Mate

INGENIERÍA INDUSTRIAL

RESUMEN Y PRÁCTICA Resumen del capítulo: Dominio de funciones: • El dominio de una función polinómica es R • El dominio de una función racional es R menos los valores que anulan el denominador: Se iguala el denominador a cero y se resuelve la ecuación • El dominio de una función radical con índice par: la cantidad subradical debe ser positiva. Se hace esta cantidad mayor o igual a cero y se resuelve la inecuación. Rango de funciones: • Si es un dominio implícito, se despeja x en términos de y y se analiza para qué valores de y, x existe y es real. • Si es un dominio explícito, se parte del dominio y se convierte en la regla de correspondencia. Graficación: En general para graficar hay que determinar algunas de las características de las gráficas: • Crecimiento, decrecimiento • Concavidad • Simetría • Intersecciones con los ejes: ceros (haces que y = 0), intersección con el eje Y (haces que x = 0) • Para una función lineal: Hallar dos puntos y trazar la recta que ´los contiene. • Para una función cuadrática: Hallar la concavidad, el vértice y los ceros. • Para una función raíz cuadrada, se encuentra el dominio, el rango y a partir de esto se traza: ○ la mitad de la parábola si la regla de correspondencia es f ( x) = x + k ○

la mitad de la hipérbola si f ( x) = x 2 − bx − c

•

Para una función valor absoluto: se aplica la definición algebraica de valor absoluto y se convierte a una función definida por partes, y se grafica cada parte de la función. • Para una función máximo entero: se aplica la definición de máximo entero; los intervalos del dominio se encuentran dando valores a n y se grafica. Para operar con funciones: • Primero hallar la intersección de los dominios • Se operan las reglas de correspondencia. Tener cuidado con la función cociente. Para la composición de funciones: • Se halla la intersección del rango de la función de partida con el dominio de la función de llegada. • •

Se aplica el algoritmo: (f ° g)(x) = f(g(x)) Se halla el dominio aplicando la propiedad: Dom( f  g ) = {x / x ∈ Don( g ) ∧ g ( x) ∈ Dom( f )}

Para determinar si una función es inyectiva: se aplica la definición: f ( x1 ) = f ( x 2 ) ⇒ x1 = x 2 Para determinar si una función es sobreyectiva: se aplica la definición: Rang( f ) = Conjunto de llegada Para determinar si una función es biyectiva: debe ser las dos anteriores a la vez Para hallar la inversa de una función: • Se determina si es inyectiva. • Se halla la inversa de dos maneras: ○ Con la propiedad: f  f*= x •

○ O bien se despeja x en términos de y y luego se intercambia la x por la y. Recordar el dominio de la función “directa” se convierte en el rango de la función inversa y el rango de la función “directa” se convierte en el dominio de la función inversa

1.

Halla el dominio y el rango de la siguiente función y traza su gráfica: f ( x) =

2.

x2 + x + 2 x3 − x 2 − 2x

Halla el dominio y el rango de la siguiente función y traza su gráfica  x2 −9 si   f ( x) =  x + 3 − 2 si  x 2 − 10 x + 26 si  

3.

Halla el dominio y el rango de la siguiente función y traza su gráfica

[

g ( x) = 1 − 2 x

]

x ∈ − 5; − 3 x ∈ − 3; 5 x∈ 5 ;7

4.

El volumen de un cilindro circular recto es 1000 cm 3 y el radio de su base es r cm. Exprese el área total de la superficie cilíndrica (A) como función de r.

Dadas las funciones:

; f ( x) = 3 x − 1

dominio: 5. (f + g)(x)

, en los ejercicios siguientes determine la función que se pide y su g ( x) = x 2 + 3 x 6.  f   (x) g

7.

9.

( g ⋅ f )( x)

( f  g )( x)

8. (f

10.

3

− 3 g )( x)

( g  f )( x)

11. Sean

las

funciones

.

Determinar

el

valor

2

f ( x ) = x + 2 y g ( x) = x + a ( f  g ) (3) = ( g  f ) (a − 1)

12. Determine si la función es inyectiva: f ( x) =

x −1 ;x ≠ 2 x+2

13. Encuentre la función inversa, si existe, de: f ( x) = − x 2 + 6 x − 7 si x ∈ − ∞ ; − 7

de

a

de

modo

que