Mn2 - Deret Taylor

Deret Taylor dan Analisis Galat Dr. M. Sarosa, Dipl. Ing. MT. [email protected]

1. Deret Taylor Misalkan f dan fi, fii, fiii, … dalam selang [a,b] dan

Tugas Tentukan nilai pendekatan fungsi di bawah ini ke dalam deret Taylor: ln(x) sampai orde ke-4 di sekitar x0=1, lalu dekati dengan nilai ln(0,9)! f(x)=ex-1 sampai orde ke-3 di sekitar x0=0, lalu hitung nilai f(0,0001)! sinh(x)=1/2(ex-e-x) di sekitar x0=0, lalu hitung nilai pendekatan integral (0-1) sinh(x)dx sin(x) sampai orde ke-3, lalu tentukan batas atas galat sin(x) jika 0<=x<=0,5.

Deret Taylor Terpotong Karena suku-suku pada deret Taylor tidak berhingga jumlahnya, maka untuk alasan kepraktisan, deret Taylor dipotong sampai suku orde tertentu. Deret Taylor terpotong adalah deret Taylor yang dipotong sampai suku orde ke-n. R = 2 n ( x − ) ( x − ) ( x − x0) i x 0 ii x0 ( n) f ( x ) = f ( x0) + f ( x0) + f ( x0) + ... + f ( x0) + R n ( x) 1! 2! n! dengan n +1 ( x − x 0) ( n +1) (c), dengan x0 < c < x f Rn = (n + 1)! n

disebut galat atau sisa (residu)

Deret Taylor Terpotong (lanjutan 1)

Deret Taylor yang terpotong dapat dituliskan :

f ( x) = P n ( x) + R n ( x) dengan

k

( x −x 0) (k ) f ( x0) P n ( x) = ∑ k =1 k! n

n +1

( x − x 0) ( n +1) = (c), dengan x0 < c < x f Rn (n + 1)! Sebagai contoh sin(x) jika didekati dengan deret Taylor orde 4 di sekitar x0=1 adalah 2

3

4

( x − 1) ( x − 1) ( x − 1) ( x − 1) sin( x) = sin(1) + cos(1) − sin(1) − cos(1) + sin(1) + R4 ( x) 1! 2! 3! 4!

( x − 1 ) =

5

dengan

R

4

5!

cos(c), dengan

x

0


Contoh Latihan Hitunglah nilai pendekatan cos(0,2) dengan deret Maclaurin sampai orde n=6 cos(0,2)=1-0,22/2+0,24/24-0,26/720=0,9800667

2. Analisis Galat Perhitungan menggunakan Metode Numerik sangat bergantung pada analisis galat Semakin kecil nilai galatnya berarti semakin teliti solusi numerik yang diperoleh Dua hal yang harus dipahami dalam analisis Galat: Bagaimana menghitung galat Bagaimana galat timbul

Galat Relatif Misalkan â adalah nilai pendekatan terhadap nilai sejati a, maka selisihnya

ε=a-â disebut galat Sebagai contoh, jika â=10,5 dan nilai pendekatan dari a =10,49, maka galatnya ε =-0,01 Jika tanda galat (positif atau negatif) tidak dipertimbangkan, maka galat mutlak didefinisikan sebagai:

|ε|=|a-â| Galat relatif merupakan nilai galat yang dinormalkan terhadap nilai sejati. εR=ε/a atau dalam prosentase εR=ε/a x 100%

Galat Relatif Sejati Misalkan : Seutas tali panjang sejatinya 100cm, sedangkan panjang pendekatan diperoleh 99cm maka galat relatif sejatinya adalah 1/100 atau 0,01 Sebatang pensil memiliki panjang sejati 10cm, sedangkan panjang pendekatan diperoleh 9 cm, maka galat relatif sejatinya adalah 1/10 atau 0,1 galat relatif sejati adalah galat yang dihitung terhadap nilai sejatinya

Galat Relatif Pendekatan Galat relatif pendekatan adalah nilai galat yang dinormalkan terhadap nilai pendekatannya

εRA= ε/â Misalkan nilai sejati 10/3 dan nilai pendekatan 3,333, maka nilai: Galat = 10/3 -3,333 = 10/3 – 3333/1000 = 0,000333 Galat mutlak = 0,000333…. Galat relatif = (1/3000)/(10/3) = 1/10000 = 0,0001 Galat relatif pendekatan = (1/3000)/3,333 = 1/9999

Galat Relatif Pendekatan Iterasi Galat relatif pendekatan tetap membutuhkan pengetahuan nilai sejati a (dalam praktek kita jarang mendapatkan nilai a). Oleh karena itu, penghitungan nilai galat pendekatan digunakan cara lain yaitu menggunakan pendekatan iterasi,

εRA= (ar+1-ar)/ar+1 dengan ar+1 nilai pendekatan iterasi saat ini dan ar nilai pendekatan iterasi sebelumnya.

Proses iterasi dihentikan apabila εRA<εS dengan εs toleransi galat yang dispesifikasikan. Nilai εS menentukan ketelitian solusi numerik, semakin kecil nilai

εS semakin teliti solusinya.

Contoh Latihan Misalkan ada prosedur iterasi sebagai berikut:

xr+1= (-xr3+3)/6, dengan r = 0, 1, 2, 3 ….. Iterasi dihentikan bila kondisi |εRA|<εS, dalam hal ini εS adalah toleransi galat yang diinginkan. Misalkan dengan memberikan x0=0,5 dan εS=0,00001 maka diperoleh: x0=0,5 x1=0,4791667 ; |εRA=(x1-x0)/x1|=0,043478>εS x2=0,4816638 ; |εRA=(x2-x1)/x2|=0,0051843>εS x3=0,4813757 ; |εRA=(x3-x2)/x3|=0,0005984>εS x4=0,4814091 ; |εRA=(x4-x3)/x4|=0,0000693>εS x5=0,4814052 ; |εRA=(x5-x4)/x5|=0,0000081<εS Berhenti, pada iterasi ke 5 kondisi εS=0,00001 terpenuhi.

Latihan Hitung nilai galat relatif pendekatan itarasi dari: xr+1= (xr2-0.08)/2, dengan r = 0, 1, 2, 3 ….. Iterasi dihentikan bila kondisi εS=0,0001 terlampaui dengan x0=0,2 Hitung nilai galat relatif pendekatan itarasi dari: xr+1= (2xr2-3)/9, dengan r = 0, 1, 2, 3 ….. Iterasi dihentikan bila kondisi εS=0,0001 terlampaui dengan x0=0,3