Eine Einführung In Model Predictive Control

dynamic systems

Eine Einführung in

Model Predictive Control

dynamic systems AG· Streulistrasse 17·CH-8032 Zürich·Switzerland Tel. +41–44–422 52 50·Fax +41–44–422 52 30·Web www.dynamic-systems.net

2

Eine Einführung in Model Predictive Control

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Revisionen Revision

Datum

Autor

1.0

2 Juni 2009

H. Musch

Kommentare

Anmerkung Diese Arbeit ist im Wesentlichen während der Forschungstätigkeit des Autors am Institut für Messund Regeltechnik, ETH Zürich, entstanden.

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3

Eine Einführung in Model Predictive Control

Einleitung “Model Predictive Control” (MPC) ist eine Technik, welche auf der on-line Optimierung von quadratischen Gütekriterien beruht. Im Gegensatz zu PID- oder Zustandsreglern wird bei diesen Verfahren das Regelgesetz nicht explizit formuliert, sondern lediglich ein Gütefunktional vorgegeben. Das Verhalten des Reglers ergibt sich aus der On-line-Minimierung dieses Gütefunktionals im Zeitbereich und wird damit nur implizit definiert. Dies hat den grossen Vorteil, dass Beschränkungen der Stell- und anderer Systemgrössen direkt berücksichtigt werden können. Ein Nachteil ist jedoch der recht hohe On-line-Rechenbedarf, welcher die Anwendung dieses Verfahrens bei schnellen Regelstrecken erschwert. Diese Limitierung kann mit expliziten Verfahren (Bemporad et. al) überwunden werden. MPC wurde in der Industrie besonders für jene multivariablen Regelstrecken entwickkelt, bei denen ein Betrieb häufig an Prozessschranken erfolgt. Dieses Regelverfahren hat sich sehr bewährt und wird routinemässig eingesetzt. Eine weit verbreitete Variante von MPC stellt der “Dynamic Matrix Control” (DMC) genannte Algorithmus dar. Seine einfache Form und Realisierung machen ihn für eine Einführung in dieses Gebiet besonders geeignet. Im folgenden wird daher der DMC-Algorithmus eingeführt und anhand von Beispielen vertieft.

1

Grundlegende Ideen

1.1

Streckenmodell

Bereits die Bezeichnung “Model Predictive Control” weist darauf hin, dass diese Regelverfahren auf Prozessmodellen beruhen. Ein besonders einfaches Prozessmodell erhält man aus einer Sprungantwort des Stellverhaltens mit Δu=1: h3

u

y h1

Δu = 1

t Abbildung 1:

h2 Ts

t

Stellverhalten eines Systems

Tastet man den Ausgang mit einer Periode von T s ab, erhält man die Sprungantworts-Koeffizienten h i .

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4

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u

Δu ( 1 ) = 0.5 Δu ( 0 ) = 1

t

h i Δu ( 0 ) y t

=

+ h i Δu ( 1 )

t t Abbildung 2:

Superposition von zwei Sprüngen am Eingang der Regelstrecke

Nehmen wir nun an, dass an der Stellgrösse ein zweiter Sprung Δu ( 1 ) zum Zeitpunkt t = 1T s angelegt wird. Unter Anwendung des Superpositionsprinzips gilt für den Ausgang (siehe auch Abbildung 2) t = 0

y(0) = 0

t = Ts t = 2T s

y ( 1 ) = h 1 Δu ( 0 ) y ( 2 ) = h 2 Δu ( 0 ) + h 1 Δu ( 1 )

t = 3T s

y ( 3 ) = h 3 Δu ( 0 ) + h 2 Δu ( 1 )

(1)

Das Prinzip der Superposition kann auf beliebig viele Änderungen der Stellgrösse und einen beliebig grossen Zeithorizont erweitert werden. Es impliziert jedoch ein lineares Modell der Regelstrecke. Betrachtet man einen Stellhorizont von N u , einen Ausgangshorizont von N y Abtastschritten und geht von einem beliebigen Zeitpunkt kT s aus, lässt sich dieser Zusammenhang in Matrizen-Notation darstellen:

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5

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y( k + 1)

h1

0

0

…

0

Δu ( k )

y( k + 2)

h2

h1

0

…

0

Δu ( k + 1 )

h3

h2

h1

…

0

Δu ( k + 2 )

y( k + 3)

=

(2)

… … … … … … h N h N – 1 h N – 2 … h N + 1 – N Δu ( k + N u – 1 ) y y y y u

… y ( k + Ny ) oder

(3)

y = HΔu Eine Alternative für diese Darstellung ist die folgende Summenformel: j

∑

y( k + j) =

h i Δu ( k + j – i )

∀j ≤ N y

(4)

i = max ( 1, j – N u + 1 )

Die etwas komplizierte untere Grenze für den Summations-Index i verhindert die Mitberücksichtigung von nicht vorhandenen Stelländerungen für j – i > N u – 1 .

1.2

Open-loop response

In Gleichung (2) wurde davon ausgegangen, dass vor dem Zeitpunkt t = kT s keine Änderungen an der Stellgrösse vorgenommen wurden. Diese Annahme ist nicht gerechtfertigt, da in einem Regelkreis zu jedem beliebigen Zeitpunkt Stelländerungen notwendig sein können. Daher wird sich die Ausgangsgrösse auf Grund der Stelländerungen in der Vergangenheit k – 1, k – 2, … ändern, auch wenn ab dem aktuellen Zeitpunkt kT s keinerlei Korrekturen an der Stellgrösse mehr vorgenommen würden. Die Wirkung der vergangenen Stelländerungen muss daher bei der Berechnung von y ( k + j ) unbedingt berücksichtigt werden. Falls in den vergangenen N y Abtastschritten auch N y Stelländerungen erfolgt sind und keine anderen Einflüsse auf den Prozess gewirkt haben und wirken werden (d.h. Δu ( k + j ) = 0 ∀j ≥ 0 ), dann gilt Ny + j

y˜ ( k + j ) =

∑

h i Δu ( k + j – i )

i = 1+j Ny

=

mit h i + j = h N ∀i + j > N y y

(5)

∑ hi + j Δu ( k – i ) i=1

Da dies der Ausgangsgrösse ohne Regelung entspricht, wird y˜ häufig als “Open-loop response” oder “freie Antwort” bezeichnet.

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6

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d u

Abbildung 3:

1.3

Modell der Regelstrecke

y˜

ym

Störmodell

Störgrösse

Noch nicht in Betracht gezogen wurde die aktuelle Messgrösse y m ( k ) . Da immer Störungen auf die Regelstrecke wirken und das lineare Sprungantwort-Modell keine perfekte Beschreibung des Prozesses sein kann, wird die Messgrösse y m ( k ) von y˜ ( k ) abweichen: y m ( k ) – y˜ ( k ) = d ( k )

(6)

Diese Abweichung entspricht einer Störung am Ausgang der Regelstrecke (siehe Abbildung 3). Da keine weiteren Informationen über den Verlauf der Störung vorliegen, ist die aktuelle Störung auch die beste Schätzung für die zukünftigen Störungen: d(k + j) = d(k)

∀j > 0

(7)

Diese Kenntnis kann dazu eingesetzt werden, die Vorhersage von y zu verbessern.

1.4

Prädiktion des Verlaufs der Ausgangsgrösse

Die Prädiktion yˆ ( k + j ) der Ausgangsgrösse in Abhängigkeit von •

den zukünftigen Stellgrössen Δu ( k ), Δu ( k + 1 ), … ,

•

den vergangenen Stellgrössen Δu ( k – 1 ), Δu ( k – 2 ), … und

•

der Störung d ( k )

kann als Summe der drei Teilbeiträge berechnet werden yˆ ( k + j ) = y ( k + j ) + y˜ ( k + j ) + d(k) oder eingesetzt für 1 ≤ j ≤ N y :

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(8)

7

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j

∑

yˆ ( k + j ) =

h i Δu ( k + j – i )

“Zukunft”

i = max ( 1, j – N u + 1 ) Ny

+

∑ hi + j Δu ( k – i )

(9)

“Vergangenheit”

i=1 Ny

+ ym ( k ) –

∑ hi Δu ( k – i )

“Korrektur”

i=1

Die beiden letzten Terme können in den Koeffizienten p j zusammengefasst werden Ny

∑ ( hj + i – hi )Δu ( k – i )

pj = ym ( k ) +

(10)

i=1

und damit Gleichung (9) wie folgt vereinfacht werden: j

yˆ ( k + j ) =

∑

[ h i Δu ( k + j – i ) ] + p j

(11)

i = max ( 1, j – N u + 1 )

Eine noch einfachere Form erhält man mit der Matrizenschreibweise yˆ ( k ) = HΔu p ( k ) + p

(12)

und den Vektoren Δu ( k )

yˆ ( k + 1 ) ˆ yˆ ( k ) = y ( k + 2 ) … yˆ ( k + N )

Δu p ( k ) =

y

Δu ( k + 1 ) … Δu ( k + N u – 1 )

p1 p =

p2 … pN

,

(13)

y

wobei hier die Stelländerungen Δu ( k ), Δu ( k + 1 ), … , welche beim Abtastschritt k prädiktiert wurden, im Vektor Δu p ( k ) zusammengefasst werden. Die Berechnung von Δu p ( k ) wird in den folgenden Abschnitten erläutert.

2

Das Gütefunktional

Das Regelziel ist eine möglichst gute Übereinstimmung der Soll- und Istwerte. Im Zeitbereich kann eine Regelgüte z.B. durch die Summe der Regelfehler-Quadrate beurteilt werden. Ausgehend vom aktuellen Abtastschritt k kann man über einen Zeithorizont von N y Abtast-

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8

Eine Einführung in Model Predictive Control

schritten in die Zukunft schauen und diejenigen Stellgrössen berechnen, welche die Quadratsumme der Differenz zwischen prädiktiertem Ausgang yˆ und dem Sollwert r minimieren: Ny

∑

J =

[ yˆ ( k + j ) – r ( k + j ) ]

2

(14)

j=1

Damit jedoch der Verlauf der Stellgrösse nicht allzu nervös wird und eine genügende Robustheit erzielt wird, müssen auch die Änderungen der Stellgrösse von Abtastschritt zu Abtastschritt berücksichtigt werden. Aus diesem Grund wird ein Gütefunktional verwendet, 2 welches aus der Quadratsumme der Regelfehler und der mit λ gewichteten Quadratsumme der Stellgrössenänderungen besteht: Ny

Nu – 1

∑ [ yˆ ( k + j ) – r ( k + j ) ]

J =

2

j=1

+

∑

[ λΔu ( k + j ) ]

2

(15)

j=0

In dieser Gleichung ist yˆ ( k + j ) die Prädiktion der Ausgangsgrösse, ausgehend vom aktuellen Zeitpunkt kT s bis zum Punkt ( k + N y )T s in die Zukunft. Dieser prädiktierte Verlauf yˆ kann durch die Stelländerungen Δu ( k + j ) beeinflusst werden, wobei die erste Stelländerung zum aktuellen Zeitpunkt k erfolgt, die Prädiktion aber erst ab dem Abtastschritt k + 1 von Interesse ist. Der Parameter N y gibt den betrachteten Ausgangshorizont, der Parameter N u den Stellhorizont an. Der Stellhorizont kann durchaus kleiner als der Regelhorizont gewählt werden, wobei Δu ( k + j ) = 0 für j ≥ N u angenommen wird1. Das Lösungsverhalten kann mit dem Faktor λ beeinflusst werden. Grosse λ -Werte legen Gewicht auf kleine Stelländerungen, kleine λ -Werte dagegen auf möglichst kleine Regelfehler.

3

Minimierung ohne Begrenzungen der Stellgrössen

Setzt man die Prädiktions-Gleichung (12) in das Gütefunktional ein, erhält man Ny

J =

Nu – 1

∑ [ yˆ ( k + j ) – r ( k + j ) ]

2

j=1

+

∑

[ λΔu ( k + j ) ]

2

j=0 T

(16)

T

= [ HΔu p ( k ) + p – r ] [ HΔu p ( k ) + p – r ] + λΔu p ( k ) λΔu p ( k ) T

T

2

T

T

= Δu p ( k ) [ H H + λ I ]Δu p + 2 ( p – r ) HΔu p ( k ) + ( p – r ) ( p – r ) Dieses Gütefunktional ist minimal, falls 1. Anmerkung: Nicht zulässig ist Nu > Ny , da in diesem Fall das Problem singulär wird.

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9

Eine Einführung in Model Predictive Control

T 2 T dJ ------------- = 2 [ H H + λ I ]Δu p + 2H ( p – r ) = 0 dΔu p

(17)

Löst man die Gleichung nach Δu p auf, erhält man: T

2

–1 T

Δu p = [ H H + λ I ] H ( r – p )

(18)

Der optimale zukünftige Verlauf der Stellgrösse kann dementsprechend mittels einer einfaT 2 –1 T chen Multiplikation einer konstanten Matrix [ H H + λ I ] H mit dem prädiktierten Regelfehler ( r – p ) berechnet werden. Voraussetzung dafür ist jedoch, dass die Stellgrösse oder Regelgrösse keinen Schranken unterliegt.

4

Das “Moving-horizon”-Konzept

An diesem Punkt der Betrachtung sind wir in der Lage, für einen beliebigen Abtastschritt k den optimalen und in die Zukunft extrapolierten Verlauf der Stellgrösse Δu p ( k ) zu berechnen. Es stellt sich nun die Frage, wie mit Hilfe dieser Open-loop-Lösung ein Regelkreis aufgebaut werden kann. Bei MPC geschieht das Schliessen des Regelkreises durch die Wiederholung der Optimierung für jeden einzelnen Abtastschritt. Vom berechneten Vektor Δu p ( k ) wird jeweils nur das erste Element Δu p ( k ) 1 berücksichtigt und die Stellgrösse mit u ( k ) = u ( k – 1 ) + Δu p ( k ) 1 korrigiert (Abbildung 4). Eine Rückführung der Regelgrösse entsteht dabei durch die Berechnung des Korrektur-Terms in Gleichung (9). Mit Hilfe dieser Korrektur wird der prädiktierte Ausgangsverlauf mit der aktuellen Messgrösse in Einklang gebracht. Da bei diesem Vorgehen ein Zeithorizont fester Länge um jeweils die Abtastzeit T s verschoben wird, spricht man auch von einem “Moving horizon” 1.

5

Ein Beispiel

Für den Wärmetauscher wurde in Kapitel 4.2 (Fig. 4.10) eine Sprungantwort des Stellverhaltens wiedergegeben. Tastet man die Sprungantwort mit T s = 30 s ab und normiert diese mit der Sprunghöhe von Δu = – 0.1 kg/s, erhält man die in Abbildung 5 dargestellten Koeffizienten h i . 1. Anmerkung: Diesem Konzept liegt die Annahme zugrunde, dass die Berechnung von Δu p schnell erfolgt, da eine Totzeit zwischen der Abtastung und der Ausgabe der neuen Stellgrösse u nicht vorgesehen wurde. Mindestens im hier betrachteten Fall der Regelung ohne Schranken ist diese Annahme gerechtfertigt, da für die Berechnung des ersten Elements von Δu p lediglich ein Skalar-Produkt der ersten Zeile der konstanten Matrix T 2 –1 T [ H H + λ I ] H mit dem prädiktierten Regelfehler ( r – p ) gebildet werden muss.

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10

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Δu p ( 15 )

Zeitpunkt 15*Ts

Δu p ( 16 )

Zeitpunkt 16*Ts

Δu p ( 17 )

Stellgrösse u

Zeitpunkt 17*Ts

15 Abbildung 4:

16

17

Das “Moving-Horizon”-Konzept

Da das System nach ca. 1200 s praktisch vollständig zur Ruhe gekommen ist, wurde ein grosszügiger Prädiktionshorizont von N y = 40 gewählt. Der Stellhorizont wurde etwas kürzer mit N u = 30 angesetzt, was den Rechenaufwand reduziert und die Robustheit der Regelung erhöht. Bei quadratischen Problemen hat die Skalierung einen grossen Einfluss auf das Verhalten des Regelkreises. Um den Tuning-Faktor λ möglichst unabhängig von der statischen Strekkenverstärkung zu machen, ist es daher zweckmässig, die Regelstrecke so zu skalieren, dass

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11

Eine Einführung in Model Predictive Control

90 80

Temperatur (°C)

70 60 50 40 30 20 10 0

0

200

Abbildung 5:

400

600

800

1000 Zeit (s)

1200

1400

1600

1800

Einheits-Sprungantwort des Wärmetauschers (Stellverhalten)

diese eine Verstärkung von ca. 1 aufweist. Dementsprechend wurde das Sprungantwortmodell innerhalb des DMC-Algorithmus mit einem Faktor 0.01 skaliert. Das Störverhalten des Regelkreises bei einer sprunghaften Änderung des Zulaufs um -0.1 kg/ s bei t = 300s wird in Abbildung 6 gezeigt. Für kleine λ-Werte reagiert der Regler schneller und nervöser als bei einer grossen Gewichtung der Stellgrössenänderungen. Eine besondere Eigenschaft aller MPC-Regelungen wird in Abbildung 7 demonstriert. Falls der Verlauf des Sollwerts im voraus bekannt ist, kann der Regler aufgrund der Prädiktion bereits vor der eigentlichen Sollwertänderung eingreifen und damit die Verzögerung der Regelstrecke weitgehend kompensieren.

6

Regelung mit Begrenzungen der Stellgrössen

Typischerweise unterliegen die Stellgrössen gewissen Schranken wie z.B. einer Ventilöffnung von 0-100%. Falls diese Schranken während der Regelung berücksichtigt werden sollen, muss das Gütekriterium T

T

2

T

T

J = Δu p ( k ) [ H H + λ I ]Δu p + 2 ( p – r ) HΔu p ( k ) + ( p – r ) ( p – r )

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(19)

12

Eine Einführung in Model Predictive Control

Temperatur (°C)

65 63

λ2 = 0.1

62 61

λ2 = 0.001

60 59

Durchfluss (kg/s)

λ2 = 10

64

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

0

200

400

600

800 1000 Zeit (s)

1200

1400

1600

1800

0.28 0.26 0.24 0.22 0.20 0.18 0.16

Abbildung 6:

Störverhalten des DMC-geregelten Wärmetauschers

Temperatur (°C)

62.5 62.0

Sollwert

61.5

λ2 = 0.001

λ2 = 0.1

61.0

λ2 = 10

60.5 60.0 59.5

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

Durchfluss (kg/s)

0.4

0.35

0.3

0

Zeit (s)

Abbildung 7: Führungsverhalten des DMC-geregelten Wärmetauschers

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13

Eine Einführung in Model Predictive Control

on-line mit einer numerischen Optimierung minimiert werden. Da die Lage des Optimums T nicht von der Konstanten ( p – r ) ( p – r ) abhängt, wird das Problem vorteilhaft auf folgende Form gebracht: T

Δu p ( k ) = arg min [ Δu p ( k ) FΔu p ( k ) + 2fΔu p ( k ) ] subject to RΔu p ( k ) < l

(20)

mit T

T

2

F = H H+λ I

f = H (p – r)

1 0 0 0 0 … 0

u max – u ( k – 1 )

1 1 0 0 0 … 0

u max – u ( k – 1 )

1 1 1 0 0 … 0

u max – u ( k – 1 )

… ……… …… … 1 1 1 1 1 … 1

… u max – u ( k – 1 )

R =

l = –1 0 0 0 0 … 0

– [ u min – u ( k – 1 ) ]

–1 –1 0 0 0 … 0

– [ u min – u ( k – 1 ) ]

–1 –1 –1 0 0 … 0

– [ u min – u ( k – 1 ) ]

… … … … … … … –1 –1 –1 –1 –1 … –1

… – [ u min – u ( k – 1 ) ]

(21)

Die Matrix R und den Vektor l erhält man aus der Forderung, dass die Summe aller Stelländerungen die Stellgrenzen nicht überschreiten darf: j = 0:

u min < u ( k – 1 ) + Δu ( k ) < u max

j = 1:

u min < u ( k – 1 ) + Δu ( k ) + Δu ( k + 1 ) < u max

j = 2:

u min < u ( k – 1 ) + Δu ( k ) + Δu ( k + 1 ) + Δu ( k + 2 ) < u max

(22)

oder Nu – 1

∑

Δu ( k + j ) < u max – u ( k – 1 )

j=0 Nu – 1

–

∑

(23) Δu ( k + j ) < – ( u min – u ( k – 1 ) )

j=0

Für die Lösung von quadratischen Problemen stehen ausserordentlich leistungsfähige Algorithmen zur Verfügung. Ein Problem mit 80 Variablen kann auf einem modernen PC in weniger als einer Sekunde gelöst werden.

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14

Eine Einführung in Model Predictive Control

Das unterschiedliche Verhalten des begrenzten und unbegrenzten DMC-Reglers wird in den Abbildungen 8 und 8 gezeigt. Bei diesen Simulationen wurde bei t=0s der Sollwert auf 20°C gesenkt und bei t=900s wieder auf 60°C erhöht. Da im ersten Fall der Regler keine Kenntnis der Stellgrenzen hat, verlangt er Durchflüsse des Heizmediums weit jenseits der Grenzen. Dies hat zur Folge, dass die Prädiktion des Ausgangsverlaufs fehlerhaft wird und verursacht bei der Erhöhung des Sollwerts ein träges und unbefriedigendes Verhalten. Die Berücksichtigung der Stellschranken führt dagegen zu einer korrekten Prädiktion und einem wesentlich besseren Verhalten.

7

Störgrössenaufschaltung

Aus Kapitel 7.2 ist das Konzept der Störgrössenaufschaltung bekannt und kann mit geringem Aufwand auch bei einer prädiktiven Regelung angewendet werden. Dazu wird das Modell der Regelstrecke um den messbaren Eingang d m erweitert: d

dm

Modell der Regelstrecke

u

Abbildung 9:

y˜

ym

Störmodell bei einer messbaren Störgrösse

Bestimmt man die Sprungantwortskoeffizienten g i für die Wirkung der Störgrösse d m auf den Ausgang y und wendet das Prinzip der Superposition an, gilt t = 0

y(0) = 0 +0

t = Ts

y ( 1 ) = h 1 Δu ( 0 ) + g 1 Δd m ( 0 )

t = 2T s

y ( 2 ) = h 2 Δu ( 0 ) + h 1 Δu ( 1 ) + g 2 Δd m ( 0 ) + g 1 Δd m ( 1 )

t = 3T s

y ( 3 ) = h 3 Δu ( 0 ) + h 2 Δu ( 1 ) + h 1 Δu ( 2 ) + g 3 Δd m ( 0 ) + g 2 Δd m ( 1 ) + g 1 Δd m ( 2 )

(24)

Geht man nun wie früher erläutert von einem beliebigen Abtastschritt k aus und erweitert die Prädiktions-Gleichung (9) mit den Termen für die messbare Störgrösse, erhält man für 1 ≤ j ≤ Ny :

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15

Eine Einführung in Model Predictive Control

Temperatur (°C)

60 λ2 = 10

50

λ2 = 0.001

40 30 20

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

800

1000 Zeit (s)

1200

1400

1600

1800

800

1000

1200

1400

1600

1800

800

1000 Zeit (s)

1200

1400

1600

1800

Durchfluss (kg/s)

4 2

umax umin

0 -2 -4 0

200

400

600

Abbildung 8: Unbegrenzte DMC-Regelung

Temperatur (°C)

60 50 40 30

Durchfluss (kg/s)

20

0

200

400

1

600

umax

0.8 0.6 0.4 0.2 umin

0 0

200

400

600

Abbildung 8: Begrenzte DMC-Regelung

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16

Eine Einführung in Model Predictive Control

j

∑

yˆ ( k + j ) =

h i Δu ( k + j – i )

“Zukunft”

i = max ( 1, j – N u + 1 ) Ny

+

Ny

∑ hi + j Δu ( k – i ) + ∑ gi + j Δdm ( k – i ) i=1

(25)

i=0 Ny

+ ym ( k ) –

“Vergangenheit”

Ny

∑ hi Δu ( k – i ) – ∑ gi Δdm ( k – i ) i=1

“Korrektur”

i=1

Bei der Wahl der unteren Grenzen für die Summations-Indices wurde berücksichtigt, dass die Störgrösse zum Zeitpunkt k gemessen werden kann, die Stelländerung Δu ( k ) aber noch berechnet werden muss. Die letzten beiden Zeilen können wieder zu einer “open-loop-response” p˜ zusammengefasst werden. Die Prädiktions-Gleichung nimmt damit wieder die bekannte Form (siehe Gleichung 12) an: yˆ ( k ) = HΔu p ( k ) + p˜

(26)

Dementsprechend muss für die Störgrössenaufschaltung lediglich die Berechnung der Openloop-response p˜ modifiziert werden. Die Berechnung des Stellverlaufs erfolgt wie bisher. Die Verbesserungen, welche durch eine Störgrössenaufschaltung erzielt werden können, sind in Abbildung 10 dargestellt. Wie bei Abbildung 6 wurde bei dieser Simulation zum Zeitpunkt t = 300s der Zulauf um 0.1 kg/s reduziert.

8

Mehrgrössenregelung

Die Mehrgrössenregelung mit dem DMC-Algorithmus ist eine direkte Erweiterung der bisher erläuterten Prinzipien. Auch in diesem Fall wird ein Sprungantwortmodell der Regelstrecke eingesetzt und das quadratische Gütekriterium on-line minimiert.

8.1

Das Streckenmodell (1)

(2)

(p)

(1)

(2)

(q)

Wenn mehrere Stellgrössen u , u , …, u auf die Ausgangsgrössen y , y , …, y wirken und das Prinzip der Superposition angewendet wird, ergibt sich der Verlauf der Ausgangsgrösse aus der Summe der Wirkung jeder einzelnen Stellgrösse auf die jeweilige Ausgangsgrösse:

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17

Eine Einführung in Model Predictive Control

66

Temperatur (°C)

65 64 λ2 = 10

63

λ2 = 0.1

62

λ2 = 0.001

61 60 59 0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

0

200

400

600

800 1000 Zeit (s)

1200

1400

1600

1800

Durchfluss (kg/s)

0.4 0.3 0.2 0.1 0

Abbildung 10: Störverhalten des Wärmetauschers mit DMC Regelung einschliesslich Störgrössenaufschaltung

(1) yˆ ( k )

H

( 1, 1 )

H

( 1, 2 )

…H

( 1, p )

(1)

Δu p ( k )

p

(1)

(k)

(2) ( 2, 1 ) ( 2, 2 ) ( 2, p ) (2) (2) H …H Δu p ( k ) + p ( k ) yˆ ( k ) = H … … … … … … … (q) yˆ ( k )

H

( q, 1 )

H

( q, 2 )

… H

( q, p )

(p)

Δu p ( k )

( a, e )

p

(q)

(27)

(k)

( a, e )

Jede Matrix H enthält dabei die Sprungantwortskoeffizienten h i für die Wirkung (a) des Eingangs e auf den Ausgang a gemäss Gleichung (2). Die Vektoren p entsprechen den freien Antworten p

N

⎛ y ⎞ (a) (a) ( a, e ) ( a, e ) (e) ⎜ pj = ym ( k ) + ( hj + i – hi )Δu ( k – i )⎟ ⎜ ⎟ ⎠ e = 1⎝i = 1

∑ ∑

8.2

.

(28)

Gütekriterium

Die Form des Gütekriteriums entspricht jener in Gleichung (19) T

T

2

T

T

J = Δu p ( k ) [ H H + λ I ]Δu p + 2 ( p – r ) HΔu p ( k ) + ( p – r ) ( p – r ) , wobei aber die Matrizen wie folgt angepasst werden müssen:

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(29)

18

Eine Einführung in Model Predictive Control

(1)

Δu p ( k ) (2)

Δu p = Δu p ( k ) … (p) Δu p ( k )

r r = r

H H = H H

(k)

p

(2)

(k)

p = p

… r

(k)

( 1, 2 )

… H

( 1, p )

( 2, 2 )

… H

( 2, p )

…

…

…

…

( q, 1 )

( q, 2 )

… H

( q, p )

( 2, 1 )

H H

H

(30)

(1)

(q)

( 1, 1 )

(1)

(k)

(2)

(k)

… p

(q)

(k)

Das Gütekriterium kann im unbegrenzten Fall gemäss (18) analytisch gelöst werden.

Literatur E. F. Camacho and C. Bordons, Model predictive control in the process industry, Springer-Verlag, 1995 A. Bemporad, M. Morari, V. Dua, E. N. Pistikopoulos, The explicit linear quadratic regulator for constrained systems, Automatica vol. 38 pp. 3-20, 2002

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