Llasha Cristhian (algebra Booleana).docx

UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATO FACULTAD DE INGENIERÍA EN SISTEMAS, ELECTRÓNICA E INDUSTRIAL PERÍODO ACADÉMICO: OCTUBRE/2016 - MARZO/2017

UNIVERSIDAD TECNICA DE AMBATO FACULTAD DE INGENIERIA EN SISTEMAS, ELECTRONICA E INDUSTRIAL CARRERA DE INGENIERIA INDUSTRIAL EN PROCESOS DE AUTOMATIZACION

TEMA: Álgebra Booleana y Compuertas Lógicas NOMBRE: Cristhian Llasha

DOCENTE: ING. Pérez Rodríguez Víctor Manuel FECHA: Martes 25 de Julio del 2017 NIVEL: Primer semestre de industrial “B”

AMBATO - ECUADOR 2017

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I. TEMA Álgebra Booleana y Compuertas Lógicas II. OBJETIVO Mediante el desarrollo de esta consulta se pretenden lograr los siguientes objetivos. - Recopilar información más relevante sobre algebra booleana y compuertas lógicas para un mejor análisis y comprensión. - Determinar las características principales en el álgebra booleana para la resolución de ejercicios. - Diferenciar los conceptos y símbolos de cada compuerta lógica. III. RESUMEN Las compuertas lógicas son operaciones booleanas que suman, multiplican, niegan o afirman, incluyen o excluyen dependiendo de sus propiedades lógicas, estas compuertas representan señales de entradas y salidas de sistemas binarios, es decir que tienen la posibilidad de adquirir un único estado, 0 o 1. IV. DESARROLLO Álgebra de Boole Es un sistema algebraico formado por un conjunto M de elementos y dos operaciones básicas, más no las únicas, “(OR)” y “(AND)” [1]. Estos operadores actúan sobre el conjunto de variables de entradas que pueda poseer el sistema en cuestión. Lo más elemental es que cuente con solo dos de ellas, por ejemplo X y Y, de tal forma que el operando sobre ambas genera un resultado asociado a una función lógica de salida, F(X, Y), el cual será un subconjunto del universo de resultados formado por dos posibles valores lógicos, 0 o 1 [2];

Elementos básicos Desde un punto de vista formal, el álgebra de Boole se compone de dos elementos: variables y operaciones, que se comentan a continuación. - Variables lógicas. solo pueden tomar un valor entre dos opciones excluyentes 0 y 1. En los circuitos con interruptores un interruptor puede estar abierto (0) o cerrado (1). De este modo, el estado de los distintos elementos del circuito, se describe usando variables lógicas. - Operaciones. Las operaciones permiten combinar variables lógicas para obtener como resultado otras variables. Las operaciones básicas del álgebra de Boole se describen a continuación. 1. Suma lógica. Se simboliza como a + b. El valor de la suma es 1 si y sólo si alguno o varios de los sumandos vale 1. El valor de la variable f asociada al estado de la lámpara se puede obtener como suma lógica de las variables a y b correspondientes a los interruptores.

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2. Producto lógico. Se simboliza como a·b. El producto dos variables es 1 sólo si ambas valen 1; en cualquier otro caso vale 0. El producto lógico equivale a la operación Y puesto que a · b produce un valor cierto (1) si y sólo si se cumple que “a es cierto y b es cierto”.

3. Negación. Esta operación actúa sobre una sola variable y se simboliza como a. La negación produce como resultado el valor contrario al dado; es decir, si una variable vale 1 su negado es 0 y si vale 0 su negado es 1.

COMPUERTAS LÓGICAS Las puertas lógicas son dispositivos electrónicos que realizan funciones booleanas y no contienen contactos móviles. Los elementos básicos con los que se construyen las puertas lógicas son componentes semiconductores como son el diodo y el transistor.

Operación básica AND. Este operando expresa simbólicamente al concepto de intersección, empleado en la teoría de conjuntos. Si se cuenta con dos variables lógicas X y Y, el operando lógico sobre ellas generaría dos posibles resultados, conjunto vacío o conjunto lleno. Al primero de ellos le corresponde el valor lógico de 0, por consiguiente al segundo le corresponderá el valor de 1. Su expresión simbólica sería: F(X, Y)=XY

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Operación básica OR Este operando expresa simbólicamente al concepto de disyunción, empleado en la teoría de conjuntos, la operación lógica OR sobre X y Y, generará dos posibles resultados, conjunto vacío o conjunto lleno, con sus correspondientes valores lógicos, 0 y 1, respectivamente. F(X, Y)=X+Y

Operación básica Inversora (NOT). Un primer razonamiento lógico inmediato al analizar los dos operandos tratados hasta el momento, sería el del manejo de la no existencia del estado X, dicho de otra forma, su parte complementaria. Esto es, el valor de exclusión 1 – X. La teoría establece que cualquier variable X tiene la oportunidad de poseer alguno de dos posibles valores, 1 o 0, mencionados con anterioridad.

Operaciones lógicas complementarias. Además de las operaciones básicas, existen otras que son de relevancia para el desarrollo de la teoría y que son obtenidas como consecuencia de las primeras. Entre ellas estarían las funciones “NAND”, “NOR” y “EXOR”. Operación NAND Es una función compuesta entre la AND y la NOT. El orden de ejecución es fundamental, que en este caso primero se realiza la operación de intersección entre dos variables, X y Y, para posteriormente aplicarle la complementariedad

Operación NOR Es una función compuesta entre la OR y la NOT. Al igual que con al NAND, el orden de sigue siendo vital. Primero se realiza la operación de unión entre dos variables, X y Y, para posteriormente aplicarle la inversión.

Operación EXOR

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Es una aplicación específica de la operación OR, también se le conoce como función “OR Exclusiva”. Su nombre obedece a que el resultado lógico 1 se consigue única y exclusivamente cuando, en el caso de tener dos variables de entrada, sólo una de ellas posee el valor lógico de uno.

Teoremas. - Ley conmutativa: Sean las variables lógicas X y Y, de tal manera que la relación siguiente queda satisfecha: X + Y = Y + X -

Ley distributiva. Sean las variables lógicas X y Y, la distributividad entre tres variables establece que: A(B + C ) = AB + AC

-

Ley asociativa. Sean las variables lógicas X y Y, la distributividad entre tres variables establece que: A + (B + C) = (A + B) + C = (A + C) + B

Propiedades Existe un conjunto de propiedades básicas, útiles para la simplificación de funciones booleanas. Algunas de ellas son inmediatas de comprobar, mientras que otras requieren de un poco más de esfuerzo para verificar su relación. A) Operación con 1

C) Absorbentes

B) Operaciones con 0

D) Complemento

Leyes de Morgan. Finalmente, esta propiedad permite realizar transformaciones de sumas y productos con variables normales y negadas. Se pueden expresar del siguiente modo: a + b = ab, y ab = a + b EJEMPLOS Determine el diagrama de tiempo resultante “S” de la compuerta Y (AND) de acuerdo a sus entradas “A” y “B” que se muestran en la figura [3]:

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Simplifique al máximo el circuito de la figura

El primer paso es determinar la función a la cual obedece el circuito. Por observación se tiene que la función es: Ahora aplicaremos álgebra de Boole para desarrollar la función y simplificar al máximo.

Por último dibujamos el circuito correspondiente a la expresión simplificada, quedando de la siguiente manera:

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V.

CONCLUSIONES - Las compuertas lógicas son elementos que nos ayudan a realizar operaciones booleanas es decir que solo pueda tomar un valor de verdad ya sea cierto o falso o 1 o 0 respectivamente. - Las propiedades nos ayudan a simplificar los circuitos que tengamos con múltiples compuertas lógicas.

VI.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

[1] G. Sandoval, «Álgebra Booleana». [2] M. y. JAAR, «Álgebra de Boole,» DISA, 2009. [3] R. Romero, «Guía y Problemario de Circuito Lógicos».