Cálculo 3 - 2a Unidade - Lista De Exercício 4

´ ´ UFPE – CCEN – DEPARTAMENTO DE MATEMATICA – AREA II ´ CALCULO 3 —– PRIMEIRO SEMESTRE DE 2009 Estudo dirigido 6: Teorema da divergˆ encia etc. OBS. Quando necess´ario, assuma que as componentes do campo vetorial em quest˜ao tˆem derivadas parciais cont´ınuas na regi˜ao em que o campo est´a definido. Tamb´em assuma que as superf´ıcies fechadas est˜ao orientadas positivamente (campo normal “para fora”). ——————————————————————————————————————— 1. (a) Se F ´e um campo vetorial em uma regi˜ao de R3 , prove que div(rot F) = 0. (b) Use o teorema da divergˆencia para dar outra solu¸ca˜o para o ex. 2 da lista anterior: Seja X a esfera x2 +y 2 +z 2 = 1. Prove que o fluxo de rot F atrav´es do hemisf´erio superior (z ≥ 0) de X ´e igual ao fluxo de rot F atrav´es do disco x2 + y 2 ≤ 1, z = 0 (supondo que ambas as superf´ıcies est˜ao orientadas com campo normal apontando para cima.) 2. Sem usar l´apis e papel, calcule os fluxos nos exerc´ıcios 2(b), 4 e 5(iii) da lista 4. (OBS. Para o ex.4 da lista 4, veja o coment´ario na quest˜ao 3(d) abaixo.) 3. Fa¸ca uso apropriado do teorema da divergˆencia para calcular os fluxos abaixo. “Monte” as integrais no estudo dirigido e deixe os c´alculos finais para fazer em casa. (a) Seja E o s´olido delimitado pelo cilindro parab´olico z = 1 − x2 e pelos planos z = 0, y = 0, y + z = 2. Expresse a regi˜ao E em termos de desigualdades; reescreva estas desigualdades sob a forma apropriada para calcular integrais triplas sobre E como integrais 2 iteradas. Finalmente responda: Se F(x, y, z) = (xy, y 2 + exz , sen (xy)), calcule o fluxo de F atrav´es da fronteira S de E. (Resolu¸ca˜o detalhada: exemplo 2 na se¸ca˜o 16.9 do livro-texto; em casa, compare com sua resolu¸c˜ao). (b) (Ex. 10) Calcule o fluxo de F(x, y, z) = (3xy, y 2 , −x2 y 4 ) atrav´es da superf´ıcie do tetraedro com v´ertices (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1). (c) (Ex. 14) Calcule o fluxo de F(x, y, z) = (x3 , 2xz 2 , 3y 2 z) atrav´es da superf´ıcie fechada S dada pela uni˜ao da parte do parabol´oide 4 − x2 − y 2 acima do plano xy com o disco x2 + y 2 ≤ 4 no plano Rxy. R (d) (Ex. 19) Calcule F · n dS onde F(x, y, z) = z 2 xi + ( 31 y 3 + tg z)j + (x2 z + y 2 )k e S S ´e o hemisf´erio superior da esfera x2 + y 2 + z 2 = 1. (Aten¸ca˜o: S n˜ao ´e fechada; como adaptar o teorema da divergˆencia neste caso? Veja sugest˜ao no livro.) Resposta: 13π/20. xi + yj + zk atrav´es do elips´oide x2 +2y 2 +3z 2 = (x2 + y 2 + z 2 )3/2 1 (Aten¸ca˜o: o campo n˜ao est´a definido na origem!). (b) Um campo vetorial tem divergˆencia constante k na regi˜ao E compreendida entre duas superf´ıcies fechadas S1 e S2 (com S2 contida no interior de S1 .) Expresse o fluxo do campo atrav´es de S1 em termos do fluxo atrav´es de S2 e do volume de E. (OBS: O campo n˜ao est´a necessariamente definido no interior de S2 !) 4. (a) Calcule o fluxo de F(x, y, z) =

5. Use o teorema da divergˆencia em (a) e teorema de Stokes em (b): (a) Uma das equa¸c˜oes de Maxwell diz que um campo magn´etico B satisfaz div(B) = 0. Prove que o fluxo do campo magn´etico atrav´es de qualquer superf´ıcie fechada ´e nulo. (b) Se E e B s˜ao o campo el´etrico e o campo magn´etico (dependentes do tempo) respectivamente, a lei de Faraday diz que a queda de voltagem ao longo de qualquer curva fechada C ´e igual ao negativoR da taxa de varia¸ R R ca˜o do fluxo magn´etico atrav´es de uma d superf´ıcie S com fronteira C: C E · dr = − dt B · n dS. Verifique que a lei de Faraday S ∂B ´e conseq¨ uˆencia da (de fato ´e equivalente `a) equa¸ca˜o de Maxwell ∇ × E = − . ∂t