Edo Con Serie De Potencias.docx

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

Nombre: Liliana Albán Curso: Tercero petroquímica Fecha: 02 de enero del 2018 Tema: Resolver una edo mediante serie de potencias 𝝏𝟐 𝒚 𝝏𝒚 − 𝟐𝒙 − 𝟑𝒚 = 𝟎 𝝏𝒙𝟐 𝝏𝒙 ∞

𝑦 = ∑ 𝐶𝑛 𝑋 𝑛 𝑛=0 ∞

𝑦′ = ∑ 𝑛𝐶𝑛 𝑋 𝑛−1 𝑛=1 ∞

𝑦′′ = ∑ (𝑛 − 1)𝑛𝐶𝑛 𝑋 𝑛−2 𝑛=2

Reemplazo: ∞

∞

∞

∑ (𝑛 − 1)𝑛𝐶𝑛 𝑋 𝑛−2 − 2𝑥 ∑ 𝑛𝐶𝑛 𝑋 𝑛−1 − 3 ∑ 𝐶𝑛 𝑋 𝑛 = 0 𝑛=2

𝑛=1

𝑛=0

Ingresamos términos: ∞

∑ (𝑛 − 1)𝑛𝐶𝑛 𝑋 𝑛−2 𝑛=2

∞

∞

− ∑ 2𝑛𝐶𝑛 𝑋 𝑛 − 3 ∑ 𝐶𝑛 𝑋 𝑛 = 0 𝑛=1

𝑛=0

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

Poniendo las x en una sola potencia ∞

∞

∑(𝑛 + 2)(𝑛 + 1)𝐶𝑛+2 𝑋 𝑛

∞

− ∑ 2𝑛𝐶𝑛 𝑋 𝑛 − ∑ 3 𝐶𝑛 𝑋 𝑛 = 0

𝑛=0

𝑛=1

𝑛=0

Ponemos los inicios iguales: ∞

∞

∞

2𝐶2 − 3𝐶0 + ∑(𝑛 + 2)(𝑛 + 1)𝐶𝑛+2 𝑋 𝑛 − ∑ 2𝑛𝐶𝑛 𝑋 𝑛 − ∑ 3 𝐶𝑛 𝑋 𝑛 = 0 𝑛=0

𝑛=1

𝑛=0

Factoramos ∞

2𝐶2 − 3𝐶0 + ∑[(𝑛 + 2)(𝑛 + 1)𝐶𝑛+2 −(2𝑛 + 3)𝐶 𝑛 ]𝑋 𝑛 = 0 𝑛=0

Simplificamos 𝑪𝒏+𝟐

(𝟐𝒏 + 𝟑)𝑪𝒏 = (𝒏 + 𝟐)(𝒏 + 𝟏)

2𝐶2 − 3𝐶0 = 0 𝐶2 =

3𝐶0 2

Para: 𝑛 = 1, 𝐶3 =

5𝐶1 6

𝑛 = 2, 𝐶4 =

7𝐶2 21 = 𝐶 12 120 0

𝑛 = 3, 𝐶5 =

9𝐶3 45 = 𝐶 20 120 1

𝑛 = 4, 𝐶6 =

11𝐶4 231 = 𝐶 30 720 0

Solución general de la forma extendida ∞

𝑦 = ∑ 𝐶𝑛 𝑋 𝑛 = 𝐶0 + 𝐶1 𝑋 + 𝐶2 𝑋 2 + 𝐶3 𝑋 3 𝑥 … … … 𝑛=0

𝑦 = 𝐶0 + 𝐶1 𝑋 +

3𝐶0 2 5𝐶1 3 21 45 231 𝑋 + 𝑋 + 𝐶0 𝑋 4 + 𝐶1 𝑋 5 + 𝐶 𝑋 6 + ⋯ …. 2 6 120 120 720 0