Mecánica De Newton: Aplicaciones Con E.d.o Julio César Santiago álvarez Samuel David Jerez Perez

Mecánica De Newton Aplicaciones con E.D.O Julio César Santiago Álvarez Samuel David Jerez Perez

Cables Suspendidos Supongamos un cable flexible, alambre o cuerda pesada que está suspendida entre dos soportes verticales, algunos ejemplos podrían ser los que se muestran en las imágenes. Nuestro objetivo es construir un modelo matemático que describa la forma que tiene el cable.

Modelo matemático • Comenzaremos por acordar en examinar sólo una parte o elemento del cable entre su punto más bajo 𝑃1 y cualquier punto arbitrario 𝑃2 . Señalado en color azul en la figura, este elemento de cable es la curva en un sistema de coordenada rectangular. Eligiendo al eje y para que pase a través del punto más bajo 𝑃1 de la curva y eligiendo al eje 𝑥 para que pase a 𝑎 unidades debajo de 𝑃1 . Sobre el cable actúan tres fuerzas: las tensiones T1 y T2 en el cable que son tangentes al cable en P1 y P2, respectivamente, y la parte W de la carga total vertical entre los puntos P1 y P2.

• Ahora la tensión T2 se descompone en sus componentes horizontal y vertical. 𝑇2𝑥 = 𝑇2 cos 𝜃

y

𝑇2𝑦 = 𝑇2𝑠𝑒𝑛(𝜃)

Debido al equilibrio estático podemos escribir: 𝑇1 = 𝑇2 cos 𝜃 y 𝑊 = 𝑇2𝑠𝑒𝑛(𝜃) Al dividir la ultima ecuación entre la primera, eliminamos T2 y obtenemos: 𝑊 tan 𝜃 = 𝑇1 Pero puesto que

𝑑𝑦 𝑑𝑥

𝑑𝑦 = tan 𝜃 , llegamos a: 𝑑𝑥

=

𝑊 𝑇1

Ejemplos: • 2.2 45 Ecuaciones diferenciales Dennis Zill 9 edición.