Ondas_roberto_cid

Ondas Mecânicas

Roberto Cid Fernandes Jr. Departamento de Física CFM – UFSC 1

06/05/09

Cid@UFSC

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Roteiro Idéia básica Tipos de Ondas

1. 2.  

Reflexão de pulsos/ondas Propagação de pulsos: y(x,t) = f(x – vt) Velocidade v = v(T,µ) Equação da onda: y = y(x,t) = A sen(kx - ωt) Energia: Potência transmitida Princípio da Superposição

        

9.

Ondas Transversais – Cordas, ondas EM. Ondas Longitudinais – Molas, som, tráfego

Batimentos... Ondas estacionárias... Análise de Fourier

Harmônicos em uma corda

3

Roteiro Ondas Sonoras / Acústica... Velocidade do Som

1. 2. 

Propagação do Som

3.  

5. 

7. 8. 9.

Onda de deslocamento s(x,t) Onda de pressão p(x,t)

Interferência 2D Intensidade Sonora

4.

6.

v = (B / ρ)1/2

Escala decibel

Instrumentos musicais Efeito Doppler Número de Mach > 1 Luz – espectros, redshifts e a expansão do Universo

4

Ondas – idéia básica Transporte de energia SEM transporte de matéria Exemplos: Som Vibrações de uma corda ... --------------------------------------------------------------

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Tipos de Ondas

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Ondas Transversais Direção de vibração perpendicular à direção de propagação

Exemplo 1: Corda

Exemplo 2: Onda EM (luz)

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Ondas Longitudinais Direção de vibração = direção de propagação

Exemplo 1: Molas

Exemplo 2: Som

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Ondas/Pulsos Longitudinais: Tráfego!

Congestionamento / engarrafamento anda para trás!

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Outros tipos de ondas • Ondas circulares = transversal + longitudinal

• Ondas de superfície (ex: água)

• Ondas em 2 Dimensões (membranas / tambores)

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Reflexão de ondas / pulsos

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Reflexão de um pulso

• Corda com extremidade fixa: Pulso volta de cabeça para baixo

• Corda com extremidade livre: Pulso volta de cabeça para cima

http://www.physicsclassroom.com/mmedia/waves/free.html

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Reflexão & Transmissão de um pulso

Existem N casos mais complicados do que extremidade fixa ou livre!

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Propagação de um pulso em uma corda: Descrição matemática

Propagação de um pulso em uma corda: 14

Descrição matemática Um pulso aplicado a uma corda cria um “cucuruto”, isto é, uma distorção da corda. Matematicamente, no instante t = 0 a altura y da corda passa a ser descrita por uma função f(x), que descreve a forma do pulso. t=0

y

y = f(x)

x

Propagação de um pulso em uma corda: 15

Descrição matemática Com o passar do tempo, o pulso se move, mas mantém sua forma. y t=0 y

x

t=1 y

x

t=3 x

Propagação de um pulso em uma corda: 16

Descrição matemática y

-------------------------------------------------------------- x • A equação y(x) que descreve a forma da corda deve obviamente depender também do tempo: y = y(x,t) • O pico do pulso se desloca com velocidade v. No instante t, o pico se encontra na posição x = vt. A forma f(x) do pulso, porém, permanece sempre a mesma.

y(x,t) = f(x – vt)

Propagação de um pulso em uma corda: 17

Descrição matemática y(x,t) = f(x – vt) pode ser lida de 2 maneiras: • Para x fixo: A equação y(x,t) nos diz como y varia com t na posição x • Para t fixo: A equação y(x,t) nos diz a forma da corda no instante t (uma “fotografia”)

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Velocidade de Propagação

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Velocidade de propagação • v depende apenas das propriedades do meio. (1) Propriedade elástica: F – tensão (2) Propriedade inercial: µ – densidade linear • Quanto + rápido um ponto da corda subir e descer, maior v. • Quanto + tensa estiver a corda, + rápido um ponto sobe e desce. • Quanto > µ, mais resistência ao movimento, e portanto + lento é o sobe e desce.

F

v

µ

v

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Velocidade de propagação • Só existe uma combinação matemática de F e µ que tem unidade de velocidade! [ (F/µ)1/2 ] = (N / kg m-1)1/2 = (kg m s-2 kg-1 m)1/2 = (m2 s-2)1/2 = m s-1



Análise dimensional: v = v(F,µ) ~ (F/µ)1/2

• Uma demonstração mais rigorosa dá...

v = (F/µ)1/2

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Equação da Onda

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Propagação de uma onda: Descrição matemática Uma onda pode ser produzida por uma seqüência de pulsos.

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Propagação de uma onda: Descrição matemática Uma onda pode ser produzida por uma seqüência de pulsos. Uma “onda harmônica” tem uma forma senoidal: y(x) = f(x) = A sen(kx) Como no caso de pulsos, as cristas de uma onda viajam com velocidade v. A forma de uma onda é descrita por y = y(x,t) = f(x – vt) No caso de ondas harmônicas, y(x,t) = A sen{k(x – vt)} = A sen(kx – kvt) = A sen(kx – wt)

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Equação da Onda

y(x,t) = A sen(kx – wt + φ)

A = amplitude k = número de onda = 2π / λ λ = comprimento de onda f = freqüência da onda = 1 / T = 2π w w = freqüência angular = 2π / T T = período φ = constante de fase kv=w

v=w/k

Em cada posição x o movimento de sobe e desce é um MHS! v=λ/T

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Equação da Onda Variações sobre o mesmo tema... y(x,t) = A sen(kx – wt) y(x,t) = A sen{k(x – vt)} y(x,t) = A sen{(2π/λ)x – (2π/T) t} y(x,t) = A sen{2π [(x/λ) – (t/T)]} y(x,t) = ...

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Transmissão de energia em uma onda harmônica

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Energia e Potência em uma onda -------------------------------------------------------------Obviamente, um pulso / onda transporta energia. Quando um pulso passa por uma parte antes quieta de uma corda, ele a faz oscilar. Como ela estava parada, teve de ganhar energia, que veio (e vai!) com o pulso. Para ondas harmônicas: Potência média = P = ½ µ v w2 A2

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Princípio da Superposição (Interferência)

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Princípio da Superposição Até aqui consideramos apenas 1 pulso / onda atuando sobre uma corda. O que acontece se mais de um pulso / onda atuam sobre uma corda?

+

= ?

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Princípio da Superposição y1(x,t) = A1 sen(k1x – w1t + φ1) y2(x,t) = A2 sen(k2x – w2t + φ2) y3(x,t) = ...

y(x,t) = y1(x,t) + y2(x,t) + ... Ondas se somam!

(é menos óbvio do que parece...)

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Princípio da Superposição

Ondas/Pulsos se somam!

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Princípio da Superposição

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Princípio da Superposição y1(x,t) = A1 sen(k1x – w1t + φ1) y2(x,t) = A2 sen(k2x – w2t + φ2) Exemplo 1: Duas ondas com λ, w e A iguais,

mas fases φ diferentes... (interferência construtiva / destrutiva)

Exemplo 2: Duas ondas com A e φ iguais, mas λ e w ligeiramente diferentes (batimentos)

Exemplo 3: Interferência de duas ondas iguais viajando em sentidos opostos (ondas estacionárias)

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Princípio da Superposição

Interferência em 2D z(x,y,t) = z1(x,y,t) + z2(x,y,t) + ...

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Análise de Fourier

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Análise de Fourier Como vimos, a superposição de 2 ondas pode produzir figuras de várias formas. Superpondo 3 ou mais ondas, pode-se basicamente obter QUALQUER COISA! Esta é a base da análise de Fourier, ou análise espectral:

Construir / reconstruir uma função qualquer a partir da soma de senos! f(t) = Σi Ai sen(wit) = A0 + A1 sen(w1t) + A2 sen(w2t) + ... wi = i . w = 0 , w , 2w , 3w , ...

i = 0...N

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Análise de Fourier • Onda Quadrada

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Análise de Fourier • Onda Dente de (J.) Serra

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Análise de Fourier Quanto mais termos (isto é, + senos) incluirmos na Série de Fourier melhor será o ajuste da curva

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Análise de Fourier: Síntese harmônica • Diferentes instrumentos musicais produzem ondas com diferentes formas, mesmo quanto tocam a mesma nota! Através da análise de Fourier podemos imitar estas ondas e sintetizar diferentes sons! • O TIMBRE de um som depende da combinação dos Ai, isto é, das amplitudes relativas das diferentes freqüências que compõe uma onda complexa. Ai

“Espectro”

w w1

w2

w3

w4

w5

w6

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Ondas Estacionárias

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Formação de Ondas Estacionárias

• Corda com extremidade direita fixa. • Forçamos a extremidade esquerda a oscilar harmonicamente (MHS) com freqüência f e amplitude baixa (praticamente fixa).

y(x,t) = 2A sen kx cos wt

• A onda refletida se superpõe a onda original. • Para certas freqüências f a interferência será construtiva e a onda se amplificará:  Ressonância! MHS

corda

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Ondas Estacionárias - Harmônicos H: Seja uma corda de comprimento L, fixa em ambas extremidades (x = 0 e x = L). (Exemplo: Uma corda de guitarra, violino... piano...berimbau)

Q: Que ondas estacionárias cabem nesta corda? R: Como as extremidades são fixas, qualquer onda estacionária deve ter nodos em x = 0 e x = L. Esta condição só se cumpre para alguns λ’s...

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Ondas Estacionárias – 1o Harmônico A maior onda que podemos encaixar em uma corda de comprimento L tem λ = 2 L. 2 Nodos: x = 0 e x = L.

1 λ = L 2

L

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Ondas Estacionárias – 2o Harmônico A 2a maior onda que podemos encaixar em uma corda de comprimento L tem λ = L. 3 Nodos: x = 0, x = L/2 e x = L.

2 λ = L 2

L

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Ondas Estacionárias – 3o Harmônico A 3a maior onda que podemos encaixar em uma corda de comprimento L tem λ = 2L/3. 4 Nodos: x = 0, x = L/3, x = 2L/3 e x = L.

3 λ = L 2

L

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Ondas Estacionárias – no Harmônico

Extrapolando, a n-ésima maior onda que podemos encaixar em uma corda de comprimento L tem λ dado por

n λ = L 2

λn = 2 L n

Esta condição decorre naturalmente da equação para uma onda estacionária: y(x,t) = 2 A sen (kx) cos (wt) Nos nodos y(x,t) = 0 para qualquer t,  sen (kx) = 0,  kx = n π; n = 0, 1, 2, ...  x = n λ / 2 ...

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Ondas Estacionárias: Harmônicos 1–5 1λ/2 =L

λ=2L/1

2λ/2 =L

λ=2L/2

2λ/2 =L

λ=2L/3

4λ/2 =L

λ=2L/4

5λ/2 =L

λ=2L/5

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FreqüênciaS naturaiS / ressonanteS

Se a “mão” que cria a onda na ponta esquerda da corda não oscila com f = v / λn então a interferência não será tão construtiva. A corda vibrará, mas com baixa amplitude. Não haveria ressonância!

fn = v = n v λn 2L λn = 2 L n

FreqüênciaS naturaiS de vibração de uma corda

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Freqüências naturais / ressonantes • Um OHS, como um sistema massa-mola ou um pêndulo, tem UMA freqüência natural de vibração. • Já uma corda tem MUITAS freqüências naturais • Perturbando um OHS ele oscila com sua freqüência natural (= freqüência de ressonância) • Perturbando uma corda ela oscila com várias freqüências ao mesmo tempo!! • ... Série de Fourier ... Espectro ...

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Harmônicos em 2D

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Som

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...Som... Oscilação da corda de um violão (onda transversal) provoca perturbação longitudinal no ar (onda longitudinal) ... Onda de compressão/rarefação...

Ao chegar ao nosso tímpano, a onda sonora o faz vibrar...

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Efeito Doppler

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Efeito Doppler

Inseto batendo as patas e se movendo para a direita. Fonte em movimento.