Localizar Um Entroncamento Numa Estrada

Localizar um entroncamento numa estrada

Está prevista uma estrada, com um traçado rectilíneo. Nesta estrada é necessário construir um entroncamento, E, que servirá de ligação, através de outras duas estradas de traçado recto, a duas vilas, a Vila Nova , N, e a Vila Velha, V. a) De acordo com os dados onde se deve situar esse entroncamento de forma a minimizarem-se os custos de construção? b) Investigue outras possibilidades de construir duas estradas de forma a ligar as duas vilas e estas à estrada principal ( cinzento na figura) e confronte-a com a sugerida na figura.

NÍVEL: ENSINO BÁSICO. Imagine-se que a estrada [AB] é um espelho. Considere-se a imagem de Vila Nova ( N ) projectada em N´. Os triângulos [ANE] E [A N’E] são iguais. Unindo N’ a V obtemos o segmento de recta [N’V] cujo comprimento é igual à soma dos comprimentos das estradas [NE] e [EV]. Ao determinar a intersecção de [N’E] com [AB] encontramos o ponto E , local correcto para a localização do entroncamento das estradas. Geometricamente determinamos que AE =

1 AB ou seja 3

N´ E B

A

N V Nível: 10º Ano- Geometria Considere-se a estrada como o perfil de um espelho e nele projectada a imagem de N, N’. Os triângulos [ANE] E [A N’E] são iguais. Unindo N’ a V obtemos o segmento de recta [N’V] cujo comprimento é igual à soma dos comprimentos das estradas [NE] e [EV]. Ao determinar a intersecção de [N’E] com [AB] encontramos o ponto E , local correcto para a localização do entroncamento das estradas. Localize-se a estrada num referencial ortornormado. Assim as coordenadas dos pontos serão: A (0,0),B ( 4,0), N ( O, -1 ), V( 4,-2), N’ ( 0,4) Determine-se a equação reduzida da recta N’V e da recta OX y= −

3 x+4 4

∧

y=0

A intersecção destas rectas dará as coordenadas do ponto E, local do entroncamento. Ou seja E

(

4 ,1 3

)

Assim, tendo a estrada 4 metros o local do entroncamento deverá ser construído a 1,3 metros, aproximadamente, do ponto A da estrada.

4 metros ou 3

Nível do 10º e 11º ano – Funções irracionais.

x

A

E

4-

B

2 N

V Seja x = AE O custo da estrada será dado pela soma do custo de cada uma das estradas, que depende do cumprimento destas. Sendo C o comprimento da estrada, C= NE + EV Sendo x = AE então EB = 4 − x Pelo Teorema de Pitágoras NE =

x2 +1 e

EV = x 2 − 8 x + 20

Em função de x , o comprimento das estradas será C (x ) =

x2 +1 +

x 2 − 8 x + 20

Usando a calculadora gráfica ou o Wolfram Alpha e determinando o Mínimo da função C(x) obtemos :

Nível 12º ano – Estudo analítico de uma função Seja C(x) = ((x^2+1)^(1/2))+((x^2-8x+20)^(1/2)) em que C é comprimento da estrada e x a distância de A a E.

x

C’(x) =

x2 +1

+

2x − 8 2 x 2 − 8 x + 20

Determinando os zeros de C’(x)

x x2 +1

+

2x − 8 2 x 2 − 8 x + 20

=0 ⇔

O quadro de sinais

C’ C

0 -

4/3 0 min

4 +

Ou seja o mínimo é 5 para x =

4 3

x 2 + 1x + x 2 − 8 x + 20 x − 4 x 2 + 1 x 2 + 1 x 2 − 8 x + 20

=0⇔ x=

4 3