Modulacion Digital Binaria

MODULACION DIGITAL BINARIA Hasta ahora hemos estudiado la transmisión de señales digitales en banda base. En la práctica, bien sea por compartir el canal (por ejemplo el aire) o por poder usar antenas de dimensiones razonables, es necesario modular. Al modular se modifica la amplitud, la frecuencia o la fase de una portadora que puede ser una sinusoide, en función del mensaje. En el caso de que el mensaje sea una señal binaria esto se denomina modulación por cambio de amplitudes (ASK=Amplitude Shift Keying), modulación por cambio de frecuencias (FSK= Frequency Shift Keying) o modulación por cambio de fase (PSK= Phase Shift Keying). A continuación analizaremos las características más resaltantes de estos tipos de modulación como son: La potencia, el espectro, el ancho de banda, moduladores y demoduladores y la probabilidad de error.

ASK: Modulación digital de amplitud. Consiste en cambiar la amplitud de la sinusoide entre dos valores posibles; si uno de los valores es cero se le llama OOK (On-Off keying). La aplicación más popular de ASK son las transmisiones con fibra óptica ya que es muy fácil "prender" y "apagar" el haz de luz; además la fibra soporta las desventajas de los métodos de modulación de amplitud ya que posee poca atenuación. Otra aplicación es el cable transoceánico. El modulador es un simple multiplicador de los datos binarios por la portadora. A continuación se ilustra un ejemplo de un mensaje en banda base y el resultado de modular en ASK(OOK).

ASK puede ser definido como un sistema banda base con una señal para el "1"  igual a s1(t) y una señal para el cero igual a s0(t) = 0.

Definamos una señal b(t) que toma el valor de 1 cuando el bit enviado es un  UNO y –1 cuando el bit enviado es un CERO.

La señal ASK puede expresarse como:

 Como se observa b(t) es una onda NRZ polar, por lo tanto su espectro, que es  infinito, quedará trasladado a fc . Como el espectro de b(t) es un Sinc2 con  cortes cada fb=1/tb, y como siempre se elige fc mucho mayor quefb, entonces el  espectro de la señal ASK quedará:

Se observa que el ancho de banda práctico es 2fb el cual es el doble del  requerido en transmisión banda base. Otro parámetro que será muy útil sobre  todo en modulación multinivel es la constelación que a continuación  definiremos: La constelación consiste en representar la señal modulada en función de una o  varias funciones ortonormales (ortogonales de energía unitaria).

Por ejemplo si fc = nfb la función u1(t) definida como sigue, tiene energía  unitaria en un intervalo de tiempo igual a tb. La gráfica de xASK(t) en función de u1(t) recibe el nombre de constelación. En  este caso luciría como:

La distancia entre los posibles valores de la señal es muy importante, ya que  representará la fortaleza que tiene la modulación frente al ruido. Observe que  si los símbolos están más distanciados, será mas difícil que uno se convierta  en otro por efectos del ruido añadido en el sistema. FSK: Modulación digital de frecuencia. Consiste en variar la frecuencia de la portadora de acuerdo a los datos. Si la  fase de la señal FSK es continua, es decir entre un bit y el siguiente la fase de  la sinusoide no presenta discontinuidades, a la modulación se le da el nombre  de CPFSK (Continuous Phase FSK) y será la que analizaremos a  continuación. La siguiente figura ilustra un mensaje y la señal CPFSK resultante

Veamos CPFSK binario

La señal será una sinusoide de frecuencia fA = (ωc+Ω)/2π si se transmite un  UNO y una sinusoide de frecuencia fB = (ωc­Ω)/2π cuando se transmita un CERO. La frecuencia de portadora sin modular es (fA+fB)/2 = fc . La continuidad de la fase se logra cuando

La Densidad espectral de potencia de la señal FSK puede obtenerse  conociendo que:

Por lo tanto la DEP de la señal CPFSK presentada será:

Observe que esto puede verse como dos ondas ASK

La constelación de la señal CPFSK se construye luego de definir las siguientes  funciones ortonormales

:

PSK: Modulación digital de fase. Aunque PSK no es usado directamente, es la base para entender otros sistemas  de modulación de fase multinivel. Consiste en variar la fase de la sinusoide de  acuerdo a los datos. Para el caso binario, las fases que se seleccionan son 0 y  π. En este caso la modulación de fase recibe el nombre de PRK (Phase  Reversal Keying). Observe, en la siguiente figura, una señal PRK:

La densidad espectral de potencia DEP de la señal PRK viene dada por:

El espectro es parecido al de ASK solo que no incluye las deltas de Dirac.  Esto implica un ahorro de potencia. El ancho de banda resulta igual al de ASK  o sea 2fb

La constelación de la señal PRK se obtiene definiendo la  señal  La constelación muestra que esta es la modulación que presenta la mayor distancia entre los puntos de la misma; esto la convierte en la de mayor fortaleza frente al ruido.

Demodulación de señales ASK, PSK, FSK. Cuando se estudió la detección de señales en bandabase, contaminadas por ruido blanco gausseano, el cálculo de la probabilidad de error por bit a la salida receptor óptimo se determinó bajo las siguientes premisas:

Suponga que a la salida de un sistema binario se pueden tener solo dos niveles 0.5A y -0.5A mas el ruido. La probabilidad de error se calcula como:

Si los valores 0.5A y -0.5A son equiprobables el umbral es cero, que en realidad se calcularía como: U=0.5[0.5A + (-0.5A)]=0 Resultando que Pe=P(n>0.5A) Cuando la señal original se hacía pasar por un sistema que al tener p(t) a su entrada producía y(t) a su salida, la probabilidad de error resultaba entonces: Pe=P(n> y(t0)) Donde t0 era el tiempo óptimo donde se tomada la decisión. Para ver la detección de señales moduladas ASK, PSK, FSK, podemos modelarlas como si fuesen un sistema banda base pero donde el pulso que representa al 1 lo llamamos p1(t)(Ej: en OOK trozo de sinusoide) y al que representa al 0 lo llamamos p0(t)(Ejemplo en OOK sería 0). Cuando se transmita el "1" el pulso a la salida lo llamaremos p 1o(t); cuando se transmita el "0" el pulso a la salida lo llamaremos p0o(t) Se supondrá que a la entrada del sistema esta presente p1(t) o p0(t) mas el ruido n(t) y que a la salida tenemos p1o(t) o p0o(t) mas el ruido filtrado que llamaremos nout(t). La probabilidad de error se calcula como:

Cuando entra p(t) sale y(t0). Cuando sale 0.5(p1o(t) - p0o(t)), es porque entra 0.5(p1(t) p0(t)). Por lo tanto en la deducción del filtro óptimo usaremos las mismas formulas pero donde aparezca p(t) colocaremos 0.5(p1(t) - p0(t)) y donde aparezca P(f) colocaremos 0.5(P1(f) - P0(f)) Asi:

Para el caso de ruido blanco (Filtro adaptado) el filtro óptimo resultara: hR(t)optimo=k/η [p1(t0-t) -p0(t0-t)] En ese caso

Definamos:

Si E1=E0=E podemos llegar a determinar la probabilidad de error como:

Si en cambio p1(t) y p0(t) son ortogonales, el factor λ=0, en cuyo caso:

Si se trata de señales antípodas (λ=-1)

Se observa que en este ultimo caso se obtiene la menor probabilidad de error, de hecho si empleamos pulsos ortogonales necesitaremos enviar el doble de la potencia para lograr la misma probabilidad de error que usando señales antípodas. REALIZACIONES PRACTICAS DEL FILTRO ADAPTADO Como sabemos: hR(t)optimo=k/η [p1(t0-t) -p0(t0-t)] Esto puede implementarse con dos filtros conectados como se muestra:

Matemáticamente:

Evaluemos en t0=tb y coloquemos hk(t)=pk (tb-t)

Hacemos el cambio de variable tb-τ=u

Esto se lograría con el siguiente sistema:

Este sistema podemos usarlo para los 3 tipos de modulación binaria que hemos visto, colocando apropiadamente p1(t) y p0(t). Este tipo de detección se llamará coherente ya que se necesita coherencia entre las fases de las portadoras de transmisión y recepción para lograr una adecuada demodulación. A continuación veremos los resultados del cálculo de la probabilidad de error para los tres tipos de modulación que hemos definido.

MODULACION ASK: DETECCION SINCRONA: El receptor sería como el mostrado

En ASK el pulso p1(t) es un pulso de radiofrecuencia dado por:

El filtro adaptado es:

La convolución resultará

con 

En ASK el pulso para el cero es nulo, por lo tanto:

En bandabase polar antípoda

. (ASK es 3 dB peor)

MODULACION FSK: DETECCION SINCRONA: El demodulador en este caso luciría como:

Si λ = 0 y E1 = E0 = Ep,

que es igual a la probabilidad media de error del sistema ASK. Si se usa el  valor mínimo de λ= ­0.21, entonces:

DETECCION SINCRONA MODULACION PRK Aquí los pulsos que representan el 1 y el 0 son antípodas, de manera que:

Este sistema obligatoriamente requiere el uso de detección coherente. Si el  oscilador del receptor tiene un desfasaje respecto al del transmisor, la salida  del detector PRK tendrá un valor de amplitud afectado por el factor Cos φ.

La salida seria:

Es decir que, respecto al caso en que no hay error, la salida esta afectada por el  factor cosΦ; por lo tanto la energía estará afectada por el cuadrado de este  factor y la probabilidad de error quedaría:

Es decir la probabilidad de error puede crecer enormemente dependiendo del error de fase presente Detección no coherente de ASK: Para eliminar la necesidad de sincronizar las fases de las portadoras de transmisión y recepción, se utiliza un esquema de detección no-coherente como el siguiente:

A la salida del detector de envolvente se toma cada tb la decisión de si se envió  un UNO o un CERO. Para realizar el análisis matemático, consideraremos que en cada intervalo tb  lo que llega al receptor es una portadora (de amplitud A o CERO) más el ruido  gausseano pasabanda de media nula y varianza σ2. Utilizaremos las expresiones de toda señal pasabanda Envolvente-Fase y Componente en faseComponente en cuadratura. Emplearemos algunas deducciones ya vistas en el curso de Comunicaciones I para finalmente encontrar la función densidad de probabilidades de la envolvente R(t) que es en definitiva lo que interesa.

A Cos ωct + Rn(t) Cos (ωct + θn(t)) =A Cos ωct + ni(t)Cos ωct - nq(t)Sen ωct = R(t) Cos ( ωct + Φ(t))

En el curso de Comunicaciones I cuando analizamos las componentes en fase  y cuadratura del ruido gausseano pasabanda, concluímos que la función  densidad conjunta era una gausseana. Conociendo este hecho, podemos  conseguir la función densidad conjunta de R(t). Si las componentes originales ni y nq eran gausseanas con media nula, ahora  lo que cambia es que la componente ni  tiene media igual a A. Esto implica que:

Conociendo esto, queremos conocer la distribución conjunta pRΦ. Sabemos  que:

pero en un cambio de cartesianas a polares, uno sabe que: dxdy=ρdρdΦ

por lo tanto:

Asi:

Como se observa, R y Φ no son independientes, por lo tanto debemos calcular  las distribuciones marginales, integrando respecto a cada una de las variables La marginal pR se calcula:

Pero:

donde I0 es la función de Bessel modificada de primera clase, orden 0 y  argumento AR/σ2 y además , I0(0) =1 Esto produce una dependencia con A ( amplitud de la portadora recibida) de  tal manera que podemos dividir el análisis en tres: Cuando A=0 es decir solo  existe ruido, cuando A tiene valores intermedios y cuando la señal domina  frente al ruido. Esto genera tres distribuciones de probabilidad de la  envolvente R(t) diferentes: 1) Caso sin ruido ( A=0)

Esta es una distribución de Rayleigh

2) Caso ruido intermedio

Esta es una distribución de Rice 3) Para ruido fuerte ( R>>σ; o sea domina la señal)

Esto es prácticamente una gausseana con varianza σ2 y centrada  aproximadamente en A. Considere ahora que la señal ASK se va a detectar con un filtro óptimo  seguido de un detector de envolvente. Cuando se transmite un cero, el ruido  tendrá distribución Rayleigh. Cuando se transmita un uno, la distribución  puede ser Rice o Gausseana. Cuando calculamos la probabilidad de error decimos Pe=P(e/T1) P(T1) + P(e/T0)P(T0)=P(A+n1Umbral)P(T0). La probabilidad de error tal que se transmite un 1 (P(e/T1)), deberá ser calculada usando la distribución de Rice, mientras que la probabilidad de error tal que se transmite un 0 (P(e/T0)) se calculará usando la distribución de Rayleigh. En todo caso conviene ubicar el umbral de decisión óptimo. El umbral se consigue intersectando las dos funciones densidad e igualando  áreas, resultando:

Como se está usando filtro adaptado con E0=0, la relación señal a ruido  resultará:

(S/N)=E1/2η=Ep/ηy esto es proporcional a (A/σ)2 Para el caso de bajo ruido(Ep/η)>>1 Esto implica que(A/σ)>>1 por lo tanto(σ/ A)<<1 En este caso

La probabilidad de error total es la suma de estos dos términos multiplicada  por 0.5, ya que son equiprobables. Bajo las condiciones planteadas ( poco  ruido) el término que sobrevive es 0.5P(e/T0); por lo tanto

Para comparar con el caso banda base, considerando también poco ruido (Ep/ η>>1)

FSK: Detección no coherente: Cuando vimos modulación FSK se dijo que podía verse como la superposición  de dos ondas ASK de manera que el análisis matemático para la obtención del  error en este caso, se basa en imaginarse dos ramas de detección ASK y luego  haciendo una relación entre la salida de las dos ramas se puede llegar a la  expresion de la probabilidad de error. Esta resulta igual a la de ASK.