Isi_determinan_matriks[1].docx

PEMBAHASAN Pengertian Determinan Determinan merupakan suatu bilangan real yang diperoleh dari suatu proses dengan aturan tertentu terhadap matriks bujur sangkar. Untuk setiap matriks bujur sangkar A terdapat nilai karakteristi yang dikenal sebagai determinan, biasa ditulis det (A) atau |𝑎𝑗𝑘 |. Determinan matriks A ditulis sebagai 𝑎11 𝑎21 det𝐴 = || 𝑎31 … 𝑎 𝑗1

𝑎12 𝑎22 𝑎32 … 𝑎 𝑗2

… 𝑎1𝑘 … 𝑎2𝑘 … 𝑎3𝑘 |. … … | … 𝑎 𝑗𝑘

Jika matriks A dengan det (A) = 0, A disebut matriks singular. Sebaliknya, jika det (A) ≠ 0, A disebut matriks taksingular. Minor Jika baris ke-j dan kolom ke-k pada determinan yang disajikan di atas dihilangkan, kemudian dibentuk sebuah determinan dari unsur-unsurnya yang tertinggal, akan diperoleh determinan baru yang terdiri atas (n-1) baris dan (n-1) kolom. Determinan baru ini merupakan minor dari unsur 𝑎𝑗𝑘 dan dinyatakan dengan ungkapan 𝑀𝑗𝑘 . Sebagai contoh, 𝑎11 𝑎21 det𝐴 = |𝑎 31 𝑎41

𝑎12 𝑎22 𝑎32 𝑎42

𝑎13 𝑎23 𝑎33 𝑎43

𝑎14 𝑎24 𝑎34 | 𝑎44

maka minor unsur 𝑎32 adalah 𝑀32 , yaitu 𝑀32

𝑎11 𝑎 = | 21 𝑎41

𝑎13 𝑎23 𝑎43

𝑎14 𝑎24 |. 𝑎44

Jika minor dari 𝑎𝑗𝑘 dikalikan dengan (−1)𝑗+𝑘 hasilnya dinamakan kofaktor dari 𝑎𝑗𝑘 dan dinyatakan dengan 𝐴𝑗𝑘 . Jadi, 𝐴𝑗𝑘 = (−1)𝑗+𝑘 𝑀𝑗𝑘 . Untuk menentukan determinan matriks A dapat digunakan ekspansi Laplace yang menyatakan bahwa nilai determinan merupakan jumlah dari hasil kali unsur-unsur pada suatu baris (atau suatu kolom) dengan kofaktor-kofaktor yang bersesuaian. Secara matematis, det 𝐴 = ∑𝑛𝑘=1 𝑎𝑗𝑘 𝐴𝑗𝑘 , untuk sembarang j. Sebagai contoh, kita akan menghitung 𝑎11 det 𝐴 = |𝑎

21

𝑎12 𝑎22 |

Untuk j =1, diperoleh 1|Page

det 𝐴 = ∑2𝑘=1 𝑎1𝑘𝐴1𝑘 = 𝑎11 𝐴11 + 𝑎12 𝐴12 , dengan 𝐴11 = (−1)1+1 |𝑎22 | = 𝑎22 dan 𝐴12 = (−1)1+2 |𝑎21 | = −𝑎21. Jadi, det 𝐴 = 𝑎11 𝑎22 − 𝑎12 𝑎21. Sifat-sifat Determinan 1)

Nilai determinan tidak berubah apabila baris dan kolomnya dipertukarkan. Jadi, det 𝐴 = det 𝐴𝑇 .

2)

Jika semua unsur dari suatu baris (atau kolom) adalah nol, determinan matriks itu sama dengan nol.

3)

Jika semua unsur dari suatu baris (atau kolom) adalah nol, kecuali satu unsur, determinannya sama dengan hasil kali unsur itu dengan kofaktornya.

4)

Pertukaran dua baris atau dua kolom sembarang akan mengubah tanda determinan.

5)

Jika semua unsur dalam suatu baris (atau kolom) dikalikan dengan sebuah bilangan, determinannya juga dikalikan dengan bilangan itu.

6)

Jika dua baris (atau kolom) sama atau sebanding, determinannya sama dengan nol.

7)

Jika setiap unsur dalam suatu baris (atau kolom) sebuah determinan merupakan jumlah dua suku, determinannya dapat dinyatakan sebagai jumlah dua determinan yang berukuran sama.

8)

Jika kita mengalikan unsur-unsur suatu baris (atau kolom) dengan sebuah bilangan kemudian dijumlahkan dengan unsur-unsur yang bersesuaian dengan suatu baris (atau kolom) yang lain, nilai determinannya tetap.

9)

Jika A dan B dua matriks bujur sangkar yang berukuran sama, maka det(𝐴𝐵) = det(𝐴) + det(𝐵).

10) Jumlah dari hasil kali unsur-unsur dalam suatu baris (atau kolom) dengan kofaktorkofaktornya dari baris (atau kolom) lainnya adalah nol. Secara matematis, ∑𝑛𝑘=1 𝑎𝑞𝑘 𝐴𝑝𝑘 = 0 atau ∑𝑛𝑘=1 𝑎𝑘𝑞 𝐴𝑘𝑝 = 0, jika 𝑝 ≠ 𝑞. Jika 𝑝 = 𝑞, hasilnya sama dengan det 𝐴.

Invers Matriks Jika pada matriks bujur sangkar A terdapat matriks B sehingga AB = I, dengan I adalah matriks identitas, maka B dinamakan invers matriks A dan ditulis sebagai 𝐴−1 . Jadi, jika A 2|Page

adalah matriks bujur sangkar tak singular berorde-n, maka terdapat satu invers 𝐴−1 sehingga 𝐴𝐴−1 = 𝐴−1 𝐴 = 𝐼. Invers matriks memiliki sifat, (𝐴𝐵)−1 = 𝐵 −1 𝐴−1 dan (𝐴−1 )−1 = 𝐴. Untuk menentukan invers matriks dapat dilakukan dengan dua cara, yaitu: metode reduksi baris dan metode determinan.

Metode Reduksi Baris Untuk memberi gambaran penerapan metode reduksi baris, diandaikan kita akan menghitung invers matriks A. Dengan mengingat sifat-sifat matriks satuan I, A = IA. Selanjutnya, dengan mereduksi A di ruas kiri menjadi I maka ruas kanan akan tereduksi menjadi B sehingga menghasilkan I = AB. Jadi, B adalah invers matriks A. Metode reduksi baris terdiri atas operasi-operasi berikut: 

menukarkan dua baris,



mengalikan sembarang baris dengan sebuah tetapan 𝑘 ≠ 0, dan



menjumlahkan atau mengurangkan dua baris sembarang.

Untuk memudahkan penulisan operasi reduksi baris, biasa digunakan notasi 𝐵𝑗,𝑘 dan 𝑎𝐵𝑗 ± 𝑏𝐵𝑘 . Notasi pertama menunjukkan baris-j dan baris-k dipertukarkan, sedangkan notas kedua artinya baris-j dikalikan dengan a kemudian dijumlahkan atau dikurangkan dengan b kali baris-k.

Metode Determinan Sebuah matriks memiliki invers jika dan hanya jika det 𝐴 ≠ 0. Invers matriks A dapat ditentukan dengan rumus 𝐴−1 =

adj (𝐴) det 𝐴

.

Sistem Persamaan Linear Sistem persamaan linear dengan n variabel adalah suatu himpunan persamaan linear yang berbentuk 𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 𝑟1 𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛 𝑥𝑛 = 𝑟2 { …. 𝑎𝑚1 𝑥1 + 𝑎𝑚2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛 = 𝑟𝑛 Jika 𝑟1 = 𝑟2 = ⋯ = 𝑟𝑛 = 0, sistem persamaan linear di atas disebut homogen. Sebaliknya, jika 𝑟𝑛 ≠ 0 dinamakan takhomogen. Sistem persamaan linear di atas dapat dinyatakan dalam bentuk matriks, yaitu 3|Page

𝑎11 𝑎 21 ( … 𝑎𝑚1

𝑎12 𝑎22 … 𝑎𝑚2

… 𝑎1𝑛 𝑟1 𝑥1 𝑥2 … 𝑎2𝑛 𝑟2 … … ) ( … ) = (…) 𝑥𝑛 𝑟𝑛 … 𝑎𝑚𝑛

atau AX = R. Untuk menyelesaian system persamaan linear di atas digunakan dua cara, yaitu metode reduksi baris dan aturan Cramer

Misalkan diketahui matriks A, yang merupakan matriks persegi dengan ordo dua. A= a b c d Dengan demikian, dapat diperoleh rumus det A sebagai berikut. det(A) = a b c d = ad - bc

Contoh.1 Hitungalah atau Tentukan berapa nilai determinan dari matrik berikut : M= 5 2 4 3 Jawab det(M) = 5 2 4 3 = (5 × 3) – (2 × 4) = 7

4|Page

Contoh.2 Hitungalah atau Tentukan berapa nilai determinan dari matrik berikut : N= -6 -1 3

-2 Jawab

det(N) = -6 -1 3

-2

= ((–6) × (-2)) – (3 × (–1)) = 15

Determinan Matriks Ordo 3 × 3 Terdapat dua cara dalam menghitung determinan untuk matriks berordo 3x3, yaitu :  

Metode Sarrus Metode Minor-Kofaktor

Cara yang paling mudah atau paling sering digunakan dalam menghitung suatu determinan matriks untuk yang berordo 3x3 adalah metode Sarrus.

Metode Sarrus Misalkan kita memiliki matriks A berordo 3x3 seperti berikut : A= a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 Maka cara perhitungan determinannya ditunjukkan oleh gambar berikut:

5|Page

Contoh.1 Tentukan Nilai Determinan dari matriks ordo 3x3 berikut : A= 2 3

4

5 4

3

7 0

1 Jawab : Nilai determinan untuk matriks di atas adalah sebagai berikut:

det(A) = 2 3

4

5 4

3

7 0

1

2

3

5

4

7

0 det(A) = 2.4.1 + 3.3.7 + 4.5.0 – 4.4.7 – 2.3.0 – 3.5.1 = 8 + 63 + 0 – 112 – 0 – 15 = – 56

Contoh.2 Tentukan Nilai Determinan dari matriks ordo 3x3 berikut : B= 1 2

3

2 1

4

3 1

2

6|Page

Jawab : Nilai determinan untuk matriks di atas adalah sebagai berikut: det(B) = 1 2

3

2 1

4

3 1

2

1

2

2

1

3

1 det(A) = (1.1.2) + (2.4.3) + (3.2.1) – (3.1.3) – (1.4.1) – (2.2.2) = 2

+ 24 + 6

–

9

–

4

–

8

= 11

7|Page