La Parabola

“LA PARABOLA” ING. SONIA ZAZUETA LOPEZ CONCEPTOS BASICOS Y APLICACIONES: COSTO INGRESO UTILIDAD PUNTO DE EQUILIBRIO OFERTA Y DEMANDA

“LA PARÁBOLA” Objetivo: Aplicar en casos prácticos el concepto de parábola para estimar el punto de equilibrio de la empresa y del mercado.

DEFINICION DE PARÁBOLA La parábola es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano que equidistan de un punto fijo F y de una recta fija d. Así, para cualquier punto M de la curva , se tiene de acuerdo a la gráfica, MF = MD

SZL

ELEMENTOS DE LA PARABOLA Y

El punto fijo F se llama foco y la recta fija d se llama directriz M

El segmento MF que une un punto cualquiera de la parábola con el foco se llama radio vector

D E

La recta AF que para por el foco y es perpendicular a la directriz es el eje de la parábola

C

A

V

X

F

Un punto V, punto medio de AF, donde el eje corta a la parábola es el vértice La cuerda EE’ que pasa por el foco y es perpendicular al eje se llama lado recto (lr) o ancho focal de la parábola

d

E’ C’

El segmento AF, distancia del foco a la directriz, se llama parámetro y se representa por 2p

SZL

ECUACION ORDINARIA DE LA PARABOLA Y CALCULO DE SUS ELEMENTOS Ecuación cartesiana de una parábola cuyo vértice es el origen y el eje coincide con uno de los ejes coordenados Primer caso. El vértice (V) es el origen de las coordenadas y el eje que coincide con el X; entonces el foco F está situado en la parte positiva de dicho eje. Por lo tanto el parámetro 2p = FD Sea M(x,y) un punto cualquiera de la parábola, las coordenadas del foco son (p,0) y la ecuación de la directriz es x=-p.

Y

M(x,y)

(-p,y)

D

V(0,0) X

(-p,0)

F(p,0)

Por definición se tiene que MF=MN, expresando analíticamente estas distancias son: 2 2 MF = ( x − p ) + ( y − 0 )

M = d

(x + p )2 + ( y − y )2

Igualandolos y elevándolos cuadrado tenemos:

al SZL

(x − p )2 + y 2 = (x + p )2

Desarrollandose se tiene:

x 2 − 2 px + p 2 + y 2 = x 2 + 2 px + p 2

entonces,

y 2 = 4 px

Esta es la ecuación de una parábola con vértice en el origen y cuyo eje coincide con el eje X y el foco esta en la parte positiva 2 de dicho eje. Analogamente, si el foco se encuentra yen =el −4lado px negativo del eje X, la ecuación de la parábola es:

y 2 = 4 px

(I)

y 2 = −4 px

(II)

SZL

Segundo caso. El vertice (V) es el origen y el eje coincide de la parábola coincide con el eje Y; entonces el foco esta situado en la parte positiva de dicho eje (abre hacia arriba). La ecuación de la parábola es x 2 = 4 py Analogamente, si el foco se encuentra en el lado negativo del eje Y (abre hacia abajo), la ecuación de la parábola es x 2 = −4 py

x 2 = 4 py

(III)

x 2 = −4 py

(IV)

SZL

Las Ecuaciones I, II, III y IV se conocen con el nombre de forma ordinaria de la ecuación de la parábola Considerando p, la distancia del vértice al foco, como distancia dirigida, entonces las ecuaciones I y II se agrupan en una sola y2 = 4px, que representa una parábola de concavidad hacia la derecha si p>0 y de concavidad a la izquierda si p<0 Análogamente, las ecuaciones III y IV se agrupan en la ecuación x2 = 4py, que representa una parábola de concavidad hacia arriba si p > 0, y de concavidad hacia abajo si p < 0.

SZL

Ejemplo. Calcular los principales elementos de la parábola y2 = 8x Solución: La ecuación y2 = 8x, tiene su vértice en origen y foco sobre la parte positiva del eje X, entonce sel vertice es V(0,0) Al ser de la forma y2 = 4px, entonces:

4p = 8

p=

8 4

p=2

Parámetro = 2p = (2)(2) = 4

La ecuación de la recta que contiene el eje de la parabola es el eje X, y su ecuación es y = 0 Foco F(p,0) , por lo tanto F (2,0) Ecuación de la directriz: x = -p , por lo tanto x = -2 La longitud del lado recto (lr) es: lr = |4p| , por lo tanto lr = 8

SZL

La curva dirige su concavidad hacia la parte positiva del eje X

4

d

3 2 1

F(2,0)

V(0,0) -2

-1

X 1

2

3

lr=8

4

-1 -2 -3

-4

SZL

ECUACION DE UNA PARABOLA DE VERTICE EN UN PUNTO CUALQUIERA Y EL EJE PARALELO UNO DE LOS COORDENADOS Sea la parábola de vertice V(h,k), parámetro 2p, eje paralelo al eje X y concavidad hacia la parte positiva del eje X: Y

d

Y’

M(x,y) M(x’,y’)

V(h,k) X’

D

B

F(p2,0)

C

A X

SZL

Entonces: (y – k)2 = 4p(x – h) Es la ecuación de una parábola de vértice (h,k), eje paralelo al eje X y concavidad hacia la parte positiva del eje X Si la concavidad es hacia la parte negativa del eje X, la ecuación es de la forma: (y – k)2 = -4p(x – h) Análogamente obtenemos la cuación de una parábola de vertice (h,k), eje paralelo al eje Y y concavidad hacia arriba (x – h)2 = 4p(y – k) Si la concavidad se dirige hacia abajo, la ecuación es de la forma: (x – h)2 = -4p(y – k) Todas estas ecuaciones se suelen designar con el nombre de forma ordinaria de la ecuación de la parábola con vértice fuera del origen SZL

(y – k)2 = 4p(x – h)

(x – h)2 = 4p(y – k)

(y – k)2 = -4p(x – h)

(x – h)2 = -4p(y – k)

SZL

INTERSECCION DE PARABOLA CON RECTA Encontrar el punto donde la recta 2y – x = 4 corta a la parabola 2y – x2 + 2=0 Solución: De la ecuación de la recta 2y – x = 4 despejamos x y tenemos: x = 2y - 4 ; este valor de x lo sustituimos en la ecuación de la parábola 2y – x2 + 2=0 2y – (2y – 4)2 + 2=0; desarrollando la ecuación: 2y – 4y2 +16y – 16 + 2 = 0

reduciendo los términos:

- 4y2 + 18y – 14 = 0

multiplicando toda la ecuación por (-1):

4y2 - 18y + 14 = 0

dividiendo toda la ecuación entre 2:

2y2 + 9y + 7 = 0 Resolvemos la ecuación por la fórmula general

− b ± b 2 − 4ac y= 2a

Donde a=2, b=9, c=7 SZL

y=

9 ± 81 − 56 4

y=

9 ± 25 4

9±5 y= 4

7 y1 = ; 2

y2 = 1

Y1, y2 son las coordenas del eje y de la intersección de la parábola con la recta, para encontrar las coordenadas de x, sustituímos y1 , y2 en la ecuación de la recta (con “x” ya despejada) x = 2y – 4 Para y1:

Para y2:

x1 = 2(7/2) –4 x1 = 7 – 4 x1 = 3

x2 = 2(1) –4 x2 = 2 – 4 x2 = -2

Por lo tanto, los puntos donde se intersectan la recta y la parábola son:

 7 P1  3,   2

y

P2 (− 2,1)

SZL

y

4

2y –x2 + 2 = 0

3

2y

–

P1 (3, 7/2)

4 x=

2

P2 (-2,1)

1

x −4

−3

−2

−1

1

2

3

4

F (0, -1/2) −1

P3 V(0, -1) y = -3/2 −2

−3

SZL −4

INTERSECCION ENTRE PARABOLAS Encontrar los puntos donde se intersectan las parábolas: y = x2 – x + 1 y’ = -2x2 + x + 4 Solución: Igualamos las dos ecuaciones y = y’ : x2 – x + 1 = -2x2 + x + 4 Igualamos a cero para dejar una sola ecuación: x2 + 2x2 – x – x + 1 –4 = 0 Reduciendo términos semejantes: 3x2 – 2x – 3 = 0

Esta ecuación se resuelva usando la fórmula general:

− b ± b 2 − 4ac x= 2a

Donde a=3, b=-2, c=-3 SZL

− (−2) ± (−2) 2 − 4(3)(−3) x= 2(3) 2 ± 40 x= 6

x=

2 ± 4 + 36 6

2 + 6.3245 x1 = 6 x2 =

x=

2 ± 40 6

x1 = 1.3874

2 − 6.3245 6

x2 = −0.72075

x1 y x2 son las coordenadas del eje X de los puntos de intersección, para encontrar las coordenadas del eje solo basta sustituir ambos valores en cualquiera de las ecuaciones de las parábolas, en este caso, sustituyendo en y = x2 – x +1 :

y1 = (1.38474) − (1.3874) + 1

y2 = (− 0.72075) − (− 0.72075) + 1

y1 = 1.5374

y2 = 2.2402

2

2

Por lo tanto los puntos donde se intersectan ambas parábolas son P1 (1.3874, 1.5374) , y P2 (-0.72075, 2.2402) SZL

y

y = x2 – x + 1

4

3

P2 (-0.72075, 2.2402) 2

P1 (1.3874, 1.5374) 1

x −4

−3

−2

−1

1

−1

2

3

4

5

y’ = -2x2 + x + 4

−2

−3

−4

SZL

OFERTA, DEMANDA, PUNTO DE EQUILIBRIO En un mercado competitivo, existe una relación entre el precio de un artículo y su disponibilidad en el mercado. En general, un incremento en el precio induce al productor a aumentar la oferta del mismo. Recíprocamente, un decremento en el precio unitario lleva por lo general a una reducción de la oferta. La ecuación que expresa la relación entre el precio y la cantidad proporcionada es una ecuación de oferta y su gráfica es una curva de oferta. En una economía de libre mercado, la demanda de los consumidores por determinado artículo depende de su precio. La ecuación de la demanda expresa la relación entre el precio unitario y la cantidad demandada. La gráfica de la ecuación de la demanda es una curva de demanda. En general , la cantidad demandada decrece cuando el precio unitario aumenta y viceversa.

SZL

Ejemplo: Encuestas de mercado de proveedores de cierto producto han dado lugar a la conclusión de que la función de oferta de su producto esta dada por la función: q

qs = 0.5 p 2 − 200

800

Cantidad ofrecida en miles

700 600 500 400 300 200 100

p -100 -200

10

20

30

40

Precio SZL

Así mismo tiempo se efectúo una encuesta entre los consumidores para determinar la función de demanda del mismo producto, la cual esta dada por la función:

qd = p 2 − 100 p + 2500 q

2400

Cantidad demandada en miles

Cabe mencionar que los encuestadores concluyeron que la representación cuadrática era válida para los precios entre $5 y $45

2100 1800 1500 1200 900 600 300

(5 < p < 45)

p 10

20

30

40

SZL

Se puede estimar el equilibrio del mercado entre la oferta y la demanda mediante las funciones de oferta y demanda al determinar el precio del mercado que iguala a la cantidad ofrecida con la cantidad demandada

q s = qd Igualamos las dos funciones:

0.5 p 2 − 200 = p 2 − 100 p + 2500 Reordenando la ecuación tenemos que:

0.5 p 2 − p 2 + 100 p − 200 − 2500 = 0 − 0.5 p 2 + 100 p − 2700 = 0 Multiplicando por (-1) ambos lados de la igualdad: 0.5 p 2 − 100 p + 2700 = 0 Esta ecuación la resolvemos usando la formula general para ecuaciones de segundo grado:

− b ± b 2 − 4ac p= 2a SZL

0.5 p 2 − 100 p + 2700 = 0

− b ± b 2 − 4ac p= 2a

Donde a = 0.5, b = -100, c = 2700

− (−100) ± (−100) 2 − 4(0.5)(2700) p= 2(0.5)

p=

100 ± 10,000 − 5,400 1 p = 100 ± 4,600 p = 100 ± 67.82

p1 = 100 + 67.82 = 167.82

p2 = 100 − 67.82 = 32.18

La raiz p1 ($167.82) esta fuera del dominio relevante de la función de la demanda (5 < p <45) y por consiguiente no tiene sentido, sin embargo qs=qd cuando el precio de venta es $32.18. Sustituyendo este precio en las funciones de oferta y demanda: SZL

qs = 0.5 p 2 − 200

qd = p 2 − 100 p + 2500

qs = 0.5(32.18) 2 − 200

qd = (32.18) 2 − 100(32.18) + 2500

qs = 0.5(1,035.55) − 200

qd = 1,035.55 − 3,218 + 2500

qs = 517.77 − 200

qd = 317.55

qs = 317.77

(El redondeo es la razón de la diferencia entre los dos valores)

De ahí que el equilibrio de mercado ocurre cuando el precio del mercado es igual a 32.18 y la cantidad de la oferta y la demanda es de 317,770

SZL

q

qd = p 2 − 100 p + 2500 1,000 900 800

Cantidad en miles

700

qs = 0.5 p 2 − 200

600 500 400

(32.18,317.77) 300 200 100

p 5

10

15

20

25

30

Precio

35

40

45

50

SZL

INGRESO Ejemplo: La demanda de cierto productos es q = f(p) O bien: q = 1,500 – 50p Donde q representa la cantidad demandada en miles de unidades y p es el precio en dólares. El ingreso total de la venta de artículos se expresa como el producto de p y q, es decir: I = pq Puesto que la función de la demanda expresa q como una función de p [f(p)], podemos expresar el ingreso también en función del precio p I = p f(p) I = p (1500 – 50p) I = 1500p – 50p2 I = –50p2 + 1500p SZL

La función cuadrática del ingreso es una parábola, el dominio restringido de la función es: 0 < p < 30

Ingreso en miles de dolares

12,000

Ahora, ¿que valor maximiza el Ingreso? Este valor lo encontraremos si hallamos la coordenada en x del vértice de la parábola:

10,000 8,000 I = – 50p2 + 1500p 6,000 4,000

−b Vx = 2a

2,000

5

10

15 20 25 Precio por unidad

30 SZL

−b Vx = 2a

Donde a = - 50, b= 1500

− (1500) − 1500 Vx = = = 15 2( −50) − 100

En $15 se maximiza el ingreso, ahora, ¿cuántas unidades se demandaran a ese precio?

Ingreso en miles de dolares

12,000 10,000 8,000

Sustituimos p = 15 en la función de la demanda

I = – 50p2 + 1500p 6,000 4,000 2,000

5

10

15 20 25 Precio por unidad

30 SZL

Por último, con p = 15, cual es el ingreso máximo que se consigue?

q = 1,500 − 50 p q = 1,500 − 50(15) q = 1,500 − 750 q = 750

Sustitumos p = 15 en la funcion de I

12,000 Ingreso en miles de dolares

I = −50 p 2 + 1500 p I = −50(15) 2 + 1500(15)

10,000

I = −11,250 + 22,500 I = 11,250

8,000 I = – 50p2 + 1500p 6,000

El máximo ingreso es de 11 millones 250 mil dólares

4,000 2,000

5

10

15 20 25 Precio por unidad

30 SZL

COSTO, INGRESO, UTILIDAD La demanda mensual, q, de cierto artículo al precio p, en dolares, por unidad esta dada por la función:

q = 1350 − 45 p El costo de la mano de obra y del material con que se fabrica este producto es de $5 por unidad y los costos fijos al mes son de $2,000. ¿Qué precio por unidad p deberá fijarse al consumidor con objeto de obtener una utilidad máxima mensual? Solución: El costo total CT de producir q unidades al mes es CT = Costos Variables + Costos Fijos = 5x + 2000 La demanda q esta dada por: q = 1350 – 45p Sustituyendo este valor de “q” en la ecuación del Costo Total CT = 5(1350 – 45p) + 2000 SZL

CT = – 225p + 8750 El Ingreso (I) obtenido por vender “x” unidades a “p” dolares por unidad es: I = (precio por unidad) por (numero de unidades vendidas) I = pq Esto es: I = p(1350 – 45p) I = 1350p – 45 p2 Sabemos que la utilidad se obtiene de restarle al ingreso los costos totales: U = I – CT U = (1350p – 45p2) – (– 225p + 8750) U = – 45p2 + 1575p – 8750 La utilidad U es una función cuadrática de p. Puesto que a = – 45 < 0, la gráfica es una parábola que se abre hacia abajo y la utilidad máxima se alcanza en el vértice. En este caso tenemos que: SZL

a = – 45, b = 1575 y c = – 8750 El vértice de una prábola esta dado por: p = – b/2a p = – 1575/2(-45) p = (-1575)/(-90) p = 17.5 En consecuencia un precio p = $17.50 por unidad debe fijarse al consumidor con el propósito de obtener una máxima utilidad. Entonces la utilidad máxima será: U = – 45(17.5)2 + 1575(17.5) – 8750 U = 5031.25 Es decir, $5,031.25 al mes

SZL

10,000

I = – 45 p2+ 1350p Ingreso en dolares

9,000 8,000 7,000 6,000 5,000 4,000 3,000

CT = – 225p + 8750

2,000

1,000

4

8

12

16

20

24

28

32

36

40

Precio

U = – 45p2 + 1575p – 8750 SZL