Nama Kelompok Semester 7a

Nama Kelompok Semester 7A 1. Mega Sri Noor CN (060457) 2. Utriyanah (060483) 3. Yeni Rosmiyati (060459) Aplikasi Persamaan Legendre Persamaan Diferensial Legendre Persamaan diferensial legendre banyak muncul dalam terapan, misalanya dalam masalah persamaan potensial pada bola berjari-jari R dan berpusat di O. Jika persamaan potensial diubah kedalam kordinat bola yaitu x,y, dan z berturut-turut diubah menjadi x= r cos sin , y= r sin sin , z= r cos akan diperoleh potensial pada bola ini bebas dari , jadi sehingga didapat dengan metode peubah terpisah V( r,) = G (r) H() akan didapat …………………………….( 1 ) dan …………………………….( 2 ) jika disubsitusikan k = n(n+1) dan kedalam persamaan ( 1 ) maka diperoleh persamaan diferensial ini disebut persamaan diferensial legendre. Kita kaji penyelesaian persamaan diferensial legendre ………………………… ( 3 ) penyelasaian persamaan diferensial ( 3 ) analitik pada x = 0 jadi penyelesaiannya akan berbentuk sehingga y’(x) = dan

y(x) , y’(x) , y”(x) ini disubtitusikan kedalam persamaan diferensial ( 3 ) jadi didapat atau persamaan terakhir ini merupakan identitas dalam x, jadi setiap koefisien dari x0 , x1, x2, …. Sama dengan nol. Di dapat. Koefisien dari x0 : 2C2 + n(n+1) co = 0 Koefisien dari x0 : 6c3 + [-2+n(n+1)]c1 = 0 Koefisien dari x0 : (s+2) (s + 1) CS+2 + [-s(s-1)-2s+n(n+1)]co= 0 untuk s = 2,3,4,… ( 4 ) persamaan terakhir dapat diubah menjadi dan setrerusnya Jadi penyelesaian umum persamaan diferensial adalah ( 3 ) adalah ………………………………… ( 5 ) dengan ( 6 ) dan ( 7 ) kedua deret ini konvewrgen untuk ½x½ < 1

Aplikasi dari polinomial Legendre dalam fisika Para polinomial Legendre pertama kali diperkenalkan pada 1782 oleh Adrien-Marie Legendre sebagai koefisien dalam perluasan potensi Newtonian

dimana r dan r 'adalah panjang dari vektor masing-masing dan γ adalah sudut antara kedua vektor. Seri menyatu ketika r> r 'Ekspresi memberikan potensial gravitasi dihubungkan ke titik massa atau potensial Coulomb terkait ke titik muatan.. Perluasan menggunakan polinomial Legendre mungkin berguna, misalnya, ketika mengintegrasikan ekspresi ini lebih dari massa yang kontinu atau distribusi muatan. Polinomial Legendre terjadi dalam pemecahan persamaan Laplace dari potensi, , Di daerah bebas biaya ruang, dengan menggunakan metode pemisahan variabel, di mana kondisi batas mempunyai simetri aksial (tidak ada ketergantungan pada sudut azimuthal). adalah sumbu simetri dan θ adalah sudut antara posisi pengamat dan axis (the zenith angle), solusi potensial akan

and dan

. harus ditentukan sesuai dengan kondisi batas setiap masalah [2].

Polinomial Legendre dalam perluasan multipole

Gambar 2 Polinomial Legendre juga bermanfaat dalam memperluas fungsi dari bentuk (ini adalah sama seperti sebelumnya, yang ditulis sedikit berbeda):

yang muncul secara alami di multipole ekspansi. Di sisi kiri dari persamaan adalah fungsi pembangkit untuk polinomial Legendre. Sebagai contoh, potensi listrik Φ (r, θ) (dalam koordinat bola) akibat muatan titik yang terletak pada sumbu z pada z = a (Gambar 2) bervariasi seperti

Jika jari-jari r dari titik pengamatan P adalah lebih besar daripada seorang, yang potensial dapat dikembangkan dalam polinomial Legendre

Perluasan ini digunakan untuk mengembangkan normal multipole ekspansi. Sebaliknya, jika jari-jari r dari titik pengamatan P adalah lebih kecil daripada, potensi masih dapat diperluas dalam polinomial Legendre seperti di atas, tetapi dengan a dan r bertukar. Perluasan ini adalah dasar dari interior multipole ekspansi.