Matematika Diskrit 24 Okt 09

MATEMATIKA DISKRIT Ulasan dalam semester ini terdiri dari : 1. Teori himpunan 2. Graph 3. Digraph 4. Beberapa Aplikasi

Kumpulan Himpunan : Pendahuluan : George Boole (1815 – 1864) George Contor (1845 – 1918) Aplikasi : Analisa, Aljabar, Ilmu Ukur, Kaitan Matematika dan Filsafat Contoh : a. b.

Kumpulan huruf hidup Kumpulan semua titik yang berjarak sama ke suatu titik yang diketahui

Simbol : Himpunan huruf besar : A, B, C, D,... Anggota himpunan : a, b, c, d,... Cara mengambarkan suatu kumpulan : a. Metoda pandaftaran (Roster Methods) Contoh : A = {a, i, u, e, o} b. Metoda pencirian (Rule Methods / Characterisation Methods) Contoh : A = { x I sifat x } A = { x : sifat x } Catatan : Ada kumpulan yang hanya dapat ditulis dengan metoda pencirian saja atau metoda pendaftaran saja, atau keduanya, misal : A = {x I x = Mahasiswa kelas matematika diskrit 2009} Atau : A = {Ali, Budi,.... Zali} Contoh : 1. 2. 3.

A = {meja, pohon, pasir} B = {x I x bilangan rasional 0 < x < 1} C = { x I x bilangan prima diantara 1 dan 25} (metoda pencirian) {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23} (metoda pendaftaran) Bilangan prima sifatnya adalah tidak habis dibagi kecuali dengan bilangan itu sendiri dimulai dengan 2

Metode Roster A ={1, 4, 9, 16, 25, 36} Metode Pencirian A = {x Ix = m2, m= 1, 2, .... 6} M≤6 M = bilangan asli Boleh juga ditulis A = {x I x = m2, M = bilangan asli M ≤ 6} Bilangan ganjil 1 = 1 = 12 1 + 3 = 4 = 22 1 + 3 + 5 = 9 = 32 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42 1 + 3 + 5 + 7 + ... 99 = 502 (2 x 50 – 1) 1 = 1 = 1 x 2/3 1 + 2 = 3 = 2 x 3/2 1 + 2 + 3 = 3 x 4/2 1 + 2 + 3 + 4 = 4 x 5/2 1 + 2 + 3 + 4 ...+100= 100 x 101/2 = 5050

Bilangan Genap 0=0 0+2=2 0+2+4=6 0 + 2 + 4 + 6 = 12 0 + 2 + 4 + 6 + 8 +... 100 Tulis dalam himpunan A = {0, 2, 6, 12, 20, 30 ,42, 56, 72} A = { x I x = m (m + 1) } 2 + 4 + ... 2 m = m (m+1)

Rumus : 1 + 2 + ... + m = m (m+1) 2 1 + 3 + ... + (2m – 1) = m2 M = bilangan asli, yaitu 1, 2, 3, 4, .... Contoh : 1 + 2 + 3 + 4 .... + 1000000 = ? 500000 x 1000000 / 2 = 50000050000

Flow chart untuk menghitung S = 1 + 2 + 3 + ... + 1000000

Simbol – simbol Flow chart :

Start

= Terminal M = 1000000 = i/o input/ output S=S+i = decision (pilihan)

i=m

tidak

i=i+1

= proses

ya Hasilnya = S

Stop

Simbol-simbol matematika : ∀ = Setiap ∃ = Ada ) = Sehingga ∈ = Anggota ⇒ = maka ⇔ = Jika dan hanya jika INDUKSI : Fungsi untuk membuktikan kebenaran suatu pernyataan mengenai bilangan asli Algoritma : 1. Periksalah penyataan itu untuk M = 1 2. Jika pernyataan benar untuk M = 1, andaikan benar untuk M = K 3. Periksa apakah pernyataan masih benar untuk M = K + 1

4. Jika (3) benar, maka pernyataan benar untuk semua n bilangan asli Contoh : Diketahui : 1 + 2 + ... + M =

M ( M + 1) 2

Keterangan : buktika pernyataan benar untuk semua bilangan asli M Jawab : 1. 2.

3.

Periksa untuk M = 1 Andaikan benar utnuk M = K K ( K + 1) 1 + 2 + ...+ K = 2 Periksa untuk M = K + 1 ( K + 1)( K + 2) 1 + 2 ... + K = ? 2 1 + 2 ... + K =

( K + 1)( K + 2) ? 2

K ( K + 1) ( K + 1)( K + 2) + (K + 1) = 2 2 K ( K + 1) + 2( K + 1) ( K + 1) + ( K + 2) = ? 2 2

4.

Jika (3) benar, maka pernyataan benar untuk semua bilangan ( K + 1) + ( K + 2) ( K + 1) + ( K + 2) = 2 2

1 + 2 + ... + M =

M ( M + 1) 2

Contoh lain : 1. 2. 3.

B = { x I x bilangan rasional, x2 = 2} C = { x I x segitiga yang tak sebangun dengan x } D + { x I x ≠ x}

Lemma : Lemma adalah semacam hipotesa, tapi tingkat akurasinya dibawah hipotesa, susunan tingkatannya adalah Theorema, Hipotesa, kemudian Lemma. Lemma : Bila A kumpulan sembarangan, maka ∅ ⊆ A, jadi kumpulan kosong merupakan kumpulan bagian dari setiap kumpulan. B = { x I x bilanga irasional x = ={ 2,

3,

5,

6,

7,

m ,m≠x2 8 ...}

Bilangan imajiner X2 + 1 = 0 → X2 = - 1 X = ± −1 = ± i i = bilangan imajiner Bilangan real x bilangan imajiner = bilangan imajiner Ilustrasi : Persamaan Kuadrat Parabola Ax2 + Bx + C = 0 Rumus ”abc” X12 =

− B ± B 2 − 3ac 2a

X1 = akar persamaan Contoh : 1. X2 + X - 4 = 0 X2 =

− 1 ± 12 + 16 2 = −

1 1 ± 17 2 2

X1 = −

1 1 + 17 2 2

X2 = −

1 1 + 17 2 2

2. X2 + 4X + 5 + 0 − 4 + 16 − 20 X 12 = 2

= −2±

1 −4 2

= −2±

1 4 −1 2

= − 2 ±1

Persamaan Kuadrat Parabola D = b2 – 4 ac (Deskriminan)

X 12

− 6 ± b 2 − 4ac = 2a

X12 = akar persamaan

A>0 D<0

A>0 D=0 A>0 D>0 X1 = X 2 A<0 D<0

A<0 D=0

X1

X2

A<0 D>0