Manual De Algebra Lineal 2009

Compilado por: Lic. Esp. José Francisco Barros Troncoso

Santa Marta 2009

Manual de Algebra Lineal Por: José Barros Troncoso

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CONTENIDO     

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Base Conceptual Aplicación del Algebra Lineal Arreglo Matrices Tipos de Matrices o Matrices Equidimensionales o Matrices Iguales o Matriz fila o Matriz columna o Matriz traspuesta o Matriz simétrica o Matriz antisimétrica o Matriz nula o Matriz diagonal o Matriz escalar o Matriz unidad o identidad o Matriz Triangular Suma y Diferencia de Matrices o Tecnología o Pr o ble m as d e A plicació n. Multiplicación de Matrices Reducción de Gauss-Jordan Inversa de una Matriz o Inversa de una Matriz Cuadrada de Orden Dos o Inversa de una Matriz Cuadrada de Orden Superior a Dos Ecuaciones Matriciales Aplicación de las Matrices o Modelos de Entrada-Salida de Leontief o Modelo Cerrado de Leontief.

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ALGEBRA LINEAL La palabra «álgebra» deriva del tratado escrito por el matemático persa Muhammad ibn Musa al-Jwarizmi, titulado Al-Kitab al-Jabr wa-l-Muqabala (en árabe ‫ال ج بر ك تاب‬ ‫( )وال م قاب لة‬que significa "Compendio de cálculo por el método de completado y balanceado"), el cual proporcionaba operaciones simbólicas para la solución sistemática de ecuaciones lineales y cuadráticas. Etimológicamente, la palabra «álgebra» (también nombrado por los árabes Amucabala) ‫( ج بر‬yebr) (al-dejaber), proviene por lo tanto del árabe y significa "reducción", operación de cirugía por la cual se reducen los huesos luxados o fraccionados (algebrista era el médico reparador de huesos). El álgebra lineal es la rama de las matemáticas que estudia conceptos tales como vectores, matrices, sistemas de ecuaciones lineales y en un enfoque más formal, espacios vectoriales, y transformaciones lineales. Es un área activa que tiene conexiones con muchas áreas dentro y fuera de las matemáticas como análisis funcional, ecuaciones diferenciales, investigación de operaciones, gráficas por computadora, ingeniería, etc. La historia del álgebra lineal moderna se remonta a los años de 1843 cuando William Rowan Hamilton (de quien proviene el uso del término vector) creó los cuaterniones; y de 1844 cuando Hermann Grassmann publicó su libro Die lineale Ausdehnungslehre. Ejemplo de Aplicación del Algebra Lineal Una empresa puede recopilar y almacenar o analizar varios tipos de datos como parte regular de sus procedimientos de registros. Es posible presentar los datos en forma tabular. Por ejemplo un contratista de una construcción que construye diferentes estilos de casa puede catalogar el número de unidades de ciertos materiales necesarios para construir cada estilo de casa en una tabla de datos así: Materiales Madera Tablas Techado

Rancho 28 34 12

Colonial 35 19 25

Clásica 23 25 27

De acuerdo a la información suministrada responda

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¿Cuál es el tipo de vivienda que más necesita material? ¿Cuál es el tipo de vivienda que más necesita madera? ¿Cuál es el material que más se gasta? ARREGLO Conjunto o agrupación de variables o cantidades de la misma estructura cuyas posiciones se referencian por medio de sub-índices. Existen arreglos unidimensionales denominados vectores, los bidimensionales llamados matrices y los multidimensionales. El subíndice es un entero que indica la posición de un elemento del arreglo. El Rango es el número de elementos del arreglo. MATRICES Es un arreglo rectangular de datos. Las matrices se clasifican en filas y columnas. En la matriz A que representa el ejemplo del número de unidades de ciertos materiales necesarios para construir cada estilo de casa, las filas corresponden a los tipos de materiales y las columnas a los de vivienda.

A=

Columna 1 28 34 12

Columna 2 35 19 25

Columna 3 23 25 27

Fila 1 Fila 2 Fila 3

Una matriz A de m fila y n columnas se dice una matriz de mxn dicho número indica el tamaño de la matriz y el número de elementos que esta contiene, se puede representar:

Cada elemento aij de A esta ubicado en la fila i columna j. Los sub-indices indican la posición del elemento en la matriz. Una matriz de n filas y n columnas se dice una matriz cuadrada de orden n. Manual de Algebra Lineal Por: José Barros Troncoso

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Consideremos la matriz B de orden 4:

TRIANGULAR INFERIOR

a11

a12

a13

a14

a21

a22

a23

a24

TRIANGULAR SUPERIOR

A31 A32 A33 A34 A41 A42 A43 A44

DIAGONAL SECUNDARIA

DIAGONAL PRINCIPAL

TIPOS DE MATRICES Matrices Equidimensionales: Son las que tienen el mismo tamaño Matrices Iguales: Son las que sus elementos correspondientes son iguales Atendiendo a la forma Matriz fila: Es una matriz que solo tiene una fila, es decir m =1 y por tanto es de orden 1xn. A = (a1, a2, a3, …, an) Matriz columna: Es una matriz que solo tiene una columna, es decir, n =1 y por tanto es de orden mx1.

A =

a1 a2 a3 an

Matriz traspuesta: Dada una matriz A, se llama traspuesta de A, y se representa por At, a la matriz que se obtiene cambiando filas por columnas. La primera fila de A es la primera fila de At , la segunda fila de A es la segunda columna de At, etc.

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De la definición se deduce que si A es de orden mxn, entonces At es de orden nxm.

Matriz simétrica: Una matriz cuadrada A es simétrica si A = At, es decir, si aij = aji " i, j.

Matriz antisimétrica: Una matriz cuadrada es antisimétrica si A = –At, es decir, si aij = –aji " i, j.

Atendiendo a los elementos Matriz nula es aquella que todos sus elementos son 0 y se representa por 0. Matriz diagonal: Es una matriz cuadrada, en la que todos los elementos no pertenecientes a la diagonal principal son nulos. Matriz escalar: Es una matriz diagonal con todos los elementos de la diagonal iguales. Matriz unidad o identidad: Es una matriz escalar con los elementos de la diagonal principal iguales a 1. Matriz Triangular: Es una matriz cuadrada que tiene nulos todos los elementos que están a un mismo lado de la diagonal principal. Las matrices triangulares pueden ser de dos tipos:

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Triangular Superior: Si los elementos que están por debajo de la diagonal principal son todos nulos. Es decir, aij =0 " i<j. Triangular Inferior: Si los elementos que están por encima de la diagonal principal son todos nulos. Es decir, aij =0 "j
SUMA Y DIFERENCIA DE MATRICES La suma de dos matrices A=(aij), B=(bij) de la misma dimensión, es otra matriz S=(sij) de la misma dimensión que los sumandos y con término genérico s ij=aij+bij. Por tanto, para poder sumar dos matrices estas han de tener la misma dimensión. La suma de las matrices A y B se denota por A+B.

Propiedades de la suma de matrices 1. 2. 3. 4.

A + (B + C) = (A + B) + C (propiedad asociativa) A + B = B + A (propiedad conmutativa) A + 0 = A (0 es la matriz nula) La matriz –A, que se obtiene cambiando de signo todos los elementos de A, recibe el nombre de matriz opuesta de A, ya que A + (–A) = 0.

La diferencia de matrices A y B se representa por A–B, y se define como: A–B = A + (– B) Ejercicio. Si

A=

1

3

5

3

8

7

B=

3

6

1

2

0

1

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C=

2

0

6

3

-2

-1

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Hallar: 1. La traspuesta de A 2. A + B 3. C – B 4. A + C – B 5. Halle la matriz D tal que al sumarla con C obtenemos una matriz nula 6. Ejercicio encuentre w, x, y y z si: a.

𝑥 4𝑦

4 −4𝑥 + 𝑤 −3

12 2𝑧 = 𝑦 −2𝑤

8 6

b.

2𝑥 𝑧

−𝑦 𝑥 + 3𝑤 2𝑧

3𝑦 6 −8 = −3 1 −2𝑤

Tecnología: En la página www.macstat.org encuentra el instalador y el manual de un software MacStat 2.5 beta que permite realizar operaciones con matrices como; suma, resta, multiplicación, obtención de determinantes, transpuestas, adjuntas e inversas. Recomiendo dicha herramienta para verificar los resultados de los ejercicios que usted indague por bibliografía o web-grafía. http://ima.ucv.cl/hipertexto/alineal/cap1/ejer5.html http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/matrices/ejercicios.htm Pro ble m a s d e Apl ica ció n. 1. Supo nga que e n un o r ganis m o d e l e s tad o la inf o r m ació n f luye co ns ta nte m e nte e ntr e o f icinas d e acue r do co n e l s iguie nte d iagr am a 1

2 5

3

4

a. Co ns tr uya la m atriz A co n lo s e le m ento s

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1 a ij

Si e l f lu jo d e inf or m ació n f luye d ire ctam e nte d e i a j

0 Si e l f lujo d e la inf o r m ació n no f luye d ir e ctam ente d e i a j b. Co ns tr uya una m atr iz B co n lo s e le m e nto s 1 a ij

Si la inf o r m ació n f luye d e i a j a tr av é s d e no m ás d e un inte r m e d iar io , co n i≠j

0 E n cas o co ntr ar io c. La pe r s o na d e la o f icina i tie ne m ayo r po d er d e inf lue ncia s i l a s um a d e lo s e lem ento d e la f ila i e n la m atr iz A +B es la m ayo r ¿cuál e s e l núm er o de la o f icina d e e s ta pe r so na? 2 . La ad m inis tr ació n tr ata d e id e ntif icar a la pe r s o na m ás activ a e n lo s e s f uer z o s labo r ale s par a la s ind icaliz ació n. El s iguie nte d iagr am a m ue s tr a co m o f luye la i nf lue ncia d e e m p le a d o h acia o tr o e ntr e lo s cuatr o em ple ad o s m ás activ o s 1

2

3

4

a. Co ns tr uya la m atriz A co n lo s e le m ento s 1 a ij

Si i f luye d ir e ctam e nte a j

0 d e o tr a m ane r a b. Co ns tr uya una m atr iz B co n lo s e le m e nto s 1 a ij

Si i f luye a j a tr av és d e no m ás d e un 1 pe rs o na , co n i≠j

0 E n cas o co ntr ar io Manual de Algebra Lineal Por: José Barros Troncoso

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c. La pe r s o na i e s más activ a e n la inf lue ncia co n o tr as s i la s um a d e lo s e le m e nto s d e la f ila i d e la m at r iz A +B es la m ás gr and e ¿quié n e s la pe r s ona m ás activ a? 3 . U na f ábr ica pr o d uce d o s m o d e lo s d e lav ad o r as , A y B, e n tr e s te r m inacio ne s : N , L y S. Pr o d uce de l m o d e lo A: 400 unid ad e s e n la te r m inació n N , 200 unid ad e s e n la te r m inació n L y 50 unid ad e s e n la te r m inació n S. Pro d uce d e l mo d e lo B: 300 unid ad e s e n la te r m i nació n N , 100 unid ad e s e n la te r m inació n L y 30 unid ad e s e n la te r m inació n S. La ter m inació n N lle v a 25 hor as d e talle r y 1 h or a d e ad m inis tració n. La te r m inació n L l le v a 30 h o r as d e talle r y 1.2 h or as d e adminis tr ació n. La te r m inació n S lle v a 33 h or as d e talle r y 1.3 h or as d e ad m inis tr ació n. a) R e pr e se ntar la inf or m ació n e n d o s m atr ice s . b) H allar una m atriz que e xpre s e las h or as d e talle r ad m inis tr ació n e mple ad as par a cad a uno d e lo s m o d e los .

y

de

4 . Las calificaciones de matemáticas, de cuatro alumnos de 2º de Bachillerato, en las tres evaluaciones del curso fueron las siguientes: CALIFICACIONES Alumnos 1ª Ev 2ª Ev 3ª Ev Antonio

8

7

5

Jaime

4

6

5

Roberto

6

5

4

Santiago

7

6

8

Para calcular la calificación final, el departamento de matemáticas ha establecido los siguientes "pesos" para cada una de las evaluaciones: 1ª Ev: 25 %, 2ª Ev: 35 % y 3ª Ev: 40 %. Se pide: a) La nota final de cada uno de los alumnos. b) La media aritmética de las calificaciones de cada evaluación.

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5. Tres familias numerosas van a una heladería. La primera familia pidió 3 helados de barquillo, un helado de vasito y 2 granizadas, la segunda familia consumió 1 helado de barquillo, 4 helados de vasito y una granizada y la tercera familia, 3 helados de barquillo, 2 helados de vasito y 2 granizadas. a) Obtén una matriz A, 3 x 3, que exprese el número de helados de barquillo, helados de vasito y granizadas que consume cada familia. b) Si cada una de las tres familias ha gastado respectivamente: 13 €, 12€ y 15€, calcula el precio de un helado de barquillo, un helado de vasito y una granizada.

Multiplicación de Matrices: En el caso de la multiplicación de matrices, para que dicha operación pueda realizase, se requiere que el número de columnas de la primera matriz sea igual al de filas de la segunda matriz. Graficamente Si A y B son matrices el producto matricial A x B es posible si: fA x cB

x

fB x cB

= fA x cB

= Si dicha condición se cumple, entonces se puede concebir que cada elemento de la multiplicación sea resultado de aplicar de la siguiente fórmula:

donde A y B son las matrices a multiplicar, C es la matriz donde se guarda el resultado y C[i,j] es un elemento de la matriz C. Nótese el uso del elemento k. El elemento k es un entero que sirve como contador de las columnas en la matriz A y como contador de filas en la matriz C. Para ilustrar un poco es el proceso, se tienen las siguientes matrices:

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A

B 1 2

3

4

5 6

7

8

9 10

11

12

C 1 5 10

X

2 6 11

=

3 7 12

30

70

120

70

174 304

110 278 488

4 8 13

Si se desea obtener el elemento C[2,2] de la matriz C, se tienen que efectuar las siguientes operaciones: C[2,2] =

A[2,1] * B[1,2]

=

5*5

A[2,2] * B[2,2]

=

6*6

A[2,3] * B[3,2]

=

7*7

A[2,4] * B[4,2]

=

8*8

Suma:

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174

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TA LLER DE A LGEBR A LIN EA L 1.

Dad as las m atr ices :

Calcu lar : A + B;

A - B; A x B; B x A; A t . ( Tr as pues ta)

2 . De m o s tr ar que : A 2 - A- 2 I = 0 , s ie nd o :

3 . Calcu lar la m atr iz inv e rs a d e :

4 . O bte ne r las m atr ice s A y B que v er if ique n e l s is te m a:

5 . R e s o lv er ; e n f or ma m atr icial, e l s iste m a:

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Ejercicios Ejercicio Determine si los valores dados de x, y y z son la solución para la ecuación matricial dada sustituyendo los valores dados en la ecuación matricial y efectuando la multiplicación matricial. 1 𝑥 −1 0 𝑦 = 0 1 𝑧 −3

a.

1 0 1 1 0 1

b.

1 1 1 𝑥 −2 𝑦 = 0 1 −1 1 1 −1 −1 𝑧 4

c.

2 1 −1 𝑥 −1 3 −2 1 𝑦 = 3 −4 3 2 𝑧 −11

d.

3 1 0 𝑥 4 2 −2 1 𝑦 = 9 1 1 2 𝑧 2

e.

1 1 4 0 2 1

2 𝑥 5 𝑦 = 5 1 1 𝑧 5

f.

1 0 3 1 1 2

2 𝑥 0 𝑦 = 0 7 1 𝑧 3

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EVALUACIÓN 1. Suponga que la matriz A representa las ventas (en miles de millones de pesos) de una compañía en el 2006 en varias ciudades y que la matriz B representa las ventas (en miles de millones de pesos) para la misma compañía en el 2007 en las mismas ciudades. 𝐵𝑜𝑔𝑜𝑡á 𝑀𝑒𝑑𝑒𝑙𝑙í𝑛 𝐶𝑎𝑙𝑖 𝐵𝑜𝑔𝑜𝑡á 𝑀𝑒𝑑𝑒𝑙𝑙í𝑛 𝑀𝑎𝑦𝑜𝑟𝑒𝑜 𝐵 375 450 280 850 300 𝑀𝑒𝑛𝑢𝑑𝑒𝑜 400 350 150 410 300 a) Escriba la matriz que representa el total de ventas por tipo y 𝐴=

𝐶𝑎𝑙𝑖 𝑀𝑎𝑦𝑜𝑟𝑒𝑜 710 𝑀𝑒𝑛𝑢𝑑𝑒𝑜 200 ciudad para ambos

años. b) Escriba la matriz que representa el cambio en ventas por tipo y por ciudad de 2007 a 2006. c) Determine cuales son las ciudades de mayor venta al por mayor y la de mayor venta al menudeo 2. A partir de los datos de la siguiente tabla: a. Elabore una matriz A que dé el valor (en millones de dólares) de las importaciones de diversas agrupaciones de países en los años 1983-1985 b. Elabore una matriz B que dé el valor (en millones de dólares) de las exportaciones de las mismas agrupaciones en los mismos años. c. Encuentre la balanza comercial para cada agrupación de países en cada año encontrando B – A PAISES Desarrollados En vías de desarrollo Comunistas Otros

Importaciones 83 84 85 122 822 135 884 134 018 72 342 5 085 289

74 421 7 214 369

72 673 7 091 365

Haga un análisis de la matriz resultante

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PAISES Desarrollados En vías de desarrollo Comunistas Otros

Exportaciones 83 84 85 152 117 200 714 223 314 102 266 3 604 1

119 790 5 221 1

116 161 5 801 0

3. Un vendedor de automóviles puede comprar automóviles puede comprar automóviles medianos en 12% por debajo del precio de lista y también automóviles de lujo en 15% por debajo de los precios de lista. La siguiente tabla muestra la lista de precios para dos automóviles medianos y dos automóviles de lujo Medianos De lujo

25 000 36 000

28 000 42 000

Escriba estos datos en una matriz y multiplique a la izquierda por la matriz

0,88 0

0 0,85

¿Qué representa cada elemento de este producto matricial. Debe realizar y escribir el proceso? 4. Suponga que el banco tiene tres fuentes principales de ingresos (préstamos empresariales, préstamos para automóviles e hipotecas de casas) y que retira fondos de esta fuente para capital de riesgo que se usa para crear fondos para nuevos negocios. Suponga que el ingreso de estas fuentes por cada 3 años se da la siguiente tabla y el banco utiliza 45% de su ingreso de los préstamos empresariales, 20% de su ingreso de los préstamos para automóviles y 30% de su ingreso de las hipotecas de casas para obtener sus fondos de capital de riesgo. Escriba un producto matricial que dé el capital de riesgo disponible en cada uno de los tres años

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𝐴ñ𝑜 2001 2002 2003

𝐸𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑎𝑟𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑎𝑢𝑡𝑜𝑚ó𝑣𝑖𝑙𝑒𝑠 63300 20024 48305 15817 55110 18621

𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑐𝑎𝑟𝑖𝑜𝑠 51820 63722 64105

5. Una cuenta de gastos de un asociado de ventas para la primera semana de cierto mes tiene los gastos diarios ( en dólares) que se muestran en la matriz A 𝐶𝑜𝑚𝑖𝑑𝑎𝑠 𝐻𝑜𝑠𝑝𝑒𝑑𝑎𝑗𝑒 𝑉𝑖𝑎𝑗𝑒𝑠 𝑂𝑡𝑟𝑜𝑠 22 40 100 5 𝐿𝑢𝑛𝑒𝑠 20 40 20 0 𝑀𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠 𝐴= 28 70 45 0 𝑀𝑖𝑒𝑟𝑐𝑜𝑙𝑒𝑠 15 70 20 10 𝐽𝑢𝑒𝑣𝑒𝑠 20 0 100 5 𝑉𝑖𝑒𝑟𝑛𝑒𝑠 a) El asociado encuentra que el asociado de la segunda semana son 5% mayores (en cada categoría) que en la primera semana. Encuentre la matriz de gastos de la segunda semana. b) Encuentre la matriz de gastos para la tercera semana si los gastos para esa semana son 4% menores (en cada categoría) de lo que fue en la segunda semana. Cada punto tiene un valor de 1.5 la presentación del examen tiene un valor del 0.5 Investigar. El uso de la función MMULT de Excel y haga una aplicación

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EVALUACIÓN El presupuesto anual de una compañía tiene los siguientes gastos, en miles de dólares, en los departamentos seleccionados. Rubro

Departamento

5.6 0.2 1.2 54.3 1 0

Admón

1.1 1.3 1.2 35.2 1 0

Contabilidad

10.2 6.1 8.8 81.6 1 0

Distribución

8.5 0.2 0.4 63.4 1 0

Venta

0.7 0.5 2.2 251.8 30 788

Oficina

Manufac

Abastecimiento Teléfono Transporte Salarios Servicios Materiales

3.6 1 4.8 144.2 1 0

1. ¿Cuáles fueron los departamentos de menor y mayor gasto? ¿Cuáles fueron los rubros de menor y mayor gasto? 2. Encuentre la matriz presupuesto para los siguientes cambios “a lo largo de la tabla” en el presupuesto: a) Un decremento de 5% b) Un incremento del 8% 3. Suponga que hay un incremento de 20% en fabricación, un aumento de 3% en oficina, un incremento de 5% en ventas, un aumento de 20% en distribución, un incremento de 5% en contabilidad y un decremento de 3% en administración. Encuentre la nueva matriz de presupuesto multiplicando la matriz siguiente por la matriz original.

 1. 2  0   0   0  0   0

0 0 1.03 0 0 1.05 0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 .2 0 0

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0 0  0 0  0 0   0 0  1.05 0   0 0.97 

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TALLER Dos departamentos de una empresa, Ay B necesitan diferentes cantidades de los mismos productos. La siguiente tabla da las cantidades de los productos que los departamentos necesitan

Departamento A Departamento B

Acero 30 20

Plástico Madera 20 10 10 20

Dos proveedores, Ace y Kink surten estos tres productos, con los precios unitarios que se dan en la siguiente tabla Ace Acero 3000 Plástico 150 Madera 150

Kink 280 100 200

a) Use la multiplicación de matrices para encontrar cuánto costarán estos pedidos con los proveedores. b) ¿A qué proveedor debe comprar cada departamento? REDUCCIÓN DE GAUSS-JORDAN Solución matricial de Sistemas de Ecuaciones

El método de Eliminación de Gauss consiste en transformar un sistema de ecuaciones lineales (S.E.L.) en otro equivalente más sencillo de resolver (se puede resolver por simple inspección). Cuando se habla de un sistema equivalente se refiere a un sistema que tiene exactamente las mismas soluciones. Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones lineales

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Donde los ai, bi, ci y di para todo i=1,2 y 3 ε R (Coeficientes) Para resolver un sistema de ecuaciones lineales usando matrices, primero escribimos los coeficientes del sistema en la matriz ampliada.

Matriz de los coeficientes

Cada columna contiene los coeficientes de una de las variables, el proceso continua aplicando cada una de los siguientes pasos: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Tener uno en la fila uno columna uno. Usar la fila uno solo para tener ceros en las otras entradas de la columna uno Usar la fila dos para tener uno en la fila dos columna dos Usar la fila dos solo para tener ceros en las otras entradas de la columna dos. Usar la fila tres para tener uno en la fila tres columna tres. Usar la fila tres solo para tener ceros en las otras entradas de la columna tres Repetir el proceso hasta obtener una ampliada [I|D], donde I es una matriz identidad de n x n y D una matriz de n x 1. Si el sistema de ecuación es de orden 3, obtenemos 1 0 0 𝑑1 0 1 0 𝑑2 0 0 1 𝑑3

Donde d1, d2 y d3 Є R, se concluye que x = d1, y = d2 y z = d3. Para verificar los resultados se remplazan los valores obtenidos en las ecuaciones originales, si se obtiene una identidad los valores obtenidos son conjunto solución. Si un Sistema de Ecuaciones tiene solución se dice compatible sino es incompatible. Ejercicio. Resuelva cada sistema de ecuaciones utilizando el método de reducción de Gauss-Jordan 1.

𝑥+𝑦+𝑧 =2 2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 3 3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 3

2.

𝑥 + 2𝑧 = 0 3𝑥 + 𝑦 = 7 𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 3

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3.

2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 3 3𝑥 − 2𝑦 − 2𝑧 = 8 𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = −6 Página 20

4.

3𝑥 + 2𝑦 + 4𝑧 = −5 2𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 0 𝑥 − 2𝑦 + 4𝑧 = 0

7. 𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 5 4𝑥 + 𝑧 = 5 2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 5 Problemas de Aplicación

5. 𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 3 𝑥 − 2𝑧 =4 𝑦−𝑧 =1

6.

8. 𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2 3𝑥 + 4𝑦 − 2𝑧 = −2 2𝑥 − 𝑧 = 2

9.

𝑥 − 3𝑦 + 4𝑧 = 2 2𝑥 2𝑧 = 1 𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 1 3𝑥 + 𝑦 = 4 2𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 9 𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 2

1. Una aéreo línea tiene tres tipos de avión que transportan tres tipos de carga. En la siguiente tabla se resume la carga aérea de cada tipo

Unidades transportadas Correo de primera clase Pasajeros Carga aérea

Tipo de Avión Pasajero Transporte Jumbo 100 100 100 150 20 350 20 65 35

Suponga que en un día determinado, la compañía debe transportar 1100 unidades de correo de primera clase, 460 unidades de carga aérea y 1930 pasajeros. ¿Cuánta carga aérea de cada tipo debe programar? 2. Un fabricante de sierras de mesa tiene tres modelos, Deluxe, Premium y Ultimate, que se deben pintar ensamblar y empacar para su distribución. La tabla da el número de horas requeridas en cada una de estas operaciones para cada tipo de sierra de mesa. Si el fabricante tiene 96 horas disponibles para pintar, 156 horas para ensamblar y 37 para empacar, ¿cuántas sierras de cada tipo se pueden producir al día? _________________________________________________ Deluxe Premium Ultimate ___________________________________________________________ Pintura 1.6 2 2.4 Ensamble 2 3 4 Empaque 0.5 0.5 1

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3. Una compañía tiene un pedido para entregar tres productos A, B y C. La tabla da el volumen en pies cúbicos, el peso en libras y el costo del seguro en dólares para una unidad de cada uno de los productos. Si el camión puede transportar 8 000 pies cúbicos, 12 400 libras y está asegurado por $52 600 ¿cuántas unidades de cada producto se pueden transportar? _________________________________________________________ PRODUCTOS A B C. Volumen unitario (pies cúbicos) Peso unitario (libras) Valor (dólares)

24 40 150

20 30 180

40 60 200

INVERSA DE UNA MATRIZ Dos matrices A y B son inversas si A.B = I y B.A = I, se llaman inversas la una de la otra, se denota A = B-1 o B = A-1 Inversa de una Matriz Cuadrada de Orden Dos Si 𝐴 =

𝑎 𝑐

1 𝑏 𝑑 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝐴−1 = 𝑎,𝑑−𝑏𝑐 𝑑 −𝑐

−𝑏 𝑎

Donde a.d – b.c ≠ 0, si a.d – b.c = 0, entonces A-1 no existe Ejercicios. Calcule la traspuesta de cada matriz a. A =

3 4

1 2

b. B =

−2 −1

4 1

c. C =

3 −1

6 −2

d. D =

−2 3 −1 4

Inversa de una Matriz Cuadrada de Orden Superior a Dos Para encontrar la inversa de una matriz cuadrada de orden superior a dos se sigue el siguiente procedimiento: 1. Forme una matriz ampliada [A|I], donde A es la matriz de n x n e I es la matriz identidad de n x n. 2. Utilice el método de Gauss-Jordan para obtener una matriz ampliada [I|B], es decir hasta que la matriz de la izquierda se transforme en una matriz identidad. 3. La matriz B de la derecha es la matriz inversa de A. Para verificar el producto de A.B debe ser igual a I. Manual de Algebra Lineal Por: José Barros Troncoso

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Taller Tema: Inversa de una matriz de orden superior a 2 Ejercicio. Obtener la inversa de la matriz

2 𝐴= 1 1

5 4 −3

4 3 −2

2 1 1

Inicialmente se forma la matriz ampliada [A |I ] donde I es la matriz identidad es decir

5 4 −3

4 1 3 0 −2 0

0 1 0

0 0 1

Luego se aplica el método de reducción de Gauss-Jordan para obtener la matriz ampliada [ I | B] La primera condición es tener 1 en la posición [1 , 1 ], como no se tiene la condición intercambiamos la filas 1 y 2, quedando 1 2 1 Tener 0 en el resto de posiciones de la columna 1

1 2 1

4 5 −3

3 0 4 1 −2 0

1 0 0

0 0 1

F1*-2+F2 F1*-1+F3

F2*7+F3

1 0 0

3 0 4 1 −2 0

1 0 0

0 0 1

Tener 1 en la posición [2,2]

1 0 0

4 −3 −7

3 0 −2 1 −5 0

1 −2 −1

0 0 1

F2/-3

1 0 0

4 1 −7

3 0 2/3 −1/3 0 −5

Tener 1 en la posición [3,3]

Tener 0 en el resto de posiciones de la columna 2

F2*-4+F1

4 5 −3

0 1 0

1/3 4/3 2/3 −1/3 −1/3 −7/3

2 Para finalizar se verifica que A.B=I es decir 1 1

−5/3 2/3 11/3

0 0 1

5 4 −3

4 3 −2

F3*-3 −1 −5 7

1 0 0

2 8 −11

0 1 0

1 2/3 −1

Tener 0 en el resto de posiciones de la columna 3

1/3 4/3 2/3 −1/3 1 7

1 1 2 = 0 −3 0

0 1 0

−5/3 2/3 −11

0 0 −3

F3*-1/3+F1 F3*-2/3+F2

0 0 1

−1 2 1 La matriz 𝐵 = −5 8 2 se supone es la inversa de A. 7 −11 −3 Actividad 1. Verifique los procesos del ejercicio anterior 2. 3 1 2 2. Obtenga la inversa de la matriz 𝐴 = 1 2 3 si existe 1 1 1

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0 0 1

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1 0 0

0 1 0

0 −1 0 −5 1 7

2 8 −11

1 2 −3

Ejercicio. Calcule la inversa de cada matriz: 1.

2 5 4 1 4 3 1 −3 −2

1 3 5 5. −1 −1 2 1 5 1

1 2 2. 1 1 5 2

4 3 4

3 1 3. 1 2 1 1 2 7. 3 1

1 5 4 6. 1 4 3 1 −3 −2

2 3 1

1 2 3 4. −1 5 6 −1 3 3 1 1 0 1 1 1

ECUACIONES MATRICIALES También se puede resolver un sistema de ecuaciones lineales multiplicando ambos lados de la ecuación por el inverso de la matriz de coeficientes. De la misma manera que escribimos el sistema de tres ecuaciones como ecuación matricial de la forma AX =B, podemos hacerlo de forma general. Si A es una matriz de n x n, B y X son matrices de n x 1, entonces: AX = B Es una ecuación matricial. Si existe la inversa de la matriz A, entonces podemos usar esa inversa para despejar la matriz X en la ecuación matricial. El método de solución general es como sigue: AX =B Multiplicamos ambos lados de la igualdad por A-1, A-1 (AX) = A-1 B (A-1 A)X = A-1 B IX = A-1 B X = A-1 B

Por lo tanto las matrices inversas se pueden utilizar para resolver sistemas de ecuaciones. Desafortunadamente este sistema funciona si solo si existe la inversa de la matriz de coeficientes Manual de Algebra Lineal Por: José Barros Troncoso

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Ejercicio. Use la matriz inversa para resolver cada sistema de ecuaciones 1. –x +z =1 x + 4y – 3z = -3 x – 2y + z = 3

4.

6 1 20

2. x + y + z = 3 2x + y + z = 4 2x + 2y + z = 10

3 −8 𝑥 1 0 −3 𝑦 = −2 −12 2 𝑧 10

3. 2x – y – 2z = 2 3x – y + z = -3 x+y–z=7

3 −1 0 𝑥 11 5. 2 −1 1 𝑦 = 9 −1 1 −3 𝑧 −8

1 1 6. 2 1 2 2

2 𝑥 8 1 𝑦 = 7 1 𝑧 10

APLICACIÓN DE LAS MATRICES Modelos de Entrada-Salida de Leontief El modelo desarrollado por Wassily Leontief, es una aplicación interesante de las matrices, que fue útil para pronosticar los efectos en los cambios de precios o las variaciones de las erogaciones gubernamentales sobre la economía. Un modelo simplificado de la economía sería:

Entradas Productos Agrícolas Bienes Manufacturados Combustibles

Productos Agrícolas 0.5 0.2 0.1

Salidas Bienes Manufacturados 0.1 0.5 0.3

Combustible 0.1 0.3 0.4

A partir de esta tabla, podemos formar la matriz A, la cual se llama Matriz tecnológica o Matriz de Leontief A=

0.5 0,2 0,1

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0,1 0,5 0,3

0,1 0,3 0,4

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La matriz tecnológica no tiene toda la información. En particular, cada industria tiene una producción bruta. Se puede presentar la matriz de producción bruta para la economía con una matriz de columna A=

x1 X2 X3

Donde x1 es la producción bruta de los productos agrícolas, x2 es producción bruta de bienes manufacturados y x3 es la producción bruta de combustibles.

la

La cantidad de las producciones brutas que en la economía usan varias industrias se determina por medio de AX. Las unidades de producción bruta que no se utilizan en estas industrias se denominan demandas finales o superávits y s pueden considerar que están disponibles para los consumidores, el gobierno o la exportación. Si ponemos estos superávits en una matriz columna D, entonces se puede representar el superávit con la ecuación X – AX = D ó (I – A) X=D Donde I es la matriz unidad o identidad. Esta ecuación matricial recibe el nombre de Ecuación tecnológica para un modelo abierto de Leontief. Se llame modelo abierto porque algunas mercancías de la economía están “abiertas” o disponibles para entidades ajenas a la economía Ejercicio. Si queremos tener un superávit de 85 unidades de producción agrícola, 65 de productos fabricados y 0 unidades de combustible ¿cuáles deben ser las producciones brutas? Por datos D=

85 65 0

0,1 0,5 0,3

0,1 0,3 0,4

Debemos resolver: 1 0 0

I–A=

0 1 0 1 0 0

0 0 1 0 1 0

0.5 0,2 0,1

-

0 0 1

-

0,5 0,2 0,1

0,1 0,5 0,3

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0,1 0,3 0,4

X1 X2 X3

x

=

0,5 -0,2 -0,1

=

85 65 0 -0,1 0,5 -0,3

-0,1 -0,3 0,6 Página 26

Debemos resolver la ecuación matricial

La matriz ampliada es

0,5 -0,2 -0,1

-0,1 0,5 -0,3

0,5 -0,2 -0,1

-0,1 -0,3 0,6

-0,1 0,5 -0,3

X1 X2 X3

-0,1 -0,3 0,6

=

85 65 0

85 65 0

Si se reduce utilizando el método de Gauss-Jordan, se obtiene 1 0 0

0 1 0

0 0 1

300 400 250

De modo que las producciones brutas de las industrias son Agricultura: Manufactura: Combustible:

X1 X2 X3

= = =

300 400 250

La ecuación tecnológica para el modelo de Leontief se puede resolver usando la inversa de I – A, si esta existe. Es decir, (I – A)X = D tiene solución X = (I – A) -1D Problemas 1. Una economía primitiva con una industria maderera y una industria de energía tiene la siguiente matriz tecnológica Madera Energía A= 0,1 0,2 Madera 0,2 0,4 Energía Si se desean superávits de 30 unidades de madera y 70 unidades de energía, encuentre la producción bruta de cada industria.

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2. Suponga que una economía tiene dos industrias, agricultura y minería, y la economía tiene una matriz tecnológica A M 0.4 0.2 Agricultura A= 0.1 0.3 Minería Si desean un superávit de 140 unidades agrícolas y 140 unidades de minerales, encuentre la producción bruta de cada industria 3. Dada la matriz tecnológica A con industrias a, b, c 1.2 0.5 0.3 𝑎 A= 0.2 0.1 0.1 𝑏 0.2 0.2 0.1 𝑐 Halle la producción bruta de cada industria si se desea obtener la siguiente matriz de superávits 77 D= 154 231 4. La economía de una nación en vía de desarrollo tiene la siguiente matriz tecnológica Agricultura 0,1 0,02 0,05

Siderurgia 0,01 0,13 0,18

Carbón 0,01 0,20 0,05

Agricultura Siderurgia Carbón

Encuentre las producciones brutas necesarias para dar superávits de 2 350 toneladas de productos agrícolas, 4552 toneladas de acero y 911 toneladas de carbón. 5. Una economía simple tiene una industria de calzado y una de ganadería con la matriz tecnológica C G 0.1 0.1 Calzado A= 0.2 0.05 Ganadería Manual de Algebra Lineal Por: José Barros Troncoso

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Se desean superávits de 850 unidades de calzado y 275 unidades de ganado. Encuentre la producción bruta de cada industria. 6. La economía de una nación tiene la siguiente matriz tecnológica Agricultura 0,43 0,3 0,23

Industria 0,08 0,17 0,22

Servicios 0,06 Agricultura 0,05 Industria 0,1 Servicio

Encuentre las producciones brutas necesarias para dar superávits de 490 unidades de productos agrícolas, 1 050 en la industria y 1 910 de servicios.

Modelo Cerrado de Leontief. Si se desarrolla un modelo en el que todas las entradas y salidas se usan dentro de los sistemas, entonces dicho modelo recibe el nombre de Modelo Cerrado de Leontief. En dicho modelo, se debe incluir el trabajo (mano de obra). En este caso no hay superávits, de manera que la matriz D=0. La ecuación para el modelo cerrado de Leontief está dada por: (I – A)X = 0 donde 0 es una matriz de columnas 0. Para los modelos cerrados, la ecuación tecnológica no tiene solución única, de modo que la matriz (I –A) no existe y por tanto no es posible usarla para encontrar la solución. Ejercicio.

1.

Suponga que la matriz tecnológica para un modelo cerrado de una economía simple se determina por medio de la matriz A, encuentre las producciones brutas de la industria L NL T 0.4 0.3 0.4 Lucrativos A = 0.2 0.4 0.2 No lucrativos 0.4 0.3 0.4 Trabajo

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2. Se da la matriz parcialmente reducida para la producción bruta de cada industria de un modelo cerrado de Leontief. Encuentre la producción bruta de cada industria GE A T 3 -10 -7 Generación de Energía 0 20 -10 Agricultura 0 0 0 Trabajo 3. Suponga que la matriz tecnológica para un modelo cerrado de una economía simple se determina mediante.

A=

P M T 0.5 0.1 0.2 0.1 0.3 0 0.4 0.6 0.8

Productos Maquinarias Trabajo

Encuentre las producciones brutas de la industria 4. Suponga que la matriz tecnológica para un modelo cerrado de una economía simple se determina mediante.

A=

G I T 0.4 0.1 0.3 0.4 0.3 0.2 0.2 0.6 0.5

Gobierno Industria Trabajo

Encuentre las producciones brutas de la industria 5. Suponga que la matriz tecnológica para un modelo cerrado de una economía simple se determina mediante.

A=

G I 0.4 0.2 0.2 0.3 0.4 0.5

T 0.2 0.3 0.5

Gobierno Industria Trabajo

Encuentre las producciones brutas de la industria

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6. Suponga que la matriz tecnológica para un modelo cerrado de una economía simple se determina mediante.

A=

E M T 0.2 0.1 0.1 0.6 0.5 0.1 0.2 0.4 0.8

Embarques Manufactura Trabajo

Encuentre las producciones brutas de la industria 7. Suponga que la matriz tecnológica para un modelo cerrado de una economía simple se determina mediante.

A=

M 0.5 0.4 0.1

GE T 0.4 0.3 0.5 0.3 0.1 0.4

Manufactura Generación de Energía Trabajo

Encuentre las producciones brutas de la industria 8. Suponga que la matriz tecnológica para un modelo cerrado de una economía simple se determina mediante.

A=

G L NL 0.3 0.2 0.1 0.2 0.3 0.1 0.2 0.1 0.2 0.3 0.4 0.6

T 0.05 0.1 0.1 0.75

Gobierno Lucrativas No Lucrativas Trabajo

Encuentre las producciones brutas de la industria 9. Suponga que una economía consiste en los sectores de carbón electricidad y el trabajo. El carbón para su producción necesita del 0% de carbón, 40% de electricidad y 60% de la mano de obra. Para la electricidad se necesita 60% de carbón, 10% de electricidad y 20% de la mano de obra. La mano de obra necesita 40% de carbón, 50% de electricidad y 20% de ella misma. Encuentre y explique la producción bruta de cada industria.

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