La Convex Ité

COLLECTION FORMATION DES MAÎTRES EN MATHÉMATIQUE Directeur : Maurice GLAYMANN 1. LA LOGIQUE A L'ÉCOLE M. Glaymann - P.C. Rosenbloom 2. LA MATHÉMATIQUE ET SES APPLICATIONS Troisième Séminaire International -E. Galion 3. L'ALGÈBRE LINÉAIRE PAR SES APPLICATIONS T. J. Fletcher 4. LE LIVRE DU PROBLÈME – Pédagogie de l'exercice et du problème – Exercices élémentaires de géométrie affine – La parité – La convexité I.R.E.M. de STRASBOURG 5

ADDITION DANS N M. Robert

6

MODÈLES FINIS A. Myx

7

LA GÉOMÉTRIE AUTOUR D'UN CARRE P. Gagnaire

8

LE LANGAGE DES CATÉGORIES P. J. Hilton

9

LES PROBABILITÉS A L'ÉCOLE M. Glaymann et T. Varga

10 ACTIVITÉS SUR QUELQUES THÈMES D'ALGÈBRE L. Jeremy 11 OPÉRATEURS A L'ÉCOLE ÉLÉMENTAIRE F. Je rente Ce volume porte les numéros :

ISBN-2-7124-0103-4 (édition complète) ISBN-2-7124-0117-4 (vol. 4) © CEDIC 1974

Droits de traduction et de reproduction réservés pour tous pays. Toute reproduction, même partielle, de cet ouvrage est interdite. Une copie ou reproduction par quelque procédé que ce soit, photographie, microfilm, bande magnétique, disque ou autre, constitue sine contrefaçon passible des peines prévues par la loi du ' 11 mars 1957 sur la protection des droits d auteurs.

Imprimé en France

Nous

n'oublierons

pas

Jean

FRENKEL

(1923, 1974) qui fut directeur-fondateur de l'I.R.E.M. de Strasbourg.

SOMMAIRE

Préface .....................................................................................9 Chapitre I Entrée en matière ................................................................. 15 Chapitre 2 Propriétés affines .................................................................. 25 Chapitre 3 La convexité, outil d'initiation à la topologie ............................ 39 Chapitre 4 Géométrie de disposition ....................................................... 55 Chapitre 5 Propriétés métriques ............................................................. 67 Chapitre 6 Applications de la convexité .................................................. 77 Solutions .......................................................................... 87 Bibliographie ................................................................... 107

PRÉFACE

Ce fascicule illustre, grâce à des exemples précis, une conception active de la pédagogie des mathématiques, où la gymnastique de l'esprit prime l'ingurgitation passive de connaissances. Pour l'écrire, on a constamment imaginé ou observé de jeunes élèves aux prises avec chacun des thèmes mathématiques proposés. Et on a essayé de préciser ce que peut être l'attitude d'un professeur qui veut favoriser la recherche active de sa classe. Avant d'exposer les diverses innovations pédagogiques mises en œuvre dans l'ouvrage, il faut bien justifier le choix du thème: la convexité. Ce thème peut paraître paradoxal pour un document destiné à la formation des maîtres de l'enseignement secondaire. Le professeur, lié par des horaires et des programmes contraignants, s'étonnera que l'on consacre un fascicule à un sujet à peine mentionné dans les programmes officiels: pour faire assimiler la définition et les quelques banalités qui sont "obligatoires", le paragraphe 1 du Chapitre I de la présente brochure est amplement suffisant. On répondra que pour développer la pédagogie de l'exercice et du problème, il faut se placer en dehors, mais pas trop loin, des programmes. Il convient d'éviter à tout prix les thèmes susceptibles de devenir des questions de cours, des questions d'examen "bien connues" que tout bon candidat devrait connaître. Sinon, le professeur est tenté de transmettre coûte que coûte ces connaissances dans le cours magistral. Il n'est plus question de faire réfléchir les élèves d'une façon indépendante: il ne leur reste plus qu'à digérer jusqu'à l'indigestion ...!

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PRÉFACE Le développement de la curiosité, de l'imagination, de l'ingéniosité, de la minutie, est la principale finalité de l'enseignement mathématique. Si on veut y contribuer, il faut renoncer à transformer les thèmes de réflexion en exercices de mémoire: l'élève ne retiendra des problèmes sur la convexité que ce qui se sera spontanément gravé dans la mémoire: aucune obligation ne doit lui être faite de mémoriser davantage. Mais la convexité est un domaine très proche de ce que l'on enseigne dans les classes secondaires. On y côtoie les géométries affines et métriques, l'algèbre linéaire, le calcul barycentrique, le calcul numérique et algébrique, la statique, etc... etc... La théorie utilise constamment le maniement de R. En exerçant sa sagacité sur l'étude de figures convexes, l'élève ne disperse pas ses efforts : au contraire, il assimile les quelques notions essentielles du noyau des connaissances exigées. Le maître n'aura pas de peine à trier la documentation rassemblée ici, et à décider lui-même de l'usage qu'il pourra en faire. Un petit nombre d'exercices, convenablement présentés dans un langage familier, peut s'adresser à des écoliers. D'autres sont particulièrement adaptés à des élèves de classes préparatoires ou à des étudiants. On trouvera des énoncés qui conviennent particulièrement à des élèves-professeurs qui préparent un concours de recrutement. Mais l'essentiel s'adresse aux élèves de l'enseignement secondaire, classique ou technique, des premier et second cycles. Le mathématicien professionnel s'étonnera du choix d'une branche difficile et récente de la mathématique (si l'on excepte les travaux de Minkovski, qui inaugurait vers 1 890 l'étude de la convexité par des applications à l'arithmétique, la théorie des corps convexes ne prend son essor que vers 1 910. Après avoir donné l'impression de s'épuiser, elle a subitement rebondi pendant les dernières décennies, stimulée par les besoins de la programma-

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10

PRÉFACE tion linéaire ou convexe). De plus, c'est en analyse fonctionnelle, dans des espaces vectoriels topologiques de dimension infinie, que la convexité se montre particulièrement féconde. On s'interroge alors avec effroi ... Est-ce cela que l'on propose à des lycéens débutants ? Ou bien va-t-on distiller une matière édulcorée qui aura perdu tout son sel ? Notre souci, en rédigeant ce fascicule, n'était pas mathématique, mais pédagogique. Le choix des sujets ne s'est pas effectué en fonction de l'intérêt mathématique, mais des vertus pédagogiques de chaque question. Nous avons essentiellement visé à écrire un outil de formation des maîtres. Il est bien connu que la théorie de la convexité ne prend sa véritable dimension que lorsqu'on y fait intervenir la topologie. Notre document pédagogique n'aborde ni la compacité, ni le théorème de séparation de Hahn-Banach. Il effleure à peine, vers la fin, quelques sujets (par exemple les espaces normés) qui se trouvent être au départ de tout ouvrage mathématique sur la convexité. On est cependant émerveillé de constater la variété des questions substantielles - peut-être triviales pour le mathématicien professionnel - que l'on peut soumettre à la sagacité de jeunes élèves qui s'initient à la recherche des problèmes. La seule concession que nous avons été obligés de faire à la topologie est l'introduction de la notion d'ensembles convexes ouverts ou fermés. Mais dans le cas convexe, on parvient à présenter très simplement la question en admettant un seul résultat "transcendant" (bien anodin): c'est la liste des sous-ensembles convexes de R, qui figure au chapitre III, paragraphe 2 et qui évite, lorsqu'on l'admet, de faire intervenir la notion de borne supérieure. Notre souci pédagogique nous conduit à adopter un mode de rédaction qui n'est pas celui du mathématicien professionnel :

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PRÉFACE celui-ci essaie de présenter chaque théorème dans "sa généralité la plus féconde" ("in its most useful generality" selon l'heureuse formule du mathématicien américain Moore). Dans notre fascicule, nous nous maintenons au niveau où se situent les difficultés qui peuvent stimuler nos jeunes élèves: nous présentons, par exemple, une version bi-dimensionnelle d'un résultat lorsque le passage à la dimension n n'offre aucun attrait heuristique. De même, nous présentons de nombreux "demi-théorèmes" où l'élève est invité à prouver une partie d'un résultat classique. Ainsi, le théorème de Jordan n'est proposé que dans sa version polygonale, l'inégalité isopérimétrique pour les polygones plans, le théorème de Jung pour la recherche des couvercles des seuls ensembles finis, etc... Lorsqu'un élève voudra, par la suite, étudier ces questions, il trouvera dans la littérature des exposés où le résultat aura été replacé dans son véritable cadre. Mais, entre temps, il aura résolu luimême une partie substantielle de la difficulté. Mais le pédagogue pourra aussi nous interroger: quelle vertu pédagogique spécifique peut-on attribuer à une étude de la convexité ? Une comparaison avec la géométrie euclidienne élémentaire dans sa présentation traditionnelle tourne nettement à l'avantage de la convexité lorsqu'on vise à une première initiation au raisonnement mathématique. D'abord, il faut donner aux jeunes le goût de la déduction. Il est bien difficile de faire admettre la nécessité des démonstrations en présence des propriétés du triangle isocèle et du parallélogramme, dont l'évidence expérimentale apparaît sur un bon dessin. Par contre, on notera que certaines questions parmi les plus simples de ce recueil sont "ouvertes": les énoncés les plus plausibles risquent d'être faux, et il y a matière à recherche de contreexemple à presque toutes les pages. De plus, ces contre-exemples

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PRÉFACE ne résultent pas de constructions compliquées et artificielles. Par exemple, demandez à un jeune enfant ce qu'il pense des deux affirmations suivantes: "Je me trouve à l'intérieur d'un champ carré et je marche tout droit. Au milieu de mon trajet, je rencontre la frontière du champ. Par conséquent, je me retrouve à l'extérieur du champ". "Je

me trouve à l'extérieur du champ carré et je marche tout droit. Au milieu de mon trajet, je rencontre la frontière du champ. Par conséquent, je me retrouve à l'intérieur du champ".

Si la question est bien comprise, l'enfant est en mesure de trouver le contre-exemple qui intervient dans l'exercice III, 4.1. Et il est fondamental d'exercer tous nos élèves à ne pas prendre pour argent comptant des affirmations péremptoires, lorsqu'elles expriment des contre-vérités. Ensuite, la théorie de la convexité abonde en questions "qualitatives", où il s'agit de démontrer une inclusion plutôt qu'une égalité, une implication plutôt qu'une équivalence, une inégalité géométrique plutôt qu'une isométrie. Ces questions qualitatives sont, dans les applications courantes, très importantes. La convexité permet de les populariser aisément. On notera, par exemple, un chapitre de "Géométrie de situation" qui porte sur des points très importants, que la tradition négligeait... Le fascicule comporte aussi une critique du "corrigé-type traditionnel". Lorsque l'intérêt de l'élève porte surtout sur la justesse d'une réponse, on est tenté de dicter la solution sous la forme qu'elle devrait revêtir dans une bonne copie. Mais nous n'attachons pas grand intérêt à la réponse juste, si ce n'est pas l'élève lui-même qui l'a cherchée et trouvée. Ce qui im-

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PRÉFACE

porte, ce n'est pas le stade final reflété par la copie, mais plutôt toutes les démarches intellectuelles qui permettent la recherche. Plusieurs problèmes sont présentés ici, accompagnés d'un corrigé-heuristique, avec la description de diverses tentatives, y compris celles qui aboutissent à un échec ou à un détour inutile. Nous voulons, à la longue, convaincre chaque élève qu'il peut trouver la solution de son problème en entreprenant lui-même une recherche active. Il doit savoir préparer la recherche proprement dite par du "bricolage" et des manipulations diverses, qu'il devrait entreprendre spontanément. En attendant, le fascicule lui suggère quelques activités de ce genre.

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CHAPITRE 1

ENTRÉE EN MATIÈRE Tous les espaces affines (ou vectoriels) considérés dans ce fascicule sont définis (sauf mention du contraire) sur le corps R des réels.

I. Quelques banalités Définition: On dit qu'une partie X d'un espace affine E est convexe si et seulement si avec toute paire de points {A, B }, elle contient aussi le segment [AB] .

1.1 Exercice de contemplation Dans ces dessins, un point frontière est représenté en gras ( ) ou en fin ( ___ ) selon qu'il appartient ou non à l'ensemble représenté.

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ENTRÉE EN MATIÈRE

Quels sont les dessins ci-dessous qui représentent des ensembles convexes ?

Commentaire pédagogique La contemplation ne doit pas rester passive. Pour éveiller les esprits endormis, nous avons volontairement glissé des questions ambiguës: il faut que les élèves prennent conscience eux-mêmes de ce que les questions précédentes sont mal posées :

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ENTRÉE EN MATIÈRE Par exemple, la figure ci-contre est convexe (ou non) selon que l'on exclut (ou non) les extrémités A et B. Ici, la convexité ne se voit pas sur la figure ! Le remède est facile à trouver: il convient d'utiliser un langage précis. Par exemple:

1.2 L'ensemble de R2 défini par le système d'inégalités suivant est-il convexe ?

{0 ≤ x

et 0 ≤ y et

{{x + y < 3} ou {x + y = 3 et1 < x ≤ 2}}}

Décrire de façon analogue quelques-uns des exemples ambigus précédents. On peut aussi utiliser les conventions graphiques de Papy qui dessine en vert les points ajoutés explicitement et en rouge les points explicitement enlevés [9] .

Commentaire pédagogique L'objectif de (1.1) est de fournir une motivation à la rigueur, (et en particulier à la formulation 1.2 qui pourrait paraître pédante à des élèves qui n'en auraient pas senti la nécessité).

E.D

1.3

L'ensemble vide est-il convexe ? Quels sont les ensembles finis qui sont convexes ? Un ensemble convexe est-il connexe ? Un ensemble connexe est-il convexe ?

E.D

1.4

a) L'intersection d'une famille de parties convexes est convexe. b) Pour qu'un ensemble soit convexe, il faut et il suffit que son

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ENTRÉE EN MATIÈRE intersection avec toute droite soit convexe. c) La réunion de deux ensembles convexes est-elle toujours (parfois) convexe ? Utiliser ce qui précède pour rédiger des démonstrations de convexité de certaines des figures de 1.1.

ED

1.5

Limage d'un ensemble convexe par une application affine est convexe. Énumérer quelques cas particuliers. Une projection cylindrique d'ensemble convexe est convexe. En est-il de même pour une projection conique ? (Cf IV, 1.5 ).

E.D

1.6

Si X et Y sont des ensembles convexes, respectivement inclus dans deux espaces affines E et F, l'ensemble produit cartésien X × Y est une partie convexe de l'espace affine E × F .

II. Diverses exploitations pédagogiques d'un même thème Enoncé

2.1

Soit X et Y deux ensembles convexes d'un espace affine E. Démontrer que l'ensemble Z des milieux des segments qui joignent un point de X à un point de Y est convexe.

Commentaire pédagogique: a) Pour des novices en géométrie, cet énoncé, restreint au cas où E est un plan, constitue un excellent problème : L'élève pourra commencer par formuler la question ainsi :

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ENTRÉE EN MATIÈRE Si I et I' sont des points de Z, le segment [II'] est-il contenu dans Z?

On se convainc qu'aucune modification de la figure qui n'affecte pas les segments [AA'] et [BB'] n'influe sur la réponse. Il suffit donc de résoudre le problème dans le cas particulier où X et Y sont des segments. Or ce problème est traité au fascicule 2 du Livre du Problème, page 62. Nous y renvoyons notre lecteur. On trouve que dans ce cas Z est un domaine limité par un parallélogramme: intersection de deux bandes (1.4 ), il est convexe. b) Voici maintenant un raisonnement beaucoup plus expéditif, basé sur une idée typiquement moderne, dont la portée est très générale.

Solution: D'après 1.6, X × Y est une partie convexe de E X E. Or l'application de E × E dans É qui associe à (A, B) ∈ E × E le milieu du segment [AB] est affine. Donc (1,5) l'image Z de X × Y est convexe. Les obstacles pédagogiques à l'emploi de cette méthode tiennent d'abord aux connaissances des élèves (maîtrise de la notion d'application affine, usage d'un espace E X É dont la dimension dépasse généralement 3). Mais surtout, il faut une certaine matu

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ENTRÉE EN MATIÈRE rité d'esprit, avec l'habitude de l'abstraction, pour apprécier l'élégance et la simplicité de l'argument b), comparé à la méthode "artisanale" de la solution a). Le professeur pourra déjà utiliser cet exemple dans les classes du second cycle pour illustrer un exposé méthodologique. Il s'agit de l'idée pédagogique suivante, mise à la mode par Bourbaki: "Lorsqu'on expose une notion nouvelle, on énumère sitôt que possible les diverses constructions et transformations simples qui conservent cette notion. Et on apprend à combiner systématiquement ces constructions".

Ce mode de pensée intervient dans toutes les branches des mathématiques et trouve son application tout au long de l'enseignement secondaire. c) Évidemment, le raisonnement a) admet maintes variantes. Signalons celle qui utilise le calcul barycentrique. (Voir fascicule 5).

III. Fonctions convexes : 3.1

Définition

On dit qu'une fonction numérique f, définie sur un intervalle I (borné ou non) de R est convexe (resp. concave) si et seulement si l'ensemble, des points de R2 défini par

{( x, y ) ∈ I × R | x ∈ I

et

y ≥ f ( x )}

est convexe. (resp. :

E.D

{( x, y ) ∈ I × R

| y ≤ f ( x )} est convexe).

3.2

qu'une

Pour fonction f soit convexe, il faut et il suffit que toute corde du graphe de la fonction se trouve "au-dessus" de son graphe.

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ENTRÉE EN MATIÈRE

Remarque pédagogique: Des fanatiques de la pédagogie de l'exposition feront remarquer que l'expression "se trouver au-dessus d'un graphe" n'a pas été définie. "Qu'est-ce que cela veut dire ? " demanderont-ils au professeur. Il est important d'apprendre aux élèves à trouver euxmêmes la bonne formulation. (Voir

E.D

E.E

3.4 )

3.3

Une fonction qui est à la fois convexe et concave est affine.

E.E

3.4

1) Une fonction numérique f définie sur I est convexe si et seulement si pour tout couple (x1 , x2) ∈ I × I et pour tout réel λ compris entre 0 et 1 on a: f ( λ x1 + (1 − λ ) x 2 ) ≤ λ f ( x1 ) + (1 − λ )f ( x 2 ) 2) Vérifier que si x ∈ I , x + h ∈ I et 0 < λ < 1 , alors la fonction convexe f satisfait à f ( x + λ h) − f ( x ) f ( x + h) − f ( x ) ≤ h λh

3) Démontrer que si f admet une dérivée en chaque point de l'intervalle I, la fonction dérivée f' est croissante au sens large. Inversement, si f' est croissante, alors la fonction f est convexe. (Appliquer le théorème des accroissements finis ou le théorème de la moyenne). 4) Démontrer que si f admet une dérivée seconde, pour que f soit convexe, il faut et il suffit que f" soit positive ou nulle.

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ENTRÉE EN MATIÈRE

P

3.5

Quelles sont les propriétés suivantes qui sont vraies ? Donner soit une démonstration, soit un contre-exemple. Si f et g sont convexes et X réel (resp. réel positif) alors f + g, f × g, f O g, λ f sont convexes. Pour trouver ces contre-exemples, on pourra combiner des polynômes simples. On pourra aussi faire intervenir la fonction t → |t| .

IV. Prétexte à calcul Etant donné deux points A = (x, y) ,

et

A' = (x', y')

de R2 , on sait que le segment fermé [AA'] est l'ensemble des points dont les coordonnées sont: (λ x + (1–λ)x' , λ y + (1–λ) y') avec

0≤λ ≤1. On définit de même le segment ouvert ]AA'[ , et les deux segments semi-ouverts [AA'[ et ]AA'] , en n'envisageant que des X satisfaisant respectivement à 0< λ <1 , 0 ≤ λ <1 et 0 < λ ≤ 1 .

Les exercices qui suivent constituent un bon entraînement au calcul et au maniement des inégalités.

T. T

4.1

Vérifier par le calcul (ou infirmer) que les ensembles de R2 définis par les systèmes d'inégalités suivants sont convexes : a) {(x, y) ∈ R2 | ax + by + c ≥ 0 b) {(x, y) ∈ R2 | |x| <1 }

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et

x<0}

a, b, c donnés

ENTRÉE EN MATIÈRE c) {(x, y) ∈ R2 | |x| ≥ 1 } d) {(x, y) ∈ R2 | |x| ≤ 1 et |y| ≤ 1 } e) {(x, y) ∈ R2 | |x| ≤ 1 ou |y| ≤ 1 } f) {(x, y) ∈ R2 | |x| + |y| ≤ 1 } g) {(x, y) ∈ R2 | y – x2 ≥ 0 } h) {(x, y) ∈ R2 | xy ≥ 1 et x > 0 } (Solution page 87)

E.E

4.2

a) Montrer par récurrence que si f est convexe sur un intervalle I alors: ∀ ( x 1 " , x n ) ∈ In

⎛ x +" + xn , f⎜ 1 n ⎝

⎞ f ( x1 ) + " + f ( x n ) ⎟≤ n ⎠

Quel résultat peut-on énoncer dans le cas où f est concave ? b) Comparer les moyennes quadratique, harmonique et géométrique de n nombres xl , ..., xn strictement positifs à leur moyenne arithmétique. c) Comparer la moyenne harmonique et la moyenne géométrique de n nombres xl , ..., xn strictement positifs.

Commentaire: On peut donner l'indication suivante: on sera amené à étudier (pour s'en servir) la convexité (ou concavité) sur R *+ de la fonction x ⎯⎯ → Log 1 = −Log x x

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ENTRÉE EN MATIÈRE Variante: a) En étudiant le signe du polynôme f(x) = (a + x a')2 + (b + x b')2 + ... + (k + xk')2 démontrer l'inégalité:

V (a, a', ..., k, k') ,

(aa'+bb'+...+kk')2 – (a2 + b2 + ... + k2) (a'2 + b'2 + ... +k'2) ≤ 0 . b) Cas particulier: Montrer que le carré de la moyenne arithmétique de n nombres est au plus égal à la moyenne arithmétique de leurs carrés.

E.E

4.3

a) Une automobile parcourt 1 km à la vitesse horaire v, puis 1 km à la vitesse horaire v'. Quelle est sa vitesse moyenne ? b) Une automobile roule pendant une heure à la vitesse horaire v, puis, pendant une heure, à la vitesse horaire v'. Quelle est sa vitesse moyenne ?

V. L'oeuf de Christophe Colomb P

5.1

a) Soit E un sous-ensemble fini du plan possédant la propriété suivante: "Quels que soient les trois points distincts A, B, C de E, ces trois points ne sont pas alignés". Montrer qu'on peut lui ajouter un point M tel que É ∪ { M } ait la même propriété (Trivial). b) Cette conclusion reste-t-elle vraie si E est un ensemble infini ?

Commentaire: C'est très simple. Tout le monde peut le trouver, -il suffit d'y penser ! [Problème posé dans KBAHT, numéro 11 (1973)].

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CHAPITRE 2 PROPRIÉTÉS AFFINES

I. Enveloppe convexe 1.1

Définition

Si X est une partie d'un espace affine E, l'enveloppe convexe Γ(X) de X est l'intersection de tous les ensembles convexes qui contiennent X. (C'est "le plus petit" ensemble convexe qui contient X). E.D

1.2

Quelle est l'enveloppe convexe des diverses parties du plan qui font l'objet de (I, 1.1.) ? E.D

1.3

L'enveloppe convexe d'un nombre fini de points A1 , A2, ..., Ap est l'ensemble Γ des barycentres des points massifs (λ1, A1 ), ...,

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25

PROPRIÉTÉS AFFINES (λp , Ap) où les masses λi. satisfont à: ∀i λi ≥ 0 et

p

∑λ i =1

i

=1

(Solution page 88)

E.D

1.4

L'enveloppe convexe de la réunion de deux ensembles convexes X1 et X2 est la réunion des segments [A1 A2] où A1 ∈ Xi et A2 ∈ X2 . (S'inspirer de I, 2.1.).

E.D

1.5

Quelle est l'enveloppe convexe de la réunion d'une droite D et d'un point O n'appartenant pas à D ? Georges Papy, qui a eu souvent l'occasion de poser cet exercice facile en classe, a constaté que les élèves très doués commençaient généralement par fournir une réponse fausse. Des élèves moyens, ayant moins d'assurance, fournissaient d'emblée la bonne réponse. Expliquer psychologiquement cette situation.

P

1.6

Soit X l'ensemble des points du cercle trigonométrique dont l'abscisse curviligne est q n où q E Q . Quelle est l'enveloppe convexe de X? (Résumé de la solution page 89)

E.E

1.7

Soit P(E) et K(E) l'ensemble des parties et l'ensemble des parties convexes de l'espace affine E. Étudier l'application Γ qui associe à tout X ∈ P(R) son enveloppe convexe Γ(X) ∈ K(E) .

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PROPRIÉTÉS AFFINES 1) Montrer que r o T = r et que pour tout X, X C r(X) . 2) L'application Γ est "croissante": pour tout couple (X, Y) d'éléments de P(E) X ⊂ Y ⇒ Γ(X) ⊂ Γ (Y) 3) Quelles sont les relations d'inclusion ou d'égalité qui sont satisfaites, pour tout X ∈ P(E) et tout Y ∈ P(E) , entre les ensembles Γ(X ∪ Y) , Γ(X ∩ Y) , Γ(X) ∪ Γ(Y) , Γ(X) ∩ Γ(Y) , Γ(Γ(X) ∪ Γ(Y)) , Γ[CX) , (Γ(CX) ? On fournira des contre-exemples simples (avec X et Y comprenant peu de points) aux relations plausibles qui sont fausses. (Solution et commentaires page 89)

E.E

1.8

On dira qu'un ensemble X d'un espace euclidien a un diamètre égal à 1, si: a) la distance de deux points arbitraires de X est inférieure ou égale à 1. b) il existe deux points de X dont la distance est effectivement égale à 1. Démontrer que si X a un diamètre égal à 1, alors l'enveloppe convexe [(X) a un diamètre égal à 1* . Pour cela, on étudiera d'abord l'intersection de toutes les boules fermées de rayon 1, centrées en un point de X, puis l'intersection de toutes les boules fermées de rayon 1, centrées en un point de r(X). On montrera que cette dernière intersection contient X, donc r(X). E.E

1.9

Soit α une fonction numérique, définie sur I = [0, 1] , positive, croissante, continue à l'origine. Montrer qu'il existe une fonction β.

*

Attention ! Ce n'est pas la définition habituelle. Cette définition suffisante ici, évite d'invoquer la borne supérieure

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27

PROPRIÉTÉS AFFINES ayant les mêmes propriétés, mais qui en outre est concave et satisfait à β ≥ α . On pourra obtenir une telle fonction en construisant l'enveloppe convexe de l'ensemble des points de I × R qui ont une ordonnée positive, et qui sont -dessous du graphe de α . Pour prouver la continuité de β l'origine, on enfermera cette enveloppe convexe dans un polygone tracé en trait fort sur le dessin ci-dessous, et pour lequel h peut être choisi aussi petit que l'on veut. De telles fonctions e sont d'un emploi courant en analyse sous le nom de module de continuité.

P

1.10

Soit S un ensemble de 3n points du plan, tels que trois quelconques d'entre eux ne soient pas alignés. Montrer qu'il existe dans le plan n simplexes disjoints dont les sommets appartiennent à S . (Cf. III, E.E 1.2) (Question soumise, parmi d'autres. à une épreuve britannique de présélection en vue des Olympiades Internationales de Mathématiques). (Commentaire page 90)

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PROPRIÉTÉS AFFINES

II. Le théorème de Carathéodory M

2.1

Étant donné un ensemble X ⊂ P (E) , on désigne par H(X) la réunion des segments [AB] où (A, B) ∈ X × X. L'ensemble H(X) est-il convexe ? L'ensemble H (H(X)) est-il convexe ? On pourra expérimenter sur des ensembles finis dans un espace affine à 3 dimensions.

E.E

2.2

1) Démontrer que l'enveloppe convexe Γ(X) d'un ensemble l des enveloppes convexes de toutes les X ⊂ E est la réunion X parties finies incluses dans X. 2) Si E est à n dimensions, Γ(X) est la réunion des enveloppes convexes de toutes les parties finies comprenant n + 1 points, au plus. Démonstration de ce théorème de Carathéodory l ⊂ Γ(X) 1) D'après 1.3 ) et (1.7 , 2), X ⊂ X l est convexe. Il suffit de prouver que X Or si (I, J) ∈ Γ(X1) × Γ(X2 )

où X1 et X2 sont des parties finies de X, alors [IJ] ⊂ Γ(X1 ∪ X2) (d'après (1.7 , 2) ) 2) Il suffit (à cause du 1)) de démontrer ce 2) dans le cas où X est un ensemble fini de cardinal p > n + 1. Ainsi:

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X = {A1 ,A2 ,...,Ap }

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PROPRIÉTÉS AFFINES Pour tout M ∈ Γ(X) il existe des réels αi > 0 tels que : p

∑α i =1

p

i

= 1 et M = ∑ α i A i i =1

Mais comme p points de E (p ≥ n + 1) ne sont pas indépendants, il existe des réels βi, non tous nuls, tels que

∑β

i

= 0 et

∑β A i

i

=0

Si k est un indice tel que βk ≠ 0 , il suffit de faire la combinaison p α ⎛ ⎞ M = ∑ ⎜ αi − k βi ⎟ Ai β ⎠ k i =1 ⎝

pour que le coefficient de Ak soit nul : on diminue ainsi le cardinal p d'au moins une unité.

α ⎛ ⎞ Mais l'on exige que les coefficients ⎜ α i − k β i ⎟ soient tous posiβk ⎠ ⎝ tifs, ce qui ne peut se produire que si k est choisi convenablement. Comment ? Lorsque le problème est ainsi posé, les élèves devraient pouvoir trouver qu'il suffit de choisir

αk α comme le plus petit des i βk βi

strictement positifs. En diminuant successivement le cardinal de X, on trouve que M appartient à l'enveloppe convexe d'une partie de X comprenant n + 1 points au plus.

E.D

2.3

Les notations étant celles de M , 2.1 , montrer que dans un espace affine à n + 1 dimensions, la suite des itérés H(X) , H(H(X)) , H(H(H(X))) , etc... fournit l'enveloppe convexe au bout d'un nombre fini d'opérations. Combien ?

SOMMAIRE

30

PROPRIÉTÉS AFFINES

III. Le théorème de Helly M

3.1

Peut-on dessiner dans le plan trois ensembles convexes d'intersection vide, qui se coupent deux à deux ? Peut-on trouver trois entiers qui sont étrangers ou premiers dans leur ensemble, mais qui ne sont pas étrangers deux à deux ?

P

3.2

Voici l'énoncé du théorème de Helly : "Soit E un ensemble fini de parties convexes d'un espace affine à n dimensions. On suppose que l'intersection de tout p-uple de convexes appartenant à E n'est pas vide. Alors si p ≥ n + 1 l'intersection de tous les convexes de E n'est pas vide". Montrer, par des contre-exemples, que l'abandon de chacune des expressions encadrées conduit à des énoncés faux.

E.E

3.3

Soit E un ensemble de p + 1 parties convexes d'un espace affine à n dimensions avec p ≥ n + 1 . On suppose que les convexes de E se coupent p à p. En déduire que les p + 1 éléments de E ont un point commun. En déduire le théorème de Helly par récurrence sur p, à partir de n + 1 . Solution Si

E = {X1, X2,.............. Xp+1}

soit Ak un point de l'intersection de tous les Xi, sauf Xk . (Il existe un tel point par hypothèse). Les p + 1 points Ai ne sont pas indépendants dans E.

SOMMAIRE

31

PROPRIÉTÉS AFFINES On peut donc trouver des réels non tous nuls ai tels que ∑αi = 0 et ∑α i A i = 0 Désignons αi par ⎧ β i si α i est strictement positif ⎨ ⎩δ i si α i est strictement négatif

On peut alors écrire les conditions ∀i , α i ≥ 0 et

p

∑α i =1

i

=1

sous la forme:

∑β

i

≠0 ,

∑δ = ∑ β i

i

et

∑β A ∑β i

i

i

=

∑δ A ∑δ i

i

i

Montrer que les deux membres de cette dernière égalité représentent un point qui appartient à tous les Xi.

IV. Noyau convexe 4.1

Définition

On dit qu'un ensemble X C E est étoilé par rapport à un point O E X si et seulement si, pour tout point M E X, le segment [OM] est inclus dans X. On appelle noyau convexe de X l'ensemble -1(X) des points par rapport auxquels X est étoilé.

4.2

Exercices de contemplation

Trouver les noyaux convexes des ensembles suivants (Voir I, 1.1.) :

SOMMAIRE

32

PROPRIÉTÉS AFFINES

P

4.3

Le noyau convexe de la réunion de deux ensembles convexes est-il l'intersection de ces ensembles ? (Commentaire page 90)

P

4.4

Démontrer que le noyau convexe d'un ensemble est convexe. Commentaire pédagogique Ce théorème (découvert par Brünn) est le type même du petit problème pour débutants: il peut servir à initier à la recherche des enfants qui n'ont pas encore abordé l'étude déductive de la géométrie. Les seules connaissances exigées tiennent au vocabulaire: "segment" , "convexe". Le problème même peut être posé en langage ordinaire: "Une chambre, de forme compliquée, est éclairée par une seule lampe. Où peut-on placer la lampe pour que tous les murs soient éclairés" ? Ou encore: "Dans une salle de musée, où doit-on poster le gardien pour qu'il puisse surveiller tous les tableaux" ? La conclusion du théorème de Brünn n'est pas a priori évidente: la nécessité d'apporter une preuve est suffisamment motivée.

SOMMAIRE

33

PROPRIÉTÉS AFFINES Enfin, la démonstration, sans être difficile, nécessite un petit enchaînement d'arguments. Solution Si X est étoilé par rapport à deux points 01 et 02, pour tout M ∈ X [01 M] ⊂ X . De plus, X contient tous les segments qui joignent 02 à un point de [01 M] . X contient donc le triangle 0102M . Alors si I ∈ [0102 ] , [IM] ⊂ X . Ainsi X est étoilé par rapport à n'importe quel point du segment [0102 ] , et ¬(X) est convexe. Bien entendu, proposé à des élèves plus avancés, ce n'est qu'un exercice didactique banal.

E.E

4.5

Avec les notations de l'exercice (1.7 ) étudier l'application ¬ . Questions analogues à celles de (1.7 ).

E.D

4.6

Dans un espace vectoriel E, on appelle cône toute partie C ⊂ E telle que, si le vecteur V appartient à C, alors pour tout scalaire λ > 0, λV ∈ C. a) Toute intersection de cônes est-elle un cône ? b) Tout cône est-il une réunion de demi-droites ? Cette "question orale" comporte le petit piège suivant : l'ensemble réduit à l'origine est un cône, conformément à la définition ! La réponse à a) (resp. b)) est donc oui (resp. non).

P

4.7

1) Pour qu'un cône C soit convexe, il faut et il suffit que pour tout couple de points A et B de C le milieu du segment [AB] ap-

SOMMAIRE

34

PROPRIÉTÉS AFFINES partienne à C. 2) Un ensemble X étoilé par rapport à o, tel que, pour tout couple (A, B) de X × X, le milieu du segment [AB] appartient à X, n'est pas nécessairement convexe. (Solution page 90)

M

4.8

Le "Shaddock à six becs" de Douady

1) Soit A0A1 ....... Ap (avec A0 = Ap) la frontière d'un polygone P étoilé par rapport à un point O. Montrer que l'on peut trouver sur chacune des demi-droites OAi un point Bi tel que le polygone BoBi …. BP soit convexe. B

B

2) Le résultat précédent n'est plus vrai pour un polyèdre étoilé. Un contre-exemple a été imaginé par Douady (Bulletin de l'A.P.M.E.P., numéro 281, page 699, décembre 1971). (Nous y renvoyons le lecteur).

SOMMAIRE

35

PROPRIÉTÉS AFFINES La figure est réalisable en carton. Dans le modèle dont nous vous fournissons la photographie ci-dessous, les rayons OAi sont réalisés en bois Les arêtes AiAj sont matérialisées par des élastiques et les sommets peuvent coulisser sur les tiges en bois.

On constate que lorsqu'on veut écarter un des sommets A. de façon à combler un des creux du polyèdre initial, on aggrave un creux ailleurs: impossible de faire disparaître toutes les bosses à la fois. Voilà donc un thème de concertation entre l'enseignement des mathématiques et le travail d'atelier, dans les écoles techniques.

P

4.9

L'anti-musée

a) Imaginer le plan d'une salle qui ne puisse pas être utilisée simplement comme salle de musée: il existe un point O de la salle, d'où un gardien ne peut voir aucun des murs n sa totalité. b) Imaginer un polygone plan et un point O, n'appartenant pas au polygone, d'où l'on ne puisse voir aucun des côtés du polygone dans sa totalité.

SOMMAIRE

36

PROPRIÉTÉS AFFINES

V. Applications M

5.1.

Matériel: un fromage de Brie de rayon unité et une cloche à fromage de diamètre 1. Démontrer que si une part de Brie en forme de secteur n'excède pas le sixième du fromage, son diamètre (1,8) est inférieur à 1. Montrer qu'il est impossible de couvrir entièrement la part de Brie avec la cloche, à moins de l'écorner.

E.E

5.2

Le théorème de Jung (1901): couvercle optimal

Quel est le plus petit rayon p d'un disque susceptible de recouvrir dans le plan euclidien tout ensemble fini X tel que les distances mutuelles de ses points n'excèdent pas 1 ? (Résumé de la solution page 90)

E.E

5.3

Application à l'Analyse. Le théorème d'Edouard Lucas (1874) Soit P un polynôme à coefficients complexes de degré n (n > 2). Montrer que les racines complexes du polynôme dérivé P' appartiennent à l'enveloppe convexe de l'ensemble des racines du polynôme P. 1) La propriété étant évidente pour les racines multiples de P, se ramener au cas où P n'a que dus racines simples. 2) Vérifier, pour un polynôme n'ayant que des racines simples:

α1, α2 , ..., αn, l'identité : P '(Z) n 1 = P (Z) ∑ i =1 z − α i

SOMMAIRE

37

PROPRIÉTÉS AFFINES 3) En déduire que si R est une racine simple du polynôme dérivé 0 = ∑ ( β − αi )

1 | β − α i |2

4) Conclure, en appliquant (1.3 ). Remarque: La notion de dérivée d'un polynôme complexe apparaît ici sous son aspect le plus formel: on peut, si on le désire, prendre l'identité (*) comme définition de P'(Z).

SOMMAIRE

38

CHAPITRE 3

LA CONVEXITÉ, OUTIL D'INITIATION À LA TOPOLOGIE

I. Dimension d'une partie convexe de E E.E

1.1

Si X est un ensemble convexe, non vide, de l'espace affine E à n dimensions, il existe un entier r (avec 0 ≤ r ≤ n) appelé dimension de X caractérisé par chacune des propriétés suivantes : a) L'entier r est la dimension du plus petit sous-espace affine E' tel que X ⊂ E' ⊂ E b) Il existe une partie libre de cardinal r + 1 formée de points de X. Il n'en existe pas de cardinal r + 2 .

SOMMAIRE

39

OUTIL A LA TOPOLOGIE Solution Soit

l = {x0, x1 , ..... xr }

une telle partie libre maximale, et soit E" le sous-espace affine qu'elle engendre. Soit E' le sous-espace affine engendré par X. Comme l ⊂ X , on a E" ⊂ E' . D'autre part, on peut affirmer que X ⊂ E" , car s'il existait xr+1 ∈ X – E" l'ensemble l ∪ {xr+l } serait encore libre et formé de points de X. Ainsi l ne serait pas maximale: Il en résulte E' ⊂ E" Par conséquent E' = E'

et

dim E' = dim E"

Donc l'entier r considéré dans a) est égal à l'entier r considéré dans b). On notera l'analogie de ce raisonnement avec diverses démonstrations d'algèbre linéaire. (Cf. aussi l'exercice suivant). Remarque: Pour la définition de r, l'hypothèse de convexité n'a pas été nécessaire, mais dans le cas non convexe, la notion de dimension ainsi définie ne coïncide pas avec celle qui s'est avérée utile en topologie. (Voir théorie de la dimension) .

EE

1.2

Simplexe à r dimensions

Soit I une partie libre non vide I = {x0,x1 ,...... xr} de E. On appelle simplexe de sommets x0, x1 , ..., xr l'ensemble convexe Sr(l) défini par chacune des deux propriétés suivantes, dont on démontrera l'équivalence.

SOMMAIRE

40

OUTIL A LA TOPOLOGIE a) Sr(1) est l'intersection de tous les ensembles convexes qui contiennent l. b) Sr(l) est l'ensemble des barycentres des sommets affectés de tous les systèmes de masses {λ 0 , λ1 , … ,λ r } satisfaisant à 0 ≤ λ i pour i = 0, 1,..., r et ∑ λ i = 1

Exercice de contemplation

1.3

Exemples de simplexes à 0, 1, 2 ou 3 dimensions. Quels sont les simplexes engendrés par une partie (stricte et non vide) de l'ensemble des sommets d'un simplexe à 3 dimensions (faces, arêtes, sommets) ?

1.4

Définition

On appelle intérieur d'un simplexe Sr(l) l'ensemble des barycentres des sommets affectés de tous les systèmes de masses {λ0 , λ1 ,"", λr } satisfaisant à 0 < λ i. pour i = 0, ….. , r et

∑λ

i

=1 .

Remarque On notera que, dans le cas d'un simplexe, les notions topologiques de dimension, intérieur, frontière, peuvent se définir par voie purement algébrique.

E.D

1.5

Tout convexe X à r dimensions contient un simplexe à r dimensions.

II. Parties convexes de R Pour aborder ce chapitre, les élèves doivent être familiarisés avec le résultat suivant:

SOMMAIRE

41

OUTIL A LA TOPOLOGIE

2.1 Voici la liste de toutes les parties convexes de R : La droite réelle R Les demi-droites (fermées ou ouvertes) Les intervalles bornés (fermés, semi-ouverts ou ouverts) Les singletons L'ensemble vide. Tout lycéen (dès la quatrième) devrait être capable de deviner cette liste. Pour démontrer la réciproque, qui affirme que cette liste est exhaustive, il semble qu'il soit indispensable de savoir que "toute partie majorée (resp. minorée) de R admet une borne supérieure (resp. inférieure)".

2.2 On peut définir les points frontières des ensembles précédents: Pour une demi-droite, c'est son origine. Pour un intervalle borné, ce sont les deux extrémités. Pour un ensemble réduit à un point, c'est ce point luimême. La droite R et l'ensemble vide n'ont pas de point frontière . On dit d'un ensemble convexe de R qu'il est fermé s'il contient ses points-frontières. Voici la liste exhaustive des ensembles convexes fermés de R : La droite R Les demi-droites fermées (i.e. contenant l'origine) Les intervalles bornés fermés (i.e. contenant les extrémités) Les singletons L'ensemble vide.

P

2.3

a) Soit X une partie convexe d'un espace vectoriel, et I un intervalle de R . On demande si l'ensemble des vecteurs λ V (où λ décrit I et V décrit X) est convexe.

SOMMAIRE

42

OUTIL A LA TOPOLOGIE b) En est-il de même si l'on suppose que l'intervalle I n'est formé que de nombres réels de même signe ?

Commentaire pédagogique On ne posera d'abord que la question a). Lorsque les élèves auront trouvé les contre-exemples qui prouvent que la réponse à a) est négative, il est naturel qu'ils se posent eux-mêmes la question b). Pour résoudre celle-ci on peut, comme dans I. 2.1, se ramener au cas où X est un segment. S'il ne passe pas par l'origine, l'ensemble des λ V est un trapèze ... il est convexe.

III. Introduction des notions fondamentales de topologie 3.1

Définition

On dit qu'un point A est point frontière d'un ensemble convexe X ⊂ E s'il est point frontière de l'intersection de X avec au moins une droite passant par A.

3.2 On dit qu'un point A d'un convexe X à r dimensions est interne s'il est intérieur à un simplexe à r dimensions inclus dans X (Cf. III. 1.1 et III. 1.2). Si la dimension de l'espace affine est n, on dira qu'un point interne de X est intérieur dans le seul cas où la dimension de X est n.

ED

3.3

a) Si r < n , quels sont les points frontières d'un ensemble convexe X de dimension r ? b) Montrer que l'ensemble des points frontières et l'ensemble des points internes sont disjoints si et seulement si r = n . c) Tout point de X qui n'est pas interne est un point frontière.

SOMMAIRE

43

OUTIL A LA TOPOLOGIE

E.E

3.4

Un point A ∈ X est intérieur à X s'il est interne à toute intersection de X avec une droite passant par A. Indication: il suffit de faire passer par A n droites constituant un système d'axes de coordonnées et de considérer l'enveloppe convexe des intervalles portés par ces droites.

E.E

3.5

a) Si X est un convexe de dimension > 0 , si A est un point interne à x et B (≠ A) un point quelconque de X, alors le segment semi-ouvert [ AB[ ne comporte que des points internes à X. b) La même conclusion subsiste lorsque B est un point frontière de X, avec B ∉ X . (Solution page 91)

E.D

3.6

a) Soit X un convexe de E et F sa frontière, (i.e. l'ensemble de ses points frontières). Montrer que X - F (qui peut être vide ! ) est un ensemble convexe dont tous les points sont internes. b) Montrer que X ∪ F est un convexe fermé.

IV Un sujet d'étude facile L'énoncé qui suit pourrait être formulé sous forme d'un exercice d'exposition; il se réduirait alors à une succession d'exercices didactiques triviaux. Il devient beaucoup plus éducatif si les questions sont fournies "en vrac" et que l'on demande à l'élève de trouver lui-même l'ordre dans lequel les diverses questions doivent être abordées. C'est sous cette version améliorée que nous le rédigeons. Le thème est déjà présenté dans la préface, page 13, à propos d'un champ carré.

SOMMAIRE

44

OUTIL A LA TOPOLOGIE

E.E

4.1

Soit E un espace affine, X un convexe de E qui ne comprend que des points intérieurs (3.2), F la frontière de X et Y le complémentaire E – (X ∪ F). Soit A et B deux points appartenant à X ∪ Y. 1) On envisage les trois cas suivants: a) A ∈ X et B ∈ X b) A ∈ X et B ∈ Y c) A ∈ Y et B ∈ Y Que peut-on conclure, dans chacun de ces trois cas, au sujet de [ AB] ∩ F ? 2) On suppose que

et que

⎧A ∈ X ⎪ ⎨ou bien ⎪A ∈ Y ⎩

[AB] ∩ F

⎧est vide, ⎪ ⎨est un singleton, ⎪est un doubleton. ⎩

Peut-on conclure que B ∈ X (ou que B ∈ Y) dans chacun de ces six cas ? Commentaire pédagogique L'élève doit être invité à parcourir rapidement les diverses questions et à résoudre celles qui sont faciles; puis il essaiera de déduire les autres à partir de celles qu'il a déjà démontrées. Par exemple, s'il démontre : (*) Si A ∈ X , pour que B ∈ Y il faut et il suffit que [ AB ] ∩ F se réduise à un singleton. Il pourra en déduire quelques-unes des questions posées par contraposition, alors que leur étude directe est moins aisée. De même, si A ∈ Y et [AB] ∩ F se réduit à une paire {I, J } , il suffit de choisir C entre I et J, et appliquer (*) pour en déduire que B ∈ Y.

SOMMAIRE

45

OUTIL A LA TOPOLOGIE Enfin, l'élève doit parvenir, en cours de recherche, à collectionner les divers exemples et contre-exemples qui sont réunis sur la figure suivante :

Il doit trouver lui-même que l'une des six éventualités envisagées dans la deuxième question de 4.1 ne peut pas se présenter, et que, par contre, il y a une éventualité qui a été omise: celle où le segment [AB] contient un segment appartenant à la frontière. Il pourra démontrer que A et B appartiennent alors à Y (en utilisant 3.5).

V. Une longue étude E.D

5.1

Trouver toutes les partitions de la droite en deux parties convexes. Réponse immédiate en consultant la liste 1.1. On trouve les partitions en deux demi-droites, l'une ouverte, l'autre fermée.

P

5.2

Trouver toutes les partitions du plan en deux parties convexes. Commentaire La recherche de la solution ressemble à une longue enquête policière : le détective se pose de nombreuses questions auxiliaires, sans

SOMMAIRE

46

OUTIL A LA TOPOLOGIE savoir a priori si elles serviront à dénouer l'énigme ou si elles conduisent à une impasse. Lorsque l'élève aura résolu le problème, on l'invitera à rédiger la solution, en omettant de mentionner tous les tâtonnements inutiles, et en dégageant les arguments essentiels. Le texte obtenu devra donc être concis. Mais il n'y a que des désavantages pédagogiques à infliger une telle solution concise à des élèves qui n'auraient' pas suffisamment cherché le problème. En leur dissimulant la démarche d'esprit qui a conduit à la solution, on ne leur apprend pas à résoudre des difficultés. Au contraire on leur suggère qu'ils ne seront jamais capables de trouver eux-mêmes, ce qui est la pire des erreurs pédagogiques. Pour armer le professeur qui veut initier ses élèves à la résolution d'un problème, nous allons au contraire essayer de raconter la recherche. Nous énumérerons ci-dessous une longue liste de questions qui peuvent se poser naturellement; certaines resteront provisoirement sans réponse. On arrive ainsi à un corrigé heuristique dont on notera le contraste avec les corrigés dogmatiques usuels, ainsi qu'avec le texte que l'on devrait exiger d'un élève dans une rédaction définitive.

Première étape : la conjecture Il est facile d'imaginer une partition du plan E en deux ensembles convexes non vides X et Y. On pense immédiatement à deux demi-plans et l'on remarque qu'il y aura lieu de répartir les points frontières. Ainsi X pourra être un demi-plan fermé et Y le demi-plan ouvert complémentaire. Question 1 Existe-t-il d'autres exemples de partitions ?

SOMMAIRE

47

OUTIL A LA TOPOLOGIE Question 2 Que peuvent être les traces de X et Y sur une droite A quelconque ? Si ni X ∩ Δ, ni Y ∩ Δ ne sont vides, les ensembles X ∩ Δ et Y ∩ Δ sont constitués par deux demi-droites complémentaires (5.1). Cela suggère un autre modèle de partition: soit une partition d'une droite Δ en deux demi-droites X' et Y'. Si l'on désigne par X" et Y" les deux demi-plans limités par A , on pose X = X' ∪ X" et Y = Y' ∪ Y" Après de longs tâtonnements destinés à trouver d'autres exemples, on formule La conjecture : Les seuls exemples de partitions du plan E s'obtiennent en posant X = X' ∪ X" et Y = Y' ∪ Y" où X" et Y" sont deux demi-plans ouverts limités par une droite Δ , et où X' et Y' sont deux parties convexes de A satisfaisant à X' ∪ Y'=A , X' ∩ Y'=0 Plus précisément, ou bien l'un des ensembles X' ou Y' est vide, ou bien X' et Y' sont deux demi-droites (l'une ouverte, l'autre fermée) complémentaires.

Deuxième étape Pour essayer de démontrer cette conjecture, nous partirons d'une partition de E en deux parties convexes X et Y non vides. Et nous allons essayer de reconstituer la situation suggérée par la conjecture. Autrement dit, il faut commencer par prouver l'existence de la droite Δ . Question 3 Quelle est la frontière commune à x et Y ? Question 3 bis Un point frontière A de X est-il aussi point frontière de Y ?

SOMMAIRE

48

OUTIL A LA TOPOLOGIE Oui, car il existe par définition une droite D passant par A telle que X ∩ D et Y ∩ D soient deux demi-droites complémentaires d'origine A. On a donc bien le droit de parler de frontière commune à X et à Y. Question 4 Y a-t-il toujours au moins un point frontière commun à X et Y ? Par hypothèse, ni X ni Y ne sont vides. En joignant un point A ∈ X à un point B ∈ Y, on obtient une droite AB qui découpe sur X et Y deux demi-droites complémentaires, dont l'origine commune est un point frontière commun à X et Y. Question 5 Y a-t-il toujours plusieurs points frontières communs à X et Y ? Réponse partielle Pour en trouver d'autres, on a envie de "bouger" légèrement les points A et B précédemment utilisés. Pour que le procédé marche, il faut que l'on n'obtienne pas toujours la même droite AB ! On est alors amené à se poser la Question 6 Les ensembles X et Y sont-ils nécessairement de dimension 2 ? Réponse Oui. Sinon l'un des deux ensembles X (ou Y) serait un convexe non vide contenu dans une droite (I. 3.1, a)), (Cf. liste 1.1). Le complémentaire par rapport au plan d'un tel ensemble n'est pas convexe, alors que Y (ou X) l'est. Contradiction. Par conséquent X et Y possèdent chacun des points internes A ∈ Sx ⊂ X et B ∈ Sy ⊂ C(Y) où Sx et S y sont des simplexes à deux dimensions. Nous sommes en mesure de répondre à la question 5. On peut toujours choisir A' ∈ Sx et B' ∈ S y de façon que la droite

SOMMAIRE

49

OUTIL A LA TOPOLOGIE A'B' ne passe pas par l'unique point frontière situé sur la droite AB. On obtient ainsi des points frontières I1 , I2 , I3 , etc. Chaque point frontière appartient à un seul des ensembles X, Y. Mais il est certain que l'un des deux ensembles X ou Y contient au moins deux des points I1 , I2 , I3 . Supposons donc pour fixer les idées que c'est X qui contient deux points frontières distincts xi et x2 . Soit Δ la droite qui joint xi et x2 . Guidé par la conjecture, il est naturel de se poser la Question 7 Tous les points de Δ ∩ X (resp. Δ ∩ Y) sont-ils des points frontières ? Réponse Oui. Si la droite contenait un point y interne à y, les segments ]x1 y] et ]x2 y] ne contiendraient que des points (internes) de Y (d'après 2.5, b)). Or le segment [xi x2 ] est entièrement contenu dans X et puisque y [xi x2 ] , l'un des points xi (resp. x2) serait contenu dans [yx2 [ (resp. [yx1 [ ). Contradiction. De même, si Δ contenait un point x interne à X, sachant que Δ ∩ X est soit une demi-droite, soit la droite à elle-même, on pourrait trouver, dans chaque cas de figure concernant x, xi et x2, un point x' ∈ Δ ∩ X tel que xi ou x2 appartienne au segment ]x'x]. L'un des points xi ou x2 serait interne à x, ensemble à deux dimensions. Ainsi ce point ne serait pas un point frontière de X (2.3, b)). Conclusion La droite Δ n'est constituée que de points frontières. Nous sommes en mesure de reconstituer X et Y.

SOMMAIRE

50

OUTIL A LA TOPOLOGIE Posons

X' = X ∩ Δ et (Y' peut éventuellement être vide).

Y' = Y ∩ Δ

Désignons par X" (resp. Y") la réunion de toutes les demi-droites ouvertes dont l'origine est sur à et qui rencontrent l'intérieur de Sx (resp. de S, ). X" et Y" sont des demi-plans ouverts, d'arête Δ inclus respectivement dans X et Y et X = X' ∪ X"

Y = Y' ∪ Y"

comme il a été conjecturé.

Il ne suffit pas de considérer les demi-droites dont l'origine est sur Δ et passant par un point donné de SX (resp. Sy ). Pourquoi ?

Exercice de rédaction

5.3

Rédiger la solution du P 5.2 en éliminant toutes les considérations heuristiques pour ne laisser subsister que ce qui est indispensable du point de vue de la rigueur.

SOMMAIRE

51

OUTIL A LA TOPOLOGIE

VI. Points extrémaux 6.1

Définition

On dit qu'un point M ∈ X est un point extrémal du convexe X si l'ensemble X – {M } est convexe.

E.D

6.2

a) Pour qu'un point M soit extrémal dans X, il faut et il suffit que, pour tout segment [AB] tel que M ∈ [AB] ⊂ X le point M soit une extrémité de [AB]. b) Pour que M soit extrémal dans X, il faut et il suffit que toute décomposition M = tA + (1–t)B avec A∈X implique que

,

B∈X

et

0< t < 1

A=B=M

E.D

6.3

Trouver les points extrémaux des diverses parties convexes de R (2.1).

E.D

6.4

Quels sont les points extrémaux de ceux des ensembles de l'exercice (L, 1.1) qui sont convexes ? Quels sont les points extrémaux d'un simplexe ? Quels sont les points extrémaux des polyèdres convexes de R3 ?

SOMMAIRE

52

OUTIL A LA TOPOLOGIE

M

6.5

Trouver les points extrémaux de l'ensemble fermé suivant, réunion d'un rectangle ABCD et de deux demi-disques.

M

6.6

Trouver les points extrémaux des deux solides suivants, en forme de double cône. Le milieu du segment SS' est le centre (resp. un point de la frontière) du disque de base .

E.D

6.7

Montrer que tout point extrémal d'un convexe est un point frontière (3.1). La réciproque est-elle vraie ?

P

6.8

Soit Mn l'espace vectoriel des matrices carrées à termes réels à n lignes et n colonnes (notées A = (aij.), 1 ≤ i ≤ n et 1 ≤ j ≤ n). On

SOMMAIRE

53

OUTIL A LA TOPOLOGIE dit qu'une matrice est bistochastique si: a) tous ses termes sont positifs ou nuls, b) la somme des termes de toute ligne vaut 1, c) la somme des termes de toute colonne vaut 1. 1) Vérifier que l'ensemble B S n ⊂ Mn des matrices n × n bistochastiques est un convexe de Mn à (n - 1)2 dimensions. 2) Trouver l'ensemble des points extrémaux de B Sn (Le cas n = 2 est facile. On pourra se borner à proposer le cas n = 3) (Résumé de la solution page 92)

SOMMAIRE

54

CHAPITRE 4

GÉOMÉTRIE DE DISPOSITION

I. Le principe de Pasch Soit ABC simplexe à deux dimensions du plan. (Le mot triangle est moins précis, car il désigne usuellement soit un ensemble de 3 sommets, soit la réunion des trois côtés, soit l'intérieur du simplexe, soit le simplexe lui-même).

E.E

1.1

Toute droite 0 qui ne passe par aucun des sommets A, B, C rencontre la réunion des arêtes [AB] ∪ [BC] ∪ [CA] en 0 ou 2 points.

SOMMAIRE

55

GÉOMÉTRIE DE DISPOSITION En effet, un simplexe est un convexe borné. L'intersection avec la frontière ne serait réduite à un singleton ou à un intervalle borné que si A passait par un sommet au moins. Remarque Cet énoncé a été adopté par Pasch, puis par Hilbert, parmi les axiomes de la géométrie: il permet de démontrer la plupart des propriétés de "disposition" concernant des points alignés. En particulier, il est utile pour prouver que deux segments se coupent.

E.D

1.2

Soit A' et B' deux points respectivement internes aux côtés [BC] et [AC] du simplexe ABC. Démontrer que les segments [AA'] et [BB'] se coupent. (Cf. Fascicule 2, Problème 1.3.1, page 35). Il suffit d'appliquer le principe de Pasch au simplexe AA'C.

E.D

1.3

Étant donné quatre points distincts A, B, C, D, montrer que si les segments [AB] et [CD] se coupent, alors ni [AC] et [BD] , ni [AD] et [CB] ne se coupent.

Science-fiction

1.4

Un cosmonaute aperçoit deux objets célestes d'aspect convexe, l'un bleuâtre B, l'autre jaunâtre J. Au bout de quelques jours il signale un curieux phénomène de "doubleéclipse": une certaine région de B semble cachée par une partie de J et une certaine région de J semble cachée par une partie de B. L'équipe au sol est perplexe. Pourquoi ? (Solution page 94)

SOMMAIRE

56

GÉOMÉTRIE DE DISPOSITION

P

1.5

Soit D l'arête d'un demi-plan et S un point de D. Soit D' une droite parallèle à D et X un convexe, D' et X étant situés dans le même demi-plan. Démontrer que la projection conique de X sur D' à partir de S est convexe. (Comparer avec I, 1.5) (Solution page 94)

II. Démonstration "géométrique" de quelques propriétés de R

E.E

2.1

Soit O, A, B, C quatre points distincts alignés sur une droite Δ . On suppose: O n'est pas entre A et B et O n'est pas entre B et C. Démontrer que O n'est pas entre A et C. Voici une démonstration ingénieuse qui s'appuie sur le principe de Pasch, sans supposer une connaissance préalable des propriétés de R. On choisit un point S hors de 0 et un point I entre S et A. On conclut en appliquant successivement le principe de Pasch aux triangles SAB, SBC et SAC coupés par la droite 0I. Autre formulation 2.2

Définition des demi-droites

Soit O un point de A ; la relation définie sur Δ – {O } par "0 n'est pas entre ... et ... " est une relation d'équivalence, qui ne comporte que deux classes d'équivalence que l'on appelle les deux demi-droites ouvertes d'origine O.

SOMMAIRE

57

GÉOMÉTRIE DE DISPOSITION

E.E

2.3

Définition des deux orientations d'une droite

Sur l'ensemble des demi-droites ouvertes portées par une droite Δ on définit la relation R : deux demi-droites sont reliées par R. si et seulement si leur intersection est une demi-droite. a) Montrer que R est une relation d'équivalence. b) Les deux demi-droites ouvertes ayant une origine donnée ne sont pas reliées par R, . c) Les demi-droites se répartissent en deux classes d'équivalence : chacune d'elles s'appelle une orientation de Δ . Définition Étant donné une suite finie de points {Ao, A1 , A2, ..., Ak } , on appelle ligne polygonale de sommets Ao , ..., Ak la réunion des segments [Ap Ap+1 ] où p = 0, 1, ..., k -1 , (ce sont les côtés de la ligne. Les sommets Ao et Ak sont appelés les extrémités de la ligne). On dit que la ligne est fermée (resp. ouverte) si Ao = Ak (resp. Ao ≠ Ak). (Attention: voici encore un nouveau sens des mots ouvert et fermé ! ).

E.E

2.4

Définition des demi-plans ouverts

Sur le complémentaire Ω d'une droite Δ d'un plan on définit la relation R suivante: A R B signifie que le segment [AB] ne coupe pas 0 . a) Démontrer que R, est une relation d'équivalence qui ne comporte que deux classes d'équivalence, que l'on appelle les deux demi-plans ouverts d'arête Δ .

SOMMAIRE

58

GÉOMÉTRIE DE DISPOSITION b) Si A et B sont deux points de W , le nombre de points d'intersection de toute ligne polygonale d'extrémités A et B avec A est pair ou impair selon que A et B sont dans un même demi-plan ouvert d'arête 0, ou dans les demi-plans complémentaires.

III. Régionnement E.E

3.1

Dans un plan E, soit F la réunion de deux demi-droites fermées distinctes Ox et Oy de même origine. Si A et B sont deux points de E – F, nous dirons qu'une ligne polygonale est une bonne jonction de A et B si ses extrémités sont A et B, si aucun de ses sommets n'appartient à F, et si aucun de ses côtés ne passe par O. 1) Démontrer que la parité du nombre de points d'intersection d'une "bonne" jonction de A et B avec F ne dépend pas du choix de cette jonction. 2) La relation définie sur E – F par "toute bonne jonction de ... à ... coupe F en un nombre pair de points" est une relation d'équivalence. 3) Soit P une ligne polygonale fermée dans E. Si O ∈ E – P, montrer que la parité du nombre de points d'intersection d'une demi-droite d'origine O, ne passant par aucun des sommets de P , est indépendante du choix de la demi-droite. Cette parité s'appellera l'index de O par rapport à P . L'index par rapport à P n'est pas défini pour les points de P .

4) Soit O' un autre point de E – F. S'il existe un ligne polygonale joignant O à O' sans passer par aucun sommet de P , dont aucun côté ne contient un côté de P , et qui recoupe P en un nombre pair (resp. impair) de points, alors O et O' ont même index (resp. des index différents). (Résumé de la solution page 95)

SOMMAIRE

59

GÉOMÉTRIE DE DISPOSITION

P

3.2

Soit F la frontière d'un convexe ouvert X du plan, et soient A et B deux points qui n'appartiennent pas à X ∪ F. Démontrer ou infirmer les deux assertions suivantes: a) Toute ligne polygonale qui joint A à B en ne coupant F qu'en un nombre fini de points la coupe en un nombre pair de points. b) Il existe une ligne polygonale qui joint A à B sans rencontrer F. (Commentaire et solution page 96)

3.3

Définition

Une ligne polygonale de Jordan est une ligne polygonale Ao Al ... Ak telle que deux de ses côtés ne se coupent que dans les cas triviaux suivants: a) Les côtés sont consécutifs et le point commun est le sommet commun. b) La ligne polygonale est fermée. Alors [A° Al ] et [Ak Ak ] se coupent en Ao = Ak .

M

3.4

Le théorème de Jordan

Toute ligne polygonale de Jordan fermée J partage É - a en deux régions: l'ensemble des points d'index impair (resp. pair) (Cf. 3.1). Si deux points appartiennent à la même région, on peut les joindre par une ligne polygonale qui ne rencontre pas J. En construisant des lignes polygonales de Jordan assez compliquées, on cherchera à joindre deux points de même index par une ligne polygonale qui ne rencontre pas J . L'élève pourra découvrir la stratégie suivante: soient O et O' deux points de même index. On choisit sur le segment [ OO'] deux

SOMMAIRE

60

GÉOMÉTRIE DE DISPOSITION points I et J dont la distance à a est égale à J , "suffisamment petit", et tels que ni [0I] ni [O'J] ne rencontrent J. Ainsi I et J ont même index que O et O'. Pour joindre I à J on se déplace à la distance ε de J . Lorsqu'on est parvenu "à côté" de J, il se pourrait a priori que l'on aboutisse au point J' symétrique de J par rapport au point le plus proche sur J. Mais J et J' n'ont pas le même index (3.1 4)). On arrive donc nécessairement en J (et non en J'). Évidemment, si ces explications heuristiques éclairent parfaitement la façon de manipuler, on est confronté à un problème de rédaction ardu si l'on veut mettre ce raisonnement en forme. (Choix de ε ; construction de la "ligne parallèle" à un arc de J qui joint I à J).

O'

J' O I

J

Le théorème de Jordan permet de résoudre de nombreuses questions de géométrie de disposition. A titre d'exemple:

E.E

3.5

Le théorème du θ

Soit J1 (i = 1, 2, 3) trois lignes polygonales de Jordan du plan E, d'extrémités I et J, et telles que l'intersection de deux quelconques d'entre elles se réduit à {I, J }. Désignons par Ω 1 (resp. Ω2 ; resp. Ω 3) le sous-ensemble de E formé des points dont l'index par rapport à la ligne de Jordan

SOMMAIRE

61

GÉOMÉTRIE DE DISPOSITION fermée J 2 ∪ J 3 (resp. J 3 ∪ J 3'; resp. J 1 ∪ J 2) est impair.

1) Montrer que tout point de E – ( J 1 ∪ J tient à 0 ou 2 des ensembles Ω1 , Ω2, Ω3.

2

∪ J 3 ) appar-

2) Montrer que l'intersection de C(Ω1) , C(Ω2) et C(Ω 3) n'est pas vide. 3) Montrer que deux des ensembles Ω i sont disjoints. Si Ω1 ∩ Ω2 = ∅ , démontrer que Ω3 = Ω1 ∪ Ω2 ∪ (J 3 - {I,J})

Solution 1) Soit O ∈ E – (J 1 ∪ J 2 ∪ J 3 ). Une demi-droite d'origine O, qui ne passe par aucun des sommets des lignes Ji coupe la ligne J i en ni points (i = 1, 2, 3). Alors l'index de 0 par rapport à J 1 ∪ J n1 + n2 .

SOMMAIRE

62

2

est la parité de

GÉOMÉTRIE DE DISPOSITION (Remarque analogue pour J 2 ∪ J 3 et J 3 ∪ J 1 ). Comme la somme (n1 + n2) + (n2 + n3) + (n3 + n1) est paire, il y a 0 ou 2 de ces index qui peuvent être impairs. 2) Une droite qui ne passe par aucun des sommets coupe J1 ∪ J 2 ∪ J 3 en un nombre fini de points. On peut donc trouver des demi-droites OX qui ne rencontrent pas J 1 ∪ J 2 ∪ J 3 . L'origine O a donc un index pair par rapport aux Ω1 , et elle appartient à l'intersection des C(Ω i). 3) Deux points de a 3 distincts des extrémités I et J sont joints par une ligne polygonale qui ne rencontre pas J 1 ∪ J 2, frontière de Ω 3 . Ils ont donc même index par rapport à J 1 ∪ J 2. Deux cas sont possibles : J2 ∈ C(Ω3)

Premier cas:

(Faire une figure correspondant à ce cas). Soit alors 0 ∈ Ω 3 . D'après 1), le point O appartient à un seul des ensembles Ω1 et Ω2 . Supposons, pour fixer les idées, que O ∈ Ω1 et O ∉ Ω 2 . Dans ce cas, Ω 3 ⊂ Ω 1 . En effet, si O' ∈ Ω 3 , il existe (théorème de Jordan) une ligne £ qui joint 00' entièrement contenue dans Ω 3 . Alors £ ne coupe pas J3, par hypothèse. On en déduit que O' a même index que O par rapport à chacune des trois lignes J 1 ∪ J 2, J 2 ∪ J 3 , J 1 ∪ J 3 Il en résulte que O' ∈ Ω1 . On a bien Ω 3 ⊂ Ω1 . D'après 1), tout point de Ω 3 , qui appartient à Ω1 , ne peut encore appartenir à Ω2, donc Ω3 et Ω2 sont disjoints. Et tout point de Ω2, qui ne peut appartenir à Ω3, appartient à Ω1 . Par conséquent:

Ω

SOMMAIRE

2

∪ Ω 3 ⊂ Ω1

et

63

Ω 2∩ Ω

3

=∅

GÉOMÉTRIE DE DISPOSITION Plus généralement, si J1 ⊂ C(Ω 2) , alors Ω i est inclus dans l'un des ensembles Ωj tels que j ≠ i , et disjoint de l'autre. Considérons alors la ligne J1 . Cette ligne n'est pas incluse dans C(Ω 1) , sinon Ω1 serait disjoint de l'un des ensembles Ω2 , Ω3, ce qui contredirait notre résultat Ω2 ∪ Ω3 ⊂ Ω1 . Nous en déduisons J1 – {I, J} ⊂ Ω1 Finalement:

Ω2 ∪ Ω3 ∪ ( J1 – {I ,J}) = Ω1 Deuxième cas : (Faire une figure) J3 – {I,J} ⊂ Ω3 Montrons que Ω1 ∪ Ω2 ⊂ Ω3 . Cela revient à montrer que C(Ω3) ⊂ C(Ω1) ∩ C(Ω2) D'après 2), il existe un point O' n'appartenant à aucun des ensembles Ω.i . Soit O ∈ C(Ω3 ). Les points O et O' appartenant à C(Ω3) , on peut les joindre par une ligne de Jordan £ qui ne rencontre pas J1 ∪ J2 (théorème de Jordan). Donc £ est entièrement contenue dans C(Ω3) et ne rencontre pas J3 Il en résulte que O et O' ont même index par rapport à chacune des lignes J1 ∪ J3 et J2 ∪ J3 Par suite On a bien

SOMMAIRE

O ∈ C(Ω1) ∩ C(Ω2)

Ω1 ∪ Ω2 ⊂ Ω3

64

GÉOMÉTRIE DE DISPOSITION Ce résultat étant acquis, on en déduit, comme clans le premier cas, que

Ω1 ∩ Ω2 = ∅ En conclusion:

Ω3 =Ω1 ∪ Ω2 ∪ ( J3 –{I,J} )

SOMMAIRE

65

CHAPITRE 5

PROPRIÉTES MÉTRIQUES

(Dans ce chapitre tous les espaces affines sont munis d'une structure euclidienne).

1. Lignes enveloppantes P

1.1

Soit S et S' deux simplexes à deux dimensions du plan, tels que l'intérieur de S' soit contenu dans l'intérieur de S. Montrer que le périmètre de S' est inférieur ou égal à celui de S.

E.E

1.2

On considère dans le plan une ligne polygonale fermée de Jordan £ ; soit Ω la région des points d'index impair qu'elle déli-

SOMMAIRE

67

PROPRIÉTÉS MÉTRIQUES mite. Soit Ω' un convexe ouvert de dimension 2, inclus dans Ω, dont la frontière est une ligne polygonale de Jordan K . Montrer que le périmètre de K est inférieur ou égal à celui de £ en utilisant la méthode suivante: S'il existe un côté [AB] de K qui ne soit pas inclus dans un côté de £ , on peut trouver deux points I, J de £ tels que ]IJ[ ⊂ Ω et [AB] ⊂ [IJ] Utilisant le théorème du θ, on peut découper Ω en deux régions disjointes, séparées par [IJ] , dont une seule Ω 1 contient Ω '. On peut construire ainsi une suite de lignes polygonales £ , £1 , £2 ... de périmètres décroissants, délimitant des régions

Ω, Ω 1, Ω2, ... emboîtées qui contiennent Ω' . Montrer que si K a k côtés, on peut conclure au bout de k – 1 opérations au plus.

SOMMAIRE

68

PROPRIÉTÉS MÉTRIQUES

E.D

1.3

Après avoir expliqué oralement la solution de 1.2 (à des élèves qui auraient résolu 1.1), faire rédiger cette solution. On pourra se borner d'abord au cas où Ω est convexe, ce qui n'exige pas le théorème du θ (car Ω 1 est alors l'intersection de Ω et d'un demiplan). Le même argument est faux si Ω n'est pas convexe (Cf. figure).

P

1.4

Généraliser l'exercice précédent à l'espace à 3 dimensions. L'aire d'un polyèdre convexe est inférieure à l'aire de tout polyèdre enveloppant.

Remarque L'exercice 1.2 figurait encore aux programmes de géométrie de quatrième avant la dernière guerre mondiale. Le professeur est invité à lire les exposés qui se trouvaient dans les manuels de l'époque (par exemple dans la "Géométrie" de Jacques Hadamard). Il constatera que la notion de "démonstration rigoureuse" a évolué depuis ce temps. Faute d'utiliser des résultats de géométrie de disposition ou de topologie (analogue au théorème du θ), les arguments semblent peu convaincants aujourd'hui.

E.E

1.5

a) Si M est un point intérieur au simplexe ABC, |AB| < |MA| + |MB| < |CA| + |CB|

(|AB| désigne la distance euclidienne de A à B). b) Montrer que 1 (|AB|+|BC|+|CA|) < |MA|+|MB|+|MC| < |AB|+|BC|+|CA| 2

SOMMAIRE

69

PROPRIÉTÉS MÉTRIQUES c) Est-il toujours exact que |MA|² + |MB|² < |CA|² + |CB|²

P

1.6

Soit une droite Δ et deux points A et B non situés sur Δ ; montrer que la fonction numérique définie sur Δ par M → |MA| + |MB| atteint son minimum m > 0 en un point I ∈ Δ , et croît strictement de m à l'infini sur chacune des demi-droites d'origine I. La question est une conséquence triviale de (1.5) dans le cas de figure où Δ, A et B sont dans un même plan, et où A et B sont de part et d'autre de Δ . On se ramène à ce cas en remplaçant A par un point A' satisfaisant aux conditions du cas de figure trivial, et tel que pour tout M ∈ Δ , |MA| = |MA'| Cet artifice est "bien connu", spécialement en géométrie plane: sa découverte est cependant un "petit problème" pour celui qui n'en a jamais entendu parler ! On fera remarquer que si A et B sont, dans le plan contenant Δ d'un même côté de A, le point I pour lequel |AM| + |BM| prend sa valeur minimum obéit à la loi de la réflexion de l'optique géométrique ; Δ est la bissectrice extérieure de AÎB. D'ailleurs, une des voies de découverte susceptibles de faire trouver à un novice l'artifice qui livre la solution est d'interpréter le problème de géométrie comme un problème d'optique: ce changement de contexte ou transfert est un des comportements heuristiques les plus féconds. Dans le cas envisagé il est naturel de chercher à côté du trajet de la lumière, depuis la source A jusqu'à l'œil B, en passant par le miroir, le trajet de la lumière "fictive" depuis l'image de la source A', jusqu'à l'œil B !

SOMMAIRE

70

PROPRIÉTÉS MÉTRIQUES

E.D

1.7

Soit FI et F2 deux points du plan euclidien tels que |F1F2| = 2c

et soit

a>c.

On appelle disque elliptique de foyers F1 et F2 et de grand axe 2a, l'ensemble des points M du plan satisfaisant à |MF1 | + |MF2 | < 2a

Montrer qu'un disque elliptique est convexe. (Solution page 97)

II. La symétrisation de Steiner 2.1

Définition

On donne dans un plan E un ensemble convexe fermé borné K et une droite D: la symétrisation de Steiner de K par rapport à D est une application s de K dans E définie de la façon suivante: Si Δ est une droite variable perpendiculaire à D qui coupe K, suivant l'intervalle [AB] , la restriction de s à [AB] est la translation sur un segment [A'B'] porté par Δ et dont D est la médiatrice. Si Δ coupe K en un seul point C, alors s(C) est la projection orthogonale de C sur D.

SOMMAIRE

71

PROPRIÉTÉS MÉTRIQUES

P

2.2

Démontrer que le symétrisé de Steiner d'un convexe fermé borné K, par rapport à D est un convexe, symétrique par rapport à D.

Commentaire heuristique Lorsqu'on observe la démarche de celui qui parvient à résoudre ce problème, on constate qu'il commence par manipuler sur de nombreux cas particuliers. Il se pose de nombreuses questions (parmi lesquelles peuvent figurer celles qui font l'objet des exercices didactiques qui suivent) et formule des conjectures plausibles, qui s'avèrent souvent être fausses (recherche d'un contre-exemple). Finalement, il découvre dans ce travail préparatoire deux arguments très simples dont la conjonction fournit une démonstration de quelques lignes. Présenter à des élèves cette courte solution, juste après la formulation de l'énoncé, ou encore éviter les tâtonnements en rédigeant l'énoncé sous forme d'exercice d'exposition est une démarche pédagogiquement nocive. Elle risque de donner au lecteur l'illusion qu'il a compris. En réalité, on ne domine cette question que si l'on est conscient du décalage entre la brièveté de la solution et la longueur des investigations naturelles. On n'a vraiment compris que si l'on s'explique l'échec des autres tentatives !

M

2.3

Dessiner les symétrisés de Steiner d'un segment, d'un simplexe, de divers domaines polygonaux, d'un disque, etc... par rapport à diverses droites du plan.

E.D

2.4

Dans quel cas l'application de Steiner est-elle la restriction d'une application affine ? d'une application affine par morceaux ? (Solution page 97)

SOMMAIRE

72

PROPRIÉTÉS MÉTRIQUES

E.D

2.5

Dans quel cas l'application de Steiner transforme-t-elle tout segment inclus dans K en un segment ? (Solution page 97)

E.D

2.6

Montrer que le symétrisé de Steiner d'un polygone de n sommets est un polygone dont le nombre de sommets, est compris entre n et 2n – 2.

E.D

2.7

Soit K et H deux convexes tels que H ⊂ K, et soit g (resp. f) la symétrisation de Steiner de H (resp. K, ) par rapport à une même droite D. Vérifier que

g ( H) ⊂ f ( K)

Dans quel cas g est-elle la restriction de f à H ? (Réponse p. 97, solution de P 2.2 p. 98)

E.D

2.8

Si K, est délimité par une ligne polygonale, l'aire de s( K ) est égale à celle de K et le périmètre de s( K ) est plus court que celui de K. (Il est strictement plus court, si K, n'a pas d'axe de symétrie parallèle à D). (Solution page 99)

P

2.9

Considérons l'ensemble E de tous les polygones convexes du plan ayant la même aire S. Soit π la fonction numérique qui associe à tout K ∈ E son périmètre π (K) . Montrer que la fonction π n'atteint pas son minimum sur E .

SOMMAIRE

73

PROPRIÉTÉS MÉTRIQUES

Commentaire pédagogique La seule réponse à cette question est très facile, lorsqu'on connaît 2.8. Mais on ne peut se contenter de cette sèche réponse: il faut absolument chercher à comprendre ce qui se passe ! Le résultat invite à manipuler ! A partir d'un polygone convexe, on construit par symétrisations de Steiner successives une suite de polygones de même aire, mais de périmètres strictement décroissants. La formulation mathématique du phénomène dépasse nettement le cadre des connaissances que suppose ce fascicule: (définition d'une topologie sur g , compacité, etc...). Mais rien n'empêche de contempler le "passage à la limite" (sans le formuler), et de deviner que l'ensemble g n'est pas "complet". Il faudrait lui adjoindre d'autres figures convexes, pour pouvoir énoncer le:

Théorème des isopérimètres De toutes les figures convexes planes d'aire do 'née S, c'est le disque circulaire qui a le plus petit périmètre. Pour toute figure convexe plane, on a l'inégalité isopérimétrique (où L est le périmètre) 4π S ≤ L2

Remarque L'énoncé (2.9) fournit aussi un modèle sur la façon d'utiliser un résultat qui dépasse un certain niveau de connaissances, pour en tirer un énoncé élémentaire. On notera que l'énoncé (2.9) évite de parler de la longueur d'une courbe non polygonale. II fournit une introduction à une intéressante question de topologie qu'il n'aborde pas encore.

III. Sport complet L'exercice qui suit met simultanément en jeu de nombreuses aptitudes: raisonnement, manipulation, calcul numérique, heuristique,

SOMMAIRE

74

PROPRIÉTÉS MÉTRIQUES etc... Il se relie à l'analyse, le calcul barycentrique, l'algèbre linéaire, en dehors de la géométrie euclidienne. Il peut servir d'exemple de limite, de modèle d'introduction à la notion de longueur d'une courbe ou à la définition des aires. Le professeur pourra donc en faire des usages très variés.

3.1 Sur l'ensemble E des polygones convexes, on définit les deux opérations Σ et S suivantes: Au polygone convexe K ∈ E , Σ associe le polygone (convexe ! ) Σ(K) dont les sommets sont les milieux des côtés de K . Associons à chaque côté de K les deux points qui partagent ce côté en trois segments de même longueur. S( K ) est le polygone (convexe ! ) dont tous les sommets sont ces points. Partant d'un quadrilatère convexe K0 d'aire S, on construit les suites Kn+1 = S( Kn )

et

Hn = Σ( Kn )

Étudier les suites numériques Sn, et Σn qui représentent les aires de Kn et Hn ainsi que les suites sn et σn qui représentent les périmètres des mêmes polygones. Étudier l'intersection des K n et la réunion des Hn .

SOMMAIRE

75

PROPRIÉTÉS MÉTRIQUES Signalons simplement que

Sn +1 =

5Sn + 4Σn 9

, Σ n+1 =

Sn + Σn 2

et que Sn tend vers la limite 3 S . 4

E.E

3.2

On considère un triangle ABC, les milieux M et N des côtés AB et AC, le milieu I de NM. A partir du trapèze CNMB, noté P1 , on construit une famille de polygones convexes {Pn , n ≥ 1 } de la façon suivante: les sommets du polygone Pn sont B, C, I et les milieux des côtés de la ligne polygonale d'extrémités C et I (resp. I et B) portée par les côtés du polygone Pn–1 . Étudier l'intersection des polygones Pn . (Commentaire page 99)

P

3.3

A tout pentagone convexe d'aire s on associe le pentagone d'aire S dont les sommets sont les milieux des côtés du précédent. Trouver des inégalités entre s et S . (Réponse page 99)

P

3.4

Soit P1 un pentagone convexe de sommets A1 , ..., A5 . On appelle Pi (i = 2, ..., 5) le pentagone déduit de P1 par une translation de JJJJJG vecteur A1 A i . Démontrer que deux des pentagones Pi (i = 1, ..., 5) au moins ont des points intérieurs communs. (Commentaire page 99)

SOMMAIRE

76

CHAPITRE 6 APPLICATIONS DE LA CONVEXITÉ

I. Statique E.E

1.1

Considérons un corps solide posé sans frottement sur le plan horizontal. Soit X l'ensemble des points de contact du solide et de son support. On sait que, pour que le solide soit en équilibre, il faut et il suffit qu'il existe un système de forces verticales ascendantes, appliquées en des points de X, dont le torseur équilibre le poids du solide. Démontrer qu'une condition nécessaire et suffisante d'équilibre est que la verticale du centre de gravité du solide coupe le plan d'appui à l'intérieur de l'enveloppe convexe de X. Cette enveloppe convexe est appelée polygone de sustentation par les physiciens (sans doute parce que ce n'est pas toujours un polygone ... ! ).

SOMMAIRE

77

APPLICATIONS

E.E

1.2

Un support, dont la face supérieure est une portion de plan horizontal, est posé en équilibre sur le sol horizontal. Un solide est posé sur le support de façon que son centre de gravité se projette sur son "polygone de sustentation". Le système est-il nécessairement en équilibre ? (Solution page 100)

P

1.3

Soit O un point appartenant à un polyèdre dont toutes les faces sont convexes. Est-il certain que la projection orthogonale de O sur le plan d'au moins une face du polyèdre s'effectue en un point de la face ? La réponse est affirmative lorsqu'on suppose en outre que le polyèdre est convexe. En effet, on peut toujours trouver une répartition des densités d'un solide non homogène matériel, ayant la forme du polyèdre donné, en sorte que O soit son centre de gravité. Posons alors ce solide sur un plan horizontal, en sorte que le centre de gravité O soit le plus bas possible. La verticale de O rencontrera alors la face de sustentation. L'argument n'est plus valable lorsque le polyèdre n'est pas convexe: on peut faire reposer un tel solide sur un plan sans que le contact s'effectue le long d'une face. Des contre-exemples peuvent être cherchés parmi des polyèdres étoilés. Par exemple, construisons 6 pyramides régulières isométriques, à l'extérieur d'un cube, en prenant les faces comme bases. En posant ce "hérisson" sur le sol, le contact s'effectuera par trois piquants. De plus, en choisissant convenablement les dimensions de ces pyramides, on peut faire en sorte que la projection du centre du cube sur chacun des plans des faces triangulaires s'effectue en dehors de cette face.

SOMMAIRE

78

APPLICATIONS Ce problème présente un cas peu fréquent où le transfert d'un énoncé géométrique dans un contexte de statique fournit la solution. Il serait intéressant de trouver une démonstration purement géométrique de la propriété (dans le cas du polyèdre convexe).

P

1.4

Existe-t-il un polyèdre convexe pesant qui, posé sur une table, ne peut rester en équilibre que sur une face ? (Solution page 100)

II. Programmation linéaire C'est l'application pratique la plus répandue de la théorie des ensembles convexes. Voici un exemple "numérique", emprunté à "The mathematics Teacher" Vol. L III, n° 3, mars 1960.

Application

2.1

On fabrique deux produits pharmaceutiques A et B sur deux machines I et II. Pour fabriquer un kilogramme de produit A la machine I doit fonctionner 1 heure, et la machine II doit fonctionner 2 heures 15 minutes. Pour fabriquer un kilogramme de B, la machine I doit fonctionner pendant 3 heures et la machine II pendant 45 minutes. Les machines ne peuvent être utilisées plus de 12 heures par jour. Le bénéfice sur 1 kg de A est de 100 F, sur 1 kg de B de 150 F. Combien de kilogrammes de chaque espèce faut-il fabriquer par jour pour obtenir un bénéfice maximum ? Si x1 (resp. x2) est le nombre de kilogrammes de produit A (resp. B) fabriqués quotidiennement, il s'agit d'étudier le vecteur de coordonnées (x1, x2) soumis aux contraintes suivantes :

SOMMAIRE

79

APPLICATIONS ⎧ x1 + 3x 2 ≤ 12 ⎪9 3 ⎪ x1 + x 2 ≤ 12 4 ⎨4 ⎪ x1 ≥ 0 ⎪ ⎪⎩ x 2 ≥ 0 On définit ainsi un quadrilatère convexe dans R2 Soit f la "fonction économique" (xl , x2) → 100 x1 + 150 x2 Il s'agit de trouver le vecteur (x1 , x2) soumis aux contraintes précédentes pour lequel f prend la valeur maximale. On dessinera alors le faisceau des droites d'équation 100 x1 + 150 x2 = λ et on cherchera le plus grand λ pour lequel cette droite rencontre le quadrilatère. On constate que cela ne peut avoir lieu que si cette droite passe par un sommet (un point extrémal) du convexe.

( )( )

Ces points extrémaux ont pour coordonnées (0, 0), 16 , 0 , 9 , 5 3 2 2 et (0, 4). On calcule la valeur de f en ces points et on choisit la plus grande; on trouve :

( )

f 9 , 5 = 825 2 2

Réponse En fabriquant 4,5 kg de produit A et 2,5 kg de produit B on obtient le bénéfice maximum, égal à 825 F.

Remarque: La programmation linéaire n'offre d'intérêt pratique que dans des situations dépendant d'un grand nombre de paramètres soumis à

SOMMAIRE

80

APPLICATIONS de nombreuses contraintes: la théorie est facile, mais le traitement numérique ne peut être effectué qu'avec l'assistance d'un ordinateur. Néanmoins, il est utile, dans un but pédagogique, de faire traiter aux élèves quelques exemples simplistes comme le précédent. On trouvera d'autres énoncés de cette sorte dans "The mathematics Teacher " (loc. cit.) dont certains sont reproduits dans la revue belge [7] , ainsi que dans [1] et [10] .

Exercice de contemplation

2.2

On reprend l'énoncé précédent en modifiant légèrement les données relatives aux bénéfices. Comment évolue la réponse ? (Réponse page 101)

Applications

2.3

On donne 9 coefficients réels Cij.. (où i ≤ 3 et j ≤ 3). On considère alors sur l'espace vectoriel M3 des matrices 3 × 3 la forme linéaire A = (a ij ) 6 ∑ Cija ij i ≤ 3, j≤ 3

Trouver une matrice bistochastique (III, 6.8) pour laquelle f prend la plus grande valeur possible. (Solution page 101)

III. Applications à l'analyse La théorie de la convexité s'est montrée particulièrement féconde en analyse dans l'étude des espaces fonctionnels. Dans un espace vectoriel normé, la boule unité est un ensemble convexe. Une étude minutieuse de cette boule unité permet de déceler de nombreuses propriétés des éléments de l'espace.

SOMMAIRE

81

APPLICATIONS Il n'est pas question d'aborder systématiquement ici de telles situations, qui obligeraient à traiter des espaces vectoriels de dimension infinie. Nous nous bornons à présenter quelques exemples qui peuvent donner au lycéen avancé un avant-goût de cette branche passionnante des mathématiques.

E.E

3.1

a) Considérons, dans l'espace R°, la norme qui au vecteur x = (xl ,x2,...,x„) associe le nombre

n

|| x || = Max | x i | i∈N*

Décrire la boule unité. Trouver les points extrémaux de cette boule unité. (S'inspirer de III,6.8) b) On considère l'espace vectoriel de dimension infinie l1, dont les éléments sont des séries. absolument convergentes : x = (x1, x2, ..., xn, … .) normé grâce à ∞

|| x ||A1 = ∑ | x i | i =1

Montrer que la boule unité de cet espace est un ensemble convexe dont les points extrémaux sont les séries Ui dont tous les termes sont nuls, sauf le i ème, qui vaut 1, ainsi que les séries – Ui . Pour établir la réciproque, il suffit de montrer que si x ∈ l1 satisfait à || x || = 1 , et possède au moins deux termes xi et xj non nuls, il est possible de trouver un nombre réel ε tel que toutes les séries obtenues à partir de x, en substituant xi + tε et xi – tε ,

SOMMAIRE

82

APPLICATIONS

au i ème et j ième termes, pour – 1 ≤ t ≤ + 1 , appartiennent aussi à la boule unité de l1 .

E.E

3.2

Soit m l'espace vectoriel des suites bornées, normé, pour x = (x1 , x2, x3,...) ∈ m , par : || x ||m = Max | x i | i∈N*

Montrer que la boule unité de m est un ensemble convexe dont les éléments extrémaux sont les suites dont tous les termes ne prennent que les valeurs +1 et –1 On pourra poser la question sous forme de problème en demandant de trouver les points extrémaux. Pour cela, il sera bon d'inciter les élèves à étudier d'abord R° , comme pour l'exercice 3.1.

P

3.3

Soit C(I) l'espace vectoriel des fonctions numériques continues, définies sur l'intervalle I = [– 1 , + 1] , normé par || f || = Max | f ( x ) | x ∈I

Montrer que la boule unité est un ensemble convexe qui ne comporte que deux éléments extrémaux triviaux. (Résumé de la solution page 101)

T.T

3.4

Dans l'espace vectoriel P2 des polynômes à une indéterminée t, à coefficients réels, de degré ≤ 2, on considère l'ensemble B, défini par P ∈ B ⇔ { ∀ t ∈ [–1, + 1] , –1 ≤ P (t) ≤ +1 }

SOMMAIRE

83

APPLICATIONS

On représente chaque polynôme de P2 , xt2 + yt + z , par le point (x, y, z) de R3 . On demande de dessiner soigneusement l'ensemble B . Réaliser un modèle en carton de cet ensemble convexe.

Commentaire pédagogique Cet exercice représente une tâche technique (Cf. fascicule I, chapitre 4) très instructive pour les élèves. Sans présenter de difficulté réelle, elle demande cependant un effort soutenu, et aboutit à un résultat non dénué d'intérêt (Cf. l'exercice suivant). De plus, le professeur incitera les élèves à passer constamment de la représentation géométrique de R3 au langage des polynômes et vice versa. Cet entraînement au transfert est une aptitude très importante pour celui qui veut réussir dans la recherche des problèmes. (Solution page 102)

M

3.5

Interpréter tous les points remarquables du solide convexe qui vient d'être construit. (Solution page 104)

M

3.6

a) Trouver, parmi les polynômes P représentés par un point de B , ceux pour lesquels P(O) est le plus petit possible, (resp. pour lesquels P'(0) est le plus grand possible, resp. P"(0) le plus grand possible). b) Soit α un nombre réel, tel que α > 1 ; trouver, parmi les polynômes P représentés par un point de B , celui pour lequel P(a) est

SOMMAIRE

84

APPLICATIONS

le plus grand possible. (Résumé de la solution page 105)

P

3.7

Soit J un ensemble fini, et pour tout i ∈ J un nombre réel xi et un intervalle Ii ⊂ R . On cherche un polynôme P à coefficients réels, de degré ≤ n , satisfaisant aux conditions ∀i∈J P(xi) ∈ Ii (Ce problème est évidemment important dans les sciences expérimentales, où l'on cherche souvent à interpoler des données numériques qui ne sont connues que d'une façon approchée). Démontrer que, pour que ce problème admette une solution, il faut et il suffit qu'il en soit ainsi pour les problèmes analogues, où J est remplacé par n'importe quelle partie J' C J comprenant n + 2 éléments au plus. (Solution page106)

SOMMAIRE

85

SOLUTIONS

CHAPITRE 1 Solution de T.T

4.1

Nous ne détaillons ici que les deux derniers calculs, juste pour que le professeur puisse se rendre compte des aptitudes qu'un tel exercice peut développer chez les élèves. g) Sachant que y – x2 ≥ 0

,

y' – x'2 ≥ 0

et

0≤λ ≤1

il s'agit de savoir si

λy + (1 – λ) y' – (λ x + (1 – λ) x')2 est positif. Compte tenu des trois hypothèses (et en particulier du fait que λ et 1 – λ sont positifs), on minore cette expression par: 2

λx2 + (1 – λ)x'2 - (λx + (1 – λ)x')2

SOMMAIRE

87

SOLUTIONS qui est identique à

λ(1 – λ)(x – x')2 On obtient bien un résultat positif et l'ensemble (un des domaines limités par une parabole) est bien convexe. h) Sachant que xy ≥ 1 , x'y' ≥ 1 , x > 0 , x' > 0

0≤λ≤1

et

il s'agit de savoir si [λx + (1 – λ)x'] × [λy + (1 – λ)y'] est supérieur à 1. Par un calcul analogue au précédent, on est ramené à étudier si: (*)

(x' x )

λ 2 + (1 − λ ) 2 + λ (1 − λ ) x + x '

est supérieur à 1. Examinons d'abord l'expression x ' + x : on sait que la somme x x' de deux nombres positifs inverses est un nombre ≥ 2 . L'expression (*) est donc supérieure à

λ2 + (1 – λ)2 + 2λ (1 – λ) = 1 L'ensemble (h) est donc convexe.

CHAPITRE 2 Solution de E.D

1.3

Il suffit de vérifier que: a) chaque point Ai appartient à Γ (choix convenable des λi), b) l'enveloppe convexe d'un ensemble qui contient p points doit contenir tous les barycentres à masses positives (récurrence sur p),

SOMMAIRE

88

SOLUTIONS c) enfin, I' est convexe. En effet, c'est l'image, par une application affine, du simplexe à p – 1 dimensions, plongé dans Rp , défini par les relations (*) .

Solution de P

1.6

On montrera que tout point M du disque ouvert est intérieur à un simplexe OAB où A et B appartiennent à X, et O est le centre. On montrera en outre que la réunion du disque ouvert et de X est convexe. Cette réunion est Γ(X) .

Solution de E.E

1.7

Bornons-nous à démontrer l'égalité: Γ (X ∪ Y) = Γ(Γ(X) ∪ Γ(Y)) a) l'inclusion

X ∪ Y ⊂ Γ(X) ∪ Γ(Y)

implique que

Γ(X ∪ Y) ⊂ Γ (Γ(X) ∪ Γ(Y)) b)

Γ(X) ⊂ Γ(X ∪ Y)

et

Γ(Y) ⊂ Γ(X ∪ Y)

(conséquence de X ⊂ X ∪ Y) entraînent que Γ(X) ∪ Γ(Y) ⊂ Γ(X ∪ Y) puis Γ (Γ(X) ∪ Γ(Y)) ⊂ Γ (Γ(X ∪ Y)) . ce qui achève la démonstration, compte tenu de Γo Γ = Γ

Remarques Voilà un exemple de bon algorithme (notations commodes assorties d'un jeu suffisant de formules) qui permet d'"algébriser" certains raisonnements géométriques.

SOMMAIRE

89

SOLUTIONS

Solution de E.E

1.10

On peut projeter injectivement S sur une droite (il suffit de choi2 sir une direction de projection non-parallèle aux C3n droites qui joignent les points de S deux à deux). On en déduit n bandes ouvertes disjointes qui contiennent chacune exactement trois points de S . Les triplets ainsi séparés fournissent les sommets des simplexes répondant à la question.

Commentaire de P 4.3 Chercher soigneusement le noyau convexe de la réunion des deux disques de 4.1. Attention aux nombreux cas de figure !

Solution de P

4.7

La réunion dans R2 du demi-plan ouvert des points d'ordonnée strictement inférieure à 1 et de l'ensemble des points d'ordonnée égale à 1 et d'abscisse rationnelle fournit un contre-exemple à 2).

Résumé de la solution de E.E

5.2

1° Commencer par déterminer les rayons des couvercles susceptibles de recouvrir tout triplet de points A, B, C tels que les distances mutuelles de ces trois points n'excèdent pas l . (On distinguera deux cas selon que le triangle ABC a un angle obtus ou non). On trouve

r≥A 3 3

(Cf. fascicule 5).

SOMMAIRE

90

SOLUTIONS 2° Appliquer le théorème de Helly à l'ensemble des disques de 3 rayon A centrés sur X pour prouver que X peut être 3 3 . recouvert par un disque de rayon A 3

CHAPITRE 3

Solution de E.E

3.5

a) Par définition A est intérieur à un simplexe Sr ⊂ X . Faisons subir à Sr des homothéties de centre B et de rapport t avec 0 < t ≤ 1. Par raison de convexité, les images de Sr sont des simplexes inclus dans X. La réunion de leurs intérieurs recouvre l'intervalle [AB[ (figure 1). Si B est un point frontière de X avec B ∉ X , il existe une droite Δ, passant par B, qui coupe X selon un intervalle (ou une demi-droite) dont B est une extrémité (resp. l'origine). Pour tout point M ∈ [AB[ , on peut trouver deux points B' et A' tels que B' ∈ Δ ∩ X , A' appartient à l'intérieur de Sr et M ∈ [A'B'] , en utilisant l'homothétie de centre M qui applique A sur B. Mais, d'après a), tous les points de [A'B'| sont internes à X, et c'est le cas en particulier pour le point M arbitrairement choisi sur [AB[ (figure 2).

SOMMAIRE

91

SOLUTIONS

Indication de solution de P

6.8

a) Une matrice bistochastique est entièrement déterminée par (n – 1)2 coefficients convenablement choisis. Ainsi, dans le cas n = 2 , la connaissance de al1 = t détermine ⎛ t 1− t ⎞ ⎛1 0⎞ ⎛0 1⎞ A=⎜ ⎟ = t⎜ ⎟ + (1 − t ) ⎜ ⎟ t ⎠ ⎝1 − t ⎝0 1⎠ ⎝1 0⎠

0 ≤ t ≤ 1. BS2 est donc un segment.

Ces (n – 1)2 coefficients ne sont soumis qu'a des contraintes données par des inégalités. b) On cherche à décomposer une matrice bistochastique sous la forme (6.2). On met en évidence l'argument suivant: pour que la somme de deux nombres 0 soit nulle, il faut et il suffit que ces nombres soient nuls. Bref, si une matrice stochastique a des termes nuls, les matrices A et B de la décomposition (6.2) doivent avoir des termes nuls aux mêmes endroits.

SOMMAIRE

92

SOLUTIONS c) On en déduit que les matrices de permutations (celles qui ont un 1 par ligne et par colonne et des 0 ailleurs) sont des éléments extrémaux de 3 8 n . d) Il reste à voir si ce sont les seuls éléments extrémaux. Il suffit de montrer qu'à toute matrice bistochastique A qui n'est pas une matrice de permutation, on peut associer une matrice non nulle g , à termes réels, et telle que, pour - 1 < t 1 , la matrice A + t E soit bistochastique. C'est délicat pour n quelconque. Dans le cas n = 3 , on montrera qu'il est toujours possible d'adopter une matrice E d'un des types suivants (avec ε suffisamment petit): a) Une matrice ayant une ligne et une colonne nulles, telle que: ⎛0 0 ⎜ ⎜0 ε ⎜ 0 −ε ⎝

0 ⎞ ⎟ −ε ⎟ ε ⎟⎠

b) Une matrice ayant trois termes nuls, dont deux quelconques ne soient ni sur une même ligne ni sur une même colonne, telle que: ⎛ 0 ⎜ ⎜ −ε ⎜ε ⎝

ε 0 −ε

−ε ⎞ ε ⎟⎟ 0 ⎟⎠

Commentaire Il faut que l'élève qui cherche prenne conscience du fait que les difficultés résultent de la présence de zéros dans la matrice donnée, que dès qu'une matrice bistochastique a plus de 4 zéros, elle est de permutation, et que les matrices indiquées permettent de traiter les autres cas.

SOMMAIRE

93

SOLUTIONS

CHAPITRE 4

Solution de Science-fiction

1.4

Si les objets B et J sont solides et convexes c'est impossible. En effet, s'il existait un point B de B , éclipsé par un point J de J pour le cosmonaute C, et un point J' ∈ J éclipsé par B' ∈ J, , alors B et J auraient un point commun I d'après le principe de Pasch.

On peut imaginer que l'un des corps célestes n'était pas convexe. Ou encore qu'il s'agit de "nuages de poussières" susceptibles de se pénétrer l'un l'autre et suffisamment opaques pour s'éclipser mutuellement.

Solution de P

1.5

On se ramène, comme dans le problème I. 2.1, a), au cas où X se réduit à un segment [AB] dont la projection est [A'B'] . Pour

SOMMAIRE

94

SOLUTIONS prouver que tout point I' ∈ [A'B'] est la projection d'un point I de [AB] , on applique le principe de Pasch aux triangles A'B'B et AA'B.

Résumé de la solution de E.E 3.1 On désignera par X l'intersection des deux demi-plans ouverts dont l'arête porte Ox (resp. Oy) et qui contient la demi-droite ouverte Oy (resp. Ox). Alors la question 1), dans le cas où la "bonne" jonction de AB ne comporte qu'un seul côté, est un cas très particulier simplifié de III. 4.1. On achève par une récurrence sur le nombre des côtés de la "bonne" jonction. Le même raisonnement s'applique en remplaçant la réunion Ox ∪ Oy par une frontière d'ensemble convexe, réunion des deux demi-droites Ox et 0'y complétée par le segment 00'. On peut ainsi comparer les index de O et O' par récurrence sur le nombre de côtés d'une ligne polygonale qui joint O à O'.

SOMMAIRE

95

SOLUTIONS

Commentaire de P

3.2

Des contre-exemples à ces deux énoncés sont suggérés par des dessins reproduits dans ce fascicule. Un problème intéressant est de savoir si le contre-exemple très simple à b) est "essentiellement" unique, ou bien si le phénomène peut encore se produire dans des cas plus compliqués. Solution: ce contre-exemple est une bande de R2 .

SOMMAIRE

96

SOLUTIONS

CHAPITRE 5 Solution de E.D

1.7

Conséquence facile de 1.5 et de I, 1.4 b).

Réponse à E.D

2.4

Pour que la symétrisation soit affine, il faut et il suffit que l'ensemble des milieux des segments, intersections des perpendiculaires à D avec K , (appelé encore "ensemble diamétral de K dans la direction A") soit un segment. En particulier, c'est le cas lorsque K est un triangle ou un trapèze de base parallèle à 0 . Pour que la symétrisation soit affine par morceaux il faut et il suffit que l'ensemble diamétral soit une ligne polygonale. En particulier, il en est ainsi lorsque K est un polygone .

Réponse à E.D

2.7

Si et seulement si K et H ont le même ensemble diamétral par rapport à la direction des perpendiculaires à D.

SOMMAIRE

97

SOLUTIONS

Solution de P

2.2

Soit I' et J' deux points appartenant à s(K). Construisons les trapèzes A'B'N'M' et ABNM dont les bases sont les intersections des perpendiculaires à D passant par I' et J' avec s(K) et K respectivement. Désignons par H , ABNM ( H ⊂ K ) ; si g est la symétrisation de Steiner de H , g( H ) = A'B'N'M' Mais d'après 2.5 et 2.4, [I'J'] est l'image par g d'un segment [IJ] de K. Mais

H⊂K

donc d'après (2.7) : [I'J'] = g ( [IJ] ) ⊂ g(H) ⊂ s(K) Remarque

Les exercices didactiques précédents montrent pourquoi l'idée naturelle qui consiste à étudier l'image réciproque par s de [I'J'] est vouée à l'échec. Cette image réciproque n'est pas en général un segment et il est impossible de conclure en n'utilisant ici que la convexité de K . L'utilisation du trapèze H et de la symétrisation g (au lieu de s) est essentielle.

SOMMAIRE

98

SOLUTIONS

Solution de E.D

2.8

Grâce à un découpage en tranches, il suffit d'examiner le cas où K est un trapèze dont les bases sont perpendiculaires à D. La conservation de l'aire est triviale. Le raccourcissement du périmètre est une conséquence de 1.5, énoncé sous la forme suivante: parmi les triangles de même base et de même hauteur, c'est le triangle isocèle qui a le plus petit périmètre.

Commentaire de E.E

3.2

On retrouve ainsi la méthode employée par Archimède pour calculer l'aire d'un segment de parabole deux millénaires avant l'invention du calcul intégral.

Réponse de E.E 3.3 L'aire du second est comprise entre la moitié et les trois quarts de l'aire du premier. En fixant quatre des sommets on pourra déformer le premier pentagone; en conservant S et en observant les variations de Σ on sera ramené à examiner uniquement des pentagones dégénérés.

Commentaire de E.E

3.4

Ce problème est une version plane d'un énoncé proposé aux Olympiades Internationales de Mathématiques de 1968. Nous n'en donnons pas la solution. Nous nous bornons à dire qu'il se résout par une méthode qui convient à la résolution des exercices suivants: a) Peut-on placer 9 boules disjointes de rayon 1 dans une boule de rayon 2 ?

SOMMAIRE

99

SOLUTIONS b) On peint une partie de la surface d'une sphère. L'aire de la partie peinte est inférieure aux 7/15 de l'aire de la sphère. Montrer qu'il existe deux points diamétralement opposés non peints.

CHAPITRE 6 Solution de E.D

1.2

Voici un contre-exemple:

La planche à repasser, non chargée, est en équilibre. Le poids est en équilibre sur la planche maintenue horizontale. Mais le système complet va basculer si on cesse de le maintenir.

Solution de P

1.4

Voir [7]. 1) Le problème plan se résout en considérant une plaque polygonale sans masse, lestée en un seul point près d'un côté. 2) Un polyèdre s'obtient à l'aide d'un prisme oblique dont une section droite convenable est la solution plane précédente.

SOMMAIRE

100

SOLUTIONS Autre solution: Nous sommes parvenus à construire un modèle répondant à la question: c'est un polyèdre à sept faces dont la photographie paraîtra dans le Livre du Problème fascicule 5, calcul barycentrique.

Solution de E.C

2.2

On constate que l'ensemble convexe présente une pointe au point extrémal 9 , 5 . Ainsi une droite d'appui peut pivoter légè2 2 rement autour de cette pointe.

( )

Si la forme linéaire f est très peu perturbée la solution extrémale reste toujours égale à 9 , 5 2 2

( )

Solution de l'Application 2.3 Dans la mesure où l'on sait (III, 6.8) que les éléments extrémaux de BS3 sont les 6 matrices de permutations, il suffit de faire 6 essais pour trouver la réponse.

Solution de P

3.3

Si f est une fonction non constante sur I appartenant à cette boule unité, on peut trouver un intervalle I' ⊂ I et un nombre ε > 0 tel que, pour x ∈ I' , –1 + ε ≤ f(x) ≤ 1 – ε On peut ainsi construire une fonction continue x → α(x) , non nulle qui ne prend que des valeurs nulles en dehors de I et satisfait à ||α || = ε

SOMMAIRE

101

SOLUTIONS On vérifie alors que, pour –1 ≤ t ≤ + 1 , la fonction f + t α appartient à la boule unité de C (I). Donc aucune fonction non constante n'est un élément extrémal de la boule unité de C (I) .

Solution de T.T

3.4

On remarque d'abord que si (x, y, z) appartient à B , il en est de même pour (–x, –y, –z) et pour (x, –y, z). Ainsi, il suffit de représenter la partie B* de B qui se trouve dans le dièdre x ≥ 0 , y ≥ 0 , puis de reconstruire B grâce à une symétrie par rapport au plan xOy, suivie d'une symétrie par rapport à l'origine. On trouve que B* est la réunion de trois ensembles; • Le premier correspond aux polynômes de degré ≤ 1 (i.e. x = 0). • Le second correspond aux polynômes de degré 2, monotones dans l'intervalle [–1 , +1] . Il est défini par le système d'inégalités ⎧x > 0 ⎪y ≥ 0 ⎪ ⎪ y ⎨− 2 x ≤ −1 ⎪ ⎪P (1) = x + y + z ≤ 1 ⎪P (−1) = x − y + z ≥ −1 ⎪⎩ C'est un polyèdre. • Le troisième correspond aux polynômes dont la dérivée s'annule dans l'intervalle [–1 , +1 ] .

SOMMAIRE

102

SOLUTIONS

Il est défini par

⎧x > 0 ⎪y ≥ 0 ⎪ ⎪ y ⎪−1 ≤ − ⎨ 2x ⎪ 2 ⎪−1 ≤ − y − 4 xz 4x ⎪ ⎪⎩ x + y + z ≤ 1

La frontière de ce dernier ensemble comporte une portion de surface, d'équation y2 – 4 xz – 4x = 0 , qui est un cône de sommet D (Cf. figure), construit sur l'ellipse de grand axe AS, de petit axe parallèle à Oy et de demi-longueur 1. (Pour identifier cette surface on écrit son équation sous la forme y2 – 4x (z + 1) = 0 ). Le plan d'équation x + y + z = 1 coupe ce cône selon une parabole d'axe RC. Le plan d'équation x – y + z = – 1 touche le cône selon la droite DR. Le plan d'équation y = 2x coupe le cône suivant les droites DR et DA. Ces indications doivent permettre de faire exécuter les dessins ci-dessous. A (0, 0, 1) B (0, 1, 0) C (1, 0, 0) D (0,0,-1) R ( 1 ,1 , − 1 ) 2 2 S (2, 0, -1) Plan ABS : x + y + z = 1 Plan DBR : x - y + z = -1 Plan ADR : y = 2x

SOMMAIRE

103

SOLUTIONS

Commentaire de M

3.5

Par exemple, l'arête RT est constituée par tous les polynômes croissants sur [– 1 , + 1] qui satisfont à P (–1) = – 1 et P (+ 1) = + 1 En particulier R (resp. T) sont les polynômes 1 [(t + 1)2 – 2 ] 2 1 (resp. − [(t – 1)2 – 2] ) atteignant leur extremum à l'une des 2 extrémités de l'intervalle [ – 1 , + 1 ] . Les points A et D sont des pointes du solide, correspondant aux polynômes constants, égaux à 1 et – 1 . Et enfin, la pointe S

SOMMAIRE

104

SOLUTIONS

représente le polynôme 2t2 – 1 , qui joue un rôle très important dans cette question (c'est le polynôme de Tchebycheff du second degré, cf. exercice suivant).

Solution de M

3.6

II suffit d' appliquer la technique de programmation linéaire (Cf. 2.1 et 2.2) pour trouver les polynômes optimum. Par exemple, on construit le plan d'équation P(O) = λ (c'est-à-dire z = λ) et l'on cherche le plus petit λ pour lequel ce plan coupe B . On trouve que c'est le plan tangent horizontal au cône de sommet D: le contact se fait le long de la génératrice DS (interpréter en langage de polynômes). De même, à la forme

P → P'(0) = y

correspondent les polynômes représentés par l'arête RT Pour

P"(0) = 2x

on trouve le polynôme représenté par S.

Pour la forme linéaire P → P(α) = x α2 + y α+ z un dessin soigné montre que le maximum se réalise indépendamment de la valeur de α , au point S correspondant au polynôme de Tchebycheff.

Remarque On explique ainsi la signification géométrique d'un curieux résultat d'analyse. En 1889, le chimiste Mendeleieff, (célèbre par sa classification périodique) posait le problème suivant: "Quelles sont les valeurs absolues maxima des coefficients ao, a1 , ..., an d'un polynôme P de degré n, borné en module par 1 sur [-1,+ 1] ? "

SOMMAIRE

105

SOLUTIONS La réponse a été fournie par Serge Bernstein et elle repose sur le fait particulier suivant : c'est le même polynôme (appelé polynôme de Tchébycheff) qui réalise l'extremum de chacun des n + 1. coefficients. Ce polynôme est représenté par une pointe dans la boule unité Bn .

Solution de P

3.7

Démonstration

Dans l'espace vectoriel P n des polynômes de degré ≤ n , l'ensemble des polynômes P satisfaisant pour x, a, b réels donnés à a ≤ P(x) ≤ b est convexe. Le résultat est donc une jolie application du théorème de Helly.

SOMMAIRE

106

BIBLIOGRAPHIE

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SOMMAIRE

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EDITIONS N

o

d'éditeur

CEDIC :

274.11

Dépôt légal 2ème Trim. 1974 Imp ri m e ri e U DR E Y - L YO N