Ondasmec_segparte

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Velocidade de propagação de uma onda numa corda • v depende apenas das propriedades do meio. (1) Propriedade elástica: F – tensão (2) Propriedade inercial: µ – densidade linear • Quanto + rápido um ponto da corda subir e descer, maior v. • Quanto + tensa estiver a corda, + rápido um ponto sobe e desce. • Quanto > µ, mais resistência ao movimento, e portanto + lento é o sobe e desce.

F

v

µ

v

2

Velocidade de propagação • Só existe uma combinação matemática de F e µ que tem unidade de velocidade! [ (F/µ)1/2 ] = (N / kg m-1)1/2 = (kg m s-2 kg-1 m)1/2 = (m2 s-2)1/2 = m s-1



Análise dimensional: v = v(F,µ) ~ (F/µ)1/2

• Uma demonstração mais rigorosa dá...

v = (F/µ)1/2

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Uma corda uniforme, com massa de 0,300 kg e 6,0 m de comprimento, passa por uma polia e tem uma massa de 2,0 kg suspensa na sua extremidade. (a) Determine a velocidade de propagação de uma onda nesta corda. (b) Se o bloco é posto a oscilar entre os ângulos máx   200 em relação a vertical, qual é o intervalo de velocidades de propação de uma onda na porção horizontal da corda?

4

5

Transmissão de energia em uma onda harmônica

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Energia e Potência em uma onda -------------------------------------------------------------Obviamente, um pulso / onda transporta energia. Quando um pulso passa por uma parte antes quieta de uma corda, ele a faz oscilar. Como ela estava parada, teve de ganhar energia, que veio (e vai!) com o pulso. Para ondas harmônicas: Potência média = P = ½ µ v w2 A2

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Uma onda movendo-se numa corda esticada transporta tanto energia potencial como energia cinética. - Sua função de onda é:

y ( x, t )  A cos[k x   t  ],

- A velocidade transversal de um elemento oscilante da corda é:

 y u   A sen ( k x   t ) t

- Energia potencial:.A força elástica sobre um elemento de massa dm da corda é d F  dm  a onde:

d m   dx e a   u   2 A cos ( k x   t ) , logo: t

d F   [( d x) 2 ] A cos ( k x   t )   [dm 2 ] y ( x, t ) e 1 2 d F   k y ( x, t ) . Concluímos que d U  k  y ( x, t )  2

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1 2 e 2 2 d U    A  cos( k x   t ) dx 2 dU 1 2 2 2    v A  cos( k x   t )  dt 2

- Energia cinética: A energia cinética de um elemento de massa dm da corda é dada por 1 1 2 dK  dm u   2 2

    A

2

 sen(

k x t



2



dx

dK 1 2 2 2    v A  sen ( k x   t )  dt 2 . Temos então que a potência transmitida pela onda é:

e

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dE dK dU P    dt dt dt 1 2 2 2 2   v A  sen ( k x   t )   cos ( k x   t )  2



dE 1 2 2 P   vA dt 2



2   5  10 kg / m está 10 Uma corda com densidade linear de massa sob uma tensão de 80 N. (a) Qual a potência que deve ser fornecida à esta corda para gerar nela uma onda senoidal de frequência f=1000 Hz e amplitude de 6 cm? (b) Se esta corda transmitir a uma taxa de 1000 W, qual deverá ser a amplitude requerida para a onda? Considerar que todos os outros parâmetros permaneçam os mesmos.(c) Escrever a função de onda, associada a situação do primeiro ítem , sabendo que y(0,0)=0 e u(0,0)>0?

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Princípio da Superposição

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Princípio da Superposição Até aqui consideramos apenas 1 pulso / onda atuando sobre uma corda. O que acontece se mais de um pulso / onda atuam sobre uma corda?

+

= ?

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Princípio da Superposição y1(x,t) = A1 sen(k1x – w1t + φ1) y2(x,t) = A2 sen(k2x – w2t + φ2) y3(x,t) = ...

y(x,t) = y1(x,t) + y2(x,t) + ... Ondas se somam!

(é menos óbvio do que parece...)

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Princípio da Superposição

Ondas/Pulsos se somam!

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Princípio da Superposição

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Análise de Fourier

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Análise de Fourier Como vimos, a superposição de 2 ondas pode produzir figuras de várias formas. Superpondo 3 ou mais ondas, pode-se basicamente obter QUALQUER COISA! Esta é a base da análise de Fourier, ou análise espectral:

Construir / reconstruir uma função qualquer a partir da soma de senos! f(t) = Σi Ai sen(wit) = A0 + A1 sen(w1t) + A2 sen(w2t) + ... wi = i . w = 0 , w , 2w , 3w , ...

i = 0...N

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Análise de Fourier • Onda Quadrada

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Análise de Fourier • Onda Dente de (J.) Serra

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Análise de Fourier Quanto mais termos (isto é, + senos) incluirmos na Série de Fourier melhor será o ajuste da curva

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Análise de Fourier: Síntese harmônica • Diferentes instrumentos musicais produzem ondas com diferentes formas, mesmo quanto tocam a mesma nota! Através da análise de Fourier podemos imitar estas ondas e sintetizar diferentes sons! • O TIMBRE de um som depende da combinação dos Ai, isto é, das amplitudes relativas das diferentes freqüências que compõe uma onda complexa. Ai

“Espectro”

w w1

w2

w3

w4

w5

w6

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INTERFERÊNCIA

1 – Duas ondas com  ,  e A iguais mas com fases  diferentes (interferência construtiva e destrutiva). 2 – Ondas estacionárias: interferência de duas ondas iguais mas viajando em sentidos opostos. 3 – Duas ondas com A e  iguais, mas com  ligeiramente diferentes (batimentos).  e

1 – Duas ondas com  ,  e A iguais 23 mas com fases  diferentes (interferência construtiva e destrutiva). Sejam duas ondas dadas pelas funções de onda: y1 ( x, t )  A sen [(k x   t )  ] e

y2 ( x, t )  A sen [k x   t ].

Pelo princípio da superposição a onda resultante tem um deslocamento transversal dado por: y ( x, t )  y1 ( x, t )  y2 ( x, t )  A  sen [(k x   t )  ]  sen [(k x   t )]

Aplicando a identidade trigonométrica sen   sen   2 sen 

      

2 



     

cos  

2 



obtemos

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y ( x, t )   2 A cos  / 2 sen[(k x   t )   / 2]

(a) Interferência construtiva (fig.a) : y ( x, t )  2 A sen(k x   t )   0, 2 , . . . ., 2 n  rad

(b) Interferência destrutiva (fig.b) : y ( x, t )  0    3 , . . ., (2 n  1)  rad ; n  0, 1, 2, 3, . . .

(a)

(b)

25 A uma diferença de trajetória, entre duas ondas,

igual a um comprimento de onda corresponde uma diferença de fase de 2  rad .Sendo assim temos que:





(r2  r1 ) 

2   , de onde obtemos:

(a) Interferência construtiva:



(r2  r1 )  n 

 (b) Interferência destrutiva: (r2  r1 )  (2 n  1) 2

2  (r2  r1 ) 

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Ondas de suas fontes S1 e S2 , que estão em fase quando emitidas, se encontram no ponto P1 . (a) Quando a diferença das trajetórias é de um comprimento de onda , as  ondas estão em fase e interferem construtivamente. (b) Quando a diferença das trajetórias é de meio comprimento de onda elas estão fora de fase e  / 2 interferem destrutivamente. então Se as ondas forem de igual amplitude em P2, elas se cancelaram neste ponto.

27

28

29

Dois alto falantes estão colocados um em frente ao outro, como mostra a figura, a uma distância de 90 cm entre si. Os dois alto falantes são alimentados pelo mesmo oscilador de audio que uma frequência de 680 Hz. Localize os pontos ao longo da linha que une os dois alto falantes a intensidade do som é: (a) máxima e (b) mínima. Despreze a variação da amplitude com a distância, e tome a velocidade do som como sendo de 340 m/s.

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Duas fontes sonoras oscilam em fase. Num ponto a 5,00 m de uma das fontes e a 5,17 m da outra, a amplitude de cada fonte separadamente é po. Determine a amplitudeda onda resultante se a frequência do som das fontes é (a) 1000 Hz, (b) 2000 Hz, e (c) 500 Hz. (Use 340 m/s para a velocidade do so)

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2 – Onda estacionárias: interferência de duas ondas iguais ( mesma s A e mesma f )mas viajando em sentidos opostos.

y1 ( x, t )  A sen [k x   t ].

y2 ( x, t )  A sen [k x   t ].

e

y ( x, t )  y1 ( x, t )  y2 ( x, t )  A  sen (k x   t )  sen (k x   t )  

sen   sen   2 sen  

 2











cos  

 2

y ( x, t )   2 A sen kx  cos t

 



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- Nós ocorrem quando: sen k x  0  k x  n , para n  1, 2, .............. k

2  

xn

 2

para n  0, 1, 2, . . . . . . . .

Que são as posições de amplitude nula (nós) - Antinós(ventres) ocorrem quando: 1  sen k x  1  k x   n   , para n  1, 2, ......... 2  1  x  n  2 2  

para n  0, 1, 2, . . . . . . . .

Que são as posições de amplitude máxima (antinós, ventres)

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Formação de Ondas Estacionárias

• Corda com extremidade direita fixa. • Forçamos a extremidade esquerda a oscilar harmonicamente (MHS) com freqüência f e amplitude baixa (praticamente fixa).

y(x,t) = 2A sen kx cos wt

• A onda refletida se superpõe a onda original. • Para certas freqüências f a interferência será construtiva e a onda se amplificará:  Ressonância! MHS

corda

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Ondas Estacionárias - Harmônicos H: Seja uma corda de comprimento L, fixa em ambas extremidades (x = 0 e x = L). (Exemplo: Uma corda de guitarra, violino... piano...berimbau)

Q: Que ondas estacionárias cabem nesta corda? R: Como as extremidades são fixas, qualquer onda estacionária deve ter nodos em x = 0 e x = L. Esta condição só se cumpre para alguns λ’s...

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Ondas Estacionárias – 1o Harmônico A maior onda que podemos encaixar em uma corda de comprimento L tem λ = 2 L. 2 Nodos: x = 0 e x = L.

1 λ = L 2

L

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Ondas Estacionárias – 2o Harmônico A 2a maior onda que podemos encaixar em uma corda de comprimento L tem λ = L. 3 Nodos: x = 0, x = L/2 e x = L.

2 λ = L 2

L

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Ondas Estacionárias – 3o Harmônico A 3a maior onda que podemos encaixar em uma corda de comprimento L tem λ = 2L/3. 4 Nodos: x = 0, x = L/3, x = 2L/3 e x = L.

3 λ = L 2

L

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Ondas Estacionárias – no Harmônico

Extrapolando, a n-ésima maior onda que podemos encaixar em uma corda de comprimento L tem λ dado por

n λ = L 2

λn = 2 L n

Esta condição decorre naturalmente da equação para uma onda estacionária: y(x,t) = 2 A sen (kx) cos (wt) Nos nodos y(x,t) = 0 para qualquer t,  sen (kx) = 0,  kx = n π; n = 0, 1, 2, ...  x = n λ / 2 ...

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Ondas Estacionárias: Harmônicos 1–5 1λ/2 =L

λ=2L/1

2λ/2 =L

λ=2L/2

2λ/2 =L

λ=2L/3

4λ/2 =L

λ=2L/4

5λ/2 =L

λ=2L/5

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FreqüênciaS naturaiS / ressonanteS

Se a “mão” que cria a onda na ponta esquerda da corda não oscila com f = v / λn então a interferência não será tão construtiva. A corda vibrará, mas com baixa amplitude. Não haveria ressonância!

fn = v = n v λn 2L λn = 2 L n

FreqüênciaS naturaiS de vibração de uma corda

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Freqüências naturais / ressonantes • Um OHS, como um sistema massa-mola ou um pêndulo, tem UMA freqüência natural de vibração. • Já uma corda tem MUITAS freqüências naturais • Perturbando um OHS ele oscila com sua freqüência natural (= freqüência de ressonância) • Perturbando uma corda ela oscila com várias freqüências ao mesmo tempo!! • ... Série de Fourier ... Espectro ...

42 Uma corda com 3 m de comprimento e densidade linear de massa igual a 0,0025 kg/m é fixada em ambas extremidades. Uma de suas frequências de ressonância é 252 Hz. A próxima frequência de ressonância mais alta é 336 Hz. (a) Qual é a ordem do harmônico de 252 Hz? (b) Qual é a frequência do harmônico fundamental? (c) Qual é a tensão na corda?

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Uma corda de violão tem uma densidade linear de 7,2 g/m e está sob uma tensão igual a 150 N. As extremidades fixas desta corda estão distanciadas de 90 cm. A corda está oscilando de acordo com o padrão de onda estacionária mostrado na figura. Calcule: (a) a velocidade escalar, o comprimento de onda e (c) a frequência das ondas cuja superposição gerou esta onda estacionária. 90 cm