Mecanica Cuantica

3) MECÁNICA CUÁNTICA

 F.CLASICA : Determinista Y

t=0

y

t=1

g

Vo

X {1900} F.CUÁNTICA : Indeterminista e-

1

2 {1925} , W Heisenberg Mecánica Matricial : [ ] estados {1926} E Schroedinger  Mecánica ondulatoria O : y = y ( x, t )   E = E ( x, t )  Ψ ( r , t ) E = E (r , t ) 

{1929} CUÁNTICA - RELATIVIDAD , Dirac - Sommerfeld

3.1) Experimento de la doble rendija 1 eD 2 D’

pantalla

La radiación de e-s sobre las rendijas 1 y 2 produce un patrón de interferencia por difracción en la pantalla. Esta interferencia tiene que entenderse como producida por una “presencia” del electrón tanto en 1 como en 2.

Si el experimento se realiza anulando una de las rendijas se obtendrían patrones típicos para c/u de ellos. Es más, si se superpone el experimento por una y luego por la otra, el patrón final no mostraría interferencia. Y’ α) e-

Ψ1

1

2

Ψ1

2

+ Ψ2

2

X’ 2

Y’ e-

β)

1

Ψ2

2

X’ 2 Si los estados de los electrones son descritos por funciones Ψ, Ψ1:e-s por 1 y Ψ2:e-s por 2, entonces, las 2 probabilidades de encontrar a los electrones en Y se determina con los Ψ , por lo tanto, las curvas de probabilidad correspondientes a α y β son solo función de los estados Ψ1 y Ψ2 correspondientes e inclusive cuando se superponen en el experimento.

Sin embargo el resultado original muestra interferencia, esto es, los estados e-s deben de influirse en 1 y 2 para que el patrón se pueda explicar, por lo tanto , el estado del e- debe de especificarse así: Ψe= Ψ1+ Ψ2 De esta forma, al determinar la probabilidad para un e- se justifica la interferencia,  e

2

2

2

2

 1   2  1   2  2 1  2 cos 

 : desfasaje entre 1   2 En este experimento el e- esta deslocalizado debido a que deberá estar presente en 1 y 2.

3.2) PRINCIPIOS DE INCERTIDUMBRE DE HEISENBERG i) DE LA POSICIÓN Y DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO (r y p) ∆x

p

∆p

x

∆x∆p ≥

2

: incertidumbre de la posición : incertidumbre de la cantidad de movimiento lineal

Esta relación describe una interacción con el sistema que no se puede controlar, es proceso del universo.

ii) DE LA ENERGÍA Y DEL TIEMPO h E t  2

∆E

: incertidumbre de la energía

∆t

: incertidumbre del tiempo

3.3) FUNCIÓN DE ONDA Ψ Es la función que describe el estado del sistema. Esto es, en ella está contenida toda la información del sistema.

r  r (t )  v  a

r P T

r  r (t )  continua r r d 2r r 2da Ley : FRES  m 2  r dt

ur uur " OEM : E  B " E  E ( x, t )

E ( x, t )  EM sen{kx  wt  }

E c de OEM 2 E 1 2 E  2 2 vc 2 x v t

e-

=

e- = Ψ X

 ( x, t )   ( x, t )   ( x )  ( x)  x

 PSI 

v

Valores asociados

M CF

H Ψ=E Ψ Ec. de Schroedinger

Probabilidad

La Ψ no es cuantificable, NO OBSERVABLE, sin embargo las mediciones se efectuarán con |Ψ|2 ,el cual se interpreta como densidad de probabilidad.

|Ψ|2

: densidad de probabilidad … Indica la probabilidad de encontrar a la partícula en cierto volumen y en cierto tiempo.

|Ψ|2dv

:… en el V=dv

|Ψ(x)|2dx : probabilidad de encontrar a la partícula en dx

P

v

x

a

x←X b

" x": [ a, b] → Pab = ∫ Ψ( x ) dx a

2

b

Debido a que la partícula debe encontrarse en el eje X, se establece la condición de normalidad de Ψ, ∞

∫ ψ dx = 1 2

∃ de la partícula en X!

−∞

Las CF se describen usando sus valores esperados , CF

CF =

∞

2 { } CF ψ dx ∫

−∞

Ψ: Describe al sistema Ψ  Interpretar

Ejemplo: Problema de la partícula en una caja m

v x

L La partícula de masa m se mueve en una caja de lado L con velocidad v. Estado Cinemático: v

Discretizar

Sistema restringido: x

< 0,L>

Este confinamiento de m es lo que producirá, en la versión cuántica del problema, los estados discretos, Ψ Ψn  En ; n =1,2,3,… Debido a que la v = cte y al confinamiento, entendiendo a este último como que m no podría estar en X=0 o L , la función de onda que describe los estados de m es,

 ( x)  A sen  kx Donde

k=

2π λ

se escogerá de tal manera que describa la probabilidad cero de encontrar a m en x=0 o L,

kx  n , x  0, L kL  n ; n  1, 2, 3 ,... kn 

n 2  L n

2L nv  n  , n  n 2L

 2  n ( x)  Asen   n



x  ; n  1, 2,3,... 

Estos n estados de m tienen asociadas energías, Ek,n dadas por

pn 2 1 2 Ekn  mvn   2 2m 

2m

h2  2n 2 m

Principio de incertidumbre



h



n

2

2

 

  h

  2L     h2n2   n     2  Ek , n  En 2m 8L m h2 2     n ( x)  ASen  nx  , Ek ,n  n 8mL  L  

v=cte

Ψn =| Ψn |

L/3

0

2L/3

L/2

L/3

L

0

0

L

En (E1)

2

Ψn

Ψ

Ψ

2L/3

L/2

n

2

L

9

3

4

2

1

1

3.4) LA ECUACION DE SCHROEDINGER Es la ecuación que debe satisfacer las funciones de onda Ψ y puede ser tan compleja como uno desee en el contexto de acercarse mejor a la descripción del problema físico. Por ejemplo, 1. HΨ=E Ψ

Estados estacionarios

H: Hamiltoneano operador de energía. E: energía del estado estacionario. 2. Ec de Schroedinger F. clásica Física Cuántica  ( x, t )  A ( x)Cos  wt .......................( )  2 ( x, t ) 1  2 ( x, t )  2 ..........................(  ) x 2 v t 2   2 ( x, t )  1 2 A Cos wt  A  ( x , t )  w Cos  wt        2 2  x v    2 ( x, t ) w2  p2   2 ,  ( x, t )  2  ( x , t ) x 2 v h

w2 v2

2

2



 2       v   

v 2     p    v   h 

2

…..... Ec de Schrodinger

E  Ek  E p  cte p2 Ek   E  E p  p 2  2m  E  E p  2m 2 2m  ( x )    E  E p   ( x) x 2 h2 3. Caso general 2 ∂ i ψ (r , t ) = − ∇ 2ψ (r , t ) + V (r , t )ψ (r , t ) ∂t 2m

∂2 ∂2 ∂2 ψ + 2ψ + 2ψ 2 ∂x ∂y ∂z

∂ ψ + Ep ψ = Eψ 2m ∂ x 2 2  ∂ − ∇ 2 ψ + vψ = ih ψ 2m  ∂t   2  + v ψ = Eψ −  2m  −

2

Resolviendo el ejercicio…

2 2m 0  L : 2    2 E x h ..

∞

∞

x   x  0  x(t )  ASen{wt} 

Ep



v

   nx  L  

 ............  ASen 

x 0

2mE  x 2 h 

 ( x)  ASen 

h2 2 En  n 2 8mh

L



L

% )dx A  Normalización :   dx  1   A2 Sen 2 (cx 

A

2 L

2

0