condition nécessaire, on mène par A la parallèle à la droite PQR qui rencontre la droite BC en D.

PB est l'abscisse de B dans le repère (P, C) ; PC QC est l'abscisse de C dan le repère (P, D) ; QA RA est l'abscisse de D dans le repère (P, B ) ; , RB Pour achever la démonstration, il suffit de se reporter au problème 0.2.9. Pour montrer que la condition est suffisante, on remarquera que la droite PQ rencontre AB en un point satisfaisant à l'égalité de Ménélaüs.

SOMMAIRE

SOLUTIONS

81

CHAPITRE 2 Commentaires Grâce au réseau, les projections utiles sont en évidence.

2.3.4. Exercice Les droites A'C' et AC sont des droites diagonales du réseau R'. Parallèlement à la direction AC, les nœuds B, A' et C se projettent sur BE en B, U et V. Les nœuds D, A, E se projettent en U, V, E.

2.3.5. Exercice Les points B, A', K2 se projettent en B, G, B' parallèlement à AA'. On endéduit immédiatement GB' =

1 BG . 2

En appelant I le milieu de (A, A'), on obtient, par projection parallèlement à BC, la relation GL =

1 A'G . 2

2.3.6. Exercice Soit L le point commun aux droites BP et AA'.

SOMMAIRE

82

SOLUTIONS

Par projection parallèlement à AA':

LP = 3 BL 4 Par projection parallèlement à BC:

LH1 = 3 A ' L 4 D'où

A ' L = 4 A ' H1 = 1 A ' A 7 7

2.3.7. Exercice Cet exercice permet de mettre en évidence l'utilité du papier quadrillé pour certaines constructions géométriques. Le réseau sert ici de support pour trouver une méthode de partage. La figure ci-dessous illustre le procédé employé pour partager AB en cinq parties égales.

2.3.8. Exercice Le principe heuristique de cet exercice consiste à reconnaître la figure I de l'énoncé comme une partie d'une figure 2 plus harmonieuse. Il est primordial d'entraîner les élèves à opérer de telles reconstitutions, sans l'aide du professeur.

SOMMAIRE

SOLUTIONS

83

CHAPITRE 3 3.1.1. Exercice On prend deux positions Δ1 et Δ2 de la droite Δ. Choisissant A comme point fixe, la graduation de D se transporte ainsi sur D' :

Soit D1 la parallèle à D passant par I1 qui coupe D" en O". Choisissant B et C comme points fixes, on trouve :

Les points {D1 ∩ BM2} et {Di ∩ CM'2} ayant même abscisse par rapport au repère (O", I1) sont confondus avec I2.

SOMMAIRE

84

SOLUTIONS

3.3.1. Exercice a)

PB = BP1 PA AS

(théorème des segments homothétiques).

b) BQ1 = − 1 BP1 2 c) PB ' ≠ PB PA ' PA

si D ≠ D'

d) La réciproque du théorème du point fixe montre que QQ', RR', TT' passent par S.

SOMMAIRE

SOLUTIONS

85

3.3.2. Exercice a)

Application de l'exercice précédent.

On détermine d'abord Q1 sur XI tel que BQ1 = rBP1 . La droite Dr est la droite SQ1.

b) Le cas où X et Y sont parallèles se traite à l'aide du théorème des parallèles. QA est constant lorsque Q est sur une parallèle à x (ceci pour toute droite passant QB par P, non parallèle à X, et avec les notations de a)).

CHAPITRE 4 4.1.1. Exercice Le quadrilatère AA"M"M est un parallélogramme, car AM et A"M" sont parallèles à A'M' (resp. AA" et MM" sont parallèles à OO'). Cette démonstration ne s'applique pas lorsque AMA"M" sont alignés. Mais le théorème des segments homothétiques permet de prouver que AA " = MM " = 2OO ' dans tous les cas de figure.

SOMMAIRE

86

SOLUTIONS

L'exercice 4.1.2. et les questions 1- et 2- (Cf. figure) de l'exercice 4.1.4. se réduisent à l'exercice 4.1.1.

4.1.4. Exercice Deux symétries centrales ne commutent que si elles ont le même centre, et si T désigne une translation non identique et S une symétrie centrale, T O S ≠ S O T . Il est important de faire acquérir une conviction expérimentale de ce phénomène, en demandant d'exécuter des dessins. La commutativité de deux translations T et T' se déduit de la remarque suivante. Étant donné un point A du plan, construisons A1 = T(A) et B = T'(A) . Alors (exercice 4.1.2.), AA1T'(A1)T'(A) et AT(A)T(B)B sont des parallélogrammes. Par conséquent T'(A1) = T(B) . La composée évoquée au 4 est une translation ou une symétrie centrale selon la parité du nombre de symétries composantes : ce résultat peut donner lieu à des manipulations.

4.1.5. Problème Selon que les sommets consécutifs du parallélogramme LMNO appartiennent ou non à des côtés consécutifs du parallélogramme ABCD, il y a lieu de faire intervenir une symétrie centrale ou une translation (Cf. le problème 1.1.5., ainsi que 5. 6.).

4.2.1. Exercice Si D coupe Δ en A, le théorème du point fixe prouve que la transformée de D est une droite passant par A. Ne pas oublier d'attirer l'attention des élèves sur tous les cas particuliers : D peut être parallèle (éventuellement égale) à Δ. La droite D peut avoir la direction δ .

4.2.3. Exercice En désignant par O la médiane passant par A du triangle ABC, la symétrie oblique d'axe A parallèlement à BC résout la question.

SOMMAIRE

SOLUTIONS

4.3.1. Exercice On peut traiter à part le cas trivial où k=0 . Si D contient O, la transformée de D est D. Sinon : soit A un point de D, A' son transformé, D' la parallèle en A' à D Si M est sur D et si OM coupe D' en M', le théorème des parallèles permet d'affirmer que M' est le transformé de M dans l'homothétie. Inversement, si M' est sur D' et si OM' coupe D en M, M' est encore le transformé de M.

4.3.2. Exercice Le triangle A'B'C' est homothétique du triangle ABC dans l'homothétie de centre S, de rapport

SA ' . SA

4.3.3. Exercice Par translation, on amène A' en A. Comme le parallélisme est conservé, B' est sur AB, D' est sur AD, C' est sur AC. L'homothétie H (A,

AC ) AC '

transforme alors les parallélogrammes l'un en l'autre. ' Il en résulte que les diagonales restantes parallèles.

SOMMAIRE

deux sont

87

88

SOLUTIONS

CHAPITRE 5 5. 1. Problème a) On utilise le schéma suivant:

- la seconde ligne utilise le théorème des parallèles ; - on trouve m =

m '− a ' ' ' ' b '− a ' d où l'on tire m' en fonction de m, a , b ;

- il y a un point invariant d'abscisse m =

a' lorsque b' — a' ≠ 1 ; a '− b '+ 1

- si b'—a'=1,on a m = m'—a' ou bien a' = 0 , b' = 1 , f est l'identité ou bien a' ≠ 0 , il n'y a pas de point invariant, mais MM ' = m '− m = a ' a une valeur constante, F est donc une translation sur X. b) Si on connaît a', on connaît A', donc A2, car A'A2 est parallèle à Y. Comme A et A1 sont confondus, que A1 A2 est parallèle à D', la direction de D' est celle de AA2. si A ≠ A1 . Si on connaît b', on connaît B', donc B2, donc B1 car B1B2 est parallèle à D', et enfin la direction de D est celle de BB1 . si B ≠ B1 . B

c) MM ' = m '− m =

m '(b '− a ') − (m '− a ') b '− a '

b' — a' = 1 , et cette valeur est a'.

SOMMAIRE

est

constant

uniquement

si

SOLUTIONS

89

Par suite, si on impose cette valeur constante, a' est égale à celle-ci.

MM ' étant constant, F est une translation, réduite à l'identité si a'= 0 .

(Voir plus haut).

d) Le choix du point invariant établit une équation à deux inconnues, d'où une indétermination. Cette équation est m0 =

a' , mo étant l'abscisse a '− b '+ 1

du point invariant.

5. 2. Problème

Les symétries qui conservent globalement le parallélogramme sont la symétrie par rapport au centre de celui-ci, ainsi que les deux symétries obliques: - d'axe IJ et de direction AB ; - d'axe KI, et de direction BC . On en déduit des alignements comme celui de I, J, AK ∩ BL . LC ∩ DK.

5. 3. Problème

Il y a trois symétries obliques qui laissent ABC globalement invariant: elles ont pour axe une médiane et pour direction celle du côté opposé.

SOMMAIRE

90

SOLUTIONS

On pourra distinguer les trois diagonales principales telles que EH, des autres diagonales, dites secondaires.

5. 4. Problème

L'intérêt de ce problème est de faire intervenir une recherche auxiliaire (Cf. Polya: La Découverte des Mathématiques, Dunod, 1967, Chapitre 9, problèmes en cascade). On peut considérer l'ensemble des milieux de (M, IN) lorsque D varie: c'est la médiane du triangle relative à A. On extrait alors la figure 2 et on est ramené au problème suivant: Soit AIC un triangle et δ une direction donnée; une droite variable D de direction δ coupe les côtés IA et IC du triangle en deux points dont on appelle K le milieu. Trouver l'ensemble des points K lorsque D varie. C'est l'axe de la symétrie oblique qui fait correspondre les droites IA et IC pour la direction δ.

5. 5. Problème On peut exploiter cette situation classique. Les sommets Ai, Bi, Ci sont respectivement sur les médianes, axes de symétrie du triangle donné. On découvre et l'on retrouve que ces droites concourent en G. La preuve exige une étude précise, définissaut G par encadrement :

⎛ A A = 1 AA ⎞ ; on pourra utiliser la ⎜ n n +1 1⎟ 2n ⎝ ⎠ numération binaire. G est le seul point intérieur à tous les triangles de la suite.

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SOLUTIONS

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5. 6. Problème (solution abrégée) a) Avant de faire varier simultanément M et N, commençons par fixer M sur le segment AB, en faisant varier N sur le segment CD. Le milieu de MN décrit alors un segment SM que l'on précisera. On libérera ensuite le point M sur le segment AB. Le milieu du segment SM décrira un segment que l'on précisera. Le segment SM balayera alors l'ensemble cherché, dont la frontière est constituée par les cotés d'un parallélogramme. b) Bel exemple d'intersection de deux ensembles.

CHAPITRE 6 6.1.1. Exercice

Les droites AD et BC doivent rencontrer Z au même point, à savoir le point F d'abscisse 1 sur Z. Le point F' est donc nécessairement le centre du parallélogramme ABDC, et le point E est nécessairement le milieu de (A, C). Vérifions que la droite EF convient. Soit S le point commun aux droites EF et CP. D'après le théorème du point fixe, S a pour abscisse x dans le repère (E, F). D'après le théorème des segments homothétiques, SR = y/2 dans le repère (E, E') et par suite SR = y dans le repère (E, F). Il en résulte bien que l'abscisse de R est x + y dans le repère (E, F). C.Q.F.D.

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SOLUTIONS

6.2.1. Exercice a)

Le théorème des segments homothétiques permet d'écrire: M, P, Q sont alignés

⇔

M 'M = M 'Q P 'P P 'Q

⇔ (m − q ) A 2 A 3 = (p − q ) A1A 3

⇔

m − q A1 A 3 = p − q A2 A3

⇔ mA 2 A 3 = (p − q )A1 A 3

⇔ mA 2 A 3 + pA3 A1 + qA1 A 2 = 0 Si a =

A 2 A3 A 2 A1

, b=

A 3 A1 A 2 A1

, alors a + b = 1 et q = am + bp.

b) En se servant de la première question, on doit avoir c =

A 3 A1 A 2 A1

d'où

A 3 A1 = c.A 2 A1 . Par exemple si c =1/2 , la relation devient q =

m+p et l'on se trouve dans 2

la situation de l'exercice du paragraphe a). c) On se ramène au cas précédent avec c =

β α +β

Le repère translaté de (A1, B1) est, sur X3, (A3, B3), avec une abscisse dans (A3, B3) égale à q ' =

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α m+ β p . α +β α +β

SOLUTIONS

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On prend comme nouvelle graduation sur X3 l'unique graduation telle que l'abscisse de A3 soit 0 et l'abscisse de B3 soit α + β. Alors, Q a pour abscisse q' (α + β ) = q = αm + β p .

6.3.1. Exercice Soit P sur X2 distinct de A1 , PB1 coupe X3 en Q' ayant pour abscisse p. Alors P devrait être repéré par p. On obtient ainsi (par projection centrale de sommet B1) une graduation de X2 qui n'est pas affine. Lorsque le point P s'approche de A1 , sa graduation croît indéfiniment en module. Le point A1 , que l'on pourrait appeler le point à l'infini de la graduation, n'est pas repéré. B

II reste à prouver que cette graduation définit bien l'abaque de la multiplication. Le théorème du point fixe assure que pour toute droite PMQ, Q a pour abscisse q = mp .

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Dépôt légal 1er Trim. 1973 Imp ri m e ri e U DR E Y - L YO N

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