Lk Nua Cung Trong Ket Cau

PHAÂN TÍCH KHUNG THEÙP PHAÚNG DAÏNG OÁNG VÔÙI LIEÂN KEÁT NÖÛA CÖÙNG SÖÛ DUÏNG SOÁ LIEÄU THÖÏC NGHIEÄM Phaàn 1: Xaây Döïng Moâ Hình Toaùn Hoïc Theå Hieän ÖÙng Xöû Cuûa Moät Soá Lieân Keát Nöûa Cöùng Trong Keát Caáu Theùp BUØI COÂNG THAØNH

TRÖÔØNG ÑH BAÙCH KHOA TP. HOÀ CHÍ MINH

PHAÏM HOÀNG THAÙI

COÂNG TY TNHH TÖ VAÁN XAÂY DÖÏNG TAÂN CC

TOÙM TAÉT: Baøi baùo nhaèm xaây döïng moâ hình toaùn hoïc daïng ña thöùc vaø daïng luõy thöøa cuûa moät soá lieân keát nöûa cöùng trong keát caáu theùp töø soá lieäu thöïc nghieäm baèng phöông phaùp bình phöông cöïc tieåu. Moät chöông trình maùy tính vieát baèng ngoân ngöõ MATLAB vaø VISUAL BASIC ñeå töï ñoäng hoùa tính toaùn caùc thoâng soá cuûa caùc moâ hình naøy. Chöông trình naøy laø moät moâñun cuûa chöông trình SEMIFRAMES seõ ñöôïc trình baøy ôû phaàn 2. 1. ÑAËT VAÁN ÑEÀ. Lieân keát trong keát caáu theùp raát ña daïng vaø öùng xöû cuûa noù cuõng raát phöùc taïp. Ñeå ñôn giaûn trong tính toaùn, ngöôøi ta thöôøng giaû thieát caùc lieân keát naøy laø caùc lieân keát lyù töôûng: ngaøm hoaëc khôùp. h

θr

M

Hình 1 Bieán daïng xoay cuûa lieân Trong thöïc teá, öùng xöû thöïc cuûa haàu heát caùc lieân keát treân naèm giöõa hai traïng thaùi ñaõ neâu vaø coøn ñöôïc goïi laø lieân keát nöûa cöùng. Quan heä giöõa moâmen vaø goùc xoay cuûa lieân keát nöûa cöùng thöôøng laø phi tuyeán vaø chuùng ñöôïc xaùc ñònh töø thöïc nghieäm. Vieäc xaùc ñònh ñöôïc moâ hình toaùn hoïc theå hieän quan heä treân seõ giuùp vieäc töï ñoäng hoùa phaân tích keát caáu vôùi lieân keát nöûa cöùng ñöôïc deã daøng. Do ñoù, xaây döïng moâ hình lieân keát töø döõ lieäu thöïc nghieäm laø raát caàn thieát vaø coù yù nghóa thöïc tieãn. 2. XAÂY DÖÏNG MOÂ HÌNH LIEÂN KEÁT TÖØ SOÁ LIEÄU THÖÏC NGHIEÄM. Muïc ñích cuûa vieäc thieát laäp moâ hình lieân keát laø ñeå coù ñöôïc quan heä M-θr taïi baát kì ñieåm naøo

moät caùch deã daøng vaø chính xaùc. Moâ hình lieân keát seõ laøm trôn ñöôøng cong thöïc nghieäm, khi ñoù ñoä cöùng tieáp tuyeán cuûa lieân keát seõ lieân tuïc. Moâ hình ña thöùc vaø moâ hình luõy thöøa hai thoâng soá coù moät soá ñaëc ñieåm vaø thuaän lôïi sau: • Moâ hình töông ñoái ñôn giaûn vaø deã söû duïng. • Moâ hình coù theå moâ taû ñöôïc ñöôøng cong quan heä M-θr xaáp xæ vôùi ñöôøng xaây döïng töø döõ lieäu thöïc nghieäm cuûa nhieàu loaïi lieân keát khaùc nhau. • Caùc thoâng soá cuûa moâ hình coù theå xaùc ñònh deã daøng vaø khoâng phuï thuoäc vaøo soá löôïng ñieåm thöïc nghieäm cuûa moät loaïi lieân keát. 2.1 Moâ Hình Ña Thöùc Frye vaø Morris (1976) ñaõ phaùt trieån moâ hình ña thöùc döôùi daïng: θr = C1(KM)1+ C3(KM)3+ C3(KM)5 (1) trong ñoù, K laø thoâng soá tieâu chuaån hoùa phuï thuoäc vaøo kieåu lieân keát. C1, C2, C3 laø haèng soá xaáp xæ ñöôøng cong Töø (1), ñaët C3K5=a; C2K3=b vaø C1K=c, khi ñoù a, b, c laø caùc thoâng soá tieâu chuaån hoùa phuï thuoäc vaøo kieåu lieân keát vaø (1) trôû thaønh: θr = aM5+ bM3+ cM1 (2) Muïc ñích laø tìm caùc heä soá a, b, c cuûa (2) döïa treân soá lieäu thöïc nghieäm laø taäp caùc ñieåm [Ai(Mi, θri)] vôùi i=1÷n (n laø soá ñieåm thöïc nghieäm). Chuùng ta seõ ñi tìm caùc heä soá naøy baèng phöông phaùp bình phöông beù nhaát. Ñaây laø phöông phaùp gaàn ñuùng ñeå tìm moät ñöôøng cong moâ taû soá lieäu thöïc nghieäm vôùi sai soá nhoû nhaát. Khi ñaõ coù ñöôïc taäp caùc ñieåm [Ai(Mi, θri)] töø keát quaû thöïc nghieäm, ta xaây döïng moät haøm θr(M) nhö (2) sao cho noù theå hieän toát nhaát daùng ñieäu cuûa taäp caùc ñieåm [Ai(Mi, θri)] vaø khoâng nhaát thieát phaûi ñi ngang qua caùc ñieåm ñoù. Noäi dung cuûa phöông phaùp bình phöông beù nhaát laø tìm cöïc tieåu cuûa phieám haøm: g(θr)=

n

∑ [θ i =1

r

( M i ) − θ ri ] 2 → min

(3)

n

⇔

∑ [aM i =1

+ bM i3 + cM i1 − θ ri ] 2 → min

5 i

(4)

Khi ñoù baøi toaùn qui veà tìm cöïc tieåu cuûa haøm ba bieán a, b, c. Toïa ñoä ñieåm döøng cuûa haøm ñöôïc xaùc ñònh töø heä phöông trình ñaïo haøm rieâng baäc nhaát baèng khoâng:

∂ n ∑ [aM i5 + bM i3 + cM i1 − θ ri ]2 ∂a i =1 n

= ∑ 2[aM i5 + bM i3 + cM i1 − θ ri ]M i5 = 0 i =1

n

⇔a

∑M i =1

n

n

n

i =1

i =1

i =1

+ b∑ M i8 + c ∑ M i6 = ∑ θ ri M i5

10 i

(5)

trong ñoù n laø soá ñieåm thöïc nghieäm. Töông töï, laáy ñaïo haøm rieâng vôùi b, c ta coù: n

n

n

n

i =1

i =1

i =1

i =1

n

n

n

n

i =1

i =1

i =1

i =1

a ∑ M i8 + b∑ M i6 + c ∑ M i4 = ∑ θ ri M i3 a ∑ M i6 + b∑ M i4 + c ∑ M i2 = ∑ θ ri M i

(6)

(7)

Giaûi heä phöông trình (5), (6) vaø (7) ta seõ ñöôïc caùc heä soá a, b, c cuûa phöông trình (2). Sai soá goùc xoay trung bình ∆θr (so vôùi thöïc nghieäm): n

∑| θ i =2

∆θr=

r

( M i ) − θ ri | (radians)

(n − 1)

(8)

Sai soá goùc xoay töông ñoái εθr (so vôùi thöïc nghieäm):

εθr= n

=

| ∆θ ri |

i =2

θ ri

∑

∑ i=2

n

x100 (%)

(n − 1)

dM dθ r

= M =0

g(Y)=

n

∑ [Y ( X i =1 n

∑ [ BX i =1

x100 (%)

(9)

Ñoä cöùng tieáp tuyeán Rkt cuûa lieân keát taïi giaù trò θr baát kì laø ñoä doác cuûa ñöôøng cong taïi ñieåm ñoù, do vaäy Rkt ñöôïc tính töø phöông trình sau:

dM 1 Rkt = = 4 dθ r 5aM + 3bM 2 + c 1 = C1K + 3C2 K ( KM ) 2 + 5C3 K ( KM ) 4

(10)

Ñoä cöùng lieân keát khôûi ñaàu Rki laø ñoä cöùng tieáp tuyeán khi M=0, do ñoù:

1 1 = c C1 K

(11)

Ñoä cöùng cuûa lieân keát khi dôõ taûi baèng ñoä cöùng lieân keát khôûi ñaàu Rki. Giaù trò moâmen tôùi haïn cuûa lieân keát Mu ñöôïc xem nhö laø giaù trò moâmen M öùng vôùi goùc xoay θr=0.02rad (khaû naêng tieáp nhaän moâmen cuûa lieân keát) [1], [3], [6], [10]. Töø moâ hình ña thöùc xaùc ñònh ñöôïc theo döõ lieäu thöïc nghieäm, ta seõ xaùc ñònh ñöôïc giaù trò Mu naøy. Khi moâmen taïi lieân keát ñaït ñeán giaù trò Mu lieân keát xem nhö bò chaûy deûo (luùc naøy lieân keát nhö moät khôùp deûo). 2.2 Moâ Hình Luõy Thöøa Hai Thoâng Soá Batho vaø Lash, 1936; Krisnamurthy vaø coäng söï, 1979 phaùt trieån moâ hình ña thöùc coù daïng sau: θr=aMb (12) trong ñoù a, b laø caùc thoâng soá xaáp xæ ñöôøng cong vôùi ñieàu kieän a>0 vaø b>1. Söû duïng taäp caùc ñieåm [Ai(Mi, θri)] ñaõ coù ñeå tìm hai heä soá a, b baèng phöông phaùp bình phöông beù nhaát vôùi moät soá bieán ñoåi sau: Laáy logarit hai veá cuûa (12): (12) ⇔ logθr=loga+blogM (13) Ñaët Y=logθr; A=loga; B=b; X=logM, khi ñoù (13) trôû thaønh: Y=BX+A (14) Nhö vaäy, ta ñaõ ñöa quan heä phi tuyeán (12) ñoái vôùi a vaø b veà quan heä tuyeán tính (14) ñoái vôùi A vaø B. Muoán laøm cho sai soá trung bình bình phöông beù nhaát thì chæ caàn laøm cho

g(Y)=

(n − 1) | θ r ( M i ) − θ ri |

θ ri

Rki=

i

) − Yi ] 2 beù nhaát laø ñöôïc, hay

i

+ A − Yi ] 2 , vôùi Xi=logMi vaø

Yi=logθri. Muoán coù A vaø B ñeå g(Y) beù nhaát, ta aùp duïng phöông phaùp tìm cöïc trò cuûa haøm hai bieán A vaø B. Giaù trò A, B ñöôïc xaùc ñònh töø heä phöông trình (15) vaø (16): n

n

i=2

i=2

B ∑ X i + n. A = ∑ Yi

(15)

n

n

n

i=2

i=2

i=2

B ∑ X i2 + A∑ X i = ∑ X i Yi

(16)

Sai soá goùc xoay trung bình ∆θr vaø sai soá goùc xoay töông ñoái εθr ñöôïc xaùc ñònh theo coâng thöùc (8) vaø (9).

Ñoä cöùng tieáp tuyeán Rkt cuûa lieân keát taïi giaù trò θr baát kì laø ñoä doác cuûa ñöôøng cong taïi ñieåm ñoù, do vaäy Rkt ñöôïc tính töø phöông trình sau: Rkt=

dM 1 = dθ r a.b.M b −1

trò moâmen vaø goùc xoay) chöông trình coù theå xaùc ñònh nhanh choùng caùc heä soá cuûa moâ hình lieân keát, tính sai soá so vôùi keát quaû thöïc nghieäm, ñoàng thôøi veõ ñöôøng cong dieãn taû quan heä moâmen-goùc xoay cuûa lieân keát theo soá lieäu thöïc nghieäm vaø theo moâ hình lieân keát vöøa môùi xaây döïng ñöôïc. Chöông trình naøy cuõng ñöôïc vieát baèng Visual Basic ñeå gheùp vaøo chöông trình SEMI-FRAMES ñöôïc trình baøy ôû phaàn 2. 4. CAÙC VÍ DUÏ MINH HOÏA.

(17)

Ñoä cöùng lieân keát khôûi ñaàu Rki laø ñoä cöùng tieáp tuyeán khi M=0, do ñoù theo (17), Rki = +∞. Ñieàu naøy khoâng hôïp lyù vì khi ñoä cöùng = +∞ laø tröôøng hôïp lieân keát cöùng. Vì vaäy ta seõ choïn ñoä cöùng lieân keát khôûi ñaàu Rki baèng vôùi ñoä cöùng tham chieáu cho moãi loaïi lieân keát, ñoä cöùng naøy laø ñoä cöùng caùt tuyeán öùng vôùi goùc xoay θr=0.01rad [1], [6], [10]. Ñieàu naøy cuõng hôïp lyù vì khi goùc xoay coøn beù thì ñöôøng cong quan heä M-θr gaàn nhö moät ñöôøng thaúng. Do ñoù, ñoä cöùng lieân keát khôûi ñaàu Rki ñöôïc tính nhö sau:

⎛ ln 0.01 − ln a ⎞ exp⎜ ⎟ b ⎝ ⎠ Rki = 0.01

A

A

A-A

(18)

Ñoä cöùng cuûa lieân keát khi dôõ taûi baèng ñoä cöùng lieân keát khôûi ñaàu Rki. Hình 2 Lieân keát ñôn giaûn loaïi A Giaù trò moâmen tôùi haïn cuûa lieân keát Mu cuõng (White vaø Fang, 1966) ñöôïc xaùc ñònh nhö ñoái vôùi moâ hình ña thöùc trong Tieán haønh khaûo saùt vôùi soá lieäu thöïc nghieäm phaàn 2.1. cuûa 8 lieân keát ñôn giaûn loaïi A (lieân keát baèng taám 3. CHÖÔNG TRÌNH TÍNH TOAÙN. Treân cô sôû lyù thuyeát treân ñaây, taùc giaû ñaõ xaây theùp noái buïng daàm vôùi coät-Hình 2) [4], [5]. Keát quaû döïng chöông trình tính toaùn baèng ngoân ngöõ nhö theå hieän trong Baûng 1, Baûng 2 vaø Hình 3. Matlab cho moâ hình ña thöùc vaø moâ hình luõy thöøa hai thoâng soá. Khi coù soá lieäu thöïc nghieäm (caùc giaù Baûng 1: Caùc heä soá cuûa moâ hình ña thöùc vaø sai soá goùc xoay. Loaïi lieân keát a b c ∆θr (radians) εθr (%) A1 A3 A2 A4 A5 A7 A6 A8

1.7509x10-5 3.1060x10-10 1.4373x10-7 1.1550x10-8 2.6749x10-7 2.1990x10-9 -9.3560x10-10 5.6244x10-11

1.1158x10-4 8.2085x10-6 5.6993x10-5 -4.3937x10-6 8.2943x10-6 -3.1651x10-7 1.1312x10-5 1.2683x10-7

5.6889x10-3 8.3237x10-4 1.5024x10-3 1.0534x10-3 4.8497x10-3 5.7699x10-4 2.8064x10-3 2.4318x10-4

3.1815 x10-4 0.6192 x10-4 3.0293 x10-4 14.836 x10-4 1.9832 x10-4 3.1550 x10-4 1.1896 x10-4 1.6724 x10-4

Baûng 2: Caùc heä soá cuûa moâ hình luõy thöøa vaø sai soá goùc xoay. Loaïi lieân keát a b ∆θr (radians) A1 A3 A2 A4 A5 A7 A6 A8

-3

5.250x10 5.324x10-4 1.342x10-3 1.785x10-4 4.386x10-3 1.446x10-4 2.410x10-3 3.476x10-5

1.488 1.464 1.581 1.643 1.145 1.608 1.201 1.757

-3

2.5161x10 5.1317 x10-4 2.3364 x10-3 4.0334 x10-3 1.2906 x10-3 1.8680 x10-3 1.3737 x10-3 1.3864 x10-3

εθr (%) 9.64 5.76 12.84 18.96 4.24 11.15 5.27 8.85

3.01 0.70 3.15 12.25 1.65 4.06 1.10 1.72

Moâmen (kN-m)

Hình 3 Bieåu ñoà so saùnh ñöôøng thöïc nghieäm vaø moâ hình lieân keát. Phaàn tieáp theo taùc giaû ñöa ra caùc ví duï ñeå so saùnh moâ hình ña thöùc vaø moâ hình luõy thöøa hai % Sai soá so vôùi thöïc nghieäm thoâng soá do taùc giaû xaây döïng töø keát quaû thöïc SCDB Taùc giaû CAÙC nghieäm baèng phöông phaùp bình phöông beù nhaát VÍ DUÏ MH MH MH1 MH2 MH3 vôùi caùc moâ hình cuûa chöông trình SCDB (Steel luõy thöøa ña thöùc Connection Data Bank) cuûa Ñaïi hoïc Purdue-Myõ VD 1 15.1 0.8 7.5 19.6 11.3 [6], [10]. Chöông trình SCDB cho keát quaû laø 3 moâ VD 2 45.7 0.5 10.6 7.1 2.1 hình sau: 1/ MH1: moâ hình ña thöùc Frye-Morris, 2/ VD 3 17.1 1.9 20.0 2.0 7.1 HM2: moâ hình soá muõ thay ñoåi cuûa Chen-Lui vaø 3/ MH3: moâ hình ba thoâng soá cuûa Kishi-Chen. 180 MH1 160 Ví Duï 1 [4], [6]: Thí nghieäm naøy thöïc hieän MH2 140 bôûi Azizinamini et al. (1985) cho lieân keát duøng hai 120 theùp goùc noái caùnh treân vaø döôùi cuûa daàm vôùi coät MH3 100 keát hôïp vôùi hai theùp goùc baûn buïng daàm (Hình 4a). MH 80 ña thöùc Ví Duï 2 [4], [10]: Thí nghieäm naøy thöïc hieän 60 MH bôûi J. C. Rathbun (1936) cho lieân keát duøng hai 40 luõy thöøa Thöïc theùp goùc noái baûn buïng daàm vôùi coät (Hình 4b). 20 nghieäm 0 Ví Duï 3 [4], [8]: Thí nghieäm naøy thöïc hieän 0 5 10 15 20 25 30 35 bôûi A. K. Aggarwal (1990) cho lieân keát duøng taám Goùc xoay (rad x10-3) theùp haøn vaøo ñaàu daàm (header plate connections) Hình 5 Caùc moâ hình trong ví duï 1 (Hình 4c). 30

MH1

Moâm en (kip-inch)

25

a

b

c

Hình 4 Caáu taïo cuûa caùc lieân keát Keát quaû so saùnh sai soá moâmen trung bình so vôùi thöïc nghieäm cuûa hai chöông trình theå hieän trong baûng sau:

MH2

20

MH3

15

MH ña thöùc

10

MH luõy thöøa

5

Thöïc nghieäm

0 0

5

10

15

20

25

30

35

Goùc xoay (rad x10-3)

Hình 6 Caùc moâ hình trong ví duï 2

400

MH1

Moâmen (kip-inch)

350 MH2

300 250

MH3

200

MH ña thöùc

150

Moâ hình luõy thöøa

100 50

Thöïc nghieäm

0 0

10

20

30

Goùc xoay (rad x10-3)

40

50

Hình 7 Caùc moâ hình trong ví duï 3 5. KEÁT LUAÄN. Baøi baùo ñaõ trình baøy caùch thöùc thieát laäp moâ hình cho lieân keát nöûa cöùng töø soá lieäu thöïc nghieäm baèng phöông phaùp bình phöông beù nhaát, ñoàng thôøi xaây döïng chöông trình ñeå tính toaùn. Hai moâ hình ñöôïc khaûo saùt laø: moâ hình ña thöùc vaø moâ hình luõy thöøa hai thoâng soá. Caû hai moâ hình naøy ñeàu coù theå dieãn taû ñöôïc quan heä moâmen-goùc xoay cuûa lieân keát nöûa cöùng, möùc ñoä sai soá tuøy theo loaïi lieân keát. Xaây döïng moâ hình baèng caùch naøy khoâng caàn nhieàu soá lieäu thöïc nghieäm ñoái vôùi moät loaïi lieân keát. Khi coù soá lieäu thöïc nghieäm laø ta coù ngay ñöôïc moâ hình lieân keát ñeå ñöa vaøo chöông trình phaân tích khung (phaàn 2). Phöông phaùp naøy coù theå aùp duïng cho taát caû caùc loaïi lieân keát trong keát caáu theùp vaø duøng ñeå xaây döïng cô sôû döõ lieäu lieân keát. Moâ hình ña thöùc theå hieän raát toát quan heä Mθr vaø raát ñôn giaûn. Sai soá khi so vôùi keát quaû thöïc nghieäm trong khoaûng 3% ñeán 18% [7]. Moâ hình luõy thöøa hai thoâng soá moâ taû quan heä M-θr thöôøng khoâng toát nhö moâ hình ña thöùc. Do ñoù sai soá cuûa moâ hình naøy thöôøng lôùn hôn so vôùi moâ hình ña thöùc.

TAØI LIEÄU THAM KHAÛO. 1. Buøi Coâng Thaønh, Traàn Chí Hoaøng, “Phaân tích baäc 2 khung theùp phaúng coù lieân keát nöûa cöùng baèng phöông phaùp ñoä cöùng caùt tuyeán”, Taïp Chí Xaây Döïng, trang 3338, thaùng 10-2004. 2. Buøi Coâng Thaønh, Traàn Tuaán Kieät, “Phaân tích khung theùp phaúng coù lieân keát nöûa cöùng”, Taïp Chí Phaùt Trieån Khoa Hoïc Coâng Ngheä, Ñaïi Hoïc Quoác Gia Tp Hoà Chí Minh, taäp 6, soá 9 & 10, trang 66-85, 2003. 3. I. Ahmed, P. A. Kirby, “Maximum connection rotations in non-sway semi-rigid frames”, Journal of Constructional Steel Research Vol. 40, No. 1, pp. 1-15, (1996). 4. Phaïm Hoàng Thaùi, “Phaân tích khung theùp phaúng daïng oáng coù lieân keát nöûa cöùng”, Luaän vaên Thaïc só chuyeân ngaønh xaây döïng daân duïng vaø coâng nghieäp, Ñaïi hoïc Baùch Khoa Tp Hoà Chí Minh, 2005. 5. Wai-Fah Chen (Council On Tall Buildings And Urban Habitat), “Semi-Rigid connections in steel frames”, McGraw Hill, Inc, 1992. 6. Wai-Fah Chen, “Practical analysis for semi-rigid frame design”, World Scientific Publishing Co. Pte.Ltd, 1999. 7. Wai-Fah Chen, E.M. Lui “Stability design of steel frames”, CRC Press, 1991. 8. Wai-Fah Chen, K. M. Abdalla “Expanded database of semi-rigid steel connections”, Computers & Structures, Vol. 56, No.4, Pages 553-564, 1995. 9. Wai-Fah Chen, Seung-Eock Kim “LRFD Steel Design using Advanced Analysis”, CRC Press, Boca Raton, Florida, 1997. 10. Wai-Fah Chen, Yoshiaki Goto, J. Y. Richard Liew, “Stability design of semi-rigid frames”, John Wiley & Sons, New York, 1995.