Mcu

Movimiento circular uniforme (M.C.U.) Giss Rubén Ignacio

1 Introducción En este tipo de movimiento la trayectoria de la partícula es una circunferencia, el hecho de que sea uniforme implica que la velocidad es constante en módulo para todo instante de tiempo. Que sea constante en módulo significa que si bien el vector velocidad va cambiando (para seguir una trayectoria circular es necesario estar girando), la rapidez es la misma en todo instante. Fig. 1

v es la velocidad r es la posición de la partícula

y

v r x

El sistema de referencia elegido para estudiar los movimientos circulares se obtiene ubicando el cero en el centro de la circunferencia.

2 Elementos de M.C.U. Definimos: • Velocidad angular( , omega); lo mismo que con la velocidad (v= x/ t) pero en vez de medir la distancia recorrida ( x) se mide el ángulo barrido( , delta tita, o delta theta). Fórmula = / t. En MCU es constante al igual que v. • Velocidad tangencial( v ); esta es la misma velocidad que la del movimiento rectilíneo, se le dice tangencial para diferenciarla de la angular. Que sea tangencial quiere decir que tiene la misma dirección y sentido que el movimiento que describe la partícula. Para medir una distancia en una circunferencia lo que se mide es una longitud de arco ( s, que es lo mismo que x pero doblado sobre la curva de la circunferencia). Por lo tanto la fórmula es v = s/ t • La forma de relacionar la velocidad angular con la tangencial es a través de la trigonometría: = s/r. Que dice simplemente que el ángulo barrido es igual a la distancia recorrida (longitud de arco s) dividido el radio de la circunferencia(r). reemplazando esta definición en la fórmula de la velocidad angular = / t, obtenemos = s/ t.r, donde s/ t= v . Entonces obtenemos la relación =v/r para la velocidad angular, o bien pasando la r multiplicando v= .r para la velocidad tangencial. El movimiento circular se caracteriza por ser un movimiento periódico, o sea que el móvil pasa reiteradas veces por la misma posición a intervalos regulares de tiempo. El tiempo que tarda en dar una vuelta completa es lo que se llama período (se usa la letra T para designarlo). De la primer ecuación para la velocidad angular = / t, en una vuelta completa =2 , y t=T, despejando se tiene que: T=2 / .

Por otro lado se conoce como frecuencia (se usa la letra f, o a veces letra griega nu) al número de vueltas que da la partícula por unidad de tiempo. Como un giro requiere un tiempo igual a un período: f =1 giro = 1 1T T Quedando la ecuación f=1/T. Por último, de las dos últimas ecuaciones se puede despejar omega ( ) y obtener relacionarla con la frecuencia =2 .f.

=2 /T y para

Para describir la ubicación de la partícula que realiza un movimiento circular en vez de dar las coordenadas x e y (que complicaría demasiado el problema) se usa el ángulo donde se encuentra la partícula (al que denominamos ) y la distancia al origen o radio (que denominamos r). Para saber donde se encuentra la partícula en un cierto tiempo dado conociendo la velocidad angular se puede despejar la ecuación: = / t (pasando t) t. = (delta es la variación final menos inicial) (tf-to). = f- o (Pasando la posición inicial sumando) o+(tf-to). = f Entonces obtenemos la ecuación horaria = o+(tf-to).

3 Análisis de la aceleración: En el MCU existe una aceleración que hace que la trayectoria sea curva, pero sin embargo esta aceleración no afecta al módulo de la v velocidad, solo cambia la dirección, para que esto pase la aceleración a debe ser perpendicular a la velocidad. Esta aceleración se denomina centrípeta por ser la que hace que la trayectoria se curve hacia el centro. Para deducir la aceleración centrípeta tenemos que pensar en ella como la velocidad “recorrida” en el tiempo (tomando la velocidad como si fuera una distancia), entonces la variación de la velocidad ( v) es (como cuando quisimos calcular la velocidad a partir de la Fig. 3 distancia recorrida en el tiempo) el arco entre las dos posiciones en v2 la que se definen las velocidades v1 y v2 (como si fueran posiciones), v1 y el arco es por trigonometría s = .r, ahora el radio es v (que es la magnitud que se mantiene constante para las velocidades), entonces tenemos que v= .v La ac= v/ t, reemplazando v se obtiene ac= .v/ t Recordando que = / t ac=v. , además teníamos que =v/r, con lo que podemos expresar la aceleración centrípeta como ac=v2/r. Fig. 2

Ejemplo: 1. Un móvil recorre una circunferencia de 50cm de radio con una frecuencia de 10Hz. Determinar: a. El período b. La velocidad angular c. Su velocidad tangencial d. Su aceleración. Solución: Tenemos: r=0,5m f=10Hz, Necesitamos el período, la velocidad angular, la tangencial, la aceleración, entonces recordemos las fórmulas: • =2 .f •

T=1/f

•

v= .r

•

ac=v.

a. Nos pide encontrar el período entonces usamos: T=1/f T=1/10Hz T=0,1seg. b. La velocidad angular

=2 .f, reemplazando con los datos:

=2 .10Hz

=62,8 . 1/s c. La velocidad tangencial v= .r Reemplazando con los datos: v=62,8.1/s. 0,5m v=31,4 m/s

d. La aceleración es ac=v. ac=31,4 m/s. 62,8. 1/s ac=1972m/s2

reemplazando con los datos obtenidos:

Resumen: =

Definición: Ecuaciones: v= .r =

o+(tf-to).

T=2 / =1/f =2 /T=2 .f ac=v2/r=r.

2

=v.

/ t=constante