O Pi Na Era Da A

Jacir. J. Venturi

O

NA ERA DA INFORMÁTICA

No século XX, surge a informática. Como se a busca pelo valor do p constituísse uma herança genética bendita, desde os antigos babilônios, adivinhe qual foi um dos primeiros trabalhos realizados pelo legendário computador ENIAC? Sim, em 1949, suas 17.468 válvulas e 30 toneladas de peso calcularam 2037 casas decimais em apenas 70h. Em 1959, o computador IBM 704 calculou 10.000 casas decimais em apenas 1h e 40min. Uma experiência notável foi efetivada em 1999 por dois matemáticos japoneses: Takahashi e Kanada. Eles calcularam o p com 206.158.430.000 dígitos. Estes cálculos foram desenvolvidos na Universidade de Tóquio e foi utilizado um supercomputador Hitachi. O tempo gasto foi de 37h21min4s. O curioso é que os matemáticos japoneses utilizaram dois algoritmos distintos (de Gauss-Legendre e de Borwein). Os dois métodos só apresentaram diferença nos 45 últimos algarismos. Parecia ser a pá de cal para o cálculo do p . Mas não! Em 2003, o pertinaz Kanada e sua equipe chegaram a 1.241.100.000.000 casas decimais. Único intuito: marketing do fabricante de computadores. Já se definiu a Matemática como uma “Ciência melancólica”. Este modesto texto, mostra o quanto ela é pujante, criativa e engenhosa! Inútil e melancólica foi a notícia dada pela Gazeta do Povo (3/10/00): “Em 1995, um japonês recitou de memória 42.000 primeiros dígitos do n.º p em apenas 9h”. Quer uma forma mnemônica para decorar o p com 11 algarismos? Assim p = 3,1415926535... A frase a seguir representa um artifício para memorizá-lo: SOU O MEDO E TEMOR CONSTANTE DO MENINO VADIO, BEM VADIO, em que cada palavra encerra um número de letras que coincide com cada algarismo de p . Você sabia que há o dia internacional dedicado ao p ? Adivinhe qual é!? Resposta: 3/14, ou seja, 14 de março. (Do autor)

186

ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA

Jacir. J. Venturi

lntroduzindo as coordenadas de P, PO e r em ( 1 ), obtém-se:

C A P Í T U L O

x = xO + lt y = yO + mt z = zO + nt

A Reta no E 3

cognominadas equações paramétricas da reta. 1. EQUAÇÕES DA RETA b) Equações simétricas da reta Qualquer representação cartesiana de uma reta no espaço tridimensional se faz com pelo menos duas equações.

lsolando-se o parâmetro t em cada uma das equações paramétricas e igualando as expressões, obtém-se:

x - x O y - y O z - zO = = (= t) l m n

a) Equações paramétricas da reta z

PO

Seja r uma reta passante por PO = (xO, yO, zO) e paralela ao não → nulo vetor r = li + mj + nk . O vetor r é denominado vetor diretor da reta r.

r

P →

r

O

y

Um ponto P = (x, y, z) pertence à reta r se, e somente se, os vetores (P - PO) e r forem paralelos:

que são denominadas equações simétricas da reta r. Casos particulares das equações simétricas: CONVENÇÃO: A nulidade de um denominador implica na nulidade do correspondente numerador. l) Umdosdenominadores é nulo. Se, por exemplo, n = 0 ⇒ z - zO = 0 ⇒ z = zO. Neste caso a reta é paralela ao plano cartesiano xy, pois o seu vetor diretor r = (l, m, 0) é paralelo a tal plano. Por conseguinte:

z

x

zO

(P - PO) = tr (t ∈ R)

r α

ou O

P = PO + tr

r:

y

(1) ou

x

Esta é a equação vetorial paramétrica da reta r no E (t é chamado parâmetro).

x - xO y - yO z - zO = = l m 0

3

r:

z = zO x - xO y - yO = l m

(onde l . m ≠ 0)

ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA

Jacir. J. Venturi

lntroduzindo as coordenadas de P, PO e r em ( 1 ), obtém-se:

C A P Í T U L O

x = xO + lt y = yO + mt z = zO + nt

A Reta no E 3

cognominadas equações paramétricas da reta. 1. EQUAÇÕES DA RETA b) Equações simétricas da reta Qualquer representação cartesiana de uma reta no espaço tridimensional se faz com pelomenos duas equações.

lsolando-se o parâmetro t em cada uma das equações paramétricas e igualando as expressões, obtém-se:

x - x O y - y O z - zO = = (= t) l m n

a) Equações paramétricas da reta z

PO

Seja r uma reta passante por PO = (xO, yO, zO) e paralela ao não → nulo vetor r = li + mj + nk . O vetor r é denominado vetor diretor da reta r.

r

P →

r

O

y

Um ponto P = (x, y, z) pertence à reta r se, e somente se, os vetores (P - PO) e r forem paralelos:

que são denominadas equações simétricas da reta r. Casos particulares das equações simétricas: CONVENÇÃO: A nulidade de um denominador implica na nulidade do correspondente numerador. l) Um dos denominadores é nulo. Se, por exemplo, n = 0 ⇒ z - zO = 0 ⇒ z = zO. Neste caso a reta é paralela ao plano cartesiano xy, pois o seu vetor diretor r = (l, m, 0) é paralelo a tal plano. Por conseguinte:

z

x

zO

(P - PO) = tr (t ∈ R)

r α

ou O

P = PO + tr

r:

y

(1) ou

x

Esta é a equação vetorial paramétrica da reta r no E (t é chamado parâmetro).

x - xO y - yO z - zO = = l m 0

3

r:

z = zO x - xO y - yO = l m

(onde l . m ≠ 0)

ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA

II) Dois denominadores são concomitantemente nulos. Se, por exemplo, l = m = 0 e n ≠ 0 se infere que a reta é paralela ao eixo das cotas, uma vez que o z seu vetor diretor é r = (0, 0, n). Assim: r

r: yO O

y

planos

r

x - x O y - y O z - zO = = 0 0 n

x = xO r:

d) Equações da reta determinada pela interseção de dois

Cumpre lembrar o já exposto no capítulo de plano que uma reta no espaço E3 pode ser determinada pela interseção de dois planos.

ou

xO x

Jacir. J. Venturi

α1

α2

α : a x + b1y + c 1z + d1 = 0 r: 1 1 α 2 : a 2 x + b 2 y + c 2 z + d2 = 0

y = yO z - zO =t n

e) Equações reduzidas da reta Das equações simétricas de uma reta r

c) Equações simétricas da reta por dois pontos z P2

P1

O

P

Considere a reta r individualizada por dois pontos P1 = (x1, y1, z1) e P2 = (x2, y2, z2) e seja P = (x, y, z) um ponto genérico de tal reta.

r

y

Por conseguinte, a reta r passa pelo ponto P1 e tem como vetor diretor, o vetor (P2 - P1):

x - x o y - y o z - zo = = l m n temos duas igualdades independentes entre si:

 y - yo x - xo  m = l   z - zo = x - xo  n l

(1) (2)

Isolando-se a variável y em(1): y = p1x + q1

x

x - x1 y - y1 z - z1 = = x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z1

que representam as equações simétricas da reta individualizada pelos pontos P1 e P2 .

lsolando-se a variável z em(2) : z = p2x + q2 Destarte, as equações reduzidas de uma reta, com variável independente x, são representadas por: y = p1x + q1 r: z = p 2 x + q2

ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA

II) Dois denominadores são concomitantemente nulos. Se, por exemplo, l = m = 0 e n ≠ 0 se infere que a reta é paralela ao eixo das cotas, uma vez que o z seu vetor diretor é r = (0, 0, n). Assim: r

r: yO O

y

planos

r

x - x O y - y O z - zO = = 0 0 n

x = xO r:

d) Equações da reta determinada pela interseção de dois

Cumpre lembrar o já exposto no capítulo de plano que uma reta no espaço E3 pode ser determinada pela interseção de dois planos.

ou

xO x

Jacir. J. Venturi

α1

α2

α : a x + b1y + c 1z + d1 = 0 r: 1 1 α 2 : a 2 x + b 2 y + c 2 z + d2 = 0

y = yO z - zO =t n

e) Equações reduzidas da reta Das equações simétricas de uma reta r

c) Equações simétricas da reta por dois pontos z P2

P1

O

P

Considere a reta r individualizada por dois pontos P1 = (x1, y1, z1) e P2 = (x2, y2, z2) e seja P = (x, y, z) um ponto genérico de tal reta.

r

y

Por conseguinte, a reta r passa pelo ponto P1 e tem como vetor diretor, o vetor (P2 - P1):

x - x o y - y o z - zo = = l m n temos duas igualdades independentes entre si:

 y - yo x - xo  m = l   z - zo = x - xo  n l

(1) (2)

Isolando-se a variável y em(1): y = p1x + q1

x

x - x1 y - y1 z - z1 = = x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z1

que representam as equações simétricas da reta individualizada pelos pontos P1 e P2 .

lsolando-se a variável z em(2) : z = p2x + q2 Destarte, as equações reduzidas de uma reta, com variável independente x, são representadas por: y = p1x + q1 r: z = p 2 x + q2

ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA

 y = p 1 x + q1 Geometricamente, a reta r :  intercepta o plano yz z = p 2 x + q 2 → no ponto PO = (0, q1, q2) e v = (1, p1, p2 ) é o seu vetor diretor. Ademais, cada uma das equações reduzidas da reta representa um plano e a reta é portanto determinada pela interseção de dois planos, cada um dos quais paralelo a um eixo coordenado. Dependendo da posição da reta r, poder-se-à usar como variável independente não só o x, como também o y ou então o z. Exemplo: Achar as equações reduzidas da reta r :

x y-3 z-2 = = 2 -3 -2

Jacir. J. Venturi

Exercícios "A Matemática é a única linguagem que temos em comum com a natureza." STEPHEN HAWKING. (n. 1942), doutor em Cambridge, considerado o mais brilhante, físico teórico desde Einstein.

01. Achar as equações simétricas da reta que passa pelo ponto A = (1, 3, 0) e é paralela ao vetor v = (3, 4, -1). Resp.: x - 1 = y - 3 = z 3 4 -1

(com variável independente x). RESOLUÇÃO:

  x y-3 z-2 a) = = ⇒ r: 2 -3 -2  

y-3 x = -3 2 z-2 x = -2 2

(1)

(Resposta)

z

- 3x + 3 e α2 : z = - x + 2. 2 Observe que os planos α1 e α2 são paralelos aos eixos z e y respectivamente.

α1 r

2

O 2 x

A reta r "fura" o plano yz no ponto PO = (0, 3, 2) e tem como

PO

3 α2

03. A reta r passa pelo ponto P = (1, 2, 0) e tem a direção do vetor → v = 3i + j - k. Determinar as equações reduzidas de r (com variável independente x). Resp.: y =

A reta r representada por suas equações reduzidas é fruto da interseção dos planos α1 : y =

Resp.: x - 1 = y - 3 = z - 2 4 -1 0

(2)

b) lsolando-se y em (1) e z em(2):

- 3x  +3 y= r: 2  z = - x + 2

02. Obter as equações simétricas da reta individualizada pelos pontos A = (1, 3, 2) e B = (5, 2, 2).

y

→ 3   vetor diretor o v = 1, - , - 1 . 2  

x+5 - x +1 ; z= 3 3

04. Estabelecer as equações reduzidas da reta que passa pelos pontos P = (0, - 4, - 5) e Q = (1, - 2, - 2). Resp.: y = 2x - 4; z = 3x - 5 05. São dadas as equações paramétricas de

 x = 1 + 2t  r : y = - 2 + 3 t z = - 5 t  Obter as equações simétricas de r. Resp.: x - 1 = y + 2 = z

2

3

-5

ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA

 y = p 1 x + q1 Geometricamente, a reta r :  intercepta o plano yz z = p 2 x + q 2 → no ponto PO = (0, q1, q2) e v = (1, p1, p2 ) é o seu vetor diretor. Ademais, cada uma das equações reduzidas da reta representa um plano e a reta é portanto determinada pela interseção de dois planos, cada um dos quais paralelo a umeixocoordenado. Dependendo da posição da reta r, poder-se-à usar como variável independente não só o x, como também o y ou então o z. Exemplo: Achar as equações reduzidas da reta r :

x y-3 z-2 = = 2 -3 -2

Jacir. J. Venturi

Exercícios "A Matemática é a única linguagem que temos em comum com a natureza." STEPHEN HAWKING. (n. 1942), doutor em Cambridge, considerado o mais brilhante, físico teórico desde Einstein.

01. Achar as equações simétricas da reta que passa pelo ponto A = (1, 3, 0) e é paralela ao vetor v = (3, 4, -1). Resp.: x - 1 = y - 3 = z 3 4 -1

(com variável independente x). RESOLUÇÃO:

  x y-3 z-2 a) = = ⇒ r: 2 -3 -2  

y-3 x = -3 2 z-2 x = -2 2

(1)

(Resposta)

z

- 3x + 3 e α2 : z = - x + 2. 2 Observe que os planos α1 e α2 são paralelos aos eixos z e y respectivamente.

α1 r

2

O 2 x

A reta r "fura" o plano yz no ponto PO = (0, 3, 2) e tem como

PO

3 α2

03. A reta r passa pelo ponto P = (1, 2, 0) e tem a direção do vetor → v = 3i + j - k. Determinar as equações reduzidas de r (com variável independente x). Resp.: y =

A reta r representada por suas equações reduzidas é fruto da interseção dos planos α1 : y =

Resp.: x - 1 = y - 3 = z - 2 4 -1 0

(2)

b) lsolando-se y em (1) e z em(2):

- 3x  +3 y= r: 2  z = - x + 2

02. Obter as equações simétricas da reta individualizada pelos pontos A = (1, 3, 2) e B = (5, 2, 2).

y

→ 3   vetor diretor o v = 1, - , - 1 . 2  

x+5 - x +1 ; z= 3 3

04. Estabelecer as equações reduzidas da reta que passa pelos pontos P = (0, - 4, - 5) e Q = (1, - 2, - 2). Resp.: y = 2x - 4; z = 3x - 5 05. São dadas as equações paramétricas de

 x = 1 + 2t  r : y = - 2 + 3 t z = - 5 t  Obter as equações simétricas de r. Resp.: x - 1 = y + 2 = z

2

3

-5

ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA

Jacir. J. Venturi

06. Verificar se os pontos P = (4, 2, 0) e Q = (1, 0, -1) pertencem à

x -1 y z +1 reta r : . = = 3 2 1

10. Dada a reta r como interseção de dois planos, obter a sua x + y + z - 2 = 0 equação simétrica. Dada r :  x + 3 y - z - 2 = 0

Resp.: P ∈ r e Q ∈ r

Resp.: r :

x = 3 + t  07. Determinar o ponto da reta r : y = 1+ t que tenha ordenada 5. z = 4 - t  Pede-se também o vetor diretor de r.

SUGESTÃO:

r

P1

Resp.: A = (0, 1, -1)

Obtenha dois pontos P1 e P2 de r:

x + z - 2 = 0 ⇒ x = 2 ⇒ z = 0 ⇒ P1 = (2, 0, 0)  x - z - 2 = 0 2) fazendo por exemplo y = 1 emr,resulta o sistema:

x + z - 1 = 0 ⇒ x = 0 ⇒ z = 1 ⇒ P2 = (0, 1, 1)  x - z + 1 = 0

09. Complete: a) A reta x - 1 = y - 3 = z + 1 é paralela ao plano: 0 2 -1 b) A reta x + 1 = y + 1 = z - 2 é paralela ao eixo: 3 0 0 d) A reta

P2

1) fazendo por exemplo y = 0 em r, resulta o sistema:

Resp.: P = (7, 5, 0) e r = (1, 1, - 1) 08. O ponto A = (0, x, y) pertence à reta determinada pelos pontos P= (1, 2, 0) e Q= (2, 3, 1). Achar A.

x-2 y-0 z-0 = = -2 1 1

x +1 y -1 = , z = 2 é paralela ao plano: 2 1

x = 2  d) A reta r : y = 2 + 3t é paralela ao eixo: z = - 3  Resp.: a) yz; b) x; c) xy; d) y

3) r :

x - x1 y - y1 z - z1 = = x 2 - x1 y 2 - y1 z 2 - z1

N.B.: Cumpre destacar que para subtraendo de cada membro do

y-0 z-0  x-2 = = numerador da resposta  r :  adotou-se o ponto -2 1 1   P1 = (2, 0, 0). No entanto, poder-se-ia adotar o ponto



P2 = (0, 1, 1)  r :



x-0 y - 1 z - 1 = =  ou qualquer outro ponto da reta r. -2 1 1 

 x - 2y + z + 3 = 0 11. Pede-se a equação simétrica de s :  4 x + y - 5z + 3 = 0 Resp.: s :

x - 0 y - 2 z -1 = = 1 1 1

ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA

Jacir. J. Venturi

06. Verificar se os pontos P = (4, 2, 0) e Q = (1, 0, -1) pertencem à

x -1 y z +1 reta r : . = = 3 2 1

10. Dada a reta r como interseção de dois planos, obter a sua x + y + z - 2 = 0 equação simétrica. Dada r :  x + 3 y - z - 2 = 0

Resp.: P ∈ r e Q ∈ r

Resp.: r :

x = 3 + t  07. Determinar o ponto da reta r : y = 1+ t que tenha ordenada 5. z = 4 - t  Pede-se também o vetor diretor de r.

SUGESTÃO:

r

P1

Resp.: A = (0, 1, -1)

Obtenha dois pontos P1 e P2 de r:

x + z - 2 = 0 ⇒ x = 2 ⇒ z = 0 ⇒ P1 = (2, 0, 0)  x - z - 2 = 0 2) fazendo por exemplo y = 1 em r, resulta o sistema:

x + z - 1 = 0 ⇒ x = 0 ⇒ z = 1 ⇒ P2 = (0, 1, 1)  x - z + 1 = 0

09. Complete: a) A reta x - 1 = y - 3 = z + 1 é paralela ao plano: 0 2 -1 b) A reta x + 1 = y + 1 = z - 2 é paralela ao eixo: 3 0 0 d) A reta

P2

1) fazendo por exemplo y = 0 em r, resulta o sistema:

Resp.: P = (7, 5, 0) e r = (1, 1, - 1) 08. O ponto A = (0, x, y) pertence à reta determinada pelos pontos P= (1, 2, 0) e Q= (2, 3, 1). Achar A.

x-2 y-0 z-0 = = -2 1 1

x +1 y -1 = , z = 2 é paralela ao plano: 2 1

x = 2  d) A reta r : y = 2 + 3t é paralela ao eixo: z = - 3  Resp.: a) yz; b) x; c) xy; d) y

3) r :

x - x1 y - y1 z - z1 = = x 2 - x1 y 2 - y1 z 2 - z1

N.B.: Cumpre destacar que para subtraendo de cada membro do

y-0 z-0  x-2 = = numerador da resposta  r :  adotou-se o ponto -2 1 1   P1 = (2, 0, 0). No entanto, poder-se-ia adotar o ponto



P2 = (0, 1, 1)  r :



x-0 y - 1 z - 1 = =  ou qualquer outro ponto da reta r. -2 1 1 

 x - 2y + z + 3 = 0 11. Pede-se a equação simétrica de s :  4 x + y - 5z + 3 = 0 Resp.: s :

x - 0 y - 2 z -1 = = 1 1 1

ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA

12. Equação do plano que contém a reta r e o ponto A. Dados A = (1, 0, 2) e r: x - 1 = y + 3 = z.

Jacir. J. Venturi

15. Encontrar a projeção ortogonal da reta r: x = y - 1 = z - 2 sobre o plano coordenado xy.

Resp.: x + 2y - 3z + 5 = 0

Resp.: r ' :

SUGESTÃO: 1) Equação de r como interseção de 2 planos

z

α1 : x - z - 1 = 0 r: α 2 : y - z + 3 = 0

SUGESTÃO:

P1 P2

2) Equação do feixe de planos que ⊃ r α1 + λα2 = 0 1

r

O

3) A ∈ 1

y P´1 P2´

13. Obter a equação do plano determinado pelo ponto

r´

Sejam P1 = (0, 1, 2) e P2 = (1, 2, 3) pontos da reta r, e P'1 = (0, 1, 0) e P'2 = (1, 2, 0) as respectivas projeções ortogonais sobre o plano xy.

X

x + y - 3 = 0 A = (0, 1, 1) e pela reta r :  x + 2z - 1 = 0

Série B

Resp.: 3x + y + 4z - 5 = 0 14. Achar a equação do plano α e que concomitantemente:

"Qualquer professor, que possa ser substituído por um computador deve ser substituído."

Arthur Clarke (n. 1918), escritor inglês e autor de "2001 - Uma odisséia no espaço"

16. Calcule as medidas dos ângulos que a reta r : forma com os eixos coordenados.

a) passe pelo ponto A = (0, 1, 2); b) seja paralelo à r :

x y -1 z +1 = = 2 0 1

2 (α ≅ 73º ); 7 3 cos β = (β ≅ 65º ) e 7

Resp.: x - 4y - 2z + 8 = 0 r

SUGESTÃO:

A

n β

cos γ =

A figura mostra que o plano α contém o ponto A = (0, 1, 2) e é paralelo aos vetores r = (2, 0, 1) e n = (2, 1, -1). Então: α:

x 2 2

y-1 0 1

x-5 y-3 z = = 2 3 6

Resp.: cos α =

c) seja perpendicular ao plano β: 2x + y - z + 2 = 0.

α

x y -1 z = = 1 1 0

z-2 1 -1

=0

6 ( γ ≅ 31º ) 7

SUGESTÃO: Calcule os co-senos diretores do vetor r = 2i + 3j + 6k. Por ex. : cos α =

x x 2 + y 2 + z2

=

2 4 + 9 + 36

=

2 7

ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA

12. Equação do plano que contém a reta r e o ponto A. Dados A = (1, 0, 2) e r: x - 1 = y + 3 = z.

Jacir. J. Venturi

15. Encontrar a projeção ortogonal da reta r: x = y - 1 = z - 2 sobre o plano coordenado xy.

Resp.: x + 2y - 3z + 5 = 0

Resp.: r ' :

SUGESTÃO: 1) Equação de r como interseção de 2 planos

z

α1 : x - z - 1 = 0 r: α 2 : y - z + 3 = 0

SUGESTÃO:

P1 P2

2) Equação do feixe de planos que ⊃ r α1 + λα2 = 0 1

r

O

3) A ∈ 1

y P´1 P2´

13. Obter a equação do plano determinado pelo ponto

r´

Sejam P1 = (0, 1, 2) e P2 = (1, 2, 3) pontos da reta r, e P'1 = (0, 1, 0) e P'2 = (1, 2, 0) as respectivas projeções ortogonais sobre o plano xy.

X

x + y - 3 = 0 A = (0, 1, 1) e pela reta r :  x + 2z - 1 = 0

Série B

Resp.: 3x + y + 4z - 5 = 0 14. Achar a equação do plano α e que concomitantemente:

"Qualquer professor, que possa ser substituído por um computador deve ser substituído."

Arthur Clarke (n. 1918), escritor inglês e autor de "2001 - Uma odisséia no espaço"

16. Calcule as medidas dos ângulos que a reta r : forma com os eixos coordenados.

a) passe pelo ponto A = (0, 1, 2); b) seja paralelo à r :

x y -1 z +1 = = 2 0 1

2 (α ≅ 73º ); 7 3 cos β = (β ≅ 65º ) e 7

Resp.: x - 4y - 2z + 8 = 0 r

SUGESTÃO:

A

n β

cos γ =

A figura mostra que o plano α contém o ponto A = (0, 1, 2) e é paralelo aos vetores r = (2, 0, 1) e n = (2, 1, -1). Então: α:

x 2 2

y-1 0 1

x-5 y-3 z = = 2 3 6

Resp.: cos α =

c) seja perpendicular ao plano β: 2x + y - z + 2 = 0.

α

x y -1 z = = 1 1 0

z-2 1 -1

=0

6 ( γ ≅ 31º ) 7

SUGESTÃO: Calcule os co-senos diretores do vetor r = 2i + 3j + 6k. Por ex. : cos α =

x x 2 + y 2 + z2

=

2 4 + 9 + 36

=

2 7

ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA

17. A reta r passa pelo ponto A = (1, - 2, - 3) e forma com os eixos x, y e z respectivamente ângulos de 60º, 90º e 30º. Resp.: x - 1 = y + 2 = z + 3 1 0 3

Resp.: x - 6 = y = z

4

2x + y + z - 3 = 0

21. Achar o ponto P em que a reta r :  x + y - 2z - 1 = 0 o plano coordenado xy.

22. Dada a figura abaixo, onde o plano α é paralelo ao eixo z e o plano β é paralelo ao plano xy. A reta r é a interseção de α e β. Pede-se:

0

z

a) equações simétricas de r;

α

z

SUGESTÃO:

y

4 P

6

2) Cálculo dos pontos P e Q: P = (6, 0, 0) e Q = (0, 4, 0)

O

b) equação do feixe de planos por r.

r

4

1) Equação segmentária de α: x y z + + =1 6 4 3

r

Q

intercepta

Resp.: P = (2, -1, 0)

18. Achar a reta r obtida pela interseção do plano α: 2x + 3y + 4z - 12 = 0 com o plano xy.

-6

Jacir. J. Venturi

β

y

3

x-2 y z-4 = = -2 3 0 b) 3x + 2y - 6 + λ(z - 4) = 0 ou z - 4 + λ(3x + 2y - 6) = 0

Resp.: a) r :

2 x

3) Obter a reta PQ.

x

19. Equação do plano que contém o ponto A = (2, 1, 3) e é paralelo

2. POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS

x = 2 + t  r : y = -1 + 3 t z = 2 

No espaço E3, duas reta r1 e r2 podem ser:

às retas:

e

 x = 2z - 1 s: y = z + 3 Resp.: 3x - y - 5z + 10 = 0

20. Num cubo são conhecidos 4 de seus vértices: P1 = (2, 2, 0), P2 = (2, 4, 0), P3 = (0, 4, 0) e P4 = (2, 2, 2). Determine os pontos onde a reta

r:

x -1 y - 2 z - 2 "fura" o cubo. = = 0 2 -1 Resp.: P = (1, 2, 2) e P' = (1, 4, 1)

a) Coplanares e paralelas r1

r2

As retas r1 e r2 jazem no mesmo plano α e têm a mesma direção. Como caso particular as retas r1 e r2 podem ser coincidentes.

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17. A reta r passa pelo ponto A = (1, - 2, - 3) e forma com os eixos x, y e z respectivamente ângulos de 60º, 90º e 30º. Resp.: x - 1 = y + 2 = z + 3 1 0 3

Resp.: x - 6 = y = z

4

2x + y + z - 3 = 0

21. Achar o ponto P em que a reta r :  x + y - 2z - 1 = 0 o plano coordenado xy.

22. Dada a figura abaixo, onde o plano α é paralelo ao eixo z e o plano β é paralelo ao plano xy. A reta r é a interseção de α e β. Pede-se:

0

z

a) equações simétricas de r;

α

z

SUGESTÃO:

y

4 P

6

2) Cálculo dos pontos P e Q: P = (6, 0, 0) e Q = (0, 4, 0)

O

b) equação do feixe de planos por r.

r

4

1) Equação segmentária de α: x y z + + =1 6 4 3

r

Q

intercepta

Resp.: P = (2, -1, 0)

18. Achar a reta r obtida pela interseção do plano α: 2x + 3y + 4z - 12 = 0 com o plano xy.

-6

Jacir. J. Venturi

β

y

3

x-2 y z-4 = = -2 3 0 b) 3x + 2y - 6 + λ(z - 4) = 0 ou z - 4 + λ(3x + 2y - 6) = 0

Resp.: a) r :

2 x

3) Obter a reta PQ.

x

19. Equação do plano que contém o ponto A = (2, 1, 3) e é paralelo

2. POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS

x = 2 + t  r : y = -1 + 3 t z = 2 

No espaço E3, duas reta r1 e r2 podem ser:

às retas:

e

 x = 2z - 1 s: y = z + 3 Resp.: 3x - y - 5z + 10 = 0

20. Num cubo são conhecidos 4 de seus vértices: P1 = (2, 2, 0), P2 = (2, 4, 0), P3 = (0, 4, 0) e P4 = (2, 2, 2). Determine os pontos onde a reta

r:

x -1 y - 2 z - 2 "fura" o cubo. = = 0 2 -1 Resp.: P = (1, 2, 2) e P' = (1, 4, 1)

a) Coplanares e paralelas r1

r2

As retas r1 e r2 jazem no mesmo plano α e têm a mesma direção. Como caso particular as retas r1 e r2 podem ser coincidentes.

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10. Provar que a reta r está contida no plano α.

8. DISTÂNCIA DE UM PONTO A UMA RETA

x y z −1 = = e α : 4x − 2y + 5z − 5 = 0 Dados: r : −1 3 2

d (A, r)

11. O plano α é determinado pelos pontos A = (0, 0, 2), B = (-2, 0, 0) x = 1 + t  e C = (0, 1, 2). A reta por r :  y = −3 + 3t. z = 1 + t 

plano.

r

Sabendo-se paralelos r e α, calcular a distância entre a reta e o Resp.:

2

Considere r uma reta passante por PO = (xO, yO, zO) e que tem a → direção do vetor r = li + mj + nk. Em tais condições a reta r tem a forma:

r:

PO

x − x O y − y O z − zO = = l m n

Na página 137 demonstrou-se a fórmula que permite calcular a distância de um ponto A à reta r: d(A, r) = |(A - PO) x vers r |

12. Achar a equação do plano que passa pela reta x + y − z + 3 = 0 x +1 y z + 2 r: e é paralelo à reta s : = = . 1 2 7 2x + y + 1 = 0

Exercícios

Resp. : 3x + 2y - z + 4 = 0

"Se minha Teoria da Relatividade estiver correta, a Alemanha dirá que sou alemão e a França me declarará cidadão do mundo. Mas, se não estiver, a França dirá que sou alemão e os alemães dirão que sou judeu." Albert Einstein (1879-1955), Prêmio Nobel de Física em 1921

13. Obter as equações simétricas da reta r situada no plano α: 2x + y - z + 1 = 0 e que intercepta ortogonalmente a reta s :

Resp.: r :

x −1 y z + 1 = = . 1 2 3

x + 3 y + 8 z + 13 = = 5 −7 3

01. Calcular a distância do ponto A = (1, 2, 0) à reta

x + y + z − 2 = 0 r: x + 3 y − z − 2 = 0 Resp.:

21 3

02. Achar a distância do ponto A = (1, 1, 3) à reta determinada pelos pontos P = (4, 3, - 2) e Q = (2, 2, 0). Resp.:

2

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Jacir. J. Venturi

03. As retas r1 e r2 são paralelas. Determinar a distância entre elas.

9. DISTÂNCIA ENTRE DUAS RETAS REVERSAS E EQUAÇÕES DA NORMAL COMUM

x +1 y −1 z x y z−2 Dadas: r1 : = = e r2 : = = 2 2 4 1 1 2 Resp.:

n

30 3

P2

A figura ao lado mostra duas retas reversas r1 e r2. Pretende-se a fórmula da distância entre elas, bem como o cálculo das equações da normal comum (n).

r2

SUGESTÃO: A

r1

d(r1, r2) = d(A, r2) P1

onde A é ponto qualquer de r1.

r1

r2

α1

α2

Série B

a) Fórmula da distância entre duas retas reversas

"Na boca de quem não presta, quem é bom não tem valia." Chico Anysio (n. 1931), humorista.

r2 n

04. Obter as equações simétricas das retas que passem pelo

N2

2 da origem do sistema cartesiano e sejam 2 paralelas ao plano x - y + 2 = 0.

P2

ponto A = (0, 0, 1), distem

Resp.:

d (r1, r2)

x y z −1 = = 1 1 ± 2

A reta r1 é passante por P1 = (x1, y1, z1) e é paralela ao vetor → r1 = l1i + m1j + n1k. A reta r2 contém o ponto P2 = (x2, y2, z2) e tem a direção → do vetor r2 = l2i + m2j + n2k. Isto posto: x − x1 y − y1 z − z1 r1 : = = l1 m1 n1 x − x2 y − y2 z − z2 r2 : = = l2 m2 n2

N1 P1 r1

Deduziu-se na página 140 do presente manual, que a distância d(r1, r2) entre as retas reversas r1 e r2, estas reversas entre si, é obtida pela fórmula:

d (r1, r2 ) =

(P2 − P1 ) .rr1 x r 2 |rr1 x rr2 |

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03. As retas r1 e r2 são paralelas. Determinar a distância entre elas.

9. DISTÂNCIA ENTRE DUAS RETAS REVERSAS E EQUAÇÕES DA NORMAL COMUM

x +1 y −1 z x y z−2 Dadas: r1 : = = e r2 : = = 2 2 4 1 1 2 Resp.:

n

30 3

P2

A figura ao lado mostra duas retas reversas r1 e r2. Pretende-se a fórmula da distância entre elas, bem como o cálculo das equações da normal comum (n).

r2

SUGESTÃO: A

r1

d(r1, r2) = d(A, r2) P1

onde A é ponto qualquer de r1.

r1

r2

α1

α2

Série B

a) Fórmula da distância entre duas retas reversas

"Na boca de quem não presta, quem é bom não tem valia." Chico Anysio (n. 1931), humorista.

r2 n

04. Obter as equações simétricas das retas que passem pelo

N2

2 da origem do sistema cartesiano e sejam 2 paralelas ao plano x - y + 2 = 0.

P2

ponto A = (0, 0, 1), distem

Resp.:

d (r1, r2)

x y z −1 = = 1 1 ± 2

A reta r1 é passante por P1 = (x1, y1, z1) e é paralela ao vetor → r1 = l1i + m1j + n1k. A reta r2 contém o ponto P2 = (x2, y2, z2) e tem a direção → do vetor r2 = l2i + m2j + n2k. Isto posto: x − x1 y − y1 z − z1 r1 : = = l1 m1 n1 x − x2 y − y2 z − z2 r2 : = = l2 m2 n2

N1 P1 r1

Deduziu-se na página 140 do presente manual, que a distância d(r1, r2) entre as retas reversas r1 e r2, estas reversas entre si, é obtida pela fórmula:

d (r1, r2 ) =

(P2 − P1 ) .rr1 x r 2 |rr1 x rr2 |

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Jacir. J. Venturi

b) Equações da normal comum

x + z − 2 = 0 x − 2y − 1 = 0 2. Sendo r1 :  e r2 :  y 1 0 − =  z − 1 = 0

A reta n, normal comum às retas r1 e r2, será individualizada pelas equações da reta que passa pelos pontos N1 e N2 . Corroboramos que os pontos N1 e N2 são os pés da normal comum às retas r1 e r2. A determinação de tais pontos ficou demonstrada à página 140: (N1 − P1) = k1r1 ⇒ N1 = P1 + k1r1

1

(N2 − P2) = k2r2 ⇒ N2 = P2 + k2r2

2

a) a distância entre as retas r1 e r2; b) os pés da normal comum; c) a normal comum às retas r1 e r2. 6 3 2 4 5 1  b) N1 =  , 1, ; N2 =  , , 1 3 3 3 3  x - 4 3 y −1 z − 2 3 c) n : = = 1 −2 −1

Resp.: a) d (r1, r2 ) =

Subtraindomembro a membro 1 de 2 tem-se: (N2 − N1) = (P2 − P1) + k2r2 − k1r1 Os valores de k1 e k2 são obtidos multiplicando-se escalarmente esta última equação por r1 e r2.

10. ÂNGULO DE DUAS RETAS

Exercícios

z

Dadas as retas r1 e r2 por suas equações simétricas:

r2

"Nunca na minha vida aprendi fosse o que fosse daqueles que sempre concordaram comigo."

θ

Dudley F. Malone

r1 y

01. Dadas as retas x y −1 z −1 = = 1 0 1 x −1 y − 2 z −1 r2 : = = 1 1 2

calcular:

r1 :

calcular :

r1 :

x − x1 y − y1 z − z1 = = l1 m1 n1

r2 :

x − x 2 y − y 2 z − z2 = = l2 m2 n2

x

a) a distância entre as retas r1 e r2; b) a reta n, perpendicular comum às retas r1 e r2.

2 3 3 x y −1 z −1 b) n : = = 1 1 −1

O ângulo θ é o menor ângulo formado pelas retas r1 e r2. Obtêmo-lo pela aplicação do produto escalar entre os vetores diretores r1 e r2:

Resp.: a) d (r1, r2 ) =

cos θ =

| r1 . r2 | | r1 | | r2 |

π  0 ≤ θ ≤  2 

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b) Equações da normal comum

x + z − 2 = 0 x − 2y − 1 = 0 2. Sendo r1 :  e r2 :  y 1 0 − =  z − 1 = 0

A reta n, normal comum às retas r1 e r2, será individualizada pelas equações da reta que passa pelos pontos N1 e N2 . Corroboramos que os pontos N1 e N2 são os pés da normal comum às retas r1 e r2. A determinação de tais pontos ficou demonstrada à página 140: (N1 − P1) = k1r1 ⇒ N1 = P1 + k1r1

1

(N2 − P2) = k2r2 ⇒ N2 = P2 + k2r2

2

a) a distância entre as retas r1 e r2; b) os pés da normal comum; c) a normal comum às retas r1 e r2. 6 3 2 4 5 1  b) N1 =  , 1, ; N2 =  , , 1 3 3 3 3  x - 4 3 y −1 z − 2 3 c) n : = = 1 −2 −1

Resp.: a) d (r1, r2 ) =

Subtraindomembro a membro 1 de 2 tem-se: (N2 − N1) = (P2 − P1) + k2r2 − k1r1 Os valores de k1 e k2 são obtidos multiplicando-se escalarmente esta última equação por r1 e r2.

10. ÂNGULO DE DUAS RETAS

Exercícios

z

Dadas as retas r1 e r2 por suas equações simétricas:

r2

"Nunca na minha vida aprendi fosse o que fosse daqueles que sempre concordaram comigo."

θ

Dudley F. Malone

r1 y

01. Dadas as retas x y −1 z −1 = = 1 0 1 x −1 y − 2 z −1 r2 : = = 1 1 2

calcular:

r1 :

calcular :

r1 :

x − x1 y − y1 z − z1 = = l1 m1 n1

r2 :

x − x 2 y − y 2 z − z2 = = l2 m2 n2

x

a) a distância entre as retas r1 e r2; b) a reta n, perpendicular comum às retas r1 e r2.

2 3 3 x y −1 z −1 b) n : = = 1 1 −1

O ângulo θ é o menor ângulo formado pelas retas r1 e r2. Obtêmo-lo pela aplicação do produto escalar entre os vetores diretores r1 e r2:

Resp.: a) d (r1, r2 ) =

cos θ =

| r1 . r2 | | r1 | | r2 |

π  0 ≤ θ ≤  2 

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Exercícios

11. ÂNGULO DE UMA RETA COM UM PLANO r

Dados:

→

n

α: ax + by + cz + d = 0 r:

∅

"Se não houver frutos, valeu a beleza das flores; Se não houver flores, valeu a sombra das folhas; Se não houver folhas, valeu a intenção da semente." Henfil (1944 - 1988), escritor e humorista mineiro.

x − x O y − yO z − zO = = l m n

Onde r tem a direção do vetor → r = li + mj + nk. → Considere n = ai + bj + ck um vetor normal ao plano α.

01. Achar o ângulo entre as retas

r:

x −1 y z +1 x + 3 y + 2 z −1 = = e s: = = 7 −1 0 −2 1 −2 Resp.: θ =

O ângulo agudo θ entre os vetores n e r calculado através da definição de produto escalar: →

cos θ =

| n.r | → | n || r |

02. Pede-se o ângulo entre α: - x + y + 3 = 0 e r :

Procura-se no entanto, o ângulo ∅ (agudo) entre a reta r (que tem a direção do vetor r ) e o plano α. Depreende-se da figura que cos θ = sen ∅, haja visto que os ângulos θ e ∅ são complementares. Face ao exposto: →

sen θ =

|n.r | → | n || r |

π  0 ≤ ∅ ≤  2 

Resp.: ∅ =

π rad. 4 x+2 y z+2 = = 1 −2 1

π rad. 3

2x + 3y − 2z − 1 = 0 03. Achar o ângulo que a reta r :  forma com 2x + 4y − 3z + 5 = 0 o eixo das cotas. Resp.: arc cos

2 3

04. Achar as equações simétricas da reta que passe pelo ponto A = (1, 0, 2), seja paralela ao plano α: x - z + 2 = 0 e forme um ângulo de “Duas coisas indicam a fraqueza: calar-se quando é preciso falar; e falar quando é preciso calar-se.” Adágio árabe

π rad. com o plano β: x + y - z + 4 = 0. 6 Resp.:

x −1 y z−2 = = 1 1 ± 6

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Exercícios

11. ÂNGULO DE UMA RETA COM UM PLANO r

Dados:

→

n

α: ax + by + cz + d = 0 r:

∅

"Se não houver frutos, valeu a beleza das flores; Se não houver flores, valeu a sombra das folhas; Se não houver folhas, valeu a intenção da semente." Henfil (1944 - 1988), escritor e humorista mineiro.

x − x O y − yO z − zO = = l m n

Onde r tem a direção do vetor → r = li + mj + nk. → Considere n = ai + bj + ck um vetor normal ao plano α.

01. Achar o ângulo entre as retas

r:

x −1 y z +1 x + 3 y + 2 z −1 = = e s: = = 7 −1 0 −2 1 −2 Resp.: θ =

O ângulo agudo θ entre os vetores n e r calculado através da definição de produto escalar: →

cos θ =

| n.r | → | n || r |

02. Pede-se o ângulo entre α: - x + y + 3 = 0 e r :

Procura-se no entanto, o ângulo ∅ (agudo) entre a reta r (que tem a direção do vetor r ) e o plano α. Depreende-se da figura que cos θ = sen ∅, haja visto que os ângulos θ e ∅ são complementares. Face ao exposto: →

sen θ =

|n.r | → | n || r |

π  0 ≤ ∅ ≤  2 

Resp.: ∅ =

π rad. 4 x+2 y z+2 = = 1 −2 1

π rad. 3

2x + 3y − 2z − 1 = 0 03. Achar o ângulo que a reta r :  forma com 2x + 4y − 3z + 5 = 0 o eixo das cotas. Resp.: arc cos

2 3

04. Achar as equações simétricas da reta que passe pelo ponto A = (1, 0, 2), seja paralela ao plano α: x - z + 2 = 0 e forme um ângulo de “Duas coisas indicam a fraqueza: calar-se quando é preciso falar; e falar quando é preciso calar-se.” Adágio árabe

π rad. com o plano β: x + y - z + 4 = 0. 6 Resp.:

x −1 y z−2 = = 1 1 ± 6

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05. Calcule o ângulo agudo que a reta r : x  1  y  3  z 3 2 6 forma com o plano xy. Resp.: Æ  arc sen 6  59 º

7

z

SUGESTÃO: r ® ®

sen Æ 

®

n

O

y

Æ

|n.r | ® ® | n || r |

onde n® = (0, 0, 1) e r® = (3, 2, 6)

x

Série B 06. Calcular as equações das retas r passantes pelos pontos A = (2, - 1, 1) e que interceptam a reta s : x  1  y  1  z segundo um 2 0 1 ângulo de 45º. Resp.:

x  2 y 1 z 1 x  2 y 1 z 1 ou     3 0 1 1 0 3

SUGESTÃO:

r

1) equação de r: x  2  y  1  z  1  m n 2) condição de coplanaridade de r e s;

A

45º

s

® ®

3) cos 45º  |®r . s®| | r || s |

223