Mate Magi A

MATEMAGIA

CREDITOS: CENTRO VIRTUAL DE DIVULGACION DE LAS MATEMATICAS DivulgaMat

http://www.divulgamat.net/weborriak/Cultura/MateMagia/ matemagia.asp MAQUETACION Y MONTAJE EN PDF : CESAR OJEDA

La Cifra perdida Un amigo resuelve una resta y te dice todos lo dígitos del resultado, excepto uno. En pocos segundos, podrás decir cuál es la cifra perdida. Materiales Papel y lápiz Presentación Ejemplo 1- pide a tu amigo que escriba cualquier número 2759 de 4 cifras sin que tú puedas verlo. 2- Dile que sume los 4 dígitos y escriba el resultado bajo el primer número: (2 + 7 + 5 + 9 = 23)

- 23 _______

3- Pídele que reste ambos números.

2736

4- Dile que rodee con un círculo uno cualquiera 2 7 36 de los dígitos distinto de 0 del resultado. 5- Pídele que lea lentamente en voz alta las otras tres cifras, en cualquier orden. En unos segundos, estarás en condiciones de descubrir cuál es el número encerrado en el círculo. Cómo hacerlo Suma mentalmente los dígitos leídos por tu amigo.

2 + 3 + 6 = 11

Si el resultado tiene más de una cifra, vuelve a sumarlas hasta obtener un solo dígito.

11 --- 1 + 1 = 2

Resta mentalmente ese número de 9, y sabrás cuál es la cifra perdida.

9-2=7

Una excepción Si al sumar los tres dígitos leídos el resultado es 9, el número encerrado en el círculo es un 9. Ejemplo:

8962 - 25 8 9 37 -- 8 + 3 + 7 = 18 ---- 1 + 8 = 9

Variante Este truco funcionará con cualquier cantidad de dígitos. Para probarlo, puedes pedir a tu amigo que elija el número de serie de 8 cifras de un billete, o las 7 cifras de un número de teléfono o un número de documento de identidad.

Dados revelados Tu amigo tira 2 dados sin que tú mires. Después de que él realice unas pocas operaciones con una calculadora, eres capaz de revelar los dos números de arriba de los dados. Materiales 2 dados. Una calculadora. Lápiz y papel. Presentación

Ejemplo

Cuando estés de espaldas, dile a tu amigo que: 1- Tire los dados. 2- Multiplique el número de arriba del primer dado por 5, usando una calculadora o papel 2 x 5 = 10 y lápiz. 3- Sume 12 a esa respuesta.

10 + 12 = 22

4- Duplique ese total

22 x 2 = 44

5- Sume ese resultado al número de arriba del segundo dado.

44 + 6 = 50

6- Sume 15 a esa respuesta.

50 + 15 = 65

Por último pregúntale a tu amigo el resultado final. ¡Sólo resta 39 y los números de arriba de los dados aparecerán mágicamente! 65 - 39 26 1º dado

2º dado

El secreto Multiplicar por 5 y después por 2 es como multiplicar por 10. Esto pone el número del primer dado en la columna de las decenas. Sumar el número del segundo dado pone a ese numero en la columna de las unidades. Toda otra operación es

pase mágico matemático y, en este caso, agrega un 39 extra al total. Al restar ese 39 se revelan los dos números de arriba de los dados.

¿Cuál es la diferencia? Sorprenderás a tu amigo prediciendo el resultado de una resta y luego, leyendo su mente para descubrir el resultado de otra. Materiales Una calculadora. Papel y lápiz. Preparación Sin que se pueda ver lo que escribes, anota tu predicción (el número 198) en un papel, doblalo varias veces y dejalo a un costado. Presentación

Ejemplo

1- Pide a tu amigo que escriba cualquier número de 3 cifras cuyos dígitos aparezcan 765 en orden decreciente. 2- Luego, dile que invierta el orden de las cifras y escriba el nuevo número debajo del primero.

- 567

3- Finalmente, pídele que reste los dos números en la calculadora.

198

¡El resultado será siempre 198! Cuando abras el papel, tu predicción será exactamente ese resultado. 4- Luego, pide a tu amigo que siga las mismas instrucciones, pero ahora con un número de cuatro cifras, también ordenadas de mayor a menor. Dile que no debe mostrarte el resultado.

Ejemplo 3210 - 0123 3087

¡La respuesta será siempre 3087! Pídele a tu amigo que se concentre y piense sólo en el resultado que obtuvo. Simula leer su mente y anúnciale que es el 3087. Variante Una variante graciosa para el truco de las tres cifras es abrir el papel con tu predicción y mostrarlo "patas arriba".

Tu amigo pensará que te has equivocado hasta que des vuelta el papel y se lea:

Escribe en un papel el número 12345679 (ojo, falta el 8) Pide a un amigo que te diga una cifra del 1 al 9. Multiplícala mentalmente por 9, escribe el resultado bajo el numero 12345679 y pide a tu amigo que multiplique las dos cifras. Se asombrara del resultado.

Pon sobre la mesa un sobre cerrado, un papel y un lapicero. Pide a un amigo que escriba en él papel cualquier número de tres cifras, por ejemplo 528. Pídele que escriba este mismo número con las cifras invertidas, en nuestro ejemplo 825 y que reste el menor del mayor, 825-528=297. y por último que sume los dígitos del numero obtenido, 2+7+9=18. Entonces abre el sobre y saca un papel que pusiste antes de cerrarlo con la frase "El numero obtenido es el 18" ¿Qué como lo sabías? El resultado siempre es 18, únicamente una precaución, el número inicial no puede ser capicúa, al hacer la resta daría 0 de resultado. Pon otro sobre encima de la mesa y pide que escriban esta vez un número de 4 dígitos, por ejemplo 2536. Debajo de ese número que escriba otro con los mismos dígitos pero en diferente orden, por ejemplo 3265. Que resten el menor del mayor, 3265-2536=729 y que sumen los dígitos del numero obtenido, 7+2+9=18. Si el resultado es un numero de dos dígitos que los sumen entre si, 1+8=9. Abre el sobre y saca el papel donde escribiste "El numero obtenido es el 9" ¿Sorprendido?

Piensa en el número de veces a la semana que te gustaría salir a cenar fuera. Multiplícalo por 2 y súmale 5 Multiplícalo por 50 Dependiendo de tu fecha de cumpleaños: - Si ya pasó tu fecha de cumpleaños súmale 1755 - Si aun no ha pasado suma 1754 Réstale el año de tu nacimiento incluyendo las 4 cifras. Obtuviste un número de 3 cifras: - La primera es el número de veces que pensaste al principio - La segunda ¡es tu edad!

Pues sí, puedo adivinar tu edad. ¿Estás preparado?. El truco es muy sencillo pero tienes que seguir los pasos: Coge un lápiz y un papel para hacer cuentas, quiero que practiques un poco el cálculo mental. Cierra la calculadora del ordenador…. Ahora escribe en la parte de arriba tu mes de nacimiento como un número. Por ejemplo, yo nací en mayo, por ello escribiría un 5. Ahora multiplica tu mes de nacimiento por 4, cuatro como los años que tiene esta web actualmente. Una vez hayas hecho esto, súmale al resultado 5 sea cual sea tu mes de nacimiento. ¿Ya? Multiplica el resultado por 50. Si lo piensas no es una operación complicada, sólo tendrás que multiplicar por 5 y añadir un 0 al resultado de esta multiplicación. Ahora ten cuidado pues tienes que sumar un número mágico… el 1744, no te preocupes, ahora te cuento por qué es mágico ;). Réstale a lo que te salga tu año de nacimiento con cuatro cifras, por ejemplo yo le restaría 1981. Ojo, puedes mentir en esta resta pero tienes que saber que edad tendrías si hubieras nacido en el año que restas. Una vez hecho todo esto suma 12 al resultado y espera… que me tengo que concentrar aunque en realidad ya tengo tu edad. Mira las dos últimas cifras del último número que tienes y asómbrate un poco. Es la cantidad de años que vas a cumplir o has cumplido este año. Pero hay algo más, lo que queda del número al quitar estas últimas cifras es tu mes de nacimiento multiplicado por 2. Hasta aquí es magia. Seguro que muchos queréis saber cómo lo he hecho y así debe ocurrir en cualquier clase de matemáticas en que se desarrolle este truco. En realidad este truco es una buena excusa para enseñar un poco acerca de las ecuaciones porque todo se basa en las matemáticas. Si hacéis este truco a otra persona debéis entender muy bien como funciona pues se nos acaba el año y con él la magia de este juego si no cambiáis ese número mágico del que hable. Todo comienza con dos cosas que no sé y vosotros sí. Vuestro mes de nacimiento, llamémosle MES y vuestro año de nacimiento llamémosle AÑO. Ahora vamos a hacer todas las operaciones que hemos hecho antes pero con estas cosas que no sabemos y que en matemáticas llaman incógnitas. Comenzamos multiplicando por cuatro el mes de nacimiento que es lo mismo que hacer 4*MES, al resultado le sumábamos cinco 4*MES + 5, multiplicábamos el resultado por 50, (4*MES +5)*50, antes de seguir vamos a quitar los paréntesis que no me gustan: 4*MES*50 + 5*50 = 200*MES + 250 Seguimos, a ese resultado le hemos sumado 1744: 200*MES + 250 + 1744 = 200*MES + 1994

Y pensareis que tiene que ver esto con mi edad y mi mes. Nos faltan dos operaciones, paciencia… Lo siguiente era restarle nuestro año de nacimiento: 200*MES + 1994 - AÑO Vaya… espera, espera, que nos queda una operación, sumar 12: 200*MES + 1994 - AÑO + 12 Y ahora…. tachaaan!!!: 200*MES + 2006 - AÑO Ya lo tenemos pero vamos a ponerlo más sencillo: 2*MES*100 + 2006 - AÑO 2006 - AÑO es la edad que tendremos al pasar nuestro mes de nacimiento y 200*MES da un número con dos ceros al final. Esto nos permite colocar los años que vamos a cumplir en esta posición dejando al doble del mes en primera posición. Por ejemplo yo que tendría 26 años en mayo si mis datos fueran reales tendría el siguiente número: 200*5 + 26 = 1000 + 26 = 1026. Las dos últimas cifras 26 son mi edad y las que quedan, 10, mi mes de nacimiento por dos. Hace poco me enviaron un truco por correo electrónico que adivinaba cuantos trozos de chocolate me gustaría comer y mi edad. Eso me animó mucho más a publicar este truco. Espero que os haya gustado.

AGUJEROS NEGROS NUMÉRICOS

En nuestro sistema de numeración, algunos números tienen propiedades absorbentes que los convierten en agujeros negros numéricos, pues ciertos procesos repetitivos, al llegar a dichos números, permanecen invariables. El primero número de esa clase que consideraremos es un viejo conocido, el nueve. Con él podemos realizar un entretenido juego de magia.

LA ATRACCIÓN DEL NUEVE INSTRUCCIONES Piensa una fecha cualquiera

EJEMPLO 13-oct-1955

Escríbela como si fuera un número

13101955

Ordena las cifras de mayor a menor

95531110

Ordena las cifras de menor a mayor

01113559

Resta estas dos cantidades

94417551

Suma las cifras del resultado Suma de nuevo las cifras obtenidas

36 9

El resultado final será siempre nueve. EXPLICACIÓN: Para entenderlo es preciso tener en cuenta las siguientes dos propiedades, bien conocidas y que es sencillo comprobar: 1. La resta de dos números cuyas cifras están invertidas siempre es múltiplo de nueve. 2. La suma de las cifras de un múltiplo de nueve es también múltiplo de nueve.

EL CIENTO VEINTITRÉS INSTRUCCIONES Escribimos un número arbitrario

EJEMPLO 2335839304304

Contamos el número de cifras pares,

6

De cifras impares y

7

El total de cifras Formamos un nuevo número con estos valores

13 6713

Repetimos las operaciones anteriores con el número obtenido,

134

Sucesivas veces

123

Hasta que no haya variación en el resultado.

123

Observamos que no hay forma de escapar a la atracción del número 123. EXPLICACIÓN: Un argumento sencillo que prueba el resultado es el siguiente: En primer lugar, es evidente que, si el número inicial es n > 999, una iteración conduce a un número menor que n. Repitiendo el proceso, obtenemos en un número finito de pasos un número menor que 1000. En esta situación es fácil tener en cuenta todos los casos posibles: 3 cifras pares y 0 impares, 2 cifras pares y 1 impar, 1 cifra par y 2 impares, 0 cifras pares y 3 impares. En todos los casos basta una iteración para llegar al número 123.

SALVADO POR LAS MATEMÁTICAS

Un problema clásico de matemática recreativa está basado en la leyenda del famoso historiador judío Flavio Josefo. Durante la rebelión judía contra Roma en el siglo I d.C., 40 judíos se encontraron acorralados en una cueva. Para evitar ser atrapados y convertirse en esclavos, prefirieron la muerte y decidieron formar un círculo, matándose entre ellos: el primero mataba al segundo y pasaba el arma al tercero, quien mataba al siguiente, y así sucesivamente, hasta que quedara uno solo, quien se suicidaría. Josefo rápidamente calculó el lugar que ocuparía el último superviviente, ocupó dicho lugar y escapó a la muerte. Solución: Se puede probar fácilmente que, si el número de personas es 2n, la primera de ellas será la última en eliminarse. Basta observar que, en la primera fase, se eliminan todas las personas que ocupan un lugar par. Al renumerar las restantes, se obtiene un grupo con 2n-1 personas a las que se puede aplicar el mismo proceso anterior. Cuando sólo quedan dos personas, es evidente que se elimina la número dos y queda la primera. Una sencilla variación de este argumento permite demostrar que, si se trata de un grupo de 2n + k personas, eliminamos en primer lugar las colocadas en las posiciones 2, 4, ..., 2k, para llegar a un grupo con 2n personas y ahora la primera de ellas es la que ocupaba inicialmente el lugar 2k + 1. En nuestro caso, como 40 = 25 + 8, la posición que debe ocupar el superviviente será 2 x 8 + 1 = 17. Con una baraja de cartas puede simularse el problema de Josefo mediante la llamada mezcla australiana, que ilustraremos con el siguiente efecto de magia: PREDICCIÓN A LA AUSTRALIANA 1. Selecciona una víctima (quiero decir, un colaborador), y entrégale las cartas del as al ocho, para que las mezcle. Con la excusa de comprobar si están bien mezcladas, echa un vistazo (sin que nadie te vea) a la carta superior y escríbela en una hoja de papel. Anuncia que se trata de una predicción. 2. Devuelve las cartas al espectador y pídele que realice la llamada mezcla australiana, que consiste en lo siguiente: o

Con las cartas cara abajo, se pasa la carta superior a la parte inferior del paquete.

o

La actual carta superior se deja sobre la mesa.

o

Se repiten los dos pasos anteriores, carta superior a la parte inferior, carta siguiente sobre la mesa.

o

El proceso termina cuando queda en la mano una sola carta. [Observa la similitud de este proceso con el utilizado por Flavio Josefo y sus compañeros.]

3. Al final, muestra la predicción y comprueba que coincide con la única carta que tiene el espectador. El juego puede repetirse con un número diferente de cartas. Debes practicar bien antes de realizarlo pues requiere algunas operaciones mentales. El juego consiste en lo siguiente: 1. Busca una baraja de cartas y pide a un espectador que nombre un número arbitrario. Dicho número corresponderá a la cantidad de cartas con las que va a realizarse el juego. 2. Cuenta, una a una sobre la mesa, caras arriba, tantas cartas como el número que ha seleccionado el espectador. Mientras tanto, debes hacer las siguientes operaciones secretas: o

Busca el equivalente en notación binaria del número elegido por el espectador (pongamos por ejemplo 13, que se escribe como 1101).

o

Traslada la primera cifra a la última posición (quedaría en nuestro ejemplo 1011).

o

Calcula la representación decimal del número obtenido (en este caso 1011 corresponde a 11).

o

Recuerda la carta que ocupa dicho lugar en el montón de cartas que vas dejando sobre la mesa. Esta será la carta que adivinarás.

3. Recoge el montón de cartas. Anuncia que harás una predicción y escribe en una hoja de papel la carta que has recordado durante el proceso anterior. 4. Realiza la llamada mezcla australiana, que consiste en lo siguiente: o

Con las cartas cara abajo, se pasa la carta superior a la parte inferior del paquete.

o

La actual carta superior se deja sobre la mesa.

o

Se repiten los dos pasos anteriores, carta superior a la parte inferior, carta

siguiente sobre la mesa. o

El proceso termina cuando queda en la mano una sola carta.

5. Comprueba que la carta de la mano es la carta que habías predicho anteriormente.

Nota: Un método más sencillo para saber la carta que debes recordar es el siguiente: •

Calcula la diferencia entre el número indicado por el espectador y la potencia de dos más próxima a dicho número (en el ejemplo citado, 13 - 8 = 5).

•

Multiplica por dos dicho número y suma uno al resultado (con lo que se obtiene 5 · 2 + 1 = 11). Dicho valor corresponde a posición de la carta que debes recordar.

•

Si el número indicado por el espectador ya es una potencia de dos, la primera carta será la que debes recordar.

Adivinación con tres dados. Pide a un espectador que, mientras tú estás de espaldas, lance tres dados. A continuación debe realizar las siguientes sencillas operaciones aritméticas: •

Multiplicar el resultado del primer dado por 2.

•

Sumar 5 al resultado obtenido.

•

Multiplicar por 5.

•

Añadir el resultado del segundo dado.

•

Multiplicar por 10.

•

Añadir el resultado del tercer dado.

Pide ahora que te diga el resultado final. Si restas 250 a este número, obtendrás un número de tres cifras que corresponden a los valores obtenidos en los tres dados. 2. Lectura del pensamiento. Entrega a un espectador tres dados y, mientras estás de espaldas, pídele que los lance y coloque los dados en una fila. A continuación debe escribir el número de tres cifras que corresponde a los valores obtenidos. A continuación del número debe escribir, en el mismo orden, el número de tres cifras correspondiente a los valores de la parte inferior de los dados. Resulta así un número de seis cifras. Pide al espectador que divida dicho número por 111, reste 7 y te comunique el resultado final. Con este resultado puedes adivinar los valores iniciales de los dados. Basta dividir por 9 el número indicado por el espectador. 3. Visión oculta. Pide a un espectador que coloque tres dados uno encima de otro, formando una torre. Casi inmediatamente, puedes adivinar la suma de las caras ocultas, la inferior y las cuatro caras en las que los dados se tocan. Para ello simplemente debes realizar la resta entre 21 y el valor superior de la torre. Puedes repetir el truco con cuatro dados pero, en este caso, habrá que restar 28 menos el valor superior.

4. El número secreto. Contigo de espaldas, un espectador lanza tres dados y suma los valores obtenidos. A continuación coge uno de los dados y suma al resultado anterior el valor de la cara inferior

de dicho dado. Por último lanza de nuevo el dado elegido y suma al total anterior el valor obtenido. Al volverte cara al público puedes anunciar inmediatamente la suma final. Simplemente debes sumar 7 a la suma de los valores que muestran los dados. 5. La magia del cinco. Entrega dos dados a un espectador y, contigo de espaldas, pídele que realice las siguientes operaciones: Lanzar uno de los dados, multiplicar por dos el valor obtenido, sumar 5 al resultado y multiplicar por 5. Lanzar el segundo dado y sumar el valor obtenido al resultado anterior. Una vez conocido el resultado, puedes adivinar los valores de los dados simplemente restando 25 al número indicado por el espectador

LA MAGIA DEL 9 Introducción Siempre que utilizamos en clase algún recurso como juegos, pasatiempos, vídeos, prensa, historia de la matemática, materiales para manipular, etc. pretendemos interesar a los alumnos en la materia para que trabaje con ella. Uno de los recursos con los que se puede conseguir ese objetivo es la magia. Muchos trucos de magia se fundamentan en conceptos matemáticos: Reglas numéricas, combinaciones de orden, misteriosas reparticiones geométricas, aplicaciones topológicas sencillas, etc. Por ello, esos trucos pueden ser utilizados en clase, ya que abarcan parte del temario que tenemos que desarrollar. Utilizar los trucos de magia tiene una serie de ventajas. Por un lado, motiva poderosamente a los alumnos ya que cuando se les hace un truco, inmediatamente muestran interés por conocer cómo puede hacerse. Gracias a lo anterior, y si nuestros alumnos lo permiten, podemos profundizar en las propiedades matemáticas que fundamentan la explicación del truco. Puede servir además para que los alumnos investiguen en esa línea y se inventen trucos parecidos. Cualquier truco de magia favorece, además, el cálculo mental por parte del alumno, algo que cada vez es más difícil de conseguir. Por otro lado, el descubrir que en una actividad tan lúdica y a simple vista tan alejada de la ciencia como es la magia, existe relación con las matemáticas, refuerza la idea de que la matemática está mucho más presente en el mundo cotidiano que nos rodea de lo que los alumnos creen. En este artículo mostramos algunos trucos basados en un contenido matemático tradicional en nuestras clases, la divisibilidad por 9. Vamos a presentar el truco, explicar cómo se ejecuta por parte del mago y desarrollar todo el contenido algebraico que fundamenta su realización. De esa forma el profesor que quiera utilizarlos puede decidir el grado de profundización con que los tratará en sus clases, según los alumnos que tenga.

Restar un múltiplo de 9 El mago le pide a un espectador que realice las siguientes acciones: •

Piense un número de dos cifras.

•

Multiplique el número anterior por diez.

•

Elija un múltiplo de nueve cualquiera que sea menor de 90.

•

Reste ese múltiplo del resultado de multiplicar por 10 el número pensado.

•

Por último le indica al mago el resultado de la diferencia y el mago enseguida descubre cuál era el número inicial.

Para hallar ese número lo único que debe hacer el mago es quitar la cifra de las unidades y sumársela al número que queda. Lo asombroso de este truco es que el múltiplo de 9, que de forma aleatoria elige el espectador y que el mago no llega a conocer nunca, es innecesario para descubrir el número pensado inicialmente. Por ejemplo, si el espectador piensa en el número 43 y después elige como 430 múltiplo de 9 el 72, la operación realizada da como resultado 358. Si ahora 72 = quitamos la última cifra y se la sumamos a lo que queda 35 + 8 = 43 nos da el 358 número original. Como hemos dicho, este proceso es independiente del múltiplo de 9 que se utilice (puede probarse en el caso anterior con otros múltiplos). Vamos a ver por qué. La explicación es fácil. Si x es el número pensado, se multiplica por 10 y se le resta 9a (siendo a<10), lo que se ha hecho es 10x - 9a; si sumamos y restamos “a” obtendremos 10x - 9a – a + a = 10x - 10a + a = 10(x-a) + a Si quitamos la última cifra del número (que a la fuerza debe ser “a”) y consideramos las dos primeras como un número de dos cifras, es como si dividiésemos por 10, por lo que nos quedaría x-a. Luego si ahora le sumamos “a” nos queda el número inicial x. Pudiera darse el caso de que el número que se le dice al mago sea sólo de dos cifras en lugar de tres (eso ocurre si el número que piensa el espectador es menor que 19 y le resta un múltiplo de 9 grande), entonces, siguiendo la explicación anterior, basta sumar las dos cifras. La cifra tachada Un espectador piensa un número de cuatro cifras y calcula la suma de esas cuatro cifras. A continuación le resta al número pensado el valor de la suma. Luego tacha una de las cifras (que no sea un cero) del resultado de la resta y le dice al mago las cifras restantes en el orden que quiera. Inmediatamente el mago indica cuál ha sido la cifra tachada. La justificación de este truco se basa en la divisibilidad por 9. Si a un número cualquiera se le resta la suma de sus cifras, el resultado siempre es un múltiplo de 9. La demostración es inmediata. Si consideramos el número abcd = 1000a + 100b + 10c + d la operación que hacemos es (1000a + 100b + 10c + d) - (a + b + c + d) = 999a + 99b + 9c

Por lo tanto, si se tacha una de las cifras de ese número, el mago sólo debe sumar mentalmente las cifras que se le van diciendo y cuando lo tenga, basta con buscar qué cantidad falta para que esa suma sea múltiplo de 9. Esa cantidad es la cifra tachada. Por ejemplo, si se ha pensado el 5293 se realiza la operación 5293 - 19 = 5274, si ahora tachamos el 7 y sumamos las demás cifras 5 + 2 + 4 = 11 nos faltan 7 unidades para el siguiente múltiplo de 9, luego ese es el número tachado. Podría darse el caso de que al sumar las cifras resultantes, nos saliese directamente múltiplo de 9, entonces la cifra tachada tendría que ser un 9 (otra posibilidad sería el 0, pero eso lo hemos descartado de principio). Este truco puede presentarse también de otra forma. Se le pide al espectador que piense un número de cuatro cifras donde no sean todas iguales, a continuación debe reordenar de distinta manera las cifras para obtener otro número, y restar los dos números. Con la diferencia hace lo mismo que en el caso anterior. Es decir, si parte de 5293 podría escribir el 2539 y al efectuar la diferencia obtendríamos 5293 – 2539 = 2754, que vuelve a ser múltiplo de 9. El resultado 1089 Hay una curiosidad numérica clásica, fácil de encontrar en muchos libros de matemática recreativa, que es conseguir el número 1089. Tanto al final como en sus pasos intermedios puede servir como un buen truco de magia y para trabajar en clase conceptos algebraicos. Tan aficionados que solemos ser a los ejercicios algebraicos en los que queremos encontrar un número de tres cifras que al cambiar las unidades y las centenas entre sí la diferencia tiene un cierto valor, veremos que aquí podemos trabajar lo mismo de una forma más atractiva, igual que hemos visto en el caso anterior. Un espectador escoge un número de tres cifras que no sea capicúa, cambia entre sí la primera y última cifra y resta los dos números obtenidos. Si el espectador le indica al mago la primera o última cifra, éste puede saber inmediatamente cuál es el resultado de la diferencia. Si por ejemplo piensa en el 429, debe realizar la resta 924 – 429 = 495. El resultado de esa resta es un múltiplo de 9 (por las razones vistas en el apartado anterior) con la característica de que la cifra de las decenas es siempre 9 y la suma de las unidades y las centenas vale también 9. Veámoslo algebraicamente. Si se piensa en el número abc (supongamos que a>c) entonces abc – cba = (100a +10b + c) – (100c + 10b + a) = 99a – 99c = 99(a-c). Supongamos que a – c = x. Vamos a demostrar que 99x es un número de tres cifras, donde la cifra de las decenas es 9 y la suma de las unidades y las centenas también es 9.

99x = 100x – x =100(x-1) + 100 – x = 100(x-1) + 90 + 10 – x En esta expresión la cifra de las centenas es x–1, la de las unidades 10–x (luego su suma da 9) y la de las decenas es 9. Podemos seguir con el truco. Si al número que se ha obtenido al restar los dos números originales se le vuelve a cambiar la primera y última cifra y se suman los dos últimos números, siempre se obtiene como resultado 1089. A partir de lo anterior podemos demostrarlo rápidamente: [100(x–1) + 90 + 10 – x ] + [100(10–x) + 90 + x – 1] = 100(x–1+10–x) + 180 + 10 – x + x – 1 = 900 + 180 + 9 = 1089. Los cuatro ases Dentro de la magia los trucos con cartas suelen ser muy atractivos, no en vano dan lugar a una disciplina particular, la cartomagia. Entre los trucos matemáticos son también muy interesantes, pues aunque estemos trabajando con números (ya que contamos y ordenamos constantemente) no es tan evidente que los sostiene un fundamento matemático. Para el primer truco el mago debe tener preparadas las cartas como indicaremos más adelante y realizar las siguientes acciones. El mago saca cuatro voluntarios y les indica que piensen un número entre el 10 y el 20 (menor que este último). Le pide el número pensado al primer espectador y va colocando tantas cartas del mazo como ese número indique, una a una, sobre un montón en la mesa. Al acabar se da cuenta que no va a tener cartas para todos, entonces le pide al espectador que sume las cifras de su número y retira del montón de la mesa tantas cartas como la suma, colocándolas una a una sobre el mazo que tiene en la mano. La última carta que quedaba en el montón de la mesa se la entrega, sin que se vea, al espectador y el montón que quedaba sobre la mesa lo vuelve a colocar sobre el mazo. Repite la misma operación con los otros tres espectadores y al acabar el número, los voluntarios del público muestran sus cartas y resulta que tienen los cuatro ases de la baraja. El truco se basa en cómo tenemos preparadas las cartas y en lo que vimos antes de que si a un número le restamos la suma de sus cifras, el resultado es siempre un múltiplo de 9. Como hemos elegido número menores que 20, el resultado de la resta es siempre 9. Es decir, nosotros vamos a entregar siempre la novena carta desde el principio del mazo, independientemente del número que haya elegido el espectador. Por lo tanto, sólo tenemos que preparar las cartas, antes de comenzar, de forma que los cuatro ases ocupen los lugares 9, 10, 11 y 12 desde el principio del mazo.

Los dos montones Se entrega una baraja francesa de póquer o una baraja española con ochos y nueves (de forma que haya por lo menos 48 cartas) a un espectador, se le pide que baraje a placer y que realice las siguientes acciones. •

Divida el mazo en dos montones de aproximadamente la misma cantidad de cartas (no es necesario que sean exactamente la misma cantidad).

•

Elija uno de los dos montones y cuente de forma secreta el número de cartas de ese montón.

•

A continuación sume las dos cifras del número de cartas y retire del montón elegido tantas cartas como indique esa suma, colocándolas sobre el otro montón.

•

Después, tome la primera carta del montón que tiene en la mano y la mire para recordarla más tarde.

•

Coloque la carta que ha visto sobre el mazo de la mesa y encima de todo el montón que aún le queda en la mano.

•

Por último entregue el mazo al mago que enseguida descubre cual era la carta que el espectador había mirado.

El truco se vuelve a basar en la divisibilidad de 9. Como en cada montón hay alrededor de 25 cartas, si le quitamos tantas como la suma de las cifras, nos queda el anterior múltiplo de 9. Es decir, al acabar el paso c siempre nos quedará en la mano un total de 18 cartas. Por lo que cuando le entreguen el mazo basta que cuente hasta la carta 18 para hallar la carta buscada. También se puede completar el truco escribiendo una frase que tenga 18 letras como por ejemplo “El gran Mago Santonji” y pedirle al espectador o a otra persona que deletree la frase mientras va apartando cartas del mazo. La última carta quitada será la buscada. Bibliografía Para encontrar los trucos anteriores y muchos más pueden consultarse las siguiente referencias: BOLT, Brian (2001): “La magia de las matemáticas”, SUMA, nº 36, pp. 5-15. BRACHO, Rafael (1999): Actividades recreativas para la clase de Matemáticas, Consejería de Educación y Ciencia de la Junta de Andalucía, Delegación Provincial de Córdoba. GARDNER, Martin (1992): Magia inteligente, Zugarto ediciones, Madrid. LANDER, Isidoro (1989): Magia Matemática, Labor, Barcelona.

MUÑOZ, J.; HANS, J. A. y FERNÁNDEZ-ALISEDA, A. (2003): “La magia también se nutre de matemáticas”, en Actas de las X Jornadas para el Aprendizaje y Enseñanza de las Matemáticas, Zaragoza, pp. 801-805. MUÑOZ, J.; HANS, A. y FERNÁNDEZ-ALISEDA A. (2003): “Matemáticas y magia”, en Actas de III Jornadas Provinciales de Matemáticas, Madrid, pp. 113-128. MUÑOZ SANTONJA, José (2003): Ernesto el aprendiz de matemago, Nivola, Madrid. PERELMAN, Ya I. (1983): Problemas y experimentos recreativos, Mir, Moscú.

Autor: grupo Alquerque. Sevilla

CUADRATURAS DE POLÍGONOS REGULARES

Introducción Si nos remontamos en la historia de la matemática hasta llegar a los antiguos griegos, nos encontramos con que en esa época los maestros se reconocían por los pocos elementos que necesitaban para solucionar los problemas; por ejemplo, en Geometría era obligatorio utilizar, solamente, regla no graduada (para trazar rectas) y compás. Esta restricción llevó a los matemáticos a estrellarse frente a los tres problemas clásicos de la matemática griega: La trisección del ángulo: dividir un ángulo cualquiera en tres partes iguales. Arquímedes (287-212 a.C.), encontró un método que trisecaba muchos ángulos, pero fallaba en otros. La duplicación del cubo: dado un cubo cualquiera construir otro cubo que duplique el volumen del primero. El Oráculo de Apolo, en Delfos, planteó este problema a Pericles (459-429 a.C.) indicando que la epidemia de peste que asolaba Atenas sólo desaparecería si se duplicaba el volumen del altar cúbico de Apolo. La cuadratura del círculo: construcción de un cuadrado que tenga el mismo área que un círculo dado. La primera referencia conocida sobre este problema se debe a Anaxágoras (499-428 a.C.) Hasta el siglo XIX no se llegó a demostrar la imposibilidad de resolver esos tres problemas con regla y compás, aunque tienen solución por otros métodos. Puzzles de cuadraturas Desde tiempo inmemorial, los puzzles y rompecabezas han ocupado un lugar primordial entre los juegos predilectos de todas las edades. En relación con las Matemáticas, muchas divisiones de figuras han estado en la base de materiales, tanto en su aspecto lúdico para jugar, como para utilizarlos didácticamente. Existen muchos puzzles, conocidos desde hace tiempo, y que no por ello pierden su atracción. Basta citar, como muy popular, el Tangram Chino. Otro gran bloque lo constituyen las disecciones del Teorema de Pitágoras, como la muy conocida de Henry Perigal. Los problemas geométricos de disección plantean la partición de figuras geométricas en trozos de forma que al unirse se obtengan otras figuras geométricas. En este artículo vamos a presentar unos casos particulares de disecciones geométricas: las cuadraturas. Consideraremos como cuadraturas a las divisiones que hay que realizar en una figura

plana (por ejemplo un polígono regular) de forma que con las piezas obtenidas pueda construirse un cuadrado. El aspecto más matemático es conseguir dividir la figura con la que estemos trabajando utilizando regla y compás. Ante la dificultad que ello supone se suelen presentar las divisiones ya hechas, de forma que se trabaje como si fuese un puzzle, es decir, el objetivo es pasar de una figura a otra. La primera pregunta que se puede plantear es: ¿qué polígonos regulares podremos cuadrar? La cuadratura del triángulo Una primera aproximación a la respuesta viene dada por el especialista inglés en juegos Henry Ernest Dudeney (1857-1930), quien estudió la cuadratura del triángulo equilátero, presentando en 1905 en la Real Sociedad de Londres, un modelo construido en caoba. Con regla y compás, como exigían los antiguos griegos, Dudeney encontró la manera de dividir un triángulo equilátero en cuatro piezas que forman también un cuadrado. En su diseño podemos seguir los siguientes pasos: 1. Dibujar el triángulo equilátero ABC. 2. Obtener los puntos medios de AB y BC (serán los puntos D y E). 3. Prolongar AE hasta F, para que EF= EB. 4. Hallar el punto medio de AF (será el punto G). 5. Con centro en G dibujar el arco AF. 6. Prolongar EB hasta cortar el arco, obteniendo el punto H. 7. Con centro en E dibujar un arco de radio EH. Llamar J al punto en que corte al lado AC. 8. Trazar el segmento JE. 9. Sobre la base AC del triángulo marcar K, de forma que JK = BE. 10. Dibujar las perpendiculares sobre JE desde D y K, obteniendo los puntos L y M. 11. El triángulo queda dividido en cuatro piezas: los tres cuadriláteros BELD, DLJA y ECKM y el triángulo JMK, con las que podemos formar un cuadrado.

Esta cuadratura del triángulo equilátero es quizás la más conocida, hasta el punto de que se puede encontrar en anuncios publicitarios, e incluso su estructura ha sido tomada por el diseñador Maty Gronberg para presentar la mesa que aparece en la imagen (tomada de El País Semanal de 30-08-87), y que tiene la virtud de poder usarse como mesa triangular o cuadrangular según las necesidades.

Cuadraturas de otros polígonos regulares Con la intención de no extender en demasía este artículo incluiremos otras cuadraturas sin especificar la construcción completa con regla y compás. Para trabajar con ellas basta copiar los dibujos, recortarlos y jugar con las piezas obtenidas como un puzzle cualquiera. Cuadratura del pentágono: Existen varias divisiones del pentágono que después de reordenar las piezas dan lugar a un cuadrado. Nosotros reseñamos aquí una realizada también por Dudeney.

Cuadratura del hexágono: Del hexágono también existen varias divisiones. Os mostramos una de ellas.

Cuadratura del octógono: Esta es una de las divisiones más simples, pues se parte de cuatro piezas iguales, que según como se coloquen alrededor del cuadrado central dan lugar al octógono o al cuadrado.

A la pregunta que hacíamos sobre qué polígonos admiten una cuadratura responde el teorema de Wallace-Bolyai-Gerwein: Dados dos polígonos de igual área existe una disección de uno en un número finito de piezas poligonales que recubre exactamente el otro. La demostración se puede encontrar en http://bayledes.free.fr/decoupage/index.html.

Luego todos los polígonos se pueden cuadrar, el interés radica ahora en encontrar cuadraturas con el mínimo número de piezas o que sean especialmente “bellas” (por la forma de sus piezas, su simetría…). Cómo trabajar estos puzzles en clase Una primera forma de utilizar este material es directamente como puzzle. Es decir, entregar las piezas troqueladas a los alumnos y pedirles que construyan por un lado el cuadrado y por otro el polígono que le corresponda. Este planteamiento es muy atractivo y motivante para quien se enfrenta a ese reto. Nosotros lo hemos comprobado trabajando en los salones de juegos o al realizar la actividad de Matemáticas en la Calle. También puede plantearse Matemáticas y Tecnología, completo (ángulos, piezas, preferentemente en madera sin deformarse por su uso.

esta actividad como línea de trabajo interdisciplinar entre de forma que en Matemáticas se realice el estudio teórico divisiones, etc.) y en Tecnología se construya el puzzle, o algún material rígido que permita su manipulación posterior

En aquellas cuadraturas más simples, puede trabajarse también con regla y compás para encontrar las divisiones, con lo que el aspecto interdisciplinar se ampliaría a la asignatura de Educación Plástica y Visual. Igual que en otros puzzles que se utilizan en la clase de Matemáticas, es posible tratar conceptos geométricos. Por ejemplo, manipulamos dos piezas (polígono original y cuadrado) que tienen la misma área, pero que en general tienen distinto perímetro. El problema es que al calcular los perímetros suelen aparecer medidas irracionales. También es interesante el estudio de los ángulos que aparecen en las divisiones del polígono inicial. Si necesitamos reconstruir un cuadrado, en las divisiones deben aparecer cuatro ángulos rectos, bien directamente o por composición. Como puede apreciarse por lo anterior, con este tipo de material puede abarcarse todos los niveles que se den en la clase, desde el de los alumnos que se quedan en intentar componer la figura, hasta el de los que trabajan con números irracionales para estudiar el perímetro.

Bibliografía BOLT, B, (1989): Divertimentos matemáticos. Editorial Labor. Barcelona. BOLT, B, (1989): Aún más actividades matemáticas. Editorial Labor. Barcelona. DUDENEY, H. E. (1995): Los gatos del hechicero y nuevas diversiones matemáticas. Zugarto ediciones. Madrid. FREDERICKSON, Greg (1997): Dissections: Plane & Fancy. Cambridge University Press. ISBN 0-521-57197-9

HANS, J. A.; MUÑOZ, J.; FERNÁNDEZ-ALISEDA, A. ; BLANCO, J y ALDANA, J. (2003): "Rompecabezas del Teorema de Pitágoras", Suma, nº 43, junio, Zaragoza, pp. 119-122. Autor: grupo Alquerque. Sevilla

A continuación las plantillas para realizar las cuadraturas:

STOMACHION. EL CUADRADO DE ARQUÍMEDES

Introducción A cualquier persona que haya tenido alguna vez relación con los puzzles conocidos por el nombre de tangram, enseguida se le viene a la cabeza una figura geométrica dividida en trozos que permiten recomponer la forma original, y a la vez, construir una gran variedad de imágenes, en general de objetos diversos, pero también de elementos geométricos. Usualmente la figura de la que se parte es un cuadrado, pero también existen tangram que provienen de triángulos, rectángulos, hexágonos, círculos, e incluso de figuras más curiosas como el tangram de huevo o el tangram corazón (ver Alsina, Burgues y Fortuny; 1988). Indudablemente dentro de estos puzzles geométricos el más conocido es el Tangram Chino, que nos ha hecho pasar buenos ratos y que para nosotros como profesores es un excelente recurso didáctico ya que nos permite trabajar con nuestros alumnos muchos bloques temáticos del currículo de Matemáticas: fracciones, porcentajes, números irracionales, longitudes, áreas… hasta demostrar un caso particular del teorema de Pitágoras. Todos los puzzles citados tienen una buena aplicación educativa, pues el mero hecho de realizar figuras obliga a manejar conceptos de equivalencia de áreas, simetrías, descomposición de una figura en piezas menores, suma de longitudes, etc. A lo largo de los siglos XIX y XX muchas personas se han dedicado a crear tangram de todo tipo, como por ejemplo el conocido creador de juegos norteamericano Sam Loyd. Por ello puede llegar a pensarse que estos puzzles geométricos son relativamente recientes; sin embargo, con estas páginas queremos mostrar que eso no es cierto. En este artículo presentamos el rompecabezas más antiguo (del tipo tangram) del que se tiene referencia escrita, y cuyo autor no es otro que el conocido matemático griego Arquímedes. Se le conoce por “Stomachion” (en los textos griegos), "Syntemachion" o "Loculus de Arquímedes" (en los textos latinos). La historia del Stomachion Este puzzle geométrico se describe en trozos de manuscritos con copias de obras de Arquímedes de Siracusa (287 a.C.-212 a.C.), correspondientes a un tratado que lleva ese nombre: Stomachion. De todos es conocido que la mayoría de los escritos de los sabios griegos han sufrido grandes avatares para llegar a nuestros días. En general nos han llegado trozos que son copias de copias y que a lo largo de estos 22 siglos han ido apareciendo y desapareciendo misteriosamente como es el caso del “Palimpsesto” (un palimpsesto es un pergamino en el que el texto original ha sido lavado para poder escribir de nuevo sobre él). Este manuscrito

sufrió la escasez de papel típica del siglo XIII y en un afán de reutilización, de sus hojas se “lavaron” los textos que contenía, copiados en el siglo X, entre los que estaba la única copia de El Método, para escribir encima rezos y lecturas religiosas. Después de siglos de uso, el manuscrito acabó en la biblioteca de un monasterio de Constantinopla. Johan Ludvig Heiberg, filólogo y erudito danés, lo encontró en 1906 en la biblioteca de la iglesia del Santo Sepulcro en Estambul. Y descubrió que debajo de los textos religiosos había símbolos matemáticos escritos en griego antiguo. Con lupa y fotografía transcribió gran parte de lo que contenía: una copia de los tratados de Arquímedes. Después el manuscrito volvió a perderse hasta los años 70, en que aparece en manos de una familia francesa, que lo vende en 1998 a un millonario americano por 2 millones de dólares. El manuscrito está actualmente depositado en el museo de Baltimore (Estados Unidos). Entre todos los trabajos de Arquímedes, el Stomachion ha sido al que menos atención se le ha prestado. Todo el mundo pensaba que era un rompecabezas para niños, por lo que no tenía ningún sentido ni se encontraba explicación que interesará a un hombre como él. El historiador de las Matemáticas Dr. Reviel Netz después de estudiar el Palimpsesto descubrió la razón de por qué este rompecabezas está junto a otros escritos de Arquímedes tan importantes como El Método donde las Matemáticas y la Física son genialmente relacionadas. El Dr. Netz expone, después de traducir e interpretar los escritos de Arquímedes, que el Stomachion es utilizado por Arquímedes para escribir un tratado de Combinatoria (otros matemáticos que estudiaron los escritos de Arquímedes no podían pensar que en la antigua Grecia se tuviera conocimientos de Combinatoria, campo de las Matemáticas que despega con la llegada de la Informática). El Dr. Netz afirma que Arquímedes no pretendía ensamblar las piezas de cualquier forma, sino que su trabajo va en la dirección de encontrar respuesta a la siguiente pregunta: ¿de cuántas maneras se pueden juntar las 14 piezas para formar un cuadrado?, contrastándola con el objetivo de la Combinatoria que es determinar las distintas maneras en que puede ser solucionado un problema dado. El Dr. Netz encargó a un grupo de expertos que trabajaran para encontrar la solución al reto que se planteaba Arquímedes, las maneras de unir las piezas de forma que se consiguiera un cuadrado. El Dr. Guillermo H. Cutler, informático, diseñó un programa para que su ordenador diera la solución al problema planteado. En noviembre del 2003, el Dr Cutler encontró las 536 maneras distintas de juntar las 14 piezas para formar un cuadrado, sin tener en cuenta las soluciones equivalentes producidas por las rotaciones, reflexiones o conmutaciones de piezas idénticas. El rompecabezas Stomachion El puzzle consiste en la disección de un cuadrado en 14 piezas poligonales: 11 triángulos, 2 cuadriláteros y un pentágono (Ver figura 1).

Figura 1: Puzzle Stomachion

A simple vista puede parecer que la división de las piezas es muy complicada, pero si superponemos una cuadrícula (procedimiento muy adecuado para trabajar con los tangram) veremos que la dificultad va disminuyendo. Basta incluir la disección del cuadrado en una cuadrícula de 12 unidades de lado para que se cumplan las siguientes propiedades: 1) Los vértices de todas las piezas son puntos de la cuadrícula, como se pueden ver en el dibujo de la figura 2.

Figura 2: Puzzle Stomachion sobre cuadrícula

2) La superficie de cada pieza corresponde a un número entero de cuadrados unidad en los que está dividida la cuadrícula, según se observa en la figura anterior. De la misma figura 2 puede obtenerse fácilmente qué fracción de la superficie total del cuadrado corresponde a cada pieza. Podemos verlo en la figura 3.

Figura 3: Fracciones de las distintas piezas Los datos de las piezas están reunidos en la siguiente tabla: Número de piezas

Tipo de las piezas

Área de cada pieza

Fracción del cuadrado

2

Triángulos

3 u.

1/48

4

Triángulos

6 u.

1/24

1

Triángulo

9 u.

1/16

4

Triángulos

12 u.

1/12

1

Cuadrilátero

12 u.

1/12

1

Pentágono

21 u.

7/48

1

Cuadrilátero

24 u.

1/6

14

Total del cuadrado

144 u.

Aplicación didáctica Lo interesante es cómo utilizar este puzzle en clase. Nosotros vamos a comentar aquellos aspectos que hemos tratado con los alumnos (algunos de ellos sacados de la documentación que hemos conseguido encontrar). 1) En primer lugar es interesante hacer una pequeña introducción histórica, sobre todo a su creador, Arquímedes, insistiendo en la importancia que daba a aplicar la matemática para resolver los problemas de la vida cotidiana (aunque en su época lo cotidiano fuese ser invadido por los romanos). 2) Como ya hemos hablado en otros artículos de esta sección, un aspecto importante es el diseño y construcción del puzzle en materiales diversos (cartón, panel, cartón pluma, acetato, etc.). Este aspecto puede ser tratado en colaboración con los compañeros de Tecnología, ya que puede representar un atractivo proyecto para cualquier curso. 3) Una de las primeras formas de enfrentarse al puzzle es intentar reconstruir el cuadrado a partir de las piezas diseccionadas. Podemos asegurar que si no se tiene alguna solución por delante este reto es muy complicado y en su desarrollo hay que aplicar muchos procedimientos matemáticos, sobre todo para ir completando ángulos rectos y uniendo longitudes de forma que aparezcan los lados del cuadrado. Y eso a pesar de existir 536 soluciones según comentamos antes. Algunas de esas soluciones podemos verlas a continuación.

Figura 4: algunas soluciones del Stomachion

4) En el desarrollo del trabajo es posible utilizar el teorema de Pick para calcular o verificar el área de cada pieza, o bien intentar deducirlo. Recordemos que George Alexander Pick fue un matemático austriaco que nació en Viena en 1859 y murió, en un campo de concentración nazi, alrededor de 1943. El teorema de Pick dice que si un polígono P tiene sus vértices en una cuadrícula entonces su área es A = 1/2b + i –1, siendo b el número de puntos de la cuadrícula del borde poligonal e i el número de puntos interiores. Veamos un ejemplo. La pieza de área 24 unidades cuadradas está representada en la figura siguiente. El número de puntos de la cuadrícula del borde poligonal es 14 y el número de puntos interiores 18. Por tanto: A = 1/2b + i –1 = (1/2) · 14 + 18 – 1 = 24

Pieza de 24 puntos Si se pretende deducir la fórmula de Pick sería interesante mandar construir una tabla con todas las piezas, sus áreas (que están indicadas en la figura 2), el número de puntos del borde poligonal y el número de puntos interiores, y a partir de ahí intentar hallar la relación que cumplen. 5) Se pueden establecer relaciones entre las distintas piezas ordenándolas según su área. Esta actividad, que en el Tangram Chino es casi trivial, en esta ocasión presenta mayor dificultad. Por supuesto es necesario calcular previamente las áreas utilizando la cuadrícula de la que hablamos al principio. 6) Como se puede apreciar, entre las piezas hay triángulos acutángulos, rectángulos y obtusángulos, por lo que es muy interesante estudiar los ángulos de cada una de las piezas. Y comprobar, además, cómo se complementan unos con otros. 7) Se pueden componer figuras poligonales cuyas áreas correspondan a las fracciones del cuadrado con denominador 48 (se pueden obtener todas las fracciones desde 1/48 hasta la unidad). 8) Es interesante obtener las longitudes de los lados de las piezas, utilizando la figura 2 y considerando el cuadrado de lado unidad. Enseguida aparecerán números irracionales.

9) Es posible realizar composiciones con un número determinado de piezas de forma que las superficies que se consigan tengan determinadas propiedades numéricas. Antes de comenzar a trabajar con las piezas necesitamos estudiar esas propiedades para saber qué áreas tendrán las figuras resultantes. A continuación ponemos ejemplos de las que conocemos: •

Reparte las 14 piezas del Stomachion para formar dos triángulos que tengan la misma superficie.

•

Reparte las 14 piezas del Stomachion para formar dos triángulos escalenos que la superficie de uno sea doble que la del otro.

•

Reparte las 14 piezas del Stomachion para formar dos triángulos escálenos que la superficie de uno sea triple que la del otro (el pequeño es un triángulo escaleno rectángulo).

•

Reparte las 14 piezas del Stomachion para formar tres triángulos (A, B y C) de manera que la superficie de C sea triple y la de B sea doble que la de A.

•

Reparte las 14 piezas del Stomachion para formar tres polígonos de manera que tengan la misma superficie.

•

Reparte las 14 piezas del Stomachion para formar cuatro polígonos de manera que tengan la misma superficie.

•

Reparte las 14 piezas del Stomachion para formar seis polígonos de manera que tengan la misma superficie.

•

Si la superficie del cuadrado es de 144 unidades cuadradas, haz las siguientes composiciones:

•

- Reparte las 14 piezas del puzzle para formar tres polígonos de manera que sus superficies sean tres números múltiplos de 12.

•

- Reparte las 14 piezas del puzzle para formar cinco triángulos de manera que sus superficies sean cinco números múltiplos de 6.

•

Reparte las 14 piezas del puzzle para formar dos cuadrados iguales y un pentágono cóncavo.

10) Con las piezas del Tangram Chino es posible construir una serie de polígonos convexos y con las piezas del Stomachion ocurre igual. Se pueden construir triángulos, cuadrados, rombos, rectángulos, romboides, trapecios, trapezoides, pentágonos, hexágonos… A continuación tenemos algunas posibilidades.

11) Igual que en la mayoría de tangram, con las piezas del Stomachion, se pueden construir figuras no propiamente geométricas simulando a personas, animales y objetos. La cantidad depende del ingenio del que maneje el puzzle.

Pájaro en vuelo

Corona

Elefante

Por último queremos comentar un aspecto que puede desarrollar este puzzle, aunque nosotros no hemos llegado a ponerlo en práctica. Alrededor del rompecabezas puede organizarse una actividad interdisciplinar coincidiendo con alguna fecha señalada (semana cultural, final de trimestre, etc.) ya que pivotando en torno a la figura de Arquímedes hay muchos departamentos que podrían coordinarse para hacer algo en común. Se nos ocurre al menos las áreas de Matemáticas, Tecnología, Educación Plástica, Historia y Cultura Clásica.

Bibliografía ALSINA, C.; BURGUES, C. y FORTUNY, J. (1988): Materiales para construir la Geometría, Síntesis, Madrid. TORIJA HERRERA, R. (1999): Arquímedes. Alrededor del círculo, Editorial Nivola, Madrid. http://www.maa.org/editorial/mathgames/mathgames_11_17_03.html Página de The Mathematical Association of America donde se pueden encontrar las 536 soluciones distintas.

Autor: grupo Alquerque. Sevilla

ROMPECABEZAS DEL TEOREMA DE PITÁGORAS

INTRODUCCIÓN Sin duda, el matemático más conocido en nuestro tiempo por las personas que no tienen una relación corriente con las matemáticas es Pitágoras (aunque algún alcalde de ciudad importante piense que no haya hecho mucho por ella). Quizás de su vida se conozca poco, no se sepa en qué época vivió, cuáles fueron sus estudios, pero lo que es indudable es que todo el mundo conoce el teorema que lleva su nombre, e incluso personas que perdieron hace mucho tiempo su relación con la escuela son capaces de repetir su enunciado. Aparte de las comprobaciones numéricas y demostraciones algebraicas, existe una gran variedad de demostraciones geométricas, que pueden aprovecharse para montar juegos de rompecabezas. El Teorema de Pitágoras era conocido antes que él por babilonios, hindúes, chinos o egipcios (al menos para ciertos triángulos rectángulos) y ha recibido a lo largo de la historia nombres muy significativos. Por ejemplo los hindúes lo llamaban el Teorema de la Silla de la Esposa. En la Edad Media se conocía como Teorema Maestro de la Matemática pues todo aquel que deseaba acceder a la categoría de maestro en matemáticas debía presentar una demostración propia (de ahí la gran cantidad de demostraciones geométricas existentes). En el siglo XVIII se conocía como el Teorema del Puente de los Burros, pues el que superaba ese Teorema entraba en el mundo del conocimiento matemático. Hoy en día se calcula que pueden existir cerca de 1.000 demostraciones, hechas no sólo por matemáticos, sino también por personajes tan diferentes como filósofos, monjes, políticos... PUZZLES DE PITÁGORAS Los siguientes juegos se basan en este conocido teorema. La forma de presentarlos es como un puzzle en el que partiendo de un triángulo rectángulo y al montar las piezas se puede formar por un lado el cuadrado sobre la hipotenusa, y con las mismas piezas se construyen por otro los cuadrados sobre los catetos. Estos rompecabezas se pueden usar en primaria como simples juegos para trabajar equivalencias de superficies, y en secundaria como complemento a las comprobaciones numéricas y demostraciones algebraicas.

Tal vez la disección más conocida es la atribuida a Henry Perigal (1801-1898), corredor de bolsa londinense y astrónomo, y que se encuentra grabada en piedra en la lápida de su tumba en Essex. En ella se divide en cuatro partes el cuadrado construido sobre el cateto mayor a partir de su centro (que se puede hallar por intersección de las diagonales), trazando posteriormente por él una paralela y una perpendicular a la hipotenusa del triángulo

Otra demostración fácil de realizar utiliza las siete piezas del Tangram Chino. En este caso el triángulo sobre el que se trabaja no es un triángulo rectángulo cualquiera sino rectángulo e isósceles, y coincide con uno de los triángulos mayores del tangram.

Posiblemente el puzzle más simple en su construcción se basa en la demostración realizada por el matemático y astrónomo hindú Bhaskara Akaria (1114-1185), autor del libro Lilavati dedicado a problemas aritméticos, geométricos y combinatorios. En él uno de los catetos ha de ser doble que el otro.

Hace unos años la Junta de Andalucía presentó la siguiente división como divulgación de la bandera de nuestra comunidad, ya que si el cuadrado sobre el cateto grande se dibuja de verde y el del pequeño de blanco, al montar el cuadrado sobre la hipotenusa aparece en diagonal la bandera de la comunidad andaluza (verde-blanco-verde).

Por último presentamos otra demostración mediante rompecabezas del Teorema de Pitágoras que puede ser utilizada para demostrar asimismo el Teorema de los Catetos ya que el cuadrado sobre la hipotenusa queda dividido en dos rectángulos cuyas áreas son respectivamente el producto de la hipotenusa por la proyección de cada cateto sobre ella.

A continuación se acompañan las piezas necesarias para montar cada uno de los puzzles comentados (salvo el tangram chino) que pueden ser copiadas en cartulina y recortadas para jugar.

EL PUZZLE DE LOS CUATRO COLORES

INTRODUCCIÓN. Entre los materiales que pueden usarse en clase de matemáticas existe una gran variedad de puzzles. Por un lado están los rompecabezas planos entre los que podemos citar el Tangram Chino y los Pentominós como los más conocidos. Entre los tridimensionales se encuentra el que hoy queremos presentar. Los puzzles basados en apilamientos de cubos coloreados se remontan a 1921 cuando el matemático Alexander MacMahon especialista en Combinatoria publicó su libro "Nuevos pasatiempos matemáticos". Básicamente consisten en una serie de cubos (normalmente 4) con sus caras coloreadas con distintos colores (generalmente 4 también) que se unen procurando conseguir unas distribuciones concretas de esos colores. Existen varios de rompecabezas comercializados y se pueden encontrar otras distribuciones de color distintas en los libros citados en la bibliografía. Los nombres que suelen dársele a estos juegos (Logicubos, Locura Instantánea, Cubos Diabólicos, Cuatro Locos, etc...) dan una idea de que no son un rompecabezas fácil de resolver, generalmente por tener sólo una posible solución. Lo usual en estos puzzles es colocar los cubos formando una fila de forma que en cada uno de los cuatro lados de esa fila aparezcan los cuatro colores. Buscando una distribución de colores que permitiera disposiciones más variadas, creamos el siguiente puzzle. JUEGO. Tenemos cuatro cubos, pintados con cuatro colores distintos y de forma que en cada uno de ellos no aparezca un color más de dos veces. La distribución de los colores viene indicada en los siguientes desarrollos.

DESAFÍOS. Esta combinación de los cuatro cubos de colores permite las siguientes colocaciones: 1.- Colocar los cuatro cubos en fila de modo que en los cuatro lados de la fila estén los cuatro colores.

2.- Colocar los cuatro cubos en fila de modo que en cada lado de la fila esté uno de los cuatro colores.

3.- Colocar los cuatro cubos formando un ortoedro de 2x2x1 de manera que: - Las caras 2x2 tengan cada una un color. - Y las cuatro caras 2x1 sean, cada una, de un color distinto, sin que se repitan.

4.- Colocar los cuatro cubos formando un ortoedro de 2x2x1 de manera que: - Las caras 2x2 tengan cada una un color. - Y de las cuatro caras 2x1 haya dos caras con uno de los otros dos colores.

5.- Colocar los cuatro cubos formando un ortoedro de 2x2x1 de manera que: - Las caras 2x2 tengan cada una un color. - Y de las cuatro caras 2x1 haya tres caras con uno de los otros dos colores y la cuarta cara 2x1 con el cuarto color.

6.- Colocar los cuatro cubos formando un ortoedro de 2x2x1 de manera que: - Las caras 2x2 tengan cada una un color. - Las caras 2x1 tengan dos colores distintos y entre las cuatro caras 2x1 haya dos veces cada color.

7.- Colocar los cuatro cubos formando un ortoedro de 2x2x1 de manera que: - Las caras 2x2 tengan los cuatro colores. - Y las cuatro caras 2x1 cada una sea de un color distinto, sin que se repitan.

8.- Colocar los cuatro cubos formando un ortoedro de 2x2x1 de manera que: - Las caras 2x2 tengan los cuatro colores. - Y de las cuatro caras 2x1 dos sean de un color y las otras dos de otro.

9.- Colocar los cuatro cubos formando un ortoedro de 2x2x1 de manera que: - Las caras 2x2 tengan los cuatro colores. - Las caras 2x1 tengan dos colores distintos y entre las cuatro caras 2x1 haya dos veces cada color.

10.- Colocar los cuatro cubos formando un podium de manera que los planos de cada dirección del espacio tengan un solo color.

11.- Colocar los cuatro cubos formando una “S” de manera que los planos de cada dirección del espacio tengan un solo color.

12.- Colocar los cuatro cubos formando una “L” de manera que los planos de cada dirección del espacio tengan un solo color.

13.- Colocar los cuatro cubos formando una “doble escalera” de manera que los planos de cada dirección del espacio (en esta figura no se tiene en cuenta el plano oculto por la base) tengan un solo color.

UTILIZACIÓN DEL JUEGO EN EL AULA Actividades de aula que se pueden realizar con este juego son las siguientes: 1) Entregar a los alumnos el puzzle construido y pedirles que busquen una forma de escribir la distribución de los colores de cada cubo, buscando el desarrollo necesario y la notación con la cual representar cada pieza. 2) Se les puede entregar el desarrollo y a partir de él proponer la construcción del puzzle, lo que resulta un buen proyecto para Tecnología en ESO. Pueden realizarse en cartulina los desarrollos y después montar los cubos. También se pueden usar cubos de madera y pintar las caras con los colores correspondientes. Otra forma muy fácil de construcción consiste en coger cubos de plástico de los rompecabezas apilables infantiles y pegarles en sus caras pegatinas de colores. Dan muy buen resultado los papeles adhesivos que se utilizan para forrar los estantes de los muebles de cocina, tanto para plástico como para madera. 3) Con el puzzle construido resolver las distribuciones que se han planteado como desafíos. 4) Estudiar la distribución combinatoria de colores que se pueden utilizar para los cubos, investigando cuántos cubos diferentes aparecen, según la cantidad de colores a utilizar. 5) Diseñar puzzles nuevos a partir del estudio que se haya realizado en el apartado anterior y buscar distintos retos que resolver con esos cubos.

BIBLIOGRAFÍA. CORBALAN YUSTE, FERNANDO (1994): Juegos matemáticos para Secundaria y Bachillerato. Madrid. Síntesis.

GARDNER, MARTÍN (1972): Nuevos pasatiempos matemáticos. Madrid. Alianza.

HOLT, MICHAEL (1988): Matemáticas recreativas 3. Barcelona. Martínez Roca. MUÑOZ, JOSE y HANS, JUAN ANTONIO (1999): "Alucinando con cubos de colores". Actas de las IX J.A.E.M. Lugo. pp.607-610. Revista CACUMEN. "Locura instantánea". Artículo sin firma en el número 31, pag. 51.

JUEGOS DE LÁPIZ Y PAPEL

INTRODUCCIÓN. Dentro de los juegos de estrategia ocupan un apartado interesante los juegos de lápiz y papel, que tienen la ventaja de no necesitar ningún tipo de preparación previa, ni materiales especiales y que pueden jugarse en cualquier momento y lugar (aunque sería deseable que no durante las clases de otra asignatura). Estos juegos tienen una atracción especial para los alumnos, y además de jugar se debería forzar el estudio del juego, tipos de notación que se pueden usar para representar las partidas y sobretodo de las estrategias a aplicar en su desarrollo. Aunque muchas veces las estrategias ganadoras, si las hay, no son fáciles de deducir, si pueden estudiarse jugadas y disposiciones que favorecen las posibilidades de ganar. Existen multitud de juegos de lápiz y papel, algunos de ellos ya conocidos por los alumnos fuera del aula, como el de los ceros y cruces (el tradicional tres en raya). Aquí presentamos una pequeña selección de ellos. Todos son juegos para dos jugadores, y lo normal es que cada uno de ellos lo haga con un lápiz de distinto color, para diferenciar los puntos o líneas trazadas por cada jugador. Cinco en línea Es un juego muy antiguo que se llama también las cinco estacas o los cinco botines. En China se le conoce con el nombre de Go-moku. En Japón se le llama Go-bang, pues se juega sobre el go-ban, o tablero del Go (un damero de 18x18 con 200 fichas cada jugador). Este juego también es conocido como Pente y puede ser jugado con fichas (o piedrecillas de cristal) sobre un tablero cuadriculado. Se juega sobre papel cuadriculado donde se marca el terreno de juego trazando un cuadrado de 19x19 líneas, aunque no importa si es de 15x15 o de 13x13.

Reglas de juego: •

Cada jugador escoge un símbolo identificativo para jugar (por ejemplo uno juega con “x” y otro con “o”).

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El turno de comienzo se hace a suerte.

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Cada jugador, en su turno, dibuja su símbolo en una de las intersecciones del tablero (o bien en uno de los cuadros si se toma ese acuerdo).

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Gana el jugador que primero consigue alinear horizontal, vertical o diagonalmente cinco marcas propias.

BRIDG-IT El Bridg-it fue inventado por un profesor de la Brown University (EE.UU.), David Gale, a finales de los años 50. Es un juego de lápiz y papel para dos personas que deben jugar con sendos bolígrafos de distintos colores, construyendo inicialmente el "tablero" a base de igual cantidad de puntos de cada color y dispuestos de igual forma a como se ve en la figura (los círculos huecos serían de un color y los llenos de otro).

Reglas de juego: •

Se sortea el orden de juego. A continuación se van alternando los movimientos de los jugadores.

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Cada jugada consiste en unir con un trazo cualquier par de puntos, del color correspondiente al jugador, que sean adyacentes horizontal o verticalmente, pero no en diagonal.

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No está permitido cruzar un trazo ya dibujado en el tablero.

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El juego finaliza cuando uno de los jugadores consiga construir un camino que una dos lados opuestos del tablero a base de trazos de su color, proclamándose ganador de la partida.

Como ejemplo presentamos una partida en la que gana el jugador que ha dibujado los trazos continuos.

EL SIM

Sobre el papel se dibujan puntos colocados de manera que sean vértices de un polígono (por ejemplo seis puntos para formar un hexágono). La cantidad de puntos condiciona la duración de la partida.

Reglas de juego: •

Se sortea el orden de salida.

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Cada jugador juega con un lápiz de un color distinto y traza segmentos que unan dos puntos cualesquiera del tablero.

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No se puede trazar un segmento sobre otro ya trazado.

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Pierde el jugador que al trazar el segmento correspondiente a su turno forma un triángulo con tres lados del mismo color.

SENDEROS

Se juega sobre una retícula dibujada en el papel. La cantidad de puntos depende de la duración que se quiera dar al juego.

Reglas de juego: •

Se sortea el orden de salida.

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El primer jugador traza, donde quiera, un segmento que una dos puntos consecutivos del tablero en horizontal o en vertical, pero nunca en diagonal.

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El otro jugador, y a partir de él cada uno en turno, dibuja un segmento que una dos puntos consecutivos del tablero en horizontal o en vertical, pero no en diagonal. Los segmentos se han de trazar a partir de uno de los dos extremos del camino ya dibujado.

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Pierde la partida el jugador que al trazar su segmento cierra el camino.

EL JUEGO DE LA “L”

Este juego fue creado por Edward de Bono, medico, psicólogo y pensador maltés, con la intención de producir el juego más simple posible, que pudiera, sin embargo, jugarse con un alto grado de habilidad donde no hubiera estrategia ganadora y con un mínimo de piezas y reglas. El resultado fue el juego de la “L”, que a continuación se describe: Normas del juego de la “L”: Es un juego de estrategia y reflexión, para dos jugadores, a partir de los siete años. Elementos que lo componen:

Un tablero de 4 x 4 cuadrados, dos piezas en forma de ele de diferente color (cada una de las cuales cubre una superficie de cuatro cuadrados), y dos fichas redondas de igual color, que se denominan fichas neutras. La posición de inicio es la que aparece en la figura 1

Figura 1

El objetivo del juego es inmovilizar la ele del contrario. Por ejemplo, en la figura 2 el jugador con la “L” gris está bloqueado y pierde la partida.

Figura 2

Una vez que cada jugador elige una pieza “ele” de diferente color y se asigna el orden de comienzo cada jugador puede realizar en cada turno dos movimientos: 1º Mover su pieza “L” a cualquiera de las posiciones no ocupadas del tablero. Su nueva posición tiene que diferir de la anterior por lo menos en un cuadrado. La pieza “L” se puede girar antes de colocarla en el tablero. No se permiten pruebas sobre

el tablero ni rectificaciones. 2º Después de colocar la pieza “L”, el mismo jugador si lo desea, pude mover una sola de las piezas neutras a cualquier cuadro vacío. El juego finaliza cuando uno de los dos jugadores no puede hacer un movimiento reglamentario. Se puede llegar a empate por acuerdo o cuando cada jugador repite el mismo movimiento tres veces seguidas (como en el ajedrez).

Es sorprendente que con tan pocos elementos y en un tablero relativamente pequeño el número de posiciones distintas se eleve a 18368. Si consideramos idénticas las posiciones simétricas y las que son equivalentes por rotación del tablero, nos quedan 2296 posiciones realmente diferentes. Sólo quince de ellas son posiciones ganadoras para uno de los jugadores. A continuación se muestran algunas de las que existen, correspondientes a la “L” negra ganadora con tres cuadrados horizontales (se deja para el lector buscar las posiciones que faltan)

Se tata de un juego de aprendizaje rápido que potencia la percepción visual y la orientación espacial. Favorece la búsqueda de estrategias de resolución de problemas y el razonamiento concreto. Como ejemplos de actividades al margen del uso del juego como tal se pueden proponer: a) Diseñar la partida más corta posible (contando con la inexperiencia de alguno de los jugadores) En la siguiente partida el jugador de la pieza gris realiza un comienzo tan malo que en el primer movimiento del negro queda inmovilizado y pierde.

b) Buscar partidas que terminen al 2º movimiento del 1º jugador, al 2º del 2º, etc. o que tengan una duración de movimientos determinada. c) Problemas de selección de mejor jugada, del tipo “negra mueve y gana”.

Finalmente, planteamos una serie de propuestas para investigar en el aula: En lugar de usar una “L” formada por cuatro cuadrados se puede utilizar otro tipo de letra , como la “T” formada por 5 cuadrados, en un tablero de 5 ? 5, y usando dos, tres o más fichas neutras. Si se ve que es difícil realizar bloqueos, se puede aumentar el número de fichas neutras o variar el tamaño del tablero. También se puede pasar a un juego de tres o más jugadores usando tres o más “L” o tres o más “T” ajustando las fichas neutrales necesarias y el tamaño del tablero. Lo dicho antes para la “L” y la “T” se puede aplicar a otras configuraciones, como la “H”, compuesta de 7 cuadrados, la “C” compuesta de 5 cuadrados, etc... e incluso se podría diseñar un juego tridimensional, donde las fichas neutrales serían columnas que imponen restricciones a los movimientos y las fichas cuatro cubos pegados en forma de L

Bibliografía: BRIAN BOLT (1981 ). Aún más actividades matemáticas. Labor, Barcelona. CESAR DE/SA, Antonio J. (1995). A aprendizagem da Matemática eo Jogo. Associaçao de Professorea de Matemática. Portugal. DE BONO, EDWARD (1983 ). “Potaje para dos. El juego L” en la revista Cacumen. Año 1 nº 3. Zugarto ediciones S.A.