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Prof: GRR MOVIMIENTO CIRCUNFERENCIAL UNIFORME (M. C. U.)

Una partícula P, posee M.C.U. si su trayectoria en relación a un sistema de referencia S, es una circunferencia recorriendo distancias iguales en tiempos iguales Observación: Recuerde que en un Movimiento Rectilíneo Uniforme, la partícula recorre distancias iguales en tiempos iguales, lo mismo sucede en el M.C.U; 1.-

La dirección y sentido del vector posición son variables

2.-

El módulo del vector posición es constante (

 R ) = cte

Período :

Elementos que se distinguen en el M.C.U. Es el tiempo que demora la partícula en dar una vuelta completa a la circunferencia. Generalmente se designa por T y se mide en segundos (s).

Frecuencia

: Es el número de vueltas que efectúa una partícula, en torno a la circunferencia en una unidad de tiempo. Generalmente se designa por f y su unidad de medida es s-1

f =

1 vuelta = s −1 = 1 = 1hertz = 1Hz s s Velocidades en el M.C.U.

Se distinguen dos tipos de velocidades i.- Velocidad lineal o tangencial ii.- velocidad angular Velocidad Lineal o tangencial Como toda magnitud vectorial, la velocidad posee tres elementos: i.- Dirección ii. - Sentido iii.- Módulo El vector velocidad tangencial nunca es constante, su dirección varía punto a punto de la trayectoria, para mantenerse tangente a la misma. I.- Dirección: La dirección de la velocidad instantánea está sobrela tangente a la trayectoria en cada punto de ella. II.- Sentido.: El sentido de la velocidad lineal coincide con el sentido de avance de la partícula en la circunferencia. III.-Módulo: El módulo de la velocidad instantánea recibe el nombre de rapidez instantánea. Si la partícula ocupa la posición A en el instante t, recorre un espacio dado por la longitud del _ arco AB, en consecuencia la magnitud de la rapidez media está dada:

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Vm =

AB d 2 − d1 = ∆t ∆t

En el M.C.U., la partícula recorre distancias (arcos) iguales en intervalos de tiempos iguales, por lo que la distancia recorrida en función del tiempo, la podemos representar por la siguiente gráfica. d S5

m = Vm =

S4

d5 − d0 t5 − t0

S3 S2 S1

t1 t2

t3

t4

t5

Al observar el gráfico, podemos deducir que la rapidez es Constante Con un razonamiento análogo al que realizamos para el movimiento rectilíneo podemos definir una rapidez instantánea asociada a cada punto de la trayectoria, es decir:

Vinst . = lim ite ∆t →0

∆d = CONSTANTE ∆t

Como Vm=Vinst. , entonces ,para una vuelta se tendría:

∆d 2πr = = 2 ⋅π ⋅ r ⋅ f ∆t T

V =

ACELERACION CENTRIPETA Como la aceleración depende del cambio en el vector velocidad; recuerde que la velocidad circunferencial es constante en magnitud, pero cambia en cada instante de dirección y sentido

 VB  rB

 VA

 rA

El vector velocidad siempre es tangente a la trayectoria de la partícula y es por lo tanto perpendicular a R. El vector aceleración en este caso es perpendicular a la trayectoria y siempre apunta hacia el centro del circulo. Esta aceleración se llama aceleración centrípeta y su magnitud está dada por:

a=

V2 R

DEMOSTRACION

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En un tiempo t la partícula se encuentra en A, y su velocidad instantánea queda representada

 V A ; en otro tiempo posterior (t+∆t) la partícula , se encuentra  en el punto B de la trayectoria y su velocidad instantánea queda representada por el vector velocidad V B . En el intervalo de tiempo ∆t, por el vector

la partícula ha cambiado de posición desde el punto A al punto B, experimentando una variación de

   es constante en V A y V B , la variación de ∆V (a pesar de que la magnitud de la velocidad  velocidad es distinta de cero porque los vectores V A y V B tienen distinta dirección y sentido). velocidad

Como la partícula P al cambiar de posición entre los puntos A y B ha experimentado una variación de velocidad al transcurrir un intervalo de tiempo ∆t, por lo que la partícula tiene una aceleración a, la cuál queda determinada por la expresión:

 − VA

  ∆V a= ∆t

 VB θ

Figura2

 ∆V

 VB

 VA

 rB θ

 rA

Figura 1

Recuerde que la aceleración a es un vector, por lo que la

aceleración tiene los tres

elementos que caracterizan a todo vector: í.—módulo ii.—Dirección iii.—Sentido



Para determinar ∆V , se procede así:

   V B − V A = ∆V

 V A en el tiempo t,y después de transcurrir un intervalo de tiempo ∆t , la partícula se encuentra en B con una velocidad V B . fácilmente Aquí la partícula se ve primero en el punto A con una velocidad

se puede observar que las Velocidades difieren solamente en dirección y sentido, sus magnitudes son las mismas Para determinar la aceleración debemos empezar con la ecuación que define a la aceleración medía.

    ∆V V B − V A a= = ∆t ∆t Sí consideramos el triángulo de la figura1, el cual tiene de lados a

la figura 2 formado por los lados

   ∆V , V A y V B los cuales son semejantes con el ángulo θ en común.

Esto permite escribir una relación entre las longitudes de los lados.

∆V ∆r = V r

×

   ∆r , r A y rB y el triangulo de

1 ∆t

∆V ∆r d V ⇒ = ⇒ setiene = ∆tV ∆tr V r V2 a= r

 ∆r

 rB  rA

Así se concluye que en el M.C.U. la aceleración está dirigida hacia el centro del círculo

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Velocidad Angular En el M.C.U., la velocidad angular es constante. Se la representa gráficamente por medio de un vector, cuyas características son las siguientes; i.— Dirección de la velocidad angular: Perpendicular al plano al cual pertenece la circunferencia que describe la partícula (es paralelo al eje de rotación) ji.— Sentido de la velocidad angular: Se obtiene mediante una convención. Es el mismo sentido en que avanza un tirabuzón, colocado perpendicularmente al plano que se efectúa el movimiento, cuando se lo hace girar en el mismo sentido que tiene el móvil. iii.— magnitud de la velocidad angular: Es la razón entre la variación de ángulo y el intervalo de tiempo que demora la partícula en describirlo. Si representamos por w a la rapidez angular, podemos anotar:

ω=

∆θ θ f − θ i = ∆t ∆t ∆t = T ⇒ ∆θ = 360 o o ∆θ = 2 ⋅ π rad

si

ω=

entonces:

2π − 0  rad  t  s 

Como la partícula describe ángulos iguales en intervalos de tiempos iguales su magnitud es constante como también la dirección y sentido de la velocidad angular no cambian eso implica que:

ω − ω 0 = 0 ∴ si∆ω = 0

implica que la aceleración angular es cero

α=

∆ω =0 ∆t

α = aceleración angular

donde

Relación entre las rapideces circunferencial y angular: La rapidez circunferencial está dada por la ecuación:

V =

2π ⋅r T

(*)

La rapidez angular está dada por la ecuación:

ω=

2π T

(**)

Reemplazando (*) en la ecuación (**) obtenemos: V=w r

a =ω2 ⋅r

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Prof: GRR ¿Qué tan rápido gira? Supongamos que la rueda de un parque de diversiones tiene un M.C.U. Podemos determinar su movimiento observando el ángulo que describe una cabina con respecto a un sistema de referencia fijo. Para medir el ángulo nos fijamos en el vector radial que va desde el centro de giro hasta la cabina. Lo llamaremos vector posición . El desplazamiento angular (∆θ) descrito por el vector posición en un tiempo determinado (∆t) será la rapidez angular de la cabina y la designamos con la letra ω. La rapidez angular indica qué tan rápido gira un cuerpo,y lógicamente, la podemos medir en grados por segundos (grad/s). Sin embargo, en física vamos a utilizar otra unidad para medir ∆θ llamada radián (rad). Arcos de Circunferencia Un arco de circunferencia es un segmento de la circunferencia. Su longitud (∆d) se puede estimar conociendo el ángulo que subtiende (expresado en radianes) y el radio de giro (R), a través de la siguiente expresión: RADIÁN Un radián es el ángulo del centro comprendido en un arco de circunferencia cuya longitud es igual al radio de ella (R). En un ángulo completo (3600) hay exactamente 2π radianes, por lo tanto, un radián equivale a 57,30 aproximadamente. A continuación aparecen las equivalencias más utilizadas:

π = 180 

2π = 360 

π = 90  2

Intenta plantear una fórmula que te permita convertir de radianes a grados y viceversa.

FUERZA CENTRIPETA De acuerdo con la ley del movimiento de Newton tenemos que:

  F = m⋅a

la fuerza neta o resultante tiene siempre tiene la misma dirección y sentido que la aceleración. Por ser la fuerza un vector, posee los tres elementos que siempre caracterizan a todo vector:

La competencia del lanzamiento del martillo es una combinación de técnica, fuerza y mucha física. Al hacer girar el martillo, el atleta ejerce sobre el cable de acero que lo sostiene una fuerza perpendicular a la trayectoria circunferencial que adquiere el martillo. Esta es una fuerza central que se transmite a través del cable. ¿Qué ocurre cuando el atleta suelta el martillo? R: Al hacer girar el martillo el atleta debe ejercer una fuerza muy grande hacia el centro

.

Cuando se ejerce una fuerza perpendicular al movimiento de un objeto, este describirá una trayectoria circunferencial. Esta fuerza central es la fuerza centrípeta, que se aplica en la dirección del radio y cuyo sentido es hacia el centro de la circunferencia. La fuerza centrípeta tiene la misma dirección y sentido que la aceleración centrípeta. Esto último se puede explicar a través de la segunda ley de Newton, pues como existe una aceleración centrípeta, debe existir una fuerza en esa dirección.

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La fuerza centrípeta no es un nuevo tipo de fuerza; es simplemente el nombre que se le da a toda fuerza que actúa en ángulo recto respecto de la trayectoria de un objeto en movimiento y que produce un movimiento circunferencial. Así, una fuerza centrípeta puede ser gravitacional, eléctrica, elástica, etc. Se necesita una fuerza centrípeta para que haya un movimiento circunferencial. Dato cIa ve 1 Fuerza

centrípeta: toda fuerza que actúa en un movimiento circunferencial, cuya dirección es el radio de la circunferencia y su sentido es hacia el centro de la i circunferencia.

i.-Magnitud

F = ma entonces

Fc = m

V2 R

ii.—Dirección:variable ii,.—Sentido: variable, siempre dirigida hacia el centro de giro.

VECTOR

POSICION.

VELOCIDAD CIRCUNFERENCIAL Y ACELERACION

CENTRIPETA EN COORDENADAS RECTANGULARES Todo vector se puede representar como una suma de dos vectores perpendiculares entre si, es decir:

 r (t ) = rx iˆ + ry ˆj cosθ =

rx r

entonces

senθ =

ry r

θ

 r (t ) = r cos θ ⋅ iˆ + rsenθ ⋅ ˆj

1) Vector velocidad circunferencial:

 V (t ) = V x iˆ + V y ˆj luego

Vy Vx ; ; cos φ = V V  ˆ V (t ) = −Vsenθ ⋅ i + V cosθ ⋅ ˆj senφ =

2) Vector aceleración centrípeta

 a (t ) = a x iˆ + a y ˆj cosθ =

ax a

y

senθ =

ay a

luego

a x = a cosθ

y

 a (t ) = −a cosθ ⋅ iˆ − asenθ ⋅ ˆj  a (t ) = −ω 2 r cos(ωt ) ⋅ iˆ − ω 2 rsen(ωt ) ⋅ ˆj

a y = asenθ

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APLICACIONES 1.-Dibuje los vectores velocidad tangencial en A y en B (considere que la partícula se mueve en el sentido opuesto a los punteros del reloj, según figura 1) donde el módulo del vector es 3 cm en la figura. 2.-Determine la variación de velocidad tangencial entre los puntos A y B. 3.- Si el tiempo trascurrido entre los puntos A y B es de 0,5 UT, dibuje el vector aceleración media entre los dos puntos dados anteriormente. 4.-Una partícula se mueve con MCU, dando 120 vueltas por minuto. Determinar: A) Su período B) Su frecuencia

B A

5. Determinar la rapidez lineal de la partícula que describe una circunferencia de 10 cm de radio en un tiempo de 0,2 s: 6. Un automóvil está pasando sobre un lomo de toro semicircular , Si su velocímetro indico siempre 60 km/h. ¿Hay alguna aceleración en el instante en que pasa sobre el lomo de toro? Justifique su respuesta. 7. El segundero en un reloj de pulsera mide 1,5 cm de longitud. Considerando un punto en el extremo de dicho segundero, determine: A) Su rapidez angular» U) Su rapidez lineal. C) El módulo de su aceleración centrípeta. D) Repita los cálculos anteriores para un punto situado en el medio del segundero. 6.- Sabiendo que la Tierra tarda 06400 s en dar una vuelta completo al rededor de su eje y que su radio mide 6370Km, determinar la rapidez tangencial de un punto en la periferia del Ecuador. 9.El minutero y horario de un reloj están superpuestos en las 12:00 h. A) ¿Cuánto tiempo transcurrirá hasta que se encuentren en ángulo recto? B) ¿Cuánto tiempo transcurrirá hasta que se encuentren diametralmente opuestos? 1 0.- Un objeto se mueve en una trayectoria circunferencial de 0,1 m de radio, con rapidez tangencial constante de 0,2 m/s. A) Determine el Período de este movimiento B) frecuencia 11.-En el problema anterior si se aumenta el radio al doble y disminuye la rapidez tangencial a la mitad Determine el nuevo período.

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12.- La figura corresponde a la trayectoria de uno partícula que se mueve con MCU, en sentido positivo. Sobre ella se han dibujado dos vectores velocidad tangencial, en los puntos A y B. SI A es una posición inicial en el tiempo, y B lo posición final, dibuje el vector variación de velocidad entre los puntos anteriores

 VA

A

B

 VB

13.- ¿qué sucede con la rapidez circunferencial (o tangencial) de una partícula que posee MCU, si el radio de giro se duplica y el periodo se cuadruplica? 14.- una partícula gira en torno de uno circunferencia con movimiento uniforme, demorando 5s en describir un ángulo de 5/3 Rad. A) Determine el período de lo partícula. B) Determine la rapidez tangencial de la partícula, usando unidades en el Sistema Internacional. C) El tamaño de la aceleración instantánea, usando unidades en el Sistema internacional. 15.-Le figura siguiente representa el piñón de la rueda en una bicicleta, la cadena y el plato fig.. Si un ciclista pedaleo o 50 rpm en forma constante, indique si los proposiciones siguientes son verdaderas o falsas.

rueda plato piñón

A) ____ La rapidez lineal del plato y el piñón son iguales. B) ____La rapidez angular del piñón y de la rueda son iguales. C) ____ La rapidez angular del plato y la ruede son iguales. D) ____La rapidez angular del plato y del piñón son iguales. E) ____La rapidez lineal de giro del piñón es mayor que la del plato. F) _____Si los radios de giro de los puntos extremos del piñón y lo rueda están en razón 1:10, sus rapideces tangenciales están en razón 10:1. 16.-Determinar el tamaño de la aceleración de uno partícula que se mueve con uno rapidez constante de 8 [m/s] sobre una circunferencia de 2 [m] de radio. 17. El joven David quien derribó a Goliat experimentó con su honda antes de embestir al Gigante. Descubrió que con una honda de 0,6 m de longitud, él podría hacerla girar a lo razón de 8 rev/s. Si él aumenta la longitud a 0,9m. Entonces la podría hacer girar 6 veces por segundo. A) ¿Cuál es el tamaño de la aceleración centrípeta en 6 rev/s y en 8 rev/s? B) ¿Cuál es el tamaño de la rapidez tangencial? 18.- La órbita de lo Luna respecto o lo Tierra es aproximadamente circunferencial con un radio promedio de 3,84x108 [m]. A la Luna le tomó 27,3 días para completar una revolución alrededor de la Tierra. Determine: A) la rapidez orbital media de la Luna, en unidades del S.I. B) el tamaño de su aceleración centrípeta, en unidades de S.I

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19. En el ciclo de secado de una lavadora, el tambor tiene un radio de 0,3 [m], y desarrolla una rapidez angular de 30 rev/s. ¿Cuál es la rapidez lineal máxima con la cual el agua sale por los orificios del tambor? 20.- Una partícula se mueve con una trayectoria circunferencial de 0,4m de radio con rapidez constante. Si la partícula da 5 revoluciones en cada segundo de su movimiento. Determine: A) La rapidez tangencial de la partícula. B) El tamaño de su aceleración central. 21.-Un disco de radio r = 20 cm gira uniformemente, dando 40 vueltas en un minuto. Se marcan dos puntos sobre él, los cuales son A = 10cm. B = 20cm, ambos medidos desde el centro. A) ¿Cuál es la rapidez tangencial de ambos puntos? B) ¿Cuánto es el tamaño de la aceleración central de los dos puntos? C) ¿Cuánto vale la rapidez angular (ω) para los dos puntos? D) Si el disco gira en el plano XY (el cual concuerda con la superficie de lo mesa), indique  la dirección y sentido de ω , sí el movimiento del disco es en contra de los punteros del reloj. E) ¿Cuánto es el ángulo, barrido por un punto , el que inicialmente se encuentra en el origen y que se mueve durante lmin y 4s. Entregue la respuesta en: vueltas, grados y radianes. F) ¿Cuánto es el camino recorrido por el punto B luego de 5 s se movimiento?