Makalah Matematika Diskrit 2.docx

MAKALAH MATEMATIKA DISKRIT ( Himpunan )

Dosen Pengampu :

AMIRHUD DALIMUNTHE, S.T., M.KOM.

Disusun Oleh : Kelompok 10 Febrianti Hutahaean (5183351010) Fikri Hanif

(5183351017)

PENDIDIKAN TEKNOLOGI INFORMATIKA & KOMPUTER FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS NEGERI MEDAN T.A 2018/2019 KATA PENGHANTAR

Puji syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Esa atas segala rahmatNya sehingga makalah ini dapat tersusun hingga selesai. Tidak lupa kami juga mengucapkan banyak terimakasih atas bantuan dari pihak yang telah berkontribusi dengan memberikan sumbangan baik materi maupun pikirannya. Harapan kami semoga makalah ini dapat menambah pengetahuan dan pengalaman bagi para pembaca, untuk ke depannya dapat memperbaiki bentuk maupun menambah isi makalah agar menjadi lebih baik lagi. Karena keterbatasan pengetahuan maupun pengalaman kami, Kami yakin masih banyak kekurangan dalam makalah ini, Oleh karena itu kami sangat mengharapkan saran dan kritik yang membangun dari pembaca demi kesempurnaan makalah ini.

Medan, Maret 2019

Penyusun

DAFTAR ISI

KATA PENGHANTAR................................................................................................................................i

DAFTAR ISI................................................................................................................................................ii BAB I PENDAHULUAN............................................................................................................................3 1.1. Latar Belakang..................................................................................................................................3 1.2. Rumusan Masalah.............................................................................................................................3 1.3. Manfaat.............................................................................................................................................3 BAB II PEMBAHASAN.............................................................................................................................5 2.1. Definisi Himpunan............................................................................................................................5 2.2. Penyajian Himpunan.........................................................................................................................5 2.3. Kardinalitas.......................................................................................................................................7 2.4. Jenis-Jenis Himpunan.......................................................................................................................7 2.5. Operasi Terhadap Himpunan...........................................................................................................10 2.7. Prinsip Dualitas...............................................................................................................................12 2.8. Prinsip Inklusi-Eksklusi..................................................................................................................12 2.9. Partisi.............................................................................................................................................12 2.10. Pembbuktian Posisi Himpunan.....................................................................................................13 BAB III PENUTUP...................................................................................................................................14 3.1. Kesimpulan.....................................................................................................................................14 3.2. Saran................................................................................................................................................14 DAFTAR PUSTAKA.................................................................................................................................15

BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Dalam matematika, himpunan adalah segala koleksi benda-benda tertentu yang dianggap sebagai satu kesatuan. Walaupun hal ini merupakan ide yang sederhana, tidak salah jika himpunan merupakan salah satu konsep penting dan mendasar dalam matematika modern, dan karenanya, studi mengenai himpunan sangatlah berguna. Himpunan biasa digunakan dalam matematika dan dalam kehidupan sehari-hari. Dalam kehidupan sehari-hari kita jumpai pengertian tersebut seperti dalam Himpunan Mahasiswa Ilmu Komunikasi Universitas Budidarma, kumpulan koran bekas, koleksi perangko, kelompok belajar, gugus depan dalam pramuka dan kata sejenis lainnya. Kata-kata himpunan, kumpulan, koleksi, kelompok daam kehidupan sehari-hari memiliki arti yang sama. Pengertian himpunan merupakan salah satu dasar dari matematika. Konsep dalam matematika dapat dikembalikan pada pengertian himpunan, misalnya garis adalah himpunan titik. Sebetulnya pengertian himpunan mudah dipahami dan dapat diterima secara intuitif,. Tetapi dalam matematika dapat dibuat definisinya. Kata himpunan dan kumpulan digunakan dalam definisi secara bersamaan, meskipun keduanya mempunyai arti yang sama. Demikian pula dengan kata himpunan dan koleksi. 1.2. Rumusan Masalah  Jelaskan apa yang dimaksud dengan himpunan  Jelaskan penyajian himpunan  Jelaskan pengertian kardinalitas  Jelaskan jenis-jenis himpunan  Jelaskan operasi terhadap himpunan  Jelaskan huikum-hukum himpunan  Jelaskan yang dimaksud prinsip dualitas  Jelaskan apa yang dimaksud dengan prinsip inklusi-ekslusi  Jelaskan apa yang dimaksud dengan partisi  Jelaskan pembuktiaan proposisi himpuanan 1.3. Manfaat  Menjadi tau definisi himpunan  Menjadi tau bagaimana penyajian himpunan  Menjadi tau definisi kardinalitas  Menjadi tau jenis-jenis himpunan  Menjadi tau operasi terhadap himpunan

    

Menjadi tau apa saja hukum-hukum himpunan Menjadi tau defenisi prinsip dualitas Menjadi tau definisi prinsip inklusi-ekslusi Menjadi tau definisi partisi Menjadi tau definisi pembuktiaan proposisi himpuanan

BAB II PEMBAHASAN 2.1. Definisi Himpunan Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. HIMATIF adalah contoh sebuah himpunan, di dalamnya berisi anggota berupa mahasiswa. Tiap mahasiswa berbeda satu sama lain. 2.2. Penyajian Himpunan A. Himpunan Enumerasi Mengenumerasi artinya menuliskan semua elemen himpunan yang bersangkutan di antara dua buah tanda kurung kurawal. Biasanyasuatu himpunan diberi nama dengan menggunakan huruf kapital maupun dengan menggunakan simbol-simbol lainnya. Contoh Himpunan A mempunyai tiga bilangan asli pertama: A={1,2,3}. Himpunan B mempunyai dua bilangan genap positif pertama: B={4,5}. Meskipun himpunan biasa digunakan untuk mengelompokkan objek yang mempunyai sifat mirip, tetapi dari definisi himpunan diketahui bahwa sah-sah saja elemen-elemen di dalam himpunan tidak mempunyai hubungan satu sama lain, asalkan berbeda. contoh: {hewan, a, Amir, 10, komputer} adalah himpunan yang terdiri dari lima elemen, yaitu hewan, a, Amir, 10, komputer. R = { a, b, {a, b, c}, {a, c} }

C = {a, {a}, {{a}} }

Contoh tersebut memperlihatkan bahwa suatu himpunan bisa terdapat anggota himpunan lain. K={ } Contoh tersebut adalah himpunan kosong, karena K hanya berisi satu elemen yaitu { }. Himpunan kosong dapat dilambangkan dengan Ø. Himpunan 100 buah bilangan asli pertama bisa dituli {1, 2, …, 100} Untuk menuliskan himpunan yang tak berhingga, kita dapat menggunakan tanda ellipsis(∞).

Himpunan bilangan bulat positif ditulis sebagai {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}. B. Keanggotaan x ∈ A : x merupakan anggota himpunan A; x ∉ A : x bukan merupakan anggota himpunan A. misal, A = {1, 2, 3, 4}, R = { a, b, {a, b, c}, {a, c} } maka, 1 ∈ A dan b ∉ A

C. Simbol-simbol Baku

Terdapat sejumlah simbol baku yang biasa digunakan untuk mendefinisikan himpunan yang sering digunakan, antara lain: P = himpunan bilangan bulat positif = {1,2,3,…} N = himpunan bilangan alami (natural) = {1,2,…} Z = himpunan bilangan bulat = {…,-2,-1,0,1,2,…} Q = himpunan bilangan rasional R = himpunan bilangan riil C = himpunan bilangan kompleks Kadang-kadang kita berhubungan dengan himpunan-himpunan yang semuanya merupakan bagian dari sebuah himpunan yang universal. Himpunan yang universal ini disebut semesta dan disimbolkan dengan U. Himpunan U harus diberikan secara eksplisit atau diarahkan berdasarkan pembicaraan. Sebagai contoh, misalnya U = {bil. Genap kurang dari 6} berarti U = {2, 4} D. Notasi Pembentuk Himpunan Cara lain menyajikan himpunan adalah dengan notasi pembentuk himpunan (set builder). Dengan cara penyajian ini, himpunan dinyatakan dengan menulis syarat yang harus dipenuhi oleh anggotanya. Notasi:{x|syarat yang harus dipenuhi oleh x} Aturan dalam penulisan syarat keanggotaan: •

Bagian di kiri tanda ’|’ melambangkan elemen himpunan

•

Tanda ’|’ dibaca dimana atau sedemikian sehingga

•

Bagian di kanan tanda ’|’ menunjukkan syarat keanggotaan himpunan

•

Setiap tanda ’,’ di dalam syarat keanggotaan dibaca sebagai dan

Contoh: A adalah himpunan bilangan asli Daftar anggota: A={1,2,3,. . .} Notasi pembentuk himpunan: A={x | x ∈ A }

E. Diagram Venn Diagram Venn menyajikan himpunan secara grafis. Cara penyajian himpunan ini diperkenalkan oleh matematikawan Inggris yang bernama John Venn pada tahun 1881. di dalam diagram Venn, himpunan semesta (U) digambarkan sebagai suatu segi empat sedangkan himpunan lainnya digambarkan sebagai lingkaran di dalam segi empat tersebut. Contoh: Misalkan U = {1, 2, …, 7, 8}, A = {1, 2, 3, 5} dan B = {2, 5, 6, 8}. 2.3. Kardinalitas Jumlah elemen di dalam A disebut kardinal dari himpunan A. Misalkan A merupakan himpunan yang elemen-elemennya berhingga banyaknya. Jumlah elemen A disebut kardinal dari himpunan A. Notasi: n(A) atau |A| , notasi |A| untuk menyatakan kardinalitas himpunan. B = {x|x merupakan HIMA di STTG}, Maka |B| = 4, dengan elemen-elemen B adalah HIMATIF, HIMAKOM, HIMASIP, HIMATI. A = {a, {a}, {{a}}, maka |A| = 3, dengan elemen-elemen A (yang berbeda) adalah a, {a}, dan {{a}}. Himpunan yang tidak berhingga banyak anggotanya mempunyai kardinalitas tidak berhingga pula. Sebagai contoh, himpunan bilangan riil mempunyai jumlah anggota tidak berhingga, maka |R| = ∞. 2.4. Jenis-Jenis Himpunan A.

Himpunan Kosong

Definisi : Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki satupun elemen atau himpunan dengan kardinalitas = 0 (nol) atau {}. Contoh soal : Sebutkan bilangan ganjil yang ada !

Jika: Diketahui : A= {2, 4, 6, 8} B= {4, 6, 10} Jawabannya adalah {} atau Ø. Karena pada himpunan A dan B tidak terdapat bilangan ganjil. B. Himpunan Bagian Definisi : Himpunan A dikatakan himpunan bagian (subset) dari himpunan B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen dari B. Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A. Contoh soal : Buktikan bahwa A bagian himpunan dari B! Jika : Diketahui : A={2, 4, 6} B={2, 3, 4, 5, 6} Jawabannya: A ⊆ B= {2, 4, 6}

Kenapa {3, 5} tidak termasuk ? Karena 3 dan 5 tidak termasuk anggota himpunan A. C. Himpunan sama Definisi : Himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B jika dan hanya jika keduanya mempunyai elemen yang sama. Dengan kata lain, A sama dengan B jika A adalah himpunan bagian dari B dan B adalah himpunan bagian dari A. Jika tidak demikian, maka kita katakan A tidak sama dengan B.

Notasi : A = B <==> A ⊆ B dan B ⊆ A

Tiga hal yang harus diperhatikan dalam memeriksa kesamaan dua buah himpunan : 1. Urutan elemen di dalam himpunan tidak penting. Jadi, {1,2,3} = {3,2,1 = {1,,3,2} 2.Pengulangan elemen tidak mempengaruhi kesamaan dua buah himpunan. Jadi, {1,1,1,1} = {1,1} = {1} 3.Untuk tiga buah himpunan, A,B dan C berlaku aksioma berikut: (a) A = A, B = B dan C = C (b) Jika A = B, maka B = A (c) Jika A = B dan B = C, maka A = C D. Himpunan Ekuivalen Definisi: Dua himpunan dikatakan Ekuivalen apabila jumlah anggota kedua himpunan itu sama tetapi bendanya ada yang tidak sama. Contoh : P = { a, I, u, e, o } ; Q = { 1, 2, 3, 4, 5 } Kedua himpunan P dan Q anggota-anggotanya tidak sama tetapi jumlah anggotanya sama maka himpunan P Ekuivalen dengan Q, jadi ( P ~ Q ). E. Himpunan saling lepas lepas Dua himpunan yang tidak kosong dikatakan saling lepas jika keduahimpunan itu tidakmempunyai satup un anggota yang sama .

Contoh : P = { 1, 3, 5, 7, 9} Q = { 2, 4, 6, 8, 10 } perhatikan, tidak ada anggota himpunan P dan Q yang sama maka himpunan P dan Q adalah dua himpunan yang saling lepas, jadi P// Q 2.5. Operasi Terhadap Himpunan 1. Irisan ( ∩ ) Irisan (intersection) dari himpunan A dan B adalah himpunan yg setiap elemennya merupakan elemen dari himpunan A dan himpunan B. Notasi: A ∩ B={x | x ∈ A dan x ∈ B}

Misalkan A={1,2,3,4,5} dan B={2,3,5,7,11} maka A ∩ B={2,3,5} 2. Gabungan ( ∪ )

Gabungan(union) dari himpunan A dan B adalah himpunan yang setiap anggotanya merupakan anggota himpunan A atau himpunan B. Notasi : A ∪ B = { x | x ∈ A atau x ∈ B } Misalkan A={1,2,3,4,5} dan B={2,3,5,7,11} maka, A ∪ B={1,2,3,4,5,7,11} 3. Komplemen

Komplemen dari suatu himpunan A terhadap suatu himpunan semesta U adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan elemen U yang bukan elemen A. Notasi : Ā = { x | x ∈ U, tapi x ∉ A } Misalkan U={0,… 11} dan A={1,3,5,7} maka, Ā = {0,2,4,6,8,9,10,11} 4. Selisih Selisih dari dua himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan elemen A dan bukan elemen B. Selisih antara A dan B dapat juga dikatakan sebagai komplemen himpunan B relatif terhadap himpunan A.

Notasi : A – B = { x | x ∈ A dan x ∉ B } = A ∩ B’ Misalkan A={1,2,3,4,5} dan B={2,3,5,7,11} maka A – B = {1,4} 5. Beda Setangkup Beda setangkup dari himpunan A dan B adalah sesuatu himpunan yang elemennya ada pada himpunan A atau B, tetapi tidak pada keduanya. Notasi: A⊕B = (A∪B) – (A∩B) = (A-B) ∪ (B-A) Misalkan A = { 2, 4, 6 } dan B = { 2, 3, 5 } maka , A⊕B = { 3, 4, 5, 6 } 6. Perkalian Kartesain

Perkalian kartesian (Cartesian products) dari himpunan A dan B adalah himpunan yang elemennya semua pasangan berurutan (ordered pairs) yang mungkin terbentuk dengan komponen kedua dari himpunan A dan B. Notasi: A x B ={(a,b)| a ∈ A dan b ∈ B} Misalkan C = { 1, 2, 3 }, dan D = { a, b }, maka C × D = { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) } Catatan: 1. Hukum identitas:

2.Hukum null:

1. jika A dan B merupakan himpunan berhingga, maka: |A x B| = |A| . |B|

–A∪∅=A –A∩U =A

–A∩∅=∅ –A∪U=U

2. Pasangan berurutan berbeda dengan (b,a).

3. Hukum Komplemen: –A∪Ā=U –A∩ Ā=∅ 5. Hukum Involusi: – –(–A)= A

4. hukum idempotent: –A∪A=A –A ∩A=A 6. Hukum Penyerapan: – A ∪ (A ∩ B) = A – A ∩ (A ∪ B) = A

8. Hukum Asosiatif: 7. Hukum Komutatif: –A∪B=B∪A –A∩B=B∩A 9. Hukum distributif : – A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) – A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A∩C)

– A ∪ (B ∪ C)=(A ∪ B) ∪ C – A ∩ (B ∩ C)=(A ∩ B) ∩ C – A ⊕ (B ⊕ C)=(A ⊕ B) ⊕ C 10. Hukum DeMorgan : – A∩B = A∪ B – A∪B = A∩ B

(a,b)

3. Perkalian kartesian tidak komutatif, yaitu A x B ≠ B x A dengan syarat A dan B tidak kosong. 4. Jika A = ∅ atau B = ∅ maka A x B = B xA= ∅ 2.6. Himpunan

Hukum-Hukum

2.7. Prinsip Dualitas Prinsip dualitas pada himpunan. Misalkan S adalah suatu kesamaan yang melibatkan himpunan dan operasi-operasi seperti komplemen, dan . Jika S* diperoleh dari S dengan mengganti → , → , Ø → U, U → Ø, maka kesamaan S* juga benar dan disebut dual dari kesamaan S. Prinsip dualitas merupakan Prinsip yang penting dalam aljabar himpunan, karena kita dapat menggunakan prinsip ini untuk menurunkan hukum yang lain atau membuktikan suatu kalimat himpunan. 2.8. Prinsip Inklusi-Eksklusi Berapa banyak anggota didalam gabungan dua buah himpunan A dan B? Penggabungan dua buah menghasilkan dua buah himpunan baru yang elemen-elemenya berasal dari himpunan A dan himpunan B. Himpunan A dan himpunan B mungkin saja memiliki elemen-elemen yang sama. Banyaknya elemen bersama antara A dan B adalah IA ∩ BI. Setiap unsur yang sama itu telah dihitung dua kali, sekali pada IAI dan sekali pada IBI, meskipun ia seharusnya dianggap sebagai satu buah elemen didalam ⏐A∪ B⏐, karena itu, jumlah elemen hasil penghubungan seharusnya adalah jumlah elemen dimasingmasing himpunan dikurangi dengan jumlah elemen didalam irisannya, atau IA ∪ BI = IAI + IBI– IA ∩ BI.

Prinsip ini dikenal dengan nama prinsip inklusi-eksklusi. Dengan cara yang sama, kita dapat menghitung jumlah elemen hasil operasi beda setangkup: IA ⊕ BI = IAI + IBI– 2IA ∩ BI 2.9. Partisi

Partisi dari sebuah himpunan A adalah sekumpulan himpunan bagian tidak kosong A 1,A2 …..dari A sedemikian sehingga : (a) A1 A2 …. = A, dan (b) Himpunan bagian Ai saling lepas;yaitu Ai ∩ Aj = Ø untuk i ≠ j. Misalkan A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, maka { {1}, {2, 3, 4}, {7, 8}, {5, 6} } adalah partisi A. 2.10. Pembbuktian Posisi Himpunan Terdapat beberapa metode untuk membuktikan kebenaran suatu atau kalimat himpunan. Penggunaan metode bergantung pada kalimat akan dibuktikan. Untuk suatu kalimat himpunan, kita dapat membuktikannya dengan beberapa cara yang menghasilkan kesimpulan benar. Dibawah ini dikemukakan beberapa cara pembuktian kalimat himpunan. •

Pembuktian dengan Diagram Venn

Buatlah diagram venn untuk ruas kiri kesamaan dan diagram Venn untuk ruas kanan kesamaan. Jika diagram Venn keduanya sama, berarti kesamaan tersebut benar. Dengan diagram Venn, pembuktian dapat dilakukan dengan cepat. Ini adalah kelebihan metode ini. Namun, kekurangannya, diagram Venn hanya dapat digunakan jika himpunan yang digambarkan tidak banyak jumlahnya. Selain itu, metode ini mengilustrasikan ketimbang membuktikan fakta. Banyak matematikawan yang tidak menganggapnya sebagai metode valid untuk pembuktian secara formal. • Pembuktian dengan Menggunakan Tabel Keanggotaan Kesamaan himpunan juga dapat dibuktikan dengan menggunakan tabel keanggotaan (membership tables). Kita menggunakan angka 1 untuk menyatakan bahwa suatu elemen adalah anggota himpunan, dan 0 untuk menyatakan bukan himpunan (nilai ini dapat dianalogikan true dan false pada logika Boolean).

BAB III PENUTUP 3.1. Kesimpulan Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. HIMATIF adalah contoh sebuah himpunan, di dalamnya berisi anggota berupa mahasiswa. Tiap mahasiswa berbeda satu sama lain. Jumlah elemen di dalam A disebut kardinal dari himpunan A. Misalkan A merupakan himpunan yang elemen-elemennya berhingga banyaknya. Jumlah elemen A disebut kardinal dari himpunan A. Prinsip dualitas pada himpunan. Misalkan S adalah suatu kesamaan yang melibatkan himpunan dan operasi-operasi seperti komplemen, dan . Jika S* diperoleh dari S dengan mengganti → , → , Ø → U, U → Ø, maka kesamaan S* juga benar dan disebut dual dari kesamaan S. Prinsip dualitas merupakan Prinsip yang penting dalam aljabar himpunan, karena kita dapat menggunakan prinsip ini untuk menurunkan hukum yang lain atau membuktikan suatu kalimat himpunan. Partisi dari sebuah himpunan A adalah sekumpulan himpunan bagian tidak kosong A1,A2 …..dari A sedemikian.

3.2. Saran Saran dari kami sebagai penyusun makalah ini adalah agar dipahami dan apabila sudah dipahami maka saya harap agar di aplikasikan di lingkungan sekitar, supaya orang lain dapat mengetahui tentang apa itu Himpunan . Demikian makalah matematika diskrit tentang Himpunan, makalah ini tentunya masih banyak kekurangan yang harus dilengkapi, untuk mencapai kesempurnaan. Kami hanyalah manusia biasa yang penuh dengan kekurangan, untuk itu penulis mohon dengan segala keren dahan hati, untuk memberikan saran dan kritiknya yang bersifat membangun, dengan harapan agar makalah ini bias lebih sempurna.

DAFTAR PUSTAKA   

matematikadiskri.blogspot.com/2012/11/teori-himpunan.html https://annisarido.wordpress.com/2013/09/29/matematika-diskrit-teori-himpunan/ https://lintiyuni.wordpress.com/matematika-diskrit/himpunan/jenis-jenis-himpunan/