Introduccion Al Calculo Numerico.pdf

IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS INSTITUT QUÍMIC IQS IQS DE SARRIÀIQS Dr. Xavier Tomàs IQS IQS IQS Dr. Jordi Cuadros Dr. Lucinio González IQS IQS IQS

INTRODUCCION AL CALCULO NUMERICO

Este material forma parte del libro: Tomàs, X.; Cuadros, J.; González, L..(2006). Introducción al Cálculo Numérico. Institut Químic de Sarrià. ISBN: 84-611-0645-8.

IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS CálculoIQS IQS IQS IQS Numérico IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Mayo 2006.IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS © Los Autores IQS IQS IQS IQS IQS IQS © Institut Químic de Sarrià IQS IQS IQS IQS IQS IQS Químic de Sarria IQS Edita: Institut IQS IQS IQS IQS IQS edición: 1ª edición IQS Número deIQS IQS IQS IQS IQS IQS ISBN: 84-611-0645-8 IQS IQS IQS IQS IQS registro: 06/33090 IQS Número deIQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Imprime: Institut Químic de Sarrià IQS Via Augusta, IQS IQS IQS IQS IQS 390 Barcelona IQS 08017 IQS IQS IQS IQS Printed in IQS Spain. IQS [email protected] IQS IQS IQS IQS IQS Tel.: 93 2672000 IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Están rigurosamente IQS prohibidos, IQSsin la autorización IQS escrita deIQS los titulares del IQS “Copyright”, bajo las sanciones establecidas por la ley, la reproducción total o IQS parcial IQS procedimiento, IQSincluyendo IQS de IQS esta obra por cualquier la reprografía y elIQS informático. IQS tratamientoIQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

IQS IQS IQS i IQS 1 IQS 1 6 IQS 7 11 IQS 11 12 IQS 13 IQS 14 IQS 17 27 IQS 32 IQS 35 35 IQS 39 41 IQS 45 51 IQS 55 IQS 57 58 IQS 74 79 IQS 80 84 IQS IQS 89 89 IQS 91 IQS 93 95 IQS 96 96 IQS 99 IQS 102 102 IQS 106 107 IQS 113 IQS 113 117 IQS

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS INDICEIQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 0. PROLOGO IQS IQS IQS IQS IQS 1.1.1ERRORES IQS IQS IQS IQS Introducción de error, exactitud IQS 1.2 Concepto IQS IQSy precisión IQS IQS 1.3 Fuentes de error. Clasificación de los tipos de error IQS 1.4 Expresión IQS IQS IQS del error: Error absoluto y error relativo. Límite IQS de error 1.4.1 Error absoluto IQS 1.4.2 LímiteIQS IQS IQS IQS de error absoluto Error relativo IQS 1.4.3 IQS exactos deIQS IQS 1.5 DígitosIQS significativos y dígitos un resultado. Redondeo de cifras IQS 1.6 Transmisión IQS de errores.IQS IQS IQS Métodos de cálculo Problema inverso en elIQS cálculo de errores IQS 1.7 IQS IQS IQS 1.8 Probabilidad y error estimado. Límites de confianza IQS IQS IQS IQS IQS 2. REPRESENTACIONES GRAFICAS IQS 2.1 Introducción IQS IQS IQS IQS 2.2 Escalas. Definiciones básicas IQS 2.3 EscalasIQS IQS IQS IQS métricas. Construcción Escalas funcionales. Construcción IQS 2.4 IQS IQS IQS 2.5 Escalas adyacentes IQS Escalas adyacentes fijas y móviles IQS 2.6 IQS IQS IQS IQS 2.7 Representaciones gráficas. Sistemas de coordenadas. Coordenadas cartesianas IQS 2.8 IQS IQS IQS IQS 2.9 Coordenadas polares IQS 2.9.1 Coordenadas IQS cilíndricas IQS IQS IQS 2.9.2 Coordenadas esféricas IQS 2.9.3 Coordenadas IQS triangulares IQS IQS IQS IQS 3. INTERPOLACION IQS Y EXTRAPOLACION. IQS IQS IQS APROXIMACION IQS 3.1POLINOMIAL IQS IQS IQS IQS Introducción Definiciones IQS 3.1.1 IQS IQS IQS IQS 3.2 Tipos de tablas de datos Clasificación de los métodos de interpolación IQS 3.3 IQS IQS IQS IQS 3.4 Método gráfico general de interpolación. de WeierstrassIQS IQS 3.5 MétodoIQS IQS Teorema IQS 3.6 Métodos numéricos (I): Interpolación lineal IQS 3.7 Métodos IQS numéricos (II):IQS Interpolación noIQS lineal de paso noIQS constante IQS 3.7.1 Método IQS IQS IQS de Lagrange IQS Método de Neville IQS 3.7.2 IQSde Newton IQS IQS IQS 3.7.3 Fórmulas Métodos numéricos (III): Interpolación no lineal de paso constante IQS 3.8 IQS IQS IQS IQS 3.8.1 Método de Lagrange polinomio de Newton IQS 3.8.2 Fórmulas IQSderivadas del IQS IQS IQS

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IQS 119 IQS 122 IQS 122 123 IQS 123 123 IQS 124 IQS 129 131 IQS 132 132 IQS 135 135 IQS 138 138 IQS 139 139 IQS IQS 139 140 IQS 142 IQS 142 145 IQS 145 146 IQS 146 146 IQS IQS 147 147 IQS 149 150 IQS 151 152 IQS 154 155 IQS 155 IQS 156 IQS 157 IQS 157 158 IQS 159 162 IQS 165 IQS 167 IQS

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IQS IQS IQS IQS IQS de Bessel IQS 3.8.3 Fórmulas IQSde Stirling yIQS IQS IQS 3.9 Ventajas e inconvenientes de la interpolación por diferencias IQS divididas IQS IQS IQS o tabulares IQS 3.9.1 Ventajas IQS 3.9.2 Inconvenientes IQS IQS IQS IQS 3.10 Errores en los métodos de interpolación IQS 3.10.1 IQSen los métodos IQS IQS Errores numéricos deIQS cálculo Detección de errores en una tabla de datos IQS 3.10.2 IQS IQS IQS IQS 3.10.3 Error de truncamiento en la interpolación polinómica Error de interpolación en las fórmulasIQS de Newton IQS 3.10.4 IQS IQS IQS 3.10.5 Errores de propagación IQS 3.10.6 Determinación IQS del criterio IQSde paro IQS IQS 3.10.7 Los errores en interpolaciones inversas IQS 3.11 Interpolación IQS en tablasIQS IQS de más de una IQS variable independiente 3.12 Extrapolación IQS 3.12.1 Métodos IQSa utilizar IQS IQS IQS Error y criterios de parada en extrapolación IQS 3.12.2 IQS IQS IQS IQS 3.13 Aproximación Diferencias entre los métodos de aproximación y los métodos IQS 3.13.1 IQS IQS IQS IQS de interpolación Cálculo de aproximación IQS 3.13.2 IQSdel polinomioIQS IQS IQS 3.13.3 Determinación del grado del polinomio de aproximación valor mediante un polinomio de IQS IQS 3.13.4 Determinación IQS de unIQS IQS aproximación IQS 3.14 OtrosIQS IQSpropiedades IQS IQS métodos para estimar o valores de funciones 3.14.1 Polinomios osculadores: Polinomio de Hermite IQS 3.14.2 Polinomios IQS de TaylorIQS IQS y de McLaurin IQS Desarrollos en serie: Transformación de Fourier IQS 3.14.3 IQS por segmentos IQS y “splines” IQS IQS 3.14.4 Interpolación IQS 4. DERIVACION IQS NUMERICA IQS IQS IQS Introducción IQS 4.1 IQS IQS IQS IQS 4.2 Métodos gráficos de Jugler IQS 4.2.1 Método IQS IQS IQS IQS 4.2.2 Método del espejo IQS 4.3 Derivación IQSnumérica IQS IQS IQS 4.4 Fórmulas en diferencias centradas IQS 4.4.1 Fórmulas IQSde orden O(h IQS IQS IQS ) Fórmulas de orden O(h ) IQS 4.4.2 IQS de Richardson IQS y error enIQS 4.4.3 Extrapolación las fórmulas en IQS diferencias centradas IQS 4.5 Métodos IQS IQS IQS IQS numéricos basados en los diferentes polinomios de IQS 4.5.1Newton IQS IQS IQS IQS Fórmulas de Newton – Newton IQS 4.5.2 Fórmulas IQSde GregoryIQS IQS IQS 4.5.3 Fórmulas de Stirling y de Bessel IQS 4.6 MétodoIQS IQS de Lagrange IQS IQS basado en el polinomio 4.7 Determinación de la derivada a partir del polinomio de aproximación IQS 4.8 Resumen IQS IQS IQSmétodos deIQS y esquema de uso de los diferentes IQS derivación IQS IQS IQS IQS

IQS IQS 169 169 IQS 172 172 IQS 172 173 IQS 174 IQS 174 175 IQS 175 177 IQS 179 180 IQS 182 183 IQS 184 185 IQS 188 IQS 188 190 IQS 192 193 IQS 195 195 IQS 196 200 IQS 201 IQS 203 IQS 203 205 IQS 206 206 IQS 206 207 IQS 208 209 IQS 211 213 IQS 215 IQS 217 217 IQS 218 220 IQS 220 222 IQS 223 224 IQS 224 IQS

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 5. INTEGRACION NUMERICA IQS 5.1 Introducción IQS IQS IQS IQS 5.2 Métodos gráficos IQS 5.2.1 Integración IQS por conteoIQS IQS IQS Integración por pesada IQS 5.3.1 IQS gráfica IQS IQS IQS 5.2.3 Integración Métodos numéricos elementales IQS 5.3 IQS IQS IQS IQS 5.3.1 Método de los rectángulos Método del punto medio IQS 5.3.2 IQS IQS IQS IQS 5.3.3 Método de los trapecios en los métodos de integraciónIQS IQS 5.4 Tratamiento IQSde los errores IQS IQS 5.5 Fórmulas de Newton – Cotes IQS 5.5.1 Método IQS IQS IQS IQS de los trapecios 5.5.2 Método de Simpson 1/3 IQS 5.5.3 Método IQS IQS IQS de Simpson 3/8 o de Newton IQS Aplicación de los métodos de Newton – Cotes IQS 5.5.4 IQS de cuadratura IQS IQS 5.5.5 Funciones compuesta IQS Métodos recursivos IQS 5.6 IQS IQS IQS IQS 5.6.1 Extrapolación de Richardson Método de Romberg IQS IQS 5.6.2 IQS IQS IQS 5.7 Integrales impropias en el infinito IQS 5.7.1 Integrales IQScon límitesIQS IQS IQS 5.7.2 Integrales que presentan una discontinuidad en el intervalo IQS 5.8 Métodos IQS IQS ortogonales IQS de integraciónIQS basados en polinomios 5.8.1 Cuadratura de Gauss IQS 5.8.2 Cuadratura IQS de Chebyshev IQS IQS IQS fórmulas de cuadratura basadas en polinomios ortogonales IQS 5.8.3 OtrasIQS IQS IQS IQS IQS 6.6.1RESOLUCION IQS APROXIMADA IQS DE FUNCIONES IQS IQS Introducción y conceptos fundamentales El error en la resolución de una funciónIQS IQS 6.1.1 IQS IQS IQS 6.2 Localización y separación de raíces de funcionesIQS IQS 6.2.1 Análisis IQS IQS IQS 6.2.2 Bases para la localización de una raíz IQS 6.2.3 BasesIQS IQSde las raícesIQS para la separación de una función IQS 6.2.4 Bases para la identificación de raíces múltiples IQS 6.3 MétodoIQS IQS IQS IQS gráfico Método de la bisección IQS 6.4 IQS IQS IQS 6.5 Método de las cuerdas IQS o de las partes proporcionales Método de la tangente o de Newton – Raphson IQS 6.6 IQS IQS IQS IQS 6.7 Variantes del método de Newton Método de la secanteIQS IQS 6.7.1 IQS IQS IQS 6.7.2 Método de Newton modificado de iteración o de aproximacionesIQS sucesivas IQS 6.8 MétodoIQS IQS IQS 6.8.1 Procedimiento estándar IQS 6.8.2 Procedimiento IQS generalIQS IQS IQS 6.9 Resumen del procedimiento de resolución de una función IQS 6.10 Resolución IQS de sistemasIQS IQS de ecuacionesIQS IQS 6.10.1 Método IQSde iteración IQS IQS IQS

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 6.10.2 Método IQSde Newton IQS IQS IQS 225 IQS IQS 7. AJUSTEIQS IQS IQS 227 IQS DE ECUACIONES EMPIRICASIQS 7.1 Introducción 227 IQS 7.1.1 TiposIQS IQS IQS IQS de funcionalidad a utilizar 230 IQS Identificación de la funcionalidad existente entre dos series de datos 231 IQS 7.2 IQS por vía IQS IQS IQS 231 IQS 7.2.1 Identificación numérica Identificación por vía gráfica 233 IQS 7.2.2 IQS IQS IQS IQS IQS 7.3 Rectificación 239 AjusteIQS IQS 7.4 IQS IQS IQS 242 IQS 7.4.1 Método de los puntos seleccionados 242 de mínimos cuadrados IQS 7.4.2 Método IQS IQS (LSM) IQS IQS 244 IQS 7.5 Análisis de residuales 246 IQS 7.6 ErroresIQS IQS IQS IQS 247 IQS de la función ajustada 7.7 Detección de puntos erróneos en problemas de aproximación 248 IQS 7.7.1 Intuición IQSde la presencia IQS IQS IQS de puntos anómalos 248 IQS Comprobación de puntos sospechosos 249 IQS 7.7.2 IQS IQS IQS IQS IQS 7.7.3 Consideraciones a tener en cuenta en la detección de puntos erróneos 249 IQS 7.8 Ecuaciones IQSempíricas de IQS IQS IQS IQS tres constantes 254 Exponencial 254 IQS IQS 7.8.1 IQS de tres constantes IQS IQS IQS 255 7.8.2 Potencial de tres constantes tres constantesIQS IQS 7.8.3 Exponencial IQS inversa de IQS IQS 255 IQS 7.8.4 Hipérbola de tres constantes 256 IQS 7.9 Ecuaciones IQSempíricas de IQS IQS IQS 261 IQS cuatro constantes 7.10 Regresión lineal múltiple 261 IQS 7.11 Regresión IQSno lineal IQS IQS IQS 262 IQS Criterios para la selección de un modelo 263 IQS 7.12 IQS IQS IQS IQS 7.13 Métodos robustos de ajuste 264 IQS Método de la mediana simple (SM) IQS 7.13.1 IQS IQS IQS IQS 265 IQS 7.13.2 Método de la mediana repetida (RM) 266 métodos robustos IQS 7.13.3 Otros IQS IQSde ajuste IQS IQS 266 IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

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Introducción al Cálculo Numérico. IQS.

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0. PROLOGO

IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 0. PROLOGO IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS “Si IQS aquello de lo queIQS hablas no puedes IQS IQS IQS IQS medirlo, ni expresarlo con números, es IQS IQS IQS IQS IQS IQS que tus conocimientos sobre la cuestión IQS IQS IQS IQS IQS IQS son incompletos y poco satisfactorios”. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQSWilliam Thomson, IQS Lord KelvinIQS IQS IQS IQS IQS IQS(1824 – 1907)IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Tal vez una IQS IQS fundamentales IQS de la ciencia, IQStal como seIQS de las características IQS entiende enIQS IQS IQS y cualitativaIQS la actualidad, sea la superaciónIQS de la etapa descriptiva en una concepción mucho más profunda IQS para entrarIQS IQScuantitativaIQS IQS y rigurosa.IQS y la posterior evolución de la ciencia han estado ligados, y en IQS Este cambio IQS IQS IQS IQS IQS ocasiones condicionados, a una cada vez mayor utilización racional de la IQS Matemática. IQS IQS IQS IQS IQS IQS Tanto el investigador IQS que estudia IQS un fenómeno IQS IQSquizá con unaIQS en el laboratorio, constantemente IQS finalidad puramente IQS científica, IQScomo el ingeniero, IQS que utilizaIQS IQS y de la técnica para realizar cosas útiles, ambos IQS los adelantos IQSde la cienciaIQS IQS IQS IQS están obligados en mayor o menor grado a manejar la herramienta matemática, IQS sea en suIQS IQS IQS IQS IQS aspecto de desarrollo como en el de cálculo. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Así si unIQS IQSconocer más IQS IQS investigador desea profundamente un proceso IQS o además de observar lo que necesita un espíritu de IQS producto, IQS IQSy medir, para IQS IQS IQS y habilidad manual no despreciable, ha de poseer también IQS observación IQS IQS IQS IQS IQS imaginación y conocimientos suficientes para proponer una explicación teórica IQS del mismo,IQS IQS IQS IQS IQS expresarla matemáticamente, es decir plantear o conocer las IQS relacionesIQS IQS para establecer IQS su modelo IQS analíticas necesarias matemático, IQS y la viabilidad delIQS mismo mediante la concordancia (dentro del error IQS comprobarIQS IQS IQS IQS obtenidos experimentalmente y IQS experimental) IQSentre los resultados IQS numéricos IQS IQS IQS los obtenidos por cálculo según el modelo matemático propuesto. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

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Introducción al Cálculo Numérico. IQS.

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0. PROLOGO

IQS IQS IQS IQS IQS IQS además de utilizar obtenidos en IQS el IQS El ingeniero, IQS IQS los resultados IQScuantitativosIQS (en ocasiones relacionados por simples ecuaciones empíricas), se IQS laboratorioIQS IQS IQS IQS IQS encuentra con frecuencia en la situación de estimar, mediante el cálculo, las IQS características IQSy condicionesIQS IQS IQS IQS de trabajo de una instalación industrial. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Incluso el IQS IQS cuantitativa IQS IQS analista, cuandoIQS realiza la determinación de una especie IQS química siguiendo IQS un determinado IQS procedimiento, IQS se ve obligado IQS a realizarIQS IQS algún cálculo, IQSmás o menos IQS simple, para IQShallar el resultado IQS de dichaIQS determinación. Por otra parte, el desarrollo del instrumental analítico y el IQS acoplamiento IQS IQS IQS IQS IQS de técnicas han abierto un enorme abanico de posibilidades para IQS lograr un IQS IQSdel sistemaIQS IQSconocimientoIQS mayor conocimiento en estudio. Este se fundamenta IQS en el análisis multivariante que, utilizando IQS requiere yIQS IQS de datos IQS IQS y estadísticas no siempre triviales, permite obtener una IQS técnicas matemáticas IQS IQS IQS IQS IQS mayor y más completa información del sistema. IQS El conjuntoIQS IQS IQS IQS IQS de técnicas, no sólo matemáticas y estadísticas, para el estudio de IQS este nuevoIQS IQS ha dadoIQS IQS IQS ámbito multidimensional lugar a la Quimiometría. IQS IQS IQS IQS IQS IQS entre el resultado el IQS En resumen, IQS IQSde una experiencia, IQS su explicación IQS teórica, IQS IQS modelo matemático IQS y la información IQS a obtener IQSsiempre existen IQSuna serie deIQS operaciones a realizar. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Las experiencias IQS mejor planificadas IQS y realizadas IQSserán totalmente IQS inválidas IQS si y esta sólo será posible IQS falta su interpretación, IQS IQSinterpretaciónIQS IQSsi además deIQS somos capaces de resolverlas y obtener resultados concretos. IQS plantearlasIQS IQS IQS IQS IQS IQS Dice el refrán IQS IQS IQS IQS IQS popular que “Problema bien planteado, problema medio resuelto”. IQS Esto es una IQS IQS IQS IQS verdad a medias, puesto que siIQS bien es evidente que nunca podrá IQS ser bien resuelto IQS aquello que IQS IQS ha sido mal IQS planteado, no lo IQS es menos que un IQS buen planteamiento IQS no es garantía IQS de una correcta IQS resolución.IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Existe una tendencia muy “latina” a sobrevalorar el planteo de un problema y IQS despreciar,IQS IQS IQS IQS IQS por paralelismo diríamos que “olímpicamente”, su resolución, como IQS si ésta fuera IQS IQS IQS IQS excelente,IQS un arte menor. Sin embargo, de nada sirve un enfoque por ejemplo el diseño trabajar a presión, IQS pongamosIQS IQS de un recipiente IQS que debe IQS IQS

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Introducción al Cálculo Numérico. IQS.

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS el modelo IQS propuesto o nos IQS si no sabemos IQS resolverIQS IQSequivocamosIQS El riesgo es evidente. IQS lamentablemente IQS en su resolución IQS numérica.IQS IQS IQS IQS Es por ello IQS IQS IQS IQS IQS que en todos los estudios científicos y técnicos, junto a los IQS conocimientos IQSpropios de IQS IQSuna serie deIQS la especialidad, IQS se incluyen también IQS conocimientos IQSmatemáticosIQS IQSy resolución.IQS IQS para su desarrollo En este sentido IQS cabe recordar IQSla frase pronunciada IQS por Albert IQSEinstein, quien, IQS una vez yaIQS y admitidas sus teorías, se lamentaba: “Ojalá hubiera sabido más IQS desarrolladas IQS IQS IQS IQS IQS Matemática”. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS La finalidad IQS IQSes proporcionar IQS los elementos IQSy conceptosIQS de estos apuntes para resolver adecuadamente aquellos que debido a su IQS necesariosIQS IQS IQS problemasIQS IQS o complejidad no pueden resolverse por procedimientos puramente IQS naturalezaIQS IQS IQS IQS IQS algebraicos o analíticos, sino que precisan de técnicas numéricas y/o gráficas IQS que si bienIQS IQS IQS IQS IQS rinden una solución aproximada, permiten la resolución práctica y IQS realista delIQS IQS IQS IQS IQS problema en estudio. IQS IQS IQS IQS IQS IQS también el cálculo ha visto influido por los avances IQS Es obvio que IQS IQSnumérico se IQS IQS IQS sería absurdo no utilizar como IQS experimentados IQS por la tecnología, IQS hoy enIQS IQS IQS herramienta de cálculo un ordenador. Sin embargo, no desearíamos que esta IQS materia seIQS IQS IQS IQS IQS convirtiera en un simple acopio de “recetas” para el cálculo, si no IQS que el futuro IQScientífico yIQS IQS IQSadecuada IQS el futuro técnico supiera utilizarlas y IQS correctamente IQScon la seguridad IQSque da el criterio IQScrítico. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Desearíamos, además, que la materia de estos apuntes no se considerase IQS simplemente IQS IQS IQS IQS IQS como una asignatura que es necesario aprobar, sino como un IQS conjunto deIQS IQS IQSde todas lasIQS conocimientosIQS y habilidades que puestas al servicio IQS demás asignaturas IQS contribuyen IQSa un mayorIQS IQS de lasIQS y mejor aprovechamiento IQS mismas. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Desde aquí expresamos nuestro reconocimiento y gratitud a todos los IQS profesoresIQS IQS IQS IQS IQS que en el Instituto Químico de Sarrià han impartido a lo largo de los IQS años estaIQS IQScasos reconocerán IQS incluidasIQS IQS materia. En muchos en estos apuntes IQS IQS IQS IQS IQS IQS

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Introducción al Cálculo Numérico. IQS.

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0. PROLOGO

IQS IQS IQS IQS IQS IQS propias que IQS consideramos son, también hoy,IQS de utilidad y por IQS aportaciones IQS IQS IQS ya parte del cuerpo de la asignatura. IQS tanto forman IQS IQS IQS IQS IQS IQS También son IQS IQS IQS IQS IQS de agradecer las inquietudes, dudas y dificultades manifestadas IQS por los alumnos IQS que hanIQS IQS cursado estaIQS asignatura. DeIQS ellos, todos los IQS profesoresIQS IQS IQSmás difícil deIQS hemos aprendido a enseñar, queIQS tal vez sea la ciencia practicar. IQS asimilar y IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Finalmente, expresamos nuestro reconocimiento a los futuros lectores de estos IQS apuntes, IQS IQS IQS IQS IQS por las correcciones que seguramente nos harán y que IQS agradecidamente IQS consideraremos. IQS A ellos,IQS IQS si han tenido laIQS paciencia de leer hasta el final, el mejor consejo que sabemos darles es el siguiente: IQS estas líneas IQS IQS IQS IQS IQS pase la página y comience a trabajar”. IQS “Por favor,IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Dr. Xavier Tomàs IQS IQS IQS IQS IQS IQS Dr. Jordi Cuadros IQS IQS IQS IQS IQS Dr.IQS Lucinio González IQS IQS IQS IQS IQS IQS Barcelona – Sarrià, Mayo de 2006 IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

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Introducción al Cálculo Numérico. IQS.

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1. ERRORES

IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 1. ERRORES IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS “Ex pondere IQS et numero veritas”. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 1.1 Introducción. IQS IQS IQS IQS IQS de este capítulo los conceptos IQS El objetivoIQS IQSes la introducción IQS de todos IQS IQS con los errores de los resultados que se obtienen ya sea IQS relacionados IQS IQS IQS IQS IQS experimentalmente (medidas experimentales), ya sea por cálculo a partir de IQS ecuacionesIQS IQS IQS IQS IQS que implican el uso de valores aproximados (valores numéricos IQS afectadosIQS IQS IQS IQS IQS de error). IQS También es IQS IQS las reglasIQS un objetivo deIQS este capítulo exponer a seguir para IQS la IQS correcta expresión IQS de un resultado. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Con todo ello, ha de ser posible, al finalizar este capítulo, resolver estas dos IQS situaciones:IQS IQS IQS IQS IQS IQS - EstimarIQS IQS IQS IQS el error máximo de un resultado obtenido porIQS aplicación de un matemático a unos datos experimentales de error. IQS modeloIQS IQS IQS afectados IQS IQS el error máximo que deben tener los datos experimentales para IQS - EstimarIQS IQS IQS IQS IQS poder garantizar un margen de error predeterminado dicho resultado final. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS La importancia IQSdel estudio IQS IQS IQS que seIQS de los errores, un capítulo de la Matemática IQS conoce conIQS IQS IQS el nombre de IQS Teoría de errores, es vital para IQS todas las ciencias de magnitudes IQS experimentales IQSque descansan IQSsobre la medición IQS experimental IQS IQS tratamiento mediante algún tipo de modelo matemático. IQS y su posterior IQS IQS IQS IQS IQS Tanto el correcto conocimiento de un sistema como la adecuada toma de IQS decisionesIQS IQS IQS IQS IQS sobre el mismo se basan, generalmente, en los valores de ciertos IQS resultadosIQS IQSde ellos derivados IQS de valoresIQS numéricos, muchos experimentales,IQS y crítico conocerIQS o estimar cual es el grado de incertidumbre de los IQS es por tanto IQS IQS IQS IQS del conocimiento del sistema o la IQS mismos para IQSpoder garantizar IQSla calidad IQS IQS IQS confianza en la toma de la decisión oportuna. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS y la tecnología IQS Deslumbrados IQSpor los brillantes IQS éxitos y logros IQSde la ciencia IQS IQS a pasarnos desapercibido el hecho que muchos de ellos se IQS acostumbraIQS IQS IQS IQS IQS alcanzaron gracias al desarrollo de instrumentos de medida, procedimientos de IQS cálculo y previsión IQS más exactos IQSo si se prefiere IQS IQS IQS con menor error. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Si la época IQS IQS(finales del IQS IQSdel XIX) estáIQS de la Ilustración siglo XVIII e inicios como la del IQS nacimiento de las ciencias y deIQS la técnica en un IQS considerada IQS IQS IQS cierto que una de las obsesiones de los científicos IQS sentido actual, IQSno es menosIQS IQS IQS IQS de dicho periodo es la medida experimental. Así, en esta época, se establece el IQS sistema métrico IQS decimal, Méchain IQS y Delambre IQSdeterminan experimentalmente IQS IQS IQS la longitudIQS IQS IQSestablece lasIQS del meridiano de Dunquerque aIQS Barcelona, Lavoisier Química, se IQS determina experimentalmente la IQS leyes ponderales IQS de laIQS IQS IQS del aire, etc., y a nivel de cálculo Gauss presenta el conocido IQS composición IQS IQS IQS IQS IQS método de mínimos cuadrados y lo utiliza para predecir la posición del IQS asteroide IQS IQS IQS IQS IQS Ceres, un problema que los astrónomos de la época no conseguían IQS resolver. Curiosamente IQS IQS IQS IQS IQS esta situación se repite el 29 de mayo de 1919, cuando IQS durante unIQS IQS IQS IQS eclipse de Sol,IQS Eddinton observa la posición de ciertas estrellas al Sol y comprueba los cálculos IQS que Einstein había hecho en 1916 IQS próximas IQS IQS IQS IQS la desviación de la trayectoria de la luz al pasar junto a un campo IQS relativos aIQS IQS IQS IQS IQS gravitatorio. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Con todo,IQS IQS IQS IQS IQS tal vez el problema que más tiempo se ha resistido, que ha implicado número de científicos en día pareceIQS una nimiedad, ha IQS a un mayorIQS IQS y que hoyIQS IQS de la longitud geográfica. IQS sido la determinación IQS fiableIQS IQS IQS IQS IQS La posiciónIQS IQS IQS IQS IQS de cualquier punto sobre la superficie terrestre se expresa con dos IQS coordenadas, IQS IQS al ecuadorIQS IQS del lugarIQS la latitud o distancia siguiendo el meridiano y IQS la longitud,IQS IQS de referencia IQS siguiendoIQS IQS distancia a un meridiano el paralelo. De su depende todaIQS la navegación. IQS IQS conocimiento IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Desde los tiempos de Ptolomeo (150 aC), quien introduce estos conceptos, la IQS determinación IQSfiable de laIQS IQS IQS IQS latitud no resulta problemática. Basándose en IQS criterios astronómicos IQS IQS IQS la latitud enIQS asigna el grado ceroIQS al ecuador y conocer IQS IQS IQS IQS IQS IQS

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS punto se resuelve determinando el ángulo formado por el Sol con IQS el IQS cualquier IQS IQS IQS IQS a mediodía. IQS horizonte IQS IQS IQS IQS IQS IQS Con la longitud IQSaparecen las IQS IQS IQS IQS dificultades. La primera es definir el meridiano de IQS referencia.IQS IQS en el meridiano IQSde las islasIQS IQS Ptolomeo lo establece Afortunadas (hoy IQS Canarias),IQS IQS IQSde referenciaIQS pero se han IQS utilizado muchos otros meridianos París, Madrid,IQS etc.) hasta llegar, al IQS (Azores, Roma, IQS Jerusalén,IQS IQSen 1888, IQS como referencia el meridiano de Greenwich. IQS convenio actual IQSde considerar IQS IQS IQS IQS IQS En 1492, IQS IQS IQS IQS IQS Cristóbal Colón viaja con la referencia del meridiano de la isla del IQS Hierro, sobre IQS IQS IQS IQS el paralelo 28IQS N, hacia el oeste. IQS IQS IQS IQS IQS IQS ser sorprendente que en 1598, cien años después de descubierta IQS No deja deIQS IQS IQS IQS IQS América y en la época de los grandes navegantes (Fernando de Magallanes, IQS Vasco de IQS IQS IQS IQS IQS Gama, Francis Drake, etc.), el rey Felipe III de España ofrezca una IQS tentadora IQS IQS IQS pensión vitalicia IQS a quien consigaIQS un procedimiento para determinar IQS de forma fiable IQSla longitud.IQS IQS es, nada menos IQS que GalileoIQS Uno de los candidatos propone un sistema la observaciónIQS de los eclipses de IQS Galilei, quien IQS IQS basado enIQS IQS Júpiter descubiertas por él mismo. IQS las lunas de IQS IQS IQS IQS IQS IQS No acaba IQS IQS IQS IQS IQS aquí la historia, el 8 de julio de 1714, bajo el reinado de la reina Ana IQS de Inglaterra, IQS IQS IQSde la Longitud IQS IQS el Parlamento promulga el Decreto ofreciendo una de 20000 libras por un métodoIQS que determine la precisión con un IQS recompensa IQS IQS IQS IQS círculo máximo, 15000 libras si el error es de dos IQS error de medio IQSgrado del IQS IQS IQS IQS tercios de grado y por último 10000 libras esterlinas si el error es de un grado. IQS El premio IQS IQS IQS IQS IQS (millones de euros hoy en día) está abierto a cualquier investigador, IQS no se impone IQS IQS IQS IQS ningún método concreto y se IQS crea el Consejo de la Longitud, que IQS no se disuelve IQShasta 1828,IQS IQS IQS IQS para juzgar las propuestas. IQS IQS IQS IQS IQS IQS en este problema nombres como Newton, Halley, Huygens, IQS Se implican IQS IQS IQS IQS IQS Flamsteed y un largo y conocido etcétera (ninguno de ellos resolvió el problema IQS e incluso IQS IQS IQS IQS IQS alguno de ellos ni siquiera lo planteó correctamente), se crean los IQS observatorios IQSde Greenwich, IQS IQS IQS Berlín y París y, expediciones como la de IQS la IQS IQS IQS IQS IQS IQS

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS los viajes del IQS capitán Cook por el Pacífico y otros IQS “Bounty” oIQS IQS IQSmares estánIQS con el intento. IQS relacionadas IQS IQS IQS IQS IQS IQS La soluciónIQS IQS IQS IQS IQS al problema pasa por conocer con precisión en cada momento la IQS diferenciaIQS IQS(barco) y elIQS IQS (puerto deIQS horaria entre el punto meridiano de referencia IQS partida). Basta IQSpara ello disponer IQS de dos relojes IQSde precisión,IQS IQS ésta fue la tarea se dedicó, conIQS éxito, el modesto relojero inglés John Harrison, IQS a la que IQS IQS IQS IQS de ingeniería, construir los primeros cronómetros IQS consiguiendo, IQSen un alardeIQS IQS IQS IQS probados en los viajes de Cook y que se conservan en el museo del IQS observatorio IQS IQS IQS IQS IQS de Greenwich. IQS IQS IQS IQS IQS IQS cálculos pueden ayudar a dar IQS una idea de cualIQS era la situación en IQS Unos simples IQS IQS IQS y cual el error máximo que se estaba solicitando. IQS la época (finales IQS del XVIII) IQS IQS IQS IQS IQS Teniendo IQS IQS IQS IQS IQS en cuenta que la Tierra completa una rotación en 24 horas, una IQS diferenciaIQS IQS IQS IQS IQS de 1 hora equivale a una distancia de 15º entre dos puntos situados IQS sobre un mismo IQS paralelo. IQS IQS IQS IQS en el ecuador esIQS de 12757 km, esta diferencia deIQS 1 IQS Si el diámetro IQSde la Tierra IQS IQS equivale a 1669,9 km, es decir, el primer premio obligaba a un error IQS hora (15º)IQS IQS IQS IQS IQS máximo de 55,7 km, el segundo a 74,2 km y el tercero a 111,3 km. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Si ahora se IQS IQS IQS rehace el viaje de Colón hacia América sobreIQS el paralelo 28º IQS N relojes de la época, que acumulaban un error de 20 segundos al día, IQS utilizando IQS IQS IQS IQS IQS en cuenta que un viaje al Caribe tenia una duración media de unas 6 IQS y se tiene IQS IQS IQS IQS IQS semanas, el error en la medición del tiempo a la llegada sería de 14 minutos. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Considerando IQSla Tierra como IQS IQSa la altura delIQS una esfera, el IQS diámetro de la misma IQS paralelo 28IQS IQS IQS es de 11263,8 km, o lo que IQS es lo mismo, laIQS longitud total del 35386,15 km. IQS IQS paralelo deIQS IQS IQS IQS a estimar que esta diferencia de 14 minutos equivale a una distancia IQS Esto llevaIQS IQS IQS IQS IQS entre la posición real y la deducida de las lecturas del reloj de 344 km. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Irónicamente IQSse ha dichoIQS IQS los grandes IQSdescubridoresIQS que, en realidad, contra sus descubrimientos. IQS “chocaron”IQS IQS IQS IQS IQS

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS una consecuencia del desarrollo IQS Si este error IQSpuede considerarse IQS como IQS IQS IQS tecnológico de aquella época y que hoy en día es impensable cometer un error IQS de tal magnitud, IQS sería oportuno IQSrecordar el episodio IQS ocurrido IQS IQS el 23 de setiembre IQS de 1999. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Climate Orbiter”, también conocida IQS En esa fecha IQSla nave “Mars IQS IQS IQScomo “MarsIQS se estrellaba por error contra la superficie de Marte. Un error que IQS Surveyor ‘98” IQS IQS IQS IQS IQS costó la nada despreciable suma de 125 millones de dólares. IQS Lanzada elIQS IQS IQS IQS IQS 11 de diciembre de 1998, su trayectoria prevista la debía llevar a IQS pasar sobre IQS IQS IQS IQS IQS el polo norte de Marte a 200 km de la superficie, más allá de su IQS atmósfera.IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS La investigación sobre las causas de la catástrofe detectó la concatenación de IQS una serieIQS IQS IQS IQS IQS de actuaciones erróneas y fatales que apuntaban al sistema de IQS control deIQS IQS IQS IQS la orientación deIQS la nave en el espacio. IQS Dicho sistema IQSestaba formado IQSpor discos deIQS IQS de reacciónIQS momento y motores en todo momento podían hacer IQS girar la nave en cualquier IQS de gas queIQS IQS IQS dirección,IQS las órdenes que los controladores le enviaban por radio una vez IQS obedeciendo IQS IQS IQS IQS IQS analizada la información que la nave les enviaba por la misma vía. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Las cuatroIQS IQS IQS transmisionesIQS realizadas para corregir su IQS rumbo resultaron desafortunadasIQS y al final de su trayectoria a IQS totalmenteIQS IQS la desviación, IQS respectoIQS era de entre 70 y 180 km, lo que según los expertos significaba que IQS la prevista,IQS IQS IQS IQS IQS no se tenía idea de su posición, y lo más grave que tenía grandes posibilidades IQS de chocarIQS IQS IQS IQS IQS con la atmósfera de Marte y destruirse, cosa que fatalmente ocurrió. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS La investigación IQS concluyó IQS IQSerror fue queIQS IQS que el primer gran las fuerzas que sobre el sistemaIQS de orientación IQS fueron medidas IQS e interpretadas en IQS actuaban IQS IQS erróneas. Mientras los técnicos de la NASA trabajaban en Newtons, IQS unidades IQS IQS IQS IQS IQS la nave interpretaba las fuerzas en libras (lbf), unidades del sistema inglés de IQS medida utilizado IQS en su construcción. IQS El resultado IQS era la introducción IQS IQS de un IQS factor de error IQSde 4,45 (1 lbfIQS IQS IQS IQS = 4,448 N). IQS IQS IQS IQS IQS IQS

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Sirva lo hasta IQSaquí expuesto IQScomo recordatorio IQS de que nadie IQSestá libre deIQS trascendencia que un error puede tener tanto en el IQS cometer algún IQSerror y de laIQS IQS IQS IQS ámbito teórico como en el práctico. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 1.2 Concepto IQSde error, exactitud IQS y precisión. IQS IQS IQS definirse error como la falta IQS de adecuación de IQS De una forma IQSgeneral, suele IQS IQS IQS realidad y la propia realidad. IQS nuestro conocimiento IQS de laIQS IQS IQS IQS Esta es una definición genérica del concepto error y su concreción puede IQS abordarseIQS IQS IQS IQS IQS desde diferentes puntos de vista científicos para extraer las IQS conclusiones IQS IQS IQS IQS pertinentes. IQS el punto de vista pretende concretar la IQS Así, desdeIQS IQSfilosófico seIQS IQS si existe IQS humana de conocer exactamente la realidad. Según sea la IQS posibilidadIQS IQS IQS IQS IQS respuesta, sus consecuencias pueden dar lugar a diferentes teorías del IQS conocimiento IQS IQS IQS IQS IQS y diferentes concepciones de lo que el hombre puede lograr en IQS este sentido. IQS IQS IQS IQS IQS IQS La cuestión IQS IQSha estadoIQS IQS no es nueva,IQS desde la antigüedad presente en todo conocimiento humano. la IQS planteamiento IQScientífico delIQS IQS Baste recordar IQSque ya en IQS la Grecia clásica, Platón se planteaba el conocido “mito de la IQS época deIQS IQS IQS IQS IQS caverna” como expresión de esta inquietud. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Desde el IQS IQS IQS no es lograr IQSla explicaciónIQS punto de vista matemático, el objetivo la naturaleza IQS del error sino IQS que su estudio IQS se centra en IQS la IQS última deIQS en poder acotar su magnitud, saber como se IQS cuantificación IQSdel mismo,IQS IQS IQS IQS transmite y como afecta a la validez de los resultados. IQS La Matemática IQS aborda IQS IQS IQS IQS este estudio bajo dos enfoques distintos, uno IQS propiamente IQS IQS que se desarrolla IQS en los apartados IQS siguientesIQS de cálculo numérico, IQS de este capítulo, IQS y otro estadístico IQS que seIQS IQS resume en el IQS apartado 1.8 y se materias tales como la EstadísticaIQS o la Quimiometría. IQS amplia enIQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Por otra parte, el error es inherente al método experimental por cuanto éste IQS descansa IQS IQS IQS IQS IQS sobre una o varias mediciones, un modelo matemático más o menos IQS aproximadoIQS IQS IQS y un tratamiento de datos que IQS llevan implícita la introducción o IQS la de error. IQS transmisiónIQS IQS IQS IQS IQS

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS error como la diferencia entre nuestro conocimiento y la realidad y IQS Definido elIQS IQS IQS IQS IQS admitiendo que el estudio matemático va a pretender acotarlo y expresarlo IQS numéricamente, IQS es oportuno IQS IQS IQS IQS introducir en este momento algunos conceptos y IQS términos, IQS IQSrelacionadosIQS IQS de uso muy frecuente, con el error. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS • Exactitud. IQS IQS IQS IQS IQS Expresa el grado de aproximación de las medidas respecto a la realidad IQS IQS IQS IQS IQS IQS o a un valor de referencia. Su opuesto es la inexactitud o sesgo y suele IQS IQS IQS IQS IQS IQS relacionarse con errores sistemáticos. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS • Precisión. IQS IQS IQS IQS IQS Es IQS el grado de coincidencia de una misma IQS IQS de diferentes IQS mediciones IQS IQS magnitud, obtenidas en condiciones esencialmente constantes. Suele IQS IQS IQS IQS IQS IQS relacionarse con el error aleatorio, con frecuencia denominado también IQS IQS IQS IQS IQS IQS error experimental. Su opuesto corresponde a la imprecisión e implica la IQS IQS de una serie IQS IQS IQS realización de mediciones homogénea. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS • Sensibilidad. IQS IQS IQS IQS IQS Generalmente asociada a la calificación del instrumental de medida, se IQS IQS IQS IQS IQS IQS define como la mínima variación en la magnitud a medir capaz de IQS IQSa una lectura IQSen el instrumental IQS de medición IQSapreciable IQS conducir y IQS IQS IQS IQS IQS IQS cuantitativamente distinta. Puede ser constanteIQS o no en el intervalo de medición. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Aunque las tres características se presentan conjuntamente en el proceso de IQS medida, son IQS IQS IQS IQS IQS entre sí independientes, es decir, puede darse el caso de disponer IQS de procedimientos IQS de medida IQSmuy exactos IQS IQS o por IQS pero poco precisos, el procedimientos muy precisos peroIQS sesgados. IQS contrario, IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 1.3 Fuentes IQSde error. Clasificación IQS de losIQS IQS IQS tipos de error. IQS Desde el IQS IQS IQS IQS estudio sistemático de los errores, que se conoceIQS como “Teoría de IQS errores”, seIQS IQS de los errores IQS atendiendoIQS han propuestoIQS diferentes clasificaciones

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS diversos. De todas que IQS a criteriosIQS IQSellas, se recogen IQS las dos clasificaciones IQS IQS prácticas y aplicables en la mayoría de situaciones en las que un IQS resultan más IQS IQS IQS IQS IQS científico o un ingeniero va a encontrarse y que responden a considerar los IQS diferentesIQS IQS IQS IQS IQS tipos de error en función, bien de sus causas, o bien de su IQS variabilidad. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS no radica IQS La importancia IQSde estas clasificaciones IQS IQS en su carácter IQSmás o menosIQS o completo, si no que pueden servir de pauta para saber donde IQS descriptivoIQS IQS IQS IQS IQS actuar cuando se ha detectado la presencia de un error en un resultado o en IQS una medición. IQSEn la vida profesional, IQS muchas IQS IQS IQS veces tan importante es detectar IQS que se haIQS IQS IQS IQS producido un error como saber IQS en que punto hay que actuar para IQS corregirlo.IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Así pues, si se considera cuales son las causas que pueden provocar un error IQS en una medición IQS o en un resultado, IQS los errores IQS IQS IQS se clasifican en: IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS • ErroresIQS IQS como tales IQS IQS IQS de medida: Englobando aquellos errores que derivan del Básicamente estos IQS propio proceso IQS de medida. IQS IQSerrores pueden IQSdeberse a: IQS a la lectura entre IQS - Limitaciones IQS del instrumental IQS de medida: IQSSea debidaIQS IQS dos graduaciones consecutivas de una escala, a una lectura con un IQS número IQS IQS IQS IQS IQS determinado de dígitos, a la estabilidad del propio instrumental, a IQS la precisión IQS y sensibilidad IQSdel mismo, suIQS IQSetc. IQS correcto calibrado, personales: Tal vez los más difíciles y/o corregir. Entre IQS - Errores IQS IQS IQSde detectarIQS IQS causas pueden IQS deberse tanto aIQS una lectura o anotación IQS otrasIQS IQS incorrectaIQS resultado, como a la propia limitación visual para efectuar la lectura IQS del IQS IQS IQS IQS IQS (errores de paralaje, sensibilidad a los cambios de color, etc.). IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS • ErroresIQS IQS de modelo: EnIQS este apartado IQS se acostumbra IQS a incluir tanto los que pueden provenir IQS erroresIQS IQS del planteamiento IQS del problema, IQS como delIQS teórico aplicado y los métodos aproximados utilizados, en su caso, IQS modeloIQS IQS IQS IQS IQS para resolverlo. De forma resumida cabría considerar aquí los errores que IQS puedenIQS IQS IQS IQS IQS ocasionarse por: IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS incorrecto delIQS problema debido a una mala selección IQS - Planteo IQS IQS IQS del modeloIQS o bien a la no consideración de factores que en realidad influyen IQS a seguir IQS IQS IQS IQS IQS en el resultado. IQS - Utilización IQS de modelosIQS IQS IQS IQS aproximados. No es infrecuente que el modelo IQS teórico IQS IQS situación, IQSo un métodoIQS adecuado queIQS describe una determinada IQS de resolución IQS aproximado, IQS resulte enIQS IQS IQS extremo complejo o implique un tal de variables que lo convierten poco operativo. IQS número IQS IQS IQSen un modelo IQS IQS condiciones que conducen a una IQS Es práctica IQS común admitir IQSuna serie deIQS IQS IQS simplificación del modelo y por tanto a una solución aproximada siempre, IQS aunque IQS IQS IQS IQS IQS tanto más válida cuanto más próximas estén a la realidad las IQS condiciones IQS admitidas.IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS de cálculo: Forman grupo de errores, IQS • ErroresIQS IQSparte de este IQS IQSaquellos queIQS de la resolución numérica del modelo matemático utilizado, por IQS derivan IQS IQS IQS IQS IQS simple que sea. Son de destacar los errores debidos a: IQS - Limitación IQSde las herramientas IQS de cálculo IQSutilizadas. En IQS IQS ocasiones será IQS necesario IQSutilizar gráficos, IQSescalas, operaciones IQS aproximadas IQSrápidas, etc.IQS Es inevitable IQS que los valores de IQS - Operaciones IQS con números IQSaproximados. IQS IQS ecuaciones empleadas sean a su IQS los parámetros IQS que intervienen IQS en lasIQS IQS IQS vez datos obtenidos experimentalmente y por tanto tienen un error IQS asociado. IQSLa denominación IQS “constante” IQS IQS IQS no implica necesariamente que IQS esté IQS IQS IQS IQS libre de error. IQS de cálculo realizado. IQS - Proceso IQS IQS Dependiendo IQSde los cálculos IQSrealizados losIQS de los datos se transmitenIQS al resultado IQS en una magnitud IQS errores IQS IQS IQS determinada que más adelante veremos como evaluar. IQS - Errores IQS IQS IQS IQS IQS personales. Como ya se ha mencionado siempre son difíciles de IQS corregir IQS IQS IQS Pueden ser IQS IQS y en ocasiones incluso de detectar. debidos a una IQS incorrecta IQSintroducciónIQS IQSprogramaciónIQS de datos, errorIQS en cálculo mental, IQS incorrecta IQSde un algoritmo, IQSetc. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Atendiendo a la variabilidad de las causas que provocan un error, éstos se IQS pueden clasificar IQS en: IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS sistemáticos: Son la consecuencia de error fijas que IQS • ErroresIQS IQS IQSde causas IQS IQS en cada una de las mediciones o cálculo y son constantes en IQS actúan IQS IQS IQS IQS IQS y sentido. Generalmente se deben al instrumental, condiciones de IQS magnitud IQS IQS IQS IQS IQS trabajo o modelos mal seleccionados. IQS Si no son IQS IQS IQS importantes IQS son difíciles de IQS detectar, pero una vez detectados IQS puedenIQS IQS de unaIQS IQS corregirse y/o eliminarse forma fácil, porIQS ejemplo mediante periódicos delIQS instrumental de IQS medida. IQS calibrados IQS IQS IQS se asocia a la inexactitud de una medida o de un IQS Generalmente IQS su presencia IQS IQS IQS IQS resultado. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS • ErroresIQS IQSde la acción IQS IQS IQS aleatorios: Dependen de una o varias causas fortuitas incluso ser distintos IQS de variación IQSque puedenIQS IQSen cada medición. IQS Su acciónIQS en magnitud y IQS sentido. IQS es impredecible IQS y variableIQS IQS IQS por lo general basta realizar repeticiones de la IQS Son fáciles IQSde detectar,IQS IQS IQS IQS medición para comprobar su presencia, pero resulta muy difícil eliminarlos o IQS disminuirlos. IQSSin embargoIQS IQS IQS IQS resulta muy interesante poder acotarlos. IQS Suelen IQS IQS de un resultado. IQS IQS IQS asociarse a la precisión IQS IQS IQS IQS IQS IQS estudio de los: IQS Otra consideración IQS lleva al IQS IQS IQS IQS IQS • ErroresIQS IQS IQS IQS IQS proporcionales: Son aquellos cuya magnitud y sentido dependen del IQS propio valor IQSmedido, es decir, IQSexiste una cierta IQSfunción queIQS IQS relaciona el error, IQS sistemático IQSo aleatorio, con IQS IQSε = f(x). IQS el valor de la IQS medición efectuada: corresponder aIQS comportamientos especiales del instrumental de IQS Suelen IQS IQS IQS IQS como, por ejemplo, su aplicación en condiciones extremas de IQS medidaIQS IQS IQS IQS IQS validez, la no constancia del error en el intervalo de medida (lecturas en IQS escalasIQS IQS IQS IQS IQS funcionales), etc. IQS Como enIQS IQSpueden obviarse IQSdeterminandoIQS el caso de los IQS errores sistemáticos IQS la funcionalidad. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS la Figura 1.1 se presenta en forma esquemática un resumen de estos IQS En IQS IQS IQS IQS IQS conceptos: Error sistemático, error aleatorio, precisión y exactitud. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Valor IQS IQS IQS IQSreal IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Error Sistemático IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Valor exacto IQS IQS Valor preciso pero IQS pero inexacto poco preciso IQS IQS IQS IQS IQS IQS Error Aleatorio IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS x IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Tipos de error, exactitud y precisión IQS IQS Figura 1.1: IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 1.4 Expresión IQS del error: IQS IQS de error. IQS Error absoluto yIQS error relativo. Límite IQS Definido elIQS IQS IQS IQS concepto de error y clasificadosIQS éstos atendiendo a sus diferentes variabilidad, el siguiente paso corresponde IQS a su expresión IQS fuentes yIQS IQS IQS IQS IQS matemática. IQS IQS IQS IQS IQS Obviados los errores sistemáticos, que pueden ser eliminados con calibrados IQS periódicosIQS IQS IQS IQS IQS del instrumental o correcciones del modelo, los resultados de una IQS medida o IQS IQS de una serie deIQS operaciones noIQS dejarán de estar afectados por IQS el IQS error experimental IQS o aleatorio. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 1.4.1. Error absoluto. IQS Una traducción IQS directa del IQS IQS IQS IQS concepto de error tal como se ha definido IQS anteriormente IQSnos lleva a laIQS IQS IQS IQS expresión: IQS IQS IQSError = A –IQS IQS IQS x A es el valor real IQS y x el valor aproximado IQS en la que IQS IQS medido. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS es positivo (x es una aproximación por defecto de IQS Si A es mayor IQSque x el error IQS IQS IQS IQS que si es menor, el error es negativo y x corresponde a una IQS A), mientras IQS IQS IQS IQS IQS por exceso de A. Error = | A – x | IQS aproximación IQS IQS IQS IQS IQS IQS Esta definición IQSimplica el IQS IQS IQS IQS conocimiento exacto de A, lo cual no siempre es IQS posible y en IQS IQSa priori si elIQS consecuencia IQS no se puede conocer error es positivoIQS o Por esta razón se considera el valor absoluto de IQS la diferencia A –IQS x IQS negativo. IQS IQS IQS de error. IQS como definición IQSde un límiteIQS IQS IQS IQS IQS 1.4.2. Límite IQS IQS IQS IQS IQS de error absoluto. ( ε ) IQS Generalmente IQSse acostumbra IQS IQS a asociar el IQS error absoluto aIQS la sensibilidad de IQS una medida, IQS IQS IQS IQS es decir a laIQS mínima variación de la magnitud a medir que es En la figura 1.2 se muestra IQS lo que sería una posible lectura IQS detectable.IQS IQS IQS IQS de la velocidad de un móvil (km/h) y una lectura digital de la distancia IQS analógica IQS IQS IQS IQS IQS recorrida por dicho móvil (km). IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Figura 1.2: Lectura de velocidad y distancia recorrida por un móvil. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS La lecturaIQS IQS IQS IQS IQS atenta de la velocidad conduce a que ésta puede ser cualquier valor IQS entre 48 yIQS IQS IQS IQS 49 km/h, tal vezIQS aproximadamente entre 48,5 y 49 km/h pero no es IQS posible aproximar IQS el valor IQS IQS con tres dígitos.IQS No tendría sentido afirmar que IQS la es de 48,7231623 km/h, puesto que corresponde IQS a un valor que no IQS velocidad IQS IQS IQS IQS medido. De forma análoga la distancia recorrida está comprendida IQS puede serIQS IQS IQS IQS IQS entre 67324,4 y 67324,5 km. IQS IQS IQS IQS IQS IQS

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS valor dentro de dichos real. IQS Cualquier IQS IQSintervalos puede IQSser el valorIQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS El ejemplo anterior muestra que, aunque el valor real sea desconocido, es IQS posible acotarlo IQS dentro IQS IQS IQS IQS de unos determinados límites extremos (que IQS dependerán IQS IQS IQS y, admitiendo IQSque el valorIQS del instrumental de medida utilizado) IQS medido corresponde IQS al centro IQS IQS IQS IQS del intervalo, es posible expresar: x –IQS LE ≤ A ≤ x + LEIQS o su equivalencia: LE = x ± ε IQS IQS A = x ±IQS IQS una forma correcta de expresar un resultado, la indicación IQS Esta es IQS IQS IQS IQS IQS explícita del valor y de su límite de error absoluto. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS En el ejemplo IQS IQS del móvilIQS mostrado enIQS la figura 1.2, la velocidad corresponderíaIQS a IQS 48,5 ± 0,5IQS IQS IQS± 0,05 km. IQS IQS km/h y el espacio recorrido a 67324,45 IQS IQS IQS IQS IQS IQS alternativa de expresar un resultado consiste en indicar IQS Otra forma IQS IQS IQS IQS IQS solamente sus cifras exactas. IQS En tal caso IQS IQS IQS IQS IQS se entiende que el límite de error es de 0,5 unidades en la IQS última cifra IQS IQS IQS IQS IQS indicada. IQS IQS IQS IQS IQS IQS = 0,05. supone que εIQS IQS Así: t = 273,2 IQS IQS IQS IQS presente que en el uso común se acostumbra a denominar error IQS Debe tenerse IQS IQS IQS IQS IQS absoluto al límite de error absoluto y por tanto a asociar: LE ⇒ ε IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 1.4.3. ErrorIQS IQS IQS IQS IQS relativo. como el error cometido de medida, es IQS adimensional, y se IQS Se define IQS IQS por unidadIQS IQS IQS suele expresar IQSen porcentaje. IQS IQS IQS IQS ε =IQS IQS IQS IQS e x = LE IQS IQS A x IQS Es un parámetro IQS que permite IQS IQS IQS IQS realizar una comparación de errores cometidos. IQS Al expresarlo IQS IQSpermite tener IQS IQS IQS en tanto por ciento una idea intuitiva de la magnitud error. IQS relativa delIQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS significativosIQS y dígitos exactos de un resultado. IQS 1.5 Dígitos IQS IQS IQSRedondeo deIQS IQS cifras. IQS IQS IQS IQS IQS Obtener información en toda ciencia experimental implica trabajar con medidas IQS y modelosIQS IQS IQS IQS IQS matemáticos, es decir, en última instancia trabajar con valores IQS numéricos.IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS pueden clasificarse IQS Desde el punto IQSde vista numérico, IQS los números IQS IQSen: IQS exactos: Son aquellos que están exentos de error, es decir, todas IQS • NúmerosIQS IQS IQS IQS IQS sus cifras son exactas. IQS PuedenIQS IQS IQS IQS IQS tener dos orígenes: IQS - Teórico: IQSAparecen IQS IQS IQS en las fórmulasIQS y provienen de una deducción matemática definición: IQS IQS o de unaIQS IQS IQS IQS 1 IQS IQS 1 y 2 son IQS IQS números exactosIQS E =IQS mv 2 2 2 IQS IQS IQS1 m = 1000IQS IQS IQS 1 hora = 3600 s mm IQS - Práctico: IQS Son el resultado IQS de una IQS IQS IQS enumeración, de un conteo. Por ejemplo: 6 cilindros (6 esIQS un número exacto). IQS IQSun motor deIQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Números aproximados: Son aquellos que expresan el valor de una cierta IQS • magnitud IQS IQS IQS IQS IQS con un cierto margen de error. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS PuedenIQS IQS IQS IQS IQS ser: a la expresiónIQS de un número irracional. IQS - Teóricos: IQSCorresponden IQS IQS IQS 2 = 1,41... π =IQS 3,1416.... IQS IQS IQS31 = 0,333....IQS IQS IQS - Prácticos: IQS ProvienenIQS IQS IQSque tener enIQS de una medición y/o cálculo. Hay cuenta que muchas IQS “constantes” queIQS aparecen en las expresiones de IQS IQS IQS IQS modelos IQS IQS matemáticos, IQS en realidad, IQS se han IQSdeterminadoIQS experimentalmente (Constantes de equilibrio, constante gravitatoria, etc.). IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS En todo número IQS aproximadoIQS IQS IQS IQS hay que distinguir entre: IQS ♦ Cifras significativas. IQS IQS IQS IQS IQS significativasIQS de un número aproximado aquellas que se IQS Son cifras IQS IQS todasIQS IQS determinar experimentalmente. IQS puedenIQS IQS IQS IQS IQS

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS consideran cifrasIQS significativas los ceros a la izquierda IQS No se IQS IQS IQS necesariosIQS decimal. Es recomendable utilizar la notación IQS para posicionar IQS la coma IQS IQS IQS IQS científica. IQS Por ejemplo: IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 0,00123 tiene IQS3 cifras significativas IQS 1,23 10IQS IQS IQS IQS 0,001230 IQS IQS 1,230 10 IQS IQS tiene 4 cifras significativas. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS ♦ Cifras exactas. IQS IQS IQS IQS IQS Son las n primeras cifras significativas de un número cuyo error no es IQS superiorIQS IQS IQS IQS IQS a media unidad de su orden, es decir, el error afecta a la cifra en la IQS posiciónIQS IQS IQS IQS IQS (n + 1). de realizar unaIQS serie de medidas y/o cálculos corresponden a las IQS En casoIQS IQS IQS IQS se repiten. PorIQS ejemplo si en una serie de lecturas de un voltaje se IQS cifras que IQS IQS IQS IQS han obtenido los valores: 224, 222, 221, 226, 222 (mV) el valor del IQS voltaje podría IQS expresarseIQS IQS IQS IQS con 3 cifras significativas pero sólo 2 exactas. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Cualquier IQS IQSdebe expresarse IQScorrectamente IQSde alguna deIQS número aproximado IQS las dos formas IQSsiguientes: IQS IQS IQS IQS el valor y su error absoluto IQS • Forma explícita: IQS Indicando IQS IQS IQS IQS 7,12 ± 0,02 1,618 ± 0,0005 ( 1,8 ± 0,05 ) 10 IQS • Forma IQS IQS IQS IQS IQS implícita: En esta forma se indican únicamente las cifras exactas del IQS número,IQS IQS IQS IQS IQS entendiendo por cifras exactas las que no están afectadas por un IQS error superior IQS a media unidad IQSde su ordenIQS IQS IQS 0,005) 1,23 10 = 5) IQS 1,41 (ε≤IQS IQS10 (ε ≤ 0,005 IQS IQS IQS (ε ≤ 0,005 10 IQS = 5 10 ) IQS 1,23 10IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Al operar con números aproximados pueden introducirse dos tipos de error: IQS 1) Error deIQS IQS IQS IQS IQS truncamiento, debido a la necesidad de expresar un número IQS irracionalIQS IQS número deIQS IQSo bien utilizarIQS con un determinado cifras (π = 3,14159) infinita con un IQS número determinado IQS una serieIQS IQSde términos:IQS IQS xn IQS IQS IQSx x 2 + x 3IQS IQS IQS e x = 1+ + +K+ +K IQS IQS IQS1! 2! 3!IQS n! IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS –3

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS siempre de forma que este error por truncamiento IQS Será aconsejable IQS trabajarIQS IQS IQS IQS al del resto de errores. IQS sea inferior IQS IQS IQS IQS IQS IQS 2) Error porIQS IQS IQS IQS IQS redondeo. IQS ResultaIQS IQS un resultado IQS (medido IQS obvio que no IQS tiene sentido expresar o IQS calculado) IQS IQSque las queIQS IQSexactas. ConIQS con más cifras son estrictamente será obligadoIQS reducir el número de cifras del resultado IQS frecuencia IQS IQS IQS a aquellasIQS exactas, y para ello se puede proceder al truncamiento del número. IQS que sonIQS IQS IQS IQS IQS Sin embargo si se desea minimizar el error por truncamiento que se IQS producirá IQS IQS IQS IQS IQS se procede al redondeo de cifras. IQS IQS IQS IQS IQS IQS se procede según las siguientesIQS normas: IQS Para elloIQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS
Para redondear a N dígitos se deben eliminar todos los dígitos a la IQS derecha IQS IQS IQS IQS IQS del dígito N. IQS
Si el IQS IQS es menor que IQS primer dígito eliminado 5, se procedeIQS al truncamiento:IQS IQS 1,233IQS IQS IQS IQS ⇒ 1,23 (N = 3)IQS 10,583 ⇒ 10,58 (N=4) primer dígito eliminado que 5, se elimina y se añade una IQS
Si elIQS IQS es mayorIQS IQS IQS al último de los dígitos que quedan: IQS unidad IQS IQS IQS IQS IQS 1,236 ⇒ 1,24 (N = 3) 3,14159 ⇒ 3,1416 (N = 5) IQS
Si elIQS IQS IQS IQS IQS primer dígito eliminado es igual a 5 y hay dígitos eliminados (a la IQS derecha IQSdel cinco) distintos IQS de cero, IQS IQS en unaIQS se elimina incrementando IQS unidad IQS IQS IQS IQS el último dígitoIQS que queda: = 3) IQS 6,5852085 IQS⇒ 6,59 (NIQS IQS IQS IQS primer dígito eliminado es igual a 5 y el resto de dígitos eliminados IQS
Si elIQS IQS IQS IQS IQS son cero, se elimina el cinco y el último dígito que queda se mantiene IQS igualIQS IQS IQS IQS IQS si es par o se incrementa en una unidad si es impar: IQS IQS 1,25 ⇒ 1,2 IQS IQS 1,275 ⇒IQS IQS 1,28 IQS No obstante IQS en estosIQS IQS IQS la notaciónIQS casos es también frecuente encontrar o en el segundo valor 1,27 IQS 1,2 IQS IQSdel ejemplo IQS IQS IQS indicativo de que el último dígito debiera redondearse pero se deja IQS Ello es IQS IQS IQS IQS IQS al arbitrio del usuario el redondeo pertinente. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS cálculo. IQS 1.6 Transmisión IQS de errores: IQSMétodos deIQS IQS IQS Operar con números aproximados, introducirlos en un modelo matemático para IQS obtener unIQS IQS IQS IQS IQS resultado, implica trasladar de alguna manera a este resultado final IQS el error deIQS IQS IQS los datos. En IQS otras palabras, si los datos que IQS intervienen en un IQS cálculo poseen IQSun cierto margen IQS de error, un IQS IQS IQS cierto intervalo de incertidumbre cual no se puede precisar el valor real de dichos datos, es lógico IQS dentro delIQS IQS IQS IQS IQS esta zona de incertidumbre se trasladará de alguna forma al IQS admitir queIQS IQS IQS IQS IQS resultado final. La forma en que se transmitirá el error dependerá de cual sea la IQS expresión IQS IQS IQS IQS IQS matemática del modelo. IQS IQS IQS IQS IQS IQS de la transmisiónIQS de errores tieneIQS por objetivo: IQS El estudioIQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS a) Conocer cual será el error del resultado de un cálculo conociendo cuales son IQS los errores IQS IQS IQS IQS IQS de los datos (Problema directo). IQS b) EstimarIQS IQS IQS IQS IQS los límites de error máximos de los datos tales que permitan obtener IQS un resultado IQScon un determinado IQS margenIQS IQS (ProblemaIQS de error preestablecido IQS inverso).IQS IQS IQS IQS IQS los términos y/o datos que introducen mayor error en un resultado. IQS c) Identificar IQS IQS IQS IQS IQS IQS Como se IQS IQS IQS IQS IQS ha indicado anteriormente el estudio de la transmisión de errores se IQS puede abordar IQSdesde un punto IQSde vista puramente IQS de cálculoIQS IQS numérico o bien (cfr. 1.8). IQS desde un enfoque IQS estadístico IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Desde el punto de vista del cálculo numérico se parte del supuesto más IQS desfavorable, IQS IQS IQS IQS IQS es decir, se admite como premisa que los errores jamás se van a IQS compensar,IQS IQS y el error final IQS va a representarIQS siempre el caso IQS más desfavorable. IQS Se trata pues IQSde la determinación IQS de unosIQS IQS IQS límites de error de una manera que corresponderán de error en el peor de los casos. IQS IQS pesimista,IQS IQSa los límites IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS A diferencia de este enfoque, desde el punto de vista estadístico se admite que IQS los erroresIQS IQS IQS IQS IQS pueden compensarse y por tanto la estimación de los límites de IQS error no resulta IQStan pesimista. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS hasta aquí expuesto IQS Como recapitulación IQS de loIQS IQS consideremos IQS el caso deIQS el volumen de un bidón metálico en el que se ha determinado el IQS determinarIQS IQS IQS IQS IQS radio de la base (r) y la altura (h) con una determinada precisión. IQS Sea: IQS IQSε = 0,005 IQS IQS IQS r = 5,00 dm dm = 0,5 mm IQS IQS IQSε = 0,005 IQS IQS IQS h = 15,00 dm dm = 0,5 mm IQS considerando IQS IQScomo un cilindro, IQSsu volumenIQS IQS el bidón metálico (V) será: IQS IQS IQS V = π r hIQS IQS IQS de cometer un IQS error por exceso,IQS tanto en la medida del radio como IQS En el casoIQS IQS IQS el volumen calculado será: IQS en la altura,IQS IQS IQS IQS IQS V = π (5,005) (15,005) = 1180,85 dm IQS mientras que IQS IQS IQS IQS IQS si ambos errores se cometen por defecto, el volumen resulta: IQS IQS V = π (4,995) IQS (14,995) IQS IQS = 1175,35 dm IQS IQS El volumenIQS IQSentre estosIQS IQS IQS real se encontrará dos límites y se podría expresar IQS como: IQS V = 1178,10 IQS± 2,75 dm IQS IQS IQS mm en las dos IQS es decir que, IQSel error inicial, IQSuna incertidumbre IQS de ± 0,5IQS IQS se ha transformado en un error de ± 2,75 dm en el volumen. IQS longitudesIQS IQS IQS IQS IQS IQS Este es unIQS IQS IQS IQS IQS ejemplo sencillo, sin embargo podría estudiarse en la posibilidad de IQS disponer deIQS IQSque permitan IQS IQS del error deIQS métodos generales obtener la expresión en función delIQS error de los datos. IQS un resultado IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS MÉTODOS DE CÁLCULO DEL ERROR DE UN RESULTADO: IQS Entre los diferentes IQS métodos IQS IQS IQS IQS de cálculo del error de un resultado en función de IQS los erroresIQS IQS IQS IQS de los datos, cabe considerar losIQS siguientes: IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS - SUSTITUCION IQS DE VALORES IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Consiste en realizar el cálculo que se considera sustituyendo todos los datos IQS aproximados IQS IQS IQS IQS IQS por sus valores límite. IQS Es un sistema IQScómodo paraIQS IQS IQSenormementeIQS cálculos sencillos pero se complica cálculos no son simples. Requiere IQS cuando losIQS IQS IQSuna enumeración IQScompleta deIQS combinaciones de límites posibles para poder seleccionar las que IQS todas las IQS IQS IQS IQS IQS conducen a los valores límite máximo y mínimo del resultado. IQS IQS IQS IQS IQS IQS r

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Este material forma parte del libro: Tomàs, X.; Cuadros, J.; González, L..(2006). Introducción al Cálculo Numérico. Institut Químic de Sarrià. ISBN: 84-611-0645-8.

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS de los instrumentos hace que este método IQS La evolución IQS IQS de cálculoIQS IQS no se hayaIQS por completo. IQS eliminado IQS IQS IQS IQS IQS IQS Además delIQS IQS IQS IQS IQS ejemplo antes citado, podríamos considerar el siguiente cálculo: IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Ejemplo 1.1 IQS IQS IQS IQS IQS IQS Dada la IQS IQS IQS IQS IQS expresión: v IQS IQS IQS z =  x IQS IQS IQS      IQS IQS IQS  Ln y IQS IQS IQS siendo: x = 0,735 ± 0,002 y = 3,817 ± 0,0005 v = 1,121 ± 0,001 valor de z y su límite IQS Hallar elIQS IQSde error. IQS IQS IQS IQS Los límites IQS IQS 0,733 ≤ xIQS IQS IQS a considerar son: ≤ 0,737 3,8165 ≤ Ln y ≤ Ln 3,8175 IQS IQS IQS Ln IQS IQS IQS 1,120 ≤ v ≤ 1,122 que lleva a los valores son: IQS La combinación IQS de límitesIQS IQS extremos IQS IQS = ( 0,737 / Ln 3,8165 IQS z(Máximo) IQS IQS ) = 0,511599 IQS IQS IQS z(Mínimo) = ( 0,733 / Ln 3,8175 ) = 0,508986 IQS IQS IQS IQS IQS IQS El error del resultado será: ε = [z(Máximo) – z(Mínimo) / 2 = ± 0,001 IQS y el resultado: IQS IQS z = [z(Máximo) IQS+ z(Mínimo)IQS ] / 2 = 0,510 IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS - DEDUCCION IQS MATEMATICA IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS partiendo de la expresión a calcular es posible deducir una IQS Supone que IQS IQS IQS IQS IQS expresión que relacione el error del resultado con el error de los datos. IQS Se trata IQS IQS IQS IQS IQS de un método que rinde una solución particular, puede resultar IQS laborioso IQS IQS IQS y su complejidad depende de laIQS que pueda tener la expresión IQS a IQS calcular. IQS IQS IQS IQS IQS estos casos sencillos, en los que en mayúscula IQS Como ejemplo IQSse desarrollan IQS IQS IQS IQS un valor real y en minúscula un valor aproximado: IQS se representa IQS IQS IQS IQS IQS IQS ERROR DEIQS IQS : IQS IQS IQS UNA SUMA ALGEBRAICA IQS IQS IQS IQS X=x±ε Y =IQS y±ε S=X+Y S IQS =s±ε IQS sustituyendo: IQS IQS IQS IQS IQS

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS S = (x ± ε ) + (yIQS ± ε ) = (x + y) ±IQS (ε + ε ) = s ± (εIQS +ε ) IQS IQS IQS se sigue: IQS de donde IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS ε = ε + εIQS IQS IQS Para la diferencia: IQS IQS IQS S = X – YIQS IQS IQS IQS IQS IQS = S − s=(X –IQS Y) – (x – y)= (x – y) – (x – y) ±IQS (ε + ε ) ε IQS IQS IQS IQS ε = ε + εIQS IQS IQS ambos casos puede IQS es decir, enIQS IQSconcluirse que: IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS “El error absoluto de una suma algebraica es igual a la suma de los IQS errores absolutos IQS de los sumandos” IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS UN PRODUCTOIQS O COCIENTE: IQS IQS ERROR DEIQS IQS IQS X=x±ε Y =IQS y±ε S=XY S IQS =s±ε IQS IQS IQS IQS IQS sustituyendo: IQS IQS IQS IQS IQS S = (x ± ε ) (y ± ε ) = x y ± x ε ± y ε ± ε ε = s ± (x ε + y ε + ε ε ) IQS que despreciando IQS el términoIQS IQS IQS IQS ± ε ε conduce a: IQS IQS IQSε = y ε + xIQS IQS IQS ε IQS o su equivalente IQS expresadoIQS IQS IQS IQS como error relativo: / s= (y ε + x ε IQS ) / xy = e + e IQS IQS IQS e = εIQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Para el cociente: IQS IQS IQS IQS IQS S=X/Y S=s±ε X=x±ε Y=y±ε IQS sustituyendo: IQS IQSS = (x ± ε )IQS IQS IQS / (y ± ε ) IQS y como: IQS IQSε = S − sIQS IQS IQS IQS por desarrollo IQS IQS IQS IQS se llega a: IQS x ± ε x x x y ±IQS y ε x − x y ± x ε y IQS ± y ε x ± x ε y IQS ± ( y ε x + x ε y ) IQS IQS ε s = IQS − = = ≈ 2 y±εy y y (y ± ε y ) y (y ± ε y ) IQS IQS IQS IQS IQSy IQS relativo conduce a: IQS que expresado IQScomo error IQS IQS IQS IQS εs y y εx + x εy = = e x + e y IQS IQS IQS e s =IQS IQS IQS s x y2 IQS es decir, que IQS IQS IQS IQS IQS en ambos casos puede concluirse que: IQS IQS IQS IQS IQS IQS y

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Introducción al Cálculo Numérico. IQS.

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS relativo de un producto o un cociente es igual a la suma de los IQS “El error IQS IQS IQS IQS IQS errores relativos de los factores” IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS - ASIMILACION IQS A DIFERENCIALES IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS matemática que relaciona el resultado con los datos aproximados IQS Si la función IQS IQS IQS IQS IQS (variables) cumple la condición de ser derivable y los errores en los datos son IQS pequeños,IQS IQS IQS IQS IQS es posible establecer un método general de cálculo del error del IQS resultado IQS IQS IQS IQS en función de losIQS errores de los datos. IQS IQS IQS IQS IQS IQS consideremos inicialmente que el IQS Para comprender IQS el fundamento IQS del métodoIQS IQS IQS resultado (y) es una función de un solo dato aproximado (x) y su representación IQS corresponde IQS IQS IQS IQS IQS a la indicada en la Figura 1.3 IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Figura 1.3: Asimilación de errores a diferenciales: y = f(x) IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Sea y = f(x) IQS IQS IQS IQS IQS una función cualquiera que relaciona el resultado (y) con un valor IQS aproximadoIQS IQS ). Obviamente, IQS la sustitución en IQS la (x) cuyo error es conocido (x ± εIQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS los dos valores IQS límite de x llevara a conocer y ± εIQS , es decir el error IQS función deIQS IQS IQS IQS del resultado. IQS IQS IQS IQS IQS IQS Si la función IQS IQS IQS IQS IQS es derivable en el intervalo considerado, se tiene que: IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS dy ∆y IQS f ′(x ) = = lim = lim tg (α ) d x ∆x → 0 ∆x ∆x → 0 IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS por tanto, si se cumple que ε = ∆x es pequeño los errores pueden asimilarse a IQS las diferenciales IQS y simplemente IQSderivando laIQS IQS IQS función es posible estimar el valor IQS del error εIQS IQS IQS IQS IQS . IQS Lógicamente IQS IQS IQS IQS IQS el método será tanto más correcto cuanto menor sea ∆x. IQS IQS IQS IQS IQS IQS si se cumplen las condiciones antes citadas, y teniendo presente IQS En definitiva, IQS IQS IQS IQS IQS que se trata de calcular un límite de error, la relación será: IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS ε = ± f ’(x) ε = |IQS f ’(x) | ε IQS IQS IQS IQS IQS IQS generalizar al IQS caso de disponerIQS de una función de IQS Este procedimiento IQS se puede IQS IQS x valores aproximados): IQS varias variables IQS(x , x , …,IQS IQS IQS IQS y = f(x , x , …, x ) IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Si se considera IQSel punto A IQS IQS IQS como el valor deIQS la función obtenido con los valores las variables y IQS el punto A’ el correspondiente al IQS valor de la función IQS exactos deIQS IQS IQS valores de las variables están afectados por sus respectivos IQS cuando losIQS IQS IQS IQS IQS si la función es derivable es posible obtener el desarrollo en serie de IQS errores, IQS IQS IQS IQS IQS Taylor alrededor de un punto, y asimilando errores a diferenciales se tiene: IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS n ∂ fIQS n n ∂IQS IQS f f [x 1, x 2 ,K, x n ] = f [x 1, x 2 ,K, x n ] ′ + ∑ ∆xi + ∑∑ ∆xi ∆x j + L ∂ x iIQS ∂xj IQS IQSA IQS A i =1 ∂ xIQS IQS i i =1 j =1 IQS IQS IQS IQS IQS IQS de las variables son pequeños pueden despreciarse IQS Si los errores IQS IQS IQS IQSlos términosIQS como los restantes términos superiores, llegando a la expresión: IQS ∆x ∆x asíIQS IQS IQS IQS IQS y

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS n ∂f IQS ε y = IQS IQS IQSn ∂ f ∆ x i IQS IQS f [x 1, x 2 ,K, x n ] − f [x 1, x 2 ,K, x n ] ≈ ∑ ⇒∑ εx A A′ ∂ xi i =1 IQS IQS IQS IQSi =1 ∂ x i IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Expresión general que permite calcular el error de una función de varias IQS variables. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Ejemplo 1.2 IQS IQS IQS IQS IQS IQS Establecer IQS IQS IQS IQS a partir deIQS la expresión que permite calcular el error de z obtenido IQS la expresión: IQS IQS z = x senIQS IQS IQS y IQS Al tratarseIQS IQS IQS IQS IQS de una función de dos variables: IQS IQS IQS IQS IQS IQS ∂z ∂z εz = ε x +IQS εy IQS IQS IQS IQS IQS ∂x ∂y IQS es decir:IQS IQS IQS IQS IQS ε = 3x sen y ε + x cos y ε IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS - DESARROLLO IQS POR PARTES IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Una cuarta alternativa consiste en considerar que cualquier expresión IQS matemáticaIQS IQS IQS IQS IQS puede descomponerse en una combinación de expresiones hasta IQS llegar a una IQS IQS simplesIQS serie de expresiones para las que IQS se dispone de IQS la IQS expresión IQS IQS del error, IQS establecidaIQS IQS de la transferencia mediante los descritos. IQS procedimientos IQShasta aquí IQS IQS IQS IQS por tanto en reconstruir la descomposición en IQS El procedimiento IQS consistiráIQS IQS IQS IQS términos de los errores. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS En la siguiente IQStabla se resumen IQS los erroresIQS IQSsimples másIQS de las expresiones que conformanIQS la base de este procedimiento.IQS En dicha tabla IQS k IQS frecuentesIQS IQS un número exacto. IQS representaIQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 3

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IQS IQS IQS IQS z=x±y±… IQS z=xy… IQS z=x/y z =IQS Ln x z =IQS log x z IQS =x z IQS =k z = 10 IQS z=e IQS z=x IQS z = sen x IQS z = cos x IQS z= tg x z =IQS sec x IQSx z = cosec z = arc sen x IQS z = arc tg x IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS k

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQSError absoluto IQS ε =ε +ε +… IQS IQS IQS IQS IQS ε = e IQS IQSε = e / (LnIQS 10) ε IQS ε = k x IQS k) ε IQSε = k (LnIQS 10) ε IQSε = 10 (LnIQS ε IQS ε = e IQS ε =yx ε + x (Ln x) ε IQS ε = (cos x)IQS ε IQS ε = (sen x)IQS ε IQSε = ε / cosIQS x IQS IQS ε = (sen x / cos x) ε IQS IQS ε = (cos x / sen x) ε ε = [1 / (1 – xIQS ) ]ε IQS ε = [1 / (1 +IQS x )] ε IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS z

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS Error relativo IQS IQS IQS IQS e =e +e +… IQS IQS e =e +e IQS IQS IQS IQS e =ke IQS IQS e = (Ln k) ε IQS IQS e = (Ln 10) ε IQS IQS IQSe = ε IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Ejemplo 1.3 IQS IQS IQS IQS IQS modelo exponencial IQS La descarga IQSde un condensador IQS sigue unIQS IQS que puedeIQS representarse mediante la expresión: IQS IQS IQS IQS IQS IQS –kt IQS IQS IQSLn E = Ln E IQS IQS IQS en la que t (s) es el tiempo transcurrido desde el inicio de la descarga, E el IQS voltaje IQS IQS IQS IQS IQS inicial entre los bornes del condensador, E el voltaje entre bornes a t IQS de descarga y kIQS (s ) una constante del condensador IQS tiempo IQSque dependeIQS IQS utilizado. Determinar el valor de k y su límite de error a partir de los siguientes IQS datos obtenidos IQS experimentalmente: IQS IQS IQS IQS mV t = 1 sIQS E = 800 mV IQS IQS E = 1000IQS IQS IQS IQS Tal comoIQS IQS IQS IQS se expresan losIQS datos, sus errores son, respectivamente: = ± 0,5 mV s IQS IQS ε E = ε EIQS IQS ε t = ± 0,5IQS IQS y el valor provisional de k: IQS IQS IQS IQS IQS IQS Ln E 0 − Ln E 6,907755 − 6,684612 IQS IQS k= IQS = IQS = 0,223144 IQS s −1 IQS t 1 IQS IQS IQS IQS IQS IQS La expresión del modelo corresponde a un cociente, por tanto: IQS IQS IQS IQS IQS IQS e k = e (Ln E − Ln E ) + e t IQS que teniendo IQSpresente la IQS IQS IQS IQS definición de error relativo se transforma en: IQS IQS IQS IQS IQS IQS ε (Ln E − Ln E) ε t IQS IQS IQS IQS IQS IQS + ek = (Ln E 0 − Ln E) t IQS El numerador IQSdel primer término IQS corresponde IQS IQS IQS al error absoluto de una luego: IQS diferencia, IQS IQS εLn E + εLnIQS IQS IQS E εt ek = + IQS IQS IQS IQS IQS IQS (Ln E 0 − Ln E) t bien, el error absoluto de un logaritmo neperiano es igual IQS Ahora IQS IQS IQS IQSal error IQS relativo del argumento, es decir: εE IQS IQS IQS IQS IQS IQS εE + ε t IQS E0 E εt E +eE IQS IQS e k = eIQS IQS + = + IQS (Ln E 0 − Ln E) t Ln E 0 − Ln E t IQS sustituyendo IQSvalores se obtiene: IQS IQS IQS IQS 0,5 IQS IQS 0,5 +IQS IQS IQS IQS 0 , 5 1000 800 + IQS IQSe k = 0,223144 IQS 1 = 0,005042 IQS+ 0,5 = 0,505042 IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 0

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS y el errorIQS IQS IQS IQS absoluto de k: IQS k = 0,223144 ⋅ 0,505042 = 0,112697 IQS IQS ε k = k eIQS IQS IQS IQS y su límite deIQS IQS luego, redondeando IQS al primer IQSdecimal, el valor IQSde la constante IQS error resulta: IQS IQS IQSk = 0,2 ± 0,1IQS IQS IQS s IQS y se observa IQSque la medición IQSque introduceIQS más error es laIQS que correspondeIQS del tiempo. IQS la medidaIQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Ejemplo 1.4 IQS IQS IQS IQS IQS IQS CalcularIQS IQS IQS IQS a 20,0ºCIQS la presión a que está sometido un mol de n-heptano un recipiente de 1000 cm , suponiendo que cumple la ecuación de IQS ocupando IQS IQS IQS IQS Van der IQS Waals. IQS EcuaciónIQS IQS  P + a IQS IQS (V − b) = RT IQS de Van der Waals: 2 V  IQS R = 0,08206 IQSatm L K mol IQS a (n-heptano) IQS= 31,51 L atm IQS IQS IQS 0ºC = 273,16ºK IQS IQS b (n-heptano) IQS= 0,2654 L IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Despejando la presión en la ecuación de Van der Waals se obtiene: IQS IQS IQS IQS IQS IQS 0,08206 ⋅ 293,16 31,51 RT a P = IQS− = IQS − IQS = 32,748 − 31IQS ,51 = 1,238 atm IQS IQS V −b V2 1 − 0,2654 12 IQS IQS IQS IQS IQS IQS De la expresión de los datos se deduce: IQS IQSε = 5 10 IQS IQS L atm ε IQS = 5 10 atm L KIQS mol 5 10 L ε = 5 10 L IQS IQSεε == 0,05 IQS IQS IQS ºC ε IQS = 0,005 = 5,5 10 ºKIQS IQS IQSε = ε + ε IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS La expresión anterior corresponde a la diferencia de 2 términos: P = A – B IQS luego: IQS IQS IQS IQS IQS ε =ε +ε IQS Tanto A IQS IQSpor tanto: IQS IQS IQS como B son cocientes, εA ε R ε T ε (V − b ) ε R ε T ε V + ε b IQS IQS IQS = = + + = + = IQS + + eIQS e e e A R T (V − b ) R +IQS A T V −b R T V −b IQS y IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 3

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS εB ε a 2ε V eIQS = e a + e VIQS = + IQS IQS IQS IQS B = B a V IQS es decir:IQS IQS IQS IQS IQS ε R ε T ε V + εIQS 2IQS εV  ε IQS IQSε = RT IQS IQS b + a  a +  + + P R T V − b  V 2  a V  IQS IQS V − b IQS IQS IQS IQS IQS Sustituyendo IQSvalores resulta: IQS IQS IQS IQS IQS ε = 32,748IQS IQS IQS IQS IQS (6,0931 10 +1,8761 10 + 7,4871 10 ) + 31,51 (1,5868 10 +10 ) IQS ε = 3,2658IQS IQS IQS 10 + 3,6510 10 IQS = 6,9168 10 ⇒ IQS 0,07 atm IQS Luego laIQS IQS IQS presión a la queIQS está sometido elIQS mol de n-heptano es de: IQS IQS IQS IQS IQS IQS P = 1,24 ± 0,07 atm IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 1.7 Problema IQSinverso enIQS IQS IQS IQS el cálculo de errores. se ha expuestoIQS como calcular elIQS error de un resultado IQS Hasta aquíIQS IQSobtenido trasIQS de una serie de IQS valores aproximados IQS el tratamiento IQSmatemático IQS IQScuyos erroresIQS IQS son conocidos. IQS IQS IQS IQS IQS En el ejemplo 1.3 se ha calculado el valor de la constante k (0,2 ± 0,1 s ) y su IQS límite de error IQSpartiendo deIQS IQS IQS IQS los valores de los voltajes E y E medidos con un IQS error de ± IQS IQS IQS 0,5 mV y del tiempo de descarga IQS medido con un error de ± 0,5 s. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS en la prácticaIQS encontrarse en IQS la situación inversa, es decir, tener IQS Es frecuente IQS IQS IQS de disponer del resultado con un error máximo prefijado y en IQS la necesidad IQS IQS IQS IQS IQS consecuencia estimar cuales han de ser los errores con los que se han de IQS determinarIQS IQS IQS IQS IQS los valores aproximados (mediciones). IQS Esta situación IQSse conoce como IQSel problema IQS IQS inverso en el cálculo de errores. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS al ejemplo 1.3 sería el caso estimar los errores con los que hay que IQS VolviendoIQS IQS IQS IQS IQS realizar las lecturas de voltaje y tiempo para poder disponer del valor de k con, IQS por ejemplo, IQS IQS IQS IQS IQS dos decimales exactos (ε = ± 0,005 s ). IQS IQS IQS IQS IQS IQS 2

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS una situación cuyas repercusiones trascienden el mero cálculo IQS Es esta IQS IQS IQS IQS IQS matemático. En efecto, por una parte expresar un resultado con un IQS determinado IQS IQS IQS IQS IQS límite de error, un determinado margen de incertidumbre, define IQS de algunaIQS IQS del resultado IQSy en consecuencia IQS afecta IQS manera la “calidad” la IQS seguridadIQS IQS a las queIQS IQS de las conclusiones el análisis delIQS resultado pueda IQS conducir. IQS IQS IQS IQS IQS ser lo mismo en una aplicación clínica hablar, por ejemplo, de una IQS Puede noIQS IQS IQS IQS IQS dosis de 0,5 g (ε = ± 0,05 g = ± 50 mg) que de una dosis de 0,500 g (ε = ± IQS 0,0005 g =IQS IQS IQS IQS IQS ± 0,5 mg). IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Por otra IQS IQSpresente que IQS IQSdisponer deIQS parte hay que tener por regla general “pequeños” acostumbra a IQS ser inversamente IQS instrumentos IQScon erroresIQS IQS IQS al coste de dicho instrumental. IQS proporcional IQS IQS IQS IQS IQS IQS Por todo IQS IQS IQS IQS IQS ello, es conveniente disponer de un procedimiento que permita IQS estimar losIQS IQS los datosIQS IQS errores con losIQS que se deben obtener aproximados para error en el resultado IQS poder garantizar IQS un determinado IQSmargen deIQS IQSfinal. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS procedimiento parte de considerar el resultado (y) como una función de IQS Elvarias IQS IQS IQS IQS IQS variables (x , x , …, x valores aproximados): IQS IQS IQS IQS IQS IQS y = f(x , x , …, x ) IQS de acuerdoIQS IQS IQS IQSdel resultadoIQS con lo expuesto en el apartado anterior, el error a: IQS corresponde IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQSε y = ∑n ∂ f IQS IQS IQS εx ∂ x IQS IQS IQS i=1 i IQS IQS IQS priori el valor del error en el resultado (ε o bien e ) pueden IQS Fijado a IQS IQS IQS IQS IQS establecerse dos hipótesis de trabajo: IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS - IGUALDAD IQSDE ERRORES IQS IQS IQS ABSOLUTOSIQS DE LOS DATOS. cuando se trabaja con magnitudes equivalentes, es IQS Esta hipótesis IQSes aplicableIQS IQS IQS IQS misma naturaleza, generalmente medidas que van a obtenerse con IQS decir, de laIQS IQS IQS IQS IQS el mismo instrumental. En tal caso: IQS IQS IQS IQS IQS IQS

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS ε xIQS = εx = εx =L =εx =ε IQS IQS IQS IQS IQS IQS que se resuelve IQScomo: IQS IQS IQS IQS n IQS ε = n ∂IQS IQSε = ε y IQS IQS f ∂ f IQS εx =∑ ε ⇒ y ∑ xi ∂xi i =1 IQS i =1 ∂ IQS IQS IQS ∑n ∂ f IQS IQS IQS IQS IQS IQS i =1 ∂ x i IQS IQS IQS - IGUALDAD IQSDE ERRORES IQS IQS IQS IQS RELATIVOS DE LOS DATOS. IQS De uso más IQS IQS IQS IQS IQS frecuente, esta hipótesis se considera cuando se trabaja con IQS magnitudesIQS IQS IQS o están implicados IQS distintosIQS no equivalentes, es decir, distintas, de medida (distintos IQS instrumentos IQS IQS errores absolutos). IQS IQS IQS hipótesis: IQS Bajo esta IQS IQS IQS IQS IQS ex = ex = ex =L= ex = e IQS IQS IQS IQS IQS IQS x IQS teniendo presente IQS que: IQSε x = x i eIQS IQS IQS IQS se resuelve: IQS IQS IQS IQS IQS n εy f ∂IQS f IQS ε y = ∑n ∂IQS IQS IQS IQS xi ex = ∑ xi e ⇒ e= n xi ∂xi ∂f i =1 IQS IQS i =1 ∂ IQS IQS IQS IQS xi ∑ ∂ x i i =1 IQS IQS IQS IQS IQS IQS Bajo cualquiera de las dos hipótesis también puede resolverse la situación IQS utilizando IQS IQS IQS IQS IQS el procedimiento por partes. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Ejemplo 1.5 IQS IQS IQS IQS IQS construir un recipiente 0,5 m de radioIQS y 0,9 m de altura. IQS Se deseaIQS IQS cónico deIQS IQS Determinar la precisión con la que deben medirse dichas longitudes para en el volumen IQS del cono no supere el 1 por mil. IQS IQS poder asegurar IQS que el error IQS IQS IQS Admitiendo IQS IQS que se toma IQS π con suficientesIQS cifras para que IQS su error no influya del cono es: IQS en el resultado, IQS el volumenIQS IQS IQS IQS 1 IQS IQS V = 1 πIQS IQS r 2 h = π (0,5 ) 2 0IQS ,9 = 0,235619 m 3IQS 3 3 IQS IQS IQS IQS IQS IQS Las dos medidas experimentales corresponden a dos longitudes, por tanto IQS procedeIQS IQS IQS es que IQS IQS igualar sus errores absolutos. La condición e ≤ 0,001 IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 1

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Este material forma parte del libro: Tomàs, X.; Cuadros, J.; González, L..(2006). Introducción al Cálculo Numérico. Institut Químic de Sarrià. ISBN: 84-611-0645-8.

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Desarrollando IQSpor partes IQS IQS IQS IQS e igualando errores absolutos: ε r ε h 2 h εIQS ε + r ε 1,8 ε + 0,5IQS IQS IQS IQS IQS e V =er + eh = 2 + = = ≤ 0,001 r h r⋅h IQS IQS IQS IQS 0,5 ⋅ 0,9 IQS IQS 10 m luego una posible solución IQS que conduce IQSa: ε ≤ 1,96 IQS IQS IQS sería IQS determinar las longitudes con un error de ± 0,0001 m = ± 0,1 mm IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Ejemplo 1.6 IQS IQS IQS IQS IQS la cantidad de NaOH puro que debe pesarse para preparar 5 L de IQS Determinar IQSde densidadIQS IQS soluciónIQS acuosa al 20% (w/w) igual a 1,22 g/cm . Determinar IQS la que deben tener las medidas experimentales para que la precisión IQS precisión IQS IQS IQS IQS IQS en el porcentaje (p = 0,20) no supere el 1% IQS IQS IQS IQS IQS IQS para la preparación de la solución IQS Las medidas IQSexperimentales IQSnecesarias IQS IQS IQS son: IQS m = MasaIQS IQS IQS IQS IQS de NaOH a pesar. matraz en el que se prepara la solución IQS VD == Volumen IQSdel IQS IQS IQS Densidad de la solución de sosa al 20% (1,22 g/cm = IQS 1,22 10 g/L) IQS La expresión IQSque permiteIQS IQS de sosa IQS IQS el cálculo de la cantidad es: IQS IQSm IQS IQS 3 IQS3 IQS p= ⇒ m = p V D = 0,20 ⋅ 5 L ⋅ 1,22 10 g / L = 1,22 10 g VD IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS y la expresión IQSde la transmisión IQS de erroresIQS IQS IQS es: IQS IQS IQS IQS IQS IQS e = e + e + e ≤ 0,01 IQS Al tratarseIQS IQS IQS IQS IQS de distintas magnitudes (masa, volumen y densidad) se igualan los IQS errores relativos, IQS por tanto:IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 3 IQS e ≤ 0,01 ⇒ IQS e ≤ 0,01 / 3 IQS y los errores IQSabsolutos deIQS IQS IQS IQS los tres datos serán: IQS ε = m eIQS IQS IQS IQS IQS = 1220 · 0,01/3 = 4,067 g ⇒ ±1g IQS ε = V eIQS IQS IQS IQS IQS = 5 · 0,01/3 = 1,67 10 L ⇒ ± 0,01 L = ± 10 mL IQS IQS IQS IQS IQS IQS ε = D e = 1,22 10 · 0,01/3 = 4,067 g/L ⇒ ± 1 g/L = ± 0,001 g/cm IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 2

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Obsérvese IQS IQS IQS IQS IQS que la solución matemática de la desigualdad es una condición tanto cualquier combinación deIQS errores absolutos inferior a dichos IQS límite y por IQS IQS IQS IQS valores límite cumplirá la condición impuesta. IQS Con todoIQS IQS comprobar IQSel cumplimiento IQSde la IQS siempre es recomendable de precisión en el resultado. IQS condiciónIQS IQS IQS IQS IQS IQS Comprobación: IQS IQS IQS IQS IQS 1 0,01 0,001IQS 4 IQS e p = IQS + + = 8,197 10 − 4 + 2IQS 10 − 3 + 8,197 10 −IQS = 0,0036 < 0,01IQS 1220 5 1,220 IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Recomendaciones IQS prácticas. IQS IQS IQS IQS IQS En el cálculo IQS IQS IQS IQS IQS de la transmisión de errores conviene tener siempre presentes las IQS siguientesIQS IQS IQS IQS IQS recomendaciones de tipo práctico: IQS IQS IQS IQS IQS IQS se notarán bien indicando solamente sus cifras IQS - Los números IQS aproximados IQS IQS IQS IQS o bien indicando su valor hasta la primera cifra afectada de error y IQS exactas, IQS IQS IQS IQS IQS a continuación el del límite de error. IQS - Los límites IQSde error se indican IQS con una sola IQS IQS IQS cifra significativa. IQS - Si no seIQS IQSel límite de IQS IQS IQS indica lo contrario, error de un número aproximado es unidades en la última IQS de 0,5 IQS IQScifra indicada. IQS IQS IQS consideran con límite de error nulo. IQS - Los números IQS exactos seIQS IQS IQS IQS - Los números irracionales se tomarán, como mínimo, con una cifra más que IQS las queIQS IQS IQS IQS IQS poseen los datos. IQS - En unaIQS IQS IQSexactas del IQS IQS suma algebraica, el número de cifras resultado es como el del sumandoIQS que tenga menos cifras exactas. IQS IQS máximoIQS IQS IQS producto o cociente, el número total de cifras exactas del resultado es IQS - En un IQS IQS IQS IQS IQS como máximo el del término que tenga menos cifras exactas. IQS - Siempre IQS IQS IQS IQS IQS que sea posible se aconseja expresar los resultados utilizando la IQS notaciónIQS IQS IQS IQS IQS científica IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS estimado. Límites de confianza.IQS IQS 1.8 Probabilidad IQS y error IQS IQS IQS de este capítulo se ha mencionado en diversas ocasiones que es IQS A lo largoIQS IQS IQS IQS IQS posible abordar el estudio de los errores desde un punto de vista estadístico IQS alternativoIQS IQS IQS IQS IQS al puramente numérico. IQS A diferencia IQS IQSnumérico, elIQS IQS IQS del punto de vista análisis de errores desde la óptica IQS estadísticaIQS IQS IQS parte de una IQS serie de valores (x , x , …, IQS x ) medidos en esencialmenteIQS constantes y de IQS las siguientes hipótesis IQS condicionesIQS IQS de trabajo:IQS de error sistemático. IQS - Las medidas IQS están libresIQS IQS IQS IQS - El valor más probable de la magnitud que se determina experimentalmente IQS tras la IQS IQS IQS IQS IQS realización de un número n de medidas suficientemente grande es la IQS media IQS IQS IQS IQS aritmética de los IQS resultados. Es decir: n IQS IQS IQS IQS IQS IQS x ∑ i i IQS IQS IQS IQS IQS IQS µ = lim x = lim =1 n IQS IQS IQSn→ ∞ n→ ∞IQS IQS IQS - Los errores (x − µ) son producidos por un elevado número de causas IQS aditivasIQS IQS IQS IQS IQS independientes entre sí y que actúan de forma aleatoria. Su sentido IQS puede IQS IQS(compensación IQS ser por tanto por IQS exceso o por defecto de errores). IQS es tanto más probable absoluto. IQS - Un errorIQS IQS cuanto menor IQSsea su valorIQS IQS han mantenido las condiciones IQS - Si seIQS IQSesencialmente IQSconstantes IQS IQS magnitud y sentido contrario son IQS experimentales, IQS los errores IQS de igual IQS IQS IQS equiprobables. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Bajo el cumplimiento IQS IQS IQS de lasIQS de IQS estas condiciones, la curva de distribución experimentales corresponde a la distribución de probabilidad de IQS medidas IQS IQS IQS IQS IQS cuya expresión es: IQS Gauss o también IQS llamada distribución IQS normal,IQS IQS IQS IQS IQS dn x 1IQS− ( x2−σµ) IQS IQS IQS y= = e σ > 0 −∞ ≤ x ≤ ∞ 2π IQS IQS n d x σ IQS IQS IQS IQS µ corresponde aIQS la media aritmética y σ, la desviación IQS en la que IQS IQS IQSestándar, seIQS IQS puede estimar IQScomo: IQS IQS IQS IQS 2 IQS IQS IQS ∑n (xIQS IQS IQS i − x) σ ⇒ s = i =1 IQS IQS IQS IQS IQS IQS n −1 IQS IQS IQS IQS IQS IQS 2

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS La desviación IQSestándar representa IQS la incertidumbre, IQS la variabilidad IQS aleatoriaIQS del valor medido y por tanto permite cuantificar de alguna manera el IQS alrededor IQS IQS IQS IQS IQS error de la magnitud medida. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Figura 1.4:IQS IQS IQS Distribución normal µ = 100 y σ = 1IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS la curva normal entre dos valores relaciona con IQS el IQS El área bajo IQS IQS IQSx y x seIQS de valores comprendidos entre dichos límites y también con la IQS porcentajeIQS IQS IQS IQS IQS seguridad de que al repetir la medición se obtenga un resultado comprendido IQS dentro de IQS IQS IQS IQS IQS dicho intervalo. IQS Es por ello IQSque en Estadística IQS se prefiere IQS considerarIQS IQS este intervalo, intervalo de confianza lugar de los límites de error. IQS denominado IQS IQS (LC), en IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS La expresión de este intervalo, bajo las condiciones de cumplimiento de la ley IQS normal, es:IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS σ µ = x ± LC = x ± z α IQS IQS IQS IQSn IQS IQS de z se encuentran en cualquier texto de Estadística IQS Los valoresIQS IQS tabuladosIQS IQS IQS riesgo (α) o la seguridad Así por ejemplo, IQS para diferentes IQSvalores delIQS IQS (1 − α).IQS IQS de uso más frecuente son: IQS los valoresIQS IQS IQS IQS IQS IQS Nivel deIQS IQS IQS IQS IQS seguridad IQS IQS90,00 95,00IQS 68,27 95,45 99,00 IQS 99,73 99,90 IQS (1IQS − α) % 1,000 2,000 2,576 IQS 3,000 3,291 IQS z IQS IQS IQS1,645 1,960IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Ejemplo 1.7 IQS IQS IQS IQS IQS un largo periodo IQS de tiempo, una industria la construcciónIQS IQS Durante IQS IQS auxiliar deIQS ha estado controlando la densidad aparente de un granulado utilizado como la fabricación de un mortero de recubrimiento obteniendo IQS aditivo enIQS IQS IQS IQS un valorIQS propiedad igual a: σ = 9,55 10 g cm IQS de la variabilidad IQS de dichaIQS IQS IQS IQS control de producto final para este tipo de granulado establece que para IQS Elcada IQSde producto IQS IQS la densidad IQS partida fabricado se determinará aparente de IQS muestras del mismo y se dará como densidad aparente de la partida el IQS cuatro IQS IQS IQS IQS IQS valor medio de las determinaciones. IQS Los resultados IQS del controlIQS IQS IQS IQS de la última partida fabricada han sido: IQS IQS IQS IQS IQS IQS 2,31035 2,31026 2,31012 2,31027 g cm IQS IQS IQS IQS IQS IQS la densidad aparente de la partida y sus límites de confianza con un IQS Calcular IQS IQS IQS IQS nivel de IQS seguridad del 95% y del 99% IQS IQS IQS IQS IQS IQS primer lugar se obtiene el valor medio de las cuatro determinaciones, que IQS En IQS IQS IQS IQS IQS resulta ser: D = 2,31025 g cm IQS IQS IQS IQS IQS IQS Se trata de calcular a continuación los límites de confianza, cuya expresión IQS es: IQS IQS IQS IQS IQS σ µ = D ± LC = D ± zα IQS IQS IQS IQS IQS IQS n IQS IQS IQS IQS IQS IQS que: σ = 9,55 10 g cm IQS SabiendoIQS IQS IQS IQS IQS n=4 z = 1,960 IQS IQS IQS IQS IQS IQS z = 2,576 IQS Por simple IQS IQS IQS IQS IQS sustitución se obtiene: IQS IQS IQS IQS IQS IQS D = 2,31025 ± 0,00009 g cm Nivel de seguridad del 95% IQS IQS IQS g cm Nivel IQSde seguridadIQS IQS D = 2,31025 ± 0,00012 del 99% IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS –5

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2. REPRESENTACIONES GRAFICAS

IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 2. REPRESENTACIONES IQS IQS GRAFICAS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 2.1 Introducción. IQS IQS IQS IQS IQS IQS En la actividad IQSprofesional,IQS IQS como de un IQS IQS tanto de un científico técnico, es muy recurrir al uso IQS de representaciones IQS frecuente IQS IQSgráficas como IQSelementos deIQS funciones matemáticas (modelos), IQS trabajo, junto IQScon otros elementos IQS como: IQS IQS IQS datos experimentales, valores tabulados, etc. IQS Una representación IQS gráficaIQS IQS IQS IQS consiste en una visualización geométrica realizada IQS sobre un soporte IQS físico queIQS IQS de la misma IQS IQS permite una utilización de una manera IQS intuitiva y IQS IQS IQS IQS sencilla, implicando la realizaciónIQS de un mínimo de operaciones (en mentales) y IQS proporcionando IQS una visión global, IQS muchos casos IQSsimplemente IQS IQS interpretable, del dominio representado. IQS fácilmenteIQS IQS IQS IQS IQS IQS Esta interpretación IQS global se IQS IQS IQS IQS fundamenta en el simple análisis cualitativo de la IQS representación IQSgráfica, sin IQS IQS IQS profundoIQS requerir en muchos casos un conocimiento representado. IQS del fenómeno IQS IQS IQS IQS IQS 2.1 se representan las curvas características del IQS Así, por ejemplo, IQS en la Figura IQS IQS IQS IQS transistor 2N338 a una temperatura de trabajo de 25ºC. IQS Se observaIQS IQS IQS IQS IQS que sea cual sea la intensidad de base, la intensidad de colector IQS aumenta IQS IQS IQSvalores de IQS rápidamente y de forma lineal para tensión colector IQS – IQS emisor inferiores IQS a 2V. IQS IQS IQS IQS la curva para una intensidad deIQS base I = 150 IQS µA se observa un IQS AnalizandoIQS IQS IQS I , que después de un aumento IQS cambio brusco IQSen la Intensidad IQSde colectorIQS IQS IQS inicial rápido, varía luego linealmente pero con menor gradiente entre una IQS tensión deIQS IQS IQS IQS IQS colector – emisor V = 1 V y una tensión V = 24 V, pasando de IQS un valor deIQS IQS IQS IQS I = 10 mA a I IQS = 11,25 mA respectivamente. V = 24 V el aumento ya no es lineal. IQS IQS A partir deIQS IQS de la intensidad IQS de colectorIQS para otros valores de la intensidad IQS Un comportamiento IQS semejante IQSse observa IQS IQS IQS base (I ), siendo posible determinar los valores para los que se produce los IQS de IQS IQS IQS IQS IQS correspondientes cambios de tendencia. IQS IQS IQS IQS IQS IQS

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2. REPRESENTACIONES GRAFICAS

IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQScaracterísticasIQS IQS IQS Figura 2.1: Curvas de un transistor 2N338 IQS IQS IQS IQS IQS IQS interpretación global de una representación gráfica puede permitir IQS También una IQS IQS IQS IQS IQS establecer hipótesis sobre el modelo de relación entre las variables IQS representadas. IQS IQS IQS IQS IQS IQS Sea por ejemplo IQS el caso deIQS IQSla presión ejercida IQS (P en atm)IQS haber determinado de un determinado condiciones ideales IQS por un mol IQS IQS gas enIQS IQS a distintasIQS ocupando un volumen (V en L), obteniendo los IQS temperaturas IQS(T en ºC) IQS IQS IQS IQS siguientes resultados: IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQSP (atm) 0ºC IQS IQS IQS V (L) P (atm) 25ºC IQS P (atm) 50ºC P (atm) 75ºC IQS IQS48,90 IQS IQS IQS 0,5IQS 44,80 53,00 57,10 1,0IQS 22,40 26,50 28,55 IQS IQS24,45 IQS IQS IQS 1,5 14,93 16,30 17,67 19,03 IQS IQS 11,20 IQS12,22 IQS IQS IQS 2,0 13,25 14,27 IQS IQS9,78 IQS IQS IQS 2,5IQS 8,96 10,60 11,42 3,0IQS 7,47 9,52 IQS IQS8,15 IQS8,83 IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

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2. REPRESENTACIONES GRAFICAS

IQS IQS IQS IQS IQS IQS el producto deIQS la presión por el volumen frenteIQS a IQS Representando IQSgráficamente IQS IQS volumen ocupado por el gas, se obtiene la gráfica IQS los diferentes IQSvalores del IQS IQS IQS IQS correspondiente a la Figura 2.2. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Figura 2.2: Comportamiento de un gas ideal IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS que sugiereIQS IQS una constanciaIQS del producto PVIQS para cada valorIQS de la temperatura, para proponer unIQS modelo del tipo:IQSP V = k TIQS IQS es decir puede IQSser la base IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Una representación gráfica es también una forma de recopilar y presentar la IQS informaciónIQS IQS IQS IQS IQS relativa al cambio de valor de una variable (propiedad) respecto al IQS cambio deIQS IQSvariables. IQS IQS IQS valor de otra u otras ocasiones es IQS operativamente inviable de los valores de IQS En muchasIQS IQS disponerIQS IQS para todos los valores de otra variable relacionada IQS una variable IQS IQS IQS IQScon ella. LaIQS disponible es un conjunto concreto y limitado de pares de valores IQS información IQS IQS IQS IQS IQS de ambas variables en forma de tabla de datos experimental o bibliográfica. IQS Sin embargo, IQS IQS IQS IQS IQS su representación gráfica va a permitir la posibilidad de obtener, IQS por simpleIQS IQSvalores intermedios IQS dentro delIQS IQS lectura en la misma, intervalo cubierto IQS por la gráfica. IQS IQS IQS IQS IQS ejemplo el caso de disponer de la siguiente tabla en la que se IQS Sea por IQS IQS IQS IQS IQS presentan los valores de la solubilidad (S en g CO / 100 g H O) del anhídrido IQS carbónicoIQS IQS IQS IQS IQS en agua a una presión de 1 atm, para diferentes valores de la IQS temperatura IQS IQS IQS IQS IQS T (ºC). IQS IQS IQS IQS IQS IQS 0 10 IQS 20 30 IQS40 50 IQS T IQS IQS 60 IQS 0,3346 0,2316 0,1688 0,1257 0,0973 0,0761 0,0576 IQS S IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS 2.3 correspondeIQS a la gráfica de estos evidente que por IQS La Figura IQS IQSvalores y esIQS IQS puede obtenerse cualquier valor de la solubilidad IQS simple lectura IQSsobre la misma IQS IQS IQS IQS del CO en agua a una temperatura comprendida entre 0ºC y 60ºC. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Figura 2.3:IQS IQS IQS IQS Solubilidad del CO en agua (1 atm) IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Es importante IQSseñalar ya desde IQSeste momento IQSque si los datos IQSa representarIQS de mediciones experimentales y su error inherente no es IQS provienenIQS IQS IQS IQS IQS despreciable, su representación gráfica recogerá dicho error en forma de IQS dispersiónIQS IQS IQS IQS IQS de los puntos respecto a una tendencia marcada. Una desviación IQS significativaIQS IQS a dicha tendencia IQS será indicativa IQS del carácterIQS de un punto respecto IQS anómalo del IQS IQS IQSun análisis IQS punto en cuestión y sugiere siempre crítico del mismo.IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS como se verá con más detalle en capítulos posteriores, una IQS Por último,IQS IQS IQS IQS IQS representación gráfica es también un instrumento de cálculo que permite IQS realizar diversas IQS operaciones IQS IQS IQS IQS tales como interpolación, derivación, integración IQS solución deIQS IQS IQS IQS ecuaciones, etc., de forma rápida, simple y en IQS muchas ocasiones todo ello, esIQS importante queIQS un técnico o un IQS con suficiente IQSprecisión. Por IQS IQS representación gráfica les ofrece IQS científico conozcan IQS las posibilidades IQS que unaIQS IQS IQS y sepan utilizarla para su correcta construcción, análisis, interpretación y IQS explotación. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS El objetivoIQS IQS IQS IQS IQS de este capítulo es la descripción de algunos tipos de gráficos de IQS uso frecuente, IQStanto en ciencia IQScomo en ingeniería, IQS y la introducción IQS de losIQS 2

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS y procedimientos para la correcta IQS conceptosIQS IQS básicos IQS IQSconstrucción,IQS y utilización de un gráfico. IQS interpretación IQS IQS IQS IQS IQS IQS 2.2 Escalas. IQSDefinicionesIQS IQS IQS IQS básicas. IQS Una escala IQSconstituye IQS IQS y esencialIQS IQS el elemento básico de todas las IQS representaciones IQS gráficasIQS IQSsu correctaIQS y por tanto IQS resulta fundamental para poder explotar IQS construcción IQSy utilizaciónIQS IQS de forma IQSútil cualquierIQS IQS representación IQSgráfica. IQS IQS IQS IQS Esencialmente una escala es la representación geométrica de los valores de IQS una funciónIQS IQS IQS IQS IQS en un espacio de una dimensión (eje). IQS Dicha representación IQS se basa IQS IQSentre el valorIQS en establecerIQS una proporcionalidad y la distancia IQS del punto sobre IQS el eje correspondiente IQS de la función IQS IQSa dicho valorIQS y el extremo del eje. IQS de la función IQS IQS IQS IQS IQS Matemáticamente se trata de una aplicación definida por la relación: IQS IQS IQS l = m f(x)IQS IQS IQS IQS donde l esIQS la distancia al IQS extremo del eje,IQS f(x) el valor deIQS la función y m IQS la IQS constanteIQS IQSo módulo de IQS IQS de proporcionalidad la escala. SeIQS define, por tanto IQS como: IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS “MODULO: La longitud del eje, expresada en mm, que corresponde a un IQS cambio deIQS IQS IQS IQS IQS una unidad en el valor de la función”. IQS IQS IQS IQS IQS IQS se determina IQS de manera queIQS permita representar IQS El móduloIQS IQS el intervaloIQS de variación de los valores de la función dentro de la longitud física IQS completo IQS IQS IQS IQS IQS del eje, permitiendo a la vez una lectura fácil y cómoda sobre el mismo. IQS Los módulos IQScómodos deIQS IQS IQS IQS trabajo son: IQS 1 10 IQS IQS , 2 10 , 5 10 IQS siendo K = 0, ± IQS 1, ± 2, ± 3, … IQS IQS Una vez establecido IQS el módulo IQSde la escalaIQS se procede a laIQS graduación de IQS la decir, a la indicación de la posiciónIQS de unos valores IQS misma, esIQS IQSsobre el eje IQS IQS IQS seleccionados IQSde la función. IQS IQS IQS IQS También debe procurarse que esta graduación permita la situación y lectura IQS fácil y cómoda IQSsobre el eje IQS IQS IQS IQS de cualquier otro valor de la función. IQS Se defineIQS IQS (expresada IQSen mm) queIQS como “paso deIQS la escala, la distancia graduacionesIQS sucesivas”. IQS separa dosIQS IQS IQS IQS

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS como “escalónIQS a la diferenciaIQS entre los valores de la función IQS Se defineIQS IQS IQS sucesivas”. IQS correspondientes IQS a dos graduaciones IQS IQS IQS IQS IQS Determinado IQS IQS IQS IQS IQS el módulo y una vez construida y graduada la escala, se completa IQS esta con laIQS IQS IQS IQS rotulación de laIQS misma. IQS Por “rotulación IQS de la escala IQS IQS sobre lasIQS se entiendeIQS la indicación explícita representada, IQS graduaciones IQScorrespondientes IQS de los valores IQSde la función IQS IQS la indicación de la función y las unidades que se representan IQS así comoIQS IQS IQS IQS IQS (Temperatura en ºC, Intensidad en mA, etc.)”. IQS Debe procurarse IQS siempre que IQS IQS IQS IQS aparezcan sobre la escala el mínimo número de IQS rotulaciones IQS IQS necesario paraIQS una interpretación fácil y cómodaIQS de la escala. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Figura 2.4 se muestra una escala de voltaje, expresado en mV, para IQS Así, en la IQS IQS IQS IQS IQS un intervalo de 0 mV a 700 mV. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Figura voltaje (V en mV)IQS en el margen de IQS 0 a 700 mV IQS IQS2.4: Escala deIQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Las escalas se construyen sobre papel pautado (milimetrado, logarítmico, etc.) IQS de forma IQS IQS IQS IQS IQS que la trama ya impresa sobre dicho papel facilita la lectura y IQS situación de IQS IQS IQS IQS IQS las graduaciones. IQS IQS IQS IQS IQS IQS escala. IQS Error de una IQS IQS IQS IQS IQS realizar la aplicación del espacio de valores de una función a un IQS El hecho de IQS IQS IQS IQS IQS espacio de valores de distancias introduce una limitación operativa en toda IQS escala y por IQS IQS IQS IQS IQS extensión en toda representación gráfica. IQS Esta limitación IQSderiva de laIQS IQSdeterminar laIQS IQS agudeza visual para mínima distancia que debe existir entre dos puntos IQS necesaria IQS IQS IQS de la escala IQS para poderIQS con seguridad. IQS diferenciarlos IQS IQS IQS IQS IQS Esta mínima distancia o error de lectura se considera, por lo general, igual a IQS 0,5 mm. Obviamente IQS este IQS IQS IQS IQS error de lectura tiene una equivalencia con el error IQS en la representación IQS de los IQS IQS la mínimaIQS valores de laIQS función y determinará IQS IQS IQS IQS IQS IQS

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS de valores de laIQS función que seIQS podrá representar en la escala IQS o IQS diferenciaIQS IQS escala. IQS error de laIQS IQS IQS IQS IQS Retomando la asimilación de errores a diferenciales, se puede establecer: IQS IQS IQS IQS⇒ ε = mIQS IQS l = m f(x) ⇒ dl = m f ‘(x) dx f ‘(x) ε IQS y por tantoIQS IQS IQS IQS IQS establecer la relación entre error visual y error de los datos. IQS Como se IQS IQSesta relaciónIQS IQSestablecer unIQS verá a continuación, es importante para escala apropiado a la precisión IQS de los datos puesto IQS módulo deIQS IQS IQSque no tendráIQS (gráfico) con mayor precisión que la que poseen IQS sentido construir IQS una escalaIQS IQS IQS IQS los datos o con un error menor del que permite la agudeza visual. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Según la naturaleza IQS de la función, IQS las escalasIQS IQS IQS se clasifican en: métricas, si laIQS función f(x) es lineal (a + b x) IQS - EscalasIQS IQS IQS IQS funcionales, siIQS la función f(x) no es lineal, especificándose IQS - EscalasIQS IQS IQS en esteIQS tipo de funcionalidad (logarítmica, de inversos, de cuadrados, etc.). IQS caso elIQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 2.3 Escalas IQS IQS IQS IQS IQS métricas. Construcción. indicado, una IQS escala métrica representa IQS Como se ha IQS IQS una función IQSlineal de unaIQS f(x) = a + b x al origen son IQS variable: IQS IQSes decir que IQSlas distancias IQS IQS directamente proporcionales a la magnitud indicada en la graduación. IQS Se tiene, por IQS IQSl = m (a + bIQS IQSy el términoIQS tanto que: x) = m a + m b x IQS independiente IQSde esta expresión IQS (m a), constante, IQS corresponde IQSa una simpleIQS del eje con respecto 0. Es por ello que no es necesario IQS traslación IQS IQSal origen x =IQS IQS IQS IQS que una escala IQSmétrica incluya IQSel valor del origen. IQS IQS IQS otra parte, al ser el término (m b) también constante puede considerarse IQS Por IQS IQS IQS IQS IQS como el módulo final de la escala (m). En la figura 2.5 se muestran las IQS relacionesIQS IQS IQS IQS IQS básicas que definen una escala métrica. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS l IQS IQS IQS l l =mx IQS IQS IQS IQS IQS IQS l l =mx IQS IQS IQS IQS l = l –IQS IQS l = m (x – x ) 0 x x IQS IQS IQS IQS IQS IQS Escala métrica, relaciones IQS Figura 2.5:IQS IQS básicas IQS IQS IQS x

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS : IQS PROPIEDADES IQSDE LAS ESCALAS IQSMÉTRICASIQS IQS IQS deduce de las expresiones anteriores: IQS − Paso constante. IQS Como se IQS IQS IQS IQS l =mx l =mx l − l = m (x – x ) ⇒ ∆l = m ∆x IQS por tanto IQS IQS IQS IQS IQS si el escalón (∆x) es constante, el paso también lo es. IQS − Error absoluto IQS de la escala IQS IQS a diferenciales: IQS IQS constante. Asimilando IQS IQS IQS IQS ∆l = m ∆x ⇒ dl = IQS m dx ⇒ ε = m ε IQSε = Error de lectura IQS IQS IQS IQS IQS IQS METRICAS: IQS CONSTRUCCION IQS DE ESCALAS IQS IQS IQS IQS La construcción de una escala métrica puede realizarse de dos formas distintas IQS en funciónIQS IQS IQS IQS IQS de los requisitos que debe cumplir y por tanto de la información IQS disponible.IQS IQS a: IQS IQS IQS Básicamente corresponden ) y último valor (x ) a representar IQS • Se conocen: IQSel primer (xIQS IQS IQSy la longitudIQS (L ) que puede tener la escala. IQS máximaIQS IQS IQS IQS IQS Generalmente L viene impuesta por la longitud del soporte físico (papel IQS milimetrado) IQSsobre el que IQS IQS IQS IQS se va a construir la escala o bien obedece a un IQS criterio IQS IQS IQS IQS IQS práctico (10 cm, 20 cm, 25 cm, etc.). IQS Así mismo, IQSel intervaloIQS IQS puedeIQS IQS de valores a representar variarse a fin de coincidir con un IQS margen “cómodo” de trabajo que IQS facilite su posterior IQS hacerloIQS IQS IQS Probablemente, para cubrir un margen desde 8ºC IQS construcción IQSy lectura. IQS IQS IQS IQS hasta 52ºC, resulte más cómodo construir una escala desde 5ºC hasta 55ºC. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS En primer IQS IQS IQS máximo: IQS IQS lugar se procede a calcular el módulo IQS IQS IQS m = L maxIQS IQS IQS x0 IQS IQS IQS x n −IQS IQS IQS por defecto a un valor que permita después una IQS Este módulo IQSse redondea IQS IQS IQS IQS lectura fácil de la escala, tal como se ha señalado en el apartado 2.2. IQS Nunca IQS IQS IQS IQS IQS debe redondearse por exceso, puesto que entonces la longitud de la IQS escala superaría IQS el valorIQS IQS IQS IQS L . IQS Se trazaIQS IQS IQS el eje y se sitúa el valor inicialIQS (x ) que servirá de referencia. IQS A graduación (x IQS ) y se sitúan a las IQS continuación IQSse seleccionan IQSlos valores de IQS IQS –x ) del origen. IQS distancias IQS l = m (xIQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 0

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS eligen de formaIQS que sea fácil su IQS Los valores IQSde graduación IQStambién se IQS IQS sobre la escala y la posterior lectura de la misma. IQS situaciónIQS IQS IQS IQS IQS Por último se rotula la escala, es decir, los valores de algunas graduaciones IQS seleccionadas IQS y se indicaIQS IQS IQS IQS la magnitud y unidades que representa la escala. IQS Ejemplo 2.1 IQS IQS IQS IQS IQS IQS ConstruirIQS IQS IQS IQS IQS una escala métrica para representar valores de potencia (P) kW y 1,103 kW,IQS sobre una longitud máxima de 190 IQS comprendidos IQSentre 1,010IQS IQS IQS mm. IQS IQS IQS IQS IQS IQS lugar se calcula el módulo máximo como: IQS En primerIQS IQS190 IQS IQS IQS L max 190 m= = = = 2043,01 mm kW 1,103 − 1,010 0,IQS 0930 IQS IQS x n − x 0 IQS IQS IQS m = 2000 mm/kW IQS que se redondea IQS a: IQS IQS IQS IQS selecciona graduar la escala cada 0,010 kW, con lo que se calculan las IQS Se IQS IQS IQS IQS IQS distancias al origen (1,010 kW) correspondientes: IQS IQS IQS IQS IQS IQS P (kW) l (mm) = 2000 (P – 1,010) 1,020 20,0 IQS IQS IQS IQS IQS IQS 1,030 40,0 IQS IQS IQS IQS IQS IQS 1,040 60,0 1,050 80,0 IQS IQS IQS IQS IQS IQS 1,060 100,0 1,070 120,0 IQS IQS IQS IQS IQS IQS 1,080 140,0 IQS IQS IQS IQS IQS IQS 1,090 160,0 1,100 180,0 IQS IQS IQS IQS IQS IQS 1,105 190,0 IQS y finalmente IQS IQS IQS IQS IQS se traza el eje, se sitúan las graduaciones y se rotula la escala: IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS el error de lectura en la escala resulta de 0,5/2000 = 2,5 10 kW IQS Con lo que IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS ) y último valorIQS (x ) a representar y una precisión IQS • Se conocen: IQS el primer (xIQS IQS IQS de lectura) impuesta. IQS de la escala IQS(error absoluto IQS IQS IQS IQS En este caso la relación que define el módulo necesario es, lógicamente: IQS IQS IQS IQS IQS IQS m = 0,5 (mm) / ε IQS IQS IQS IQS IQS IQS

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS del módulo a unIQS valor cómodo sin IQS redondeando IQS a continuación IQSeste valor IQS IQS represente una pérdida significativa de precisión. IQS que elloIQS IQS IQS IQS IQS Este valor del módulo junto con los límites de la escala (x y x ) definen la IQS longitudIQS IQS IQS IQS IQS de escala necesaria, valor que debe calcularse para conocer la IQS longitudIQS IQS IQS la escala. IQS IQS del soporte físico sobre el que construir IQS IQS IQS IQS IQS IQS L escala = m (x −x ) del soporte se procede el IQS Si L escala IQSes menor o igual IQSa la longitudIQS IQS como en IQS IQS caso anterior. IQS IQS IQS IQS IQS Es de señalar que no es conveniente construir una escala con mayor IQS precisiónIQS IQS IQS IQS IQS que la que poseen los datos puesto que en una representación IQS gráfica IQS IQS de la gráfica, IQS IQSetc. IQS ello producirá distorsión discontinuidades, parte puede ocurrir una precisión,IQS ésta implique una IQS Por otraIQS IQSque impuestaIQS IQS de escala para IQS la que no se dispone IQS longitudIQS IQSde soporte físico IQSsuficiente. EnIQS caso o se reduce la precisión de la escala o bien se procede a construir IQS tal IQS IQS IQS IQS IQS segmentos de la escala en las zonas de interés. IQS Ejemplo 2.2 IQS IQS IQS IQS IQS IQS ConstruirIQS IQS IQS IQS una escala métrica para representar los valores del porcentaje de IQS (% Ni) presente en una aleación metálica. Dichos valores pueden IQS níquel IQS IQS IQS IQS IQS oscilar entre 0 % Ni y 1,50 % Ni. escala debe permitir laIQS lectura de los valores con dos cifras decimales IQS IQS La IQS IQS IQS exactas, es decir: ε = 0,005 IQS IQS IQS IQS IQS IQS Con esta precisión, el módulo necesario resulta: IQS IQS IQS IQS IQS IQS (mm) / 0,005 = 100 mm / unidad IQS IQS m = 0,5IQS IQS IQS IQS de escala necesaria para cubrir el margen de valores impuesto: IQS y la longitud IQS IQS IQS IQS IQS L escala = mIQS (x − x ) = 100 (1,50 mm IQS IQS IQS– 0,00) = 150IQS IQS 10IQS mm (1 cm) de laIQS escala corresponde a una décimaIQS de porcentaje, IQS IQS Cada IQS por lo que puede ya directamente construirse la escala. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS mm corresponde a 0,005 % de níquel requiere. IQS Cada 0,5IQS IQS IQStal como seIQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 0

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS funcionales. Construcción. IQS 2.4 Escalas IQS IQS IQS IQS IQS Un segundo tipo de escalas corresponde a las escalas funcionales, es decir, IQS aquellas enIQS IQS IQS IQS IQS las que se representa una función no lineal. IQS En este tipo IQS IQS IQStomado comoIQS de escalas IQS las distancias al origen o al valor IQS referenciaIQS IQS proporcionales IQS a los valores IQSde la funciónIQS (x ) son directamente en la escala. IQS IQS representada IQS IQS IQS IQS tanto: IQS Se tiene por IQS IQS IQS IQS IQS l = m f (x )  IQS IQSl 0j = m f ( x 0j )IQS IQS  ⇒ ∆l = l j − lIQS 0 = m [ f ( x j ) − f ( xIQS 0 )]  IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS PROPIEDADES IQSDE LAS ESCALAS IQSFUNCIONALES IQS IQS IQS : elegido un escalón (∆x) constante se tiene que: IQS IQS − Paso variable. IQS Dado queIQS IQS IQS l= m f(x) l + ∆lIQS = m f(x + ∆x) ⇒IQS ∆l = m [f(x + IQS ∆x) – f(x)] IQS IQS IQS si el escalón (∆x) es constante, el paso (∆l) es función de x y por IQS por tanto IQS IQS IQS IQS IQS tanto variará a lo largo de la escala. IQS − Error absoluto IQS de la escala IQS IQS IQS IQS variable. Dado que al asimilar a diferenciales: IQS IQS IQS IQS IQS IQS ε ε = Error de lectura l=m f(x) ⇒ dl = m f‘(x) dx ⇒ ε = m f’(x) IQS IQS IQS ε l 0IQS IQS IQS ,5 (mm ) εx = = m f ′( x ) IQS IQS IQSm f ′( x) IQS IQS IQS tanto, ε es función el error visualIQS y el módulo son IQS y, porIQS IQSde x ya que IQS IQS escala. IQS constantes IQSpara toda laIQS IQS IQS IQS IQS CONSTRUCCION IQS DE ESCALAS IQS IQS IQS IQS FUNCIONALES: IQS Como enIQS IQS IQS IQS el caso de lasIQS escalas métricas, la construcción de una escala de dos formas distintas de los requisitos IQS funcional puede IQS realizarse IQS IQS en funciónIQS IQS cumplir y por tanto de la información disponible. Estas dos formas IQS que debe IQS IQS IQS IQS IQS corresponden a: IQS • Se conocen: IQSel primer (xIQS IQS IQS IQS ) y último valor (x ) a representar y la longitud IQS máximaIQS IQS IQS IQS (L ) que puede tener la escala.IQS en este caso LIQS puede venir impuesta IQS TambiénIQS IQS por la longitud IQS del soporteIQS sobre el que IQS se va a construirIQS la escala o bien IQS físico (papel IQSmilimetrado)IQS IQS a un criterio práctico (10 cm, 20 cm, 25 cm, etc.). IQS obedeceIQS IQS IQS IQS IQS l

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS de valores a representar variarse a fin de IQS Así mismo, IQSel intervaloIQS IQS puedeIQS IQS coincidir con un margen cómodo de trabajo que facilite su posterior IQS hacerloIQS IQS IQS IQS IQS construcción y lectura. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS En primer IQS IQS IQS IQS IQS lugar se procede a calcular el módulo: IQS IQS IQS IQS IQS IQS L max m= f(x 0 ) IQS IQS IQS f ( x n ) −IQS IQS IQS que en el denominador los valores de IQS la IQS Es importante IQS resaltar IQS IQS figuran IQS en los puntos extremos x y x . IQS funciónIQS IQS IQS IQS IQS Este módulo puede, aunque no es estrictamente necesario, redondearse por IQS defectoIQS IQS IQS IQS IQS a un valor cómodo tal como se ha señalado anteriormente. IQS A continuación IQS se trazaIQS IQS el eje y se sitúaIQS el valor inicial (xIQS ) que servirá de IQS referencia. IQS IQS IQS IQS IQS se elige un valorIQS del escalón (∆x)IQS y se calculan las IQS Para graduar IQS la escala IQS IQS al punto de referencia (x ): IQS distancias IQS IQS IQS IQS IQS l – l = m [f(x + k ∆x ) – f(x )] k = 1, 2, …, n IQS El valorIQS IQS IQS IQS IQS del escalón se selecciona de forma que las graduaciones permitan IQS una fácilIQS IQS IQS IQS IQS lectura de la escala. una escala IQS funcional no tiene paso constante, se continúa IQS la IQS Dado que IQS IQS IQS la escala hasta que dos subdivisiones de la misma IQS graduación IQSfuncional deIQS IQS IQS IQS disten como máximo 10 mm. A partir de esta distancia la subdivisión se IQS considera IQS IQS IQS IQS IQS métrica, dado que el error que esta aproximación introduce en la IQS lectura IQS IQS IQS IQS IQS de la escala es despreciable. IQS Por último IQS IQSes decir, seIQS IQS IQS se rotula la escala, indican los valores (x) de algunas la magnitudIQS y unidades que IQS graduaciones IQS seleccionadas IQS y se indica IQS IQS la escala (en algunos casos también la función). IQS representa IQS IQS IQS IQS IQS Ejemplo 2.3 IQS IQS IQS IQS IQS IQS Construir una escala de cuadrados [f(x) = x ] que cubra el intervalo 1 ≤ x ≤ 4 IQS sobre IQS IQS IQS IQS unIQS eje de 150 mm de longitud. IQS Se trata IQS IQS IQS IQS IQS de una escala funcional cuyos valores extremos de la función 16 IQS corresponden IQSa 1 ≤ f(x) ≤IQS IQS IQS IQS / [f(x ) – f(x )] = 150 / (16 – 1) = 10 mm/unidad El módulo será: m=L IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 0

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Este material forma parte del libro: Tomàs, X.; Cuadros, J.; González, L..(2006). Introducción al Cálculo Numérico. Institut Químic de Sarrià. ISBN: 84-611-0645-8.

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Este material forma parte del libro: Tomàs, X.; Cuadros, J.; González, L..(2006). Introducción al Cálculo Numérico. Institut Químic de Sarrià. ISBN: 84-611-0645-8.

2. REPRESENTACIONES GRAFICAS

IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Para un IQS IQS IQS IQS IQS escalón de 1 unidad, se calculan las distancias al valor 1 de IQS referencia: IQS IQS IQS IQS IQS x f(x) l (mm) = 10 [f(x) – 1] IQS IQS 1,00IQS IQS IQS IQS 1,00 0,0 4,00 30,0 IQS IQS 2,00 IQS IQS IQS IQS 3,00 9,00 80,0 16,00 150,0 IQS IQS 4,00IQS IQS IQS IQS las distancias entre superan los 10IQS mm, se procede IQS a IQS Dado queIQS IQSgraduacionesIQS efectuar subdivisiones. En el intervalo 1 ≤ x ≤ 2 se toma ∆x = 0,2 y se tiene: IQS IQS IQS IQS IQS IQS x f(x) l (mm) = 10 [f(x) – 1] IQS IQS 1,00 IQS IQS IQS IQS 1,00 0,0 1,44 4,4 IQS IQS 1,20IQS IQS IQS IQS 1,40 1,96 9,6 IQS IQS 1,60IQS IQS IQS IQS 2,56 15,6 3,24 22,4 IQS IQS 1,80 IQS IQS IQS IQS 2,00 4,00 30,0 IQS y para elIQS IQS IQS IQS IQS resto se calculan las distancias a ∆x = 0,1 IQS IQS IQS IQS IQS IQS x f(x) l (mm) = 10 [f(x) – 1] x f(x) l (mm) = 10 [f(x) – 1] IQS 2,00 IQS IQS IQS9,61 IQS IQS 4,00 30,0 3,10 86,1 4,41 34,1 3,20 10,24 92,4 IQS 2.10 IQS IQS IQS IQS 2.20 IQS 4,84 38,4 3,30 10,89 98,9 5,29 42,9 3,40 11,56 105,6 IQS 2.30 IQS IQS IQS IQS IQS 2.40 5,76 47,6 3,50 12,25 112,5 6,25 52,5 3,60 12,96 119,6 IQS 2.50 IQS IQS IQS IQS IQS 2,60 6,76 57,6 3,70 13,69 126,9 IQS 2,70 IQS IQS IQS IQS IQS 7,29 62,9 3,80 14,44 134,4 7,84 68,4 3,90 15,21 142,1 IQS 2,80 IQS IQS IQS IQS IQS 2,90 8,41 74,1 4,00 16,00 150,0 9,00 80,0 IQS 3,00 IQS IQS IQS IQS IQS se traza el eje, se gradúa y seIQS rotula la escala,IQS obteniendo: IQS y finalmente IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS se trata de una escala funcional de cuadrados IQS IQS La rotulación IQS“x ” indica que IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS ) y último valorIQS (x ) a representar y una precisión IQS • Se conocen: IQSel primer (xIQS IQS IQS de lectura) impuesta. IQS de la escala IQS(error absoluto IQS IQS IQS IQS

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2. REPRESENTACIONES GRAFICAS

IQS IQS IQS IQS IQS IQS caso, dado que el error de lectura IQS En esteIQS IQS IQS en una escala IQSfuncional esIQS según la función a representar: IQS variableIQS IQS IQS IQS IQS εl 0,5 (mm ) εx = = IQS IQS IQS IQS IQS IQS m f ′( x ) m f ′( x ) IQS una posible IQSsolución consiste IQSen determinar IQS IQS IQS el módulo en el punto medio de IQS la escalaIQS IQS IQS IQS asociándole la IQS precisión (error) preestablecido: x0 εl IQS IQS x = x n +IQS IQS IQS IQS 0,5 (mm ) m= = 2 ε x f ′( x ) ε x f ′( x ) IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS A continuación, IQS tras comprobar IQS que la longitud IQS de la escala IQSresultante seIQS ajusta a la del soporte sobre el que se construirá la escala, se continúa como IQS en el caso IQS IQS IQS IQS IQS anterior. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS ESCALA LOGARITMICA IQS IQS IQS IQS IQS logarítmica es, con mucho, la escala funcional másIQS utilizada tanto en IQS La escala IQS IQS IQS IQS Como su nombre indica representa la función IQS ciencia como IQSen tecnología. IQS IQS IQS IQS logarítmica, es decir, las distancias sobre la escala son proporcionales al IQS logaritmo de IQS IQS IQS IQS IQS la variable. IQS IQS IQS IQS IQS IQS : IQS PROPIEDADES IQSDE UNA ESCALA IQSLOGARITMICA IQS IQS IQS las propiedades propias de toda escala funcional ya indicadas IQS Además de IQS IQS IQS IQS IQS anteriormente, la escala logarítmica posee las siguientes propiedades IQS particulares: IQS IQS IQS IQS IQS IQS - La escala IQS IQS IQS IQS IQS no depende de la base del logaritmo. IQS En efecto, IQS IQS IQS es posibleIQS si las distancias representan: IQS l = m log x siempre través de la relación: IQS relacionarlas IQScon el logaritmo IQSneperiano aIQS IQS IQS m m l IQS = m log b x = Ln x que para b = 10 ⇒ l IQS = Ln x IQS IQS IQS IQS Ln b Ln 10 IQS Es decirIQS IQS IQS IQS IQS se trata de un simple cambio del factor de proporcionalidad. IQS IQS IQS IQS IQS IQS relativo de unaIQS escala logarítmica es constante. IQS - El errorIQS IQS IQS IQS la función l = m Ln x y asimilando errores a diferenciales: IQS Derivando IQS IQS IQS IQS IQS ε 0,5 (mm) l  1  1 dl =IQS m   dx ⇒ IQS ε l = m  ε x = m e x ⇒ e x =IQS = IQS IQS IQS m m x x IQS IQS IQS IQS IQS IQS

2. REPRESENTACIONES GRAFICAS

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS logarítmica es universal. IQS - La escala IQS IQS IQS IQS IQS Esto quiere decir que la graduación de una escala logarítmica comprendida IQS entre 10IQS IQS IQS IQS IQS y 10 , (una década), es independiente del valor de n. IQS Así, paraIQS IQS IQS IQS IQS n = 0 la distancia al origen (1) de un valor N será: IQS IQS IQS l =IQS m (log N 10 – log 10 ) = m (log N + log 10 – logIQS 10 ) = m log N IQS de n, la distancia que separa N IQS 10 de 10 será:IQS IQS y para cualquier IQS otro valorIQS IQS l = m (log N 10 – log 10 ) = m (log N + log 10 – log 10 ) = m log N IQS IQS IQS IQS IQS IQS Es decir, la distancia de la graduación 2 a la graduación 1 es la misma que la IQS distanciaIQS IQS IQS IQS IQS de la graduación 20 a la graduación 10 por ejemplo. IQS Esta propiedad IQS es importante IQSpuesto queIQS IQS IQS aplicando la misma basta construir de la misma IQS se puede construir IQS una fracción IQSde una década, IQSy por repetición IQS IQS de varias décadas (0,01, 0,1, 1, 10, etc.). IQS una escala IQS IQS IQS IQS IQS IQS CONSTRUCCION IQS DE UNA ESCALA IQS LOGARITMICA: IQS IQS IQS IQS Para la construcción IQS IQS se sigueIQS IQS de IQS una escala logarítmica el procedimiento IQS general descrito IQS para la construcción IQS de cualquier IQS escala funcional, IQS teniendoIQS una escala logarítmica de varias décadas basta IQS presente que IQSsi se trata deIQS IQS IQS IQS adecuadamente la primera década y trasladar las distancias a cada IQS construir IQS IQS IQS IQS IQS una de las restantes. IQS Ejemplo 2.4 IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Construir una escala logarítmica que cubra el intervalo 1 ≤ x ≤ 10 (1 década) IQS sobre unIQS IQS IQS IQS IQS eje de 190 mm de longitud. IQS El móduloIQS IQS IQS IQS IQS de la escala será: 190 190 IQS IQS m = logIQS IQS = =IQS 190 mm / unidadIQS 10 − log 1 1 − 0 IQS que al tratarse IQS de una escala IQS IQS IQS funcional no IQS es necesario redondear. IQS A continuación IQS se selecciona IQS IQS∆x = 1 y seIQS IQS un primer escalón calculan las de las graduaciones correspondientes. IQS distanciasIQS IQS IQS IQS IQS distancias entre dosIQS graduaciones consecutivas son superiores a 1 cmIQS IQS Sise las IQS IQS IQS procede a seleccionar un nuevo escalón, cómodo y menor que el anterior, y se gradúa dicho intervalo. IQS IQS IQS IQS IQS IQS Este procedimiento se repite hasta completar la graduación de toda la escala. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS N

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2. REPRESENTACIONES GRAFICAS

IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Para ∆x = 1 se calculan las distancias: l = 190 (log x – log 1) IQS IQS IQS IQS IQS IQS x log x l (mm) x log x l (mm) IQS IQS 1 0,0000IQS IQS 0,0 6 IQS 0,7782 147,8IQS 57,2 7 0,8451 160,6 IQS IQS 23 0,3010 IQS IQS IQS IQS 0,4771 90,7 8 0,9031 171,6 114,4 9 IQS 0,9542 181,3IQS IQS IQS 45 0,6021 IQS IQS 0,6990 132,8 10 1,0000 190,0 IQS IQS IQS IQS IQS IQS 1 ≤ x ≤ 2 permite subdividirlo a ∆x = 0,1: IQS El intervalo IQS IQS IQS IQS IQS x l (mm) x log x l (mm) IQS IQS x1,1 log IQS IQS IQS IQS 0,0414 7,9 1,6 0,2041 38,8 0,2304 43,8IQS IQS IQS 1,2 0,0792 IQS15,0 1,7IQS IQS 1,3 0,1139 21,6 1,8 0,2553 48,5 IQS IQS 1,4 0,1461 IQS27,8 1,9IQS IQS 0,2788 53,0IQS 0,3010 57,2 IQS IQS 1,5 0,1761 IQS33,5 2,0IQS IQS IQS se opta por ∆x = 0,2: IQS Para el intervalo IQS 2 ≤ x ≤ 4IQS IQS IQS IQS log x l (mm) IQS IQS x log xIQSl (mm) x IQS IQS IQS 2,2 0,3424 65,1 3,2 0,2041 96,0 IQS IQS 2,4 0,3802 IQS72,2 3,4IQS IQS IQS 0,2304 101,0 2,6 0,4150 78,8 3,6 0,2553 105,7 IQS IQS 2,8 0,4472 IQS85,0 3,8IQS IQS IQS 0,2788 110,2 0,3010 114,4 IQS IQS 3,0 0,4771 IQS90,7 4,0IQS IQS IQS que para el restoIQS de escala se subdivide IQS MientrasIQS IQS a ∆x = 0,5:IQS IQS IQS IQS x log xIQSl (mm) x IQS IQS IQS log x l (mm) 0,6532 124,1 0,8751 166,3 IQS IQS 4,5 IQS140,7 7,5 IQS IQS 5,5 0,7404 8,5IQS 0,9294 176,6 0,9777 185,8 IQS IQS 6,5 0,8129 IQS154,5 9,5IQS IQS IQS a la graduación y rotulación de IQS la escala. IQS Procediendo IQSseguidamente IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS logarítmica se rotula con la variable (x), sin ninguna IQS Generalmente IQSuna escala IQS IQS IQS IQS otra indicación, dado que el uso tan frecuente de este tipo de escala hace que IQS sea familiarIQS IQS IQS IQS IQS su graduación. IQS IQS IQS IQS IQS IQS

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2. REPRESENTACIONES GRAFICAS

IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS adyacentes. IQS 2.5 Escalas IQS IQS IQS IQS IQS Se trata de dos (o más) escalas paralelas yuxtapuestas que representan una IQS relación funcional IQS entre dosIQS IQS y que permiten, IQS por simpleIQS variables: y = f(x) IQS lectura gráfica IQSsobre la vertical, IQSobtener un valor IQSde la funciónIQS IQS (y) dado un valor IQS de la variable IQS IQS IQS IQS IQS (x) o viceversa. escalas, una esIQS métrica (generalmente y) y la otra métrica IQS De las dosIQS IQS la escala IQS IQS y ambas han de tener el mismo módulo. IQS o funcional,IQS IQS IQS IQS IQS IQS CONSTRUCCION IQS DE ESCALAS IQS IQS IQS IQS ADYACENTES: IQS Para la construcción IQS de dos IQS IQS se parte deIQS IQS escalas adyacentes la definición del las variables. IQS IQS tipo de función IQSque relacionaIQS IQS IQS la función y = f(x) a representar, debe acotarse el IQS EstablecidaIQS IQS IQS IQS IQS intervalo de valores que ambas escalas deben cubrir: (x ; y ) y (x ; y ). IQS Una vez decidido IQS qué escala IQS IQS IQS IQS va a ser funcional y qué escala será por tanto IQS métrica, seIQS IQS esta últimaIQS IQS procede a construir según las reglas descritas en IQS el estableciendo el módulo (m), IQS que ahora será común IQS apartado 2.3, IQS IQS IQS para ambasIQS función de la longitud disponible o de la precisión de lectura IQS escalas, en IQS IQS IQS IQS IQS IQS deseada. IQS IQS IQS IQS IQS Para la construcción de la escala funcional debe establecerse un punto de IQS anclaje, esIQS IQS IQS IQS decir un valor de la variable (x ) IQS que se toma como referencia y que IQS corresponde IQS IQS IQScumplirse: IQS a un valor de la función (y ), enIQS otras palabras debe ) IQS IQS IQS y = f(x IQS IQS IQS referencia suele escogerse cercano a los extremos IQS Generalmente IQSeste valor deIQS IQS IQS IQS de la escala, pero no es imprescindible que así sea. IQS Se traza elIQS IQS IQS IQS IQS eje de la escala funcional, paralelo al de la escala métrica, y sobre IQS ésta últimaIQS IQS IQS ). se sitúa el valorIQS de referencia (y IQS de y , sobre IQS el eje de la escala funcional se sitúa x , y a partir de IQS En la vertical IQS IQS IQS IQS funcional según las reglas descritas en el apartado IQS aquí se construye IQS la escalaIQS IQS IQS IQS 2.4, utilizando como valor de referencia x y como módulo el mismo que se ha IQS utilizado IQS IQS IQS IQS IQS en la construcción de la escala métrica. IQS Es importante IQSrecordar queIQS IQS IQS ambas escalas se deben graduarIQS y rotular de forma IQS que la lectura IQSde futuros IQS IQS IQS valores en ambas escalas resulte fácil, cómoda IQS y IQS IQS IQS IQS IQS IQS

2. REPRESENTACIONES GRAFICAS

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS en ambas escalas IQS rápida, yIQS IQS debe indicarse IQS la magnitud IQS y unidadesIQS IQS representadas. IQS IQS IQS IQS IQS Ejemplo 2.5 IQS IQS IQS IQS IQS IQS que toda la energía cinética de un móvil (E =m v /2) que se IQS Admitiendo IQS IQS IQS(E = mgh),IQS desplaza a una velocidadIQS v se transformase en energía potencial construirIQS dos escalas adyacentes (L =IQS 190 mm) que permitan calcular, IQS a IQS partir IQS IQS de la velocidad del móvil (Km/h), la altura (h en m) equivalente de caída libre partiendo para el intervaloIQS de velocidades: IQS 0 ≤ v ≤ 155 Km/h.IQS IQS IQSdel reposo,IQS (E = E ), la relación entre IQS velocidad y altura IQS Bajo la hipótesis IQS de trabajo IQS IQS IQS equivalente es: IQS IQS m g hIQS IQS 1 (k v ) 2 IQS IQS 1 = m v2 ⇒ h= 2 2g IQS donde k IQS IQS IQS IQS IQS es el factor de conversión de Km/h a m/s y g la constante gravitatoria . IQS 9,81 m/sIQS IQS IQS IQS IQS IQS Sustituyendo IQSvalores y operando, IQS la funciónIQS IQS IQS final es: 2  m / Km] 3 IQS ] = 1  1000 [IQS h[mIQS v [Km / h]IQS = 3,93275 10 −IQS ( v [Km / h] ) 2 IQS 2 ⋅ 9,81  3600 [s / h]  IQS y el intervalo IQS IQS IQS IQS IQS a cubrir por las escalas: IQS IQS IQS IQS IQS IQS v (Km/h) 0 155 h (m) 0 IQS 94,48 IQS IQS IQS IQS IQS IQS Seleccionando IQS la escalaIQS IQS IQS de altura comoIQS métrica y la de velocidad como y teniendo limitada la longitud a 190 mm, el módulo de ambas IQS funcional IQS IQS IQS IQS IQS escalas resulta: m = 190 (mm) / (94,48 – 0) (m) = 2,011 ⇒ m = 2 mm/m IQS IQS IQS IQS IQS IQS se traza elIQS eje de la escala IQS de altura (h en m) y se construye IQS la IQS Seguidamente IQS IQS escala métrica, graduándola y rotulándola adecuadamente (20 mm = 10 m). IQS IQS IQS IQS IQS IQS A continuación se traza el eje de la escala funcional (v en Km/h), paralelo al IQS eje de laIQS escala métrica, yIQS se sitúa el puntoIQS de anclaje, queIQS en este caso es IQS el ≡ 0 m (v ; h ) IQS correspondiente IQS a 0 Km/hIQS IQS IQS IQS el eje de velocidad se procede a calcular las distancias a las que situar IQS Sobre IQS IQS IQS IQS IQS las graduaciones, de acuerdo con la expresión: IQS IQS IQS IQS IQS IQS 2 2 l j (mm) = 2 ⋅ ( 3,93275 10 − 3 v j − 3,93275 10 − 3 v R ) IQS siendo l IQS IQS IQS IQS IQS la distancia de la graduación j al punto de anclaje v , en este caso IQS v = 0 Km/h IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 2

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Este material forma parte del libro: Tomàs, X.; Cuadros, J.; González, L..(2006). Introducción al Cálculo Numérico. Institut Químic de Sarrià. ISBN: 84-611-0645-8.

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Este material forma parte del libro: Tomàs, X.; Cuadros, J.; González, L..(2006). Introducción al Cálculo Numérico. Institut Químic de Sarrià. ISBN: 84-611-0645-8.

2. REPRESENTACIONES GRAFICAS

IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Así para un escalón ∆v = 10 Km/h se obtiene: IQS IQS IQS IQS IQS IQS v (Km/h) h (m) l (mm) v (Km/h) h (m) l (mm) IQS IQS10 IQS 0,8 IQS IQS 0,39 90 31,86 IQS 63,7 1,57 100 39,33 78,7 IQS IQS20 IQS 3,1 IQS IQS IQS 30 3,54 7,1 110 47,59 95,2 6,29 12,6 120 56,63 IQS 113,3 IQS IQS40 IQS IQS IQS 50 9,83 19,7 130 66,46 132,9 IQS IQS60 14,16 IQS 28,3 IQS IQS 140 77,08 IQS 154,2 19,27 150 88,49 177,0 IQS IQS70 IQS 38,5 IQS IQS 80 25,17 50,3 155 94,48 IQS 189,0 IQS Comprobando IQSque a partirIQS IQS IQS IQS de 70 Km/h debe subdividirse la escala, por a ∆v = 5 Km/h IQS IQS ejemplo IQS IQS IQS IQS v (Km/h) h (m) l (mm) IQS IQS IQSl (mm) v (Km/h) IQS h (m) IQS IQS 75 22,12 44,2 115 52,01 104,0 IQS IQS85 28,41 IQS 56,8 IQS IQS 125 61,45 IQS 122,9 95 35,49 71,0 135 71,67 143,3 IQS IQS105 IQS IQS IQS IQS 43,36 86,7 145 82,69 165,4 IQS con lo que IQS IQS IQS IQS IQS resulta: IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Ejemplo 2.6 IQS IQS IQS IQS IQS IQS ConstruirIQS IQS que permitan IQStransformarIQS dos escalas adyacentes una temperaturaIQS en grados Fahrenheit (ºF) a grados Celsius (ºC) en el intervalo de IQS leída IQS IQS IQS IQS IQS temperaturas: 14 ≤ ºF ≤ 50 La longitud de escala disponible es de 180IQS mm y el error deIQS lectura en la IQS escala IQS IQS IQS centígrada ha de ser de 0,1ºC ºC es: ºCIQS = 5 (ºF – 32) / 9 IQS IQS La equivalencia IQS entre ºF yIQS IQS IQS El intervalo IQS IQS IQS a cubrir en ºCIQS (escala métrica)IQS es por tanto: − 10 ≤ ºC ≤ 10 IQS Dada la IQS IQS IQS el módulo IQS IQS precisión requerida en la escala centígrada, debe ser: m = 0,5 (mm) / 0,1 (ºC) = 5 mm/ºC IQS y la longitud IQS IQS IQS IQS IQS real de las escalas resultantes de 5 [10ºC – (− 10ºC)] = 100 mm IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

2. REPRESENTACIONES GRAFICAS

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQSdificultad situando IQS el valor 0ºCIQS La escala métrica (ºC) seIQS construye sin mayor en el centro de la escala. IQS IQS IQS IQS IQS Como valor de anclaje (C ; F ) se selecciona 0ºC = 32ºF y este valor se IQS IQS IQS IQS IQS sitúa sobre la escala funcional (ºF) adyacente. IQS IQS IQS IQS IQS Para situar las graduaciones de la escala funcional se calculan las distancias al valor de referencia (F IQS = 32ºF) medianteIQS la expresión: IQS IQS IQS IQS IQS  5 (F − 32IQS IQS ) 5 (FR − 32)  IQS l F = 5 (mm )  − IQS IQS  9 IQS 9  IQS IQS IQS IQS Así, paraIQS un escalón ∆F =IQS 5ºF se obtiene: IQS IQS ºF ºCIQSl (mm) ºFIQSºC l (mm)IQS IQS 1,7 8,3 IQS IQS 15 − 9,4 IQS− 47,2 35IQS IQS 20 − 6,7 − 33,3 40 4,4 22,2 IQS 25 − 3,9 IQS− 19,4 45IQS IQS 7,2 36,1 IQS 10,0 50,0 IQS 30 − 1,1 IQS − 5,6 50IQS IQS IQS o si se IQS prefiere un escalón el intervalo de 30ºF a 50ºF se IQS∆F = 1ºF, enIQS IQS IQS obtiene: IQS IQS IQS IQS IQS ºF ºC l (mm) ºF ºC l (mm) IQS 31 −IQS IQS IQS 25,0 IQS 41 5,0 0,6 − 2,8 0,0 0,00 42 5,6 IQS 32 IQS IQS 27,8 IQS IQS 33 0,6 2,8 43 6,1 30,6 1,1 5,6 44 6,7 33,3 IQS IQS 34 IQS IQS IQS 36 2,2 11,1 46 7,8 38,9 IQS 37 IQS IQS IQS 2,8 13,9 47 8,3 41,7 IQS 3,3 16,7 48 8,9 44,4 IQS 38 IQS IQS IQS 39 3,9 19,4 49 9,4 47,2 IQS IQS IQS IQS IQS IQS Repitiendo estos cálculos para el intervalo de temperaturas Fahrenheit desde 14ºF hasta 30ºF se obtiene: IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS R

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

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2. REPRESENTACIONES GRAFICAS

IQS IQS IQS IQS IQS IQS fijas y móvilesIQS IQS 2.6 Escalas IQSadyacentesIQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Hasta aquí se ha expuesto el fundamento y la construcción de escalas IQS adyacentesIQS IQS IQS IQS IQS fijas, que permiten obtener, por lectura gráfica en vertical, un valor IQS de y dadoIQS IQS IQS IQS IQS un valor de x y viceversa. IQS IQS IQS IQS IQS IQS tipo de escalas denominado escalas IQS Existe otroIQS IQSadyacentes, IQS IQS adyacentesIQS el que una de las dos escalas puede desplazarse sobre la otra. De IQS móviles, enIQS IQS IQS IQS IQS esta forma es posible realizar la suma y/o diferencia gráfica de funciones como IQS suma y/o diferencia IQS de segmentos. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS = X + Y podría resolverse la construcción IQS De esta forma IQSla función ZIQS IQS mediante IQS IQS por lo tanto con el mismo modulo, de IQS de dos escalas IQS métricas adyacentes, IQS IQS IQS IQS forma que una de ellas, por ejemplo la escala de Y, pudiera desplazarse sobre IQS la otra. Como IQS IQS IQS IQS IQS muestra la figura 2.6, situando el punto de la escala Y = 0 sobre IQS el valor XIQS IQS IQS IQS (1,5), simplemente leyendo en laIQS escala de X, bajo el valor Y (5,4) IQS obtenemosIQS IQS IQS IQS la suma de los IQS segmentos L = m(X – X ) y L = m(Y – Y ), es decir = m(X – X ) + m(Y – Y ) = m(X + IQS Y). IQS IQSL = L + L IQS IQS IQS = 6,9. IQS es decir, ZIQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Escalas adyacentes móviles métricas. IQS IQS Figura 2.6:IQS IQS IQS IQS IQS Es evidenteIQS IQS IQS IQS situando IQS que la operación X = Z – Y (X = 6,9 – 5,4) se realizará el IQS valor de ZIQS IQS IQS IQS (6,9) sobre el ejeIQS X y en su vertical el valor de Y (5,4). La solución se X la posición del origen de la escala IQS obtiene leyendo IQS en el eje deIQS IQS IQSde Y (0), queIQS resulta ser en este caso X = 1,5. IQS naturalmente IQS IQS IQS IQS IQS IQS Con todo,IQS IQS IQS IQS IQS la principal utilidad de las escalas adyacentes móviles no se basa en IQS la posibilidad IQS IQSvariables sino IQS IQS de sumar o restar en el hecho IQS de sumar o restar que forman parte que, evidentemente, IQS segmentosIQS IQSde escalasIQS IQS pueden serIQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

2. REPRESENTACIONES GRAFICAS

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS caso, Z corresponderá o diferencia de XIQS = IQS escalas funcionales. IQS En tal IQS IQSa la suma IQS f (y). IQS f (x) e Y =IQS IQS IQS IQS IQS Así, por ejemplo, si X = log x e Y = log y, utilizando escalas adyacentes móviles IQS logarítmicas, IQS IQS IQS IQS IQS Z = log x + log y equivale a realizar el producto Z = xy, o como se IQS ha indicadoIQS IQS IQS IQS anteriormente, IQS la operación inversa x = Z/y. IQS En la figura IQS IQSdos escalasIQS IQS móvilesIQS 2.7 se muestran logarítmicas adyacentes según el procedimiento Z IQS preparadas, IQS IQS antes descrito, IQS para realizar IQSla operaciónIQS x = 1,2 e y = 2,6 que gráficamente conduce a Z = 3,1 IQS = xy, para IQS IQS IQS IQS IQS (numéricamente Z = 3,12). IQS Observe que IQSla posición de IQS IQS IQS IQS la coma decimal debe calcularse por separado IQS dado queIQS IQS gráficamente. IQSAnálogamente IQSse obtendríaIQS no puede obtenerse =Z/y, que para ZIQS = 0,6 e y = 0,05 IQS conduce a x = 12IQS IQS también xIQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQSFigura 2.7: Escalas IQS adyacentesIQS IQS IQS móviles logarítmicas. IQS IQS IQS IQS IQS IQS escalas adyacentes todavía se siguen IQS Aunque las IQS IQS móviles IQS IQSutilizando enIQS concretas, su aportación más trascendente fue la de IQS algunas aplicaciones IQS IQS IQS IQS IQS servir de base para la construcción de la regla de cálculo, instrumento de IQS cálculo básico IQSpara los ingenieros IQS y los científicos IQS antes de que IQS IQS aparecieran las IQS calculadoras IQS IQS las escalasIQS IQS IQS digitales. Reuniendo correspondientes a las funciones más frecuentemente científicos, tales IQS utilizadas IQS IQSen los cálculos IQS técnicos yIQS IQS , x , log x, e , IQS e , sen x, cos,IQS x, tg x, etc., fue, IQS como: x, 1/x, IQSπx, 1/πx, x IQS IQS mucho tiempo el equivalente a lo que hoy en día representa un IQS durante IQS IQS IQS IQS IQS ordenador como herramienta de cálculo. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS A continuación IQSse va a exponer IQScomo construir, IQSmediante laIQS IQS ayuda de escalas, dos dimensiones. IQS representaciones IQS gráficas en IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 2

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2. REPRESENTACIONES GRAFICAS

IQS IQS IQS IQS IQS IQS gráficas: de Coordenadas. IQS 2.7 Representaciones IQS IQS SistemasIQS IQS IQS ha mencionado anteriormente, una representación gráfica consiste IQS Como ya se IQS IQS IQS IQS IQS en una visualización geométrica realizada sobre un soporte físico que permite IQS una utilización IQSde la mismaIQS IQS IQS IQS de una manera intuitiva y sencilla, implicando la IQS realizaciónIQS IQSsimplementeIQS de un mínimoIQS de operacionesIQS (en muchos casos IQS mentales)IQS IQS IQS fácilmenteIQS IQS y proporcionando una visión global, interpretable, del representado. Así interpretaciónIQS global de una IQS dominio IQS IQSmismo, unaIQS IQS permitir establecer hipótesis sobre el modelo de IQS representación IQSgráfica puede IQS IQS IQS IQS relación entre las variables representadas. IQS Una representación IQS gráficaIQS IQS IQS IQS es también una forma de recopilar y presentar la IQS informaciónIQS IQS IQS IQS respecto IQS relativa al cambio de valor de una variable (propiedad) al otra u otras variables. IQS cambio deIQS IQS IQS IQS IQS y no por ello menos importante, una representación gráfica es IQS Por último,IQS IQS IQS IQS IQS también un instrumento de cálculo que permite realizar diversas operaciones IQS tales comoIQS IQS IQS IQS IQS interpolación, derivación, integración, solución de ecuaciones, etc., IQS de forma rápida, IQS simple y enIQS IQS IQS IQS muchas ocasiones con suficiente precisión. IQS En consecuencia, IQS parece innecesario IQS insistirIQS IQS IQS en lo importante que resulta que o un científico IQS conozcan las posibilidades representación IQS un técnicoIQS IQS que una IQS IQS ofrece y sepan utilizarla para su correcta construcción, análisis, IQS gráfica lesIQS IQS IQS IQS IQS interpretación y explotación. IQS Dada su sencillez, IQS su aplicabilidad IQS y su frecuencia IQS de uso, enIQS IQS este capítulo nos IQS centraremos IQS IQSrepresentaciones IQSgráficas enIQS IQS en las diferentes dos dimensiones sobre un soporte físico, teniendo presente que ello no implica, por IQS realizadasIQS IQS IQS IQS IQS limitación al número de variables que podemos IQS regla general, IQSuna seria IQS IQS IQS IQS representar. IQS En una representación IQS IQS IQS IQS IQS gráfica podremos visualizar bien los valores de una IQS función matemática IQS dentroIQS IQS IQS y = 2 senIQS de un intervalo o dominio, por ejemplo x IQS para 0 ≤ IQS IQS IQS IQS IQS x ≤ 2π, o bien los valores correspondientes a una tabla de datos IQS experimentales. IQS IQS IQS IQS IQS utiliza siempre papel pautado (milimetrado, IQS Como soporte IQS físico seIQS IQS IQS IQS semilogarítmico, triangular, circular, de probabilidad, etc.) sobre el que se IQS establece,IQS IQS IQS IQS IQS como primer requisito, un sistema de coordenadas. IQS Un sistema IQS IQSno es más IQS IQS de coordenadas que el conjuntoIQS de criterios que las reglas para IQS la representaciónIQS de las diferentesIQS variables. IQS establecenIQS IQS

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2. REPRESENTACIONES GRAFICAS

IQS IQS IQS IQS IQS IQS utilizarse para IQS Existen numerosos IQS sistemas IQSde coordenadas IQSque pueden IQS IQS representación gráfica, sin embargo nos limitaremos al estudio de IQS realizar unaIQS IQS IQS IQS IQS los sistemas de: IQS - Coordenadas IQS cartesianas. IQS IQS IQS IQS IQS - Coordenadas IQS polares IQS IQS IQS IQS IQS - Coordenadas IQS triangulares IQS IQS IQS IQS los diferentes IQS tipos de gráficos IQS Para facilitar IQSla comprensión IQSse exponenIQS IQS para el caso de la representación de dos variables, detallándose en IQS resultantesIQS IQS IQS IQS IQS cada caso como representar más de dos variables. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 2.8 Coordenadas IQS Cartesianas. IQS IQS IQS IQS de coordenadas cartesianas establece ejes, ortogonales IQS Un sistemaIQS IQS IQS tantosIQS IQS desee representar. IQS entre sí, como IQSvariables seIQS IQS IQS IQS En dos dimensiones solamente dispondremos de un eje horizontal y otro IQS vertical, perpendiculares IQS IQS IQS IQS IQS entre sí. En el eje horizontal generalmente se dispone IQS la variableIQS IQS IQS IQSEl eje verticalIQS independiente (x) y se denomina eje de abscisas. IQS corresponde IQS IQS (y) y IQS a la variable dependiente se denomina eje IQS de ordenadas. IQS uno de los ejes, y en función de las dimensiones del soporte y del IQS Sobre cadaIQS IQS IQS IQS IQS valores a representar o del error de los datos, se construye una IQS intervalo de IQS IQS IQS IQS IQS escala, que puede ser métrica o funcional, y siempre ha de estar graduada, IQS rotulada yIQS IQS IQS IQS IQS debe indicar la variable a la que hace referencia y sus unidades. IQS De esta forma IQSa cada parIQS IQS de las IQS de valores asociados variables (x, y) IQS le la representación gráfica, de coordenadas IQS corresponderá IQSun punto enIQS IQS IQS (x, y). ElIQS puntos representados podrá mostrar una tendencia lineal (Recta: y IQS conjunto deIQS IQS IQS IQS IQS = a + bx) o funcional (Curva: y = f(x)). IQS Para la construcción IQS de la IQS IQS IQS IQS representación gráfica, el gráfico, partiremos bien de IQS una funciónIQS IQS que tabular, IQS o bien directamente IQS de unaIQS analítica que tendremos IQS tabla de valores IQS experimentales. IQS Cada unaIQS IQS implicaIQS de estas dos posibilidades de consideraciones tenerIQS presentes en IQS la IQS una serieIQS IQSque es recomendable IQS del gráfico y seguir una secuencia operativa específica para cada IQS construcción IQS IQS IQS IQS IQS una de dichas situaciones. IQS A continuación IQSse detalla laIQS IQS IQS IQS secuencia operativa de construcción del gráfico: IQS PARTIENDO IQS IQSANALÍTICA.IQS IQS IQS DE LA FUNCIÓN IQS IQS IQS IQS IQS IQS

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS la función a representar, y el intervaloIQS de valores de xIQS o IQS • Conocida IQS IQS y = f(x), IQS establecen los intervalos variables [x ; xIQS ] e [y ; y ]. IQS de y, seIQS IQS de ambas IQS IQS máxima disponible para los ejes y de los intervalos IQS • En función IQSde la longitudIQS IQS IQS IQS anteriores, o de la precisión requerida para dichos ejes, se determinan los IQS módulosIQS IQS IQS IQS IQS cómodos, m y m , para el eje de abscisas y el de ordenadas. IQS • Se verifica IQSque con dichos IQSmódulos ambas IQS escalas noIQS IQS sobrepasan las IQS correspondientes IQS longitudes IQSmáximas disponibles. IQS IQS IQS = f(x) es recomendable la presencia en los IQS • Conociendo IQSla función yIQS IQS estudiar IQS IQS a representar de puntos singulares (máximos, mínimos, puntos de IQS intervalos IQS IQS IQS IQS IQS inflexión, asíntotas, ordenada en el origen, abscisa en el origen, etc.), así IQS como laIQS IQS descendente, IQS cóncava,IQS tendencia deIQS la función (ascendente, IQS convexa). IQS IQS IQS IQS IQS calculando los IQS puntos complementarios IQS • Se tabula IQSla función IQS IQS que seIQS necesarios para un trazado cómodo de la función. IQS considere IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS x x … x x x IQS IQS IQS IQS IQS y y y y IQS … y IQS IQS IQS IQS IQS IQS identificando correctamente IQS • Se construyen, IQS graduando, IQSrotulando e IQS IQS las dosIQS x e y. IQS escalasIQS IQS IQS IQS IQS los puntos tabulados. IQS • Se sitúan IQS IQS IQS IQS IQS • Con el mayor cuidado se traza la curva que une los puntos representados. IQS En esteIQS IQS IQS IQS IQS caso TODOS los puntos deben estar perfectamente alineados, ya IQS que noIQS IQS IQSSi algún punto IQSse presentaIQS tienen error experimental posible. debe verificarse si está mal calculado IQS desviado, IQS IQS IQS o mal situado. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Ejemplo 2.7 IQS IQS IQS IQS IQS IQS Representar gráficamente la función y = 10 para el intervalo de valores de x IQS comprendido IQSentre 0 y 1,IQS IQS leerse losIQS IQS de forma que puedan valores de ambas con 2 cifras significativas. IQS variablesIQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 0

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS En este IQS IQS IQS caso x = 0 y x IQS = 1, lo cual implica: y = 1 e y = IQS 10. Puesto que se una precisión de IQS 2 cifras significativas en ambas escalas, los módulos IQS impone IQS IQS IQS IQS resultan ser: = 100 mm/unidad IQS IQS mm == 0,5/0,005 IQS IQS IQS IQS 0,5/0,05 = 10 mm/unidad IQS IQS IQS IQS IQS IQS Representando x entre 0 y 1, e y entre 0 y 10, las longitudes de ambas IQS escalas IQS IQS IQS IQS resultan ser de: IQS IQS IQS L = 100(1 IQS– 0) = 100 mm IQS IQS IQS IQS IQS L = 10(10 IQS– 0) = 100 mm IQS IQS IQS función es creciente, no presenta en el IQS intervalo ningún máximo, mínimo ni IQS La IQS IQS IQS IQS punto de inflexión y la ordenada en el origen es 1. IQS Construimos IQSlas escalas sobre IQSpapel milimetrado IQS y tabulamos IQS IQS la función por para ∆x = 0,1 IQS IQS ejemplo IQS IQS IQS IQS IQS x 0,00IQS IQS0,40 0,50 IQS IQS IQS 0,10 0,20 0,30 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00 y 1,000 1,259 1,585 1,995 2,512 3,162 3,981 5,012 6,310 7,943 10,00 IQS IQS IQS IQS IQS IQS visualmente los puntos y los indicamos mediante el símbolo +. IQS Situamos IQS IQS IQS Por último trazamos la curva que pasa porIQS dichos puntos. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 10,0 IQS IQS IQS IQS IQS IQS y 9,0 IQS IQS IQS IQS IQS IQS 8,0 7,0 IQS IQS IQS IQS IQS IQS 6,0 IQS IQS IQS IQS IQS IQS 5,0 IQS IQS IQS IQS IQS IQS 4,0 IQS IQS IQS IQS IQS IQS 3,0 2,0 IQS IQS IQS IQS IQS IQS 1,0 IQS IQS IQS IQS IQS IQS 0,0 IQS IQS0,00 0,10 0,20 IQS IQS IQS IQS 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00 IQS IQS IQS IQS IQSx IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS El resultado ha de ser el que se indica en la anterior figura en la que, por IQS claridad, seIQS IQS IQS IQS IQS ha simplificado la trama milimetrada. IQS IQS IQS IQS IQS IQS 0

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x y

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Este material forma parte del libro: Tomàs, X.; Cuadros, J.; González, L..(2006). Introducción al Cálculo Numérico. Institut Químic de Sarrià. ISBN: 84-611-0645-8.

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS DE UNA TABLA DE DATOS EXPERIMENTALES. IQS PARTIENDO IQS IQS IQS IQS IQS del caso anterior, cuando se trata de representar los valores de IQS A diferencia IQS IQS IQS IQS IQS una tabla de datos experimentales hay que tener presente que dichos datos IQS tienen unIQS IQS IQS IQS IQS cierto error experimental, de modo que cabe esperar que en su IQS representación IQSgráfica no estén IQSperfectamente IQS IQS alineados. IQS IQS Lógicamente, IQS IQS IQS IQS la precisión de las escalas haIQS de ser menor que la de los datos IQS experimentales IQSa representar. IQS IQS IQS IQS presentes estas consideraciones, la secuencia operativa a seguir, IQS Teniendo IQS IQS IQS IQS IQS partiendo de la tabla de valores IQS IQS IQS IQS IQS IQS x x x x … x IQS IQS IQS IQS IQS y y y y IQS … y IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS es la siguiente: IQS IQS IQS IQS IQS de los valores de la tabla se establecen los intervalos [x ; x ] e [y ; IQS • A partirIQS IQS IQS IQS IQS y ] a representar. IQS • En función IQSde la longitudIQS IQS IQS IQS máxima disponible para los ejes y de los intervalos IQS anteriores, IQSo de la precisión IQS de los datos, IQSse determinan IQSlos módulosIQS m y m , para IQS el eje de abscisas y el de ordenadas. IQS cómodos, IQS IQS IQSEn este puntoIQS tener en cuenta que la precisión IQS hay queIQS IQS IQSde las escalas IQSno puede serIQS a la de los datos. IQS superiorIQS IQS IQS IQS IQS • Se verifica que con dichos módulos ambas escalas no sobrepasan las IQS correspondientes IQS longitudes IQSmáximas disponibles. IQS IQS IQS IQS • Se construyen, IQS graduando, IQSrotulando e identificando IQS IQS las dosIQS correctamente x e y. IQS escalasIQS IQS IQS IQS IQS los puntos tabulados. IQS • Se sitúan IQS IQS IQS IQS IQS la línea (recta o curva) que corresponde a la tendencia que indican IQS • Se trazaIQS IQS IQS IQS IQS los puntos, intentando “suavizar” la dispersión debida a los errores IQS experimentales. IQS IQS IQS IQS IQS IQS Se debe tener IQSpresente queIQS IQS perfecta deIQS en este caso laIQS falta de una alineación representados IQS no implica necesariamente de los datos IQS o IQS los puntosIQS IQS un error IQS los puntos. IQS una incorrecta IQSsituación deIQS IQS IQS IQS La presencia de uno o varios puntos “manifiestamente” alejados de la IQS tendenciaIQS IQS IQS IQS IQS indicada por el resto de puntos indica que dichos puntos pueden IQS IQS IQS IQS IQS IQS

2. REPRESENTACIONES GRAFICAS

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS erróneos (“outliers”) se representen, no se tienen en IQS considerarse IQS IQS y, aunqueIQS IQS IQS tendencia. IQS cuenta al trazar IQSla línea de IQS IQS IQS IQS Por último, debe considerarse que la dificultad en la detección de una IQS tendenciaIQS IQS IQS IQS IQS definida por los puntos representados puede ser debida a una IQS incorrectaIQS IQS que hacenIQS IQS selección de los IQS módulos de las escalas que éstas tengan IQS una precisión IQS IQS IQS IQS mayor que laIQS de los datos experimentales. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Ejemplo 2.8 IQS IQS IQS IQS IQS los datos de la siguiente tabla, correspondientes a IQS Representar IQSgráficamenteIQS IQS IQS IQS la diferencia de potencial E (mV) (ε = ± 1 mV) entre los bornes de un tiempos t (s) de IQS descarga. IQS condensador IQSa diferentesIQS IQS IQS 0,0 6,0 7,0 8,0 IQS 10,0 IQS IQSt (s) IQS2,0 4,0 IQS IQS E (mV) 200 104 61 40 52 18 10 IQS IQS IQS IQS IQS IQS que ε = ± 1 mV y ε = ± 0,05 s, los módulos correspondientes resultan IQS Dado IQS IQS IQS IQS IQS ser: 0,5/1 = 0,5 mm/mV (Eje de ordenadas) IQS IQSmm ==0,5/0,05 IQS IQS IQS IQS = 10 mm/s (Eje de abscisas) IQS y las longitudes IQS de dichasIQS IQS IQS IQS escalas: IQS IQS IQS IQS IQS IQS L = 0,5(200 – 0) = 100 mm IQS y IQSL = 10(10,0IQS IQS IQS – 0,0) = 100 mmIQS IQS Construimos IQSlas escalas sobre IQSpapel milimetrado IQS y situamosIQS visualmente losIQS indicándolos mediante el símbolo +, obteniendo el gráfico que se IQS puntos, IQS IQSse ha simplificado IQS la trama IQS muestra IQS en la figura 2.8, en el que, por claridad, IQS milimetrada. IQS IQS IQS IQS IQS último trazamos la curva “suavizada” que corresponde aIQS la tendencia que IQS Por IQS IQS IQS IQS muestran dichos puntos. IQS IQS IQS IQS IQS IQS Observe la ligera dispersión que introducen los valores a 2,0 y 6,0 s, IQS probablemente IQS debida a errores IQS experimentales. IQS IQS IQS IQS ObserveIQS IQSdel punto a IQS IQS también la presencia 7,0 s, notoriamente apartado de laIQS que muestran el resto de puntos. Dado que la situación del punto IQS tendencia IQS IQS IQS es la correcta, esto es una indicación de que probablementeIQS se trate de un IQS anómalo y sería recomendable revisar cómo se ha obtenido IQS punto IQS IQS IQS IQS IQS experimentalmente este valor. este punto se representa, en cuenta al trazar IQS Aunque IQS IQS no se tiene IQS IQSla curva deIQS tendencia. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS E

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E t

E t

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2. REPRESENTACIONES GRAFICAS

IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 200 IQS IQS IQS IQS EIQS (mV) IQS IQS IQS IQS IQS 180 IQS IQS 160 IQS IQS IQS IQS IQS IQS 140 IQS IQS IQS IQS IQS IQS 120 IQS IQS IQS IQS IQS IQS 100 IQS IQS IQS IQS IQS IQS 80 IQS IQS IQS IQS IQS IQS 60 IQS IQS IQS IQS 40 IQS IQS 20 IQS IQS IQS IQS IQS IQS 0 IQS IQS IQS IQS 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 IQS 9,0 10,0 IQS IQS 0,0 1,0IQS IQS IQS t (s) IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Figura 2.8:IQS IQS de un condensador IQS en función IQSdel tiempo deIQS Voltaje entre bornes del mismo: E (mV) vs t (s). IQS descarga IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS RECTIFICACIÓN IQS IQS IQS IQS IQS IQS Hasta aquíIQS IQS IQS realizadasIQS IQS en todas las representaciones gráficas se han utilizado, escalas métricas. Sin embargo, nada IQS para abscisas IQSy ordenadas,IQS IQS IQSimpide utilizarIQS una combinaciónIQS de escala métrica IQS escalas funcionales IQS para ambas IQSvariables oIQS IQS ellas y escala funcional para la otra. IQS para una de IQS IQS IQS IQS IQS De hecho, y como ya se ha mencionado, además del papel milimetrado IQS podemos IQS IQS IQS IQS IQS disponer de papel semilogarítmico, logarítmico, de probabilidad, etc. IQS ya impresos. IQSEn la figura IQS2.12 se presenta IQS una muestra IQS de papelIQS el eje de ordenadas IQS semilogarítmico IQS en el queIQS IQS corresponde IQSa una escalaIQS de tres décadas y el eje de abscisas a una escala métrica. IQS logarítmicaIQS IQS IQS IQS IQS Las razones para utilizar escalas funcionales pueden ser muy diversas. Una de IQS ellas, queIQS IQS IQS IQS IQS es inmediata, es la de poder acomodar el margen de valores a IQS representarIQS IQS IQS IQS a un gráfico deIQS tamaño razonable. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

2. REPRESENTACIONES GRAFICAS

IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Figura 2.11: Papel semilogarítmico de tres décadas. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Introducción al Cálculo Numérico. IQS.

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

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2. REPRESENTACIONES GRAFICAS

IQS IQS IQS IQS IQS IQS la escala logarítmica representar en IQS Por ejemplo, IQS IQS de la figura IQS2.11 permite IQS IQS y sobre papel DIN A4, un intervalo de valores de tres potencias de IQS ordenadasIQS IQS IQS IQS IQS diez, por ejemplo desde y = 1 hasta y = 1000 o desde y = 0,01 hasta 10, con un IQS error relativo IQS IQS IQS IQS IQS de la escala constante. De optar por representar en una escala IQS métrica este IQS IQS IQSbien a unaIQS IQS mismo intervalo de valores obligaría escala de longitud IQS poco práctica IQSo bien a reducir IQSel móduloIQS IQS IQS de la escala con la consiguiente precisión en la lectura IQS pérdida deIQS IQS de la escala. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Sin embargo, la razón principal del uso de escalas funcionales en la IQS construcción IQS IQS IQS IQS IQS de gráficos consiste en la posibilidad de conseguir la rectificación IQS de una función IQSno lineal, esIQS IQS adecuadosIQS decir, medianteIQS los cambios de variable que la función noIQS lineal se transforme IQS conseguir IQS IQSen una recta.IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS En primer lugar la rectificación aporta una ventaja operativa importante, puesto IQS que siempre IQS IQS IQS IQS IQS es más incuestionable detectar una tendencia lineal y trazar una IQS recta que IQS IQS no linealIQS IQSPor la mismaIQS detectar una tendencia y trazar una curva. IQS razón, en IQS IQSde una rectaIQS tal caso resulta IQS más fácil el trazado “suavizada” y IQS la de puntos erróneos. IQS detección IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS En segundo lugar, y sin duda más importante, la rectificación de una tabla de IQS valores (x;IQS IQS IQS IQS IQS y) permite bien confirmar o rechazar la existencia de una IQS determinada IQS IQSconocida (modelo) IQS entre ambas IQS variables, IQS relación funcional o caso de desconocer funcional entreIQS dichas variables IQS bien en elIQS IQS la relaciónIQS IQS Este punto se tratará con mayor IQS poder proponer IQS un determinado IQS modelo. IQS IQS IQS detalle en el capítulo 7. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Como se IQS IQSen transformar, IQSmediante losIQS ha establecido, laIQS rectificación consiste IQS oportunosIQS IQSuna funciónIQS IQS cambios de variable, y = f(x) en una IQS recta Y = A + BX. puede resultar adecuado, sin IQS Para lograrlo, IQScualquier cambio IQS de variable IQS IQS IQS en la práctica, existen una serie de cambios que se presentan con IQS embargo, IQS IQS IQS IQS IQS mucha frecuencia y que se resumen en la siguiente tabla. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

2. REPRESENTACIONES GRAFICAS

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS x Escala de yIQS IQS Función IQS y = f(x)IQS Y = A + BX IQS Escala deIQS + b ln x Logarítmica IQS Potencial IQS y = ax IQS ln y = ln a IQS IQSLogarítmica IQS Exponencial y=ae ln y = ln a + bx Métrica Logarítmica IQS ExponencialIQS IQS IQS IQS inversa y=ae ln y = ln a + b / x De inversos Logarítmica IQS /x y = a + b /IQS x De inversos IQS Hipérbola IQS y = a + bIQS IQSMétrica IQS de la bx) 1 / y = a +IQS bx Métrica IQSDe inversos IQS IQS Recíproca IQS y =1/(a +IQS hipérbola + bx) 1 / y = a / IQS x +b De inversos IQS Michaelis IQS y = x / (aIQS IQSDe inversos IQS ln((1 – y)/y) = Logarítmica IQS Logística IQS y = 1 / (1IQS IQS IQSMétrica IQS +e ) = ln a + bx (1 – y)/y IQS IQS IQS IQS IQS IQS el Ejemplo 2.8IQS en el que se trataba IQS RetomandoIQS IQSde representar IQSlos siguientesIQS bornes de un IQS datos relativos IQS a la diferencia IQS de potencial IQSE (mV) entre IQS IQS en función del tiempo de descarga t (s) IQS condensador IQS IQS IQS IQS IQS 0,0 2,0 4,0 6,0 7,0 8,0 10,0 IQS IQSt (s) IQS IQS IQS IQS E (mV) 200 104 61 40 52 18 10 IQS IQS IQS IQS IQS IQS obtenemos si representamos E (mV) en escala logarítmica (dos IQS veamos qué IQS IQS IQS IQS IQS décadas) y el tiempo t (s) en escala métrica: IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS1000 IQS IQS IQS IQS E (mV) IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 100 IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 10 IQS IQS IQS IQS 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 IQS 9,0 10,0 IQS IQS 0,0 1,0IQS IQS IQS t (s) IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS b

bx

b/x

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS facilidad con que se realiza el trazado que se ajusta a IQS la IQS Observe laIQS IQS IQSde la rectaIQS de los puntos, la dispersión de éstos debida al error experimental y la IQS tendenciaIQS IQS IQS IQS IQS nitidez con la que el punto a 7,0 segundos se manifiesta como anómalo. IQS Por otra IQS IQS IQS IQS IQS parte, el hecho de que al representar los datos en papel IQS semilogarítmico IQSse obtengaIQS IQS una recta indicaIQS que una posibleIQS relación funcional IQS entre ambas IQS IQS IQS variables puede ser del tipo ln IQS E = A +b t con AIQS = ln E (diferencia a t = 0 s) y b IQS = (ln E – ln E )/(tIQS – 0). Por simpleIQS lectura gráfica se IQS de potencial IQS IQS E = 200 mV y, leyendo a t = 10 s, b = (ln 10 – ln 200)/(10,0 – 0,0) IQS obtiene queIQS IQS IQS IQS IQS = – 0,2996 s . IQS Por lo tanto, IQS IQS IQS IQS IQS la ecuación de la recta es ln E = 200 – 0,2996 t que corresponde a IQS la exponencial IQSnegativa E IQS = 200 e , IQS o genéricamenteIQS E=E e en IQS la la diferencia de IQS potencial a tiempo de descarga 0 segundos y k es IQS que E esIQS IQS IQS IQS del condensador y que coincide con el modelo IQS una constante IQSque depende IQS IQS IQS IQS teórico expuesto por la Física para explicar la descarga de un condensador. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS REPRESENTACIÓN, IQS IQS IQSDE MÁS DEIQS EN IQS COORDENADAS CARTESIANAS, IQS DOS VARIABLES. IQS IQS IQS IQS IQS con la definición del sistema de coordenadas cartesiano, la IQS De acuerdo IQS IQS IQS IQS IQS representación de tres o más variables, bien sea partiendo de una tabla IQS experimental IQS IQS IQS IQS IQS o bien de una función y = f(x, z, w, …), requiere un espacio de IQS tres o másIQS IQS IQS con el consiguiente IQS aumentoIQS dimensiones, una para cada variable, IQS de la dificultad IQSen la construcción IQS y la complejidad IQS de interpretación IQS de losIQS ello que en general no se acostumbra a representar IQS gráficos resultantes. IQS Es porIQS IQS IQS IQS en un gráfico más de tres variables. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Como muestra IQSla figura 2.9,IQS IQS IQS mejor dichoIQS la representación en tres dimensiones, IQS la representación IQS de la proyección IQS en dos IQS IQS dimensiones de IQS una figura de tres, visión completa, pero cualitativa, de los datos. IQS Sin embargo, este IQS ofrece unaIQS IQS IQS IQS no acostumbra a ser útil para realizar cálculos; baste IQS tipo de representación IQS IQS IQS IQS IQS para ello considerar las dificultades que presenta simplemente leer las IQS coordenadas IQS IQS IQS IQS IQS (x, y, z) de cualquier punto de dicho gráfico. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 0

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS (X + Y ) − 2 IQS IQS 2.9: GráficoIQS IQSZ = 1 eIQS IQS Figura en 3D de la función 2π IQS Una solución IQS IQS IQS IQS IQS simple y efectiva a este problema consiste en parametrizar una IQS variable seleccionada IQS a criterio IQSdel investigador, IQSes decir darle IQS IQS a dicha variable y representar entonces resultante, que IQS algunos valores IQS concretosIQS IQS la función IQS IQS IQS será una función IQS de dos variables. IQS Este proceso IQSde parametrización IQS también seIQS como representación por cotas o curvas de nivel. IQS conoce IQS IQS IQS IQS IQS Un ejemplo podría ser la construcción de un gráfico para representar la IQS ecuación de IQS IQS IQS atm L K IQS estado de un IQS gas ideal PV = RT, donde R = 0,08206 IQS mol es IQS IQS IQS constante. Se trata por tanto de IQS una función con IQS tres variables, que porIQS ejemplo, dando IQS diferentes valores a la temperatura IQS puede parametrizarse, IQS IQS IQS 300, 400, 500, 600, 700, 800 K. IQS T, por ejemplo, IQST =100, 200, IQS IQS IQS IQS La función resultante a representar será entonces P = (RT )/V en la que el IQS numeradorIQS IQS IQS IQS IQS será, para cada T , una constante. De este modo, para 100 K por IQS ejemplo, laIQS IQSserá P (atm)IQS IQSes decir unaIQS ecuación de estado = (0,08206 100)/V(L), en dos dimensiones. IQS hipérbola fácil IQSde representar IQS IQS IQS IQS 2.10 se muestra esta representación gráfica, el diagrama de estado IQS En la figuraIQS IQS IQS IQS IQS para los valores de temperatura absoluta antes indicados, resultando un IQS ideal, IQS IQS IQS IQS IQS gráfico operativo sobre el que se pueden realizar lecturas y cálculos con una IQS precisión aceptable. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 2.10: Diagrama de estado de un gas ideal, para 100 ≤ T (K) ≤ 800. IQS FiguraIQS IQS IQS IQS IQS IQS La elecciónIQS IQS IQS IQS IQS de la variable a parametrizar es a criterio del investigador según el IQS uso que vaya IQSa hacer delIQS IQSEn el ejemplo IQS IQS gráfico resultante. anterior se ha parametrizar IQS la temperatura IQS por razones de explotación del IQS optado porIQS IQS IQS de estado, pero podría haberse parametrizado tanto la presión como IQS diagrama IQS IQS IQS IQS IQS el volumen. IQS En la figura IQS IQS IQS IQS IQS 2.11 se muestra el gráfico resultante de la parametrización de la IQS función Z IQS IQS IQS IQS IQS exp [ – (X + Y ) / 2 ] seleccionando valores de Z = (2π) IQS comprendidos IQSentre 0,00 y IQS IQS IQS 0,40 a intervalosIQS de Z de 0,05 unidades. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS (X + Y ) IQS IQS IQS IQS IQS − 1 IQS 2 Figura 2.11: Gráfico de la función Z = e para 0,00 ≤ Z ≤ 0,40. 2πIQS IQS IQS IQS IQS IQS

2. REPRESENTACIONES GRAFICAS

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS cada una de IQS las curvas representadas o IQS Observe que IQSen este casoIQS IQS (cotas IQS nivel) corresponde a la proyección sobre el plano XY del lugar IQS curvas deIQS IQS IQS IQS IQS geométrico de todos los puntos para los que la función Z es igual a Z (0; 0,05; IQS 0,10; …; 0,35; IQS0,40) y es equivalente IQS al sistema IQSde representación IQS de alturasIQS IQS del terrenoIQS IQS IQS IQS IQS utilizado en cartografía. IQS Como en IQS IQS IQS de dosIQS el caso de la representación enIQS coordenadas cartesianas con escalas métricas, IQS variables IQS IQS también pueden IQS representarse IQSmás de dosIQS utilizando escalas funcionales, recurriendo también a la IQS variables IQS IQS IQS IQS IQS parametrización de una de las variables. El siguiente ejemplo muestra la IQS utilidad deIQS IQS IQS IQS IQS utilizar en este caso escalas funcionales. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Ejemplo 2.9 IQS IQS IQS IQS IQS IQS Una empresa IQS embotelladora IQS de aguaIQS IQSentre otrosIQS mineral controla, el pH del agua, la alcalinidad A, expresada en ppm de CaCO y IQS parámetros, IQS IQS B, expresada IQS IQS IQS la cantidad de CO libre disuelto en ppm de CO . existente entre estas variables puede expresarse como: IQS La relación IQS IQS  IQS IQS IQS 6  2 , 0 10 A  pH = log  IQS IQS IQS IQS IQS IQS   B   un gráfico que permita cantidad de CO libre disuelto en IQS ConstruirIQS IQS calcular laIQS IQS IQS función de los valores de la alcalinidad y el pH y que cubra los siguientes IQS intervalosIQS IQS IQS IQS IQS de valores: 1 ≤ A ≤ 300 ppm CaCO IQS IQS IQS IQS IQS IQS 1 ≤ B ≤ 1000 ppm CO libre disuelto IQS Sustituyendo IQSen la expresión IQS IQS IQS IQS anterior se obtiene el intervalo de valores de pH que resulta ser: IQS IQS a cubrir,IQS IQS IQS IQS pH mínimo = log (2 10 1/1000) = log (2 10 ) = 3,30 = log (2 10 300/1) = log (6 10 ) =IQS 8,78 IQS IQSpH máximo IQS IQS IQS Decidimos representar la alcalinidad (A) en el eje de abscisas, la cantidad de disuelto (B) en ordenadas IQS CO libreIQS IQS y parametrizar IQS el pH desde IQS3,5 a 7,5 a IQS intervalos de 0,5 unidades de pH. IQS IQS IQS IQS IQS IQS Escalas métricas IQS OPCION: IQS IQS que: IQS IQS Despejando en el modeloIQS la variable B obtenemos IQS IQS IQS B = 2 10 6IQS IQS IQS A pH 10 IQS que unaIQS IQS IQSa una rectaIQS vez fijado un valor de pH, corresponde que pasa por el IQS origen y IQS tiene por pendiente 2 10 /10 . Por tanto hemos de esperar obtenerIQS IQS un IQS IQS IQS haz de rectas que convergen en el origen de coordenadas. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 3

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQSlos módulos IQS IQS En función de la longitud máxima disponible, de las escalas serán: IQSm = 180 / (300 IQS IQS IQS IQS – 0) = 0,6 ⇒ 0,5 mm/ ppm CaCO ⇒ 0,2 mm/ ppm CO libre disueltoIQS IQSm = 280 / (1000 IQS– 0) = 0,28 IQS IQS y las longitudes escalas serán: IQS IQS de ambasIQS IQS IQS IQSL = 0,5 (300IQS IQS IQS – 0) = 150 mm IQS L = 0,2 (1000 – 0) = 200 mm IQS IQS IQS IQS IQS Con esta información construimos, graduamos, rotulamos e identificamos IQS IQS IQS IQS IQS ambas escalas. IQS IQS IQS IQS IQS Por tanteo construiremos la tabla de valores de B a representar: IQS IQS IQS IQS IQS pH A 3,5 4,0 IQS 4,5 5,0 5,5 6,0 6,5 IQS 7,0 7,5 IQS IQS IQS 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 IQS IQS IQS IQS IQS 1 632 2 400 IQS IQS IQS IQS IQS 10 632 40 800 IQS IQS IQS IQS IQS 100 632 200 400 IQS IQS IQS IQS IQS 300 190 60 19 IQS IQS IQS IQS IQS Observe que tratándose de rectas, su trazado requiere simplemente el IQS IQSde dos puntos, IQSy uno de ellos IQS cálculo de las coordenadas siempre es IQS el origen de coordenadas. IQS IQS IQS IQS IQS Al situar los puntos comprobará las dificultades que aparecen en situar correctamente los puntosIQS que definen lasIQS rectas para pHIQS =3,5 y pH = 4,0 IQS IQS dado el módulo seleccionado para el eje de abscisas y también ha de encontrar una cierta dificultad de las rectas anteriores IQS IQSen el trazadoIQS IQS así comoIQS la correspondiente a pH = 7,5. IQSuna recta leIQS IQS Además,IQS cada vez que trace va a resultar más difícil definir IQS la posición del origen y la lectura en la zona de concurrencia, a menos que opte IQS esta zona. IQS IQS IQS IQS por no representar Otra dificultad que aparecerá en el uso del gráfico es la de tener que situar la IQS IQSpH = 4,7 que IQS IQS IQS recta para un pH, por ejemplo no coincide con ninguna de las cotas representadas. ¿Cómo situar correctamente la recta correspondiente? IQS IQS IQS IQS IQS Si se requiere hacerlo con una cierta precisión debe recurrirse al cálculo, si dispone IQS del modelo, de las coordenadas de algunoIQS de sus puntos, IQS IQS IQS representarlo y trazar la recta correspondiente, con las dificultades antes mencionadas. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS ha de ser IQS IQS El gráfico que ha de obtener similar al que se muestra IQS a continuación: IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS A

3

B

2

A B

Introducción al Cálculo Numérico. IQS.

Este material forma parte del libro: Tomàs, X.; Cuadros, J.; González, L..(2006). Introducción al Cálculo Numérico. Institut Químic de Sarrià. ISBN: 84-611-0645-8.

IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

2. REPRESENTACIONES GRAFICAS

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS B (ppm CO ) IQS IQS IQS IQS IQS 1000 IQS IQS IQS IQS IQS IQS800 IQS IQS IQS IQS pH = 3,5 IQS IQS IQS IQS pH = 4,0IQS = 4,5 IQS600 IQS IQS IQS pH IQS pH = 5,0 = 5,5 IQS IQS IQS IQS pH IQS pH = 6,0 IQS400 IQS IQS IQS pH = 6,5IQS = 7,0 IQS IQS IQS IQS pH IQS pH = 7,5 IQS200 IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 0 IQS IQS IQS IQS 200 250 300 IQS 0 50IQS100 150 IQS IQS IQS ) IQS IQS A (ppm CaCO IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS OPCION: Escalas funcionales IQS consiste IQSen realizar IQS IQS Otra posibilidad algún cambio de variable que IQS nos permita rectificar el modelo. Observe que simplemente tomando logaritmos IQS IQS IQS IQS IQS decimales el modelo se transforma en IQS pH = log 2IQS IQS IQS IQS 10 + log A – log B es decir, A + (6,3010 – pH) IQS log B = logIQS IQS IQS IQS (Y) = 1 (X) + (6,3010 – pH) IQS IQS IQS IQS IQS y para cada valor establecido de pH el término (6,3010 – pH) es una IQSPor tanto, representando IQS IQS constante. A IQS y B en escalas IQS logarítmicas se va a obtener un conjunto de rectas paralelas, con pendiente unidad y separadas IQS IQS a (6,3010 IQS– pH). IQS IQS entre sí por un factor proporcional IQS IQS IQS IQS IQS Dado el margen de valores a representar podemos seleccionar las siguientes escalas logarítmicas: IQS IQS IQS IQS IQS Eje deIQS ordenadas: 1 ≤IQS B ≤ 1000 (4 décadas) módulo = 100 IQS mm IQS IQS Eje de abscisas: 1 ≤ A ≤ 300 (4 décadas) módulo = 50 mm IQS IQS IQS IQS IQS y a continuación construimos, graduamos, rotulamos e identificamos ambas IQS IQS IQS IQS escalas logarítmicas. IQS IQS IQS IQS IQS IQS 2

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Introducción al Cálculo Numérico. IQS.

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

2. REPRESENTACIONES GRAFICAS

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Para situar las rectas han de calcularse algunos puntos puesto que no es posible representar en escalas logarítmicas (0; 0). Por tanto, IQS IQS IQS el origenIQS IQS partiendo de A = 1 se llega a la siguiente tabla: IQS IQS IQS IQS IQS pH IQS IQS4,5 5,0 IQS IQS A 3,5 4,0 5,5 6,0 6,5 IQS 7,0 7,5 1 632 200 63 6 IQS IQS 20 IQS IQS IQS 1,5 949 2 400 IQS IQS632 IQS20 IQS IQS 10 40 25 IQS IQS IQS 800 IQS IQS 100 632 20 IQS IQS IQS400 IQS 13 IQS 200 300 190 60 19 IQS IQS IQS IQS IQS A continuación se sitúan los puntos en laIQS gráfica y se trazan las rectas, con lo IQS IQS IQS IQS que se obtiene el siguiente gráfico IQS IQS IQS IQS IQS B (ppm CO ) IQS IQS IQS IQS IQS 1000 IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS pH = 3,5IQS IQS IQS IQS IQS pH = 4,0IQS 100 pH = 4,5 IQS IQS IQS IQS pH = 5,0IQS = 5,5 IQS IQS IQS IQS pH IQS pH = 6,0 IQS IQS IQS IQS pH = 6,5IQS = 7,0 IQS10 IQS IQS IQS pH IQS pH = 7,5 IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 1 IQS IQS IQS IQS 100 1000 IQS 1 IQS10 IQS IQS IQS ) IQS IQSA (ppm CaCO IQS IQS IQS IQS IQS un conjuntoIQS IQScon pendiente IQS Observe que hemos obtenido de rectas paralelas unidad y equiespaciadas. En este caso, para un valor de pH no representado resultaIQS sencillo trazar laIQS correspondienteIQS recta, paralela aIQS las anteriores. IQS Además han desaparecido los problemas de trazado debidos a las elevadas IQSde las rectasIQS IQSde las mismas. IQS IQS pendientes y a la convergencia IQS IQS IQS IQS IQS 2

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

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α

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2. REPRESENTACIONES GRAFICAS

IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 2.9 Coordenadas IQS polares. IQS IQS IQS IQS El sistema de coordenadas polares, a diferencia del cartesiano, establece como IQS referencias,IQS IQS IQS IQS IQS en dos dimensiones, un punto (O) del plano llamado polo y una IQS semi-rectaIQS IQSque aunqueIQS IQS con origen en IQS el polo, el eje polar generalmente se IQS representaIQS IQSeste eje seIQS horizontal no IQS necesariamente IQS ha de serlo y sobre la escala correspondiente. IQS construye IQS IQS IQS IQS IQS de cualquier punto (P) en este sistema de coordenadas queda IQS La posiciónIQS IQS IQS IQS IQS definida por su distancia (R) al polo y el ángulo (α) respecto al eje polar. Por lo IQS tanto, tal IQS IQS IQS IQS IQS como muestra la figura 2.13, en este sistema las coordenadas del IQS punto P serán IQS(R, α). IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS P IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS R IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS O IQS IQS IQS 2 IQS 3 IQS IQS 0 1 4 IQS IQS IQS IQS IQS IQS Figura 2.13: Sistema de coordenadas polares. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS A diferencia IQS IQS cartesianas, IQScada puntoIQS IQS de las coordenadas representado en IQS coordenadas IQS IQS puesto queIQS IQS polares tieneIQS infinitas coordenadas P (R, α + 2π n) ±1, ±2, … resulta ser siempre el IQS mismo punto. IQS IQS para n = 0,IQS IQS IQS de este tipo de coordenadas es la de presentar, IQS Otra propiedad IQSinteresanteIQS IQS IQS IQS entre otras, algunas simetrías interesantes, como son: IQS Los puntosIQS IQS IQS IQS IQS (R, α) y (R, – α) ≡ (– R, π – α) son simétricos respecto al eje polar. IQS Los puntosIQS IQS IQS IQS IQS (R, α) y (– R, α) ≡ (R, π + α) son simétricos respecto al polo. IQS Los puntosIQS IQS IQSa la recta αIQS (R, α) y (R, π – IQS α) ≡ (– R, – α) son simétricos respecto = IQS π/2 (perpendicular IQS al eje polar IQS IQS IQS en el polo). IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

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2. REPRESENTACIONES GRAFICAS

IQS IQS IQS IQS IQS IQS de coordenadas polares se acostumbra para representar IQS El sistemaIQS IQS IQS a utilizarIQS IQS vectoriales dadoIQS que R corresponde del vector y α IQS al IQS variables IQS IQSal módulo IQS director o de aplicación. IQS ángulo IQS IQS IQS IQS IQS Otra aplicación de las coordenadas polares corresponde al caso en que una de IQS las variables IQS IQS IQS IQS IQS a representar sea cíclica, es decir se considera que la variable se IQS reinicia a IQS IQS valor. TalIQS IQS IQS partir de un determinado sería el caso, por ejemplo, de los IQS valores horarios IQS de la dirección IQS del viento, IQSdonde el valor IQS24 horas seIQS equivalente de nuevo a 0 horas, o de la dirección, en cuyo caso IQS consideraría IQS IQS IQS IQS IQS 360º es de nuevo la dirección 0º, es decir Norte. Los valores de tiempo o IQS dirección IQS IQS IQS IQS IQS se corresponderían al ángulo α y la otra variable se representaría IQS como distancia IQS R al polo.IQS IQS los gráficos IQS IQS En algunos casos resultantes se IQS denominanIQS IQS IQS del viento,IQS gráficos radiales, circulares o enIQS el caso de la dirección vientos (En este caso el eje polar es vertical y el IQS sentido del ángulo IQS rosa de losIQS IQS IQS IQS de las agujas del reloj). IQS contrario alIQS IQS IQS IQS IQS La figura 2.14 muestra la rosa de los vientos durante el invierno de 2002 en IQS Vallcebre IQS IQS IQS IQS IQS (Barcelona), observándose que las direcciones dominantes son de E IQS a O y de NIQS IQS IQS IQS IQS a S. IQS IQSInvierno 2002:IQS IQS IQS IQS Dirección del viento IQS IQS IQS N IQS IQS IQS 0,0 40 IQS IQS IQS IQS IQS IQS 337,5 22,5 IQS IQS 315,0 IQS 30 IQS 45,0 IQS IQS IQS IQS IQS 20 IQS IQS IQS 292,5 67,5 IQS IQS IQS 10 IQS IQS IQS IQS IQS IQS 0 IQS IQS IQS 90,0 E O 270,0 IQS IQS IQS IQS IQS IQS 112,5 IQS IQS247,5 IQS IQS IQS IQS IQS IQS 225,0 IQS IQS 135,0 IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 202,5 157,5 IQS IQS IQS 180,0 IQS IQS IQS IQS IQS IQS S IQS IQS IQS IQS Figura 2.14: IQSRosa de los IQS IQS vientos de Vallcebre (Barcelona). IQS Invierno de 2002.IQS

2. REPRESENTACIONES GRAFICAS

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS CON LAS COORDENADAS CARTESIANAS IQS RELACIONIQS IQS IQS IQS IQS Si el eje polar coincide con el eje de abscisas positivo del sistema cartesiano, IQS resulta inmediato IQS que las IQS IQS IQS IQS coordenadas polares (R, α) de un punto P y las IQS coordenadas IQS IQS IQS IQS IQS cartesianas (x, y) del mismo punto se relacionan mediante las IQS ecuaciones: IQS IQS IQS IQS IQS Cartesianas IQS IQSPolares a cartesianas IQS IQS a polares IQS IQS R = x + y IQS cos α IQS IQS x = R IQS IQS IQS sen α tg α = y/x IQS IQS y = R IQS IQS IQS IQS IQS Caso de IQS IQS IQS IQS IQS no disponer de papel milimetrado circular y recurrir a papel IQS milimetradoIQS IQS IQS convencional IQS se presenta la IQS dificultad de situar, de una forma IQS cómoda yIQS IQS IQSaceptable. EsIQS IQS sencilla, ángulos con una precisión por ello que las anteriores resultan para representar IQS relacionesIQS IQS muy útilesIQS IQSgráficos enIQS polares sobre papel milimetrado normal, tal como se muestra en IQS coordenadas IQS IQS IQS IQS IQS los ejemplos 2.10 y 2.11. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Ejemplo 2.10 IQS IQS IQS IQS IQS IQS Las representaciones IQS IQSde las ecuaciones IQS de la formaIQS gráficas R = a ± b cos αIQS a ± b sen α siendo a y b positivos, se denominan limaçons. IQS yEnRel= caso IQS IQS IQS IQS dada la IQS particular en que a = b la gráfica se denomina cardioide, de la curva resultante. IQS forma IQS IQS IQS IQS IQS Vamos a construir la gráfica de la cardioide R = 3 – 3 sen α en el intervalo 0 ≤ IQS α ≤ 2π. IQS IQS IQS IQS IQS En primer lugar tabularemos la función en el intervalo indicado a ∆α = 0,2 rad IQS y determinaremos IQS las correspondientes IQS IQS cartesianas: IQS x = R cos IQS coordenadas α = R sen α. IQS eEsy inmediato IQSque para α IQS IQS = 0 y α = 2π, R = IQS 3,000, x = 3,000 IQS e y = 0,000 IQS IQSR IQS y IQSR IQS y IQS x x α α 0,2 2,404 2,356 0,575 – 0,338 IQS IQS IQS 0,478 2,2IQS IQS 0,464 IQS 0,4 1,832 1,687 0,713 2,4 0,974 – 0,718 0,658 IQS IQS IQS IQS IQS IQS 0,6 1,306 1,078 0,737 2,6 1,453 – 1,245 0,749 0,8 0,848 0,591 0,608 2,8 1,995 – 1,880 0,668 IQS IQS IQS IQS IQS IQS 1,0 0,476 0,257 0,400 3,0 2,577 – 2,551 0,364 1,2 0,204 0,074 3,2 3,175 – 3,170 IQS IQS IQS 0,190 IQS IQS– 0,185 IQS 1,4 0,044 0,007 0,043 3,4 3,767 – 3,642 – 0,963 1,6 0,001 0,000 4,328 – 3,881 IQS IQS IQS 0,001 3,6IQS IQS– 1.915 IQS 1,8 0,078 – 0,018 0,076 3,8 4,836 – 3,825 – 2,959 IQS IQS IQS 0,247 4,0IQS IQS– 3,989 IQS 2,0 0,272 – 0,113 5,270 – 3,445 2

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS R x y R x y α α IQS IQS IQS IQS IQS IQS 4,2 5,615 – 2,753 – 4,894 5,4 5,318 3,375 – 4.110 4,4 5,855 – 1,799 4,894 3,795 IQS IQS IQS– 5,571 5,6IQS IQS– 3,089 IQS 4,6 5,981 – 0,671 – 5,943 5,8 4,394 3,891 – 2,041 IQS IQS IQS IQS IQS– 1,072 IQS 4,8 5,988 0,524 – 5,966 6,0 3,838 3,685 5,0 5,877 1,667 – 5,635 6,2 3,249 3,238 – 0,270 IQS IQS IQS IQS IQS IQS 5,2 5,650 2,647 – 4,992 IQS Representando IQS ahora en IQS IQS IQS IQS papel milimetrado los puntos con coordenadas (x, y), se obtiene la siguiente gráfica: IQS cartesianas IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 1,0 IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS x 0,0 IQS IQS IQS IQS IQS 4,0 IQS -4,0 -3,0 -2,0 -1,0 0,0 1,0 2,0 3,0 IQS IQS IQS-1,0 IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS -2,0 IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS-3,0 IQS IQS IQS IQS IQS IQS-4,0 IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS-5,0 IQS IQS IQS IQS IQS IQS-6,0 IQS IQS IQS IQS IQS IQS y IQS IQS IQS justifica la denominación. IQS cuya forma IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Ejemplo 2.11 IQS IQS IQS IQS IQS IQS Las representaciones IQS IQSde las ecuaciones IQS de la formaIQS gráficas R = ± a cos 2αIQS a sen 2α se denominan lemniscatas o lemniscatas de Bernoulli. IQS y R = ±IQS IQS IQS IQS IQS la gráfica de laIQS lemniscata R =IQS 8 cos 2α en el intervalo . IQS ConstruyaIQS IQS 0 ≤ α ≤ 2πIQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

2. REPRESENTACIONES GRAFICAS

IQS IQS IQS IQS IQS R = (8 cosIQS Como enIQS el caso anteriorIQS tabularemos la función 2α) a incrementos de α de 0,1 rad y calcularemos las coordenadas cartesianas IQS IQS IQS IQS correspondientes teniendo presente que existirán valores negativos del radicando. IQS IQS IQS IQS Es inmediato = 0 y α = 2π, R = IQS 8 , x = 8 e y IQS = 0,000 IQSque para α IQS x IQS y x IQS y αIQSR αIQSR 0,1 2,800 2,786 0,280 3,3 2,757 – 2,723 – 0,435 IQS IQS IQS IQS 0,2 2,715 2,660 0,539 3,4 2,637 – 2,550 – 0,674 0,3 2,570 2,455 0,759 3,5 2,456 – 2,300 – 0,861 IQS IQS IQS IQS 0,4 2,361 2,175 0,919 3,6 2,206 – 1,978 – 0,976 0,5 2,079 1,825 1,873 – 1,589 IQS IQS 0,997 3,7IQS IQS– 0,992 0,6 1,703 1,405 0,961 3,8 1,418 – 1,121 – 0,868 IQS IQS 0,751 3,9IQS IQS– 0,452 0,7 1,166 0,892 0,657 – 0,477 2,4 0,837 – 0,617 5,5 0,188 0,133 – 0,133 IQS IQS 0,565 IQS IQS 2,5 1,506 – 1,207 0,902 5,6 1,274 0,988 – 0,805 2,6 1,936 – 1,659 0,998 5,7 1,774 1,481 – 0,977 IQS IQS IQS IQS 2,7 2,253 – 2,037 0,963 5,8 2,132 1,888 – 0,991 IQS IQS 0,834 5,9IQS IQS– 0,898 2,8 2,491 – 2,347 2,401 2,227 2,9 2,662 – 2,584 6,0 2,598 2,495 – 0,726 IQS IQS 0,637 IQS IQS– 0,498 3,0 2,772 – 2,744 0,391 6,1 2,733 2,687 3,1 2,824 – 2,821 0,117 6,2 2,809 2,799 – 0,233 IQS IQS IQS IQS 3,2 2,819 – 2,814 – 0,165 IQS IQS IQS IQS Representando ahora en papel milimetrado los puntos con coordenadas cartesianas (x, y), se obtiene la siguiente gráfica: IQS IQS IQS IQS IQS IQS 2 IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 1 IQS IQS IQS IQS IQS IQS 0 x IQS IQS IQS IQS -4 -2 0 2 4 IQS IQS -1 IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS -2 IQS IQS IQS IQS y IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 1/2

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS EN IQS COORDENADAS POLARES, DE MÁS DE DOS IQS REPRESENTACIÓN, IQS IQS IQS IQS COORDENADAS CILINDRICAS Y ESFERICAS. IQS VARIABLES: IQS IQS IQS IQS IQS Igual que en el sistema de coordenadas cartesiano, la representación de tres o IQS más variables IQSen coordenadas IQS polares, IQS IQS IQS bien sea partiendo de una tabla IQS experimental IQS IQS IQS IQS o bien de una función z = f(x,IQS y, w, …), requiere un espacio de IQS tres o másIQS IQS IQS IQS dimensiones. IQS de tres variablesIQS (x, y, z), el sistema de coordenadas polares es la IQS IQS En el casoIQS IQS IQS dos sistemas de coordenadas en tres dimensiones: el sistema de IQS base paraIQS IQS IQS IQS IQS coordenadas cilíndricas y el sistema de coordenadas esféricas. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 2.9.1 Coordenadas IQS Cilíndricas IQS IQS IQS IQS de coordenadasIQS cilíndricas establece ) IQS El sistemaIQS IQSlas coordenadas IQSpolares (R, αIQS las coordenadas x e y en el plano. La coordenadaIQS z es la misma IQS IQS en lugar deIQS IQS IQS eje perpendicular al plano (x, y), IQS que en coordenadas IQS cartesianas, IQS es decir unIQS IQS IQS procurándose, por regla general, que R ≥ 0. IQS Según esteIQS IQS IQS IQS IQS sistema las coordenadas de un punto P cualquiera serán (R, α, z), IQS manteniendo IQS IQS significadoIQS IQS IQS R y α el mismo que en el caso del sistema de IQS coordenadas IQS IQS IQS IQS IQS polares. z) en coordenadas 2.15 se muestra la situación delIQS punto P (R, α, IQS IQS En la figuraIQS IQS IQS IQS cilíndricas.IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS z IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS P IQS y IQS IQS IQS IQS IQS IQS z IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS R IQS IQS IQS IQS IQS IQS α IQS IQS IQS IQS IQS IQS x IQS IQS IQS IQS IQS IQS Sistema de coordenadas IQS IQSFigura 2.15:IQS IQS cilíndricas. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

2. REPRESENTACIONES GRAFICAS

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS coincide con el IQS origen del sistema cartesiano y IQS el eje polar con IQS el IQS Si el poloIQS IQS abscisas positivo cartesiano, resulta inmediato que las coordenadas IQS semieje deIQS IQS IQS IQS IQS (R, α, z) de un punto P y las coordenadas cartesianas (x, y, z) del IQS cilíndricas IQS IQS IQS IQS IQS mismo punto se relacionan mediante las ecuaciones: IQS IQS IQS IQS IQS IQS Cilíndricas a cartesianas Cartesianas a cilíndricas IQS IQS x = R cos IQS IQS IQS R = x + y IQS α IQS IQS y = R sen IQS IQStg α = y/x IQS IQS α z = zIQS IQS IQS IQS z = z IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 2.9.2 Coordenadas Esféricas IQS Otra posibilidad, IQS que va a dar IQS IQS IQS IQS lugar al sistema de coordenadas esféricas, es la IQS de establecer IQScomo coordenadas IQS de un P (R, IQS α, β) donde RIQS es la distancia IQS al coordenadas, αIQS es el ángulo polar asociado a laIQS proyección de IQS P IQS origen deIQS IQS y β es el ángulo entre el eje zIQS y el segmento de IQS sobre el plano IQSxy (longitud),IQS IQS IQS se muestra en la figura 2.16. IQS recta OP (colatitud), IQS tal como IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS z IQS IQS IQS IQS IQS P IQS y IQS IQS IQSR IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS β IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS α O IQS x IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQSFigura 2.16:IQS IQS esféricas. IQS IQS Sistema de coordenadas IQS IQS IQS IQS IQS IQS del sistema de coordenadas esféricas coincide con el origen del eje IQS Si el origenIQS IQS IQS IQS IQS de abscisas positivo del sistema cartesiano, resulta inmediato que las IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 2

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS esféricas (R, IQS α, β) de un punto P y las coordenadas IQS coordenadas IQS IQS IQS cartesianasIQS mismo punto seIQS relacionan mediante IQS (x, y, z) delIQS IQSlas ecuaciones: IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Esféricas a cartesianas Cartesianas a esféricas IQS IQSx = R cos αIQS IQS IQS IQS R =x +y +z sen β IQS IQSy = R sen αIQS IQStg α = y/x IQS IQS sen β IQS IQS IQS IQS IQS z IQS cos β = β IQS IQS z = R cos IQS IQS x 2 + y 2 IQS + z2 IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS los geógrafos IQS y navegantes utilizan IQS Como ya debe IQShaber intuido, IQS IQSun sistema deIQS relacionado con las coordenadas esféricas, el IQS coordenadas IQSíntimamenteIQS IQS IQS IQS sistema basado en la longitud y la latitud. Considerando que la Tierra es una IQS esfera conIQS IQS IQS IQS IQS centro en el origen de coordenadas, que el eje z positivo pasa por el IQS Polo NorteIQS IQS pasa porIQS IQS y que el eje x positivo el meridiano deIQS Greenwich (en su a la altura del Ecuador radio medio de IQS la IQS recorrido sobre IQSel Atlántico)IQS IQS y que elIQS de 6371 km, es posible calcular la menor distancia entre dos puntos IQS Tierra es IQS IQS IQS IQS IQS cualesquiera, situados a nivel del mar, y que corresponde a un arco del círculo IQS máximo que IQS IQS IQS IQS IQS pasa por ellos. Obviamente los cálculos requieren una buena IQS precisión en IQS IQS IQS IQS IQS la determinación de las longitudes y las latitudes y una corrección IQS debida a laIQS IQS IQS IQS IQS no constancia del radio de la Tierra al variar la latitud. se muestra el cálculo IQS En los ejemplos IQSsiguientes IQS IQSde dos distancias IQSmínimas. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Ejemplo 2.12 IQS IQS IQS IQS IQS IQS Se desea determinar la distancia mínima entre el aeropuerto Charles de IQS Gaulle en IQS IQS internacional IQS de Calcuta IQSsabiendo susIQS París y el aeropuerto coordenadas geográficas y admitiendo que el radio medio de la Tierra es de IQS 6371 km.IQS IQS Coordenadas: IQS IQS IQS Latitud Longitud IQS IQS PARIS (CDG) IQS 49º00,58’ IQS IQS IQS N 02º32,87’ E (CCU) 22º39,18’ N 88º26,95’IQS E IQS IQS CALCUTAIQS IQS IQS que los ángulosIQS están expresados en grados, minutos IQS ObserveIQS IQS IQSy centésimasIQS de minuto. IQS Estas coordenadas IQS en grados IQScon formatoIQS IQSa: IQS decimal corresponden IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 2

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Latitud Longitud IQS IQS PARIS (CDG) IQS 49,00967º IQS IQS IQS N 2,54783º E (CCU) 22,65300º N 88,44917º E IQS IQS CALCUTAIQS IQS IQS IQS N para París yIQS 67,34700º N para Calcuta. A IQS Y las colatitudes, IQS 40,99033º IQS IQS IQS continuación, expresando los ángulos α y β correspondientes en radianes, las IQS coordenadas IQSesféricas deIQS IQS IQS París y Calcuta IQS resultan ser: IQS IQS IQSR (km) IQS IQS IQS α β PARISIQS6371 0,044468 0,715416 IQS IQS CALCUTA IQS IQS IQS 6371 1,543729 1,175427 IQS IQS IQS IQS IQS IQS que mediante las ecuaciones de transferencia conducen a las siguientes IQS coordenadas IQScartesianas:IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS x IQSy IQS IQS z PARIS P 4174,8095 185,7680 4808,9601 IQS IQS IQS IQS IQS IQS CALCUTA C 159,1217 5877,3514 2453,7852 IQS IQS IQS IQS IQS IQS El coseno del ángulo (γ) que forman los vectores OP y OC resulta ser: IQS IQS IQS IQS IQS IQS (OP)(OC)/(|OP| |OC|) =(x x + y y + z z ) / R = 0,3340 IQS cos γ = IQS IQS IQS IQS IQS γ = acos(0,3340) = 1,2303 radianes. IQS y el ángulo IQS IQS IQS IQS IQS lo tanto, la distancia según el círculo máximo entre ambos aeropuertos IQS IQS Por IQS IQS IQS IQS es: IQS IQS IQS IQS IQS IQS D = R γ = 7838,0 km. IQS IQS IQS IQS IQS IQS que tener presente que debería introducirse una corrección a esta IQS Hay IQSla variaciónIQS IQSdesde ParísIQS distanciaIQS que tuviera en cuenta del radio de la Tierra IQS a Calcuta.IQS IQS IQS IQS IQS todo, la distancia según las cartas de IQS navegación utilizadas IQS Con IQS IQS IQSpor los IQS pilotos de aviación (ICAO), y basadas en mediciones realizadas por satélite establecen es de 7834,4 km, IQS (GPS) IQS que la distancia IQS entre ambos IQSaeropuertosIQS IQS con lo que podemos considerar que el cálculo constituye una buena de la distancia (εIQS = 3,6 km ; e =IQS 0,046%). IQS aproximación IQSal valor realIQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS continuación otro caso de cálculo de la distancia entre dos puntos de IQS Veamos aIQS IQS IQS IQS IQS la superficie terrestre algo más complejo. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Ejemplo 2.13 IQS IQS IQS IQS IQS el ejemplo anterior, se desea determinar mínima entre IQS IQS Como enIQS IQS IQS la distancia IQS el aeropuerto de El Prat en Barcelona y el aeropuerto Benito Juárez de IQS México DF IQS IQS y admitiendo IQSque el radioIQS sabiendo sus IQS coordenadas geográficas de la Tierra es de 6371 km. IQS medio IQS IQS IQS IQS IQS Coordenadas: IQS IQS IQS IQS Longitud IQS IQS Latitud (BCN) 41º17,82’ N 02º04,71’ E IQS IQSBARCELONA IQS IQS IQS IQS MEXICO DF (MEX) 19º26,18’ N 99º04,33’ W IQS IQS IQS IQS IQS IQS Estas coordenadas en grados con formato decimal corresponden a: IQS IQS IQS IQS IQS IQS Latitud Longitud IQS IQSBARCELONA IQS IQS IQS IQS (BCN) 41,29700º N 2,07850º E (MEX) 19,43633º W IQS IQSMEXICO DFIQS IQSN 99,07217º IQS IQS N para Barcelona y 70,56367º IQS N para México IQS IQS Y las colatitudes, IQS 48,70300º IQS IQS DF. A continuación, expresando los ángulos α y β correspondientes en IQS radianesIQS IQSque MéxicoIQS IQS y teniendo en cuenta DF se encuentraIQS al Oeste del de Greenwich y Barcelona al Este, las coordenadas esféricas de IQS meridiano IQS IQS ser: IQS IQS IQS Barcelona y México DF resultan IQS IQS IQSR (km) IQS IQS IQS α β 0,850028 IQS IQSBARCELONA IQS 6371 0,036277 IQS IQS IQS MEXICO DF 6371 1,231568 − 1,729136 IQS IQS IQS IQS IQS IQS mediante las ecuaciones de transferencia conducen a las siguientes IQS que IQScartesianas:IQS IQS IQS IQS coordenadas IQS IQS IQS x IQS y IQS IQS z BARCELONA IQS B 4783,3748 IQS 173,6011 IQS 4204,6200 IQS IQS IQS MEXICO DF M − 947,3208 − 5932,7724 2120,0085 IQS IQS IQS IQS IQS IQS del ángulo (γ) que forman los vectores OB y OM resulta ser: IQS El cosenoIQS IQS IQS IQS IQS (OB)(OM)/(|OB| |OM|) =(x x + y y + z z ) / R = 0,08260 IQS cos γ = IQS IQS IQS IQS IQS γ = acos(0,08260) IQS y el ángulo IQS IQS= 1,4881 radianes. IQS IQS IQS la distancia según aeropuertos IQS IQS Por lo tanto, IQS IQSel círculo máximo IQS entre ambos IQS es: IQS IQS IQS IQS IQS IQS D = R γ = 9480,7 km. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS TambiénIQS IQS IQSesta distanciaIQS en este caso sería necesario corregir teniendo en IQS variación del radio de la Tierra desde Barcelona a México DF. IQS cuenta laIQS IQS IQS IQS IQS obstante, la distancia según las cartas de navegación utilizadas por los IQS No IQS IQS IQS IQS IQS pilotos de aviación (ICAO), y basadas en mediciones realizadas por satélite establecen es de 9478,6 km, IQS (GPS) IQS que la distancia IQS entre ambos IQSaeropuertosIQS IQS con lo que podemos considerar que el cálculo constituye una buena de la distancia (εIQS = 2,1 km ; e =IQS 0,022%). IQS aproximación IQSal valor realIQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 2.10 Coordenadas IQS triangulares. IQS IQS IQS IQS El sistema de coordenadas triangulares permite la representación de una IQS función wIQS IQS IQS IQS IQS = f(x, y, z) en el plano, siempre que se cumpla que x + y + z = k, IQS siendo k una IQS IQS IQS IQS constante. IQS aplicación es IQS la representación gráfica de unaIQS propiedad (w) de IQS Su principal IQS IQS IQS ternaria en función de su composición x, y, z (proporciones de cada IQS una mezclaIQS IQS IQS IQS IQS componente de la mezcla). Obviamente si la mezcla está formada IQS exclusivamente IQSpor los tresIQS IQS IQS IQS componentes, x + y + z = 1 (o a 100 si se expresa IQS en porcentaje); IQSen el caso IQS IQScomponentesIQS de que exista unaIQS “carga” (otro u otros IQS en proporción IQS IQS IQS total constante e igual a 1 – k)IQS se cumplirá queIQS x + y + z = k. el sistema de coordenadas triangulares IQS Como muestra IQSla figura 2.17, IQS IQS IQS (diagramaIQS establece tres ejes (x, y, z) dispuestos en forma de triángulo IQS triangular)IQS IQS IQS IQS IQS equilátero (o también en ocasiones un triángulo rectángulo) sobre los que se IQS construyenIQS IQS IQS IQS IQS las escalas correspondientes a las tres variables mencionadas. La IQS variable dependiente IQS w se representa IQS por cotas IQS IQS IQS o curvas de nivel. posible representar del tipo w = f(x,IQS y, z, t) (mezclas IQS También es IQS IQS funciones IQS IQS de coordenadas corresponde en tal caso a un IQS cuaternarias). IQSEl sistema IQS IQS IQS IQS tetraedro, aunque para una representación útil se recurre a representarla en IQS coordenadas IQS IQS IQS IQS IQS triangulares en dos dimensiones, parametrizando una de las IQS variables, IQS IQS IQS IQS triangular.IQS por ejemplo t, y construyendo el correspondiente diagrama IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS CONSTRUCCION IQS DE UN DIAGRAMA IQS TRIANGULAR IQS IQS IQS considerar, por simplicidad, que x + y + z = 1 y que cada variable IQS Vamos a IQS IQS IQS IQS IQS puede tomar valores comprendidos entre 0 y 1. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Introducción al Cálculo Numérico. IQS.

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Sistema de coordenadas triangular. IQS IQSFigura 2.17:IQS IQS IQS IQS IQS DISPOSICION IQSDE LOS EJES IQS IQS IQS IQS IQS El primer IQS IQS del diagrama IQS consisteIQS paso en la construcción en establecer IQS la de los ejes. IQS disposiciónIQS IQS IQS IQS IQS se sitúa sobre cada lado del triángulo una variable, se establece el IQS Para ello IQS IQS IQS IQS IQS sentido según el que crecerán las escalas y se construyen éstas, graduándolas IQS y rotulándolas IQSde forma queIQS IQS IQS IQS resulten inequívocas (figura 2.18). IQS IQS IQS IQS IQS IQS DE UN PUNTO A DE COORDENADAS IQS SITUACION IQS IQS IQS (X, Y, Z)IQS IQS que desea situarIQS el punto A de coordenadas (0,25; 0,50; 0,25). En IQS Suponga IQS IQS IQS IQS primer lugar (vea la figura 2.18) debe identificar los ejes y el sentido en que IQS crecen, queIQS IQS IQS IQS IQS en este caso es en sentido horario. IQS A continuación IQSdebe situarIQS IQS la coordenada IQS X = 0,25 sobre IQS el eje X, Y = 0,50 IQS sobre el ejeIQS IQS de las tresIQS Y, y por últimoIQS Z = 0,25 sobre IQS el eje Z. La intersección del triángulo le sitúa IQS rectas paralelas IQSa los ladosIQS IQSel punto A (0,25; IQS0,50; 0,25). IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 2.18: Coordenadas triangulares, situación del punto A(0,25; 0,50; 0,25) IQS Figura IQS IQS IQS IQS IQS y lectura de las coordenadas del punto B. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS LECTURAIQS IQS DE UNIQS IQS IQS DE LAS COORDENADAS PUNTO B B por ejemplo, debe trazar una IQS Para obtener IQSlas coordenadas IQSde un punto,IQS IQS IQS al eje de X paralela al eje Y en el sentido que aumenta este eje, otra IQS línea de BIQS IQS IQS IQS IQS línea de B al eje Y paralela y en el sentido en que aumenta el eje Z, y una IQS última líneaIQS IQS IQS IQS IQS de B al eje Z, paralela y en el mismo sentido al eje X. De esta IQS forma, obtiene IQSque las coordenadas IQS del punto IQSB en la figura IQS IQS 2.18 son (0,10; IQS 0,20; 0,70).IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS REPRESENTACION DE UNA FUNCION W = f(X, Y, Z) O UNA TABLA DE IQS DATOS EXPERIMENTALES IQS IQS IQS IQS IQS EN COORDENADAS TRIANGULARES IQS La representación IQS en un diagrama IQS triangular IQS IQS IQS de una función o una tabla de IQS datos W IQS IQSparametrizar IQS IQS = f(X, Y, Z) requiere los valores de W y realizar IQS la o curvas de nivel correspondientes. IQS representación IQSde las cotasIQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS de tablas de datos la dificultad de obtener valores IQS En el casoIQS IQSexperimentales, IQS IQS IQS para W = constante hace que, por lo general se recurra al ajuste de IQS de X, Y, ZIQS IQS IQS IQS IQS un modelo empírico lineal, cuadrático o cúbico, a partir del que se obtienen las IQS diferentesIQS IQS IQS IQS IQS cotas y se procede a su representación. IQS Dado queIQS IQS el conocimiento IQSde las basesIQS el procedimientoIQS no es trivial y requiere IQS estadísticasIQS IQS aquí la secuencia IQS operativaIQS del ajuste de IQS modelos no se expone cómo realizar IQS dicho ajuste y IQS parametrización.IQS Sin embargo, IQS la IQS relativa aIQS e interpretación de este tipo de gráficos es de gran utilidad práctica y IQS utilizaciónIQS IQS IQS IQS IQS es por ello por lo que a continuación se incluye el siguiente ejemplo. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Ejemplo 2.14 IQS IQS IQS IQS IQS IQS Un propelente IQS de un cohete IQS IQS está formado,IQS entre otros, porIQS una mezcla de un un comburente oxidante (Y) y un determinado combustible (Z) IQS aglutinante(X), IQS IQS IQS IQS IQS en proporciones adecuadas. ingeniero de una IQS industria dedicada a la fabricación de combustibles IQS Como IQS IQS IQS IQS para cohetes, se encuentra en la necesidad de determinar la composición de estos tresIQS componentes para el módulo de IQS adecuadaIQS IQSconseguir que IQS IQS elasticidad del propelente resultante (W) sea igual o superior a 3000. IQS Para ello, IQSha determinado IQSla elasticidad IQSde las siguientes IQS mezclasIQS experimentales que constituyen un diseño denominado simplex-centrado. IQS IQS IQS IQS IQS IQS X (%) Y (%) Z (%) IQS IQS IQS IQS W IQS IQS 0,400 0,400 0,200 2350 0,200 IQS IQS IQS 0,600 0,200 IQS2450 IQS IQS 0,200 0,400 0,400 2650 IQS IQS IQS 0,500 0,200 IQS2400 IQS IQS 0,300 0,300 0,400 0,300 2750 IQS IQS IQS 0,500 0,300 IQS2950 IQS IQS 0,200 0,267 0,467 0,267 3000 IQS IQS IQS IQS IQS IQS 0,333 0,433 0,233 2690 0,233 IQS IQS IQS 0,533 0,233 IQS2770 IQS IQS 0,233 0,433 0,333 2980 IQS IQS IQS IQS IQS IQS partir de estos datos, y por procedimientos estadísticos de modelado, se IQS Allega IQS IQS modelo cúbico IQS especial: IQS a que el ajuste más IQS adecuado es el siguiente IQS IQS + 6,247XYIQS WIQS = 2351,17X IQS + 2445,71Y + 2652,98Z + 1008,3XZ + IQS + 6141,1XYZ IQS IQS+ 1597,39YZIQS IQS IQS IQS gráfica es la que se muestra IQS Cuya representación IQS IQS IQS a continuación. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS La representación en dos dimensiones de las cotas para valores del módulo IQS IQS IQS IQS IQS de elasticidad comprendidos entre 2300 y 3100 a incrementos ∆W = 100 lleva al gráficoIQS siguiente: IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Observe que todas las composiciones que correspondan a puntos situados IQS IQS IQS IQS IQS sobre o en el interior de la única curva cerrada del gráfico anterior, es previsible que posean un IQS módulo de elasticidad IQS IQSsuperior o igual IQSa 3000. IQS En consecuencia, esto permite centrar la investigación, y enIQS consecuencia elIQS IQS IQS IQS trabajo experimental, en este conjunto de composiciones. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Introducción al Cálculo Numérico. IQS.

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

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3. INTERPOLACION Y EXTRAPOLACION

IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 3. INTERPOLACION IQS IQSY EXTRAPOLACION. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS APROXIMACION POLINOMIAL IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 3.1 Introducción IQS y definiciones IQS previas.IQS IQS IQS ciencias experimentales situaciones en las IQS En todas las IQS IQS es frecuente IQS encontrarIQS IQS referidos al comportamiento de IQS que es necesario IQS el conocimiento IQS de datos IQS IQS IQS compuestos, materiales o procesos. Para ello suele recurrirse IQS productos, IQS IQS IQS IQS IQS generalmente a la consulta en la bibliografía especializada, generalmente obras IQS en las queIQS IQS IQS IQS IQS se encuentran dichos datos recopilados para algunas condiciones IQS experimentales IQSconcretas. IQS IQS IQS IQS casos se puedeIQS necesitar datosIQS que no aparecen IQS Sin embargo, IQSen muchos IQS IQS es obvio que no resulta posible IQS explícitamente IQSen la bibliografía. IQS Por ejemplo IQS IQS IQS recopilar los valores de la conductividad del mercurio a todas las temperaturas, IQS es más, aunque IQS se hicieraIQS IQS IQS IQS el esfuerzo experimental de determinar todos los IQS valores deIQS IQS IQS IQS IQS una propiedad en función de todas las variables de las que depende y consultarlas de una manera IQS dicha propiedad, IQS sería imposible IQS registrarlas IQS IQS IQS No obstante, IQS pueden encontrarse bibliografía datos IQS eficiente. IQS IQS en la IQS IQS a situaciones lo suficientemente semejantes a la considerada IQS correspondientes IQS IQS IQS IQS IQS como para permitir, a partir de ellos, estimar el valor de la propiedad en las IQS condicionesIQS IQS IQS IQS IQS concretas que interesa. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Ejemplo 3.1 IQS IQS IQS IQS IQS de enviar por unaIQS tubería bencenoIQS a 300 K para IQS IQS Una industria IQSquímica ha IQS introducirlo en un reactor a esta temperatura. Esta conducción no existía y es incorporarla a la planta. Para determinar IQS necesarioIQS IQS IQS las necesidades IQS de IQS potencia de las bombas del sistema es necesario conocer la viscosidad del IQS bencenoIQS IQSEn la bibliografía IQSse encuentran IQS a dicha temperatura. los siguientesIQS IQS datos: IQST (K) 278 IQS313 353IQS IQS 393 433 IQS 463 0,492 0,318 0,219 0,156 0,121 IQS IQSη (cp) 0,826 IQS IQS IQS IQS es la temperatura y η la viscosidad del benceno. IQS IQS donde TIQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

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0

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS valor experimental IQS En otros casos IQSpuede ser necesaria IQS la determinación IQS de un IQS IQS se aplica el método de medida a muestras cuyos IQS de una variable IQS y para elloIQS IQS IQS IQS valores de la variable a determinar son conocidos previamente. IQS A continuación IQS se aplicaIQS IQS IQS IQS el mismo método a la muestra que se desea IQS caracterizarIQS IQSpuede deducirse IQSla información IQS IQS y del valor obtenido deseada. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Ejemplo 3.2 IQS IQS IQS IQS IQS desea determinar la concentración de fosfatos en una muestra de IQS Se IQS IQS IQS IQS IQS residuos por espectrofotometría de absorción molecular, para ello se prepara de patrones de concentración IQS conocida para losIQS que se obtienenIQS IQS un conjunto IQS IQS los siguientes resultados: IQS IQS IQS IQS IQS IQS C (M) 0,005 0,010 0,025 0,050 0,100 0,150 IQS IQS A 0,03 IQS0,07 0,17IQS IQS 0,32 0,65 IQS 0,98 IQS La muestra IQS IQS IQS presenta una IQS absorbancia (A) IQS igual a 0,028. ¿Cuál será la en la misma? IQS concentración IQSde fosfatosIQS IQS IQS IQS IQS En otros casos IQSpuede ocurrir IQS IQS IQS incluso que el dato de interésIQS no sea accesible sea posible IQS acceder a datos experimentales IQS experimentalmente IQS y sóloIQS IQS IQS con él. Será entonces necesario recurrir a modelos matemáticos IQS relacionados IQS IQS IQS IQS IQS para obtener la información deseada. Este es el caso, por ejemplo, de la IQS determinación IQSde variablesIQS IQS IQS IQS a dilución infinita, de datos al inicio de reacción o a IQS tiempo infinito, IQSetc. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Ejemplo 3.3 IQS IQS IQS IQS IQS cinético de la descomposición de acetato de etiloIQS en medio básicoIQS IQS El estudioIQS IQS IQS equimolar por conductimetría, ha conducido a los siguientes resultados: IQS IQS IQS IQS IQS IQS t (s) 5 10 24 60 112 180 225 IQS IQS IQS IQS 889 832 717 IQS 523 405 352 340 K (cm/µ µS) IQS IQS Para poder IQS IQS IQS IQS IQS determinar tanto la constante de velocidad como el orden de es necesario conocer la conductividad inicial (K ) y la conductividad IQS areacción, IQS IQS IQS IQS tiempoIQS infinito (K ). se supone que la cinética es de segundo orden y las concentraciones IQS Simolares IQS IQS IQS IQS IQS iniciales de ester y de base son iguales, la expresión del modelo es: ∆λ ∆λIQS IQS IQS IQS IQS IQS = + kt K − K∞ K0 − K∞ IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS de modelos, por ejemplo polinomiales, IQS Estas técnicas IQS de ajusteIQS IQS IQS a datosIQS velocidades de IQS experimentales IQS para obtener IQSotras informaciones IQS comoIQS IQS reacción, entalpías, capacidades caloríficas, etc., también se utilizan para IQS obtener otros IQStipos de información IQS relacionada IQScon los datos IQS IQS experimentales IQS como por IQS IQS de los mismos. IQS IQS ejemplo medianteIQS derivación o integración IQS De formaIQS IQS de los IQS IQS resumida, los objetivos diferentes métodos que se van IQS a este capítulo son: IQS exponer enIQS IQS IQS IQS IQS de propiedades en puntos desconocidos para IQS • Obtención IQSde valoresIQS IQS IQS IQS propiedades de las que se conoce un conjunto de valores tabulados. IQS • Representación IQS de conjuntos IQSde datos aIQS IQS IQS través de polinomios, de forma que IQS sea másIQS IQS de otrasIQS IQS sencilla la realización operaciones como, entre otras, IQS la o la derivación. IQS integración IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 3.1.1 Definiciones IQS IQS IQS IQS IQS IQS Tabla de IQS IQS IQS IQS datos: ConjuntoIQS de valores de una propiedad y de las variables de consta de (n+1) puntos que se notan IQS las que depende. IQS Toda tablaIQS IQS IQSde 0 a n. LasIQS la variable que se IQS tablas se presentan IQS ordenadas IQSde forma creciente IQS respecto aIQS IQS considera independiente. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Variable dependiente IQS IQS se dice deIQS (y):IQS Desde el puntoIQS de vista experimental, cuyo valor no IQS es directamente IQS aquella variable, IQS propiedad IQSo función IQS IQS sino que para modificarlo debe actuarse sobre las variables IQS modificable, IQS IQS IQS IQS IQS del sistema dándoles diferentes valores. Si la funcionalidad IQS independientes IQS IQS IQS IQS IQS manifiesta una relación causal, la variable dependiente es el efecto de esta IQS relación. IQS IQS IQS IQS IQS IQS Desde la perspectiva IQS del cálculo, IQSla variableIQS IQS para la queIQS dependiente es aquella su valor a partir de los valores deIQS la o las variablesIQS independientes.IQS IQS se calculaIQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Variable independiente (x): Experimentalmente es aquella variable o función IQS cuyo valorIQS IQS IQS IQS IQS puede modificarse directamente actuando sobre el sistema. Por IQS ejemplo, laIQS IQS IQS temperatura, la concentración IQS de un reactivo...IQS En una relación esIQS la causa. IQS causa – efecto, IQSla variable independiente IQS IQS IQS cálculo, es aquella cuyo valor es conocido e impuesto. IQS A nivel deIQS IQS IQS IQS IQS

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS la asignación de dependencia siempre es un tanto relativa y a veces IQS Con todo,IQS IQS IQS IQS IQS incluso totalmente arbitraria, ahora bien, como ya se ha mencionado, a nivel de IQS cálculo seIQS IQS IQS IQS IQS considera como variable independiente aquella cuyo valor se conoce IQS y como variable IQSdependienteIQS IQS IQS IQS aquella cuyo valor se desea calcular. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Ejemplo 3.4 IQS IQS IQS IQS IQS un sistema IQS cerrado formado IQS por una disolución de un gas en un IQS Supongamos IQS IQS IQS líquido y los correspondientes vapores en equilibrio (Por ejemplo una acuosa de amoníaco). IQS disoluciónIQS IQS IQS IQS IQS variará la concentración IQS Si se modifica IQSla temperatura IQSdel sistema, IQS IQS del gas, IQS luego IQS IQS y la IQS IQS LaIQS temperatura esIQS la variable independiente concentración del gas la variable dependiente. IQS IQS IQS IQS IQS IQS contra si se determina la concentración del gas experimentalmente, se IQS Por IQS IQS IQS IQS IQS podrá conocer la temperatura del sistema. Es decir, en este caso: IQS IQS IQS IQS IQS IQS La concentración puede considerarse la variable independiente y laIQS temperatura laIQS variable dependiente. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS : Procedimiento mediante el que se determina el valor de una IQS Interpolación IQS IQS IQS IQS IQS propiedad o función para un valor de la variable que se encuentra comprendido IQS entre los valores IQS mayor y menor IQSde la mismaIQS IQS IQS en una tabla de datos. IQS En el casoIQS IQS IQS de funciones se dice que una IQS función interpolaIQS una tabla cuando la misma. IQS pasa por todos IQSlos puntos de IQS IQS IQS IQS ∀( x, y ) ∈ T, y = IQS f(x) ⇒ f es una función de T IQS IQS IQSinterpoladora IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Extrapolación: Procedimiento que permite determinar el valor de la propiedad IQS o función IQS IQS IQS IQS IQS para un valor de la variable que no se encuentra entre los valores IQS mayor y menor IQSde la mismaIQS IQS IQS IQS en la tabla. IQS IQS IQS IQS IQS IQS interpolación (extrapolación) directa a la determinación de un IQS Se denomina IQS IQS IQS IQS IQS valor de la propiedad o función a partir de un valor conocido de la variable. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS la IQS En consecuencia, IQS se entiende IQSpor interpolación IQS (extrapolación) IQS inversa IQS la variable independiente correspondiente a un IQS determinación IQSdel valor deIQS IQS IQS IQS determinado valor de la propiedad o función. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Paso, Espaciado IQS o Intervalo IQS IQS IQSconsecutivosIQS : Es la diferencia entre dos valores IQS de la variable IQS IQS considerada IQS independiente. EsIQS decir: h = x IQS – x. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS de tablas de IQS datos IQS 3.2 Tipos IQS IQS IQS IQS el número de variables independientes: IQS Según IQS IQS IQS IQS IQS Tablas univariantes: Representan la variación de una propiedad o función IQS respecto aIQS IQS IQS IQS IQS una sola variable independiente. Equivalen a una función de una IQS variable: yIQS IQS IQS que presenta IQS los valoresIQS = f(x). La tabla 3.1 es una tabla univariante de vapor del IQS agua (P en mmHg) la temperatura IQS (t IQS de la presión IQS IQSen función deIQS IQS en ºC). IQS IQS IQS IQS IQS t (ºC) P (mmHg) IQS IQS IQS IQS IQS IQS 0 4,579 10 9,209 IQS IQS IQS IQS IQS IQS 20 17,535 40 55,324 IQS IQS IQS IQS IQS IQS 50 92,510 60 149,38 IQS IQS IQS IQS IQS IQS Tabla 3.1: Presión de vapor del agua. IQS IQS IQS IQS IQS IQS : Contienen más variables independientes que IQS Tablas multivariantes IQS IQS dos o IQS IQS IQS valor de una propiedad o función. Equivalen a una función de más de IQS afectan alIQS IQS IQS IQS IQS una variable: y = f(x, z, t). IQS La tabla 3.2 IQS IQS IQS IQS IQS resume los datos relativos a la presión de vapor del amoníaco en IQS disoluciónIQS IQS(t en ºF) y IQS psia) en funciónIQS de la temperatura la acuosa (P en IQS disuelto (C en M). IQS concentración IQSde amoníacoIQS IQS IQS IQS que se trata de una tabla de doble entrada, concentración (en IQS Observe IQS IQS IQS IQS IQS y temperatura (filas), obteniéndose el valor de la presión de vapor a IQS columnas) IQS IQS IQS IQS IQS una concentración y una temperatura determinadas por lectura en la IQS intersección IQS IQS IQS IQS de la columna IQS y la fila correspondientes. IQS Por ejemplo, IQS IQSde vapor esIQS IQS para t = 40ºF IQS y C = 15 M, la presión 1,14 psia. IQS IQS IQS IQS IQS IQS V

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS CIQS (M) IQS P (psia) IQS IQS IQS IQS t (ºF) 5 10 15 20 25 30 IQS 32 IQS0,26 IQS 0,90 IQS1,51 IQS 0,52 2,67 4,27 IQS 0,66 1,92 3,16 5,13 IQS 40 IQS0,33 IQS 1,14 IQS 50 0,47 0,89 1,50 IQS 2,53 4,16 6,63 IQS 0,62 1,19 2,00 3,21 5,36 8,48 IQS 60 IQS IQS IQS IQS IQS 70 0,83 1,52 2,60 4,28 6,87 10,76 Tabla 3.2: Presión IQS de vapor del amoníaco acuosa. IQS IQS IQSen disolución IQS IQS IQS Según el espaciado IQS (paso)IQS IQS IQS IQS de las variables independientes: IQS Tablas equiespaciadas IQS IQS IQS o IQS de paso constante : Aquellas en IQS las que el intervalo en toda la tabla (ver tabla 3.3).IQS IQS es constante IQS IQS IQS IQS − 1], x i − x i − 1 = x i + 1 − x i = h = cte ⇒ La tabla es equiespaciada IQS ∀i ∈ [1, nIQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Tablas no equiespaciadas o de paso variable: Aquellas en las que el IQS intervalo varía IQSa lo largo deIQS IQS IQS IQS la tabla (ver tabla 3.1). IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Según el origen IQSde los datos: IQS IQS IQS IQS a partir de una funcionalidad IQS conocida entre IQS la IQS Tablas teóricas IQS : Obtenidas IQS IQS y la dependiente. Los datos poseen una buena IQS variable independiente IQS IQS IQS IQS IQS exactitud. Por ejemplo, la tabla 3.3 muestra los valores de la función y = tg α IQS para valores IQS IQS IQS IQS IQS de α comprendidos entre 0,20 y 0,50 rad con paso constante e IQS igual a 0,10IQS IQS IQS IQS IQS rad. IQS IQS IQS IQS IQS IQS 0,40 0,50 IQS IQSα 0,20 IQS 0,30 IQS IQS IQS 0,202710 0,309336 0,422793 0,546302 tg α IQS IQS TablaIQS IQS IQS 3.3: Tangente de un ángulo α IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Tablas empíricas: Son aquellas cuyos datos provienen de mediciones IQS experimentales. IQS Los datosIQS IQS IQS IQS pueden tener diferentes grados de exactitud en IQS función del IQS IQSpara su obtención. IQS En cada IQSsituación esIQS método seguido más adecuadoIQS es una interpolación IQS recomendable IQSvalorar si loIQS IQS o bien unaIQS (ver tabla 3.2). IQS aproximación IQS IQS IQS IQS IQS Tenga presente que los valores recogidos por gran número de tablas que se IQS encuentranIQS IQS IQS IQS IQS en la bibliografía son, en realidad, valores experimentales. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Introducción al Cálculo Numérico. IQS.

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Función teórica

FUNCIÓN CONOCIDA

Función empírica

Método gráfico Método general

FUNCIÓN DESCONOCIDA

Datos sin error aleatorio

LAGRANGE

La función pasa por los puntos de la tabla

INTERPOLACIÓN

Interpolación lineal

Polinomios

Otras funciones de interpolación

Tabla no equiespaciada

Tabla equiespaciada

NEWTON

LAGRANGE PARA TABLAS EQUIESPACIADAS

DERIVADOS DE NEWTON

APROXIMACIÓN

Aproximación polinomial

Datos con error aleatorio

Función empírica

La función es próxima a los puntos de la tabla

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3. INTERPOLACION Y EXTRAPOLACION

IQS IQS IQS IQS IQS IQS métodos de interpolación IQS 3.3 Clasificación IQS de losIQS IQS IQS IQS la necesidad deIQS obtener el valor de una propiedad IQS Frente a IQS IQS IQSbajo ciertasIQS a partir de una tabla de datos, se ofrece un abanico de posibles IQS condicionesIQS IQS IQS IQS IQS opciones. IQS En el esquema IQS3.1 se muestra IQSuna clasificación IQSde los diferentes IQSmétodos queIQS IQS se desarrollarán IQS en este capítulo IQSpara resolver IQS IQS IQS dicha situación. para seleccionar IQS Entre otros, IQSse consideran IQScomo criterios IQSimportantes IQS IQS a aplicar para realizar una interpolación o una IQS adecuadamente IQS el métodoIQS IQS IQS IQS IQS extrapolación, IQSlos siguientes: IQS IQS IQS IQS IQS • la naturaleza IQS y características IQS de los datos IQS IQS IQS (exactitud, error). IQS • el conocimiento IQS previo del IQS IQS o del tipoIQS IQS tipo de funcionalidad de polinomio que ajustar. IQS convieneIQS IQS IQS IQS IQS los puntos conocidos de la tabla). IQS • la equidistancia IQS o no deIQS IQS(espaciado IQS IQS el límite de error del resultado de la interpolación o IQS • la necesidad IQS de evaluarIQS IQS IQS IQS extrapolación. IQS • la construcción IQS previa deIQS IQS IQS IQS una tabla de diferencias. IQS • la posición IQSrelativa en laIQS IQS IQS tabla del punto aIQS interpolar. IQS • la precisión IQSrequerida,...IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Esquema 3.1: Resumen de los métodos de interpolación y aproximación. IQS IQS IQS IQS IQS IQS

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3. INTERPOLACION Y EXTRAPOLACION

IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 3.4 Método IQSgráfico IQS IQS IQS IQS IQS La realización IQSde una interpolación IQS sobre unIQS IQS si el gráficoIQS gráfico tendrá sentido otra razón, como por ejemplo: IQS la realización de IQS es necesario IQSpor alguna IQS IQS IQS forma rápida, la disponibilidad del gráfico pero no IQS interpolaciones IQSmúltiples deIQS IQS IQS IQS la tabla de valores, etc. Si no es así, se convierte en un procedimiento lento IQS de IQS IQS IQS IQS IQS y el esfuerzo que requiere no siempre es justificable por el resultado obtenido. IQS Como limitaciones IQS del método IQShay que considerar IQS que no siempre IQS es posibleIQS IQS obtener una IQS IQS IQS siempre IQS buena precisión y que la interpolación depende de IQS la en el trazado deIQS la curva. IQS objetividadIQS IQS IQS IQS un procedimiento válido si simplemente se desea IQS Por el contrario IQS puede serIQS IQS IQS IQS una buena aproximación, tiene la ventaja de obtener el resultado de forma IQS inmediata IQS IQS IQS IQS IQS y la realización de una interpolación directa o inversa presenta un IQS grado de complejidad IQS idéntico IQS IQS IQS IQS y mínimo. es necesario correctamente IQS el gráfico (si no se IQS Para ello simplemente IQS IQS construirIQS IQS él) y leer el valor correspondienteIQS al punto deseado. IQS dispone deIQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS interpolación. Teorema IQS 3.5 Método IQSgeneral de IQS IQS de Weierstrass IQS IQS que cumplan IQS la IQS Para una tabla IQSde puntos dada, IQSexisten muchas IQSfunciones tales IQS de pasar por todos los puntos. Todas ellas pueden ser diferentes y IQS condición IQS IQS IQS IQS IQS cualquiera de ellas puede ser útil, en principio, para interpolar nuevos puntos IQS en la tabla.IQS IQS IQS IQS IQS Estas funciones se denominan funciones de interpolación. Se IQS dice por tanto IQSque una función IQSinterpola unaIQS IQSpor todos losIQS tabla cuando pasa la misma. IQS puntos deIQS IQS IQS IQS IQS dado cualquier conjunto de tantas funciones independientes como IQS De hecho,IQS IQS IQS IQS IQS puntos haya en la tabla es posible encontrar un conjunto de parámetros que IQS ajusten el IQS IQS IQS IQS IQS conjunto de funciones a dicha tabla de datos, es decir: IQS IQS IQSy i = ∑ a j Φ jIQS IQS IQS (x i ) IQS El sistemaIQS IQS IQS IQS IQS a resolver es entonces el siguiente: IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

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3. INTERPOLACION Y EXTRAPOLACION

IQS IQS IQS IQS IQS IQS Φ n (x 0 ) a 0  IQS IQS  y 0 IQS IQS IQS  Φ 0 (x 0 ) L IQS    = M O M  M  IQS IQS  yM IQS IQS IQS  Φ (x ) L IQS Φ n (x n ) a n   n  0 n IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS que se resuelve IQS como todo IQSsistema de IQS IQS en formaIQS ecuaciones. Expresado IQS matricial: IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Y = ΦA IQS IQS IQS −1 IQS IQS IQS A = Φ YIQS IQS IQS Ejemplo 3.5 IQS IQS IQS IQS IQS IQS función: y= ax 2 + bx10 x + cIQS 10 x + dx a los IQS IQS Sea el ajuste IQSde la siguiente IQS IQS la tabla: IQS puntos deIQS IQS x IQS IQS IQS y -10,55 IQS IQS IQS-10 IQS IQS IQS -3 9 IQS IQS IQS 1 IQS IQS IQS 2 232 IQS Entonces:IQS IQS IQS IQS IQS Φ 0 (x ) = x 2 Φ 2 (x ) = 10 x IQS IQS IQS IQS IQS IQS Φ1(x ) = x10 x Φ 3 (x ) = x IQS IQS IQS IQS IQS IQS matricial a resolver es: IQS y el sistema IQS IQS IQS IQS IQS - 0,1 0,1 - 1IQS a   − 10,55  IQS  1 IQS IQS IQS IQS      0 0 1 0 b − 3      = IQS IQS IQS IQS IQS  1 IQS    10 10 1 c 9        4 IQS 200 100 2 IQS d   232  IQS IQS IQS IQS  IQS que se resuelve IQS calculando IQS IQS IQS la inversa de laIQS matriz: IQS IQS IQS IQS IQS IQS - 3,016 0,5873 - 0,02910  − 10,55   2   a   0,5291        IQS IQS 0,4109 - 0,01764 0,005879  IQS − 3   2,5  IQS  b IQS  − 0,005879 -IQS c  =   9  =  − 3  0 1 0 0 IQS IQS IQS  IQS   IQS   IQS  d   − 0,4703 - 2,875 0,5891 - 0,02969  232   12     IQS IQS IQS IQS IQS IQS de interpolación buscada es por tanto: IQS La función IQS IQS IQS IQS IQS y = 2IQS ⋅ x 2 + 2,5 ⋅ x10 x − 3 ⋅ 10 x + 12 ⋅ x IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

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3. INTERPOLACION Y EXTRAPOLACION

IQS IQS IQS IQS IQS IQS de interpolación que habitualmente para interpolar IQS o IQS La funciónIQS IQS IQS se utiliza IQS consiste en una combinación finita de potencias de la variable IQS extrapolarIQS IQS IQS IQS IQS independiente, es decir un polinomio del que será necesario determinar el valor IQS de cada uno IQS IQS IQS IQS IQS de los diferentes coeficientes del mismo. Para ello, será necesario IQS resolver elIQS IQS IQS IQS IQS sistema: IQS IQS IQS IQS IQS IQS n  y 0  1 L x 0  a 0      M  M  IQS IQS IQS IQS IQS  M  =  M O IQS   y  1 L x n  a  n  n   n  IQS IQS IQS IQS IQS IQS puntos son diferentes, el determinante es IQS Si los (n+1)IQS IQS puede demostrarse IQS que IQS IQS cero (Determinante de Vandermonde) y que por tanto, la matriz IQS diferente de IQS IQS IQS IQS IQS es regular, posee inversa, el sistema es compatible y determinado, y la IQS solución, elIQS IQS IQS IQS IQS polinomio de interpolación, es única. IQS De acuerdoIQS IQS establece IQS IQS teorema de Weierstrass que: con todo ello elIQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS función real de variable real f(x) y (n+1) puntos diferentes, existe un IQS “Dada unaIQS IQS IQS IQS IQS único polinomio de grado igual o inferior a n tal que pasa por todos los puntos IQS de la tabla.”IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS general presenta, como contrapartida general, ciertas IQS El métodoIQS IQS IQSa su carácter IQS IQS el cálculo deIQS la matriz inversa, la determinación IQS dificultades:IQS IQS IQSdel error delIQS … . Los métodos de interpolación que se van a exponer en este IQS resultado,IQS IQS IQS IQS IQS capítulo permiten calcular los coeficientes del mismo polinomio sin necesidad IQS de invertirIQS IQS IQS IQS IQS la matriz. IQS IQS IQS IQS IQS IQS métodos de interpolación IQS Todos losIQS IQS son equivalentes IQS para tablas IQSde puntos sinIQS exactos) en cambio difieren entre ellos cuando se trata de trabajar IQS error (datosIQS IQS IQS IQS IQS con datos afectados de error (números aproximados, datos experimentales), ya IQS que los diferentes IQS métodosIQS IQS IQS IQS dan lugar a errores finales diferentes para el punto IQS a interpolar. IQS IQSescoger, enIQS IQSlos diferentesIQS Será necesario cada caso, entre interpolación aquel estimar el valor deseado con un IQS métodos de IQS IQSque permitaIQS IQS IQS de error. IQS menor límite IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

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3. INTERPOLACION Y EXTRAPOLACION

IQS IQS IQS IQS IQS IQS (I): Interpolación lineal IQS 3.6 Métodos IQSnuméricosIQS IQS IQS IQS El método de interpolación lineal solamente se aplica en el caso que se den IQS dos circunstancias IQS concretas: IQS IQS IQS IQS IQS • Si se IQS IQS IQS IQS IQS cumple que y varía linealmente respecto a x (∆y/∆x = ∆y/h es IQS constante), IQSes decir, la tabla IQSsigue una función IQS que es unaIQS IQS línea recta. Debe en cuenta que IQS si los datos son IQS datos experimentales IQS tenerseIQS IQSpueden estarIQS por errores aleatorios (Error experimental), por lo tanto en este IQS afectados IQS IQS IQS IQS IQS será aproximadamente constante a lo largo de toda la tabla. IQS caso ∆y/h IQS IQS IQS IQS IQS • En el caso de tablas con puntos muy próximos, puede realizarse una IQS interpolación IQS lineal sobreIQS IQS IQS IQS los dos puntos entre los que se encuentre el punto IQS a interpolar. IQSPara ello esIQS IQS IQS necesario que la diferencia entreIQS los valores de las consecutivos sea ligeramente superior IQS ordenadas IQSde los datosIQS IQS IQS al error deIQS IQS las mismas. IQS IQS IQS IQS IQS En ambos casos la ecuación de la recta se obtiene de la forma siguiente: IQS IQS IQS IQS IQS IQS  y i + 1 − y i  y i +1 − y i y − y i y i +1 − y i = ⇒ y =  y i − IQS x i  + x IQS IQS IQS x − x i x i + 1 −IQS xi x i + 1 − x i  x i + 1IQS − xi  IQS Caso de IQS IQS en losIQS IQS obtener IQS existir error experimental datos es conveniente la y la ordenada en el origen a partir de los valoresIQS medios de varias IQS pendienteIQS IQS IQS IQS tal como se muestra en la figura 3.1. IQS series de pares IQSde puntos, IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS yIQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS x IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Figura 3.1IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

3. INTERPOLACION Y EXTRAPOLACION

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS los ocho valores IQS Si dicha figura IQS3.1 corresponde IQSa la representación IQS gráfica deIQS IQS con los cuatro primeros puntos, por ejemplo, se IQS de una tabla IQSde x e y, IQS IQS IQS IQS determinarían unos valores medios X e Y . IQS IQS IQS IQS IQS IQS y 1 = C + Dx 1  IQS IQS IQS IQS IQS y 2 IQS = C + Dx 2   ∑ y = nC + D∑ x ⇒ y = C + Dx ⇒ YA = C + DX A y 3 IQS = C + Dx 3  IQS IQS IQS IQS IQS  y 4 = C + Dx 4  IQS IQS IQS IQS IQS IQS mismo procedimiento con los cuatro últimos puntos se obtendrían X e IQS Ypor, loel cual IQS IQS IQS IQS IQS conduce a un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. IQS Resolviendo IQS IQS IQSde C y D, IQS IQS este sistema se obtienen los valores y substituyendo en IQS la ecuaciónIQS IQS IQS independiente IQS(x) se puedeIQS y = C + Dx el valor de la variable valor deseado de la propiedad (y).IQS IQS calcular elIQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Ejemplo 3.6 IQS IQS IQS IQS IQS IQS Uno de los métodos utilizados para la determinación de la tensión superficial IQS (γ) es el IQS IQS IQSse estudia laIQS de ascenso capilar. Para determinarla altura (h) que IQS un líquido dentro de un capilar. IQS alcanza IQS IQS IQS IQS IQS sabe que la altura y la tensión superficial se relacionan mediante la IQS Se IQS IQS IQS IQS IQS expresión: IQS IQS IQSγ = 1  h + r IQS IQS IQS rρg 2 3 IQS Se ha determinado IQS experimentalmente IQS  elIQS ascenso capilarIQS (h) de diferentesIQS de tensión superficial (γ) y densidad (ρ) conocidas. IQS disolventes IQS IQS IQS IQS IQS γ (din/cm) ρ (g/cm ρ (din cm /g) IQS IQS IQS IQS IQS) h (cm) γ/IQS 18,43 0,6603 3 27,9115554 n-Hexano IQS GlicolIQS IQS 47,7 1,1088 IQS 4,2 IQS 43,0194805 IQS Eter dietílico 17,01 0,71378 2,3 23,8308723 IQS Etilbenceno IQS IQS 29,2 IQS IQS 0,867 3,5 33,6793541 IQS de metilo 37,6 1,0888 3,5 34,5334313 IQS Benzoato IQS IQS IQS IQS IQS Cloruro de metilo 16,2 0,9159 2 17,6875205 IQS Determinar IQS IQS IQS IQS IQS la tensión superficial del ciclohexano sabiendo que el ascenso es y su densidad 0,77855 IQS de 3,3 cmIQS IQS g/cm . IQS IQS IQS IQS La expresión IQSteórica puedeIQS IQS γ = 1IQS IQS 1 reordenarse como: rg ⋅ h + r 2 g IQS IQS IQS IQS ρ 2 IQS 6 IQS que la relación entre el cociente (γ/ρ) y h es lineal. IQS IQS es decir IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS A

A

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2 -1 γ/ρ /(din cm g )

IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS La representación IQS de losIQS IQS puntos según esta rectificación IQS se muestra en elIQS IQS gráfico siguiente: IQS IQS IQS IQS IQS 45 IQS IQS IQS IQS IQS IQS 40 IQS IQS IQS IQS IQS IQS 35 IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 30 IQS IQS IQS IQS IQS IQS 25 IQS IQS IQS IQS IQS IQS 20 IQS IQS IQS IQS IQS IQS 15 2 IQS2,5 3 IQS 3,5 4IQS 4,5 IQS IQS1,5 IQS h /cm IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS La agrupación IQSde los valores IQS IQS IQS IQS da los siguientes puntos medios: IQS IQS IQS IQS IQS IQS Valores h (cm) γ/ρ (din cm /g) IQS IQS BajosIQS IQS 2,43333333 IQS23,143316 IQS 3,73333333 IQS IQS AltosIQS IQS37,077422 IQS IQS = - 2,9485 y D = 10,719. Por lo tanto, la ecuación de la recta es: IQS luego: CIQS IQS IQS IQS IQS γ = 10,719 ⋅ h − 2,9485 ρ IQS IQS IQS IQS IQS IQS Sustituyendo, para el ciclohexano se obtiene una tensión superficial de 25,3 IQS din/cm. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 32,43272 γ/ρ (din cm /g) 25,2504941 γ (din/cm) IQS IQS IQS IQS IQS IQS 25,3 γ (din/cm) IQS IQS IQS IQS IQS IQS de la tensión superficial que se encuentra en la bibliografía es de IQS El25,5valor IQS IQS IQS IQS IQS din/cm. IQS IQS IQS IQS IQS IQS que para realizar una interpolación basta con seguir IQS Es inmediato IQS IQS IQSlineal inversaIQS IQS considerando y como variable independiente y x como IQS el mismo procedimiento IQS IQS IQS IQS IQS variable dependiente. IQS La única estimación IQS posibleIQS IQS IQS IQS del error se obtendrá substituyendo el error de la IQS variable independiente IQS IQS IQS (x),IQS de la pendiente IQS (D) y la ordenada en el origen (C) IQS IQS IQS IQS IQS IQS

3. INTERPOLACION Y EXTRAPOLACION

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS No es posible determinar propiamente del IQS en la ecuación IQSde la recta.IQS IQS un errorIQS IQS IQS método. IQS IQS IQS IQS IQS sensiblemente constante a lo largo de la tabla, una expresión más IQS Si ∆y/h esIQS IQS IQS IQS IQS sencilla para realizar una interpolación lineal es: y = y + (x – x ) ∆y/h IQS donde el subíndice IQS R corresponde IQS a los valores IQStabulados que IQS IQS se tomen como IQS referenciaIQS IQS Obviamente IQS la expresiónIQS y el subíndice NIQS a los valores interpolados. lineal inversa es: x =IQS x +(y – y ) h/∆y. IQS para una interpolación IQS IQS IQS IQS por su simplicidad, IQS Aunque, IQS IQSla interpolación IQSlineal se utilice IQScon relativaIQS incluso para obtener un valor aproximado, no deja de ser un caso IQS frecuenciaIQS IQS IQS IQS IQS particular de un método de interpolación polinomial que si resulta ser la mejor IQS opción ya IQS IQS IQS IQS IQS conducirá al correspondiente polinomio de primer grado (recta). IQS Por otra parte, IQSsi los datos IQS IQS error experimental IQS se sueleIQS presentan un apreciable de aproximación como, por ejemplo, IQS preferir utilizar IQSotros métodos IQS IQS IQSel ajuste porIQS IQS mínimos cuadrados. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS (II): Interpolación no lineal de paso no IQS 3.7 Métodos IQS numéricos IQS IQS IQS IQS constante IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 3.7.1 Método IQSde LagrangeIQS IQS IQS IQS IQS Demostración IQSde la unicidadIQS IQS IQS IQS del polinomio de interpolación IQS Sean x ,...,IQS IQS IQS IQS x , (n+1) puntos diferentes delIQS eje real y f(x) una función de valor IQS real definida IQS IQS IQS en un intervalo I = [a, b] queIQS contiene todos IQS y cada uno de los IQS (n+1) puntos. IQSSe desea construir IQS un polinomio IQSde interpolación IQSp(x) de gradoIQS IQS inferior o igual IQSa n. IQS IQS IQS IQS Este polinomio ha de interpolar f(x) en todos los puntos de la tabla, luego: IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS p(x ) = f(x ) para IQS i = 0,..., n. IQS IQS IQS IQS IQS IQS supongamos IQS p(x) y q(x) son dos IQS Para establecer IQS la unicidad, IQS IQSpolinomios deIQS de grado inferior o igual a n. IQS interpolación IQS IQS IQS IQS IQS Si definimos: h(x) = p(x) – q(x), entonces se ha de cumplir: IQS IQS IQS IQS IQS IQS N

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS = 0,..., n. h(x ) = p(x ) – q(x ) = f(x ) – f(x ) = 0 IQS IQS IQS IQS para iIQS IQS IQS Esto significa IQS IQS IQS IQS IQS que h(x), que es un polinomio de grado inferior o igual a n, tiene IQS (n + 1) raíces IQSdiferentes. EnIQS IQS consecuencia, IQS ello implica que,IQS dado que el único IQS polinomio IQS IQS IQStiene más de IQS de grado inferior o igual a n que n raíces es IQS el 0(x): h(x) = 0(x) y IQS p(x) = q(x) IQS polinomio IQS IQS IQS IQS queda demostrada la unicidad del polinomio de interpolación. IQS con lo queIQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS del polinomio IQS DeducciónIQS IQS IQS IQS IQS de grado inferior o igual a n tal IQS A continuación, IQSdebemos obtener IQS un polinomio IQS IQS IQS que interpola a f(x) en todos los puntos de la tabla. Este polinomio es fácil de IQS encontrar IQS IQS IQS IQS IQS en el caso que f(x) se anule para todos los puntos de la tabla excepto IQS uno. IQS IQS IQS IQS IQS si i = k IQS IQS IQS f(x ) = 1 IQS IQS IQS i <> k IQS IQS IQS f(x ) = 0 siIQS IQS IQS IQS El polinomio IQS IQS IQS IQS IQS que se anula en todos los puntos de la tabla excepto en el punto k, IQS será un polinomio IQS como el IQS IQS IQS IQS siguiente: IQS IQS IQS IQS IQS n IQS gk (x ) = c k ∏ (x − x i ) IQS IQS IQS IQS IQS i = 0 IQS i≠k IQS calculandoIQS IQS IQS IQS IQS c tal que g (x ) valga 1, se obtiene: IQS IQS IQS IQS IQS 1 IQS ck = IQS IQS IQS ∏n (x − IQS IQS IQS k xi ) IQS IQS IQS ii =≠ 0k IQS IQS IQS IQS IQS IQS n IQS IQS IQS ∏ (x − x i ) IQS IQS IQS ii =≠ 0k IQS IQS IQS gk (x ) = n IQS IQS IQS IQS IQS IQS ( ) x − x k i IQS IQS IQS i∏ IQS IQS IQS =0 i≠k IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS i

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS una función arbitraria, al denominado IQS que, generalizando IQS para IQS IQS conduceIQS IQS de Lagrange. IQS polinomio IQS IQS IQS IQS IQS Así dada una tabla de puntos (x , y ) donde i = 0,..., n, puede definirse un IQS polinomio IQS IQS IQS IQS IQS que pase por todos los puntos de la siguiente forma: IQS IQS IQS IQS IQS n nIQS (x − x1 )L (x − x n ) + L + a n (x − x 0 )L (x − x n −1 ) = ∑ a i ∏ (x − x k ) IQS y = a 0IQS IQS IQS IQS IQS i=0 k =0 k ≠i IQS IQS IQS IQS IQS IQS quedando la condición de paso por todos los puntos de la tabla satisfecha dado IQS que cada coeficiente IQS depende IQS IQS IQS IQS de uno de los puntos tabulados. IQS Los coeficientes IQS del polinomio IQS se determinan IQS validandoIQS IQS esta función de para los puntos tabulados. IQS interpolación IQS IQS IQS IQS IQS punto tabulado, se anulan todos los sumandos excepto el que IQS Para cadaIQS IQS IQS IQS IQS al punto substituido: IQS corresponde IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQSy i = ai (x i −IQS IQS IQS IQS x 0 )L (x i − x i −1 )(x i − x i +1 )L (x i − x n ) IQS IQSa = y iIQS IQS IQS IQS i IQS IQS ∏n (x i IQS IQS IQS IQS − xj) IQS IQS jj =≠ i0 IQS IQS IQS IQS IQS y el polinomio IQS IQSsiguiente: IQS IQS IQS queda en la forma n IQS IQS IQS IQS IQS IQS ∏ (x − x k ) k =0 IQS IQS y 0IQS (x − x1 )L (x − x n IQS ) y n (x − x 0 IQS )L (x − x n −1 ) nIQS k ≠i y= +L+ = yi n (x 0IQS ) (x n − x 0 )L (x n − x n −1 ) i∑ − x1 )L (x 0 − x n IQS IQS IQS IQS =IQS 0 ∏ (x i − x j ) j=0 IQS IQS IQS IQS IQS IQS j≠i IQS Para la aplicación IQS del método IQSde Lagrange, IQS IQSel número deIQS una vez decidido IQS valores tabulados IQS a utilizar,IQS IQS IQS se seleccionanIQS éstos de manera que formen un de la tabla enIQS el que el puntoIQS a interpolar esté lo más centrado IQS subconjunto IQS IQS IQS IQS posible. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS i

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS de cálculo IQS EsquemaIQS IQS IQS IQS IQS el método de IQS Lagrange consiste IQS La forma más IQSsencilla de interpolar IQS utilizando IQS IQS independientemente los numeradores y denominadores de la IQS en calcularIQS IQS IQS IQS IQS expresión general. Por ejemplo, en una interpolación para el valor x se calcula: IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Tabla de numeradores IQS IQS IQS IQS IQS x IQS x x IQS IQS IQS IQS IQS x-x x-x yIQS (x-x ) (x-x ) IQS IQS y - IQS IQS IQS - x-x y (x-x ) (x-x ) IQS IQS y x-xIQS IQS IQS IQS y x-x x-x y (x-x ) (x-x ) IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Tabla de denominadores IQS IQS IQS IQS IQS x IQS IQS IQSx x IQS IQS IQS x -x x -x IQS (x -x ) (x -x ) IQS IQS IQS x IQS IQS -x x -x (x -x ) (x -x ) IQS IQS x x IQS IQS IQS IQS x x -x x -x (x -x ) (x -x ) IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Para finalizar IQS IQS IQS la interpolación solamente esIQS necesario calcular los cocientesIQS y IQS sumarlos. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS método de Lagrange se acostumbra a utilizar para interpolar puntos IQS Elcentrados IQS IQS IQS IQS IQS en tablas no equiespaciadas. No obstante la aplicación de este IQS método noIQS IQS IQS IQS IQS facilita la estimación del error del resultado, ya que no permite IQS aprovecharIQS IQS IQSde siguienteIQS IQS los cálculos para evaluar el polinomio grado. error se dispone IQS Para determinar IQS más fácilmente IQS dicho IQS IQSde diferentesIQS como son los métodos de Newton, el método de Neville o el IQS alternativasIQS IQS IQS IQS IQS método de interpolación iterada. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 1

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Este material forma parte del libro: Tomàs, X.; Cuadros, J.; González, L..(2006). Introducción al Cálculo Numérico. Institut Químic de Sarrià. ISBN: 84-611-0645-8.

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Ejemplo 3.7 IQS IQS IQS IQS IQS ) de la ebonita IQS sobre hielo, a una velocidad de 4 IQS IQS mEl scoeficiente IQSde fricción (µIQS IQS , en función de la temperatura se presenta en la tabla adjunta: IQS IQS t (ºC) 0IQS- 10 - 20 IQS IQS IQS - 40 - 60 - 80 0,05 0,065 IQS 0,085 0,10 0,11 IQS IQS µ 0,02 IQS IQS IQS IQS Determinar IQS IQS IQS el coeficiente IQS de fricción a – 30ºC, utilizando un IQS polinomio de de segundo grado. IQS LagrangeIQS IQS IQS IQS IQS IQS Numeradores IQS IQS - 20 IQS- 40 IQS IQS - 10 0,05 10 -5 IQS IQS IQS -10 IQS 10 IQS IQS 0,065 - 20 - 13 0,085 -IQS 20 - 10 IQS 17 IQS IQS IQS IQS IQS Denominadores IQS IQS IQS IQS IQS - 10 - 20 - 40 IQS IQS IQS IQS IQS IQS - 10 10 30 300 - 20 - 10 - 200 IQS IQS IQS - 20 IQS 20 IQS IQS - 40 - 30 600 IQS ColumnaIQS IQS IQS IQS IQS de cálculo IQS IQS IQS IQS IQS IQS Numerador/Denominador Resultado IQS IQS IQS - 0,01666667 IQS0,07666667 IQS IQS 0,065 IQS IQS IQS 0,02833333 IQS IQS IQS IQS Luego elIQS IQS IQS IQS IQS coeficiente de fricción de la ebonita a – 30ºC es µ = 0,077. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Observe IQS IQS IQSinversa bastaIQS que en este caso para realizarIQS una interpolación considerar xIQS como y e y como intercambiar sus IQS simplemente IQS IQSx, es decirIQS IQS IQS valores. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 3.7.2 Método IQSde Neville IQS IQS IQS IQS El método de Neville utiliza el polinomio de Lagrange y se fundamenta en el IQS siguiente teorema: IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS k

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Este material forma parte del libro: Tomàs, X.; Cuadros, J.; González, L..(2006). Introducción al Cálculo Numérico. Institut Químic de Sarrià. ISBN: 84-611-0645-8.

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS y )... (x , y ), unIQS conjunto de valores x y x dos puntos IQS Sean (x , IQS IQStabulados yIQS IQS de dicho conjunto, entonces: IQS diferentesIQS IQS IQS IQS IQS (x − x j )P0,..., j−1,j+1,...,k (x ) − (x − x i )P0,...,i−1,i+1,...,k (x ) P IQS IQS IQS IQS IQS IQS 0,...,k (x ) = xi − x j IQS Este método IQSpermite construir IQS de formaIQS IQS IQS consecutiva los polinomios de IQS Lagrange IQS IQSsin necesidad IQS IQS de diferentes grados, de rehacer losIQS cálculos cada vez IQS desde el principio. IQS Su estructura, IQSen forma deIQS IQS IQS tabla, es: IQS IQS IQS IQS IQS IQS x P P P P IQS IQS IQS IQS IQS IQS x P P P IQS IQS IQS IQS IQS IQS x P P IQS IQS IQS IQS IQS xIQS P IQS IQS IQS IQS IQS IQS de este método IQS La ventajaIQS IQSes que facilita IQSla estimación IQSdel error deIQS IQS interpolación. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 3.7.3 Fórmulas IQS de NewtonIQS IQS IQS IQS Las fórmulas de Newton se basan en una idea diferente para encontrar el IQS polinomio IQS IQS IQS IQS IQS de interpolación. Se trata de ir construyendo el polinomio término a IQS término deIQS IQS anterioresIQS forma que cadaIQS nuevo término IQS no afecte a los puntos y que el polinomio pase por un IQS nuevo punto. IQS además haga IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS tenemos un conjunto de puntos tabulados: (x , y )..., (x , y ) los sucesivos IQS Sipolinomios IQS IQS IQS IQS IQS de Newton se construyen como sigue: IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS P 0 (x ) ≡ y = y 0 yIQS 1 − y0 IQS IQS IQS (x − x 0 ) = IQS P y 0 + y [x 0 x 1 ] (x −IQS x0 ) 1 (x ) ≡ y = y 0 + x1 − x 0 IQS IQS IQS IQS IQS IQS P2 (x ) ≡ y = y 0 + y [x 0 x 1 ](x − x 0 ) + y [x 0 x 1x 2 ] (x − x 0 )(x − x 1 ) IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 0

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3. INTERPOLACION Y EXTRAPOLACION

IQS IQS IQS IQS IQS IQS que se representan x ] se denominan IQS Los valores IQS IQS como y[xIQS IQS diferenciasIQS y se calculan fácilmente a partir de la tabla de datos de la forma IQS divididas IQS IQS IQS IQS IQS siguiente: IQS IQS IQSy [x L x IQS IQS IQS ] [ ] − L y x x i+1 j i j−1 xj]= IQS IQS y [x i LIQS IQS IQS IQS x j − xi IQS Con ello seIQS IQS IQS IQS IQS construye la tabla de diferencias divididas: IQS IQS IQS IQS IQS IQS x y IQS IQS IQS IQS IQS IQS x y IQS IQS IQS IQS IQS y[x x ] IQS x y y[x x x ] y[x x ] IQS y[x IQS x x x] IQS IQS IQS IQS y[x x x ] x y y[x x x x x ] y[x x ] IQS y[x IQS x x x] IQS IQS IQS x y y[x x x ] y[x x IQS x x x] y[x x ] y[x x x x ] IQS IQS IQS IQS IQS IQS y[x x x ] x y y[x x ] x y IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS El polinomio que se acaba de desarrollar a título de ejemplo corresponde a una IQS de las llamadas IQSfórmulas deIQS IQS IQS IQS Newton, concretamente a la fórmula descendente. IQS De forma general, IQS el polinomio IQS IQS IQScomo: IQS de interpolación puede expresarse IQS IQS IQS IQS IQS IQS a 3 (x − η 0 )(x − ηIQS 0 + a1 (x − η 0 ) + a IQS 2 (x − η 0 )(x − η1 ) + 1 )(x − η 2 ) + K IQS y = aIQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS diferentes puntos η se denominan centros del polinomio. IQS donde losIQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS de Newton IQS Fórmula descendente IQS IQS IQS IQS IQS descendente de Newton se utiliza para interpolar puntos que se IQS La fórmulaIQS IQS IQS IQS IQS encuentran en la zona superior de la tabla ordenada de datos. IQS El centro IQS IQS IQS IQS IQS inicial corresponde a x (el primer valor de la tabla), y como centros IQS siguientesIQS IQS IQS se van tomandoIQS los puntos en orden descendente.IQS del polinomioIQS son los que se indican IQS De esta forma IQSlos coeficientes IQS IQS en la tabla:IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

3. INTERPOLACION Y EXTRAPOLACION

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS x y IQS IQS IQS IQS IQS IQS x y IQS IQS IQS IQS IQS y[x x ] IQS x y y[x x x ] y[x x ] IQS y[x IQS x x x] IQS IQS IQS y[x x x ] x y y[x x IQS x x x] y[x x ] y[x x x x ] IQS IQS IQS IQS y[x x IQS IQS x y y[x x x ] x x x] y[x x ] y[x x x x ] y[x x x ] x y IQS IQS IQS IQS IQS IQS y[x x ] x y IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS y el polinomio IQS IQS IQS IQS IQS resultante es: IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS (x ) ≡ y = y 0 + y [IQS [x 0 x1x 2 ] (x − x 0 )IQS (x − x1 ) + PnIQS x 0 x 1 ](x − x 0 ) + yIQS + y [x 0 x 1x 2 x 3 ] (x − x 0 ) (x − x 1 ) (x − x 2 ) + ... IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Fórmula ascendente de Newton IQS IQS IQS IQS IQS IQS La fórmula ascendente de Newton se utiliza para interpolar puntos en la zona IQS inferior deIQS IQS IQS IQS IQS la tabla ordenada de datos. IQS Se toma como IQScentro inicial IQS IQS IQS el último valor de la tabla (x IQS ), y como centros los puntos en orden ascendente. IQS IQS sucesivosIQS IQS IQS IQS los que se indican en la tabla IQS Los coeficientes IQS del polinomio IQS son ahoraIQS IQS IQS siguiente: IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS x y IQS IQS IQS IQS IQS IQS x y y[x x ] y[x x x ] x y IQS IQS IQS IQS IQS IQS y[x x ] y[x x x x ] x y y[x x x ] y[x x x x x ] IQS IQS IQS IQS y[x x ] IQS y[x IQS x x x] y[x x x ] x y y[x x x x x ] y[x x ] IQS y[x IQS x x x] IQS IQS IQS IQS x y y[x x x ] y[x x ] IQS IQS IQS IQS IQS IQS x y IQS IQS IQS IQS IQS IQS de interpolación es ahora: IQS El polinomio IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 0

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3. INTERPOLACION Y EXTRAPOLACION

IQS IQS IQS IQS IQS IQS ] (x − x n ) + y [x nIQS = y n + y [x n −1x nIQS x n ) (x − x n −1 ) +IQS IQS Pn (x ) ≡ yIQS − 2 x n −1x n ] (x −IQS x n − 2 x n −1x n ] (x − x n ) (x − x n −1 ) (x − x n − 2 ) + ... IQS IQS + y [x n − 3IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS - ascendente IQS Fórmula descendente IQS IQS de Newton IQS IQS IQS descendente - ascendente de Newton se utiliza para interpolar IQS La fórmulaIQS IQS IQS IQS IQS que se sitúan en la zona intermedia de la tabla ordenada de datos y IQS puntos IQS IQS IQS IQS IQS más próximos al punto tabular por defecto (anterior) que al punto tabular por IQS exceso (posterior). IQS IQS IQS IQS IQS IQS En este caso IQSse toma como IQS IQS al punto IQS centro inicialIQS el valor más próximo a (por ejemplo x ),IQS y los centros siguientes de proximidad IQS al IQS interpolar IQS IQS en ordenIQS interpolar. Los coeficientes del polinomio son los indicados a IQS punto a IQS IQS IQS IQS IQS continuación: IQS IQS IQS IQS IQS IQS Posición x IQS IQS y IQS IQS IQS IQS relativa IQS IQSx y IQS IQS IQS IQS -2 y[x x ] IQS IQSy[x x x ] IQS IQS IQS -1IQSx y y[x x ] y[x x x x ] 0IQSx y y[x x x x x] IQS IQSy[x x x ] IQS IQS IQS y[x x ] y[x x x x ] 1 y[x x x ] y[x x x x x ] IQS IQSx y y[xIQS IQS IQS IQS x] y[x x x x ] y[x x x ] 2 x y x] IQS IQSx y y[xIQS IQS IQS IQS 3 IQS IQS IQS IQS IQS IQS (expresado en posición IQS que conducen IQSal polinomioIQS IQS relativa): IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS [x −1x 0 x1 ] (x −IQS y = y 0 + y [x 0IQS x1 ] (x − x 0 ) + yIQS x 0 ) (x − x1 ) + IQS IQS Pn (x ) ≡IQS x 0 x1x 2 ] (x − x −1 ) (x − x 0 ) (x − x1 ) + ... IQS IQS + y [x −1IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Fórmula ascendente IQS - descendente IQS de Newton IQS IQS IQS Como complemento a la fórmula descendente - ascendente de Newton, la IQS fórmula ascendente IQS - descendente IQS se utiliza IQS IQS IQS para interpolar puntos que se IQS IQS IQS IQS IQS IQS

3. INTERPOLACION Y EXTRAPOLACION

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS la zona central IQS de la tabla ordenada más próximos IQS al IQS sitúan en IQS IQSde datos yIQS por exceso (siguiente) que al punto tabular por defecto (anterior). IQS punto tabular IQS IQS IQS IQS IQS Como centro inicial se toma ahora el valor más próximo al punto a interpolar (x IQS por ejemplo) IQSy los siguientes IQScentros enIQS IQS IQS orden de proximidad al punto a IQS interpolar.IQS IQS IQS IQS IQS IQS Los coeficientes IQS del polinomio IQS IQS IQS de interpolación correspondenIQS a los indicados en IQS la tabla siguiente: IQS IQS IQS IQS IQS IQS PosiciónIQS IQS IQS IQS IQS x y IQS relativaIQS IQS IQS IQS IQS -3 IQS x y IQS IQS IQS IQS IQS y[x x ] y[x x x ] -2 IQS IQS x y y[x IQS IQS IQS x] y[x x x x ] IQS -1 x y y[x x x ] y[x x x x x ] y[x x] y[x x x x ] IQS IQS IQS IQS IQS IQS y[x x x ] 0 x y y[x x x x x ] y[x x ] y[x x x x ] IQS IQS y[x x x IQS IQS IQS 1 IQS x y ] y[x x ] 2 IQS x y IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS conducen al polinomio (expresado en posición relativa): IQS que ahoraIQS IQS IQS IQS IQS IQS P (x ) ≡ IQS IQS IQS IQS IQS [ ] ( ) [ ] ( ) ( ) y = y + y x x x − x + y x x x x − x x − x + n 0 0 −1 0 −1 0 1 0 −1 IQS IQS + y [x − 2IQS IQS IQS IQS x −1x 0 x1 ] (x − x −1 ) (x − x 0 ) (x − x1 ) + ... IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 0

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3. INTERPOLACION Y EXTRAPOLACION

IQS IQS IQS IQS IQS IQS Ejemplo 3.8 IQS IQS IQS IQS IQS A partir deIQS IQS 3.7, determinar IQSel coeficiente IQS los datos del ejemplo de fricción de segundo grado. IQS a –2ºC, utilizando IQS un polinomio IQSde NewtonIQS IQS divididas IQS Diferencias IQS IQS IQS IQS x y - 80 0,11 - 0,0005 IQS IQS IQS - 6,25E-06 IQS0 IQS - 60 0,1 - 0,00075 - 6,25E-06 -2,0833E-07 IQS IQS IQS -1,6667E-05 IQS-1,4583E-06IQS - 40 0,085 - 0,001 - 20 0,065 - 0,0015 - 0,000075 IQS IQS IQS IQS IQS - 10 0,05 - 0,003 IQS IQS0 0,02 IQS IQS IQS que la tabla se ha ordenado de menor IQS ObserveIQS IQS IQSa mayor temperatura IQS (x). Dado que el valor de la variable independiente (t = − 2ºC) se encuentra IQS entre losIQS IQSde la tabla,IQS dos últimos puntos se utilizará el IQS polinomio de Newton ascendente, tomando como centro inicial de referencia (x , y ) IQS es decir IQS IQS IQS IQS t = 0ºC y µ = 0,02. IQS Los cálculos IQS IQS IQS IQS empezarán por tanto en el último punto de la tabla. IQS En primerIQS IQS IQS IQS lugar se calcula la tabla de diferencias divididas, obteniéndose indicados en laIQS tabla anterior. IQS IQS los valores IQS IQS la tabla de diferencias evalúan los IQS A continuación IQS se calculaIQS IQS (x – x ), seIQS términos del polinomio y se procede a calcular el valor de y interpolado IQS como suma IQS IQS IQS IQS de dichos términos. IQS Cálculo IQS IQS IQS IQS x-x t/ºC µ IQS IQS x IQS IQS IQS 78 - 80 0,11 58 - 60 IQS 0,1 IQS IQS x IQS IQS x 38 - 40 0,085 IQS IQS x IQS IQS 18 - 20 IQS 0,065 x 8 - 10 0,05 IQS IQS x IQS IQS IQS -2 0 0,02 IQS IQS IQS IQS 2 IQS Orden 0 1 y y[xIQS x ] (x - x ) y[x x x ] (x - x )(xIQS -x ) IQS IQS 0,02 IQS 0,006 0,0012 x ] (x - x ) + y[x x x ] (x - x )(x -x ) IQS IQS y + y[xIQS IQS IQS y 0,02 0,026 0,0272 IQS IQS IQS IQS IQS lo tanto el coeficiente de fricción de la ebonita a – 2ºC es igual a IQS Por IQS IQS IQS 0,0272. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

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Este material forma parte del libro: Tomàs, X.; Cuadros, J.; González, L..(2006). Introducción al Cálculo Numérico. Institut Químic de Sarrià. ISBN: 84-611-0645-8.

3. INTERPOLACION Y EXTRAPOLACION

IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 3.8 Métodos IQSnuméricosIQS IQS (III): Interpolación no lineal de IQS paso constante IQS IQS Los métodos IQSdescritos anteriormente IQS IQSsimplificarseIQS IQS pueden en el caso de tablas equiespaciadas IQS trabajar conIQS IQS en la variable IQSindependiente. IQS IQS tabla, es posible IQS Cumpliéndose IQSesta condición, IQS el equiespaciado IQS de la IQS IQS nuevos métodos que permiten obtener mejores acotaciones de los IQS establecer IQS IQS IQS IQS IQS límites de error (Métodos de Bessel, Stirling, Everett, etc.). IQS A continuación IQSse exponenIQS IQS IQS IQS algunos métodos de interpolación no lineal de paso IQS constanteIQS IQS IQS IQS IQS que son de uso frecuente. IQS 3.8.1 Método IQSde LagrangeIQS IQS IQS IQS IQS Como se IQS IQS IQS IQS IQS ha expuesto en el apartado 3.7.1, el polinomio de Lagrange para IQS tablas no equiespaciadas IQS IQSla siguiente expresión IQS general:IQS IQS tiene n IQS IQS IQS IQS IQS IQS ( ) x − x ∏ k IQS IQS IQS n kk =≠0i IQS IQS IQS y = ∑ yi n IQS IQS IQS IQS IQS IQS i=0 ( x − x ) i j IQS IQS IQS ∏ IQS IQS j = 0 IQS j≠i IQS Dado queIQS IQS IQS IQS IQS la tabla es equiespaciada: h = x i − x i −1 ∀i i = 1, ..., n IQS IQS IQS IQS IQS IQS x−x t= el cambio de variable: IQS Si se haceIQS IQS IQS IQS IQS h x = x + th IQS IQS IQS IQS IQS IQS donde h es el equiespaciado, la tabla se transforma en: IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS x tIQS =0 IQS IQS IQS IQS IQS x tIQS =1 x tIQS =2 IQS IQS IQS IQS IQS | | IQS IQS IQS IQS IQS IQS x t =n IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Entonces:IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS x i − x j = t IQS IQS IQS IQS i h + x 0 − t j h − x 0 = h (t i − t j ) = h (i − j) + x 0 − t k h − x 0 =IQS h (t − t k ) = h (t − IQS k) IQS IQS x − x k = t hIQS IQS

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Introducción al Cálculo Numérico. IQS.

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3. INTERPOLACION Y EXTRAPOLACION

IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS y substituyendo IQSen la expresión IQSgeneral: IQS IQS IQS n n IQS IQS IQS IQS hn ∏ (t − t k ) IQS∏ (t − k ) IQS k =0 k =0 n IQS n IQS IQS IQS IQS IQS k ≠i k ≠i y = ∑ yi = ∑ yi n IQS IQS IQS n IQS IQS i = 0IQS hn ∏ (t i − t j ) i = 0 ∏ (i − j) IQS IQS IQSjj=≠0i IQS jj=≠0i IQS IQS IQS que puedeIQS IQS IQS IQS desarrollarse deIQS la forma siguiente: IQS IQS IQS IQS IQS  n   n (−IQS 1) n − j y j    y = ∏ (t − k ) ∑   n − j)! (t − j)  IQS IQS IQS IQS IQS k =0   j = 0 j! (IQS   n   n IQS y j  IQS IQS IQS IQS IQS    y = ∏ (t − k ) ∑ B n ( j)   (t − j)  k =0   j = 0 IQS IQS IQS IQS IQS IQS −j − 1) nIQS ( IQS IQS IQS IQS IQS siendo B n ( j) = j ! (n − j)! IQS De forma IQS IQS IQS IQS IQS que a partir de estas expresiones se pueden generar unas tablas de IQS B (j) que IQS IQS IQS IQS IQS son independientes de la tabla de datos con la que se esté IQS trabajando.IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS EsquemaIQS IQS IQS IQS IQS de cálculo IQS En primer IQS IQS IQS IQS IQS lugar se construye la tabla de B (j): IQS IQS IQS IQS IQS IQS 4 5 IQS IQS IQSB (j) 1 2IQS 3 IQS IQS - 0,16667 0,041667 - 0,008333 IQS IQS 0 -1 0,5 IQS IQS IQS IQS 1 1 -1 0,50000 - 0,166667 0,041667 IQS IQS 2 IQS IQS IQS IQS 0,5 - 0,50000 0,250000 - 0,083333 IQS IQS 3 IQS0,16667 - 0,166667 IQS 0,083333 IQS IQS 0,041667 IQS IQS 4 IQS IQS - 0,041667 IQS IQS IQS IQS 5 IQS IQS 0,008333 IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS por lo tanto IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

3. INTERPOLACION Y EXTRAPOLACION

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS 1/B (j) 1 2 3 IQS 4 5 IQS IQS IQS IQS IQS 0 -1 2 - 6IQS 24 -120 IQS IQS IQS IQS IQS 1 1 -1 2 - 6 IQS IQS IQS IQS 24 IQS IQS 2 2 -2 4 - 12 IQS IQS IQS IQS 12 IQS IQS 3 6 -6 IQS IQS IQS IQS IQS IQS 4 24 - 24 5 IQS IQS IQS IQS 120 IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS se construye la tabla de cálculo como se indica seguidamente: IQS y por últimoIQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS yj    Bn ( j )   (t − j)  IQS j IQSy IQS IQS IQS IQS  B (j) t-j 0,5 t-0 0,5 y / (t - 0) IQS 0 IQSy IQS IQS IQS IQS -1 t-1 -1 y / (t - 1) IQS 1 IQSy IQS IQS IQS IQS 0,5 t-2 0,5 y / (t - 2) IQS 2 IQSy IQS IQS IQS IQS  n   n  yj     IQS IQS IQS IQS IQS IQS (t − j)  ∑ Bn ( j ) ∏ (t − j)   j =0  j=0     IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS El resultado IQS IQS IQS IQS IQS final de la interpolación se obtiene multiplicando el productorio y el IQS sumatorioIQS IQS IQS IQS IQS obtenidos. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS j

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3. INTERPOLACION Y EXTRAPOLACION

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Ejemplo 3.9 IQS IQS IQS IQS IQS IQS Para evaluar IQSlas características IQStérmicas deIQS IQS un determinadoIQS proceso es necesario conocer la capacidad calorífica molar a presión IQS industrial, IQS IQS IQS IQS IQS constante (C en J K mol ) del 1,1,2-tricloroetano a una temperatura (T) de IQS 336 K. IQS IQS IQS IQS IQS se han obtenidoIQS los siguientes datos: IQS Tras consulta IQSbibliográficaIQS IQS IQS IQS T (K) IQS 300 320IQS IQS440 460IQS 340 360 IQS 380 400 420 C (J K mol ) 85,27 89,03 92,63 96,07 99,36 102,50 105,50 108,36 111,09 IQS IQS IQS IQS IQS IQS la capacidad calorífica a 336 K utilizando un polinomio de IQS Determine IQS IQS IQS IQS IQS Lagrange de tercer grado. IQS Cálculo IQS IQS IQS IQS IQS se va a interpolar un polinomio de grado 3, se deberá IQS Dado queIQS IQS IQS IQSescoger los IQS cuatro puntos de la tabla que dejen más centrado el punto para el que se IQS desea conocer IQS la capacidad IQS IQS calorífica. PorIQS tanto se escogenIQS los cuatro primeros puntos de la tabla para efectuar la interpolación. IQS Como laIQS IQS se podrá realizar IQS el cálculoIQS IQS tabla es equiespaciada de forma IQS simplificada. IQSes por tanto:IQS IQS IQS La tabla IQS de datos a considerar IQS IQS IQS IQS y IQS IQS j x 0 300 IQS 85,27 IQS IQS IQS IQS IQS 1 320 89,03 2 340 IQS 92,63 IQS IQS IQS IQS IQS 3 360 96,07 IQS IQS IQS IQS IQS IQS 336 − 300 IQS y el valorIQS IQS a: t =IQS IQS a interpolar corresponde = 1,8 IQS y la tabla de 20 IQS cálculo resulta IQSser la siguiente: IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS j y BIQS (j) t-j 0 85,27 - 0,16666667 1,8 - 7,89537037 IQS IQS IQS IQS IQS IQS 1 89,03 0,5 0,8 55,64375 2 92,63 - 0,5 - 0,2 IQS231,575 IQS IQS IQS IQS IQS 3 96,07 0,16666667 - 1,2 - 13,3430556 265,980324 Sumatorio IQS IQS Productorio IQS 0,3456 IQS IQS IQS IQS El resultado IQS IQS IQS es: y = 0,IQS 3456 * 265,9803 =IQS 91,9228 IQS Por consiguiente IQS la capacidad IQScalorífica delIQS IQS IQS 1,1,2-tricloroetano a 336 K es de mol . IQS 91,92 J KIQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS -1

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3. INTERPOLACION Y EXTRAPOLACION

IQS IQS IQS IQS IQS IQS del polinomio de Newton IQS 3.8.2 Fórmulas IQS derivadasIQS IQS IQS IQS IQS Relación IQS IQS IQS IQS IQS entre diferencias divididas y diferencias tabulares IQS La mismaIQS IQS IQS IQS IQS transformación realizada para el método de Lagrange también puede IQS hacerse para IQS IQS IQS las llamadas IQS fórmulas deIQS los polinomios de Newton, obteniéndose Newton y de Gauss. IQS Gregory - IQS IQS IQS IQS IQS diferencias divididas se simplifican a diferencias tabulares. IQS En ellas, las IQS IQS IQS IQS IQS Se define diferencia tabular de primer orden como la diferencia entre el valor de IQS la funciónIQS IQS IQS IQS IQS o propiedad entre dos puntos consecutivos de la tabla de datos IQS ordenada.IQS IQS IQS Las diferencias tabulares de IQS orden superior IQS se obtienen por de las diferenciasIQS tabulares de orden inferior. IQS diferenciaIQS IQS IQS IQS ∆1j, j+IQS = y j+1 − y j IQS IQS IQS IQS IQS 1 −1 IQS IQS IQS IQS ∆kj, j+IQS = ∆kj+−11,..., j+IQS − ∆kj,..., 1,,... j+k k j+k −1 IQS Para la diferencia IQS de primerIQS IQS IQS IQS orden: IQS IQS IQS y j +1 − yIQS IQS IQS ∆1j, j + 1 j y [x j x j + 1 ] = = IQS IQS IQS x j +1 − xIQS h IQS IQS j IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Para las diferencias IQS de órdenes IQSsuperiores: IQS IQS IQS k ∆IQS IQS IQS IQS IQS IQS j,..., j + k y [x j K x j + k ] = k k !h IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Aplicando la transformación: IQS IQS IQS x − x 0 IQS IQS IQS IQS IQS IQS t = h IQS IQS IQS x = x 0 + th IQS IQS IQS IQS IQS IQS y convirtiendo las diferentes fórmulas de Newton a diferencias tabulares se IQS derivan lasIQS IQS IQS IQS IQS expresiones siguientes: IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Fórmula descendente IQS IQS IQS IQS IQS de Gregory - Newton IQS Proviene de IQS IQS IQS IQS IQS la fórmula descendente de Newton: IQS IQS IQS [x 0 x1 ] (x − x 0 ) + yIQS [x 0 x1x 2 ] (x − x 0 )(IQS Pn (x ) ≡ y = y 0 + yIQS x − x1 ) + + yIQS [x 0 x1x 2 x 3 ] (x − x 0IQS ) (x − x1 )(x − x 2 ) +IQS ... IQS IQS IQS

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Introducción al Cálculo Numérico. IQS.

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3. INTERPOLACION Y EXTRAPOLACION

IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS si IQS IQS IQS IQS IQS IQS x − x 0 = htIQS IQS IQS IQS IQS x − x1 = x − (x 0 + h) = ht − h = h(t − 1) IQS x − x k = xIQS IQS IQS IQS IQS − (x 0 + kh ) = ht − kh = h(t − k ) IQS realizandoIQS IQSsubstituciones IQS IQS las correspondientes se obtiene: IQS IQS IQS IQS IQS IQS −1 ∆20,1,2 ∆n0,1,...,n nIQS 1 P(t ) ≡ y = y 0 + ∆ 0,1t + 1) + K + ∏ (t − i) IQS IQS IQS 2 t (t − IQS IQS n! i IQS =0 IQS que se aplica IQS IQS en el caso deIQS interpolar datos IQS próximos al principio de la tabla. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Fórmula ascendente IQS de Gregory IQS - NewtonIQS IQS IQS IQS Se deriva IQS IQS de Newton. IQS IQS IQS de la fórmula ascendente de variable en este caso es ligeramente IQS El cambioIQS IQS IQS diferente: IQS IQS IQS IQS IQS t = x −hxn IQS IQS IQS IQS IQS IQS x = xn + thIQS IQS IQS oportunas substituciones, a: IQS que, tras las IQS IQS conduce IQS IQS IQS n −1 ∆2 ∆n0,1,...,IQS IQS IQS IQS n 1 IQS n − 2,n −1,n IQS P(t ) ≡ y = y n + ∆ n −1,n t + t(t + 1) + K + (t + i) ∏ n! i=0 IQS IQS IQS 2 IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Se aplica en el caso de realizar interpolaciones al final de una tabla de datos. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS o fórmula inferior de Gauss IQS Primera fórmula IQS de GaussIQS IQS IQS IQS Proviene de la fórmula descendente − ascendente de Newton. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS ∆2−1,0,1 ∆3−1,0,1,2 PIQS (t ) ≡ y = y 0 + ∆10IQS t+ t (t − 1)IQS + t (t + 1) IQS (t − 1) + K IQS IQS ,1 2 3! IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS No se utiliza. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Segunda IQS fórmula de Gauss IQS o fórmula superior IQSde Gauss IQS IQS ascendente -IQS descendente deIQS Newton. IQS Se corresponde IQScon la fórmula IQS IQS

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3. INTERPOLACION Y EXTRAPOLACION

IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS ∆2 ∆3− 2,−1,0,1 IQS IQS IQS IQS IQS 1 IQS−1,0,1 P(t ) ≡ y = y 0 + ∆ −1,0 t + t (t + 1) + t (t + 1) (t − 1) + K IQS IQS IQS 2 IQS3! IQS IQS IQS No se utiliza. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 3.8.3 Fórmulas IQS de StirlingIQS IQS IQS IQS y de Bessel IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Aunque lasIQS IQS no se utilicen IQSactualmenteIQS IQS fórmulas de Gauss con demasiada han sido la base para generar nuevas límites de error IQS frecuencia,IQS IQS IQS fórmulas con IQS IQS IQS inferiores.IQS IQS IQS IQS IQS Las nuevas fórmulas, de Stirling y de Bessel, son las responsables del desuso IQS de las fórmulas IQSde Gauss. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Método de Stirling IQS La idea delIQS IQS IQS IQS IQS método de Stirling es que si un punto es realmente próximo a un IQS punto de IQS IQS IQSresultado siIQS IQS la tabla, se puede obtener un mejor se promedian los IQS resultadosIQS IQSGauss superior IQS IQStomados en IQS obtenidos aplicando y Gauss inferior, el IQS mismo punto. IQS IQS IQS IQS IQS y Gauss_infe rior + y Gauss_supe rior IQS IQS y Stirling =IQS IQS IQS IQS 2 IQS Este procedimiento IQS será aplicable IQS cuando seIQS IQS IQS deba interpolar en la zona media IQS de una tabla IQS IQS al punto más IQScercano de IQS y la distanciaIQS del punto a interpolar la IQS tabla sea inferior IQS a una cuarta IQS parte del equiespaciado. IQS (|t|<0,25). IQS IQS 3 + ∆3− 2,−1,0,IQS IQS IQS∆10,1 + ∆1−1,0IQS∆2−1,0,1 2 ∆IQS IQS 1 −1,0,1,2 P(t ) ≡ y = y 0 + t+ t + t (t + 1) (t − 1) + K IQS IQS 2 IQS 2 IQS2 ⋅ 3! IQS IQS en el cuadro de diferencias tabulares es el siguiente: IQS El esquemaIQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

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3. INTERPOLACION Y EXTRAPOLACION

IQS IQS IQS IQS IQS IQS x y ∆ ∆ ∆ IQS IQS IQS∆ IQS IQS IQS x y IQS IQS IQS IQS IQS IQS * x y IQS IQS IQS* IQS IQS IQS * * * x y * * * IQS IQS IQS* IQS IQS IQS * x y * * IQS IQS IQS* IQS IQS IQS x y * x y IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS método de Stirling acostumbra a dar mejores resultados para grados IQS Elimpares IQS IQS IQS IQS IQS del polinomio de interpolación. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Método de Bessel IQS IQS IQS IQS IQS IQS El método de Bessel se utiliza para interpolar puntos en la zona central de una IQS tabla y aproximadamente IQS IQS IQS IQS IQS equidistantes a dos puntos tabulados. (t > 0.25) IQS En el método IQSde Bessel, xIQS IQS IQS se toma siempre como el puntoIQS más próximo por simplemente elIQS punto más próximo como en los otros IQS defecto (noIQS IQS IQScasos). IQS se basa en la idea de que se obtendrá un mejor resultado si se IQS El métodoIQS IQS IQS IQS IQS aplican simultáneamente la fórmula de Gauss superior desde el punto tabular IQS por excesoIQS IQS IQS IQS IQS y la fórmula de Gauss inferior desde el punto tabular por defecto. IQS El esquemaIQS IQS tabulares IQS IQS IQS del cuadro de diferencias es ahora el siguiente: IQS IQS IQS IQS IQS IQS x y ∆ ∆ ∆ IQS IQS IQS∆ IQS IQS IQS x y IQS IQS IQS IQS IQS IQS * x y * * * IQS IQS IQS* IQS IQS IQS x y * * * IQS IQS IQS* IQS IQS IQS x y * * * * x y IQS IQS IQS IQS IQS IQS * x y IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS y la expresión resultante es: IQS IQS IQS∆2 + ∆2IQS ∆3 IQS IQS y 0 + y1 1 1  −1,0,1 0,1,2 −1,0,1,2 1  t (t − 1) + t (t − 1)  t −  +IQS + ∆ 0,1  t −IQS K + IQS P(t ) ≡ y = IQS 2 2 2 ⋅ 2 IQS 3! IQS  2  IQS IQS IQS IQS IQS IQS

3. INTERPOLACION Y EXTRAPOLACION

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS utiliza la nomenclatura inferior y por esta razón antes de IQS La expresión IQS IQS de Gauss IQS IQS IQS el polinomio de Gauss superior. IQS sumar es necesario IQS modificar IQS IQS IQS IQS El método de Bessel acostumbra a dar mejores resultados para grados pares IQS del polinomio IQS IQS IQS IQS IQS de interpolación. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Ejemplo 3.10 IQS IQS IQS IQS IQS IQS A partir de IQS IQS IQS IQS IQS los datos de la tabla adjunta, determinar la solubilidad del nitrato KNO , en agua IQS a 23, 36 y 55ºC, utilizando de 2º grado. IQS IQS potásico,IQS IQS polinomios IQS t (ºC) 20 IQS30 40 50 IQS IQS IQS IQS60 IQS S (g L ) 31,6 45,8 63,9 85,5 110 IQS IQS IQS IQS IQS IQS Cálculo IQS La IQS IQS tabla IQS de datos de partida [x = t (ºC); y =IQS S (g L )] es equiespaciada, por IQS calcula de entrada la tabla de diferencias tabulares: IQS lo tanto se IQS IQS IQS IQS IQS x IQS y IQS IQS IQS IQS IQS 20 31,6 14,2 3,9 - 0,4 - 0,2 IQS IQS IQS IQS IQS 30 IQS 45,8 18,1 3,5 - 0,6 40 63,9 21,6 2,9 IQS IQS IQS IQS IQS IQS 50 85,5 24,5 60 IQS 110,0 IQS IQS IQS IQS IQS de 23ºC fórmula de Gregory - Newton IQS Para la temperatura IQS IQSse utiliza la IQS IQS IQS descendente ya que el punto a interpolar se encuentra entre los dos IQS primerosIQS IQS IQS IQS IQS de la tabla de datos. = 0,3 IQS Entonces:IQS IQSt = 2310− 20IQS IQS IQS diferencias a utilizar están resaltadas (1ª fila) y los resultados que se IQS Las IQS IQS IQS IQS IQS obtienen para los diferentes grados del polinomio de interpolación son: IQS IQS IQS IQS IQS IQS n 0 1 2 IQS IQS IQS IQS y IQS 31,6 35,86 35,4505IQS IQS Para 55ºC IQS IQS IQS IQSque el puntoIQS , debe aplicarse Gregory - Newton ascendente, dado se sitúa entre los dos últimos de la tabla. IQS de interésIQS IQS 55 − 60 IQS IQS IQS En este caso: t= = − 0,5 IQS IQS IQS 10 IQS IQS IQS IQS Las correspondientes IQS IQS tabularesIQS IQSdestacadas IQS diferencias (zona inferior) están y los resultados a que lleva el método son: IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 3

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Este material forma parte del libro: Tomàs, X.; Cuadros, J.; González, L..(2006). Introducción al Cálculo Numérico. Institut Químic de Sarrià. ISBN: 84-611-0645-8.

3. INTERPOLACION Y EXTRAPOLACION

IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS n 1 2 IQS IQS IQS 1100 IQS IQS IQS y 97,75 97,3875 IQS Para unaIQS IQS IQS IQS IQS temperatura de 36ºC, se aplicará Stirling o Bessel ya que se un punto en la zona central de la tabla. IQS trata de IQS IQS IQS IQS IQS El valor de t calculado a partir del valor más próximo da: IQS IQS IQS t = 36 − 40IQS IQS IQS = − 0,4 10 IQS Como t esIQS IQS IQS IQS IQS en valor absoluto superior a 0,25, conviene utilizar Bessel con como punto inicial. IQS 30ºC IQS IQS IQS IQS IQS Las diferencias están encuadradas y los resultados a los que lleva el IQS método son: IQS IQS IQS IQS IQS n IQS 0 2IQS IQS IQS IQS1 IQS y 54,85 56,66 56,216 IQS IQS IQS IQS IQS IQS tanto la solubilidad del nitrato potásico a 23ºC es de 35,5 g L , a 36ºC IQS Por IQS IQS IQS IQS de 97,4 g L . de 56,2 g L y a 55ºC es IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 3.9 Ventajas IQS e inconvenientes IQS de laIQS IQS IQS interpolación por diferencias IQS divididas IQS IQS IQS IQS IQS o tabulares IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 3.9.1 Ventajas IQS IQS IQS IQS IQS • La inclusión de puntos adicionales solamente implica incluir nuevos IQS términos IQS IQS IQS IQS IQS al polinomio. IQS • PuedenIQS IQS IQS simplemente IQSeliminándolosIQS eliminarse puntos al final del intervalo IQS de la fórmula IQS del polinomio. IQS IQS IQS IQS de diferencias proporciona un indicio del grado IQS • La tabla IQS IQS IQS IQSmáximo delIQS del grado del polinomio de interés para una IQS polinomio IQSa aplicar yIQS IQS IQS IQS determinada precisión. Si una función se puede representar exactamente IQS por unIQS IQS IQS IQS IQS polinomio de grado i, la columna i es constante y las siguientes IQS columnas IQS IQS IQS son nulas. SiIQS la representación no es exacta,IQS la columna (i+1) centrados sobre el valor cero, IQS contendrá IQSpequeños errores IQS aleatoriosIQS IQS IQS a los errores deIQS redondeo y truncamiento, de las siguientes IQS debidosIQS IQS a partirIQS IQS columnas estos errores irán aumentando. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

3. INTERPOLACION Y EXTRAPOLACION

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS la tabla de diferencias detectar la presencia IQS • Mediante IQS IQS se puede IQS IQS de datosIQS en la tabla deIQS datos original. Si las diferenciasIQS se comportan de IQS erróneos IQS IQS IQS forma errática, puede sospecharse que existe un dato erróneo en la IQS una IQS IQS IQS IQS IQS tabla. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 3.9.2 Inconvenientes IQS IQS IQS IQS IQS IQS • El polinomio de interpolación calculado no se puede adaptar para realizar IQS una interpolación IQS inversaIQS IQS IQS IQS excepto si se trata de un polinomio lineal. IQS • En el caso IQSde que existaIQS IQS IQS más de una serie de valores de las ordenadas IQS y dependientes) se debe recalcular diferencias para IQS (variables IQS IQS IQSla tabla deIQS IQS de las ordenadas. IQS cada una IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 3.10 Errores IQSen los métodos IQSde interpolación IQS IQS IQS este apartado se va a considerar que las tablas de datos están libres IQS Dentro deIQS IQS IQS IQS IQS de error, o bien los errores afectan únicamente a la variable dependiente. Si el IQS error no esIQS IQS IQS IQS IQS explícito, se considera que dicho error corresponde a la mitad de la IQS última cifraIQS IQS IQS IQS IQS expresada (error implícito). si un dato seIQS da como 7,58 seIQS entiende que suIQS error absoluto es IQS Por ejemplo, IQS IQS IQS de ± 0,005.IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS de cálculo IQS 3.10.1 Errores IQSen los métodos IQSnuméricosIQS IQS IQS se aplica un método para obtener un IQS dato de interés, se IQS Siempre que IQS IQS numéricoIQS IQS estimación del mismo, es decir un valor aproximado de este dato IQS obtiene una IQS IQS IQS IQS IQS que está afectado por diversas fuentes de error que pueden agruparse en tres IQS grandes bloques: IQS errores IQS IQS IQS IQS de base, errores iniciales de los datos y errores IQS debidos alIQS IQS IQS IQS IQS método numérico . errores de base pueden considerarse la IQS Entre los IQS IQS IQS los posibles IQSerrores en IQS resolución del problema, en la interpretación y IQS elección del IQSmétodo de IQS IQS IQS IQS limitaciones del mismo y también la posible presencia de datos erróneos o IQS anómalos.IQS IQS IQS IQS IQS Este último aspecto es generalmente detectable y será una buena IQS IQS IQS IQS IQS IQS Introducción al Cálculo Numérico. IQS.

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS prudencia analizar iniciales y descartar IQS medida deIQS IQS los datosIQS IQS los puntosIQS IQS incorrectos.IQS IQS IQS IQS IQS Los errores iniciales de los datos se propagan en los cálculos que implican la IQS resoluciónIQS IQS IQS IQS IQS del método numérico, dando lugar a una incertidumbre que se acota IQS a través delIQS IQS del resultado IQS IQS IQS error de propagación obtenido. IQS Por últimoIQS IQS el error del IQS método numérico considerado,IQS en este caso IQS la tiene dos posibles IQS interpolación, IQS IQSfuentes de error: IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS • Error de truncamiento: Esta primera fuente de error es inherente al IQS métodoIQS IQS IQS IQS IQS de cálculo utilizado. Todos los resultados que se pueden obtener IQS numéricamente IQS son IQS IQS no seránIQS estimaciones yIQS estas seguramente método numérico de cálculo, será IQS exactamente IQS el valor deseado. IQS Para todoIQS IQS IQS saber cual esIQS el límite de errorIQS del dato que se está IQS necesario IQS IQSobteniendo. IQS redondeo: La segunda fuente de error es la debida al redondeo IQS • Error de IQS IQS IQS IQS IQS de los resultados parciales en un proceso de cálculo, bien sea debido al IQS redondeo IQS IQS IQS IQS IQS efectuado por el operador o por la herramienta de cálculo IQS utilizada. IQS IQS IQS IQS IQS de la asignatura no se tendrá habitualmente en IQS cuenta esta fuente IQS A lo largo IQS IQS IQS IQS dado que los métodos que se describirán son sencillos, implican IQS de errorIQS IQS IQS IQS IQS pocas operaciones y la herramienta de cálculo utilizada (ordenador) tiene IQS una precisión IQS suficiente.IQS IQS IQS IQS IQS El límite deIQS IQS IQS será la suma IQSde los erroresIQS error de un procedimiento de cálculo los datos (errores de propagación) y los errores propios IQS debidos aIQS IQS IQS IQS del cálculoIQS IQS (error de método). IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS en una tabla de datos IQS 3.10.2 Detección IQS de errores IQS IQS IQS IQS IQS DetecciónIQS IQS IQS IQS IQS de datos erróneos IQS La detección IQSde datos erróneos IQS puede realizarse IQS por dos IQS IQS procedimientos IQS diferentes:IQS IQS IQS IQS la vía gráfica y la vía numérica. IQS pueden detectarse a la vista de una representación IQS • Vía gráfica: IQSLos erroresIQS IQS IQS IQS de los datos. Esto será sencillo si el módulo del gráfico es grande o el IQS gráfica IQS IQS IQS IQS IQS error es importante. Ahora bien, si la precisión de los datos es alta y se IQS IQS IQS IQS IQS IQS

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS hacer una interpolación vía puede no ser IQS pretendeIQS IQS con poco IQSerror, esta IQS IQS IQS viable. IQS IQS IQS IQS IQS numérica: Los errores se propagan en una tabla de diferencias divididas IQS • (oVíatabulares) IQS de una forma IQScaracterística.IQS IQS IQS Esta es una vía adecuada para IQS detectarIQS IQS IQS IQS IQS un error y resulta un método extraordinariamente sensible. IQS Sea la siguiente IQS tabla en laIQS IQSestá afectado IQS que el cuarto punto por un error εIQS y su influencia aIQS lo largo de las IQS sucesivas columnas IQS observemos IQS IQSde la tabla deIQS IQS diferencias:IQS IQS IQS IQS IQS IQS x IQS IQS IQS IQS IQS y IQS 0 IQS IQS IQS IQS IQS 0 0 0 IQS 1 IQS IQS IQS IQS IQS 0 0 0 εIQS 0 0 IQS 2 IQS IQS IQS IQS ε − 5ε 0 ε − 4ε 0 IQS 3 IQS IQS IQS10ε 15εIQS IQS ε − 3ε − 35ε 4 6ε ε − 2ε − 20ε 70ε −ε 3ε IQS 5 IQS IQS IQS− 10ε 15εIQS35ε IQS 0 ε − 4ε 0 −ε IQS 6 IQS IQS IQS 5ε IQS IQS 0 0 ε 0 0 IQS 7 IQS IQS IQS IQS IQS 0 0 0 0 IQS 8 IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Para identificar un error en una tabla basta observar: IQS • un punto IQS IQS IQS IQS IQS de ruptura: Un punto en el que el signo de la diferencia afectada IQS de errorIQS IQS IQSdel mismo orden IQS(columna). IQS es diferente a las demás diferencias IQS • un triángulo IQS de propagación IQS : Es IQS IQS posible detectarIQS el conjunto de el error del datoIQS inicial. IQS diferencias IQSafectadas porIQS IQS IQS IQS Este triángulo IQS de propagación IQS tiene las siguientes IQS características: IQS IQS El valor de las diferencias crece con el orden de las mismas. IQS IQS IQS IQS IQS IQS Las diferencias afectadas por el error tienen alternancia de signo. IQS IQS IQS simetría respecto IQS al valorIQS IQS El triángulo presenta absoluto de las diferencias. IQS IQS IQS IQS IQS IQS Para cada columna las diferencias centrales son las que presentan IQS IQS IQS IQS IQS IQS valores mayores (en valor absoluto). IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

3. INTERPOLACION Y EXTRAPOLACION

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS La relación numérica diferencias corresponde IQS IQS IQS de las IQS IQS a losIQS coeficientes del binomio de Newton y del triángulo de Tartaglia o de IQS IQS IQS IQS IQS IQS Pascal. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS En las siguientes IQS tablas deIQS IQS IQS diferencias seIQS muestra el efecto de un error de IQS diferente magnitud. IQS Todas las IQS tablas se han IQS obtenido a partir IQS de la función: IQS + x – 3x – 5. IQS IQS y = 0,0075xIQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS x y IQS 0 -5 IQS IQS IQS IQS IQS -1,9925 2,105 IQS IQS 1 -6,9925IQS IQS IQS IQS 0,1125 0,27 0,18 -6,88 2,375 -8,8818E-15 2,4875 0,45 IQS 23 -4,3925 IQS IQS IQS IQS IQS 0,18 2,5757E-14 2,825 1,6875E-14 -6,1284E-14 5,3125 0,63 0,18 -3,5527E-14 3,455 IQS IQS 4 0,92 IQS IQS IQS 1,4566E-13IQS 8,7675 -1,8652E-14 8,4377E-14 0,81 4,265 0,18 4,885E-14 13,0325 0,99 3,0198E-14 IQS 56 9,6875 IQS IQS IQS IQS IQS 0,18 22,72 5,255 18,2875 1,17 IQS 7 41,0075IQS IQS IQS IQS 6,425 IQS 24,7125 IQS 8 65,72 IQS IQS IQS IQS IQS Tabla 3.4: Diferencias tabulares de una tabla de datos sin error. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS x y IQS IQS IQS IQS IQS IQS 0 -5 IQS IQS IQS IQS IQS -1,9925 1 -6,9925 2,105 0,1125 0,27 IQS 2 -6,88 IQS IQS IQS 11,26 IQS 2,375 IQS -55,4 2,4875 11,53 -44,14 IQS 166,2 13,905 IQS IQS 3 -4,3925IQS IQS IQS 16,3925 110,8 -387,8 -32,61 4 12 -18,705 66,66 -221,6 775,6 -2,3125 34,05 -110,8 387,8 IQS 5 9,6875IQS IQS IQS -44,14 IQS 166,2 15,345 IQS 55,4 13,0325 -10,09 11,26 IQS 5,255 IQS IQS 6 22,72 IQS IQS IQS 18,2875 1,17 7 41,0075 6,425 24,7125 IQS 8 65,72 IQS IQS IQS IQS IQS Diferencias tabulares de datos con unIQS dato “muy” IQS Tabla 3.5:IQS IQSde una tablaIQS IQS IQS erróneo. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Las dos tablas siguientes muestran la influencia de un punto anómalo en el IQS caso de que IQS IQS IQS IQS IQS el error sea menor. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS


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3. INTERPOLACION Y EXTRAPOLACION

IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS x y IQS IQS IQS IQS IQS -5 IQS 01 -6,9925 IQS IQS IQS IQS IQS -1,9925 2,105 0,1125 0,27 IQS 2 -6,88 IQS IQS IQS 5,26 IQS 2,375IQS -25,4 5,53 2,4875 -20,14 76,2 7,905 IQS 34 -4,3925 IQS IQS IQS IQS 355,6 IQS 50,8 -177,8 10,3925 -14,61 6 30,66 -101,6 -6,705 3,6875 -50,8 177,8 16,05 IQS 5 9,6875IQS IQS IQS 9,345IQS -20,14 IQS 76,2 13,0325 -4,09 25,4 5,26 5,255 IQS 6 22,72 IQS IQS IQS IQS IQS 18,2875 1,17 6,425 7 41,0075 24,7125 IQS 8 65,72 IQS IQS IQS IQS IQS Diferencias tabulares de datos con unIQS dato con error IQS IQS Tabla 3.6:IQS IQSde una tablaIQS el de la tabla 3.5. IQS menor queIQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS x y IQS IQS IQS IQS IQS IQS 0 -5 IQS IQS IQS IQS IQS -1,9925 2,105 IQS 12 -6,9925 IQS IQS IQS IQS IQS 0,1125 0,27 0,78 -6,88 2,375 -3 2,4875 1,05 IQS 3 -4,3925IQS IQS IQS -2,22 IQS 9 3,425IQS 5,9125 6 -21 -1,17 1,52 2,255 3,78 -12 42 IQS 45 9,6875 IQS IQS IQS IQS IQS 8,1675 2,61 -6 21 -2,22 4,865 9 3 13,0325 0,39 IQS 6 22,72 IQS IQS IQS 0,78 IQS 5,255IQS 18,2875 1,17 6,425 IQS 7 41,0075IQS IQS IQS IQS IQS 24,7125 8 65,72 IQS Tabla 3.7:IQS IQSde una tablaIQS IQS Diferencies tabulares de datos con unIQS dato con un error IQS mucho menor IQS IQS3.5. IQS IQS IQS que el de la tabla IQS IQS IQS IQS IQS IQS anteriores corresponden al caso en que sean equiespaciadas. En el IQS Las tablasIQS IQS IQS IQS IQS caso de tratarse de una tabla no equiespaciada se puede detectar un IQS comportamiento IQS análogo y IQS IQS IQS IQS pueden hacerse las mismas consideraciones. IQS Las tablasIQS IQS IQS para elIQS IQS 3.8 y 3.9 muestran dicho comportamiento caso de una tabla utilizando el IQS mismo polinomio que en el caso IQS no equiespaciada IQS construida IQS IQS IQS = 0,0075x + x –IQS 3x – 5). IQS anterior (yIQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

128

0

-5

1,2 -7,144448

2,8 -5,099008 3

-4,3925

3,6 -1,580288 5

9,6875

6,2 25,922252 7

41,0075

8

65,72

0

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6,2 25,922252 7

41,0075

8

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-1,78704

1,2784

3,53254 4,68702 8,04842

13,52896 18,85656

24,7125

-1,78704 1,2784

3,53254

10,654167 5,4910714

13,52896 18,85656

24,7125

1,0948 1,2523 1,4431 1,6807 2,1079 2,6638 3,2533

1,0948 1,2523

8,9020333

-2,581548

3,0914956

2,6638 3,2533

0,0525 0,0795 0,108

0,1335 0,1635 0,1965

0,0075 0,0075 0,0075 0,0075 0,0075

0,0525

3,1873889

-5,2198095 1,772826

-0,125793 0,1965

-6,9493E-16

6,2762E-16

-4,8634E-16

6,1062E-16

0,8708025 -2,212421

2,0566575

-0,4746547

0,0732484

2,1332E-16

-1,9206E-16

2,1095E-16

-0,616645

0,8538156

-0,6026934

0,1095806

-5,7911E-17

5,9267E-17

0,237171

-0,2511222

0,1369758

Introducción al Cálculo Numérico. IQS.

-0,069756

0,0570732

1,4647E-17

0,01585368

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3. INTERPOLACION Y EXTRAPOLACION

IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS x y IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Tabla 3.8: Diferencias divididas de una tabla de datos no equiespaciada sin IQS errores. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS x y IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Tabla 3.9: Diferencias divididas de una tabla de datos no equiespaciada con un IQS punto erróneo. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Estimación del grado límite del polinomio de interpolación IQS Como se IQS IQS IQS IQS IQS puede observar en las tablas de datos anteriores, especialmente en IQS aquellas que IQS no contienenIQS datos erróneos,IQS las diferencias IQS se igualan para IQS el IQS orden 4, que IQS IQS con el queIQS IQS corresponde IQS al grado del polinomio se han calculado IQS los valores.IQS IQS IQS IQS IQS de diferencias se puede estimar el grado máximo del polinomio de IQS En una tabla IQS IQS IQS IQS IQS interpolación observando las siguientes indicaciones: IQS • Si la tabla IQScorrespondeIQS IQS IQS IQS exactamente a un polinomio, las diferencias del IQS orden correspondiente IQS IQS IQSserán constantes. IQS IQS al grado del polinomio IQS • Las diferencias IQS de ordenIQS IQS IQS superior al grado del polinomio IQS serán cero en una mostrarán una variación aleatoria IQS tabla exacta, IQS o sus valores IQS IQS IQSy centrada enIQS una tabla de datos aproximados. IQS cero enIQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

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0

0

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n

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1

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2

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n

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n

n

n

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3. INTERPOLACION Y EXTRAPOLACION

IQS IQS IQS IQS IQS IQS a medida que aumenta y IQS • Las diferencias IQS suelen disminuir IQS de valorIQS IQS su ordenIQS también mostrarIQS una tendencia IQS claramente apreciable. IQS suelenIQS IQS Cuando lasIQS no son significativas, por lo general aumentan al aumentar el IQS diferencias IQS IQS IQS IQS IQS orden de la diferencia y no suelen mostrar una tendencia clara y definida. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Presencia de un punto erróneo en la tabla de datos IQS IQS IQS IQS IQS IQS Ante la presencia de un punto erróneo en una tabla de datos, siempre que sea IQS posible seIQS IQS IQS IQS IQS procede a descartarlo y a trabajar con el resto de los datos. IQS Si por alguna IQS IQS IQS IQSalgún métodoIQS razón interesa conservar el dato para poder aplicar concreto (por ejemplo de una integración), el IQS numérico IQS IQSen el casoIQS IQSse corrige IQS el valor interpolado sobre el resto de la tabla, es decir, recalculado IQS punto conIQS IQS IQS IQS IQS como si el punto erróneo hubiera sido un punto desconocido. IQS En tablas IQS IQS IQS IQS IQS exactas, el valor también puede corregirse sumando el término de IQS error que se IQS IQS IQS IQS IQS obtiene del patrón binomial de propagación. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 3.10.3 Error IQS IQS IQS IQS IQS de truncamiento en la interpolación polinómica IQS En los puntos IQS IQS IQS IQS tabulados el IQS error es obviamente: IQS IQS ε = f (xIQS IQS para i = 0,IQS IQS 1,..., n i ) − Pn (x i ) = 0 IQS IQS IQS IQS IQS IQS no tabulados,IQS dada la tabla: IQS IQS En los puntos IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS x y IQS IQS IQS IQS IQS IQS x y = f(x ) = P (x ) IQS IQS IQS IQS IQS x y = f(x ) =IQS P (x ) x y = f(x ) =IQS P (x ) IQS IQS IQS IQS IQS | | IQS IQS IQS IQS IQS IQS x y = f(x ) = P (x ) IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Se define IQS IQS IQS IQS IQS la función error como R(x ) = f (x ) − Pn (x ) y se supone que f(x) es IQS derivable (n+1) IQSen el intervalo IQS IQS IQS IQS [x , x ]. IQS Si se introduce IQSuna funciónIQS IQS IQS IQS u(x) tal que: IQS IQS IQS IQS IQS IQS

3. INTERPOLACION Y EXTRAPOLACION

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS n IQS IQS IQS IQS IQS IQS u( x ) = f (x ) − Pn (x ) − k ∏ (x − x i ) i=0 IQS IQS IQS IQS IQS IQS tiene (n+1) raíces correspondientes x (i = 0,..., n). IQS IQS esta función IQS IQS IQSa los puntosIQS = 0, entonces IQS Seleccionando IQSt, tal que u(t)IQS IQS IQS IQS n (t − x i ) = 0 u( t )IQS = f (t ) − Pn (t ) − k ∏ IQS IQS IQS IQS IQS i=0 IQS y IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQSk = f (t ) − PnIQS IQS IQS (t ) IQS IQS IQS ∏n (t − xIQS IQS IQS i) IQS IQS IQS i = 0 IQS IQS IQS tanto, u(x) tiene n+2 raíces, su primera derivada tendrá (n+1) raíces, la IQS Por IQS IQS IQS IQS IQS segunda derivada tendrá n raíces, etc. de forma que la (n+1)-ésima derivada, IQS u (x), tendrá IQSal menos una IQS IQS IQS IQS raíz ξ tal que: IQS IQS IQS IQS IQS IQS u (n+1) (ξ ) = 0 ξ ∈ [x 0 , x n ] IQS IQS IQS IQS IQS IQS u (n + 1) (x ) = f (n + 1) (x ) − k (n + 1)! IQS Para x = ξ:IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS f (n +1) (IQS IQS IQS ξ) IQS IQS IQS k = (n + 1)!IQS IQS IQS los valores de k:IQS IQS IgualandoIQS IQS IQS IQS ( ) n + 1 f (t ) − Pn (t ) f (ξ ) k= = IQS IQS IQS IQS IQS IQS n (n + 1) ! (t − x i ) IQS IQS IQS IQSi∏ IQS IQS =0 t es arbitrario y ξIQS depende de t y pertenece ]: IQS Dado que IQS IQS a [x , x IQS IQS 1) IQS IQS IQS IQS f (n +IQS (ξ) n (x − x ) IQS R( x ) = f (x ) − Pn (x ) = ∏ i (n IQS + 1) ! i = 0 IQS IQS IQS IQS IQS el error máximo se define: IQS Para buscar IQS IQS IQS IQS IQS ( n + 1) Mn + 1 = max f (x ) IQS IQS IQS IQS IQS x ≤ x ≤ x IQS n IQS IQS IQS Mn+1 IQS IQS IQS y entonces el error es: R( x ) ≤ ( x − x ) i IQS IQS IQS (n + 1) ! ∏ IQS IQS i=IQS 0 IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS (n+1)

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Este material forma parte del libro: Tomàs, X.; Cuadros, J.; González, L..(2006). Introducción al Cálculo Numérico. Institut Químic de Sarrià. ISBN: 84-611-0645-8.

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Este material forma parte del libro: Tomàs, X.; Cuadros, J.; González, L..(2006). Introducción al Cálculo Numérico. Institut Químic de Sarrià. ISBN: 84-611-0645-8.

3. INTERPOLACION Y EXTRAPOLACION

IQS IQS IQS IQS IQS IQS de interpolación en las fórmulas de Newton IQS IQS 3.10.4 Error IQS IQS IQS IQS están equiespaciados, IQS Si los puntos IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS x i + 1 − x i = h i = 0,..., n − 1 IQS IQS IQS IQS IQS IQS x − x0 t= IQS IQS IQSh IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS que en base a lo establecido para el polinomio de Lagrange, conduce a: IQS IQS IQS IQS IQS IQS ( n n + 1) f (ξ) (t − i) RIQS ( x ) = hn +1 IQS IQS IQS IQS IQS (n + 1)! i∏ =0 IQS para el polinomio IQS ascendente IQS IQS o a: IQS IQS de Gregory - Newton, IQS IQS IQS n +1 f (n +1)IQS IQS IQS ( ξ) n (t + i) R( x ) = h )! i∏ IQS IQS IQS (n + 1IQS IQS IQS =0 de Gregory -IQS Newton. IQS para el polinomio IQS descendente IQS IQS IQS que ∆ es prácticamente constante y que h es pequeño: IQS Suponiendo IQS IQS IQS IQS IQS ∆n+1 IQS IQS IQS IQS IQS f (n+1) (x ) = limIQS h→0 h n+1 IQS IQS IQS IQS IQS IQS ∆n+1 ( n+1) f (ξ) ≈ n+1 IQS IQS IQS IQS IQS h IQS IQS entonces:IQS IQS IQS IQS IQS n ∆n+1 IQS IQS IQS IQS IQS IQS (t − i) R( x ) = ∏ i =0 IQS IQS IQS (n + 1)! IQS IQS IQS n ∆n+1 IQS IQS IQS IQS IQS IQS (t + i) R( x ) = (n + 1)! ∏ i =0 IQS IQS IQS IQS IQS IQS que corresponde al siguiente término del polinomio. Una demostración análoga IQS podría realizarse IQS para las tablas IQSde paso noIQS IQS IQS constante. IQS Dado queIQS IQS IQS IQS los resultados que se obtienen para el polinomio IQS de Newton y el de son iguales si IQS se consideran los mismos puntos, este resultado IQS Lagrange IQS IQS IQS IQS métodos de interpolación. IQS puede generalizarse IQS para cualquiera IQS de los dos IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

3. INTERPOLACION Y EXTRAPOLACION

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 3.10.5 Errores IQSde propagación IQS IQS IQS IQS propagación se substituirá IQS Para determinar IQS el error deIQS IQS la variable IQSpor el error deIQS en el polinomio de interpolación. IQS la variableIQS IQS IQS IQS IQS Así, en el caso de una diferencia dividida de primer orden el error resulta ser: IQS IQS IQS y −IQS IQS IQS y y[x x ] = x −IQS x IQS IQS IQS IQS IQS Ey + Ey E[x x ] = IQS IQS IQS IQS IQS IQS x −x IQS Ello lleva IQS IQS IQS IQS IQS fácilmente a que la expresión del error de propagación (E ) del IQS polinomio IQS IQS IQS IQS descendente de IQS Newton sea: IQS IQS ] (x − x 0 ) + E[xIQS E pIQS = E y + E[x 0 x 1IQS − x 1 ) + ... 0 x 1x 2 ] (x − x 0 ) (xIQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 3.10.6 Determinación IQS IQS IQS IQS IQS del criterio de parada. IQS De forma IQS IQS IQS IQS IQS general, se entiende que el mejor resultado de un método numérico IQS (o de diversos IQSmétodos numéricos IQS si se comparan IQS entre ellos) IQSes aquel queIQS la estimaciónIQS con menor error. Para establecer IQS proporcionaIQS IQS IQSel criterio deIQS un proceso de interpolación, será necesario estudiar y comparar la IQS parada deIQS IQS IQS IQS IQS evolución del error de interpolación y del error de propagación. IQS Son criterios IQS IQS IQS IQS IQS de paro los siguientes: IQS • Con losIQS IQS IQS los cálculos. IQS IQS datos disponibles no es posible continuar IQS • El errorIQS IQS IQS IQS el error deIQS de interpolación disminuye menos de lo que aumenta IQS propagación. IQS IQS IQS IQS IQS de interpolación pierde su carácter descendente. IQS • El errorIQS IQS IQS IQS IQS Es decir se considera como grado óptimo el que corresponde al último valor de IQS la primeraIQS IQS IQS IQS IQS serie decreciente del error total (Error total = Error de interpolación + IQS Error de propagación). IQS IQS IQS IQS IQS IQS En cualquier IQS IQS IQS caso, se da IQS como resultado el valor obtenidoIQS con el grado que sin considerar los grados posteriores IQS tenga un error IQSsuma menor,IQS IQS IQSa la condiciónIQS el error será la suma de los dos errores del grado final seleccionado. IQS de paro, yIQS IQS IQS IQS IQS En la práctica todo ello se acostumbra a representar en una tabla como la IQS siguiente: IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS i

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Este material forma parte del libro: Tomàs, X.; Cuadros, J.; González, L..(2006). Introducción al Cálculo Numérico. Institut Químic de Sarrià. ISBN: 84-611-0645-8.

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3. INTERPOLACION Y EXTRAPOLACION

IQS IQS IQS IQS IQS IQS y IQS E E ΣE IQS IQS IQS IQS IQS E IQS IQS P (x) IQSE IQS ΣE IQS IQS E IQS IQS P (x) IQSE IQS ΣE IQS IQS | | | IQS IQS IQS | IQS IQS IQS IQS SolamenteIQS IQS IQS IQS IQS en contadas ocasiones se interpolará un polinomio de grado IQS superior aIQS IQS IQS IQS IQS 6. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Ejemplo 3.11 IQS IQS IQS IQS IQS S. Viswanathan et al [Thermochimica ActaIQS 335 (1999), 69-72] han IQS determinado IQSel exceso IQS IQS IQS de entalpía (H en J mol ) para la mezcla de MTBE sus resultados,IQS que se IQS (metil-t-butiléter) IQS y nitrobenceno. IQS A partir deIQS IQS muestran en la tabla adjunta, determinar el exceso de entalpía producida al IQS prepararIQS IQS molar de IQS IQS 0,4000. una mezcla de fracción MTBE (x ) igual aIQS IQS IQS x IQSH (J mol ) IQS x H (J mol ) x IQS H (J mol ) IQS 0,00 0,3932 80,13 0,7007 - 1,95 IQS 0,0000 IQS IQS IQS IQS IQS 0,0265 22,99 0,4424 69,51 0,7573 - 15,66 0,4677 63,39 - 27,06 IQS 0,0477 IQS38,44 IQS IQS 0,8254 IQS IQS 0,0923 63,68 0,5392 44,21 0,8417 - 28,57 79,74 0,6010 26,35 0,8928 - 29,09 IQS 0,1343 IQS IQS IQS IQS IQS 0,2242 95,03 0,6719 5,90 0,9855 - 7,06 0,6802 0,60 0,00 IQS 0,3118 IQS92,46 IQS IQS 1,0000 IQS IQS en primer lugarIQS se procede a estudiar IQS Para resolver IQSel problema,IQS IQSlos datos IQS disponibles. Esto puede realizarse gráfica o numéricamente. IQS IQS IQS IQS IQS IQS Representación de los datos IQS IQSH J/mol IQS IQS IQS IQS 120 IQS IQS IQS IQS IQS IQS 100 IQS IQS IQS IQS IQS IQS 80 60 IQS IQS IQS IQS IQS IQS 40 IQS IQS IQS IQS IQS IQS 20 IQS IQS IQS IQS IQS IQS 0 0 0,2 0,6 0,8 IQS IQS IQS 0,4 IQS IQS 1 IQS -20 -40 IQS IQS IQS IQS IQS IQS x IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

3. INTERPOLACION Y EXTRAPOLACION

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Tabla deIQS diferencias divididas IQS IQS IQS IQS x IQS H (J mol ) 0,0000 0,00 867,55 -2909,30 IQS 22,99 IQS-2474,99 4705,42 IQS -10473,80 IQS 37457,83 0,0265 728,77 3298,79 -2075,76 -1666,81 IQS 0,0477 565,92 -2119,38 971,94 IQS 38,44 IQS-1609,58 2888,41 IQS -2551,30 IQS 1738,75 IQS 0,0923 63,68 382,38 2214,61 -2215,49 0,1343 170,08 -1123,47 3177,61 IQS 79,74 IQS-722,70 1547,97 IQS -1606,76 IQS -3707,73 IQS 0,2242 95,03 -29,34 1052,93 -547,34 0,3118 92,46 -151,47 -492,95 919,65 -1715,28 9355,37 IQS IQS IQS IQS IQS 0,3932 80,13 -215,85 -349,58 529,59 990,29 -2810,57 0,4424 -241,90 735,38 206,99 -637400,39 IQS 69,51 IQS-272,26 IQS IQS7420633,66 IQS 0,4677 63,39 -268,25 -155,63 782,88 -151366,83 0,5392 44,21 -289,00 4,24 -31382,57 1577640,82 -20444659,34 IQS IQS IQS IQS IQS 0,6010 26,35 -288,43 -4420,70 223406,42 -2881339,39 19854345,68 0,6719 -638,55 17852,92 -226946,92 1573975,79 -9730212,08 IQS 5,90 IQS IQS -78214,23IQS379283,39 IQS 0,6802 0,60 -124,39 -1528,35 14658,36 0,7007 -1,95 -242,23 2026,76 IQS -15,66 IQS600,04 IQS 2421,42 IQS 1201,72 IQS 0,7573 -167,40 885,82 2491,92 2763,67 4619,65 0,8254 -92,64 IQS -27,06 IQS1223,47 3122,59 IQS 3884,86IQS IQS 0,8417 -28,57 -10,18 1723,40 3800,88 0,8928 237,65 IQS -29,09 IQS2325,08 IQS IQS IQS 0,9855 -7,06 486,90 1,0000 IQS 0,00 IQS IQS IQS IQS Como seIQS observa en la tabla de diferencias y también en elIQS gráfico, el punto IQS IQS IQS (0,6802; 0,6) es erróneo. En consecuencia se descarta para los cálculos. IQS IQS IQS estánIQS Los datos correspondientes a la variable dependiente expresados conIQS dos cifras decimales, por tanto su error implícito es de 5 10 . IQS entre losIQS IQS IQS El puntoIQS a interpolar se encuentra puntos de la tabla 0,3932 y 0,4424, siendo más próximo al primero de ellos. El polinomio a aplicar es el IQS IQS IQS IQS IQS descendente - ascendente y el punto de referencia será (0,3932; 80,13). IQS IQS IQS IQS IQS Tabla de resultados IQS IQS IQS Ep IQS IQS n y Ei 0 IQS 80,130000 1,467805 0,005000 IQS IQS IQS IQS 1 78,662195 0,142128 0,006382 2 IQS 78,804323 0,023387 0,007102 IQS IQS IQS IQS 3 78,780936 0,000942 0,008820 IQS IQS IQS IQS 4 IQS 78,779994 0,001122 0,009424 5 78,778872 0,000716 0,010439 IQS IQS IQS IQS 6 IQS 78,779588 0,001239 0,010926 IQS IQS Resulta IQS suficiente calcularIQS hasta un polinomio de grado 3, ya que a partir de IQS dicho grado el error de propagación supera al de interpolación. El resultado IQS IQS IQS IQS IQS óptimo corresponde a dicho polinomio de grado 3, y la suma de errores es 0,009762 J mol . IQS IQS IQS IQS IQS Por lo tanto, el exceso de entalpía, para la mezcla de fracción molar 0,4000 en MTBE, es de 78,78 ± 0,01 IQS IQSJ mol . IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS -1

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Este material forma parte del libro: Tomàs, X.; Cuadros, J.; González, L..(2006). Introducción al Cálculo Numérico. Institut Químic de Sarrià. ISBN: 84-611-0645-8.

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3. INTERPOLACION Y EXTRAPOLACION

IQS IQS IQS IQS IQS IQS errores en interpolaciones inversas IQS 3.10.7 LosIQS IQS IQS IQS IQS resolver una IQS interpolación inversa invertir la tabla de IQS Una vía para IQS IQSconsiste en IQS IQS y e y como x) y realizar la interpolación como si se IQS datos (considerar IQS x como IQS IQS IQS IQS tratara de una interpolación directa. IQS En consecuencia IQS el error deIQS IQS IQS IQS los datos que se considera en este caso es el error IQS implícito deIQS IQS IQS IQS los datos de la IQS nueva variable dependiente. el origen de ambas datos (x,y) es, de IQS Esto significa IQSsuponer queIQS IQSseries de IQS IQS su expresión está adecuada a la precisión de sus IQS hecho, experimental IQS y queIQS IQS IQS IQS IQS valores. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 3.11 Interpolación en tablas de más de una variable independiente IQS IQS IQS IQS IQS IQS Para interpolar en una tabla con más de una variable independiente existen dos IQS posibilidades: IQS IQS IQS IQS IQS IQS • GenerarIQS IQS IQSmás de unaIQS IQS un polinomio de interpolación para variable. Aunque polinomios desarrollados de tablas, no se IQS existen IQS IQS para trabajar IQScon este tipoIQS IQS IQS van a exponer IQS en este momento. IQS IQS IQS IQS Generar una nueva tabla en la que se hayan fijado todas las variables IQS • excepto IQS IQS IQS IQS IQS una. Para obtenerla se debe interpolar la función para cada una de IQS las variables IQSen todos losIQS IQS IQS IQS puntos de las variables que quedan sin fijar. IQS IQS IQS IQS IQS IQS se utilizan paraIQS un número limitado IQS Estas técnicas IQSsolamente IQS IQSde variablesIQS IQS independientes. IQS IQS IQS IQS IQS IQS DesarrolloIQS IQS IQS IQS IQS del método para dos variables independientes IQS ConsidereIQS IQS que partimos deIQS la siguiente tablaIQS de valores de yIQS con doble entrada IQS (x, z) IQS IQS IQS IQS IQS y IQS x x x x IQS IQS IQS IQS IQS z y00 y10 y20 y30 IQS IQS IQS IQS IQS IQS z y01 y11 y21 y31 IQS IQS IQS IQS IQS IQS z y02 y12 y22 y32 IQS IQS IQS z IQS y03 y13 IQS y23 y33 IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

3. INTERPOLACION Y EXTRAPOLACION

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS que se desea interpolar el punto (x , z ), paraIQS ello se procede IQS a IQS Supongamos IQS IQS IQS en la tabla x,y para el valor z = z . IQS generar filaIQS IQS IQS IQS IQS Primero se interpola z para cada uno de los valores de x, y así se genera una IQS tabla comoIQS IQS IQS IQS IQS la siguiente: IQS IQS IQS x y IQS IQS IQS IQS IQS IQS x y0kIQS IQS IQS IQS IQS IQS x y1kIQS IQS IQS IQS IQS IQS x y2kIQS IQS IQS x y3k IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Y a continuación IQS como pasoIQS IQS IQS IQS final se interpola x en esta nueva tabla de puntos. IQS Caso de una IQS IQS IQS generandoIQS es análogo interpolación IQS para x = x el procedimiento correspondiente, tal como se muestra ejemplo donde IQS la columnaIQS IQS IQSen el siguiente IQS IQS el procedimiento para proceder a interpolar en una tabla con dos IQS se detallaIQS IQS IQS IQS IQS variables independientes (tabla de doble entrada). IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Ejemplo 3.12 IQS IQS IQS IQS IQS IQS La presión IQS IQS (P en psia) IQSen equilibrioIQS IQS parcial del amoníaco con acuosas de amoníaco depende de la concentración de la IQS disoluciones IQS IQS IQS IQSla tabla IQS disolución (C en M) y de la temperatura (t en ºF) según muestra IQS adjunta: IQSP (psia) IQS IQS IQS IQS C (M) (ºF) 5 10 15 20 25 30 IQS IQS t 32 IQS IQS IQS IQS 0,26 0,52 0,90 1,51 2,67 4,27 0,33 0,66 1,14IQS 1,92 3,16 5,13 IQS IQS 40 IQS IQS IQS 50 0,47 0,89 1,50 2,53 4,16 6,63 0,62 1,19 2,00IQS 3,21 5,36 8,48 IQS IQS 60 IQS IQS IQS 70 0,83 1,52 2,60 4,28 6,87 10,76 IQS IQS IQS IQS IQS IQS Determinar la presión parcial de amoníaco de una disolución 12 M a 68ºF. IQS IQS IQS IQS IQS IQS Para resolver el problema lo primero es reducir la tabla bivariante a una IQS tabla univariante IQS interpolando IQSpara cada uno IQS de los valoresIQS de una de las IQS independientes el valor de la otra variable independiente. IQS variablesIQS IQS IQS IQS IQS por ejemplo, se construirá una tabla con los valores de la presión de IQS Así, IQS IQS IQS IQS IQS vapor de una disolución 12 M de amoníaco a diferentes temperaturas. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS k

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3. INTERPOLACION Y EXTRAPOLACION

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Interpolación de P a 32ºF para una disolución 12 M en amoníaco IQS IQS IQS Para esta interpolación, laIQS tabla de datos es equiespaciada IQS y dada la posición en la misma del punto a interpolar, el método más adecuado es el IQS IQS IQS IQS IQS método de Bessel. C (M) P IQS (psia) IQS IQS IQS IQS 5 0,26 0,52 IQS IQS10 IQS IQS IQS 15 0,90 1,51 IQS IQS20 IQS IQS IQS 25 2,67 4,27 IQS IQS30 IQS IQS IQS IQS IQS IQSes 0,005 IQS De acuerdo con estos datos, el error de la IQS variable dependiente para todos los puntos. IQS IQS IQS IQS IQS Los resultados que se obtienen para diferentes grados del polinomio de IQSson los siguientes: IQS IQS IQS IQS interpolación IQS IQS IQS IQS IQS n y Ei Ep 0 0,71 0,038 0,005 IQS IQS IQS IQS IQS 1 0,672 0,021 0,006 2 0,651 0,00044 0,0084 IQS IQS IQS IQS IQS El resultado óptimo es el IQS correspondiente a grado 2, es decir, que la presiónIQS IQS IQS IQS de vapor de la disolución 12 M a 32ºF es de 0,6510 ± 0,0089 psia. IQS IQS IQS IQS IQS Tabla de presiones parciales para una disolución 12 M IQS de las interpolaciones IQS paraIQS IQS Los resultados cada una de las IQS temperaturas conducen a la siguiente tabla: IQS IQS IQS IQS IQS t (ºF) P (psia) E (psia) IQS IQS IQS IQS IQS 32 0,6510 0,0089 40 0,8250 IQS 0,0089 IQS IQS IQS IQS 50 1,0974 0,0089 60 1,4756 IQS 0,0089 IQS IQS IQS IQS 70 1,8926 0,0089 IQS IQS IQS IQS IQS Interpolación a 68ºF IQS IQS IQS IQSde 68ºF IQS La anterior tabla es no equiespaciada y, dado que la temperatura se encuentra al final de la tabla, el método adecuado es el correspondiente IQS de NewtonIQS IQS IQS a un polinomio ascendente. IQS IQS IQS los resultados IQS que se obtienen IQS IQS De acuerdo con este procedimiento, aplicando este polinomio son los siguientes: IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS NH3

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Introducción al Cálculo Numérico. IQS.

Este material forma parte del libro: Tomàs, X.; Cuadros, J.; González, L..(2006). Introducción al Cálculo Numérico. Institut Químic de Sarrià. ISBN: 84-611-0645-8.

IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

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Introducción al Cálculo Numérico. IQS.

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3. INTERPOLACION Y EXTRAPOLACION

IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS y Ei Ep IQS IQS n0 IQS 1,8926 IQS IQS IQS 0,0834 0,0089 1,8092 0,003104 0,01246 IQS IQS 12 IQS IQS 0,015308 IQS IQS 1,806096 0,003216 IQS Y por tanto IQS IQS IQS IQS IQS la presión parcial de amoníaco ejercida por una disolución 12 M de 1,81 ± 0,02 IQS psia. IQS a 68ºF esIQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 3.12 Extrapolación IQS IQS IQS IQS IQS en la estimación un polinomio de IQS La extrapolación IQS consisteIQS IQSmediante IQS IQS de un dato situado fuera de los límites de la tabla. Se trata de una IQS interpolación IQS IQS IQS IQS IQS operación cuyo resultado siempre debe considerarse con cautela, puesto que IQS supone queIQS IQStabulados sigue IQSsiendo válidoIQS el modelo queIQS se ajusta a los datos IQS fuera del IQS IQSconstancia deIQS intervalo cubiertoIQS por la tabla, y IQS no siempre se tiene realidad este supuesto IQS que en la IQS IQSse cumpla.IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 3.12.1 Métodos IQSa utilizar IQS IQS IQS IQS la funcionalidad entre las variables rectificar, ésta es IQS Si se conoce IQS IQS IQSy es posibleIQS IQS la extrapolación. IQS la mejor opción IQSpara realizarIQS IQS IQS IQS Caso de que no se conozca la funcionalidad entre las variables, igual que en el IQS caso de laIQS IQS IQS IQS IQS interpolación, el método numérico a escoger depende del espaciado IQS de la tablaIQS IQS IQS IQS IQS de datos: IQS IQS IQS IQS IQS IQS de intervalo constante IQS Para tablas IQS IQS IQS IQS IQS para el que se desea conocer el valor de la propiedad es menor IQS Si el valorIQS IQS IQS IQS IQS numéricamente que el valor inferior de la tabla (x < x ), se utiliza el polinomio IQS de GregoryIQS IQS IQS IQS IQS − Newton descendente. IQS Por el contrario, IQS si el valor IQSpara el queIQS IQS es mayorIQS se desea extrapolar valor de la tabla (x > x ), se utiliza el polinomio de IQS numéricamente IQSque el mayor IQS IQS IQS IQS Newton ascendente. IQS Gregory −IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

3. INTERPOLACION Y EXTRAPOLACION

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS no equiespaciadas IQS Para tablas IQS IQS IQS IQS IQS inferiores al menor valor tabulado (x < x ), se utiliza el polinomio de IQS Para puntos IQS IQS IQS IQS IQS Newton descendente. IQS Para puntos IQS IQS IQS IQS IQS superiores al mayor valor tabulado (x > x ), se utiliza el polinomio IQS de NewtonIQS IQS IQS IQS ascendente. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 3.12.2 Error IQS IQS IQS IQS IQS y criterios de parada en extrapolación IQS En extrapolación IQS el error IQS IQS IQS IQS se determina de forma análoga a la utilizada en IQS interpolación. IQSCon todo seIQS IQSes importanteIQS considera queIQS si la extrapolación alguno de los IQS puntos extremosIQS tabulados), el IQS valor deseado se IQS (lejana a IQS IQS a estimar con un polinomio de segundo grado. IQS acostumbraIQS IQS IQS IQS IQS IQS Tablas deIQS IQS IQS IQS IQS intervalo constante IQS Si la distancia IQSentre x y xIQS IQS IQS es menor queIQS el espaciado se aplica el mismo en una interpolación. contrario, noIQS se sobrepasa IQS el IQS criterio queIQS IQS En caso IQS de tres términos IQS (2º grado). IQS polinomio IQS IQS IQS IQS IQS Tablas deIQS IQS IQS IQS IQS intervalo variable IQS Se usa como IQScriterio de parada IQS el cocienteIQS IQS IQS entre los dos primeros o los dos IQS últimos puntos IQSde la tabla. IQS IQS IQS IQS a interpolar y el punto límite deIQS la tabla es menor IQS Si el cociente IQSentre el puntoIQS IQS IQS se sigue el mismo criterio de paro que para una interpolación. En IQS que el criterio IQS IQS IQS IQS IQS caso contrario, se limita el polinomio a 2º grado. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 3.13 Aproximación IQS IQS IQS IQS IQS IQS métodos de IQS aproximación yIQS los métodos de IQS 3.13.1 Diferencia IQS entre losIQS IQS IQS interpolación. IQS IQS IQS IQS IQS como los métodos de interpolación generan polinomios que pasan por IQS Así IQS IQS IQS IQS IQS todos los puntos tabulados, los polinomios de aproximación pretenden IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 0

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3. INTERPOLACION Y EXTRAPOLACION

IQS IQS IQS IQS IQS IQS el error de los datos y se ajustan,IQS fijado un grado del polinomio, de IQS la IQS minimizar IQS IQS IQS posible. IQS mejor forma IQS IQS IQS IQS IQS Si los polinomios de interpolación son buenos métodos para funcionalidades no IQS polinómicas, IQS IQS IQS IQS IQS así como para datos con buena exactitud, y resultan de fácil IQS aplicación,IQS IQS IQS cuandoIQS IQS tienen un gran riesgo de oscilación los datos están IQS afectadosIQS IQS IQS IQS IQS por errores experimentales. polinomios de aproximación IQS adquiere especial sentido en IQS el IQS El uso deIQS IQS IQS de datos experimentales, especialmente si están rectificados o IQS tratamientoIQS IQS IQS IQS IQS tienen funcionalidad polinómica. Por el contrario su uso es arriesgado si los IQS datos tienen IQS IQS IQS IQS IQS funcionalidades con asíntotas, sean horizontales, verticales u IQS oblicuas. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 3.13.2 Cálculo IQSdel polinomio IQS IQS IQS IQS de aproximación IQS Para calcular IQS IQS IQS IQS un polinomioIQS de aproximación existen diversos métodos que se minimizar diferentes medidas del error datos. IQS basan en IQS IQS IQSde ajuste a los IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS METODOIQS IQS IQS IQS IQS DE MINIMOS CUADRADOS IQS El métodoIQS IQS (LSM), desarrollado IQS por Gauss IQS en 1801, seIQS de mínimos cuadrados de cuadrados deIQS las desviacionesIQS (SQR). IQS basa en minimizar IQS la sumaIQS IQS n IQS IQS IQS IQS IQS SQR = ∑ (y i − IQS g (x i ))2 IQS IQS IQS i=0 IQS IQS IQS Aunque g(x) puede ser una función de cualquier tipo, en el caso que IQS consideramos IQScorresponderá IQS IQS IQS IQS al polinomio de grado deseado m que conduzca IQS al mínimo IQS IQS IQS IQS valor de SQR. IQS m IQS IQS IQS IQS IQS IQS g (x ) = ∑ a j x j IQS IQS IQS IQS IQS IQS j=0 2 m  IQS IQS n  y IQS IQS IQS IQS j ∑  i − ∑ a j x i  = SQR (a 0 ,K, am ) IQS IQS i = 0  IQS IQS IQS IQS j=0  IQS IQS IQS IQS IQS IQS SQR, todas las primeras derivadas IQS En el mínimo IQSde la funciónIQS IQS IQSde la funciónIQS las constantes a son nulas: IQS respecto aIQS IQS IQS IQS IQS

3. INTERPOLACION Y EXTRAPOLACION

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS ∂ SQRIQS IQS IQS IQS =0 ∂ ak IQS IQS IQS n IQS IQS IQS m   j = −2 ∑  y i − ∑ a j x i  x ki = 0 IQS IQS IQS ∂∂SQR IQS IQS IQS   ak i=0 j=0  IQS IQS m IQS IQS IQS IQS n  n j+k  ∑x  = ∑ y xk iIQS i i IQS IQS j∑= 0a jIQS IQS IQS   i=0  i=0 IQS ello da lugar IQS IQSpara cada coeficiente, IQS a ), queIQS a un sistema IQS de ecuaciones (una matricial. IQS puede resolverse IQS de formaIQS IQS IQS IQS   a 0   ∑ IQS IQS IQS n + 1 ∑IQS IQS y  x L ∑ x mIQS     1 a  x 2 L ∑ x m+IQS  1   ∑ xy IQS IQS ∑ x ∑IQS IQS IQS =    M M M M O M     a   xm IQS IQS ∑ x m ∑ IQS IQS IQS IQS m+1 2m   y x L ∑x    m  ∑ IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS XA =−Y1 IQS IQS IQS IQS IQS IQS A = X YIQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS los errores del ajuste IQS Cálculo deIQS IQS IQS IQS IQS ajuste de una aproximación por mínimos cuadrados se acostumbra IQS El error delIQS IQS IQS IQS IQS a evaluar mediante diferentes parámetros, entre los que cabe destacar, por su IQS uso frecuente, IQSlos siguientes: IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS desviaciones o suma residual: IQS Suma de cuadrados IQS de lasIQS IQSde cuadradosIQS IQS n IQS IQS IQS IQS IQS IQS SQR = ∑ (y i − g (x i ))2 IQS IQS IQS i = 0 IQS IQS IQS ajuste: IQS Varianza del IQS IQS IQS IQS IQS ( x )) ∑ ( y − gIQS IQS IQS IQS IQS IQS σ = IQS IQS IQS n − mIQS IQS IQS del ajuste: IQS Error cuadrático IQS medio o desviación IQS estándarIQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS ∑ ( y − g ( x )) IQS IQS IQS IQS IQS IQS σ = σ = n−m IQS Error relativo IQS IQS IQS IQS IQS medio: n

i =0

2

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i

i

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2

i =0

2

i

i

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3. INTERPOLACION Y EXTRAPOLACION

IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS n y i − gIQS IQS IQS (x i ) ∑ yi IQS IQS IQS IQS100 IQS IQS e (%) = i = 0 n+1 IQS IQS IQSn y i − g (x i )IQS IQS IQS ∑ yi IQS IQS IQS IQS IQS IQS i=0 e= IQS IQS IQS n + 1 IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 3.13.3 Determinación del grado del polinomio de aproximación IQS Es de esperar IQSque el errorIQS IQS IQS cuadrático medio del ajuste vaya disminuyendo IQS a IQS medida que IQS IQS del polinomio. IQSPor ello, cuando IQS el error noIQS aumenta el grado de forma apreciable del grado delIQS polinomio, es una IQS disminuyeIQS IQScon el aumento IQS IQS de que se ha alcanzado el grado óptimo (el inferior de los dos en IQS indicaciónIQS IQS IQS IQS IQS comparación). IQS Tenga siempre IQSpresente que IQS IQS IQS IQS en el caso de trabajar con datos experimentales IQS afectadosIQS IQSde oscilaciónIQS IQS de error, puedenIQS producirse efectos (sobreajuste) del y conducir a resultados IQS polinomio IQS IQS inconsistentes. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 3.13.4 Determinación IQS IQS IQS de un valor mediante un polinomio IQS de aproximaciónIQS expone en el ejemplo presenta mayor dificultad. Es de IQS Como se IQS IQSsiguiente noIQS IQS IQS como error relativo el error relativo IQS señalar que IQS IQSdel valor aproximado IQS se toma IQS IQS la aproximación. IQS medio de IQS IQS IQS IQS IQS IQS Ejemplo 3.13 IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS análisis de Hammet se utiliza para predecir el valor de las constantes de IQS Elvelocidad IQS IQS IQSdel IQS o de equilibrio de reacciones de IQS compuestos derivados IQS benceno.IQS IQS IQS IQS IQS estimar la constanteIQS de interés, hay que conocer los valores de las IQS Para IQS IQS IQS IQS constantes para reacciones equivalentes de compuestos análogos. IQS IQS IQS IQS IQS IQS La constante se obtiene entonces interpolando el parámetro de Hammet (σ) IQS para el substituyente IQS IQS cuya propiedad IQS es desconocida IQS en la IQS del compuesto los parámetros y valores de las constantes equivalentes. IQS tabla de IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

3. INTERPOLACION Y EXTRAPOLACION

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS A partir de los siguientes datos, determinar la constante de velocidad de la IQS IQS IQS IQS IQS reacción de la sal de bencenodiazonio del p-iodobenceno (σ = 0,18) con hidroxilo:IQS IQS IQS IQS IQS – Ph – OH + N IQS N + OH → RIQS IQS R – Ph –IQS IQS IQS IQS IQS IQS – NO – CN IQS – Br –H – CH 0,78 0,66 0,23 0 – 0,17 σ IQS IQS IQS IQS IQS k / (M s ) 5,4 10 4,2 10 2,1 10 4,5 10 1,2 10 IQS IQS IQS IQS IQS Análisis IQS de los datos IQS IQS IQS IQS La representación gráfica de los datos permite observar que los datos cubren un intervalo de diversos magnitud de la IQS variable IQS IQSórdenes deIQS IQS dependiente. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS k IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS σ IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS SiempreIQS que se da esta circunstancia suele ser convenienteIQS tomar el logaritmo de la variable y estudiar el problema en función de esta nueva IQS IQS IQS IQS variable.IQS IQS IQS IQS IQS IQS Así pues se procede a la representación del logaritmo de la constante de velocidad de reacción frente al parámetro σ de Hammet. IQS IQS IQS IQS IQS Esta nueva representación (vea la página IQS siguiente) muestra la existencia IQS IQS IQS IQS de una componente de error, no sistemático en los valores de los datos, por IQSresultar adecuado IQS aplicar unIQS IQS IQS lo tanto puede método de aproximación polinomial. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS −

+ 2

2

2

OH

-1

3

5

5

4

3

3

0,2

0,4

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1

600000

OH

500000 400000 300000 200000 100000

0

-0,4

-0,2

0

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

3. INTERPOLACION Y EXTRAPOLACION

IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 7 log k IQS IQS IQS IQS 6 IQS IQS IQS IQS 5 IQS IQS IQS IQS 4 IQS IQS IQS IQS 3 IQS IQS IQS 2 IQS IQS IQS IQS 1 IQS IQS IQS IQS 0 IQS -0,4 0 0,4 0,6 0,8 IQS-0,2 IQS 0,2 IQS IQS σ IQS IQS IQS IQS Cálculo del polinomio de aproximación de IQS grado 1 IQS IQS IQS La tabla IQS de datos a la queIQS se desea aproximar IQSla recta por mínimos IQS cuadrados es ahora la siguiente: IQS IQS IQS IQS k log k σ IQS IQS IQS -0,17 1,20E+03IQS 3,0792 0 4,50E+03 3,6532 IQS IQS IQS IQS 0,23 2,10E+04 4,3222 0,66 4,20E+05 5,6232 IQS IQS IQS 0,78 5,40E+05IQS 5,7324 IQS IQS IQS IQS El sistema a resolver se expresa en las siguientes matrices: 1,5   a 0  IQS  22,4103   5IQS IQS IQS     =   5 1,1258   a1   8,65326  1,IQS IQS IQS IQS cuya solución logIQS (k OH ) = 2,8561σIQS + 3,6252 IQSlleva a la ecuación: IQS IQS IQS IQS Cálculo de los errores delIQS polinomio de grado 1 IQS IQS|log k –g(x)| IQS IQS log k g(x) / log k (log k –g(x)) σ -0,17 3,0792 3,13966 0,00365584 IQS IQS 0,01963612 IQS IQS 0 3,6532 3,62521 0,00766343 0,00078378 0,23 4,3222 4,28212 0,00927500 0,00160708 IQS IQS IQS IQS 0,66 5,6232 5,51026 0,02008763 0,01275923 0,78 0,01453898 IQS5,7324 5,85300 IQS 0,02103441 IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

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OH

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1

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

3. INTERPOLACION Y EXTRAPOLACION

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS error relativo medio de este ajuste es del 1,56 % y el error cuadrático IQS Elmedio IQS es 0,11.IQS IQS IQS IQS resultante IQS Ajustes de IQS IQS IQS IQS IQS grado mayor IQS En la tabla IQS IQS IQS IQS IQS siguiente se resumen los resultados que se obtienen al ajustar de aproximación de grado 2 y 3. IQS polinomios IQS IQS IQS IQS IQS IQS GradoIQS IQS IQS Polinomio IQS eIQS medio σ 2 0,912 % 0,092 log k = 3,6484 + 3,2971 σ – 0,6905 σ IQS IQS IQS IQS IQS IQS 3 0,869 % 0,088 log k = 3,5995 + 3,2064 σ +1,1767 σ – 2,2376 σ IQS IQS IQS IQS IQS IQS el correspondiente a grado 2. IQS IQS El polinomio IQSde aproximación IQSadecuado esIQS IQS IQS Estimación IQS IQS IQS IQS de la constante de velocidad para la sal de bencenodiazonio del IQS IQS p-iodobenceno IQS IQS IQS IQS IQS substitución del parámetro de Hammet (σ = 0,18) en el polinomio de IQS La IQS IQS IQS IQS IQS segundo grado da un valor para el logaritmo de la constante de velocidad IQS igual a: IQS IQS IQS IQS IQS log k (0,18) = 4,219 IQS IQS IQS IQS IQS IQS y su error es el error relativo medio por el valor obtenido, es decir: 0,039. IQS IQS IQS IQS IQS IQS El error absoluto del logaritmo corresponde al error relativo de la constante IQS por el logaritmo IQS neperianoIQS IQS IQS de la base, por IQS tanto: IQS IQS ε = IQS IQS IQS 0,039 ln(10) 10 IQS = 1486,98 IQS y, en consecuencia, IQS el valor IQS IQS IQS IQS estimado de la constante es igual a: IQS IQS IQS IQS IQS IQS k = 16,6 10 ± 1,5 10 M s . IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS métodos para estimar propiedades o valores de funciones IQS 3.14 Otros IQS IQS IQS IQS IQS IQS 3.14.1 Polinomios IQS osculadores: IQS PolinomioIQS IQS IQS de Hermite IQS Los polinomios IQSosculadoresIQS cumplen en losIQS puntos tabularesIQS con el valor de IQS la las derivadas. IQS IQS función y además IQS con los deIQS IQS IQS osculador más sencillo es el polinomio de Hermite. IQS El polinomio IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 2

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3. INTERPOLACION Y EXTRAPOLACION

IQS IQS IQS IQS IQS IQS y de Mc Laurin IQS 3.14.2 Polinomios IQS de Taylor IQS IQS IQS IQS en que en el entorno a partir de suIQS valor y el de sus IQS Se basanIQS IQSde un punto, IQS IQS puede obtenerse un polinomio que permite posteriormente interpolar. IQS derivadas IQS IQS IQS IQS IQS A mayor grado del polinomio, mayor será la distancia a la que serán válidas las IQS interpolaciones. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 3.14.3 Desarrollos IQS en serie:IQS IQS IQS IQS Transformación de Fourier IQS Se basanIQS IQS IQS IQS IQS en el hecho de que toda función periódica puede expresarse como IQS una sumaIQS IQS IQS IQS IQS de funciones trigonométricas simples. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 3.14.4 Interpolación IQS por segmentos IQS y “splines IQS” IQS IQS IQS En lugar deIQS IQS basada IQS IQS para todaIQS realizar una interpolación en un único polinomio IQS la tabla deIQS IQS generan diferentes IQS polinomios IQS datos, estos métodos válidos para IQS la entre un número reducido (2, 3,IQS …) de puntos. IQS IQS interpolación IQS IQS IQS ” se basan en una interpolación con polinomios osculadores por IQS Los “splines IQS IQS IQS IQS IQS segmentos. Los más habituales son los “splines” cúbicos con los que se IQS interpolanIQS IQS IQS IQS IQS valores en la tabla con polinomios de grado 3, manteniendo siempre IQS la continuidad IQSde la primeraIQS IQS IQS IQS y segunda derivadas. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

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4. DERIVACION NUMERICA

IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 4. DERIVACION IQS IQS IQS IQS IQS NUMERICA IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 4.1 Introducción. IQS IQS IQS IQS IQS es frecuente encontrarse con la necesidad de IQS En el trabajo IQSexperimental,IQS IQS IQS IQS determinar valores de propiedades no medibles directamente pero que se IQS relacionanIQS IQS IQS IQS IQS a través de operaciones de derivación con variables que sí pueden IQS determinarse IQS IQS IQS IQS IQS experimentalmente. habitual es elIQS de la determinación de velocidades: velocidades de IQS Un caso muy IQS IQS IQS IQS de transferenciaIQS de materia o de IQS desplazamiento, IQS de reacción, IQSconstantes IQS IQS etc. así como también de muchas variables y propiedades mecánicas, IQS energía, IQS IQS IQS IQS IQS termodinámicas, cinéticas, etc., que se obtienen a partir de la determinación IQS cuantitativaIQS IQS IQS IQS IQS de magnitudes tales como presión, temperatura, volumen, longitud, IQS etc. en determinadas IQS condiciones IQS experimentales. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Ejemplo 4.1 IQS IQS IQS IQS IQS que se desea estudiar el crecimiento de un determinado IQS Supongamos IQS IQS IQS IQS IQS microorganismo en unas determinadas condiciones (T, pH...) para investigar posibilidad en la producciónIQS de un compuestoIQS en un IQS labiorreactor. IQSde utilizarlo IQS IQS puede determinar IQS La velocidad IQSde crecimiento IQSdel microorganismo IQS no se IQS IQS directamente, pero en cambio puede relacionarse con el consumo de IQS nutrientesIQS IQS IQS IQS IQS por parte del mismo. d[Glu] nutrientes másIQS habituales es laIQS glucosa, entonces k=− IQS Uno de los IQS IQS IQS dt posible entonces determinar experimentalmente la concentración de IQS Es IQS IQS IQS IQS IQS glucosa en el medio (por refractometría, cromatografía o cualquier otro y estimar la velocidad derivando estos valores IQS método)IQS IQSde crecimiento IQS IQS IQS respecto al tiempo a partir de un conjunto de datos: IQS IQS IQS IQS IQS IQS t t t t t IQS IQS [Glu] IQS [Glu] IQS[Glu] IQS IQS [Glu] [Glu] IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS parte la derivación la posición de IQS Por otra IQS IQStambién permite IQS determinarIQS IQS mínimos y puntos de inflexión que acostumbran a ser puntos interés IQS máximos, IQS IQS IQS IQS IQS experimental. Esta será una segunda aplicación en la que la derivación IQS numérica será IQSuna técnica IQS IQS IQS IQS necesaria. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Ejemplo 4.2 IQS IQS IQS IQS IQS IQS SiguiendoIQS IQS IQS IQS IQS con el caso del ejemplo anterior, supongamos que interesa la temperaturaIQS óptima para el crecimiento del microorganismo. IQS determinar IQS IQS IQS IQS Para responder a esta pregunta, deberían realizarse experiencias a temperaturas yIQS calcular las correspondientes velocidades IQS diferentes IQS IQS IQS de IQS crecimiento. IQS IQS IQS IQS IQS IQS T T T T T IQS IQS k IQS k IQSk IQS kIQS k IQS ObtenidosIQS IQS estos valores, IQS bastaría calcular IQS la derivada a cada temperatura e IQS dk/dT = 0 de forma inversa para identificar la temperatura óptima. IQS interpolarIQS IQS IQS IQS IQS IQS En derivación IQSnumérica, además IQS de identificar IQSel tipo de IQS IQS problema que se IQS intenta resolver IQSdeben tenerse IQS IQS IQS en cuenta otros aspectos paraIQS decidir el sistema a aplicar. Estos son, entre otros: IQS de resolución IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Respecto a la tabla de datos IQS • El espaciado IQS de la tablaIQS IQS IQS IQS de datos IQS • La naturaleza IQS de los datos IQS IQS IQS IQS IQS Si los datos IQS IQSfunciones deIQS tienen buena IQS exactitud, puedeIQS procederse a aplicar poca exactitud IQS será aconsejable proceder a IQS la IQS interpolación. IQSSi tienen IQS IQS de funciones de aproximación. IQS aplicaciónIQS IQS IQS IQS IQS El punto en el que se desea calcular la derivada IQS •Respecto IQS IQS IQS IQS IQS a la posición del punto en el que se desea calcular la derivada IQS pueden darse IQS IQS IQS IQS IQS dos situaciones: IQS - Se buscaIQS IQS propio deIQS la derivada en IQS un punto tabular.IQS Se trata de un problema IQS derivación.IQS IQS IQS IQS IQS la derivada en un punto no tabular. En este caso es un problema de IQS - Se buscaIQS IQS IQS IQS IQS derivación e interpolación, y es de esperar que el error final será mayor. IQS • OrdenIQS IQS IQS IQS IQS de la derivada IQS IQS IQS IQS IQS IQS

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS a los métodos deIQS derivación IQS Respecto IQS IQS IQS IQS el caso de la interpolación van a exponerIQS las técnicas más IQS Como en IQS IQS sólo seIQS IQS de derivación aunque existen muchas más basadas en otras IQS sencillas IQS IQS IQS IQS IQS funciones de interpolación u otros métodos de aproximación, métodos que IQS introducenIQS IQS IQS IQS IQS filtros de forma que se reducen los efectos de los errores IQS experimentales, IQSetc. IQS IQS IQS IQS tener siempre presente métodos de derivación IQS Hay que IQS IQS que losIQS IQS acumulanIQS y que per tanto será difícil obtener resultados precisos de los IQS mucho error IQS IQS IQS IQS IQS de las derivadas. IQS valores IQS IQS IQS IQS IQS Los métodos de derivación que van a desarrollarse en este capítulo son los IQS siguientes:IQS IQS IQS IQS IQS IQS • Métodos IQS IQS IQS IQS IQS gráficos IQS
Método IQSde Jugler IQS IQS IQS IQS IQS
Método IQSdel espejo IQS IQS IQS IQS • Métodos numéricos IQS
Derivación IQS por incrementos IQS finitos IQS IQS IQS IQS
Fórmulas IQS de diferencias IQS IQS IQS centradas IQS IQS
Basados IQSen polinomios IQS IQS IQS IQS de interpolación  IQS Método de Lagrange IQS IQSpara tablas equiespaciadas IQS IQS IQS  Métodos de Newton IQS IQS IQS IQS IQS IQS  Métodos de Gregory − Newton IQS IQS IQS IQS IQS IQS  Métodos de Stirling y Bessel IQS
Basados IQSen polinomios IQS IQS IQS IQS de aproximación IQS IQS IQS IQS IQS IQS que tener presente que relaciona las IQS Siempre hay IQS IQS que si se conoce IQS la funciónIQS IQS se obtendrá un mejor resultado utilizándola que aplicando métodos IQS variables, IQS IQS IQS IQS IQS basados en otras funcionalidades. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 4.2 Métodos IQSgráficos: método IQS de JuglerIQS IQS IQS y método del espejo. IQS Los métodos IQSgráficos, dada IQS IQS IQS su laboriosidad y su discretaIQS precisión, no se regla generalIQS habitualmente, IQS salvo aquellos casos IQS utilizan porIQS IQS en los queIQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS interese un valor de la derivada IQS o no exista otro IQS solamenteIQS IQSaproximado IQS IQS IQS procedimiento IQSalternativo viable. IQS IQS IQS IQS Los métodos gráficos presenten la dificultad, ya comentada, de la subjetividad IQS en el trazado IQS IQS IQS IQS IQS de la función de interpolación. Sin embargo hay que reconocerles, IQS como ventajas, IQSlas siguientes IQS IQS IQS IQS características: IQS • Permiten IQS IQS IQS IQS IQS la fácil detección de puntos erróneos. intuir la presencia donde la derivada IQS • Permiten IQS IQSde discontinuidades IQS y zonasIQS IQS no estar definida. IQS puede IQS IQS IQS IQS IQS En este sentido son interesantes como estimaciones sencillas si ya se dispone IQS del gráfico.IQS IQS IQS IQS IQS IQS Además del IQS IQS IQS IQS IQS trazado subjetivo de la tangente a la curva en el punto de interés, métodos que IQS permiten una construcción derivada de forma IQS existen dosIQS IQS de la IQS IQS el método deIQS Jugler y el método del espejo. IQS IQS más objetiva: IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 4.2.1 Método IQSde Jugler IQS IQS IQS IQS de Jugler se basa en la característica tangente para IQS la IQS El métodoIQS IQS IQS de la rectaIQS de tangencia es el punto de corte más próximo a la función. IQS que el punto IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Figura 4.1: Método de Jugler IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Procedimiento: IQS IQS IQS IQS IQS la tangente a la curva en el punto P es el siguiente IQS El procedimiento IQS para trazarIQS IQS IQS IQS 4.1): IQS (Figura IQS IQS IQS IQS IQS • A partir de la tabla de datos se construye el gráfico y se determina el punto IQS de tangencia IQSP. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS él se traza unIQS conjunto de rectas la función y se IQS • DesdeIQS IQSsecantes aIQS IQS los puntos deIQS corte P , P , P , etc. IQS identifican IQS IQS IQS IQS una circunferencia (C) de radio 1 con centro en el punto de IQS • Se traza IQS IQS IQS IQS IQS tangencia P. IQS • Se sitúan IQS IQS IQS IQS IQS los puntos Q de las rectas secantes tales que están a distancia 1 IQS del correspondiente IQS IQS IQS IQS IQS punto de corte P de la función. curva Q con la circunferencia de IQS radio 1 está sobre IQS • La intersección IQS M de laIQS IQS IQS tangente. IQS la rectaIQS IQS IQS IQS IQS el punto de intersección (M) y el IQS • Se construye IQS la recta tangente IQS uniendoIQS IQS IQS punto de tangencia P. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 4.2.2 Método del espejo IQS IQS IQS IQS IQS IQS El método consiste en situar, por tanteo, un espejo plano perpendicularmente a IQS la curva yIQS IQS IQS IQS IQS sobre el punto de tangencia, de tal manera que entre la curva y su IQS imagen noIQS IQS IQS IQS IQS haya discontinuidad. del espejo esIQS perpendicular aIQS la recta tangente. IQS En esta posición IQS la dirección IQS IQS recta de la dirección del espejo y se sitúa la perpendicular que pasa IQS Se traza laIQS IQS IQS IQS IQS de tangencia. IQS por el puntoIQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Figura del espejo IQS IQS IQS4.2: MétodoIQS IQS IQS IQS La derivadaIQS IQS IQS IQS IQS de la función en el punto x será por tanto: IQS IQS IQS IQS IQS l y / m y IQS ly mx  dy  =   = l x / m x IQS lx my  dx  x IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 1

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 4.3 Derivación IQS por incrementos IQS finitosIQS IQS IQS sucedía en interpolación, para obtener una IQS Como ya IQS IQS el método IQSmás simpleIQS IQS de la derivada es la suposición de una funcionalidad lineal. IQS estimaciónIQS IQS IQS IQS IQS La consideración de que la derivada en un punto entre a y b es la pendiente de IQS la recta queIQS IQS IQS IQS IQS une los dos puntos es la suposición de linealidad. Este supuesto es IQS aplicable en IQS IQS IQS IQS los siguientes IQS casos: que la funcionalidad variables es una recta. IQS • Se sabeIQS IQSentre las dosIQS IQS IQS entre ellos. IQS IQS • Los puntos IQSestán próximos IQS IQS IQS el teorema del valor medio dice: IQS En ese caso, IQS IQS IQS IQS IQS Sea f una función continua y derivable en el intervalo [a, b], existe un valor ξ tal IQS que: IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS f (b) − IQS IQS IQS f (a ) f ′(ξ ) = b − IQS a IQS IQS IQS IQS IQS ξ se acostumbra a asimilar al valor medio entre a y b. Es decir se IQS este valorIQS IQS IQS IQS IQS supone que la derivada corresponde a la pendiente de la recta en el punto IQS medio del IQS IQS IQS IQS IQS intervalo. IQS La aplicación IQSde este teorema IQShace corresponder IQS la derivada IQSal valor de IQS la dividida entre losIQS dos puntos. IQS diferenciaIQS IQS IQS IQS f (b ) − f (a )IQS IQS IQS IQS IQS IQS f ′(ξ ) = = y [ab] b−a IQS De forma IQS IQS IQS IQS IQS similar se puede demostrar que en el intervalo [x , x ] existe un punto IQS ξ en el queIQS IQS IQS IQS la derivada n − IQS ésima de la función vale: IQS IQS IQS IQS IQS f (n) (ξ n ) = n ! ⋅ y [xIQS 0 K xn ] IQS que se demuestra IQS de la siguiente IQS manera: IQS IQS IQS que la función f(x) es la función por una tabla de IQS Supongamos IQS IQS IQSreal descritaIQS IQS (x) el polinomio de grado n que interpola la tabla. IQS datos y P IQS IQS IQS IQS IQS la función diferencia (resto), que se expresa: IQS Entonces IQS IQS IQS IQS IQS R(x ) = f (x ) − Pn (x ) IQS tiene n+1 IQS IQS IQS IQS IQS raíces ya que se anula para cada uno de los puntos de la tabla. IQS La primeraIQS IQS diferencia,IQS IQSy la n − ésimaIQS derivada de la función R’(x), tiene n raíces IQS derivada: IQS IQS IQS IQS IQS n) IQS IQS IQS IQS R (IQS (x ) = f (n) (x ) − n !IQS y [x o K x n ] IQS tiene una raíz. IQS IQS IQS IQS IQS

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS existe un punto ξIQS ∈ [x , x ] queIQS anula la (n+1) − IQS ésima derivada de IQS Por tanto IQS IQS y que cumple:IQS IQS la diferencia IQS IQS IQS IQS f (n ) (ξ n ) = n !⋅y [xIQS o Kxn ] IQS IQS IQS IQS IQS equiespaciadas, y en base a la relación entre diferencies divididas IQS Para tablasIQS IQS IQS IQS IQS tabulares, se tiene: IQS y diferencias IQS IQS IQS IQS IQS n ∆ Kn IQS IQS IQSf (n) (ξn ) = 0IQS IQS IQS hn IQS Esta derivación IQSnumérica por IQS IQS IQS IQS incrementos finitos será válida en los siguientes IQS casos: IQS IQS IQS IQS IQS la derivada y noIQS es necesaria una IQS • Es suficiente IQS una estimación IQSdel orden deIQS IQS estimación de su error. IQS • El valorIQS IQS IQS IQS IQS del espaciado de la tabla de datos (h) es pequeño. es un polinomio de grado n y se busca la n − ésima derivada. IQS • La función IQS IQS IQS IQS IQS IQS Ejemplo 4.3 IQS IQS IQS IQS IQS IQS Determinar, IQS IQS la sextaIQS IQS f(x) en el IQS de forma aproximada, derivada de la función IQS punto 2,3.IQS IQSarctg (x ) 4 IQS 2 IQS IQS e ( x − 1) ⋅ cos (x ) f ( xIQS )= IQS IQS IQS IQS IQS ln x − x 3 − 3 IQS IQS IQS IQS IQS IQS que el esfuerzo que implica laIQS derivación exacta de esta IQS Es evidente IQS IQS IQS IQS expresión hasta el sexto orden no está justificado si lo que se pretende es IQS una determinación IQS aproximada IQSde la derivada. IQS IQS IQS IQS La opciónIQS IQS IQS IQS más sencilla será construir, a partir de la función,IQS una tabla de de interés y con un espaciado pequeño. IQS datos centrada IQS en el puntoIQS IQS IQS IQS partir de esta tabla se calculará la tabla de diferencias tabulares. Una vez IQS Aconstruida IQS IQS IQS IQS IQS dicha tabla, con el valor obtenido se estimará el valor de la en dicho punto. IQS IQS derivadaIQS IQS IQS IQS encuentra la tabla de datos y de diferencias IQS En la página IQSsiguiente seIQS IQS IQS IQS tabulares. Las diferencias adecuadas para el cálculo de la derivada se IQS indican resaltadas. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 0

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Tabla deIQS IQS IQS IQS IQS diferencias tabulares IQS x IQS IQS IQS IQS IQS y -8,03764541 -6,134E-02 -6,977E-04 -1,192E-05 -2,731E-07 -7,870E-09 -2,741E-10 IQS 2,289 IQS -6,204E-02 IQS IQS-2,810E-07 -8,144E-09 IQS -2,846E-10IQS 2,290 -8,09899015 -7,096E-04 -1,219E-05 -8,16103261 -6,275E-02 -7,218E-04 -1,247E-05 -2,891E-07 -8,429E-09 -2,967E-10 IQS 2,291 IQS -6,347E-02 IQS IQS-2,975E-07 -8,725E-09 IQS -3,088E-10IQS 2,292 -8,22378470 -7,343E-04 -1,276E-05 -8,28725862 -6,421E-02 -7,471E-04 -1,306E-05 -3,063E-07 -9,034E-09 -3,219E-10 IQS 2,293 IQS IQS IQS IQS IQS 2,294 -8,35146683 -6,496E-02 -7,601E-04 -1,336E-05 -3,153E-07 -9,356E-09 -3,348E-10 -8,41642209 -6,572E-02 -7,735E-04 -1,368E-05 -3,246E-07 -9,691E-09 -3,493E-10 IQS 2,295 IQS IQS IQS IQS IQS 2,296 -8,48213746 -6,649E-02 -7,871E-04 -1,400E-05 -3,343E-07 -1,004E-08 -3,638E-10 -8,54862630 -6,728E-02 -8,012E-04 -1,434E-05 -3,444E-07 -1,040E-08 -3,800E-10 IQS 2,297 IQS IQS IQS IQS IQS 2,298 -8,61590229 -6,808E-02 -8,155E-04 -1,468E-05 -3,548E-07 -1,078E-08 -3,951E-10 -8,68397942 -6,889E-02 -8,302E-04 -1,504E-05 -3,656E-07 -1,118E-08 -4,132E-10 IQS 2,299 IQS IQS IQS IQS IQS 2,300 -8,75287205 -6,972E-02 -8,452E-04 -1,540E-05 -3,767E-07 -1,159E-08 -4,305E-10 -8,82259484 -7,057E-02 -8,606E-04 -1,578E-05 -3,883E-07 -1,202E-08 -4,496E-10 IQS 2,301 IQS IQS IQS IQS IQS 2,302 -8,89316283 -7,143E-02 -8,764E-04 -1,617E-05 -4,004E-07 -1,247E-08 -8,96459143 -7,230E-02 -8,926E-04 -1,657E-05 -4,128E-07 IQS 2,303 IQS IQS IQS IQS IQS 2,304 -9,03689642 -7,320E-02 -9,091E-04 -1,698E-05 -9,11009395 -7,411E-02 -9,261E-04 IQS 2,305 IQS IQS IQS IQS IQS 2,306 -9,18420060 -7,503E-02 IQS 2,307 -9,25923335 IQS IQS IQS IQS IQS más adecuadas para estimar las derivadas en elIQS IQS Se destacan IQSlas diferencias IQS IQS IQS punto de interés (x = 2,3). IQS IQS IQS IQS IQS IQS derivada de la función en dicho punto será, por tanto: IQS La sextaIQS IQS 3,80 ⋅ 10 −IQS IQS IQS 10 ( 6) 8 f (2,3 ) ≈ − = −3,8 ⋅ 10 IQS IQS IQS 0,0016 IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS En el casoIQS IQSlas que existan IQSdos estimaciones IQS posibles, IQS de derivadas para la de los dos es calcular IQS opción alternativa IQS a seleccionar IQScualquiera IQS IQS la media deIQS IQS los dos valores. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Fórmulas de diferencias centradas IQS 4.4 IQS IQS IQS IQS IQS Estas fórmulas se deducen de la fórmula de Taylor y son útiles cuando es IQS posible calcular IQSla función IQS IQSrespecto al punto IQSen el que seIQS en puntos simétricos Por lo tanto se usan para evaluar IQS desea conocer IQSla derivada.IQS IQS IQSderivadas deIQS conocidas, aunque también se pueden IQS funciones IQS IQSlógicamenteIQS IQSutilizar paraIQS tabulares en tablas equiespaciadas. IQS calcular derivadas IQS de puntosIQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS del resto porIQS este método de cálculo de lasIQS derivadas es una IQS La expresión IQS IQS IQS espaciado (h ) de forma que permite la aplicación de la IQS función del IQS IQS IQS IQS IQS extrapolación de Richardson. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS O(h ) IQS 4.4.1 Fórmulas IQS de ordenIQS IQS IQS IQS el desarrollo de Taylor hasta segundo grado para los puntos (x + h) y IQS Utilizando IQS IQS IQS IQS IQS (x – h), se tiene: IQS IQS IQS IQS IQS IQS h 2 f ′′(x ) ) = f (x ) + hf ′(x ) + IQS + O ( h 3 ) IQS IQS IQS f (x + hIQS IQS 2! 2 ′′ f (x ) IQS IQS f (x − hIQS IQS ) = f (x ) − hf ′(x ) + hIQS − O ( h 3 ) IQS 2! IQS entonces:IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS f (x + h) − f (x −IQS h) f ′(x ) ≅ + O (h2 ) IQS IQS IQS 2h IQS IQS IQS forma se pueden obtener las expresiones para las derivadas de IQS De la misma IQS IQS IQS IQS IQS orden superior: IQS IQS f (x + h) −IQS IQS IQS IQS 2f (x ) + f (x − h) f ′′(x ) = IQS IQS IQS IQS IQS IQS h2 f (x + 2h) − 2f (x + h) + 2f (x − h) − f (x − 2h) IQS IQS IQS IQS IQS IQS f ′′′(x ) = 3 2h IQS IQS IQS IQS IQS IQS f (x + 2h) − 4f (x + h) + 6f (x ) − 4f (x − h) + f (x − 2h) f (4 ) (x ) = 4 IQS IQS IQS IQS IQS hIQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS ) IQS 4.4.2 Fórmula IQSde orden O(h IQS IQS IQS IQS A partir de los desarrollos de Taylor de orden superior, se pueden obtener IQS fórmulas deIQS IQS IQS IQS IQS mayor precisión: IQS IQS IQS − f (IQS x + 2h) + 8f (x + h)IQS − 8f (x − h) + f (x −IQS 2h) ′ f (x ) = 12IQS h IQS IQS IQS IQS IQS − f (x + 2h) + 16f (x + h) − 30f (x ) + 16f (x − h) − f (x − 2h) IQS f ′′(x ) = IQS IQS IQS IQS IQS 12 h 2 IQS f ′′′(x ) = − fIQS IQS (x + 3h) + 8f (x + 2IQS h) − 13f (x + h) + 13IQS f (x − h) − 8f (x − 2IQS h) + f (x − 3h) IQS IQS IQS 8 h3 IQS IQS IQS − f x + 3 h + 12 f x + 2 h − 39 f x + h + 56 f x − 39 f x − h + 12 f x − 2 h − f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (x − 3h) IQS f (4) (x ) = IQS IQS IQS IQS IQS 6 h4 IQS IQS IQS IQS IQS IQS p

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS de las fórmulas en diferencias IQS 4.4.3 Extrapolación IQS de Richardson IQS y error IQS IQS IQS IQS centradas.IQS IQS IQS IQS IQS ha expuesto en el desarrollo de las fórmulas anteriores, el resultado IQS Como se IQS IQS IQS IQS IQS aproximado (D) que se obtiene tiene un error de truncamiento (resto) que IQS depende del IQS IQS IQS IQS IQS espaciado elevado a una determinada potencia. IQS IQS IQS IQS IQS IQS R( x ) = f ′(x ) − D = k ⋅ hn IQS Siempre que IQS IQS IQSuna dependencia IQS del error enIQS en una fórmula numérica se obtiene IQS función delIQS IQSmejorar siguiendo IQS el siguienteIQS espaciado, la IQS estimación se podrá extrapolación de Richardson: IQS IQS procedimiento, IQSdenominadoIQS IQS IQS buscado, en este caso la derivada (D ), con un IQS 1. Se determina IQS el valor IQS IQS IQS IQS espaciado h . IQS 2. Se determina IQS otra vez IQS IQS IQS IQS el mismo valor (D ) con un espaciado menor h , el IQS resultado IQS IQS IQS será por tantoIQS más preciso. IQS puede determinarse resultado de IQS la IQS 3. Entonces IQS IQS la diferencia IQSdel segundoIQS forma: IQS siguiente IQS IQS IQS IQS IQS el valor real de la derivada en las dos estimaciones, se obtiene: IQS Igualando IQS IQS IQS IQS IQS f ′(x ) = D1 + R1(h1 ) = D 0 + R 0 (h 0 ) IQS IQS D − D IQS IQS n n IQS IQS 0 1 = R1 (h1 ) − R 0 (h 0 ) = k ⋅ ( h1 − h 0 ) IQS IQS IQS IQS IQS D IQS − D1 k= 0 h1n IQS − h n0 IQS IQS IQS IQS IQS k en la diferenciaIQS del valor más preciso IQS Sustituyendo IQS entonces IQS IQSse tiene unaIQS estimación de la IQS derivada: IQS nueva IQS IQS IQS IQS ) = k ⋅ h1n IQS IQS R1(h1IQS IQS IQS IQS D1 − D 0 ≅ D1 + R1(h1 ) = DIQS IQS IQS f ′(x ) IQS IQS IQS 1+ n  h0    − 1 IQS IQS IQS IQS IQS IQS  h1  IQS 4. Esta nueva IQSestimación IQS IQS IQSh y el errorIQS del valor tiene una diferencia de orden estimar mediante el valor del término valor absoluto:IQS IQS se puede IQS IQS IQS corrector en IQS D1 −IQS D0 IQS IQS IQS IQS IQS E f ′ (x ) = n IQS IQS IQS  h0 IQS IQS IQS −1  h1  IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 0

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS este procedimiento se puede obtener mejorado para IQS la IQS SiguiendoIQS IQS IQSun resultadoIQS de la derivada y también una estimación de su error. Además, el IQS estimaciónIQS IQS IQS IQS IQS procedimiento puede aplicarse de forma recursiva para obtener resultados IQS cada vez más IQSprecisos. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 4.5 Métodos IQS numéricos IQS IQS IQS IQS basados en los diferentes polinomios de IQS Newton. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 4.5.1 Fórmulas de Newton IQS IQS IQS IQS IQS IQS Se obtienen derivando los polinomios de interpolación correspondientes y se IQS utilizan para IQS IQS IQS IQS IQS tablas no equiespaciadas, tanto si se busca la derivada en un IQS punto tabular, IQS IQS IQS como si paraIQS ello es necesarioIQS interpolar. de la misma forma que para la interpolación, conIQS la única diferencia IQS Se aplicanIQS IQS IQS IQS los polinomios ascendente y descendente hay que asegurar que el IQS de que enIQS IQS IQS IQS IQS punto inicial (x o x ) es el más próximo al punto en el que debe conocerse la IQS derivada aunque IQS esto signifique IQSque el puntoIQS IQS IQS a interpolar y derivar quede fuera IQS de la tablaIQS IQS IQS IQS IQS de datos. IQS Por ejemplo, IQS IQS de Newton:IQS IQS en el caso de IQS la fórmula descendente PnIQS (x ) ≡ y = y 0 + y[xIQS [x 0 x 1x 2 ] (x − x 0IQS ) (x − x 1 ) + 0 x 1 ] (x − x 0 ) + yIQS IQS IQS + y[x 0 x 1x 2 x 3 ] (x − x 0 ) (x − x 1 ) (x − x 2 ) + ... IQS IQS IQS IQS IQS IQS correspondiente a la primera derivada será: IQS el polinomio IQS IQS IQS IQS IQS ' y[x 0 x 1 ]+ y[x 0 x 1x 2 ] [(x − x 0 ) + (x − x 1 )] + IQS Pn (x ) =IQS IQS IQS IQS IQS + y[x 0 x 1x 2 x 3 ] [(x − x 0 ) (x − x 1 ) + (x − x 0 ) (x − x 2 ) + (x − x 1 ) (x − x 2 )] + ... IQS IQS IQS IQS IQS IQS y el correspondiente a la segunda derivada: IQS IQS IQS IQS IQS IQS '' Pn = 2 y [x 0 x 1x 2 ] + y [x 0 x 1x 2 x 3 ] [2 (x − x 0 ) + 2 (x − x 1 ) + 2 (x − x 2 )] + ... IQS IQS IQS IQS IQS IQS Estas expresiones pueden simplificarse en el caso de una derivación en puntos IQS tabulares.IQS IQS IQS IQS IQS Por ejemplo, la primera derivada en x se puede calcular del IQS polinomio IQS IQS medianteIQS IQS IQS de Newton descendente la siguiente expresión: IQS Pn′ (x 0 ) =IQS y[x 0 x 1 ] + y[x 0 x 1IQS x 2 ] (x 0 − x 1 ) + y[IQS x 0 x 1x 2 x 3 ] (x 0 − IQS x 1 )(x 0 − x 2 ) + KIQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS de errores se realiza de igual forma que para la interpolación. IQS El cálculo IQS IQS IQS IQS IQS

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS propagación se calcula a partir IQS del error de los datos, IQS El error deIQS IQS IQSy el error deIQS se calcula como la diferencia entre el resultado obtenido al aplicar IQS derivaciónIQS IQS IQS IQS IQS el polinomio de grado en estudio y el resultado obtenido al añadir un nuevo IQS término alIQS IQS IQS IQS IQS polinomio de derivación. IQS Ambos errores IQSse suman yIQS IQS válido el que IQS se da como resultado corresponde IQS al IQS último valorIQS IQS IQS IQS de la primera serie decreciente del error total. IQS de cálculo para el error de derivación IQS La expresión IQS IQS IQS puede demostrarse IQS a partirIQS interpolación para los mismos polinomios ya que: IQS del error deIQS IQS IQS′ IQS IQS ′ R d (x ) = f ′(x ) − Pn (x ) = R i (x ) IQS IQS IQS IQS IQS IQS dado que: IQS y entonces,IQS IQS IQS IQS IQS R i (x ) ≤ Pn + 1 (x ) − Pn (x ) IQS IQS IQS IQS IQS IQS R d (x ) ≤ Pn′ + 1 (x ) − Pn′ (x ) IQS Lo mismo IQS IQS IQS IQS IQS podría demostrarse para derivadas de grado superior a 1. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 4.5.2 Fórmulas IQS de Gregory IQSNewton IQS IQS IQS − IQS Las fórmulas IQS IQS IQS IQS IQS de Gregory − Newton descendente y ascendente se aplican como IQS en el casoIQS IQS IQS IQS IQS de las fórmulas de Newton, utilizando siempre el punto más cercano IQS al punto para IQS IQS IQS IQS IQS el que se ha de calcular la derivada. derivando los correspondientes polinomios de IQS Estas fórmulas IQS se obtienen IQS IQS IQS IQS y se aplican para tablas equiespaciadas y puntos situados en los IQS interpolación IQS IQS IQS IQS IQS extremos de la tabla. IQS Se puedenIQS IQS IQS IQS IQS aplicar tanto para puntos tabulares como en el caso que haya que IQS interpolar.IQS IQS IQS IQS IQS IQS Por ejemplo, IQS IQS IQS IQS para el polinomio de Gregory −IQS Newton descendente: −1 IQS IQS IQS IQS ∆n0,1,...,n nIQS IQS ∆20,1,2 1 P(t ) ≡ y = y 0 + ∆ 0,1t + t (t − 1) + K + ( t − i ) IQS IQS IQS 2 IQS n! i∏ IQS IQS = 0 las siguientes primera derivadas: IQS se obtienenIQS IQS y segundaIQS IQS IQS   ∆20,1,2 IQS ∆30,1,2,3 IQS IQS dP(t ) = 1IQS IQS 1 ∆ + IQS [ ( ) ] [ ( ) ( ) ( )( ) ] t − 1 + t + t t − 1 + t t − 2 + t − 1 t − 2 + K  0,1  2 IQS dx hIQS IQS 6 IQS IQS  IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQSd2P(t ) 1 IQS IQS IQS   ∆30,1,2,3 IQS 2  [ = ∆ 0,1,2 + t + (t − 1) + (t − 2)] + K   3 IQS IQSdx 2 h 2 IQS IQS IQS IQS   IQS Los criterios IQS IQS como en IQS IQS de paro se aplican el caso de una IQS interpolación y los calculan de forma análoga. IQS errores seIQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 4.5.3 Fórmulas IQS de StirlingIQS IQS IQS y de Bessel IQS IQS Derivan deIQS IQSfórmulas deIQS IQS las correspondientes interpolación y IQS se aplican en caso la derivada en puntos una tabla. Pueden aplicarse tanto IQS de evaluarIQS IQScentrales deIQS IQS IQS es necesario interpolar. IQS a puntos tabulares IQS como siIQS IQS IQS IQS Para la selección del método se sigue el mismo criterio que en el caso de la IQS interpolación. IQS IQS IQS IQS IQS Si |t| ≤ 0.25 se aplican las fórmulas de Stirling y en cualquier otro IQS caso las deIQS IQS IQS IQS IQS Bessel. de Stirling para la primera y segunda IQS Las fórmulas IQS IQS IQS derivada son: IQS IQS 3 ∆2−1,0,1 ∆IQS + ∆3−2,−1,0,IQS IQS IQS ∆10,1 + ∆1−1,IQS IQS −1,0,1,2 0 1 2 P(t ) ≡ y = y 0 + t+ t + t (t + 1)(t − 1) + K IQS IQS 2 IQS 2 IQS 2 ⋅ 3! IQS IQS  ∆1 + ∆1  ∆3−1,0,1,2 +IQS ∆3−2,−1,0,1 IQS dP(t ) = 1 IQS IQS IQS IQS 0,1 −1,0 2  [t(t + 1) + t(t − 1) + (t − 1)(t + 1)] + K ⋅ + ∆ −1,0,1t + dx h  2 2 ⋅ 3! IQS IQS IQS IQS IQS IQS    ∆3−1,0,1IQS + ∆3− 2,−1,0,1 IQS IQS IQSd2P(t ) = 1IQS IQS , 2 2 ∆ + t + K 2 2  −1,0,1  2 IQS IQS dx h IQS IQS IQS  IQS tabular, la fórmula de Stirling para la primera derivada IQS En un punto IQS IQS IQS IQSse reduce a:IQS 1  + ∆1−1,0 ∆3−1,IQS + ∆3−2,−1,0,1 IQS IQS IQSdP(t ) = 1  ∆IQS IQS 0,1 0,1,2 − + K  2 2 ⋅ 3! IQS IQS dx h  IQS IQS IQS IQS  la derivación seIQS procede como IQS en el caso de una IQS Para determinar IQS el error deIQS IQS IQS interpolación. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Ejemplo 4.4 IQS IQS IQS IQS IQS mercurio se dilata con la temperatura deIQS forma que 135,9508 IQS Elelemento IQS IQS IQSg de este IQS ocupan a diferentes temperaturas los volúmenes que se indican en IQS la tabla siguiente. IQS IQSt (ºC) VIQS IQS IQS (cm ) IQS IQS IQS160 IQS IQS IQS 10,293372 180 10,330671 IQS IQS IQS200 IQS IQS IQS 10,368179 220 10,405925 IQS IQS IQS240 IQS IQS IQS 10,443936 10,482245 IQS IQS IQS260 IQS IQS IQS 280 10,520884 10,559888 IQS IQS IQS300 IQS IQS IQS que el coeficiente de expansión cúbica (α en K ) IQS se define como: IQS IQS SabiendoIQS IQS IQS 1  dV   IQS IQS IQS α = V  dTIQS IQS IQS  dicho coeficiente de expansión cúbica del mercurio a 240ºC. IQS determinar IQS IQS IQS IQS IQS IQS El problema IQS IQS IQS IQS IQS pide calcular una derivada en un punto tabular de una tabla el valor de unaIQS magnitud y su error. IQS equiespaciada IQSpara obtener IQS IQS IQS este caso aplicar el método de Stirling IQS Lo más adecuado IQS será enIQS IQS IQSdado que IQS los datos tienen suficiente exactitud, tal como muestra el gráfico adjunto, en IQS el que además IQS no se detecta IQS IQS IQS IQS la presencia de puntos anómalos. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Representación IQS de los datos IQS IQS IQS IQS 10,60 IQS IQS IQS IQS IQS IQS V (cm ) 10,55 IQS IQS IQS IQS IQS IQS 10,50 IQS IQS IQS IQS IQS IQS 10,45 IQS IQS IQS IQS IQS IQS 10,40 IQS IQS IQS IQS IQS IQS 10,35 IQS IQS IQS IQS IQS IQS 10,30 IQS IQS IQS IQS IQS IQS 10,25 150 170 190 IQS IQS IQS 210 230IQS250 270IQS290 310 IQS t (ºC) IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 3

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS en el cálculo IQSy que dT (K)IQS Dado que las unidades del volumen se simplifican = dt (ºC) podemos calcular la derivada que interviene en el cálculo del IQS IQS coeficiente de expansión IQS lineal directamente a partir de los IQS datos de la tabla.IQS IQS IQS IQS IQS IQS Tabla deIQS diferencias tabulares IQS IQS IQS IQS t/ºC V/cm 160 10,293372 0,000209 0,000029 0,000008 IQS 0,037299IQS IQS-0,000002 IQS IQS 180 10,330671 0,037508 0,000238 0,000027 0,000006 -0,000007 200 10,368179 0,000265 0,000033 0,000004 IQS 0,037746IQS IQS-0,000001 IQS IQS 220 10,405925 0,038011 0,000298 0,000032 0,000003 IQS 0,038309IQS IQS IQS IQS 240 10,443936 0,000330 0,000035 260 10,482245 0,038639 0,000365 IQS 0,039004IQS IQS IQS IQS 280 10,520884 300 10,559888 IQS IQS IQS IQS IQS En la tabla de diferencias tabulares no se detecta ningún punto erróneo y por IQS aplicar elIQS IQS IQS tanto, podremos método de Stirling como se habíaIQS propuesto. Se señalan, resaltadas, las diferencias queIQS corresponden aIQS los coeficientes IQS IQS IQS para el polinomio. IQS IQS IQS IQS IQS Cálculo de la derivada Los resultados de Stirling IQS IQS que se obtienen IQStras la aplicación IQS de la fórmula IQS para la primera derivada en el punto tabular son los siguientes: IQS IQS IQS IQS IQS n dy/dx Ed Ep Et IQS IQS IQS 0IQS 0 0,001908 0IQS 0,001908 1 0,001908 0 0,00000005 0,00000005 IQS IQS IQS IQS IQS 2 0,001908 2,7083E-07 0,00000005 3,2083E-07 3IQS 0,00190773 IQS 0 8,3333E-08 8,3333E-08 IQS IQS IQS 4 0,00190773 2,5E-09 8,3333E-08 8,5833E-08 IQS IQS IQS 5IQS 0,00190773 IQS 0 0,00000011 0,00000011 6IQS 0,00190773 IQS --0,00000011 --IQS IQS IQS El gradoIQS óptimo es gradoIQS 4 ya que corresponde IQSal valor mínimo IQSde la primeraIQS serie decreciente del error total. IQS IQS IQS IQS IQS A partir de este valor y del volumen ocupado a 240ºC se obtiene el IQS IQS IQS IQS coeficiente de expansión IQS lineal a esta temperatura. IQS IQS IQS IQS IQS    1 dV 1 ±  e dV + e V  = (240º C)IQS IQS α = V(240IQS IQS IQS º C) dt   dt    IQS = 1,82664IQS IQS IQS IQS -1 ⋅ 10 − 4 ± 9 ⋅ 10 −9 K IQS IQS IQS IQS IQS El coeficiente de expansión lineal del mercurio a 240ºC es 1,82664 10 ± 9IQS 10 K . IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 3

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS el polinomio de IQS Lagrange. IQS 4.6 Método IQSbasado en IQS IQS IQS se utiliza la derivada del método IQS de Lagrange para IQS SolamenteIQS IQS procedente IQS IQS y en el caso de calcular la derivada en puntos tabulares. IQS tablas equiespaciadas IQS IQS IQS IQS IQS Lo más habitual es utilizar el grado del polinomio que mejor interpola la tabla, IQS generalmente IQS IQS IQS IQS IQS de grado 2 ó 3, y no realizar el cálculo de errores. Como máximo IQS se utilizarán IQS IQS IQS IQS el error seIQS 5 puntos, es decir grado 4, y caso de querer determinar como en interpolación. IQS procederáIQS IQS IQS IQS IQS de derivación se deducen derivando el polinomio de interpolación IQS Las fórmulas IQS IQS IQS IQS IQS muestra a continuación: IQS tal como seIQS IQS IQS IQS IQS n (t − k ) ∏ IQS IQS IQS IQS IQS IQS k = 0 n k ≠i IQS IQS IQS IQS IQS L(t ) ≡ y = ∑ y i IQS n (i − j) IQS IQS IQS i = 0 ∏ IQS IQS IQS j=0 ≠i jIQS IQS IQS IQS IQS IQS n IQS IQS IQS IQS IQS  IQS  d ∏ (t − k )   k =0  n n  IQS IQS IQS IQS IQS IQS k ≠i  = ∑ ∏ (t − l) dt  IQS IQS IQS k =0 IQS IQS IQS l =0  k ≠i  l≠k  l≠ i  IQS  IQS IQS IQS IQS IQS  IQS IQS IQS  IQS IQS   IQS      IQS n  n IQS IQS dL(t )IQS IQS IQS 1 n  yi   ( ) t l = ∑ − ∑ ∏  dx IQS h i= 0  n  IQS IQS IQS IQS kIQS = 0 l =0 ( i − j ) k ≠ i  l ≠k  ∏   l ≠i    IQS IQS IQS IQS  jj=≠0i IQS IQS  IQS Para un polinomio IQS de interpolación IQS de grado IQS 3, el procesoIQS de cálculo de IQS la los puntos tabulares IQS derivada enIQS IQSes el siguiente: IQS IQS IQS de interpolación de grado 3: IQS IQS • Se determina IQS el polinomio IQS IQS IQS (t − 1)(t − 2)(t − 3 ) + y t(t − 2)(t − 3) + y t(t − 1)(t − 3) + y t(t − 1)(t − 2) IQS L 3 (t ) = y 0IQS IQS IQS2 − 2 IQS3 6 IQS 1 −6 2 IQS IQS IQS IQS IQS IQS t 3 − 6t 2 + 11t − 6IQSt 3 − 5t 2 + 6IQS t t 3 − 4t 2 + 3 t t 3 − 3t 2 +IQS 2t IQS L 3 (t ) = y 0IQS IQS + y1 + y2 + y3 −6 2 −2 6 IQS IQS IQS IQS IQS IQS el polinomio: IQS IQS • Se deriva IQS IQS IQS IQS

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Introducción al Cálculo Numérico. IQS.

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4. DERIVACION NUMERICA

IQS IQS IQS IQS IQS IQS 2 IQS IQS dL 3 (t ) IQS t − 11) + y 1 (9t 2 IQS − 30t + 18 ) + y 2 ( −IQS 9t 2 + 24t − 9 ) +  IQS 1  y 0 ( − 3t + 12   = 6h + y (3t 2 − 6IQS  IQS IQS dx IQS IQS IQS ) t + 2  3 IQS • Se obtienen IQSlas expresiones IQScorrespondientes IQS a la derivada, IQSsubstituyendoIQS de t para cada punto. para t = 0: IQS el valorIQS IQSPor ejemploIQS IQS IQS 1 (− 11y 0 + 18 yIQS IQS IQS L′(0) =IQS IQS 1 − 9 y 2 + 2y 3 ) IQS 6h IQS IQS IQS IQS IQS IQS similar se determinan las expresiones de cálculo para las derivadas IQS De forma IQS IQS IQS IQS IQS de diferente orden y diferentes grados del polinomio de interpolación. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Grado 2. 1ªIQS IQS IQS IQS IQS derivada IQS L′(0) = 21hIQS IQS IQS IQS (− 3y 0 + 4y1 − y 2IQS ) IQS L′(1) = 1 (IQS IQS IQS IQS IQS − y0 + y2 ) 2h IQS IQS IQS IQS IQS 1 IQS L ′(2) = (y 0 − 4y1 + 3y 2 ) 2h IQS IQS IQS IQS IQS IQS Grado 3. 1ª derivada Grado 3. 2ª derivada IQS L′(0) = 1 IQS IQS1 (2y 0 − 5yIQS IQS (− 11y 0 + 18 y1 − IQS 9 y 2 + 2y 3 ) L ′′(0 ) = 1 + 4y 2 − y 3 ) 2 6h IQS IQS IQSh1 IQS IQS 1 IQS L ′(1) = (− 2y 0 − 3y 1 + 6y 2 − 1y 3 ) L ′′(1) = (y 0 − 2y 1 + y 2 ) 6h IQS IQS IQS IQS IQS IQS h2 1 1 (y 0 − 6y1 + 3y 2 +IQS 2y 3 ) L ′′(IQS 2) = (y − 2y 2IQS + y3 ) IQS L′(2) = 6hIQS IQS 2 1 h (− 2y 0 + 9y 1 − 18IQS y 2 + 11y 3 ) IQS L ′(3) = 61h IQS IQS1 (− y + 4yIQS IQS L ′′(3 ) = − 5 y 2 + 2y 3 ) 0 1 h2 IQS Grado 4. 1ªIQS IQS IQS IQS IQS derivada IQS L ′(0) = 1 IQS IQS IQS (− 25y 0 + 48y 1 −IQS 36 y 2 + 16 y 3 − 3IQS y4 ) IQS ′ 121 hIQS IQS IQS IQS IQS L (1) = (− 3y 0 − 10y 1 + 18y 2 − 6y 3 + y 4 ) 12hIQS IQS IQS IQS IQS IQS 1 (y 0 − 8 y1 + 8 y 3 IQS − y4 ) IQS L′(2) = 12hIQS IQS IQS IQS (− y 0 + 6 y 1 − 18IQS y 2 + 10 y 3 + 3 y 4 IQS ) IQS L′(3) = 121hIQS IQS IQS IQS L ′(4) = 1 IQS IQS IQS (3y 0 − 16 y 1 + 36IQS y 2 − 48 y 3 + 25 yIQS 4) 12h IQS Tabla 4.1IQS IQS IQS en puntosIQS : Expresiones más usuales para IQS el cálculo de derivadas por el método deIQS Lagrange. IQS tabulares IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

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4. DERIVACION NUMERICA

IQS IQS IQS IQS IQS IQS de manera que el punto de cálculo IQS Estas expresiones IQS se utilizan IQS IQS IQS esté lo másIQS IQS centrado posible IQS en el polinomio. IQS IQS IQS IQS Así, si en la tabla adjunta se desea calcular la derivada para cada punto tabular IQS utilizando IQS IQS IQS IQS IQS las fórmulas de Lagrange de grado 3, se utilizarán las funciones de IQS cálculo queIQS IQS IQS IQS se indican en laIQS tercera fila. IQS IQS x IQS IQS x x xIQSx x IQS y y yIQSy y IQS IQS IQS y IQS IQS 0 1 1ó2 3 IQS IQS t IQS IQS 2 IQS IQS IQS Ejemplo 4.5 IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS tabla adjunta corresponde a la posición de un móvil. Determine si este IQS La IQS IQS IQS IQS móvil sigue un movimiento uniformementeIQS acelerado. IQS IQS t (s) IQS IQS IQS IQS 1 2 3 4 5 6 3,5 7,0 11,5 IQS 17,0 23,5 31,0IQS IQS IQS x (m) IQS IQS IQS Para responder IQS a esta pregunta IQS se puedenIQS IQS seguir diferentesIQS vías de solución: IQS • una opción IQS sería ver siIQS IQS IQS un polinomio deIQS segundo grado se ajusta a la de datos. IQS • tabla IQS IQS IQS IQS IQS la segunda opción sería determinar la derivada para cada punto de la tabla yIQS comprobar que IQS ésta es constante. IQS Siguiendo IQS IQS IQS esta segunda opción, dado que la tabla es equiespaciada y que determinar laIQS segunda derivada de la posición IQS respecto al IQS se pretende IQS IQS IQS tiempo (aceleración), se utilizará un polinomio de Lagrange de tercer grado. IQS IQS IQS IQS IQS IQS Los resultados de la segunda derivada para cada punto resultan ser: IQS IQS IQS IQS IQS IQS t (s) x (m) a = d x/dt IQS IQS IQS IQS IQS IQS 1 3,5 1 2 7,0 1 IQS IQS IQS IQS IQS IQS 3 11,5 1 4 17,0 IQS IQS IQS IQS 11 IQS IQS 5 23,5 6 31,0 IQS 1 IQS IQS IQS IQS IQS y, por lo tanto,IQS se trata de un movimiento IQS La aceleración IQS es constante IQS IQS IQS uniformemente acelerado. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

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4. DERIVACION NUMERICA

IQS IQS IQS IQS IQS IQS deIQS la derivada IQS a partir delIQS polinomio de IQS 4.7 Determinación IQS IQS IQS aproximación IQS IQS IQS IQS IQS cuando los puntos estén afectados por error IQS Este método IQSse utilizaráIQS IQS IQS IQS experimental. Dado que la derivación es una operación que magnifica el error, IQS se tiende IQS IQS IQS IQS IQS a utilizar esta técnica porque permite no aumentarlo excesivamente. IQS El polinomio IQS IQSserá la derivada IQSdel polinomioIQS de derivación IQS que habrá que utilizar se ajuste a los datos 3). IQS de aproximación IQS que mejorIQS IQS(ver CapítuloIQS IQS muy recomendable observar gráficamente la IQS No obstante, IQSsiempre esIQS IQS IQS IQS de los puntos y el ajuste del polinomio para comprobar si dicho IQS disposición IQS IQS IQS IQS IQS ajuste es correcto. En caso que el ajuste no sea correcto pueden eliminarse los IQS puntos más IQS IQS IQS IQS IQS distantes a la zona de interés o bien calcular polinomios de IQS aproximación IQSpor segmentos. IQSEn este último IQS IQShabitualmenteIQS caso se utilizan de segundo o tercer IQS polinomiosIQS IQSgrado. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Ejemplo 4.6 IQS IQS IQS IQS IQS IQS Los peroxiácidos aromáticos, R-CO H, se descomponen lentamente en IQS solución IQS IQS IQS acuosa dando elIQS ácido aromático,IQS R-COOH, y oxígeno. IQS IQS IQS IQS IQS IQS R-CO H → R-CO H + ½ O IQS La velocidad IQSde esta reacción IQSes muy dependiente IQS del pH alIQS IQS que se realiza la IQS reacción.IQS IQS IQS IQS IQS En estudios cinéticos de la descomposición del ácido peroxibenzoico, PhIQS CO H (pKIQS IQS =7,78) [Goodman, J.F., Robson,IQS P., Wilson, E.R.;IQS Trans. Faraday IQS , 58 (1962), 1846 - 51], determinaron su concentración a diferentes IQS Soc. IQS IQS IQS IQS tiempos IQS de reacción por yodometría. representación de la concentración en función del tiempo rectifica, siendo IQS La IQSde la recta, laIQS IQS IQS la pendiente constante cinética de la reacciónIQS k en M s . tabla siguiente: IQS IQS Esta constante IQS cinética depende IQS del pH según IQSmanifiesta laIQS pH IQS k (M s ) pH k (M s ) IQS IQS IQS IQS IQS 6,60 1,2 10 7,90 4,5 10 6,95IQS 1,6 10 8,10 IQS IQS IQS4,6 10 IQS IQS 7,07 2,2 10 8,16 3,5 10 7,18IQS 3,2 10 8,41 IQS IQS IQS2,8 10 IQS IQS 7,45 3,6 10 8,55 2,1 10 IQS IQS 7,58IQS 4,4 10 8,80 IQS1,8 10 IQS IQS 7,70 4,5 10 9,00 1,2 10 IQS IQS IQS IQS IQS IQS el pH al que la reacción tiene una velocidad máxima. IQS Determine IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Representación de los datos IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS k IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS pH IQS IQS IQS IQS IQS La representación datos muestra que éstos tienen error experimental IQS y IQS de los IQS IQS IQS que por tanto, el problema debe resolverse por aproximación. IQS IQS IQS IQS IQS Ajuste del polinomio de aproximación IQSque mejor seIQS IQS IQS El polinomio ajusta a los datos es un polinomio de segundo IQS grado: IQS k = IQS IQS IQS IQS 2 0 −2344 pH + 36650 pH − 139100 IQS IQS IQS IQS IQS con un error cuadrático medio igual a 548 M s . IQS IQS IQS IQS IQS Sin embargo, la representación del polinomio permite detectar que el ajuste IQS IQS IQS en la zona del máximo noIQS es adecuado. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS k IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS pH IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 5000

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y = -2344,2x + 36646x - 139126

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

4. DERIVACION NUMERICA

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS puede ser debido a la presencia de asíntotas horizontales en los IQS Ello IQS IQSen los casosIQS extremosIQS de la función. Una opción interesante en que el ajusteIQS toda la tabla resulta incorrecto es la reducción de la tabla, es decir no IQS aconsiderar IQS IQS IQS IQS IQS aquellos puntos que están más alejados de la zona de interés. IQS SegundaIQS IQS IQS IQS IQS aproximación polinomial a la tabla de datos descartando los dos primeros yIQS los dos últimos IQS IQS El ajusteIQS IQS IQS puntos, conduce a un polinomio más adecuado, un polinomio de segundo IQS grado: IQS IQS IQS IQS IQS 4243 pH 2 + 66120 pH − 253100 IQS IQS k 0 = −IQS IQS IQS IQS cuadrático medio y un ajuste correcto IQS con un error IQS IQSde 318 M s IQS IQSen la zona deIQS interés. IQS IQS IQS IQS IQS IQS el máximo de esta función, corresponde a pH = 7,79 y la IQS Analíticamente, IQS IQS constante de velocidad a IQS este pH es de 4,5IQS ± 0,3 10 M s . IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Resumen y esquema de uso de los diferentes métodos de IQS 4.8 IQS IQS IQS IQS IQS derivación. básicas de derivación polinomios que se IQS Las técnicas IQS IQS se fundamentan IQS en los IQS IQS en interpolación o aproximación. IQS determinanIQS IQS IQS IQS IQS El siguiente esquema ofrece una aproximación a la selección del método de IQS derivaciónIQS IQS IQS IQS IQS más adecuado entre los expuestos en este capítulo relativo a la IQS derivaciónIQS IQS IQS IQS a partir de tablasIQS de datos. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQSDERIVACIONIQS IQS POR INCREMENTOS FINITOS Puntos con IQS IQS IQS IQSDERIVACIONIQS IQS POR LAGRANGE Paso constante buena exactitud IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Paso no constante IQS DERIVACIONIQS POR NEWTON IQS IQS IQS IQS IQS IQS DERIVACION POR GREGORY-NEWTON, Paso constante IQS IQS IQS IQSSTIRLING o BESSEL IQS IQS POR NEWTON Paso no constante IQS IQS IQS IQS DERIVACIONIQS IQS DERIVACION BASADA EN POLINOMIOS Puntos con IQS IQS IQS DE APROXIMACIÓN IQS IQS poca exactitud IQS Esquema 4.1: Resumen de aplicación de métodos de derivación IQS IQS IQS IQS IQS IQS 3

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Estimación

Valores para cálculos posteriores: Optimización, ajuste.

Derivación en un punto

Introducción al Cálculo Numérico. IQS.

1ª derivada:  Hay punto de inflexión grado 3  No hay punto de inflexión grado 2 2ª derivada grado 3

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Introducción al Cálculo Numérico. IQS.

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son

IQS IQS los IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

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4. DERIVACION NUMERICA

IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS derivación de funciones, los métodos más adecuados IQS Para la IQS IQS IQS IQS correspondientes a las fórmulas de diferencias centradas. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

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5. INTEGRACION NUMERICA

IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 5. INTEGRACION IQS IQS IQS IQS NUMERICAIQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 5.1 Introducción. IQS IQS IQS IQS IQS se ha comentado en el capítulo de derivación numérica, muchas IQS Como ya IQS IQS IQS IQS IQS expresiones científicas y técnicas se expresan como ecuaciones diferenciales. IQS Es por elloIQS IQS IQS IQS IQS que con frecuencia se debe recurrir a procesos numéricos de IQS integraciónIQS IQS IQS para obtener IQS resultados correspondientes a IQS variables que se definidas en forma diferencial. IQS IQS encuentranIQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Ejemplo 5.1 IQS IQS IQS IQS IQS relación entre la capacidad calorífica molar y la entalpía,IQS a presión IQS La IQS IQS IQS IQS constante, es:  IQS IQS IQS CP =  ∂HIQS IQS IQS   ∂T  P IQS IQS IQS IQS IQS IQS determinación de la capacidad calorífica a partir de entalpías y IQS La IQS IQS IQS IQS IQS temperaturas es un problema que se resuelve por derivación. la determinación de la variación de entalpía a partir de IQS En cambio, IQS IQS IQS IQS IQS temperaturas y capacidades caloríficas, o la variación de la temperatura a IQS partir deIQS IQS caloríficasIQS entalpías y capacidades son problemasIQS de integración. IQS IQS IQS IQS IQSH 1 IQS IQS T ∆H = ∫ CP dT ∆T = ∫ dH IQS IQS IQS IQS IQS IQS Cp T H IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Entre otrosIQS IQS IQS IQS IQS casos, habitualmente será necesario integrar para determinar: IQS • las cantidades IQS de substancia IQS y los tiempos IQS IQS IQS de reacción en las expresiones IQS cinéticas. IQS IQS IQS IQS IQS y el tiempo IQS en fenómenos de IQS • las cantidades IQS de materia, IQScalor o masa IQS IQS IQS transporte. IQS IQS IQS IQS IQS • los valores de entalpías y energías de reacción, etc. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

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5. INTEGRACION NUMERICA

IQS IQS IQS IQS IQS IQS de medida, como IQS Por otra parte IQSen determinados IQSprocedimientos IQS IQSes el caso deIQS en Química, la integral de la curva IQS la cromatografía IQS o la electroforesis IQS IQS IQS IQS registrada, es decir, el área bajo dicha curva, es la que se relaciona con la IQS concentración IQSde la muestra. IQS IQS IQS IQS Por tanto resulta necesario disponer de métodos IQS numéricosIQS IQSel valor de IQS IQS IQS que permitan obtener una integral a partir de una tabla de IQS datos. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Ejemplo 5.2 IQS IQS IQS IQS IQS En la determinación de la concentración de n-pentano en una muestra por IQS cromatografía IQSde gases, elIQS IQS IQS área bajo la curva cromatográfica (A en min) se IQS con la concentración según la expresión: IQS relacionaIQS IQS IQS IQS IQS *A + 4,52 ⋅ 10 IQS ](M) = 5,31⋅ 10IQS IQS IQS [n - pentano IQS IQS IQS Determinar IQS IQS IQSsi el IQS la concentración de pentano enIQS la muestra problema, ha dado la siguiente tabla de valores: IQS registro cromatográfico IQS IQS IQS IQS IQS (min) R t (min) R IQS IQS t 1,88 IQS IQS IQS IQS 0,00 2,02 451,15 0,01 2,04 66,03 IQS IQS 1,90 IQS IQS IQS IQS 1,92 0,03 2,06 2,68 2,65 2,08 0,04IQS IQS IQS 1,94 IQS IQS IQS 1,96 65,72 2,10 0,02 448,20 2,12 0,01IQS IQS IQS 1,98 IQS IQS IQS 2,00 850 IQS IQS IQS IQS IQS IQS siendo R la altura del registro cromatográfico en cada punto. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS una integraciónIQS y decidir el método IQS Al plantearIQS IQSque se aplicará, IQShay que tenerIQS las siguientes características de la integral a resolver: IQS en cuentaIQS IQS IQS IQS IQS • Definidas e indefinidas IQS Se habla IQS IQS IQS IQS IQS de integrales indefinidas en el caso en que se pretende obtener la IQS funciónIQS IQS El resultado IQS IQS IQS analítica de la integral. es una función que no siempre IQS existe.IQS IQS IQS IQS IQS contrario, se habla de integrales definidas se desea conocer IQS Por el IQS IQS IQS cuandoIQS IQS de la integral entre dos puntos de la función. Estas integrales se IQS el valorIQS IQS IQS IQS IQS relacionan con el área bajo la función y son las únicas que se pueden IQS resolverIQS IQS IQS IQS IQS numéricamente. IQS IQS IQS IQS IQS IQS

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Introducción al Cálculo Numérico. IQS.

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS o impropias IQS IQS • PropiasIQS IQS IQS IQS integrales definidas de integrales: son IQS Entre las IQS IQS se diferencian IQSdos tipos IQS IQS aquellas para las que bien el intervalo de integración o bien el IQS impropias IQS IQS IQS IQS IQS integrando en el intervalo de integración no están acotados. Obviamente si IQS no es así, IQS IQS IQS IQS se consideranIQS integrales propias. IQS IQS IQS IQS IQS IQS parte, se distingue entre la integración provenientes de IQS Por otra IQS IQS IQS de datosIQS IQS de funciones conocidas. En este IQS tablas numéricas IQS y la integración IQS numéricaIQS IQS IQS segundo caso, el primer paso será conseguir, a partir de la función, una tabla IQS de datos sobre IQSla que aplicar IQS IQS IQS IQS alguno de los métodos de integración de tablas IQS numéricas.IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS los siguientes métodos: IQS En este capítulo IQS expondránIQS IQS IQS IQS gráficos IQS • Métodos IQS IQS IQS IQS IQS
Integración por conteo IQS
Integración IQS por pesada IQS IQS IQS IQS IQS
Integración IQS gráfica IQS IQS IQS IQS numéricos IQS IQS • Métodos IQS IQS IQS IQS IQS
Métodos IQSelementalesIQS IQS IQS IQS  Integración por rectángulos IQS  IQS IQS IQS IQS IQS Método del punto medio IQS  IQS IQS IQS IQS IQS Integración por trapecios IQS
Métodos IQSpolinómicosIQS IQS IQS IQS Fórmulas de Newton-Cotes IQS  IQS IQS IQS IQS IQS Fórmulas basadas en polinomios ortogonales IQS  IQS IQS IQS IQS IQS - Cuadratura de Gauss IQS IQS IQS IQS IQS IQS - Cuadratura de Chebyshev IQS IQS IQS IQS IQS IQS de los límites de integración, seIQS habla de fórmulas cerradas y de IQS En funciónIQS IQS IQS IQS abiertas. Las fórmulas cerradas requieren conocer el valor de la IQS fórmulas IQS IQS IQS IQS IQS función en los extremos del intervalo de integración. Las fórmulas abiertas se IQS podrán aplicar IQSen caso queIQS IQS IQS IQS alguno de los dos extremos de la integral no sea un IQS punto tabular IQS IQS IQS IQS IQS o no sea calculable. IQS IQS IQS IQS IQS IQS

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS hace referenciaIQS al error del método. la IQS El último comentario IQS generalIQS IQSEn general, IQS es un buen método numérico ya que los errores se acostumbran a IQS integraciónIQS IQS IQS IQS IQS compensar. Es frecuente por tanto, considerar solamente el error del método y IQS obviar la propagación IQS del error IQSde los datos;IQS IQS IQS ahora bien, recuerde que no tiene IQS sentido darIQS IQS IQS IQS los resultados con una precisiónIQS mayor que la correspondiente a los IQS datos de partida. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 5.2 Métodos gráficos IQS Los métodos IQS IQS IQS IQS IQS gráficos de integración no son excesivamente utilizados, salvo IQS que no exista IQSotro procedimiento IQS alternativo, IQSy su interés IQS IQS es sobre todo e histórico. Siempre servir para obtener IQS conceptualIQS IQS pueden IQS IQSuna primeraIQS del valor de la integral a partir del gráfico. IQS estimaciónIQS IQS IQS IQS IQS IQS 5.2.1 Integración IQS por conteo IQS IQS IQS IQS IQS A partir deIQS IQS IQS IQS la representación gráfica de los IQS datos, con módulos adecuados, se IQS puede conocer IQSel valor deIQS IQS el númeroIQS IQS la integral contando de cuadros (NQ de área conocida, por ejemplo mm ) entre la curva de la función, en IQS elementosIQS IQS IQS IQS IQS considerado, y el eje de abscisas. IQS el intervaloIQS IQS IQS IQS IQS Lógicamente, la relación que existe entre la integral y el número de cuadros IQS (NQ) seráIQS IQS IQS IQS IQS la siguiente: IQS IQS IQSI = NQ 1 IQS IQS IQS 1 y IQS IQS IQS m x mIQS IQS IQS y m son respectivamente IQS donde m IQS IQS los módulos IQSde x e y. IQS IQS IQS 5.2.2 Integración IQS por pesada IQS IQS IQS IQS IQS Este segundo IQSmétodo es idéntico IQS al anteriorIQS IQS IQS con la diferencia que el área no se IQS determinaIQS IQS IQS IQS IQS por conteo sino por pesada. se representa laIQS gráfica en papel calibrado, un tipo de papel cuyo IQS Para ello,IQS IQS IQS IQS es uniforme (gramaje del papel, normalmente un IQS peso por unidad IQS de superficie IQS IQS IQS IQS valor comprendido entre 80 y 100 g/m ). Entonces se recorta el área de interés IQS y se pesa IQS IQS IQS IQS IQS dicho recorte: IQS IQS IQS M 1 IQS IQS IQS 1 I= y IQS IQS IQS σ m x mIQS IQS IQS

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS la masa del papel o densidad superficial IQS donde M es IQS IQSy σ el gramaje IQS IQS (g/m ) delIQS IQS mismo. IQS IQS IQS IQS IQS IQS 5.2.3 Integración IQS gráficaIQS IQS IQS IQS IQS Supongamos IQS IQS IQS IQS IQS que se desea integrar una función f(x), o una tabla de datos, es IQS decir: IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS x IQS IQS IQS )dx IQS IQS IQSF(x ) = a∫ f (xIQS IQS IQS IQS Esta integral IQS IQS IQS IQS IQS puede evaluarse de forma acumulativa: x IQS IQS IQS IQS IQS IQS − a) ∫ f (x )dx ≈ f (ε1 )(x1IQS IQS IQS F(x1 ) =IQS IQS IQS a x IQS IQS F(x ) =IQS IQS IQS IQS 2 ∫ f (x )dx ≈ F(x1 ) + f (ε 2 )(x 2 − x1 ) IQS IQS IQS IQS IQS IQS a IQS IQS M IQS IQS IQS IQS x + f (ε i )(x i − x i −1 ) IQS IQS IQS F(x i ) = IQS IQS ∫ f (x )dx ≈ F(x i −1 )IQS a IQS De esta forma, IQSy a partir deIQS IQS IQS IQS esta última ecuación para x indeterminado, se tiene IQS la ecuaciónIQS IQS IQS IQS de una recta cuya pendiente es:IQS (x i −1 ) F(x i ) − FIQS IQS IQS IQS IQS IQS f (ε i ) = i −1 IQS IQS IQS x i − xIQS IQS IQS partir de x uniendo los diferentes IQS Puede entonces IQS representarse IQSla integral aIQS IQS IQS valores tabulares de abscisas con rectas de pendiente f(ε ). IQS Para el trazado IQSde la curvaIQS IQS IQS IQS integral se sigue la siguiente secuencia operativa: IQS • Se toman IQS IQS IQS los valores ε IQS para cada par deIQS puntos de la tabla. IQS • Se determinan IQS los valores IQS IQS de f(ε ) bien por interpolación oIQS bien a partir de IQS la IQS función.IQS IQS IQS IQS IQS de forma consecutiva los segmentos desde x IQS • Se trazan IQS IQS IQS IQShasta x conIQS f(ε ), empezando en el punto (x , 0). IQS Enpendiente IQS IQS IQS IQS IQS la siguiente figura se muestra este procedimiento. Tenga presente que en IQS dicha figuraIQS IQS IQS IQS IQS ε se representa como E . IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 1

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS a utilizar en este método tendrá que contenerIQS los puntos más IQS La tabla IQS IQS IQS IQS de la curva (raíces, extremos relativos, extremos del intervalo, IQS significativos IQS IQS IQS IQS IQS etc.) con el fin de mejorar la precisión en el cálculo de la curva primitiva. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS elementales IQS IQS 5.3 Métodos IQSnuméricosIQS IQS IQS se comete en una integración depende IQS Habitualmente, IQSel error queIQS IQS IQS del númeroIQS puntos y de la forma de la curva a la que se aplique el método. Todos estos IQS de IQS IQS IQS IQS IQS métodos elementales de integración numérica son aplicables a cualquier tipo IQS de tabla, pero IQShay que señalar IQSque son métodos IQS cerrados, IQS IQS es decir que debe IQS conocerseIQS IQSen los límitesIQS IQS el valor de la función de integración.IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 5.3.1 Método IQSde los rectángulos. IQS IQS IQS IQS El área comprendida entre la curva y el eje de abscisas se puede aproximar IQS representándola IQS como un IQS IQS IQS IQS conjunto de rectángulos formados según cualquiera IQS de las expresiones IQS siguientes: IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS I ≈ ∑ f (xi )(xi+1IQS − xi ) I ≈ ∑ f (xi+1 )(xi+IQS 1 − xi ) IQS IQS IQS IQS IQS casos los erroresIQS por exceso y por defecto no se compensan IQS En ambosIQS IQS IQS cuandoIQS creciente o decreciente. IQS la curva esIQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 5.3.2 Método IQSdel punto medio IQS IQS IQS IQS IQS Es un método IQSsimilar al anterior, IQSpero en lugar IQS IQS de tomar un IQS valor extremo para del rectángulo,IQS se toma el valorIQS en el punto medio entre x y x . IQS IQS la definiciónIQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS la función que representa los puntos de la tabla, el IQS Si no se conoce IQS el valor deIQS IQS IQS IQS valor de la misma ha de interpolarse en la tabla. IQS En cualquier IQS IQS IQS IQS IQS caso, el valor de la integral corresponde al sumatorio de las áreas IQS de los rectángulos: IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS  x + xi+1  IQS I ≈ ∑ f i  (xi+1 − xi ) IQS IQS IQS 2  IQS IQS IQS permite que para cada rectángulo pueda haber compensación de IQS Este método IQS IQS IQS IQS IQS errores. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 5.3.3 Método IQS IQS IQS IQS IQS de los trapecios de puntos de la tabla están unidos IQS Si se supone IQSque cada parIQS IQS IQSpor una líneaIQS área comprendida entre los dosIQS puntos corresponde IQS recta, el IQS IQS IQS a la de unIQS es directamente determinable según la expresión: IQS trapecio yIQS IQS IQS IQS IQS f (x 0 ) + f (x 1 ) B+b h A= (x 1 − x 0IQS ) IQS IQS A = 2 IQS IQS IQS 2 IQS IQS IQS IQS IQS IQS

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS y la integralIQS IQS IQS IQS IQS de la función será: f (x ) + f (x ) IQS IQS IQS IQS I ≈IQS (x i+1 − x i ) ∑ i 2 i+1 IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Este método IQS IQSal método delIQS tiene tambiénIQS un error inferiorIQS al correspondiente IQS rectánguloIQS IQS y los errores se IQS compensan entreIQS regiones cóncavas y convexas. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Ejemplo 5.3 IQS IQS IQS IQS IQS La degradación de la N-glutamil-L-fenilalanina por α-quimotripsinaIQS IQS sigue IQS enzimáticaIQS IQS IQS una cinética que puede representarse mediante la ecuación de − Menten. IQS MichaelisIQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS E 0 [S] d[S] k 2IQS v=− = + [S] IQS IQS IQS dt K mIQS IQS IQS se han obtenidoIQS los siguientes valores: IQS En un determinado IQS ensayoIQS IQS IQS IQS IQS [S] (M)IQS IQS IQS v (M s ) [S] IQS (M) v (M s ) 2,5 10 2,2 10 1 10 5,9 10 IQS IQS 5 10 IQS IQS IQS 3,8 10 1,5 IQS 10 7,1 10 IQS Calcular IQS IQSpara que laIQS el tiempo necesario concentración IQS de N-glutamil-L-IQS disminuya de 1,5 mM a 0,25 mM. IQS fenilalanina IQS IQS IQS IQS IQS la integral por los métodos del rectángulo trapecios IQS Cálculo deIQS IQS IQS y de losIQS IQS 2,5⋅10 1,5⋅10 IQS IQS t IQS IQS IQS IQS 1 1 dt = − ∫ d[S] = ∫ v d[S] IQS v IQS IQS 0∫ IQS IQS IQS 1,5⋅10 2,5⋅10 IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS la expresión de la integral que ha de calcularse, se genera en primer IQS Dada IQScolumna con IQS IQS IQS IQS lugar la nueva la variable dependiente. IQS IQS IQS Rectángulos IQS Rectángulos IQS IQS Trapecios [S] (M) v (M s ) 1/v (s M ) (pto siguiente) (pto anterior) IQS 2,50E-04 IQS IQS IQS IQS IQS 2,20E-06 4,55E+05 1,14E+02 8,97E+01 3,80E-06 2,63E+05 1,32E+02 6,58E+01 IQS 5,00E-04 IQS IQS IQS IQS 1,08E+02IQS 1,00E-03 5,90E-06 1,69E+05 8,47E+01 8,47E+01 7,76E+01 7,10E-06 1,41E+05 7,04E+01 IQS 1,50E-03 IQS IQS IQS IQS IQS 3,30E+02 2,21E+02 2,75E+02 IQS IQS IQS IQS IQS IQS El tiempo necesario para que la concentración de N-glutamil-L-fenilalanina IQS disminuyaIQS IQS IQS IQS de 1,5 mM a 0,25 mM es de: IQS s según el método de los rectángulos basado en el punto anterior. IQS •• 330 IQS 220 sIQS según el métodoIQS de los rectángulos basado en el IQS punto posterior. IQS según el método de los trapecios. IQS • 280 sIQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS errores en los métodos IQS 5.4 Tratamiento IQS de los IQS IQS de integración. IQS IQS los métodos de integración el error es debido al desajuste entre la curva real IQS En IQS IQS IQS IQS IQS y las estimaciones que hacen cada uno de los métodos para calcular el área IQS entre la curva IQS IQS IQS IQS IQS y el eje de abscisas. Cambiar el método de integración y el grado IQS del polinomio IQSutilizado, noIQS IQS una mejora IQS IQS aporta necesariamente del ajuste y un y, por lo tanto, un cambio de este IQS menor error IQS IQSdifícilmente IQS IQStipo permitiráIQS error de la integración. IQS disminuir elIQS IQS IQS IQS IQS En cambio, el error ciertamente disminuirá si se aumenta el número de puntos IQS considerados IQS IQS IQS IQS IQS de la función. De acuerdo con esta idea la estimación del error de IQS la integración IQS IQSentre el valorIQS IQSnumérica y IQS será la diferencia actual de la integral el la misma para la mitad de puntos (la mitad deIQS subintervalos de IQS valor de IQS IQS IQS IQS IQS cálculo). IQS IQS IQS IQS IQS Im IQS IQS IQSε 2m = I2m −IQS IQS IQS Debe tenerse en cuenta que esta estimación sólo será válida cuando los IQS puntos utilizados IQS den una evaluación IQS suficiente IQSde la integral,IQS IQS es decir, a partir IQS del momento IQS IQS IQS IQS IQS en que esta converge. de los métodos se acostumbra a IQS referir al grado del IQS Por otra parte, IQSla exactitudIQS IQS IQS para el que el método da siempre el resultado exacto. Así, para los IQS polinomio IQS IQS IQS IQS IQS métodos expuestos hasta ahora: IQS IQS IQS IQS IQS IQS -1

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS para polinomios de grado cero.IQS IQS • los métodos IQSde los rectángulos IQS son exactos IQS IQS métodos del valor medio para polinomios IQS • delosgrado IQS IQSy de los trapecios IQS son exactos IQS IQS 1. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Ejemplo 5.4 IQS IQS IQS IQS IQS Determine el valor de la integral de f(x) = e /x entre x = 2 y x = 3. IQS IQS IQS 3 e x IQS IQS IQS IQS IQS IQS 2∫ x dxIQS IQS IQS primer paso para determinar numérica es la IQS Elgeneración IQS IQS la integral IQS de formaIQS IQS de una tabla de puntos. hace una primera estimación la función cada IQS IQS Si0,2seunidades IQS IQS de la integral IQScalculandoIQS y aplicando el método de los trapecios, se tiene: IQS IQS IQS IQS IQS IQS x y A IQS IQS IQS IQS IQS IQS 2,0 3,69453 0,77968 2,2 4,10228 0,86953 IQS IQS IQS IQS IQS IQS 2,4 4,59299 0,97714 2,6 5,17836 1,10514 IQS IQS IQS IQS IQS IQS 2,8 5,87309 1,25683 3,0 6,69518 IQS IQS IQS IQS IQS IQS las áreas de los trapecios correspondientes a cada par de puntos, IQS Sumando IQS IQS IQS IQS IQS se obtiene que el valor de la integral es igual a 4,9883. IQS Si se quiere IQSestimar elIQS IQS IQS IQS error del cálculo aproximado de la integral, se duplicando el número de cálculo. IQS IQS calcularáIQS IQSde intervalos IQS IQS x y IQSA IQS IQS IQS IQS IQS 2,0 3,69453 0,37916 IQS IQS IQS 2,1 3,88865 IQS 0,39955 IQS IQS 2,2 4,10228 0,42194 IQS IQS IQS IQS IQS IQS 2,3 4,33660 0,44648 2,4 4,59299 0,47330 IQS IQS IQS IQS IQS IQS 2,5 4,87300 0,50257 2,6 5,17836 0,53447 IQS IQS IQS IQS IQS IQS 2,7 5,51101 0,56920 2,8 5,87309 0,60700 IQS IQS IQS IQS IQS IQS 2,9 6,26695 0,64811 3,0 6,69518 IQS IQS IQS IQS IQS IQS los valores de las integrales paraIQS cada par de puntos, IQS Sumando IQS IQS IQSse obtiene IQS una estimación de la integral de 4,9818. error de esta estimación es inferior o igual a la diferenciaIQS entre las dos IQS IQS Elestimaciones IQS IQS IQS de la integral: 0,0066. IQS IQS IQS IQS IQS IQS Por tanto, la integral de f(x) entre 2 y 3, es: 4,982 ± 0,007. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Introducción al Cálculo Numérico. IQS.

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS – Cotes. IQS 5.5 Fórmulas IQS de NewtonIQS IQS IQS IQS Las fórmulas de cuadratura se suelen definir como muestra en la siguiente IQS expresión:IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS b b + R(x ) ∫ f (x ) dx = ∫ ϕ(x ) dx IQS IQS IQS IQS IQS IQS a a IQS es decir definen IQS la expresión IQS IQS y un restoIQS de estimaciónIQS de la integral deseada de error. IQS que corresponde IQS al términoIQS IQS IQS IQS de Newton −IQS Cotes son fórmulas basadas en los IQS Las fórmulas IQS IQSde cuadratura IQS IQS de interpolación en las que los puntos utilizados deben estar IQS polinomiosIQS IQS IQS IQS IQS equiespaciados. IQS Las fórmulas IQS IQS IQS IQS IQS más usadas son las fórmulas cerradas y son las únicas que se IQS verán en IQS IQSfórmulas seIQS IQS IQS este capítulo. Estas pueden deducir a partir de los de interpolaciónIQS de Lagrange para tablas equiespaciadas. IQS polinomiosIQS IQS IQS IQS b b IQS IQS IQS IQS IQS IQS ∫ f (x ) dx = ∫ Ln (x ) dx + R(x ) a a IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Entonces:IQS IQS IQSn IQS IQS n (t − j) IQS IQS IQS IQS IQS ∏ ∏ (t − j) IQS j = 0 j = 0 x b n n n n j ≠i j≠ i IQS IQS IQS IQS f ( x ) dx ≈ y dx = h yi dt = IQS ∫ ∫∑ i n ∫ ∑IQS n 0 i =0 a (i − k ) ∏ (i − k ) IQS IQS IQS x0 i=0 k∏ IQS IQS IQS =0 k =0 k ≠i k ≠i IQS IQS n IQS IQS IQS IQS n (t − j) IQS ∏ (t − j) IQS IQS n ∏ IQS IQS IQS j= 0 n j =0 n n n j≠ i j ≠i =IQS h∑ y i ∫ dt = (b − a )∑ y i ∫ IQS dt = (b −IQS a )∑ y iHi IQS IQS IQS n n i =0 0 i= 0 0 i =0 n∏ (i − k ) IQS IQS k∏=0 (i − k ) IQS IQS IQS IQS k =0 k ≠i IQS IQS k ≠i IQS IQS IQS IQS La integral puede expresarse como combinación lineal de los valores de y, de IQS tal maneraIQS IQS IQS IQS IQS que los coeficientes pueden calcularse de forma que sean válidos IQS para cualquier IQSaplicación deIQS IQS IQS IQS la fórmula. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 5.5.1 Método IQSde los trapecios IQS IQS IQS IQS de los trapecios se obtiene a partir del polinomio de Lagrange de IQS El métodoIQS IQS IQS IQS IQS grado 1 (n = 1). Entonces: IQS IQS IQS 1 IQS IQS IQS (t −IQS j) IQS IQS IQS ∏ IQS IQS j 0 = 1 j≠i IQS IQS IQS IQS IQS IQS Hi = ∫ dt 1 k) IQS IQS IQS 0 ∏ (i −IQS IQS IQS k =0 IQS IQS IQS k ≠ i IQS IQS IQS anterior: IQS y por aplicación IQSde la fórmula IQS IQS IQS IQS 1  t2  t −1 1 1 IQS IQS IQS H0 = ∫1IQS IQS dt = −  − tIQS  = − +1= −1 2 2  2  0 0 IQS IQS IQS IQS IQS IQS 1 1  t2  1 IQS IQS H1 = ∫ IQS IQS IQS IQS t dt =   = 2 2   0 IQS IQS IQS 0 IQS IQS IQS El valor de la integral puede calcularse aplicando estos coeficientes, resultando IQS la siguienteIQS IQS IQS IQS IQS expresión: IQS IQS IQS IQS IQS (b −IQS a) I= (y0 + y1) = (x1 − x0 ) (y0 + y1) 2IQS IQS IQS IQS 2 IQS IQS el método de los trapecios IQS El resto enIQS IQS IQS IQS IQS x h (y1 + y 0 ) IQS IQS IQS IQS (h) = ∫ f (x ) dx − IQS RIQS 2 IQS IQS IQSx IQS IQS IQS dos veces la expresión del resto: IQS Si se derivaIQS IQS IQS IQS IQS x + h  0   f (x ) dx − h (IQS = IQS IQS dRdh(h) = dhdIQS IQS f ( x + h ) − f ( x ) ) 0 0  IQS  ∫ 2   x0  IQS IQS IQS IQS IQS IQS 1 1 h − f (x 0 + h) + f (x 0 ) − f ′(x 0 + h) = IQS IQS = f (x0 + h)IQS IQS IQS 2 2 IQS2 1 h h) + f (x 0 ) − f ′(IQS x 0 + h) IQS IQS = 21 f (x0 +IQS IQS IQS 2 2 IQS IQS IQS IQS IQS IQS h 1 h d 2R(h) 1 = f ′(x 0 + h) − f ′′(x 0 + h) − f ′(x 0 + h) = − f ′′(x 0 + h) IQS IQS IQS IQS IQS 2 2 2 2IQS dh 2 que si h = 0, entonces R’(0) = 0, si seIQS integra dos veces IQS Sabiendo IQS IQS R(0) = 0 yIQS IQS IQS R’’(x), se tiene: IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

5. INTEGRACION NUMERICA

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS h h IQS IQS IQS IQS IQS IQS t ′ ′ ′ R ( t ) dt = R ( h ) = − ∫ ∫ 2 f ′′(x0 + t ) dt IQS IQS IQS IQS IQS 0 0 IQS la función es IQS aproximadamente IQS Si se supone IQSque la segunda IQSderivada deIQS IQS y al mismo tiempo aproximadamente igual a f’’(ξ), siendo ξ un valor IQS constanteIQS IQS IQS IQS IQS comprendido entre x y (x + h), se obtiene: IQS IQS IQS2 IQS IQS IQS h h3 f ′′(ξ ) R(h) = − f ′′(ξ ) IQS IQS IQS R′(h) = − IQS IQS IQS 4 12 IQS Así, el resto, IQS IQS es mayor IQS IQS en valor absoluto, cuanto mayor esIQS el espaciado. La del resto permite comprobar la IQS validez de la estimación IQS expresión IQS IQS IQS del errorIQS a IQS como diferencia IQS entre los resultados IQS correspondientes IQS al espaciado IQS actual yIQS doble espaciado. IQS IQS b IQS IQS IQS IQS n−1x 3 R(h) = ∫ f (x ) dx −IQS ∑ ∫ L1(x ) dx = nkh IQS IQS IQS IQS IQS i =0 x a IQS IQS b IQS IQS IQS IQS n −1 x 2 n R(2h) = ∫ f (x ) dx IQS − ∑ ∫ L1 (x ) dxIQS =   ⋅ 8kh 3 IQS IQS IQS IQS 2  i = 0 a x IQS IQS IQS IQS IQS IQS n −1 x n−1 x 2 E ig = R(h) ≤ ∑ 3nkh 3 IQS IQS IQS IQS ∫ L1(x ) dx − ∑IQS ∫ L1(x ) dx = IQS i =0 x i =0 x IQS IQS IQS IQS IQS IQS concuerda además con lo que ya se había expuesto: si la curva IQS Esta fórmula IQS IQS IQS IQS IQS es cóncava (f’’(x) > 0), el método de los trapecios da error por exceso, y si la IQS curva es convexa IQS (f’’(x) < 0),IQS IQS IQS IQS el error del método es por defecto. IQS El principalIQS IQSdel resto esIQS IQSel número deIQS interés de la fórmula que permite estimar para calcular elIQS valor de una IQS integral con una IQS subdivisiones IQSnecesarias IQS IQS IQS precisión predeterminada. IQS IQS IQS IQS IQS El siguiente ejemplo muestra una aplicación de la fórmula del resto en el caso IQS de una función IQSconvexa, por IQS IQS IQS IQS consiguiente el error de integración lo será por IQS exceso enIQS IQS IQS IQS la estimación delIQS valor de la integral. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 0

i +1

i

2i + 2

2i

i +1

2i+ 2

i

2i

Introducción al Cálculo Numérico. IQS.

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Ejemplo 5.5 IQS IQS IQS IQS IQS el número de subdivisiones conIQS el que debe calcularse IQS Determine IQS IQS IQS el valor deIQS la integral de f(x) = e /x entre x = 2 y x = 3, utilizando el método de Newton − IQS Cotes deIQS IQS IQS IQS IQS grado 1. IQS IQS IQS 3∫ e x dxIQS IQS IQS x IQS para estimar IQSel valor la integral IQScon 23 cifras IQS IQS IQS decimales exactas. IQS La segunda IQS IQS IQS IQS IQS derivada de la función a integrar es: IQS IQS IQS e x IQS IQS IQS ex ex f ' ' (x ) = 2 −2 + x x2 IQS IQS IQS x 3 IQS IQS IQS que entre 2 y 3 toma valores comprendidos entre 1,85 y 3,72. IQS AplicandoIQS IQSdel método de IQS IQS IQS la fórmula del resto los trapecios se tiene: IQS IQS IQS IQS12 ⋅ E ⋅ (b − aIQS IQS mh3 ) R(h) = − f ′′(ξ ) h= 12 IQS IQS IQS IQS f ′′(x ) IQS IQS para la derivada un valor máximo y para E = 0,0005, se tiene que IQS h IQS Utilizando IQS IQS IQS IQS vale aproximadamente 0,04 y por tanto, el cálculo de la integral con 25 IQS subintervalos IQSdará el resultado IQScon la precisión IQSsolicitada. IQS IQS IQS Estimando IQS IQSde cálculo seIQS IQS la integral conIQS 12 y 24 subintervalos obtiene: IQS IQS I = 4,98111208 IQS IQS IQS IQS IQS IQS IE ==4,97997671 IQS IQS IQS IQS 0,00113537 IQS con lo que IQS IQS IQS IQS IQS puede decirse que el valor de dicha integral es 4,9800 ± 0,0011 IQS IQS IQS IQS IQS IQS La aparente incoherencia entre la estimación del error y el cálculo hecho IQS anteriormente IQSse debe al IQS IQS del error IQS IQS exceso de la estimación a partir de la expresión: IQS IQS IQSε 2m = I2mIQS IQS IQS − Im IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 5.5.2 Método IQSde SimpsonIQS IQS IQS IQS 1/3 de Simpson 1/3IQS se obtiene a partir de Lagrange de IQS El métodoIQS IQSdel polinomioIQS IQS = 2), y, en esencia, a asimilar a laIQS función arcos de IQS grado 2 (nIQS IQScorrespondeIQS IQS segundo o tercer grado, cada uno de los cuales pasa por tres puntos IQS cónica de IQS IQS IQS IQS IQS de la función. IQS Entonces,IQS IQS IQS IQS IQS tenemos que: IQS IQS IQS IQS IQS IQS 1,12 1,24

1,24

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5. INTEGRACION NUMERICA

IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 2 (t −IQS IQS IQS ∏ j) IQS IQS IQS 2 jj =≠ 0i IQS IQS IQS Hi = ∫ dt 2 IQS IQS IQS IQS IQS IQS 02 i − k ( ) ∏ IQS IQS IQS kk =≠ 0i IQS IQS IQS IQS y, por aplicación IQS de la fórmula IQS IQS IQS IQS anterior: IQS IQS2 IQS  3 2 IQS IQS IQS 2  ( t − 1)(t − 2) 1 t 3t 18  1 H0 = ∫ dt =  − + 2t  =  − 6 + 4  = IQS IQS IQS IQS IQS IQS 2 1 2 4 3 2 ⋅ − ⋅ −  6    0 4  3 0 2 IQS IQS IQS2 t (t − 2) IQS IQS IQS 1  t3 2  18  2 H1 = ∫ dt = −  − t  = −  − 4  = 2 ⋅ 1⋅ −1 IQS 2  3 2 3 IQS IQS IQS  3 IQS  0 IQS 0 2 IQS IQS2 t (t − 1) IQS IQS IQS 1  t3 t 2  1IQS 8  1 H2 = ∫ dt =  −  =  − 2  = 4  3 2  4IQS 3  6 IQS IQS0 2 ⋅ 2 ⋅ 1 IQS IQS IQS 0 la integral puede calcularse aplicando IQS El valor deIQS IQS IQSestos coeficientes, IQS con lo queIQS IQS se obtiene:IQS IQS IQS IQS IQS h (y 0 + 4y 1 + y 2 ) =IQS (y 0 + 4y 1 + y 2IQS ) IQS IQS I = (b −6 a)IQS IQS 3 el mismo proceso de deducción utilizado para IQS el método de los IQS SiguiendoIQS IQS IQS IQS se obtiene, suponiendo que existe un valor constante (o máximo) IQS trapecios IQS IQS IQS IQS IQS f (ξ), la expresión: IQS IQS IQS IQS IQS IQS h5 ( 4) ) R(h) = − f (ξIQS IQS IQS IQS IQS IQS 90 IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 5.5.3 Método IQSde SimpsonIQS IQS IQS IQS 3/8 o de Newton de Simpson 3/8IQS o de Newton se obtiene a partirIQS del polinomio de IQS El métodoIQS IQS IQS de grado 3 (n = 3). Es decir, corresponde a: IQS Lagrange IQS IQS IQS IQS IQS 3 IQS IQS IQS ∏ (t −IQS IQS IQS j) j 0 = 3 j≠i IQS IQS IQS IQS IQS IQS Hi = ∫ dt 3 IQS IQS IQS 0 3 ∏ (i −IQS IQS IQS k) IQS IQS IQS kk =≠ 0i IQS IQS IQS desarrollada conduce IQS que una vez IQS IQS a: IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

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n 2⋅E +3 2

Introducción al Cálculo Numérico. IQS.

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5. INTEGRACION NUMERICA

IQS IQS IQS IQS IQS IQS 3 3 IQS IQS IQS 1  t 4 6IQS IQS  IQS ( t − 1)(t − 2)(t − 3 ) t 3 11t 2 H0 = H3 = ∫ dt = − + − 6t  =  − 3 ⋅ −1⋅ −2 ⋅ −3 IQS 18  4 IQS 3 2 IQS IQS IQS  0 IQS 0 99 1 1  81  IQS = − 1 IQS IQS IQS IQS − 8) = − 18IQS  − 54 +  = − (9 − 24 + 22 18  4 2 8 8  IQS IQS IQS IQS IQS IQS 3 3 4 3 2  t (t − 2)(t − 3 ) 1 t 5t 6t 1  81 54  =  − + IQS =  =  − 45 + IQS H1 = H2 = IQS IQS IQS ∫ 3 ⋅ 1⋅ −1⋅ −2 dt IQS 6 4 3 2 6 4 2       0 0 IQS = 1 (27IQS IQS IQS IQS 3 IQS − 60 + 36 ) = 8 IQS IQS 8 IQS IQS IQS IQS estos coeficientes, el valor de la integral puede calcularse como: IQS AplicandoIQS IQS IQS IQS IQS ( b − a) 3h I= 3 y1 + 3 y 2 + y 3 ) = (y0 +IQS (y0 + 3y1 + 3 yIQS 2 + y3 ) IQS IQS IQS IQS 8 8 este caso siguiendo deducción utilizada para el método IQS También en IQS IQS la misma IQS IQS IQS valor constanteIQS (o máximo) f (ξ), IQS de los trapecios, IQS y suponiendo IQSque existe unIQS IQS IQS se obtiene:IQS IQS IQS IQS IQS 5 3h R(h) = − f (4 ) (ξ )IQS IQS IQS IQS IQS IQS 80 IQS El resto resulta IQSen este caso IQS IQS para el método IQS de SimpsonIQS superior al obtenido espaciado (h) a IQS aumentar el grado IQS 1/3. De hecho, IQSse suele preferir IQS reducir el IQS IQS IQS del polinomio, IQSdado que implica IQSuna reducción IQSdel error mayor IQSque la que seIQS aumentando el grado del polinomio. IQS obtendría IQS IQS IQS IQS IQS Para grados superiores del polinomio de interpolación original, el resto es IQS función delIQS IQSindica la fórmula IQSsiguiente: IQS IQS espaciado tal como IQS IQS IQS IQS IQS IQS R(h) ≈ k ⋅ h IQS La fórmulaIQS IQS IQS IQS IQS de Newton – Cotes de grado 4 se denomina fórmula de Boole. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 5.5.4 Aplicación de los métodos de Newton − Cotes IQS IQS IQS IQS IQS IQS La forma y criterios de aplicación de los métodos de Newton – Cotes dependen IQS de si se desea IQSintegrar unaIQS IQS IQS IQS función expresada en forma algebraica o bien como IQS una tabla IQS IQS IQS IQS IQS de datos. IQS IQS IQS IQS IQS IQS de una función,IQS la mecánica habitual generar una tabla IQS Si se parteIQS IQSserá la deIQS IQS para aplicar la fórmula de Simpson 1/3. El número de puntos se irá IQS de puntosIQS IQS IQS IQS IQS

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n,m

Introducción al Cálculo Numérico. IQS.

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5. INTEGRACION NUMERICA

IQS IQS IQS IQS IQS IQS en la medida enIQS que sea necesario, para estimarIQS nuevos valores de IQS ampliando,IQS IQS IQS con un error cada vez menor. IQS la integral IQS IQS IQS IQS IQS Por el contrario, si se dispone de una tabla se aplicará aquel método que IQS permita estimar IQS la integral IQS IQS IQS IQS y su error con la mayor precisión posible, evitando IQS interpolar IQS IQS IQS IQS nuevos puntos. IQS IQS Así, comoIQS IQSpresente que: IQS IQS IQS guía orientativa tenga IQS IQS IQS IQS IQS IQS es equiespaciada y tiene: se aplica: IQS Si la tablaIQS IQS IQS IQS IQS 4k+1 puntos Fórmula de Simpson 1/3 IQS IQS IQS IQS IQS IQS 6k+1 puntos Fórmula de Simpson 3/8 IQS IQS IQS IQSMétodo de los IQS IQS 2k+1 puntos trapecios IQS IQS IQS IQSvea: Integración IQSde RombergIQS 2k puntos no es equiespaciada: Método y se interpolaIQS IQS Si la tablaIQS IQS IQSde los trapecios IQS si es necesario IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Generalmente IQSel proceso seIQS IQS IQS IQS inicia con tantos puntos como sea posible y si es IQS necesario IQS IQSel espaciadoIQS IQS IQS se irá incrementando entre los puntos. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 5.5.5 Funciones IQS de cuadratura IQS compuesta IQS IQS IQS ha mencionado, por lo generalIQS se prefiere aumentar IQS Como ya se IQS IQS IQSel número deIQS aumentar el grado del polinomio. Esto significa aplicar de forma IQS puntos a IQS IQS IQS IQS IQS sucesiva las fórmulas correspondientes a los diferentes métodos estudiados y IQS sumar los IQS IQS IQS IQS IQS valores de las integrales obtenidas. IQS IQS IQS IQS IQS 4IQS 2 4 f (x ) dx = ∫ f (x ) dx + ∫ f (x ) dx ∫IQS IQS IQS IQS IQS IQS 0 0 2 IQS Este cálculo IQSpuede simplificarse IQS utilizando IQSlas funciones IQS IQS de cuadratura IQS compuesta.IQS IQS IQS IQS IQS m al número IQS de veces que seIQS aplica el método,IQS o lo que es igual, IQS Se denomina IQS IQS de intervalos en estudio. IQS el númeroIQS IQS IQS IQS IQS Las diferentes estimaciones de la integral se notan: I donde n es el grado del IQS polinomio IQS IQS IQS IQS IQS de interpolación utilizado y m el número de veces que se ha aplicado IQS el método.IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

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Ig

n,1 n,2

n,2

n,1

n,4

n,4

n,2

Introducción al Cálculo Numérico. IQS.

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5. INTEGRACION NUMERICA

IQS IQS IQS IQS IQS IQS los trapecios IQS IQS Método deIQS IQS IQS IQS −a IQS IQS I 1,m = b2IQS IQS (y 0 + y m + 2 (IQS y 1 + K + y m −1 )) IQS m IQS Método deIQS IQS IQS IQS IQS Simpson 1/3 IQS I = bIQS IQS IQS) + 2 (y + y IQS IQS −a ( y + y + 4 ( y + y + K + y + K + y ) ) 2,m 0 2m 1 3 2m −1 2 4 2m − 2 6m IQS IQS IQS IQS IQS IQS Método de aplicación IQS IQS IQS 2y IQS 4y IQS Σ IQS x y IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Los métodos IQS IQS IQS IQS IQS adaptativos se aplican de manera consecutiva a medida que se IQS va dividiendo IQSel intervalo.IQS IQS El cálculo final IQS es la suma de IQS los valores de las que correspondan IQS columnas IQS IQSen cada caso. IQSDe esta forma IQSse obtienenIQS los valores de las integrales para diferentes niveles de subdivisión. IQS fácilmenteIQS IQS IQS IQS IQS se presentan en una tabla como la siguiente: IQS Estos niveles IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS m IQS I IQS E IQS IQS IQS IQS 1 IQS I IQS IQS IQS IQS IQS 2 IQS I IQS I - I  IQS IQS 4 I IQS IQS IQS IQS I - I  IQS IQS IQS Si se parteIQS IQS IQS IQS IQS de una tabla se puede iniciar el procedimiento en orden inverso, es IQS decir comenzar IQSaplicándoloIQS IQS IQS sobre toda la tabla las veces que sea necesario,IQS y número de vecesIQS para determinarIQS el error. IQS luego aplicarlo IQSla mitad del IQS IQS reducir el error de redondeo en la aplicación de los IQS Estas expresiones IQS permitenIQS IQS IQS IQS métodos de Newton − Cotes. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS A continuación IQSse expone un IQS IQS de este procedimiento IQS ejemplo de aplicación en IQS el IQS caso de utilizar IQSel método deIQS IQS IQS Simpson 1/3. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

5. INTEGRACION NUMERICA

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Ejemplo 5.6 IQS IQS IQS IQS IQS molar en un proceso IQS La variación IQSde entropíaIQS IQS de calefacción IQS a presiónIQS constante, si no se produce ningún cambio de fase, se determina como: IQS IQS IQS T C IQS IQS IQS p dT IQS IQS IQS∆S = T∫ T IQS IQS IQS IQS Determine, IQS IQS IQS a partir de losIQS datos que muestra la tabla adjunta, la variación deIQS molar del 1,1-difluoroeteno cuando se calienta de 300 K a 460 K. IQS entropíaIQS IQS IQS IQS IQS 300 320 340 360 380 400 420 440 460 IQS TC (K)(J K IQS IQS IQS IQS IQS mol ) 59,43 62,12 64,70 67,17 69,53 71,78 73,94 76,00 77,96 IQS El primerIQS IQS IQS IQS IQS paso para resolver el problema consiste en generar la tabla de la entre el integrando y la variable independiente. Para obtenerla hay IQS IQS relación IQS IQS IQS IQS que dividir la capacidad calorífica por la temperatura para cada dato de la IQS tabla. IQS IQS IQS IQS IQS IQS T IQS IQS IQS 400 420IQS 440 460IQS 300 320 340 360 380 0,186583 0,182974 0,179450 0,176048 0,172727 0,169478 IQS C /T 0,198100 IQS0,194125 0,190294 IQS IQS IQS IQS tabla es equiespaciada y tiene 9 = (4*2+1) puntos, lo cual permite la IQS La IQS IQS IQS IQS IQS aplicación de la fórmula de Simpson 1/3. integral más precisa seIQS obtendrá aplicando la fórmula tantas IQS La IQS IQS IQSveces como IQS sea necesario para utilizar todos los puntos, es decir 4 veces y sumar los parciales. Todo ello equivale a aplicar adaptativa de IQS IQS resultados IQS IQS IQS la fórmulaIQS Simpson 1/3 a toda la tabla, con lo que se obtiene: IQS IQS IQS IQS IQS IQS I = 29,31834351 J K mol IQS IQS IQS IQS IQS IQS estimar el error hay que estimar la integral con la mitad de las IQS Para IQSde cálculo. IQS IQS IQS IQS subdivisiones IQS IQS IQS IQS IQS IQS I = 29,31856768 J K mol IQS La estimación IQSdel error porIQS IQS IQS IQS diferencia lleva al valor: IQS IQS IQS IQS IQS IQS E = | I – I | = 0,000224168 J K mol IQS IQS IQS IQS IQS IQS Dado que este valor implica un número de cifras exactas mayor que el de los IQS datos iniciales, IQS el error será IQS IQSal mismo número IQS de cifras IQS tal que corresponda que los datos iniciales. En consecuencia, la variación de entropía IQS exactas IQS del 1,1-difluoroeteno IQS molar enIQS el proceso de calefacción deIQS 300 a 460 K es IQS IQS de IQS IQS IQS IQS IQS 29,318 ± 0,005 J K mol . IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 2

1

-1

-1

P

2,4

2,2

2,4

2,4

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Introducción al Cálculo Numérico. IQS.

-1

Este material forma parte del libro: Tomàs, X.; Cuadros, J.; González, L..(2006). Introducción al Cálculo Numérico. Institut Químic de Sarrià. ISBN: 84-611-0645-8.

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r

q

Introducción al Cálculo Numérico. IQS.

Este material forma parte del libro: Tomàs, X.; Cuadros, J.; González, L..(2006). Introducción al Cálculo Numérico. Institut Químic de Sarrià. ISBN: 84-611-0645-8.

5. INTEGRACION NUMERICA

IQS IQS IQS IQS IQS IQS Extrapolación de Richardson y método de IQS 5.6 Métodos IQS recursivos: IQS IQS IQS IQS IQS RombergIQS IQS IQS IQS IQS de Romberg son dos métodos que IQS La extrapolación IQS de Richardson IQSy el métodoIQS IQS IQS aceleran la convergencia de la integral para tablas de intervalo constante. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 5.6.1 Extrapolación IQS de Richardson IQS IQS IQS IQS Como ya se ha visto en el capítulo dedicado a derivación, la extrapolación de IQS RichardsonIQS IQS IQS IQS IQS es un método de mejora de un resultado aproximado, que puede IQS aplicarse en IQS IQS IQS IQS cualquier método para el que elIQS resto sea función del espaciado de datos elevado aIQS una determinadaIQS potencia: IQS la tabla deIQS IQS IQS q IQS IQS IQS IQS RIQS (h) = O ( h q ) = khIQS + O ( hr ) determinada IQS cantidad V, se evalúa IQS Cuando una IQS IQS por un determinado IQS métodoIQS que depende del espaciado g(h), para dos espaciados diferentes IQS aproximadoIQS IQS IQS IQS IQS se tiene: IQS IQS IQS IQS r r IQS IQS q q V1 = g(αh) + kα h + O (α h ) IQS IQS IQS IQS IQS IQS V2 = g(h) + kh q + O ( h r ) IQS Este sistema IQS IQS IQS IQS IQS se puede reducir para obtener una expresión en la que el resto IQS dependa deIQS IQS IQS IQS h y no de h . IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQSα q V2 − V1 IQS IQS = α q g(h) − g(αh) +IQS α q O ( h r ) − O (α rIQS hr ) − g(αh) IQS IQSV = α q g(h)IQS IQS IQS + O ( h r ) IQS q −1 IQS IQS q α IQS IQS IQS IQS α V2 − V1 IQS IQSV = α q −IQS IQS IQS IQS 1 IQS IQS IQS IQS IQS IQS de la extrapolación de Richardson en el caso de integración IQS AplicaciónIQS IQS IQS IQS IQS Para las fórmulas de integración de Newton − Cotes, el resto se puede IQS expresar de IQS IQS IQS IQS IQS forma general y en el caso de una aplicación única del método IQS como: IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS R(h) = khpIQS IQS IQS IQS Si se determina IQS el valor deIQS IQSel mismo polinomio, IQS para dosIQS la integral utilizando subdivisiones diferentes IQS números deIQS IQS se tiene:IQS IQS IQS

5. INTEGRACION NUMERICA

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS b − a IQS R = mIQS IQS (b − aIQS )p p kh = k n, m 1 h1 = p −1 IQS IQS n ⋅ m 1 IQS IQS n p m 1IQS IQS (b − aIQS )p IQS IQSh 2 = nb⋅ −ma IQS R n,m = IQS IQS m 2 kh p2 = k p p −1 2 2 IQS IQS IQS IQS n mIQS IQS exacta I vale: IQS la integral IQS IQS IQS IQS IQS I = In,m + R n,m IQS IQS IQSI = I + R IQS IQS IQS n,m n,m IQS IQS IQS IQS IQS IQS y la diferencia entre las dos estimaciones: IQS IQS In,m − IIQS IQS IQS IQS n,m = R n,m − R n,m IQS IQS IQS IQS IQS IQS   b − a) p  1 ( 1  Rn,m = k −   IQS IQS IQS Rn,m −IQS IQS IQS np  m1p − 1 mp2 −1  IQS Por consiguiente IQS se puede IQS IQS IQS IQS concluir que: IQS IQS IQS IQS IQS p p −1 p −1 ( In,m − In,m ) nIQS m 2 m1 k = IQS IQS IQS IQS IQS p −1 p −1 (b − a)p ( mIQS ) − m 2 1 IQS IQS IQS IQS IQS IQS p − 1 p − 1 p p ,m 2 − In,m 1 ) n m2 m1 (b − a) = IQS IQS Rn,m2 = ( InIQS IQS IQS ⋅ p p − 1IQS p p −1 p −1 ( ) m2 − m1 n m2 (b − a ) IQS IQS IQS IQS IQS IQS m1p − 1 ( In,m 2 − In,m IQS ) 1 p −1 IQS IQS = (mp2 − 1 − mIQS IQS IQS ) 1 p −1 IQS IQS IQS IQS IQS IQS m1 ( I ≅ In,m ,m = In,m + In,m − In,m ) = In,m + β ( In,m − In,m ) −1 p −1 IQS IQS IQS IQS IQS (mp2IQS − m1 ) IQS donde α yIQS IQS IQS IQS β son, si m > mIQS : m IQS IQS IQS IQS1 IQS IQS α= 2 β= m1 αp − 1 − 1 IQS IQS IQS IQS IQS IQS La estimación del resto será el término corrector de la extrapolación de IQS Richardson IQS IQS IQS IQS IQS . IQS IQS IQS IQS IQS IQS E n,m ,m = R n,m ,m ≤ β ( In,m − In,m ) IQS IQS IQS IQS IQS IQS puesto que ello permite aprovechar los puntos ya IQS Habitualmente IQSse aplica α =2, IQS IQS IQS IQS calculados en la evaluación con un número de intervalos inferior. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 1

1

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS La aplicación IQSde la extrapolación IQS de Richardson IQS en la integración IQS por lasIQS Newton − Cotes se resume, de acuerdo con IQS lo expuesto hasta IQS fórmulas de IQS IQS IQS IQS las expresiones siguientes: IQS ahora, en IQS IQS IQS IQS IQS 1 β= ) In,m ,m = In,mIQS + β ( In,m − In,mIQS IQS IQS IQS IQS αp − 1 − 1 (In,m − In,m ) IQS α = m2IQS E n,m ,m = β IQS IQS IQS IQS m1 IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 5.6.2 Método de Romberg IQS El métodoIQS IQS IQS IQS IQS de Romberg consiste en la aplicación reiterativa de la extrapolación IQS de Richardson IQSa la integración IQS IQS IQS por Newton −IQS Cotes. demostrar que laIQS aplicación de laIQS extrapolación deIQS Richardson sobre IQS Se puede IQS IQS obtenidas por trapecios (con IQS una relación de IQS espaciado α de IQS 2) IQS las integrales IQS IQS los mismos resultados que Simpson 1/3 (Regla de Simpson), y IQS conduce aIQS IQS IQS IQS IQS también que la aplicación de la extrapolación de Richardson sobre las IQS integrales IQS IQS IQS IQS IQS obtenidas por Simpson 1/3 (con α = 2) da el resultado IQS correspondiente IQS a NewtonIQS IQS IQS IQS − Cotes de grado 4 (n = 4) (Regla de Boole). Así IQS mismo laIQS IQS aplicación de IQS la extrapolación IQS de Richardson IQS a los resultados por trapecios (con α = 3) da el resultado IQS obtenidosIQS IQS IQS correspondiente IQS al métodoIQS 3/8. Estos hechos se deben tener en cuenta en el cálculo de β. IQS de SimpsonIQS IQS IQS IQS IQS IQS Para el método IQSde trapecios,IQS IQS IQS IQS el esquema de cálculo es: IQS IQS IQS I_R (n=2) IQS IQS IQS I (n=1) I_R2 (n=4) IQS IQS IQS IQS IQS IQS β=1/3 β=1/15 IQS IQS IQS IQS IQS IQS I I I =I IQS IQS IQS IQS IQS I I = I IQS I =I =I I =I =I IQS IQS IQS I = I IQS I IQS IQS IQS y para el método IQS de Simpson IQS IQS IQS IQS 1/3, el esquema es: IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 2

1

2

2

2

2

1

1

1,1 1,2

1,1,2

2,1

1,4

1,2,4

2,2

1,1,2,4

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS I_R (n=4) IQS IQS IQS I (n=2) I_R2 IQS IQS β=1/15IQS IQSβ=1/63 IQS IQS I IQS IQS IQS I = I IQS IQS IQS I I I IQS =I IQS IQS IQS II == II IQS IQS I I =I IQS IQS IQS IQS IQS IQS tabla de resultados de Newton −IQS Cotes añadiendo IQS Como registro IQSse utiliza laIQS IQS IQS necesarias para cada iteración del método de Romberg. IQS las columnas IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS E IQS IQSI IQS IQS m I I E E IQS IQS IQS IQS IQS 1 IQS I IQS IQS IQS 2 IQS I I I - I  IQS β (I - I IQS ) 4 IQS I I I - I  IQS β (I - I IQS ) I β (IIQS - I ) IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS teorema de Taylor, se puede demostrar que el resto IQS Por otra parte, IQSaplicando elIQS IQS IQS IQS del método de trapecios se puede desarrollar como una combinación lineal del IQS espaciadoIQS IQS IQS IQS IQS elevado a potencias pares: IQS IQS IQS IQS IQS IQS I = I1,m + a 2 h 2 + a 4 h 4 + K + a 2ih 2i IQS La sucesiva IQS IQS IQS IQS IQS aplicación de la extrapolación de Richardson sobre esta expresión IQS da como IQS IQS de laIQS IQS extrapolación de resultado que IQS la r − ésima aplicación sobre el método de los trapeciosIQS se puede calcular como: IQS RichardsonIQS IQS IQS IQS r − 1) −I IQS IQS r ) IQS α 2r I1r,−m1α) KIQS IQS IQS mα 1,mKm α I = mα IQS IQS 1,m,mαKIQS IQS IQS IQS α 2r − 1 procedimiento IQS sobre Simpson IQS 1/3, genera la IQS siguiente fórmula IQS El mismoIQS IQS IQS recursiva: IQS IQS IQS IQS IQS r − 1 ) r − 1 ) α 2 (r + 1)I −I IQS IQS Ir ) IQS IQS 2,m αIQS 2,mKmα IQS Kmα = 2 ( r + 1 ) α IQS− 1 IQS IQS 2,m,mαKmαIQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Seguidamente vamos a continuar con el problema de integración planteado en IQS el EjemploIQS IQS IQS IQS IQS 5.6 IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 2,1 2,2

2,1,2

4,1

2,4

2,2,4

4,2

2,1,2,4

4,1,2

2,8

2,4,8

4,4

2,2,4,8

4,2,4

R

R

R2

R2

n,1 n,2

n,2

n,1

n,1,2

n,2

n,1

n,4

n,4

n,2

n,2,4

n,4

n,2

n,1,2,4

n,2,4

r −1

r

r

r

r

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Ejemplo 5.7 IQS IQS IQS IQS IQS obtenido en el ejemplo 5.6 mediante de Simpson 1/3 IQS IQS El resultado IQS IQS IQS el métodoIQS puede mejorarse aplicando la extrapolación de Richardson y el método de IQS Romberg.IQS IQS IQS IQS IQS IQS La tabla IQS IQS a estaIQS IQSpara la IQS de cálculo que corresponde mejora del resultado (α = 2, p = 5, β = 1/15) es: IQS extrapolación IQSde Richardson IQS IQS IQS IQS m I I E IQS IQS IQS IQSE IQS IQS 1 29,3192799 2 29,3185677 0,00071226 29,3185202 IQS IQS IQS IQS 4,74839E-05 IQS IQS 4 29,3183435 0,00022417 29,31832857 1,49445E-05 IQS IQS IQS IQS IQS IQS Dada la equivalencia entre I e I y entre I e I , puede volverse a IQS aplicar laIQS IQS IQS extrapolación deIQS Richardson sobre estos resultados, dando el que IQS como método de Romberg (α = 2, p = 7, β = 1/63): IQS se conoceIQS IQS IQS IQS IQS I E IQS IQS IQS IQS IQS IQS 29,31832553 3,0417E-06 IQS Con esteIQS IQS IQS IQS IQS último resultado se podría afirmar, si los datos de partida fuesen que la variación IQS de la entropía molar al calentar 1,1-difluoroeteno IQS exactos, IQS IQS IQS IQS desde 300 a 460 K es 29,318326 ± 3 10 J K mol . IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 5.7 Integrales IQS impropias. IQS IQS IQS IQS IQS Según el IQS IQSque presenta IQS IQS tipo de impropiedad una integral,IQS éstas se pueden tres grupos: IQS IQS clasificar enIQS IQS IQS IQS 1ª especie: Engloba las integrales cuyo intervalo IQS • Integrales IQSimpropias de IQS IQS IQS IQS no está acotado, es decir, tienen uno o los dos límites de integración IQS situadosIQS IQS IQS IQS IQS en el infinito. IQS • Integrales IQSimpropias IQS IQS IQS de 2ª especie : Forman esteIQS grupo aquellas IQS integrales IQS IQS IQS IQS cuyo integrando no está acotado entre los límites de integración. IQS 3ª especie: Incluye simultáneamente IQS • Integrales IQSimpropias de IQS IQSlas que sonIQS IQS y segunda especie. IQS de primera IQS IQS IQS IQS IQS No son integrales impropias aquellas que presentan discontinuidades evitables IQS o discontinuidades IQS de saltoIQS IQS IQS IQS (de primera especie). IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 2,m

2,1,2

2, m1, m2

4,1

2,2,4

4,1,2

2, m1, m2

4,2

4,1,2

-6

-1

-1

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS en el infinito IQS IQS 5.7.1 Integrales IQS con límites IQS IQS IQS se tengan integrales se desee calcular entre un límiteIQS y IQS Siempre que IQS IQS cuyo valorIQS IQS su valor será calculable si, y sólo si el siguiente límite existe y tiene IQS el infinito, IQS IQS IQS IQS IQS un valor finito (L). IQS IQS IQS b IQS IQS IQS =L IQS IQS IQSblim IQS IQS ∫ f (x ) dxIQS →∞ a IQS Caso que IQS IQS IQS IQS IQS este límite no exista, la integral no es impropia sino que no existe. IQS Dicho esto, IQS IQS de primera IQS especie, seIQS para resolverIQS las integrales impropias dos opciones:IQS IQS considerarán IQS IQS IQS IQS un cambio de IQS variable de formaIQS que el intervaloIQS de integración de IQS  RealizarIQS IQS la nueva integral esté acotado. IQS  Resolver IQS IQS IQS IQS IQS la integral hasta un valor finito suficientemente grande como para IQS que el IQS IQS IQS IQS IQS resto de la integral resulte despreciable. IQS IQS IQS IQS IQS IQS Cambio de variable IQS Opción 1: IQS IQS IQS IQS IQS opción plantea cambiar la variable de integración para convertir el IQS Esta primera IQS IQS IQS IQS IQS límite infinito en un valor finito. IQS Un cambioIQS IQS IQS IQS IQS de variable habitual, aunque no el único, acostumbra a ser t = 1/x. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Ejemplo 5.8 IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS ∞ 1  1 con cuatro cifras exactas, la integral ∫ 2 ⋅ sin  2  dx . IQS Calcular,IQS IQS IQS IQS  x IQS  2 x el cambio de variable t = 1/x, entonces: IQS Si se hace IQS IQS IQS IQS IQS ∞ 0,5 1 1 − 1  1 = ∫ sin (t 2 ) dt IQS t = ; dt IQS = 2 dx IQS IQS IQS IQS ∫ x2 ⋅ sin  x 2  dx x x 2 0 IQS Calculando IQS IQSpor SimpsonIQS esta última integral 1/3 y aplicandoIQS el método de IQS Romberg se tiene: IQS IQS IQS IQS IQS IQS m I E I_R E_R I_R2 E_R2 IQS IQS IQS IQS IQS IQS 1 0,041436769 2 0,041477831 4,11E-05 0,041480568 2,73744E-06 IQS IQS 2,99E-06 IQS IQS 0,041481025 IQS 7,13E-09 IQS 4 0,041480818 0,041481018 1,99165E-07 IQS Y por tanto IQS IQS IQS IQS el resultado de la integral es: IQS 0,041481 ± 0,000003. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS Substitución por IQS un límite finito IQS IQS Opción 2: IQS IQS IQS ∞ IQS Sea ∫ f (x )IQS IQS IQSa ε. IQS dx la integral queIQS se desea evaluar con un error inferior IQS Esta aintegral IQS IQScomo sumaIQS IQSintegrales:IQS puede considerarse de las dos siguientes ∞ b ∞ IQS IQS IQS IQS IQS IQS ( ) ( ) f x dx = f x dx + ∫ ∫ ∫ f (x ) dx aIQS a b IQS IQS IQS IQS IQS b IQS El objetivoIQS IQS ∫ f (x )IQS IQS IQS es por tanto determinar dx de tal manera que la integral IQS IQS IQS a IQS IQS IQS ∞ IQS residual ( IQS IQS IQS IQS un valor inferior a ε /2. ∫ f (x ) dx ) tengaIQS b IQS IQS IQS IQS IQS IQS la práctica se procede de la siguiente forma: IQS En IQS IQS IQS IQS IQS 1. Se estudia la función f(x) para saber a partir de qué valor de b la función IQS tiende IQS IQS IQS IQS IQS a cero. IQS 2. Conocido IQS IQS IQS IQS este valor b, se estima el valorIQS de la integral entre a y b. el número de subdivisiones IQS y se vuelve a estimar IQS 3. Se dobla IQS IQS IQS la integral,IQS repite el proceso hasta que el error resulte inferior IQS determinando IQS el error. Se IQS IQS IQS IQS a ε /2. IQS 4. Se estima IQS IQS IQS IQS IQS el valor de la integral entre a y 2b. IQS 5. Se dobla IQS IQS IQS la integral,IQS el número de subdivisiones IQS y se vuelve a estimar IQS determinando IQS el error. Se IQS IQS IQSresulta inferiorIQS repite el proceso hasta que el error IQS a ε /2. IQS IQS IQS IQS IQS es inferior a ε /2, se toma como IQS 6. Si la diferencia IQS entre estos IQSdos valoresIQS IQS IQS ∞ IQS primeraIQS IQS IQS IQS IQS estimación de la integral ∫ f (x ) dx , la integral entre a y 2b. En caso IQS IQS IQS a IQS IQS IQS contrario, se vuelve a doblar el valor de b (punto 4). IQS 7. Se IQS IQS IQS IQS IQS toma como error de la estimación, la suma del error de la estimación de IQS la integral IQS IQS IQS IQS IQS más precisa y la diferencia entre les dos integrales. IQS Esta opción IQS IQS por defectoIQS acostumbra aIQS dar una estimación del valor de IQS la forma que el error suele quedar IQS subestimado. IQS integral, deIQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS intervalo IQS 5.7.2 Integrales IQS que presentan IQS una discontinuidad IQS en unIQS IQS La segunda causa de impropiedad es el caso de que la función presente IQS discontinuidades IQS de segunda IQS IQS IQS IQS especie en el intervalo de integración [a, b]. Se IQS consideraIQS IQS un númeroIQS IQS IQS que la función presenta finito de discontinuidades. IQS Caso de existir IQSmás de unaIQS IQS subdividir IQS discontinuidad,IQS siempre será posible el de forma que IQS en cada nuevo subintervalo IQS sólo exista una IQS intervalo IQS IQS IQS suficiente discutir el caso en que exista una sola IQS discontinuidad. IQSSerá por tanto IQS IQS IQS IQS discontinuidad (infinita o de segunda especie). IQS El primer IQS IQS IQS IQS IQS paso para resolver una integral de una función no acotada en el IQS intervalo deIQS IQS IQS IQS integración es IQS separar la integral en dos integrales de tal forma que en uno de los IQS extremos. IQS la discontinuidad IQS esté situada IQS IQS IQS entonces las siguientes para la resolución IQS Se ofrecenIQS IQS alternativas IQS IQSde la integral:IQS Evitar la discontinuidad por manipulación analítica del integrando: por IQS • cambio IQS IQS IQS IQS IQS de variable o por integración por partes. IQS IQS 1 2 IQS IQS IQS πIQS 2 x sen2 t dx → IQS ∫ cos t cos t dt IQS IQS IQS −∫1 1− xIQS IQS 2 x = sen t −π 2 IQS IQS ∞ − t IQS IQS IQS IQS ∞ e 1 − t 0,7 dt → ∫ e t dt IQS IQS IQS ∫ t 0,3 IQS IQS IQS 0 , 7 por partes 0 0 IQS • Convertir IQS IQS IQS IQS IQS la discontinuidad de segunda especie en una discontinuidad IQS evitable.IQS IQS IQS IQS IQS la integración utilizando abierta. IQS • RealizarIQS IQS una fórmula IQSde cuadraturaIQS IQS estas alternativas, técnicas que no IQS Además deIQS IQSen la bibliografía IQSse citan otras IQS IQS IQS se considerarán IQS en este momento, IQS como son:IQS IQS IQS • La utilización de algún procedimiento basado en polinomios ortogonales y IQS una función IQSde ponderación. IQS IQS IQS IQS IQS • RecurrirIQS IQS propuesta IQS a la adaptaciónIQS del método de Romberg por Fox para IQS la de integralesIQS singulares. IQS evaluación IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 5.8 Métodos IQSde integración IQSbasados enIQS IQS IQS polinomios ortogonales. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 5.8.1 Cuadratura IQS de Gauss IQS IQS IQS IQS de Lagrange es exacta para unIQS polinomio de grado la IQS Si la fórmula IQS IQS IQSn, entonces IQS basada en los métodos de Newton − Cotes también lo será. IQS integraciónIQS IQS IQS IQS IQS IQS Si se estima IQS IQS IQS IQS IQS la integral de una función como una suma ponderada de valores IQS de la función IQS IQS IQS IQS en un conjunto de abscisas a , IQS b IQS IQS IQS IQS IQS n IQS i f (a i ) ∫ f (x ) dx ≅ ∑ HIQS IQS IQS IQS IQS IQS = i 0 a IQS El problema IQS IQS IQS IQS IQS será determinar el grado máximo de un polinomio tal que el resto si se toman (nIQS + 1) puntos y no existan a priori IQS de la estimación IQS sea ceroIQS IQS IQS sobre los factores de ponderación ni sobre las abscisas a IQS restricciones IQS IQS IQS IQS IQS considerar. IQS En el problema, IQS habrá 2n IQS IQS IQS IQS + 2 incógnitas y, por lo tanto, es esperable que se IQS pueda solucionar IQS de forma IQS exacta la integralIQS de un polinomioIQS de grado 2n + 1.IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS basa en la elección de las abscisas y factores de IQS La cuadratura IQSde Gauss seIQS IQS IQS IQS ponderación de forma que la expresión sea exacta para el polinomio de grado IQS máximo. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS La expresión IQS IQSevaluar unaIQS IQS de Gauss permite integral entre –1IQS y 1. Para estimar general entre IQS a y b deberán efectuarse IQS una integralIQS IQS los siguientes IQS cambios deIQS IQS variables: IQS b IQS 1 IQS IQS IQS n b−a b−a = f (t ) dt IQS = IQS IQS ∫ f (x ) dxIQS IQS ∑ Aif (ti ) IQS ∫ 2 −1 2 i=0 a IQS donde: IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS b + a bIQS IQS IQS −a x= + t 2 IQS IQS IQS 2 IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS En la siguiente tabla se presentan los factores de ponderación y los valores de IQS las abscisas IQS IQS IQS IQS IQS para el número de puntos más frecuentemente utilizados. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Introducción al Cálculo Numérico. IQS.

Este material forma parte del libro: Tomàs, X.; Cuadros, J.; González, L..(2006). Introducción al Cálculo Numérico. Institut Químic de Sarrià. ISBN: 84-611-0645-8.

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5. INTEGRACION NUMERICA

IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS t = −1 IQS n + 1 = 2 IQS IQS IQS A = 1 IQS IQS 3 IQS IQS IQS IQS A = 1 IQS IQS t = 1 3 IQS n + 1 = 3 IQS IQS IQS A = 5/9IQS IQS t =− 3 5 IQS IQS IQS IQS IQS IQS t =0 A = 8/9 IQS IQS IQS IQS A = 5/9IQS IQS t = 35 IQS IQS IQS IQS IQS IQS n+1=4 1 1 t = − 525 + 70 30 A = IQS (18 − 30 ) ≈ IQS IQS IQS IQS IQS 35 36 ≈ -0,86113631 IQS 0,34785484 IQS IQS IQS IQS IQS 1 1 IQS IQS IQS IQS t = − 525 − 70 30 A = IQS (18 + 30 ) ≈ IQS 35 36 IQS IQS IQS IQS 0,65214516 IQS IQS ≈ -0,33998104 IQS IQS IQS1 IQS IQS 1IQS t = 525 − 70 30 ≈ A = ( 18 + 30 ) ≈ 36 IQS IQS IQS35 IQS IQS IQS 0,33998104 IQS IQS IQS IQS 0,65214516 IQS IQS 1 1 t = 525 + 70IQS 30 ≈ A = IQS (18 − 30 ) ≈ IQS IQS IQS IQS 35 36 0,86113631 IQS IQS IQS IQS 0,34785484 IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS de la fórmula de cuadratura de Gauss se realiza como se muestra IQS La aplicación IQS IQS IQS IQS IQS a continuación: IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS A IQS A f(x) IQS t IQS x IQS f(x) IQS IQS IQS IQS IQS IQS Resultado IQS b−a IQS IQS IQS IQS ∑ A ⋅ f (x )IQS 2 IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS La ventajaIQS IQS a las fórmulas IQSde NewtonIQS de esta fórmulaIQS de cuadratura respecto − en su mayor exactitud, y suIQS principal inconveniente IQS Cotes reside IQS IQS IQS es el noIQS que implica que éstos no se puedan IQS equiespaciado IQSde los puntos IQS IQS IQS aprovecharIQS de hacer nuevas subdivisiones. IQS en el casoIQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

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Ga m m a (1,2)

0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,0

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5. INTEGRACION NUMERICA

IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Ejemplo 5.9 IQS IQS IQS IQS IQS IQS La funciónIQS IQS de uso frecuente IQS en el IQS gamma Γ(x) es IQS una función matemática la Estadística que se define como: IQS ámbito deIQS IQS ∞ IQS IQS IQS Γ(x ) = ∫ e − t t x −1 dt IQS IQS IQS IQS IQS IQS 0 valor de Γ(0,2). IQS IQS Calcule elIQS IQS IQS IQS IQS Por lo tanto, IQS IQS IQS IQS IQS calcular el valor de Γ(0,2) significa resolver la integral: IQS IQS IQS ∞ IQS IQS IQS Γ(0,2) = ∫ e − t t (0,2 − 1) dt IQS IQS IQS IQS IQS IQS 0 IQS IQS IQS IQS IQS IQS Esta integral es impropia de tercera especie, ya que no está acotada tanto en de integración como función. IQS los límitesIQS IQSen la propia IQS IQS IQS IQS Una opciónIQS IQS IQS para el cálculoIQS de la función Γ(x)IQS es la integración por partes IQS obteniéndose IQSla siguiente relación: IQS IQS IQS IQS Γ(x + 1) = x Γ(x) IQS IQS IQS IQS IQS IQS se podrá calcular Γ(1,2), integral IQS que no presenta IQS discontinuidad IQS IQS Entonces,IQS IQS en el punto x = 0. IQS IQS IQS IQS IQS IQS Γ(1,2) por el método de Gauss de 3 puntos IQS Cálculo deIQS IQS IQS IQS IQS inicial se representa la función: IQS Para seleccionar IQS un valor bIQS IQS IQS IQS ∞ − t (1,2 − 1) (1,2) = Γ(1,2) = ∫ IQS e t dt IQS IQS IQS GammaIQS IQS 0 IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

5. INTEGRACION NUMERICA

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS A la vista de este gráfico, un límite de integración conveniente podría situarse IQS IQS IQS IQS entre 5 yIQS 10. IQS IQS IQS IQS IQS Tomando b = 8, como valor inicial de iteración, la tabla de cálculo para una subdivisión es: IQS IQS IQS IQS IQS a b IQS A t IQS X Y Ip IQS IQS IQS 0 8 0,555556 − 0,7746 0,901613323 0,397593 0,888889 IQS IQS 0 4 0,024168 IQS IQS IQS 0,555556 0,774597 7,098386677 0,001223 0,972186501 0,972186501 IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Para dosIQS subdivisiones deIQS cálculo se obtiene: IQS IQS X IQS IQS IQS a b A t Y Ip 0 4 0,555556 0,450806662 0,543269 IQS -0,7746IQS IQS IQS IQS 0,888889 0 2 0,155459 0,555556 3,549193338 0,037037 IQS 0,774597IQS IQS 0,921156683 IQS IQS 4 8 0,555556 -0,7746 4,450806662 0,01573 0,888889 0 6 0,003547 IQS IQS IQS IQS IQS 0,555556 0,774597 7,549193338 0,000789 0,024660042 0,945816725 IQS IQS IQS IQS IQS A continuación se muestra el cuadro resumen de resultados de la estimación IQSpara diferente IQS IQS (m): IQS IQS de la integral número de subdivisiones IQS IQS IQS IQS m I IQS E 1 0,972186501 IQS IQS IQS 0,02637 IQS IQS 2 0,945816725 4 0,928688803 0,017128 IQS IQS IQS 0,006508 IQS IQS 8 0,92218037 16 0,919568566 0,002612 IQS IQS IQS IQS IQS 32 0,91847363 0,001095 64 0,918005473 0,000468 IQS IQS IQS IQS IQS Doblando b (b = 16), se obtiene: IQS IQS IQS IQS IQS m I IQS E IQS IQS IQS IQS 1 0,827562013 IQS IQS IQS 0,14513 IQS IQS 2 0,972692025 4 0,946336085 0,026356 IQS IQS IQS 0,017127 IQS IQS 8 0,929208716 16 0,922700295 0,006508 IQS IQS IQS 0,002612 IQS IQS 32 0,920088491 64 0,918993555 0,001095 IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Introducción al Cálculo Numérico. IQS.

Este material forma parte del libro: Tomàs, X.; Cuadros, J.; González, L..(2006). Introducción al Cálculo Numérico. Institut Químic de Sarrià. ISBN: 84-611-0645-8.

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5. INTEGRACION NUMERICA

IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS que, a partir de estos resultados, el valor de la integral resulta ser: IQS De modoIQS IQS IQS IQS IQS Γ(1,2) = 0,918993555 ± (0,001095 + |0,918993555 - 0,918005473|) IQS IQS IQS IQS IQS IQS Γ(1,2) = 0,9190 ± 0,0021 IQS IQS IQS IQS IQS IQS y por tanto, recordando que Γ(x + 1) = x Γ(x), para x = 0,2 se obtiene: IQS IQS IQS IQS IQS IQS Γ(0,2) = 4,595 ± 0,011 IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 5.8.2 Cuadratura IQS de Chebyshev IQS IQS IQS IQS responde a la siguiente expresión: IQS La cuadratura IQSde ChebyshevIQS IQS IQS IQS 1 n IQS IQS IQS IQS IQS i f (t i ) ∫ f (t ) dt = ∑ BIQS i = 0 −1 IQS siendo la IQS IQS IQS IQS IQS relación entre x y t la misma que la descrita para la cuadratura de IQS Gauss. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQSx = b + a + b IQS IQS IQS −a t 2 IQS IQS IQS 2 IQS IQS IQS La cuadratura de Chebyshev se basa en la elección de las abscisas de forma IQS que: IQS IQS IQS IQS IQS IQS • El valorIQS IQS absoluta IQS IQSinterpoladorIQS máximo de la desviación entre el polinomio y IQS la función IQS IQS IQS IQS sea mínimo. IQS iguales. IQS • Los coeficientes IQS B seanIQS IQS IQS IQS sea exacta para todos los polinomios de grado IQS • La fórmula IQSde cuadratura IQS IQS IQS IQS inferior o igual a (n + 1). IQS IQS IQS IQS IQS IQS 2 B valen en todos los casos . y los valores de IQS Por consiguiente, IQS los pesosIQS IQS IQS n + IQS 1 grados de polinomio más utilizados, se resumen en la tabla adjunta. IQS t, para losIQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

5. INTEGRACION NUMERICA

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS n+1=4 t = −1 5 + 2 IQS IQS n + 1 = 2IQS IQS IQS 3 IQS t = − ≈ − 0,794654 IQS IQS IQS IQS 3 5 IQS IQS t = 1 3 IQS IQS IQS IQS IQS 5 − 2 IQS t = − ≈ − 0,187592 t = −1 IQS n + 1 = 3IQS IQS 3 5 IQS IQS 2 IQS 5 −2 IQS IQS IQS IQS IQS IQS t = ≈ 0,187592 t =0 IQS IQS IQS IQS 3 5 IQS IQS 5 +2 IQS IQS IQS IQS IQS IQS ≈ 0,794654 t = 3 5 t = 1 IQS IQS 2 IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS tabla de cálculo cuando se utiliza la cuadratura de Chebyshev es, por lo IQS La IQS IQS IQS IQS IQS tanto, más sencilla que la de la cuadratura de Gauss: IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS t IQS x IQS f(x) IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Σ f(x) IQS IQS ) IQS IQS IQS ResultadoIQSbn −+ a1 ∑ f (xIQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 5.8.3 Otras IQS IQS IQS IQS IQS fórmulas de cuadratura basadas en polinomios ortogonales IQS Existen diferentes IQS fórmulasIQS IQS IQS IQS de cuadratura que permiten calcular la integral para IQS determinados IQS IQSsegún la siguiente IQS expresión:IQS IQS tipos de funciones b IQS IQS IQS IQS IQS n IQS ( ) ( ) ( ) w x f x dx = H f a + R ∑ i i ∫ IQS IQS IQS IQS i=0 IQS a IQS importante IQS Esta expresión IQSresulta especialmente IQS IQS para algunas IQSfunciones deIQS o de peso, w(x), que aparecen frecuentementeIQS en el integrando, IQS ponderación IQS IQS IQS IQS cuando se trata de integrales con intervalos infinitos. IQS sobretodoIQS IQS IQS IQS IQS IQS Las ventajas IQS IQS IQS IQS IQS de esta separación son dobles: IQS • La mayor IQS IQSpara evaluarIQS IQS IQS facilidad de cálculo f(x) frente a w(x)f(x). IQS IQS IQS IQS IQS IQS 0

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS términos de una IQS derivada de f(x) en IQS • La conveniencia IQS de expresar IQSel error en IQS IQS cuando la función IQS especialIQS IQSde ponderación IQS o sus derivadas IQS no estánIQS en el intervalo de cálculo. IQS acotadasIQS IQS IQS IQS IQS IQS SolamenteIQS IQS de pesoIQS se acostumbraIQS a trabajar así IQS en el caso de funciones IQS matemáticamente IQS significativas. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Límites de Nombre de la fórmula de Pesos IQS Integración IQSFunción peso IQS IQS IQS IQS cuadratura iguales IQS IQS IQS IQS IQS IQS w(x) = (1 − x) (1 + x) de Jacobi – Gauss IQS − 1; 1 IQS IQS CuadraturaIQS IQS No IQS α, β > −1 de Chebyshev –IQS Gauss No IQS w(x) = (1 − x ) IQS Cuadratura IQS − 1; 1 IQS IQS de Gauss w(x) = 1 IQS − 1; 1 IQS IQS Cuadratura IQS IQS No IQS Cuadratura de Gauss – Legendre IQS 0; ∞ IQS IQS CuadraturaIQS IQS No IQS w(x) = e de Gauss − Laguerre w(x) = exp( − x IQS ) Cuadratura de Gauss − Hermite IQS − ∞; ∞ IQS IQS IQS No IQS w(x) = 1 de Chebyshev IQS Sí IQS IQS − 1; 1 IQS IQS CuadraturaIQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS β

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6. RESOLUCIÓN APROXIMADA DE FUNCIONES

IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 6. RESOLUCION IQS IQS IQSDE FUNCIONES IQS IQS APROXIMADA IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 6.1 Introducción IQS y conceptos IQS fundamentales. IQS IQS IQS por resolver una función f(x) encontrar aquel o aquellos valores de IQS Se entiende IQS IQS IQS IQS IQS x tales que la función f(x) valga 0. Estos valores de x se denominan raíces o IQS ceros de laIQS IQS IQS IQS IQS función y corresponden a los puntos de corte de la función con el IQS eje de abscisas. IQS En esteIQS IQS capítulo nos IQS centraremos principalmente en IQS la reales de unaIQS función, puestoIQS que son las que IQS determinación IQSde las raícesIQS IQS a tener significado IQS acostumbran IQS IQSfísico. IQS IQS IQS el problema de encontrar las raíces de una función es doble: IQS Habitualmente, IQS IQS IQS IQS IQS por una parte debe determinarse el número de raíces y por otra encontrar cada IQS una de dichas IQSraíces. IQS IQS IQS IQS IQS Aunque muchas IQS funcionesIQS IQS IQS estos casosIQS pueden resolverse de forma analítica; deIQS interés para el IQS cálculo numérico, sino que serán IQS no son evidentemente IQS IQS IQS este tema aquellos casos en los que la función no pueda resolverse IQS objeto de IQS IQS IQS IQS IQS algebraicamente, por ejemplo: IQS • Funciones IQS IQS IQS IQS IQS en las que se combinan otras funciones de diferentes tipos: IQS IQS IQS IQS IQS IQS f (x ) = x 3 − ln (x ) ⋅ e x IQS • Polinomios IQSde grado superior IQSa 3 con raíces IQS IQS IQS no racionales, etc. IQS Se hará necesario, IQS entonces, IQS IQSaproximadaIQS buscar una solución de la ecuación.IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS de la Química IQS y la Ingeniería, pueden diferentes tipos IQS En el casoIQS IQS encontrarse IQS IQS a su resolución por vía numérica, como por ejemplo: IQS de ecuaciones IQSque obliganIQS IQS IQS IQS • Las ecuaciones de estado de gases reales: Ecuaciones de Van der Waals, IQS de Redlich IQS IQS IQS IQS IQS − Kwong, de Dieterici, del virial, etc. IQS IQS IQS IQS IQS IQS nRT n2a P= − Ecuación de Van der Waals: V − nb V 2 IQS IQS IQS IQS IQS IQS de la velocidad de flujos en conducciones IQS • El cálculo IQS IQS IQS con fricción. IQS IQS químicos. IQS IQS • La resolución IQS de equilibrios IQS IQS IQS

6. RESOLUCIÓN APROXIMADA DE FUNCIONES

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Ejemplo 6.1 IQS IQS IQS IQS IQS temperatura de IQS IQS En un recipiente IQS se introducen IQS3,45 g de silano IQS(SiH ) a unaIQS 378,4 K y una presión de 7,56 bar. Determinar el volumen que debe tener el IQS recipiente, IQS IQS IQSel gas se comporta IQS como unIQS admitiendo que en estas condiciones der Waals: IQS gas de Van IQS IQS nRT IQS IQS IQS n 2a IQS IQS IQSP = V − nb −IQS IQS IQS V2 IQS donde: IQS IQS IQS R = 0,083145IQS bar L/(K mol) IQS PM (SiH ) = 32,1176 a = 4,38 bar IQS L /mol b = 0,0579 L/molIQS IQS IQS IQS IQS del volumen corresponde una ecuaciónIQS de tercer grado IQS IQS El cálculoIQS IQS a resolver IQS que, aunque puede resolverse por vía analítica, se acostumbra a resolver de IQS forma numérica. IQS IQS IQS IQS IQS 2 2 2 − nb ) = nRTV − n a (V − nb ) IQS IQS PV 3 (VIQS IQS IQS IQS 2 2 3 PV − (nbP + nRT ) V + n aV − n ab = 0 IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS será necesario recurrir a la resolución numérica en el caso de la IQS También IQS IQS IQS IQS IQS determinación de un óptimo (máximo, mínimo o punto de interés) y la derivada IQS de la función IQS IQS IQS IQS IQS no sea resoluble analíticamente. IQS Para determinar IQS el número IQS IQS IQSuna primeraIQS de raíces, así como para hacer de los intervalosIQS de trabajo se utiliza IQS estimaciónIQS IQSel análisis funcional. IQS Esta seráIQS función es derivable y las raíces de la derivada son IQS la herramienta IQSbásica si la IQS IQS IQS IQS fáciles de encontrar. Si no es este el caso, hay que apoyarse en la IQS representación IQSgráfica de IQS IQS IQS IQS la función y en los teoremas que se verán en el IQS apartado 6.2. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS los métodos de IQS resolución de funciones IQS Hay que señalar IQS que con IQS IQS ocurre unIQS similar al de la integración: todos los métodos pueden ser válidos y las IQS caso IQS IQS IQS IQS IQS diferencias entre ellos radican en la posibilidad y velocidad de convergencia de IQS los mismos. IQS IQS IQS IQS IQS Como norma general, los métodos de convergencia más rápida IQS requieren IQS IQS en un intervalo IQS más estrecho. IQS IQS que la raíz esté localizada IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS En este capítulo IQS se van a exponer IQS los siguientes IQSmétodos: IQS IQS • Método de la bisección o del valor medio. IQS • MétodoIQS IQS IQS IQS IQS de las cuerdas. IQS IQS IQS IQS IQS IQS 4

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6. RESOLUCIÓN APROXIMADA DE FUNCIONES

IQS IQS IQS IQS IQS IQS de Newton o de la tangente y IQS modificaciones de mismo (Newton IQS • MétodoIQS IQS IQS IQS y secante). IQS IQS modificado IQS IQS IQS IQS de iteración. IQS • MétodoIQS IQS IQS IQS IQS IQS El capítuloIQS IQS IQS IQS IQS finaliza extendiendo los métodos de Newton y de iteración a IQS sistemas de IQS IQS IQS 2 ecuaciones yIQS dos incógnitas. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 6.1.1 El error IQSen la resolución IQSde una función IQS IQS IQS IQS Ante la resolución IQS de unaIQS IQS la definición IQS del error deIQS función puede abordarse diferentes: IQS dos formasIQS IQS IQS IQS IQS a la proximidad del valor de la función a cero. IQS
En baseIQS IQS IQS IQS IQS En base a la proximidad del valor de la variable independiente al punto de IQS
corte. IQS IQS IQS IQS IQS IQS Para ver IQS IQSplantear lasIQS que la segundaIQS definición es IQS la interesante, basta IQS siguientesIQS IQS IQS IQS consideraciones:IQS ocurrir que una función de forma finita o infinita a cero, IQS - PuedeIQS IQS se aproxime, IQS IQS IQS necesariamente exista un punto de corte. IQS sin queIQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS valor (y) de la función sino el valor de la abscisa IQS - El objetivo IQSfinal no es elIQS IQS IQS IQS que anula la función. IQS En consecuencia IQS habrá queIQS IQS IQS IQS definir el error en función de las estimaciones del IQS resultado.IQS IQS IQS IQS IQS y en cualquier caso, habrá IQS que comprobar que la IQS No obstante, IQS IQS IQSel valor de IQS similar a cero para la estimación de la raíz que se considere como IQS función esIQS IQS IQS IQS IQS resultado. IQS IQS IQS IQS IQS IQS

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6. RESOLUCIÓN APROXIMADA DE FUNCIONES

IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 6.2 Localización IQS y separación IQS de raíces.IQS IQS IQS función f(x), se dice que una raíz está localizada o acotada cuando IQS Dada unaIQS IQS IQS IQS IQS se puede asegurar que, en un intervalo [a; b], se encuentra como mínimo una IQS raíz. IQS IQS IQS IQS IQS IQS Se dice que IQS IQS IQS IQS se ha separado una raíz en un intervalo [a; b]IQS cuando se puede IQS asegurar que IQS IQSexiste un valor IQS en dicho intervalo y sólo uno de IQS x tal que f(x) = 0.IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 6.2.1 Análisis IQSde funciones IQS IQS IQS IQS Para localizar y separar raíces, o lo que es equivalente definir los intervalos que IQS serán objeto IQS IQS IQS IQS IQS de estudio, es recomendable seguir las siguientes etapas de IQS análisis deIQS IQS IQS IQS IQS funciones: del dominio y puntos IQS • EstudioIQS IQSde discontinuidad. IQS IQS IQS de los puntos de corte. IQS • EstudioIQS IQS IQS IQS IQS IQS • Simetrías. IQS IQS IQS IQS IQS • Asíntotas y límites. IQS • Zonas IQS IQS IQS IQS IQS de crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos. IQS • EstudioIQS IQS IQS IQS IQS de la concavidad. Puntos de inflexión. IQS • Representación IQS de la función IQS IQS IQS IQS de dicho análisisIQS de la función podrá determinarseIQS en qué intervalos IQS y a partir IQS IQS IQS IQS será necesario IQSestudiar la presencia IQS de raíces. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS para la localización IQS 6.2.2 Bases IQS IQS de una raíz IQS IQS IQS IQS DE APLICACIÓN IQSGENERAL IQS IQS IQS IQS • Teorema de Bolzano IQS El Teorema IQSde BolzanoIQS IQS IQS IQS establece que: “Si una función f(x) continua en el IQS intervaloIQS IQScomo mínimoIQS [a; b], cumple IQS que f(a)·f(b) < 0,IQS el intervalo contiene IQS una raízIQS IQS IQS IQS de la función”. IQS puede expresarse la misma ideaIQS diciendo que para una función f(x) IQS TambiénIQS IQS IQS IQS en un intervalo [a; b]: IQS continuaIQS IQS IQS IQS IQS - Si f(a)·f(b) < 0, el intervalo [a; b] contiene un número impar de raíces. IQS - Si f(a)·f(b) IQS > 0, el intervalo IQS [a; b] contiene IQSun número IQS IQS par de raíces o no IQS IQSninguna. IQS IQS IQS IQS contiene = − k f(x) tienen las mismas raíces. IQS • f(x) y g(x) IQS IQS IQS IQS IQS

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6. RESOLUCIÓN APROXIMADA DE FUNCIONES

IQS IQS IQS IQS IQS IQS es la función f(x)IQS desplazada a unidades IQS • f(x – a)IQS IQS a la derecha. IQS IQS raíces cambiadas de signo. IQS • f(x) y g(x)= IQSf(-x) tienen las IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS PARA POLINOMIOS IQS • El número IQSmáximo de IQS IQS IQS IQS raíces reales de un polinomio es igual al grado del IQS mismo.IQS IQS IQS con su multiplicidad. IQS IQS Cada raíz se tiene en cuenta de acuerdo es un polinomio IQS de coeficientes reales un número par IQS • Si P(x)IQS IQSentonces tiene IQS IQS no reales o noIQS tiene ninguna. IQS IQS de raícesIQS IQS IQS impar y de coeficientes reales tiene como mínimo IQS • Un polinomio IQS de gradoIQS IQS IQS IQS una raíz real. IQS • Regla de IQS IQS IQS IQS IQS Descartes IQS La reglaIQS IQS que “unIQS IQS IQS de Descartes establece polinomio de coeficientes reales de signo existan en la secuencia IQS tiene tantas IQSraíces positivas IQScomo cambios IQS IQS IQS coeficientes”. Se considera que el signo de los coeficientes que son IQS de sus IQS IQS IQS IQS IQS es el mismo que el signo del coeficiente precedente. IQS cero IQS IQS IQS IQS IQS Esta regla incluye raíces reales y raíces complejas de forma que al IQS interpretar IQS IQS IQS IQS IQS los resultados hay que recordar que las raíces reales positivas IQS serán elIQS IQS IQS IQS número de raíces positivas menos un número par.IQS todas las raícesIQS comprendidas en IQS • Un polinomio IQS de coeficientes IQSreales tieneIQS IQS IQS el intervalo: IQS IQS IQS IQS IQS max ( a 0 ;K; a n −1 ) max ( a 0 ;K; a n −1 ) −1 − 1+ IQS IQS IQS ≤ x ≤IQS IQS IQS an an IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 6.2.3 Bases para la separación de las raíces de una función IQS IQS IQS IQS IQS IQS DE APLICACIÓN GENERAL IQS • Teorema IQS IQS IQS IQS IQS de Rolle IQS El teorema IQSde Rolle dice IQS IQS en [a; b],IQS que “Si una IQS función f(x) es continua en (a; b) y además existe entonces un punto en IQS el IQS derivableIQS IQS f(a) = f(b),IQS IQS tal que la derivada en dicho punto es 0”. IQS intervaloIQS IQS IQS IQS IQS se sigue que “Si f(x) es una función continua en [a; b], IQS Consecuentemente, IQS IQS IQS IQS IQS f(a)·f(b) < 0 y f(x) es monótona en este intervalo, entonces en dicho intervalo IQS existe una IQS IQS IQS IQS IQS raíz”. IQS IQS IQS IQS IQS IQS

6. RESOLUCIÓN APROXIMADA DE FUNCIONES

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS de una función es monótona (creciente IQS • Si la derivada IQS n − ésimaIQS IQS IQS o IQS [a; b] y la función en dicho intervalo, IQS decreciente) IQSen un intervalo IQS IQSes continua IQS IQS la función tiene como máximo (n + 1) raíces en dicho intervalo. IQS entoncesIQS IQS IQS IQS IQS IQS Ejemplo 6.2 IQS IQS IQS IQS IQS IQS Utilice laIQS IQS IQS IQS IQS regla de Descartes para determinar cuantas raíces positivas y tienen los siguientes IQS negativasIQS IQSpolinomios:IQS IQS IQS IQS a) p(x) =IQS IQS IQS x - 10 x + 28 IQS x - 40 x + 96 IQS x - 16 IQS b) q(x) =IQS IQS IQS IQS IQS IQS Resolución IQS IQS IQS IQS IQS IQS a) p(x) =IQS IQS IQS x - 10 x + 28 IQS x - 40 x + 96 IQS Secuencia de signos: + - + - + IQS IQS IQS IQS IQS IQS Número de cambios de signo o de raíces positivas de p(x): 4 p(- IQS x) = x + 10 x +IQS 28 x + 40 x + 96 IQS IQS IQS IQS Secuencia de signos: + + + + + Número de signo o de raíces p(- x): 0 IQS IQSde cambiosIQS IQSpositivas de IQS IQS ninguna raíz negativa. IQS El polinomio IQSp(x) tiene 4 raíces IQSpositivas yIQS IQS IQS El polinomio p(x) es p(x) = (x - 4) (x - 6) (x + 4) y por tanto tiene 2 raíces IQS positivasIQS IQS IQS IQS IQS y 2 raíces complejas. IQS b) q(x) =IQS IQS IQS IQS IQS x - 16 Secuencia de signos: + 0 0 0 IQS IQS IQS IQS IQS IQS Número de cambios de signo o de raíces positivas de q(x): 1 q(- IQS x) = x - 16 IQS IQS IQS IQS IQS Secuencia de signos: + 0 0 0 Número de signo o de raíces q(- x): 1 IQS IQSde cambiosIQS IQSpositivas de IQS IQS raíz positiva y una raíz negativa.IQS IQS El polinomio IQSq(x) tiene unaIQS IQS IQS El polinomio q(x) es q(x) = (x - 2) (x + 2) (x + 4) tiene una raíz real positiva, IQS una raízIQS IQS IQS IQS IQS real negativa y dos raíces complejas. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS para la identificación múltiples IQS 6.2.4 Bases IQS IQS de raíces IQS IQS IQS IQS DE APLICACIÓN IQSGENERAL IQS IQS IQS IQS ξ de multiplicidad n anula la función y las (n − 1) primeras IQS • Una raíz IQS IQS IQS IQS IQS derivadas de la misma. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 4

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS PARA POLINOMIOS IQS IQS IQS IQS IQS de una raíz de un polinomio de grado IQS • La máxima IQSmultiplicidadIQS IQS IQSn es n. IQS IQS 6.3 Método IQSgráfico IQS IQS IQS IQS IQS Para determinar IQS gráficamente IQS IQS IQS IQS una raíz hay que: IQS • Identificar IQS IQSla raíz. IQS IQS el intervalo enIQS el que se encuentra IQS • Representar IQSla función. IQS IQS IQS IQS las etapas anteriores confinada la raíz en un intervalo IQS • RepetirIQS IQS hasta tenerIQS IQS IQS del doble del error deseado. IQS Entonces, IQS IQS IQS IQS IQS el valor de la raíz situada entre a y b será (a + b)/2 y el error de la IQS misma, el IQS IQS IQS IQS IQS error de lectura de la escala. IQS Al buscar IQS IQS gráfico esIQS IQSlos módulosIQS una raíz por el método conveniente escoger que la intersección con el eje deIQS abscisas sea tan IQS de forma IQS IQSde la funciónIQS IQS como sea posible. Esto facilitará la lectura del intervalo en el que IQS perpendicular IQS IQS IQS IQS IQS está situada la raíz. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Ejemplo 6.3 IQS IQS IQS IQS IQS IQS ResuelvaIQS IQS IQS IQS IQS el problema del ejemplo 6.1 por el método gráfico. IQS IQS IQS IQS IQS IQS  3,45  7IQS ,56 ⋅ V 3 −  + 0,083145 ⋅ 378IQS ,4 ) ⋅ V 2 +  ⋅ (0,0579 ⋅ 7,56 IQS IQS IQS IQS  32,1176  2 3 IQS IQS IQS IQS IQS  3,45   3,45  IQS +  4,38 ⋅ V −   4,38 ⋅ 0,0579 = 0  32,1176  IQS IQS IQS 32,1176  IQS IQS IQS IQS Para aplicar IQSel método gráfico IQS hay que representar IQS la función IQScon módulosIQS cada vez mayores y reducir el intervalo de representación. IQS IQS IQS IQS IQS IQS V = 0 L, el valor de la función es – 0,00031, mientras que para V = 5 L IQS Para IQS IQS L. Por lo tanto, IQSla raíz se encuentra IQS en el IQS la función toma el valor 859,587 0 ≤ V ≤ 5 L. IQS intervaloIQS IQS IQS IQS IQS primera hemos de tabular para valores de VIQS IQS Como IQSaproximación IQS IQSel polinomio IQS entre 0 y 5 L y construimos la gráfica correspondiente. primera representación de puntos IQS Para estaIQS IQS calcularemos IQSun número IQS IQS tabulares suficiente como para poder representar gráficamente la curva IQS resultanteIQS IQS de una maneraIQS cómoda y precisa, por ejemplo a IQS incrementos de IQS volumen de 1 L. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

6. RESOLUCIÓN APROXIMADA DE FUNCIONES

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQSque la raíz se IQS IQS IQS Observamos encuentra en el intervalo [0, 1 L]IQS por lo que rehacemos el gráfico para dicho intervalo. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS De esta representación detectamos que la raíz se encuentra en el intervalo [0,40; 0,60] L con lo que IQS decidimos representar dicho intervalo.IQS IQS IQSla función enIQS Dado que el intervalo a representar 0,2 L, optamos por una longitud IQS IQS IQS es de IQS IQS total de la escala de volumen igual a 200 mm, lo cual implica que el módulo de la escala lectura en dicha IQSes de 1000 mm/L IQSy, en consecuencia IQS el error de IQS IQS escala de volumen será de ε = 0,5/1000 = 0,0005 L IQS IQS IQS IQS IQS El eje de ordenadas debe cubrir el intervalo − 0,045 ≤ f(V) ≤ 0,429, por lo IQS IQS IQS IQS IQS tanto podemos construir una escala de − 0,10 hasta 0,50, por ejemplo, con el módulo IQS adecuado para conseguir trazado de la curva. IQS un buenIQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 1000

f(V)

900 800 700 600 500 400 300 200 100 0

-100 0

1

2

3

4

5

V (L)

f(V)

4,5

3,5

2,5

1,5

0,5

0,00

-0,5

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

V (L)

V

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

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6. RESOLUCIÓN APROXIMADA DE FUNCIONES

IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS El resultado será un gráfico similar al siguiente: IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 0,50 f(V) IQS IQS IQS IQS IQS IQS 0,40 IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 0,30 IQS IQS IQS IQS IQS IQS 0,20 IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 0,10 IQS IQS IQS IQS IQS IQS 0,00 IQS IQS IQS IQS IQS IQS 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 IQS IQS IQS IQS IQS IQS -0,10 IQS IQS IQS IQS IQSV (L) IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS En dichoIQS IQS IQS IQS gráfico podrá leer la solución situada en V = 0,438IQS L. IQS Por tantoIQS IQSpor 3,45 g deIQS IQS el volumen ocupado silano a 378,4 K y una presión IQS es de 0,438 ±IQS 0,005 litros. IQS de 7,56 bar IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS gráfico, junto con la función, permite IQS El métodoIQS IQSel análisis de IQS IQS separar lasIQS raíces de una función. una forma rápida, IQS diferentesIQS IQS Además permite IQS hacer, deIQS IQS de la convergencia de cada uno de los métodos en el entorno de la IQS una críticaIQS IQS IQS IQS IQS raíz. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 6.4 Método IQSde la bisección IQS IQS IQS IQS de la bisección se basa directamente en el teorema de Bolzano. IQS El métodoIQS IQS IQS IQS IQS En efecto, conocida una función f(x) y dos puntos (a; f(a)) y (b; f(b)) tales que IQS f(a)·f(b) < IQS IQS IQS IQS IQS 0 y que f(x) es continua en [a; b], se sabe, por el teorema de Bolzano, IQS que comoIQS IQS IQS[a; b]. IQS IQS mínimo existe una raíz en el intervalo IQS IQS IQS IQS IQS IQS

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS de la bisección IQS procede por acotación a partir del cálculo IQS El métodoIQS IQSde la raíz IQS IQS medio (c; f(c)), realizando el siguiente análisis: IQS del punto IQS IQS IQS IQS IQS tiene el mismo signo que f(a), entonces la raíz esta comprendida en IQS • [c;Si b].f(c) IQS IQS IQS IQS IQS IQS • Si f(c) IQS IQS IQS IQS IQS tiene el mismo signo que f(b), la raíz esta entonces comprendida en IQS [a; c]. IQS IQS IQS IQS IQS de dos estimaciones y ξ tales que los IQS Sistemáticamente, IQS a partir IQS IQSde la raíz ξ IQS IQS sean opuestos,IQS el método proporciona f(ξ ) y f(ξ ) IQS IQS signos deIQS IQS nuevasIQS de la raíz a partir de las expresiones: IQS estimaciones IQS IQS IQS IQS IQS ξi + ξ j ξ j − ξi Ek = IQS IQS ξk = IQS IQS IQS IQS 2 2 IQS El métodoIQS IQS IQS IQS IQS de la bisección tiene como principal inconveniente que el número de IQS cálculos aumenta IQS de formaIQS IQS exponencial a IQS medida que se IQS busca el resultado precisión. Por otra de considerarIQS sólo el signo del IQS con mayorIQS IQSparte, el hecho IQS IQS significa una pérdida de información que permitiría mejorar dicho IQS resultado IQS IQS IQS IQS IQS o acelerar la convergencia. IQS resultado IQS IQS IQS IQS IQS Se acostumbra a utilizar como primer método per afinar la acotación de los IQS intervalos IQS IQS IQS IQS de las diferentesIQS raíces. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Ejemplo 6.4 IQS IQS IQS IQS IQS un objeto al aireIQS con una velocidad inicial de 50 m/s. De forma IQS Se lanzaIQS IQS IQS IQS aproximada, la altura del objeto respecto al tiempo pasado desde el se puede representar la función: IQS lanzamiento IQS IQS medianteIQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS ) − 200⋅ t h = 5000⋅ (1 − e− t/20 IQS en la queIQS IQSen segundos. IQS IQS IQS el tiempo se expresa Determinar, con un error inferior s, el tiempo que tarda el objeto en caer a tierra. IQS a 0,00005IQS IQS IQS IQS IQS el objeto llega a tierra la altura es de 0 m, de forma que la función a IQS Cuando IQS IQS IQS IQS IQS resolver es: IQS IQS IQS ) − 200⋅ t = 0 IQS hIQS = 5000⋅ (1 − e− t /20IQS IQS Esta expresión IQS tiene una IQS IQS IQS solución para t = IQS 0 s, pero esta solución del lanzamiento y, evidentemente no es la solución IQS corresponde IQSal momento IQS IQS IQS IQS que se busca. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 0

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS de la función es: IQS La representación IQS gráficaIQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS La raíz buscada IQS se encuentra IQSentre los 9IQS IQS IQS y los 10 s desde el momento del IQS lanzamiento. IQS IQS IQS IQS IQS el método de laIQS bisección a partir de este intervalo inicial se tiene:IQS IQS UtilizandoIQS IQS IQS t- IQS f(t-) t+ f(t+) IQStm f(tm) IQS IQS IQS 0,5E IQS 10 -32,653299 9 11,8592419 9,5 -9,4252823 9,5 IQS -9,4252823 9 11,8592419 9,25 1,4629624 0,25 IQS IQS IQS9,375 IQS 0,125 IQS 9,5 -9,4252823 9,25 1,4629624 -3,9200480 9,375IQS -3,9200480 9,25 1,4629624 9,3125 -1,2132170 0,0625 IQS IQS 9,3125 IQS IQS IQS -1,2132170 9,25 1,4629624 9,28125 0,1287101 0,03125 9,3125 -1,2132170 9,28125 0,1287101 9,296875 -0,5412948 0,015625 IQS 9,296875IQS IQS 0,1287101IQS IQS IQS -0,5412948 9,28125 9,2890625 -0,2060526 0,0078125 -0,2060526 9,28125 0,1287101 9,2851563 -0,0386113 0,0039063 IQS IQS 9,2890625 IQS IQS IQS IQS 9,2851563 -0,0386113 9,28125 0,1287101 9,2832031 0,0450644 0,0019531 -0,0386113 9,2832031 0,0450644 9,2841797 0,0032303 IQS 9,2851563 IQS IQS IQS IQS 0,0009766 IQS 9,2851563 -0,0386113 9,2841797 0,0032303 9,2846680 -0,0176896 0,0004883 -0,0176896 9,2841797 9,2844238 -0,0072294 IQS 9,2846680 IQS IQS 0,0032303IQS IQS 0,0002441 IQS 9,2844238 -0,0072294 9,2841797 0,0032303 9,2843018 -0,0019995 0,0001221 -0,0019995 9,2841797 9,2842407 0,0006154 IQS 9,2843018 IQS IQS 0,0032303IQS IQS 0,0000610 IQS 9,2843018 -0,0019995 9,2842407 0,0006154 9,2842712 -0,0006920 0,0000305 IQS IQS IQS IQS IQS IQS el objeto cae de nuevo al suelo a los 9,28427 ± 0,00003 s. IQS Por tantoIQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Método de las cuerdas o de las partes proporcionales. IQS 6.5 IQS IQS IQS IQS IQS Una opción más interesante que dividir el intervalo por su mitad, es dividirlo por IQS el punto deIQS IQS IQS IQS corte de la recta que une los dos extremos con IQS el eje de abscisas; IQS ésta será IQS IQS IQS de las cuerdas. IQS IQS la estimación de la raíz según el método h (m) 100 0

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0

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t (s)

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Este material forma parte del libro: Tomàs, X.; Cuadros, J.; González, L..(2006). Introducción al Cálculo Numérico. Institut Químic de Sarrià. ISBN: 84-611-0645-8.

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS esta idea se tiene una secuenciaIQS de intervalos enIQS la que uno de los IQS AplicandoIQS IQS IQS se mantiene fijo y el otro se va desplazando. IQS extremos IQS IQS IQS IQS IQS La estimación de la raíz se obtiene entonces a partir de la expresión: IQS IQS IQS f (ξ )IQS IQS IQS i (ξ − a) ξ i +1 = ξ i − IQS IQS IQS f (ξi ) − fIQS IQS IQS (a) i IQS en la que IQS IQS IQSy ξ es igualIQS a es el punto fijoIQS respecto al que se articula el método a IQS b, el otro límite IQSdel intervalo.IQS IQS IQS IQS es, por definición, aquel de los dos extremos del intervalo en el que IQS El punto fijoIQS IQS IQS IQS IQS el valor de la función f(x) tiene el mismo signo que la segunda derivada f’’(x). IQS El métodoIQS IQS IQS IQS IQS converge si f(x) es continua y f’(x) es continua i monótona, es decir IQS que la segunda IQSderivada f’’(x) IQS IQS IQS no cambia de IQS signo en el intervalo [a; b]. gráfico muestra el desarrollo del método de lasIQS cuerdas, tomando IQS El siguienteIQS IQS IQS IQS IQS como extremo IQSfijo t = 11 s. IQS IQS IQS IQS IQS 150 h IQS IQS IQS IQS IQS (m) IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 100 IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 50 IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 0 IQS IQS IQS IQS IQS 5 6 7 8 9 10 11 IQS IQS IQS IQS IQS t (s) IQS IQS -50 IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS -100 IQS IQS IQS IQS IQS IQS que el error de la estimación es: IQS Se considera IQS IQS IQS IQS IQS ξi IQS IQS IQSEi +1 = ξ i +1 −IQS IQS IQS constituye una buena expresión del error (no siempre es válida), IQS Aunque noIQS IQS IQS IQS IQS habitualmente lo es cuando el método converge. Por otra parte, se puede IQS IQS IQS IQS IQS IQS Introducción al Cálculo Numérico. IQS.

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS si el error es válido que hay un cambio de signo entre IQS comprobarIQS IQSverificando IQS IQS IQS ) y f(ξ + E ). IQS IQS f(ξ − E IQS IQS IQS IQS expresión del error también se utiliza para todos los métodos que se verán IQS Esta IQS IQS IQS IQS IQS a continuación. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Ejemplo 6.5 IQS IQS IQS IQS IQS IQS Retomando IQS IQS IQS IQS IQS el problema del ejemplo 6.4, en el que se desea la raíz de la con un error no superior a 0,00005IQS s, se puede observar en el gráficoIQS IQS función IQS IQS IQS que la segunda derivada de la función no cambia de signo (es siempre en el intervalo en el que está acotada la raíz de interés.IQS IQS negativa) IQS IQS IQSy separadaIQS Por tanto, se puede aplicar el método de las cuerdas. IQS IQS IQS IQS IQS IQS El punto fijo será el extremo del intervalo para el que la función es negativa, IQS es decir IQS IQS IQS IQS el extremo t = 10IQS s. IQS La tabla IQS IQSes la siguiente: IQS IQS IQS de cálculo del método IQS IQS IQS IQS IQS t f(t) IQS E 10 – 32,6532986 punto fijo IQS IQS IQS IQS IQS IQS 9 11,8592419 0,26642474 IQS IQS 9,26642474 IQS 0,76264823 IQS IQS IQS 9,28316704 0,04661011 0,0167423 0,00283967 0,00102177 IQS IQS 9,28418881 IQS IQS IQS IQS 9,28425105 0,00017297 6,2245E-05 3,7914E-06 IQS IQS 9,28425484 IQS 1,0536E-05 IQS IQS IQS 9,28425507 6,4176E-07 2,3094E-07 IQS y, por tanto, IQS IQS IQS IQS IQS el objeto cae al suelo a los 9,284255 ± 0,000004 s. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 6.6 Método IQSde la tangente IQS IQS IQS o de NewtonIQS – Raphson. función f(x) continua tal que tiene IQS una raíz ξ en IQS el IQS Dada unaIQS IQS y derivable IQS b], que f’(x) y f’’(x) son continuas y no cambian de signo dentro del IQS intervalo [a;IQS IQS IQS IQS IQS b], y sea ξ una estimación de la raíz, entonces IQS intervalo [a;IQS IQS IQS IQS IQS ξ = ξi + hi IQS AplicandoIQS IQS IQS IQS IQS el desarrollo de Taylor, IQS IQS IQS IQS IQS IQS f (ξ i ) f (ξ ) = 0 = f (ξ i + h i ) ≈ f (ξ i ) + h i f ′(ξ í ) hi = − f ′(ξ i ) IQS IQS IQS IQS IQS IQS una estimación de la raíz es posible IQS Por consiguiente, IQS a partir deIQS IQS IQSobtener otraIQS con la expresión: IQS más aproximada IQS de acuerdoIQS IQS IQS IQS i+1

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS (ξ i ) IQS IQS IQSξi +1 = ξi − fIQS IQS IQS ′ f (ξ i ) IQS IQS IQS IQS IQS IQS El error de esta estimación se asume que es: IQS IQS IQS IQS IQS IQS E i +1 = ξ i + 1 − ξ i IQS IQS IQS IQS IQS IQS Por definición, el punto inicial es aquel extremo del intervalo en el que el valor IQS de la función IQS IQS IQS IQS IQS f(x) tiene el mismo signo que la segunda derivada f’’(x). IQS El métodoIQS IQS IQSy no cambianIQS converge si f(x) es continua y f’(x)IQS y f’’(x) son continuas [a; b]. IQS de signo dentro IQSdel intervaloIQS IQS IQS IQS gráfico muestra el desarrollo del método de Newton – Raphson. IQS El siguienteIQS IQS IQS IQS IQS (m) IQS 100 h IQS IQS IQS IQS IQS IQS 80 IQS IQS IQS IQS IQS IQS 60 IQS IQS IQS IQS IQS IQS 40 IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 20 IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 0 8 IQS IQS IQS 10 IQSt (s) 11 IQS 9 IQS -20 IQS IQS IQS IQS IQS IQS -40 IQS IQS IQS IQS IQS IQS -60 IQS IQS IQS IQS IQS IQS -80 IQS IQS IQS IQS IQS IQS -100 IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS de Newton – Raphson es el método de resolución de funciones más IQS El métodoIQS IQS IQS IQS IQS utilizado. Su principal dificultad es la necesidad de evaluar la derivada de la IQS función para IQS IQS IQS IQS IQS cada una de las estimaciones. IQS Hay que tener IQSen cuenta IQS IQS también que el IQS método converge lentamente si IQS el pendiente de la IQS curva cerca de laIQS raíz es pequeño.IQS IQS valor de laIQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Veamos la aplicación de este método al mismo caso descrito en el ejemplo 6.4. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Ejemplo 6.6 IQS IQS IQS IQS IQS al problema delIQS ejemplo 6.4, en IQS el gráfico se observa IQS VolviendoIQS IQSque ni la IQS primera ni la segunda derivadas de la función cambian de signo (son siempre IQS negativas) IQS IQS y separadaIQS IQS en el intervalo IQS en el que está acotada la raíz de tanto, se puede aplicar el método de Newton – Raphson. IQS interés. Por IQS IQS IQS IQS IQS inicial es el extremo del intervalo para el que la función es negativa, IQS Eles punto IQS IQS IQS IQS IQS decir, el extremo t = 10 s. La derivada de la función es IQS IQS IQS IQS IQS IQS f ′(t ) = 250 ⋅ e − t 20 − 200 IQS IQS IQS IQS IQS IQS de cálculo del método es: IQS La tabla IQS IQS IQS IQS IQS f(t) f'(t) E IQS IQS IQS t 10IQS IQS IQS -32,6532986 -48,3673351 -1,74736228 -43,1615263 IQS IQS9,32488944 IQS IQS 0,67511056 IQS IQS 9,28440519 -0,0064307 -42,8437303 0,04048426 -8,8515E-08 -42,8425509 IQS IQS9,28425509 IQS IQS 0,0001501 IQS IQS 9,28425509 0 -42,8425509 2,066E-09 0 IQS IQS9,28425509IQS 0 -42,8425509 IQS IQS IQS que el objetoIQS llega a tierra a los 9,28425509 ± 2 10 s. IQS y se obtiene IQS IQS IQS IQS IQS ObserveIQS IQS IQS IQS las cifras IQS cómo en la primera columna (t) los valores van repitiendo a medida que se va aplicando reiterativamente el procedimiento. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 6.7 Variantes del método de Newton. IQS Para aquellos IQScasos en losIQS IQS IQS IQS que es difícil evaluar la derivada de la función, se IQS han desarrollado IQS dos simplificaciones IQS IQS del IQS método de Newton basadas en IQS la de la derivada IQS por un valor aproximado. IQS substituciónIQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 6.7.1 Método IQSde la secante IQS IQS IQS IQS método se aproxima a la pendiente de la recta que une IQS Según esteIQS IQSla derivadaIQS IQS IQS IQS las dos estimaciones IQS anteriores. IQS IQS IQS IQS f (ξ i ) ξ i +1 = ξ i − IQS IQS IQS IQS IQS IQS f (ξ i ) − f (ξ i −1 ) ξ i −IQS ξ i −1 IQS IQS IQS IQS IQS converge si f(x) IQS es continua y f’(x)IQS y f’’(x) son también continuas y no IQS El métodoIQS IQS IQS signo en el intervalo [a; b]. IQS cambian deIQS IQS IQS IQS IQS

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS el método habrá que escoger dos puntos iniciales. El primero será IQS Para aplicar IQS IQS IQS IQS IQS del intervalo para el que la función tiene el mismo signo que la IQS el extremoIQS IQS IQS IQS IQS segunda derivada. El segundo punto es un punto perteneciente al intervalo tal IQS que la función IQStambién tieneIQS IQS IQS IQS el mismo signo que la segunda derivada. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 6.7.2 Método de Newton modificado IQS En esta modificación IQS del método IQSse substituye IQS IQS la derivada por la derivada en IQS el y se consideraIQS que f’(x) es aproximadamente constante el IQS punto inicial, IQS IQS IQS en todo IQS b]. IQS intervalo [a;IQS IQS IQS IQS IQS f (ξ i ) ξ i + 1 = ξ i − IQS IQS IQS IQS IQS IQS f ′ (ξ 0 ) IQS El métodoIQS IQS IQS IQS IQS converge si f(x) es continua y f’(x) y f’’(x) son continuas y no cambian IQS de signo enIQS IQS IQS IQS el intervalo [a; IQS b]. más lentamenteIQS que el método IQS de Newton original IQS Ambos métodos IQS convergenIQS IQS la simplificación de cálculo. En ambos casos, la IQS pero presentan IQScomo ventaja IQS IQS IQS IQS selección del punto inicial y el cálculo del error se hace de la misma forma que IQS la descritaIQS IQS IQS IQS IQS anteriormente. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Ejemplo 6.7 IQS IQS IQS IQS IQS IQS La ecuación IQS IQSreales se expresa IQSen términosIQS de estado deIQS Dieterici para gases como sigue: IQS reducidosIQS IQS e 2 T e − 2IQS IQS IQS (T V ) r Pr = IQS IQS IQS IQS IQS 2 Vr IQS −1 donde P es la presión reducida, T la temperatura reducida y V el volumen IQS reducido. IQS IQS IQS IQS IQS IQS Se deseaIQS IQS IQS IQS IQS determinar, con 4 cifras exactas, la temperatura reducida (T ) de un real IQS que cumple con la ecuación de Dieterici, que su presión IQS IQS gas IQS IQS sabiendo IQS reducida es 0,3415 y su volumen reducido es 2,132. IQS IQS IQS IQS IQS IQS El primer paso de la resolución del problema consiste en expresarlo en forma IQS de función IQS IQS IQS IQS IQS igualada a cero. −2 IQS IQS IQS e 2 T IQS IQS IQS 2,132⋅ T r e = 0,3415 − =0 IQS IQS f (Tr ) IQS IQS IQS 2 ⋅ IQS 2,132 − 1 IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

6. RESOLUCIÓN APROXIMADA DE FUNCIONES

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS La representación de la función lleva al siguiente gráfico: IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 0,4 f(Tr) IQS IQS IQS IQS IQS 0,3 0,2 IQS IQS IQS IQS IQS 0,1 IQS IQS IQS IQS IQS 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 -0,1 0 IQS IQS IQS IQS IQS Tr -0,2 -0,3 IQS IQS IQS IQS IQS -0,4 IQS IQS IQS IQS IQS -0,5 -0,6 IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Del gráfico, y del análisis de la función, se observa que la raíz se encuentra entre 0,6IQS y 0,8 y que la función es continuaIQS en este intervalo. Además, en IQS IQS IQS dicho intervalo, tanto la primera como la segunda derivada de la función son también IQS negativas. IQS IQS IQS IQS Por lo tanto es posible aplicar el método de Newton para resolver la función, y para evitar la secante. IQSderivar la función IQSse puede aplicar IQSel método deIQS IQS IQS IQS a él, dentro IQS Los puntos iniciales seránIQS 0,8 y un punto próximo del intervalo, IQS por ejemplo 0,78. IQS IQS IQS IQS IQS A partir de estos puntos la tabla de cálculo que se obtiene es la siguiente: IQS IQS IQS IQS IQS T f(T ) IQS E IQS IQS IQS IQS 0,8 -0,21912398 0,78 -0,18891819 IQS 0,65491259 IQS IQS IQS IQS -0,01245308 0,12508741 0,00882737 IQS IQS 0,64608522 IQS -0,00091503 IQS IQS 0,64538516 -5,7299E-06 0,00070006 4,4114E-06 IQS IQS 0,64538075 IQS -2,6901E-09 IQS IQS 0,64538075 -7,8826E-15 2,072E-09 0 6,1062E-15 IQS IQS 0,64538075 IQS IQS IQS 0,64538075 0 0 IQS IQS IQS IQS IQS Por consiguiente, la temperatura reducida del gas en las condiciones de presión yIQS temperatura reducidas IQS especificadas IQSes: IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS T = 0,645381 ± 0,000004. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS r

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Este material forma parte del libro: Tomàs, X.; Cuadros, J.; González, L..(2006). Introducción al Cálculo Numérico. Institut Químic de Sarrià. ISBN: 84-611-0645-8.

IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

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6. RESOLUCIÓN APROXIMADA DE FUNCIONES

IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS o de aproximaciones sucesivas. IQS 6.8 Método IQSde iteraciónIQS IQS IQS IQS El último método que se expone en este capítulo para la resolución de una IQS ecuación es IQS IQS IQS IQS IQS el método de iteración, sin duda uno de los métodos más utilizados IQS en la resolución IQSnumérica deIQS IQS IQS ecuaciones. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 6.8.1 Procedimiento IQS IQS IQS IQS IQS estándar aplicar el método de iteración, laIQS ecuación a resolver ha de poderse IQS Para poderIQS IQS IQS IQS igualada al valorIQS de x. IQS expresar como IQSuna funciónIQS IQS IQS f (x ) = 0 → x = g(x ) IQS IQS IQS IQS IQS IQS Si ello es posible, el proceso iterativo es el siguiente: IQS • Se estima IQS IQS IQS IQS IQS o se supone un valor inicial ξ . IQS • Se aplica IQSde forma iterativa, IQS la ecuación IQSde definición IQS IQS de la variable IQS independiente: IQS IQS IQS IQS IQS ) IQS IQS IQS ξ i+1 = g(ξ iIQS IQS IQS converge cuando se cumplen lasIQS siguientes condiciones: IQS El procesoIQS IQS IQS IQS continua y diferenciable en el intervalo [a; b]. IQS • g(x) esIQS IQS IQS IQS IQS • g’(x) está acotada en el intervalo [a; b] por un valor q inferior a 1. IQS IQS IQS IQS IQS IQS ∃ q | g′(x ) ≤ q < 1 x ∈ [a; b] IQS IQS IQS IQS IQS IQS En tal caso la convergencia tiene lugar sea cual sea el valor ξ . IQS El error deIQS IQS IQS IQS IQS la estimación se calcula como: IQS IQS IQS IQS IQS IQS q qi + 1 ξ i+1 − ξ i ≅ ξ1 − ξ 0 1− q 1− q IQS IQS Ei+1 =IQS IQS IQS IQS tener presente IQS que a partir deIQS una expresiónIQS f(x) = 0 pueden IQS Hay que IQS IQS diferentes expresiones x = g(x) entre las que debe seleccionarse la IQS obtenerseIQS IQS IQS IQS IQS más conveniente en cada caso. Por ejemplo: IQS IQS IQS IQS IQS IQS f (x ) = x − sin(x ) ⋅ e x = 0 IQS IQS IQS IQS IQS IQS x = sin(x ) ⋅ e x IQS IQS IQS  x IQS IQS IQS  x = arcsin  IQS IQS IQS  e x IQS IQS IQS x = ln (x ⋅ cosec (x )) IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

6. RESOLUCIÓN APROXIMADA DE FUNCIONES

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Ejemplo 6.8 IQS IQS IQS IQS IQS electrolito del tipoIQS A B, la relación IQS entre su concentración IQS Para un IQS IQS y el grado IQS de disociación viene dada por: IQS IQS IQSC 3 = K 1 −IQS IQS IQS α 27 IQS α4 IQS IQS IQS IQS IQS IQS Si para unIQS IQS K=2,350IQS IQS determinado compuesto 10 M y la concentración (C)IQS M, determinar el valor de α con 4 cifras exactas. IQS es de 0,1IQS IQS IQS IQS IQS igualada a cero es: IQS La ecuación IQS IQS IQS IQS IQS 3 − 5 1− α 0,1 − 2,350 ⋅ 10 ⋅ =0 IQS IQS f (α ) =IQS IQS IQS IQS 27 α 4 IQS La tabla IQS IQS IQS IQS IQS de puntos para localizar la raíz es: IQS IQS α IQSf(αα) IQS IQS IQS f(α α) α -0,00683333 IQS 0,17 0,00013506 IQS IQS 0,10 IQS IQS IQS 0,11 -0,00429082 0,18 0,00032013 -0,0026937 IQS 0,19 0,00045903 IQS IQS 0,12 IQS IQS IQS 0,13 -0,00165125 0,20 0,00056481 -0,00094846 IQS 0,21 0,00064645 IQS IQS 0,14 IQS IQS IQS 0,15 -0,00046136 0,22 0,00071019 IQS IQS 0,16 IQS -0,00011559 IQS IQS IQS IQS Por lo tanto, IQS IQS entre 0,16IQS IQS IQS la raíz está acotada y 0,17. IQS Para resolver IQSel problemaIQS IQSla ecuaciónIQS por iteración, el IQS primer paso es escribir forma que la incógnita esté separada. En este caso existen dos IQS de IQS IQS IQS IQS IQS posibilidades: IQS IQS IQS 3 IQS IQS IQS 0,1 ⋅ 27 α 4 − 2,350 ⋅ 10 − 5 (α ) = IQS IQS α = g1IQS IQS IQS IQS − 2,350 ⋅ 10 − 5 IQS IQS α = gIQS IQS IQS IQS 1− α −5 ⋅ 2 (α ) = 4 2,350 ⋅ 10 IQS IQS IQS IQS27 ⋅ 0,13 IQS IQS IQS Para verificar IQSsi alguna deIQS IQSresolver el problema, IQS hay IQS las opciones permite estudiar el criterio de convergencia, es decir, comprobar que existe un IQS que IQS IQS IQS IQS IQS valor q tal que cumple la condición: IQS IQS IQS IQS IQS IQS g′(x ) ≤ q < 1 x ∈ [0,16 ; 0,17] IQS IQS IQS IQS IQS IQS la siguiente tabla se muestran los valores obtenidos para ambas IQS En IQS IQS IQS IQS opciones, g (α) y g (α): IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 3

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS g (α α) g '(α α) g (α α) g '(α α) α IQS IQS IQS IQS IQS IQS 0,159 0,26568162 -18,6484278 0,16448452 -0,04891733 0,160 0,24703319 -19,0013833 0,16443560 -0,04896103 IQS IQS IQS -19,3587645 IQS IQS IQS 0,161 0,22803181 0,16438664 -0,04900482 0,162 0,20867304 -19,7205989 0,16433763 -0,04904869 IQS IQS IQS -20,0869143 IQS IQS IQS 0,163 0,18895244 0,16428858 -0,04909266 0,164 0,16886553 -20,4577380 0,16423949 -0,04913673 IQS IQS IQS -20,8330977 IQS IQS IQS 0,165 0,14840779 0,16419036 -0,04918088 0,166 0,12757469 -21,2130211 0,16414117 -0,04922513 IQS IQS IQS -21,5975355 IQS IQS IQS 0,167 0,10636167 0,16409195 -0,04926947 0,168 0,08476414 -21,9866687 0,16404268 -0,04931390 IQS IQS IQS -22,3804482 IQS IQS IQS 0,169 0,06277747 0,16399337 -0,04935843 0,170 0,04039702 -22,7789016 0,16394401 -0,04940305 IQS IQS IQS IQS IQS 0,171 0,01761812 0,1638946 IQS IQS La primera IQS IQS IQS IQS IQS de las dos opciones no es válida ya que la derivada de la función g (α) no IQS está acotada entre –1 y 1. En cambio, IQS criterio IQS IQSla segunda opción IQS cumple el IQS de convergencia, siendo el valor de la cota q = 0,05. IQS IQS IQS IQS IQS IQS E α α = g (α) IQS IQS IQS 0,1644356 IQS0,000233453IQS IQS 0,160 0,1644356 0,16421809 1,14477E-05 IQS IQS 0,16421809 IQS 0,16421809 IQS5,62414E-07IQS IQS IQS IQS 0,16421809 IQS 0,16422825 IQS2,76283E-08IQS IQS 0,16422825 0,16422828 1,35723E-09 IQS IQS 0,16422828 IQS 0,16422828 IQS6,66737E-11IQS IQS 0,16422828 0,16422828 3,27533E-12 IQS IQS 0,16422828 IQS 0,16422828 IQS1,60902E-13IQS IQS IQS Dado queIQS IQS IQS IQS IQS la precisión requerida es que ε ≤ 0,00005, el grado de disociación IQS del electrolito IQSes por tanto:IQS IQS IQS IQS α = 0,16422 ± 0,00001 IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS En el casoIQS IQS o bien noIQS IQS una funciónIQS que x no sea separable, sea posible encontrar su derivada, IQS en valor absoluto, esté acotadaIQS al valor 1 en IQS el IQS g(x) tal que IQS IQS b], es posible recurrir a un procedimiento general. IQS intervalo [a;IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS general IQS 6.8.2 Procedimiento IQS IQS IQS IQS IQS Si se tiene una función f(x) continua y derivable tal que posee una raíz en el IQS intervalo [a;IQS IQS IQS IQS IQS b] y además: IQS IQS IQS IQS 0IQS < m ≤ f ′(x ) ≤ M IQS x ∈ [a; b] IQS es posibleIQS IQS IQS IQS IQS resolver la función separando x de la siguiente forma: 1

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6. RESOLUCIÓN APROXIMADA DE FUNCIONES

IQS IQS IQS IQS IQS IQS f (x ) = 0 → x = xIQS − λf (x ) IQS IQS IQS IQS IQS que la derivada sea negativa se puede aplicar IQS el mismo proceso IQS [En el casoIQS IQS IQS IQS IQS sobre – f(x).] IQS IQS IQS IQS IQS El proceso de iteración consta de los siguientes pasos: IQS • DefinirIQS IQS IQS IQS IQS g(x) = x – λ f(x). IQS • CalcularIQS IQS IQS IQS IQS λ. IQS Si se escoge IQS IQSentonces: IQS IQS IQS λ tal que λ = 1/M, IQS IQS 1 − λMIQS IQS m IQS IQS = 0 ≤ g′(x ) ≤ 1 − λm = 1 − = q IQS IQS IQS IQS M IQS IQS y con ello se cumplen las condiciones de convergencia del método de iteración. IQS Una ventaja IQS IQS IQS IQS IQS a tener en cuenta es que el método de iteración es autocorrector, IQS es decir, siIQS IQSde cálculo enIQS IQS IQS se comete un error el valor resultado de la iteración, valor se mantiene dentro del intervalo proceso seguirá IQS pero esteIQS IQS IQS [a; b], elIQS IQS hacia el resultado correcto. IQS convergiendo IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 6.9 Resumen IQS del procedimiento IQS para laIQS IQS IQS resolución de una función función se puede esquematizar de IQS El procedimiento IQS para la resolución IQS de unaIQS IQS IQS IQS la forma siguiente: IQS IQS IQS IQS IQS la ecuación a resolver bajo la forma de una función f(x) = 0. IQS • EscribirIQS IQS IQS IQS IQS • Analizar la función y acotar la raíz mediante su representación gráfica y las IQS reglas vistas IQSen el apartado IQS IQS IQS IQS 6.2. IQS • Determinar IQSla continuidad IQS IQS IQS y el signo de las derivadas IQS en el intervalo de de la raíz. IQS acotación IQS IQS IQS IQS IQS el método adecuado la raíz. Si seIQS cumple el criterio IQS • EscogerIQS IQS para calcular IQS IQS (si la función es IQS de convergencia IQS de Newton, IQS suele aplicarse IQS Newton IQS IQS fácilmente derivable) o el método de la secante. Si no se cumple, si se IQS puede aplicar IQS el métodoIQS IQS IQS IQS de las cuerdas, se aplica. Como última alternativa IQS se recurre IQS IQS IQS IQS al método de IQS la bisección. para el métodoIQS seleccionado. IQS IQS • Se escoge IQSel punto inicialIQS IQS el método hasta obtener el resultado IQS • Se aplica IQS IQS IQScon la precisión IQSdeseada. IQS determinar las raíces de multiplicidad par hay que derivar la función IQS Si se debeIQS IQS IQS IQS IQS y resolver la derivada. IQS IQS IQS IQS IQS IQS

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6. RESOLUCIÓN APROXIMADA DE FUNCIONES

IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 6.10 Resolución de sistemas de ecuaciones IQS Estos mismos IQSmétodos numéricos IQS que se han IQS IQS IQS descrito en este capítulo pueden IQS utilizarse IQS IQS sistemas IQS IQS ejemplo, seIQS también para resolver de ecuaciones. Como IQS expone suIQS IQS de dos IQS IQS aplicación a laIQS solución de sistemas ecuaciones y dos IQS incógnitas.IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Sea un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas: IQS IQS IQS  f (x, y ) = IQS IQS IQS 0 1 IQS IQS IQS f2 (x, y ) = IQS IQS IQS 0 IQS en el que las IQS IQS IQS dos funcionesIQS son continuas y IQS derivables. estimación ((ξIQS , ψ )) de los valores IQS Una primera IQS IQSde las soluciones IQS del sistemaIQS IQS puede obtenerse IQS por vía gráfica, IQS representando IQSlas dos funciones IQS y leyendoIQS el gráfico los puntos de corte de las mismas. Ahora bien, para afinar el IQS sobre IQS IQS IQS IQS IQS resultado se necesitará recurrir a un método numérico. Entre estos métodos, IQS los de usoIQS IQS IQS y el de Newton. IQS IQS más frecuente son el método de iteración IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 6.10.1 Método IQSde iteraciónIQS IQS IQS IQS IQS El sistemaIQS IQS IQS IQS IQS ha de poderse expresar como: IQS IQS IQS  x = g1(x, IQS IQS IQS y) y) IQS IQS IQS y = g2 (x,IQS IQS IQS aplicar el método de iteración enIQS la forma: IQS y entoncesIQS IQS IQS IQS ,ψi )  ξ i + 1 = g1 (ξ iIQS IQS IQS IQS IQS IQS  ψ = g ( ξ , ψ ) 2 i i  i +1 IQS IQS IQS IQS IQS IQS El sistema converge si se cumple cualquiera de los siguientes pares de IQS desigualdades: IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS ∂g1 + ∂gIQS IQS IQS ∂gIQS ∂g1 2 1 ≤ q1 < 1 + ≤ q1 < 1 ∂x IQS IQS ∂x ∂xIQS IQS∂y IQS IQS ∂g1 ∂g 2 ∂g 2 ∂g 2 ≤ q1 < 1 + ≤ q1 IQS <1 IQS IQS ∂y + ∂yIQS IQS ∂IQS x ∂y IQS IQS IQS IQS IQS IQS

6. RESOLUCIÓN APROXIMADA DE FUNCIONES

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS la convergencia sobre los resultados y se considera IQS Habitualmente IQSse controla IQS IQS IQS IQS que son exactas aquellas cifras que se estabilizan a medida que se va iterando. IQS No obstante IQS IQS IQS IQS IQS es conveniente comprobar que el resultado obtenido resuelve las IQS ecuacionesIQS IQS IQS IQS IQS del sistema inicial. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 6.10.2 Método IQSde Newton IQS IQS IQS IQS IQS Si se supone IQS IQS IQS IQS IQS una estimación de la solución del sistema (ξ , ψ ), esta estimación IQS se relaciona IQS IQS IQS IQSlas siguientesIQS con la solución real del mismo (ξ, ψ) mediante IQS expresiones: IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS ξ = ξi + hiIQS IQS IQS ψ = ψi + ki IQS IQS IQS IQS IQS IQS Aplicando el desarrollo de Taylor y limitándolo a los términos lineales se tiene: IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS  IQS∂f1 IQS IQS IQS ∂f1 f (ξ , ψ i ) + hi (ξi , ψ i ) + k i (ξi , ψ i ) = 0 ∂x ∂y IQS IQS  1 i IQS IQS IQS IQS ∂f 2 ∂f 2 (ξ i , ψ i ) +IQS (ξ i , ψ i ) = 0IQS ki i ) + hi IQS IQS f2 (ξi , ψIQS IQS ∂x ∂y IQS IQS IQS IQS IQS IQS determinante jacobiano: IQS Siendo el IQS IQS IQS IQS IQS ∂f1 IQS IQS IQS∂f1 (ξi , ψ i ) IQS IQS IQS (ξ i , ψ i ) ∂x ∂y ) = ∂f ≠0 IQS IQS J(ξi , ψ iIQS IQS IQS IQS ∂f 2 2 (ξ i , ψ i ) (ξ i , ψ i ) ∂y IQS IQS IQS∂x IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS el sistema tiene por solución IQS IQS IQS IQS IQS IQS ∂f1 (ξ i , ψ i ) IQS f1 (ξ i , ψ i ) IQS IQS h = −IQS IQS IQS 1 ∂y i J (ξ i , ψ i ) f (ξ , ψ ) ∂f 2 (ξ , ψ ) IQS IQS IQS IQS IQS 2 i IQS i i i ∂y IQS IQS IQS ∂f1 IQS IQS IQS ( ξ i , ψ i ) f1 (ξ i , ψ i ) 1 ∂x IQS IQS k i = −IQS IQS IQS IQS ∂ J (ξ i , ψ i ) f 2 ( ξ i , ψ i ) f 2 (ξ i , ψ i ) IQS IQS IQS ∂x IQS IQS IQS IQS y IQS IQS IQS IQS IQS Introducción al Cálculo Numérico. IQS.

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6. RESOLUCIÓN APROXIMADA DE FUNCIONES

IQS IQS IQS IQS IQS IQS ∂f1 IQS IQS IQS f1(ξ i , ψIQS IQS (ξ i , ψ i ) IQS i) 1 ∂y − IQS IQS ξi +1 = ξiIQS IQS IQS IQS ∂ J (ξ i , ψ i ) f (ξ , ψ ) f 2 (ξ , ψ ) i i i ∂y IQS IQS IQS 2 i IQS IQS IQS IQS IQS IQS 1 ∂∂fx1 (ξIQS IQS i , ψ i ) f1 (ξ i , ψ i ) IQS i − J (ξ i , ψ i ) ∂f 2 (IQS IQS IQS ψ i +1 = ψIQS IQS ξ i , ψ i ) f 2 (ξ i , ψ i ) IQS ∂x IQS La estimación IQSdel error puede IQShacerse a partir IQSde la diferencia IQSentre las dosIQS IQS últimas aproximaciones IQS IQS IQS IQS IQS realizadas. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS la letra griega xi y ψ es la letra griega IQS NOTA: ξ esIQS IQS IQSpsi. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

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7. AJUSTE DE ECUACIONES EMPÍRICAS

IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 7. AJUSTE IQS DE ECUACIONES IQS IQS IQS EMPIRICASIQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS “Give draw an elephant, IQS IQS IQSme three constants IQS and I willIQS IQS Give me four and I will make him wave his trunk” IQS IQS IQS IQS IQS IQS Bertrand Russell (1872 – 1970) IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 7.1 Introducción. IQS IQS IQS IQS IQS o funcionalidad entre dos variables puede representarse de tres IQS La relaciónIQS IQS IQS IQS IQS formas diferentes: IQS • a través IQSde una función IQS IQS IQS IQS algebraica, IQS • en forma IQSgráfica, IQS IQS IQS IQS IQS • a través IQSde una tablaIQS IQS IQS IQS de valores. formas diferentesIQS expresan una misma IQS Evidentemente, IQSsi las tres IQS IQS relación, haIQS de dichas formas a las otras. IQS de ser posible IQSpasar de unaIQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS xIQSy IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS y = f(x) IQS IQS Con lo expuesto IQS en los capítulos IQS anterioresIQS IQS IQS se está en disposición de realizar IQS todas las conversiones IQS IQS IQS de datos:IQS entre los diferentes IQS formatos de presentación con la excepción de las conversiones o IQS tablas, gráficos IQSy funciones,IQS IQS IQS de tabla IQS IQS gráfico a función. IQS IQS IQS IQS IQS que la transformación de gráfica a función precisa ir precedida de la IQS Dado IQS IQS IQS IQS IQS presentación de los datos en forma tabular, en este capítulo se van a exponer IQS procedimientos IQSpara realizarIQS IQS IQS IQS esta transformación, es decir, de tabla numérica a IQS función. IQS IQS IQS IQS IQS por disponer de IQS la expresión de IQS la funcionalidad IQS en forma analítica IQS El interés IQS IQS entre otras razones: IQS radica en que IQS IQS IQS IQS IQS

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7. AJUSTE DE ECUACIONES EMPÍRICAS

IQS IQS IQS IQS IQS IQS el desarrollo deIQS modelos y teorías. IQS • PermiteIQS IQS IQS IQS estudiar la adecuación determinada teoría o modelo a un IQS • PermiteIQS IQS de una IQS IQS IQS IQS determinado IQScomportamiento IQSexperimental. IQS IQS IQS • Permite facilitar los cálculos y mejorar los resultados de interpolaciones, IQS extrapolaciones, IQS derivaciones IQSe integraciones. IQS IQS IQS IQS • FacilitaIQS IQS IQS IQS la compilación yIQS la recuperación de los datos experimentales. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Ejemplo 7.1 IQS IQS IQS IQS IQS cinética de laIQS hidrólisis del 2IQS Supongamos IQSque se quiere IQSestudiar laIQS IQS cloropropano en medio acuoso básico, en unas determinadas condiciones de IQS presión yIQS IQS IQS IQS temperatura. IQS IQS IQSCH −CHCl−CH IQS+ OH → CHIQS IQS −CHOH−CH +IQS Cl IQS Para elloIQS IQS IQS IQS IQS se decide realizar el siguiente ensayo: un recipiente misma cantidadIQS de 2IQS En IQS termostatado, IQSse coloca laIQS IQS cloropropano e hidróxido sódico (condiciones equimolares) y se determina la a diferentes tiempos, de esta forma, IQS IQS concentración IQSde cloruro IQS IQSobteniendo, IQS una tabla de concentración de cloruro respecto al tiempo. IQS IQS IQS IQS IQS IQS t (s) [Cl ] (M) IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS que la cinética de esta reacción corresponderá bien a IQS Teóricamente IQSseSNsabe IQSSN IQS un mecanismo o bienIQS a un mecanismoIQS SN . Un mecanismo que la velocidadIQS de la reacción sólo depende de laIQS concentración IQS IQS indicaría IQS IQS de 2-cloropropano, mientras que un mecanismo SN implica que, además, del medio. IQS IQS puede actuarse IQS sobre la velocidad IQS de reacción IQSvariando el pH IQS relación entre [ClIQS ] y t es IQS Si la reacción IQSsigue un mecanismo IQS SN , laIQS IQS − −k t −a⋅e IQS exponencial: IQS IQS [Cl ] = a IQS IQS IQS que si la reacción sigue un mecanismo y IQS MientrasIQS IQS IQSa SN , la relación IQSentre [Cl ] IQS − − IQS t es hiperbólica: IQS IQS [Cl ] = a IQS IQS IQS ak t + 1 definitiva, estudiando cuál de estas dos ecuaciones se ajusta mejor a la IQS En IQS IQS IQS IQS IQS tabla de datos, se obtendrá el modelo teórico del mecanismo de reacción y, desde el punto de vista práctico, se sabrá si seIQS puede variar o no IQS implicado IQS IQS IQS IQS la velocidad de reacción simplemente variando la cantidad de sosa presente IQS en el medio. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

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Este material forma parte del libro: Tomàs, X.; Cuadros, J.; González, L..(2006). Introducción al Cálculo Numérico. Institut Químic de Sarrià. ISBN: 84-611-0645-8.

7. AJUSTE DE ECUACIONES EMPÍRICAS

IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Ejemplo 7.2 IQS IQS IQS IQS IQS de IQS presión (P), volumen IQS Se han determinado IQS las características IQS IQS(V) y IQS temperatura (T) de un gas en diferentes condiciones y para determinados IQS márgenesIQS IQS IQS IQS IQS de las variables. IQS Se deseaIQS IQS en forma IQS IQS expresar esta información de una ecuación empírica de IQS reales. Como primer paso habrá que decidir cuál de las diferentes IQS gases IQS IQS IQS IQS IQS ecuaciones de gases reales existentes hay que utilizar en el intervalo de trabajo: Van der Waals, Dieterici, Kwong, ecuación del virial, etc. IQS IQS En IQS IQS Redlich −IQS IQS definitiva, habrá que valorar que modelos se ajustan adecuadamente a obtenidos y escoger IQS los datosIQS IQSel más adecuado. IQS IQS IQS Seguidamente habrá que ajustar la ecuación escogida a partir de los datos IQS experimentales. IQS IQS IQS IQS IQS IQS En este IQS IQS como abordar IQSambos pasos. IQS IQS capítulo se va a exponer IQS IQS IQS IQS IQS IQS de ajuste de una ecuación empírica incluye diferentes etapas que IQS El procesoIQS IQS IQS IQS IQS conforman la base de la estructura operativa. IQS Estas diferentes IQS etapas delIQS IQS IQS IQS ajuste de una ecuación empírica son: IQS 1. Identificar IQS IQS que conviene IQSajustar. IQS IQS la ecuación empírica los datos, si ello es pertinente, para comprobar la elección de IQS la IQS 2. Rectificar IQS IQS IQS IQS IQS funcionalidad. IQS IQS IQS IQS IQS Detectar posibles puntos erróneos y actuar en consecuencia. IQS 4.3. Ajustar IQS IQS IQS IQS IQS los parámetros de la ecuación empírica. IQS 5. CalcularIQS IQS IQS IQS IQS los errores del ajuste. IQS 6. Comprobar IQSel ajuste, esIQS IQS IQS IQS decir, verificar que representa adecuadamente los la tabla. IQS datos de IQS IQS IQS IQS IQS el ajuste, es decir verificar, que es un modelo útil para posteriores IQS 7. ValidarIQS IQS IQS IQS IQS previsiones. Este último paso, sin embargo queda más allá de los IQS contenidos IQSque se cubrirán IQS IQS IQS IQS en este tema. IQS IQS IQS IQS IQS IQS ante un ajuste IQS pueden establecerse tipos de enfoque, IQS De hecho,IQS IQSa priori dosIQS IQS el objetivo que se pretenda: IQS según seaIQS IQS IQS IQS IQS parte, el que pretende ajustar una función conocida a una serie de IQS • Por unaIQS IQS IQS IQS IQS datos y comprobar si el modelo propuesto es válido. IQS • Y por IQS IQS IQS IQS IQS otra, en el caso de no disponer de modelo teórico es necesario IQS identificar IQS IQS IQS que conduzca IQS a un buenIQS en primer lugar un tipo de funcionalidad IQS ajuste. IQS IQS IQS IQS IQS

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b

bx

b

Introducción al Cálculo Numérico. IQS.

Este material forma parte del libro: Tomàs, X.; Cuadros, J.; González, L..(2006). Introducción al Cálculo Numérico. Institut Químic de Sarrià. ISBN: 84-611-0645-8.

7. AJUSTE DE ECUACIONES EMPÍRICAS

IQS IQS IQS IQS IQS IQS en este segundo caso será necesario una identificación IQS SolamenteIQS IQS IQS realizar IQS IQS tipo de funcionalidad antes de proceder al ajuste y validación del IQS previa delIQS IQS IQS IQS IQS modelo seleccionado. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS de funciones a utilizar IQS 7.1.1 Tipos IQS IQS IQS IQS IQS evidente que si se pretende ajustar una función conocida previamente se IQS Es IQS IQS IQS IQS IQS debe utilizar esta función y no otra. Las funciones conocidas pueden ser IQS teóricas (siIQS IQS IQS IQS IQS responden a un modelo teórico) o empíricas (si simplemente se IQS justifican porque IQS se adecuan IQS IQS IQS IQS bien a los datos) y se ajustan por regresión lineal según sea el tipoIQS de función. IQS o no linealIQS IQS IQS IQS que se pretende es convertir una tabla de datos experimentales en IQS Cuando loIQS IQS IQS IQS IQS una función algebraica (no conocida previamente) se suele recurrir a los IQS siguientesIQS IQS IQS IQS IQS tipos de función: IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS - Funciones IQSde una constante. IQS IQS IQS IQS 2 ó 3 constantes: Entre las queIQS cabe señalar, por IQS - Funciones IQSsimples deIQS IQS IQS y frecuencia de uso, las siguientes: IQS su utilidad IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS y = ax IQS IQS +b Recta IQS IQS IQS IQS y = a IQS IQS x Potencial Exponencial IQS IQS IQS IQS y = a exp(bx) IQS IQS IQS IQS Exponencial IQSinversa IQS y = a exp(b/x) IQS IQS b/x Hipérbola IQS IQS IQS IQS y = a +IQS IQS y = 1/(a + bx) Recíproca de la hipérbola IQS IQS IQS IQS y = x/(a IQS IQS + bx) Michaeliana IQS IQS IQS IQS y = a ln(x)IQS IQS +b Logarítmica + b) Recíproca de laIQS exponencial inversa IQS IQS IQS y = 1/(a ln(x) IQS IQS ae ) Logística IQS IQS IQS IQS y = 1/(1 +IQS IQS +c de 3 constantes IQS IQSExponencialIQS IQS y = a exp(bx) IQS IQS Exponencial inversa de 3 constantes y = a exp(b/x) + c IQS IQS Potencial IQS IQS y = a x IQS IQS +c de 3 constantes IQS IQS Hipérbola IQS IQS bx)+c de 3 constantes IQS y = x/(a +IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

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Introducción al Cálculo Numérico. IQS.

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS 3 constantes que son combinación IQS - Funciones IQSde más de IQS IQS IQSde funcionesIQS 3 constantes. IQS de 2 óIQS IQS IQS IQS IQS - Polinomios: Se resuelven por aproximación y, por tanto, la mecánica es la IQS ya expuesta IQSen el capítulo IQS IQS IQS IQS de interpolación. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Los polinomios IQSpueden ajustarse IQS a cualquierIQS tabla de datos, IQS con un error másIQS o por otra parte IQS presentan la dificultad IQS menos considerable, IQS aunque IQS IQSde la pérdidaIQS IQS de información IQSo interpretación IQSfísica o química. IQS IQS IQS IQS Como último IQS IQS IQS IQS IQS comentario a nivel de introducción, conviene recordar que lo que IQS se pretende IQS IQS que pase IQS es ajustar unaIQS función, es decir,IQS encontrar una función lo posible de los puntos aunque no necesariamente IQS más cercaIQS IQSde la tabla,IQS IQS por losIQS IQS puntos mismos. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 7.2 Identificación IQS de laIQS IQS IQS funcionalidadIQS existente entre dos series de IQS datos. IQS IQS IQS IQS IQS conocer previamente funcionalidad que existe entre dos IQS Caso de noIQS IQS el tipo deIQS IQS IQS datos se acostumbra a recurrir a la identificación del posible tipo de IQS series de IQS IQS IQS IQS IQS funcionalidad bien por vía numérica o bien por vía gráfica. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Identificación por vía numérica IQS 7.2.1 IQS IQS IQS IQS IQS La vía numérica se basa en el estudio de las medias de las variables IQS dependientes IQSe independientes IQSque cumplen IQS IQSde la función.IQS con la ecuación de función relaciona una media de la variable independiente IQS Cada tipo IQS IQS IQS IQS con unaIQS la variable independiente. IQS media de IQS IQS IQS IQS IQS Por ejemplo, en el caso de la recta: IQS IQSy = ax + b IQS IQS IQS IQS IQS IQS ∑ x IQS IQS y ∑ ax + (n + 1)b IQS ∑ (ax + b) = ∑IQS a +b = = 1 IQS IQS n + 1 IQS n + 1 IQSn + 1 n +IQS IQS que la función aplicada sobre la media aritmética de los datos da la IQS se cumpleIQS IQS IQS IQS IQS media aritmética de la variable dependiente. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

232

A

G

H

Aritmética

A

A

A

A

G

A

H

Geométrica

G

G

A

G

G

G

H

Armónica

H

H

A

H

G

H

H

A

G

H

A

G

b

H

Introducción al Cálculo Numérico. IQS.

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7. AJUSTE DE ECUACIONES EMPÍRICAS

IQS IQS IQS IQS IQS IQS de la exponencial inversa: IQS De forma análoga, IQS en el caso IQS IQS IQS IQS b IQS y = ae IQS IQS IQS IQS IQS x IQS IQS IQS IQS IQS IQS 1 1 1 b 1 b b b   n +1   n +1   n +1  IQS  n +1    IQS a e n +1∑IQS IQS x = a x x x = a e  =  ∏ a e IQS = n + 1 ∏ y IQS ∏ ∏ e        IQS    IQS IQS IQS  IQS IQS armónica de losIQS datos a la función IQS se comprueba IQSque la aplicación IQSde la mediaIQS IQS de la variable dependiente. IQS lleva a la media IQSgeométricaIQS IQS IQS IQS Para utilizar estas propiedades se siguen los siguientes pasos: IQS • Se calculan IQSlas medias IQS IQS IQS IQS aritmética, geométrica y armónica de las variables x IQS e y. IQS IQS IQS IQS IQS de x se interpolan los valores de IQS la IQS • Los valores IQSde las medias IQS IQSpara obtenerIQS f(x) en estos puntos. IQS funciónIQS IQS IQS IQS IQS de y y f(x). La menor diferencia presumiblemente IQS • Se comparan IQS los valoresIQS IQS IQS IQS indicará el mejor ajuste. IQS Este método IQS IQS IQS IQS IQS sólo permite escoger entre un reducido grupo de funciones de dos IQS constantesIQS IQS y además sóloIQS comporta una IQS elección a prioriIQS que puede verse afectada por laIQS presencia de puntos por la similitud en IQS seriamenteIQS IQSerróneos oIQS IQS IQS cuanto a exactitud IQS de diferentes IQStipos de ajustes. IQS IQS IQS La vía numérica de elección del tipo de función puede disponerse en una hoja IQS de cálculoIQS IQS IQS IQS IQS de la siguiente forma: IQS IQS IQS y IQS y IQSy IQS IQS IQS f(x IQS ) | f(x )-y IQS | | f(x )-y | IQS | f(x )-y | xIQS f(x IQS ) | f(x )-y IQS | | f(x )-y | IQS | f(x )-y | x IQS IQS IQS f(x ) | | f(x )-y | | f(x )-y | x IQS IQS IQS | f(x )-y IQS IQS IQS IQS Entonces,IQS IQS IQS IQS IQS en función de donde se localice la mínima diferencia, se escoge el IQS tipo de función IQSa priori entreIQS IQSen la tabla adjunta: IQS IQS las que se muestran IQS IQS IQS y IQS y IQS y IQS f(x ) y = axIQS +b y = a exp(bx) bx) IQS IQS IQS y = 1/(a +IQS IQS f(x ) y = a ln(x) + b + b) IQS IQS IQS y = a xIQSy = 1/(a ln(x) IQS IQS f(x ) y = a + b/x y = a exp(b/x) y = x/(a + bx) IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

233

6

y = ax + b

y

5

4

3

2

−b/a

b

1

0

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

-1

-2

Introducción al Cálculo Numérico. IQS.

1

x

1,5

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7. AJUSTE DE ECUACIONES EMPÍRICAS

IQS IQS IQS IQS IQS IQS gráfica IQS 7.2.2 Identificación IQS por vía IQS IQS IQS IQS representar el conjunto de puntos y IQS La vía gráfica IQSde identificación IQSconsiste en IQS IQS IQS comparar el resultado con las funciones que se consideren probables. Requiere IQS prestar especial IQS atención IQS IQS IQS IQS a la presencia de los elementos característicos de IQS cada tipo de IQS IQS IQS IQS IQS función. IQS Esta vía presenta IQS la ventajaIQS IQSa un conjunto IQS de no estar limitada de funciones IQS ni funciones de dosIQS constantes. IQS tampoco queda IQSreducida a IQS IQS IQS importante de la vía gráfica es que permite intuir la presencia de IQS Otra ventaja IQS IQS IQS IQS IQS puntos erróneos. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS A continuación IQS se presentan IQS las representaciones IQS IQS y algunasIQS gráficas funciones de uso más frecuente. IQS características IQSbásicas de las IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS RECTA IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Las características IQS principales IQS IQS IQS IQS de la recta son: IQS √ La linealidad IQS de los datos, IQS IQS IQS IQS de corte con el eje de abscisas en el punto (-b/a; IQS √ La presencia IQS de un punto IQS IQS IQS IQS 0). IQS √ La presencia IQS de un puntoIQS IQS IQS IQS de corte del eje de ordenadas en el punto (0; b). IQS √ La ausencia IQS de asíntotas IQSy puntos destacables IQS (óptimos IQSo puntos deIQS IQS inflexión). IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

7. AJUSTE DE ECUACIONES EMPÍRICAS

234

IQS IQS IQS IQS IQS IQS EXPONENCIAL IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS exponencial tiene como características más destacables: IQS √La función IQS IQS IQS IQS IQS Tiene una asíntota horizontal en el eje de abscisas. IQS √ No presenta IQS puntos deIQS IQS IQS IQS corte con el eje de abscisas; su recorrido está IQS limitadoIQS IQSsigno que a.IQS IQS IQS a valores del mismo eje de ordenadas en el punto (0;IQS a). IQS √ Corta elIQS IQS IQS IQS IQS √ No presenta IQSpuntos de inflexión. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS EXPONENCIAL INVERSA IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Entre las características IQS IQS inversaIQS IQS deben destacarse deIQS la función exponencial IQS las siguientes: IQS IQS IQS IQS IQS una discontinuidad en el eje de IQS √ La función IQStiene dos ramas IQSseparadas por IQS IQS IQS ordenadas. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 12

y = a exp(bx) a>0

y

10

b<0

b>0

8

6

4

a

2

0

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0

y

y=a exp(b/x) a>0

0,2

0,4

0,6

0,8

x

1

5

4,5 4

b<0

3,5 3

2,5 2

1,5 1

b>0

a

0,5 0

-1

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

Introducción al Cálculo Numérico. IQS.

0,6

0,8

x

1

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-1

7. AJUSTE DE ECUACIONES EMPÍRICAS

235

IQS IQS IQS IQS IQS IQS el signo de IQS a y por tanto no corta el eje de IQS √ La función IQStoma siempre IQS IQS IQS IQS abscisas. IQS IQS IQS IQS IQS asíntota horizontal en y = a. IQS √ Para ambas IQSramas, la función IQS presenta una IQS IQS IQS √ Para la rama correspondiente a valores de x con el mismo signo que b, el IQS recorrido IQS IQS IQS IQS IQS de la función está limitado a valores de mismo signo que a y con IQS un valorIQS IQS IQS puntos deIQS IQS absoluto mayor. Esta rama no presenta inflexión. rama está acotada entre 0 y a, tiene IQS √ La otraIQS IQS IQSforma sigmoidea IQSy presenta unIQS inflexión. IQS punto de IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS POTENCIAL IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS La forma IQS IQS dependeIQS IQS IQS de la función potencial del valor de sus parámetros pero b. IQS especialmente IQSdel valor deIQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Para el caso de valores estrictamente positivos (x > 0) de la variable IQS independiente, IQSestos son los IQS IQS IQS IQS valores de interés en la mayoría de aplicaciones IQS científicas,IQS IQS IQS IQS IQS y de forma general: IQS √ La función IQS IQS siempre tieneIQS el mismo signo IQS que el parámetroIQS a. es monótonaIQS y no presenta niIQS óptimos ni puntos de inflexión. IQS IQS √ La función IQS IQS que 0, entonces: IQS Si el parámetro IQSb es mayorIQS IQS IQS IQS √ La función pasa por el origen de coordenadas y no presenta asíntotas. IQS Si el parámetro IQSb es negativo, IQS IQS IQS IQS entonces: IQS √ La función IQS IQS y presenta IQSasíntotas enIQS IQS tiene forma hiperbólica ambos ejes. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS b

a>0

4

b>1

3

0
2 1 0

-1

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

-1

b<0

-2 -3 -4 -5

Introducción al Cálculo Numérico. IQS.

0,6

0,8

1

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5

y=a x

7. AJUSTE DE ECUACIONES EMPÍRICAS

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS negativos de IQS x, la función sóloIQS está definida para valores enteros IQS Para valores IQS IQS IQS caso, la función será simétrica respecto al eje de ordenadas (si b IQS de b. En este IQS IQS IQS IQS IQS es par) o simétrica respecto al origen (si b es impar). IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS HIPERBOLA IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS hiperbólica consiste IQS La funciónIQS IQS en una hipérbola IQS desplazada IQSverticalmenteIQS a. Sus características principales IQS tantas unidades IQS como indique IQSel parámetroIQS IQS IQS son que: IQS √ Presenta IQS IQS IQS IQS IQS dos ramas separadas para valores de x positivos y valores de x IQS negativos. IQS IQS IQS IQS IQS una asíntota IQS vertical en el ejeIQS de ordenadas IQS (y por tanto no IQS lo IQS √ Presenta IQS y una asíntota horizontal para ambos extremos IQS cruza) IQS IQS en y = a IQS IQSdel dominio.IQS el eje de abscisas en el punto (-b/a; 0). IQS √ Cruza IQS IQS IQS IQS IQS IQS También IQS IQS IQS IQS IQS son funciones hiperbólicas, las dos funciones descritas a IQS continuación, IQS IQS de la hipérbola IQSy la funciónIQS IQS la función recíproca michaeliana. IQS IQS IQS IQS IQS IQS recíproca de la hipérbola es una hipérbola desplazada IQS La funciónIQS IQS IQS IQS IQS horizontalmente. Como tal: IQS √ Presenta IQS IQS IQS IQS IQS una asíntota vertical en x = -b/a y una asíntota horizontal en el eje IQS de abscisas IQSpara ambosIQS IQS IQS IQS extremos del dominio. IQS √ Presenta IQS IQS para valores IQS dos ramas separadas de x mayoresIQS y menores que IQS la siendo si el IQS parámetro a esIQS positivo la primera IQS asíntota, IQS IQSrama la queIQS IQS corresponde IQSa valores positivos IQS de la función. IQS IQS IQS y

y=a+b/x

5

4,5

4

3,5

3

2,5

1,5

a

1

−b/a

0,5

b>0

0

-1

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

Introducción al Cálculo Numérico. IQS.

0,6

0,8

x

1

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2

b<0

7. AJUSTE DE ECUACIONES EMPÍRICAS

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS el eje de ordenadas en el punto (0;IQS -1/b). IQS √ Cruza IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS RECIPROCA DE LA HIPERBOLA IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS MICHAELIANA IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS La funciónIQS IQS horizontal IQS IQS michaeliana esIQS una hipérbola desplazada y verticalmente que la función IQS pasa por el origen de coordenadas. Por tanto, IQS de tal formaIQS IQS IQS IQS asíntota vertical en x = -b/a y una asíntota IQS √ La función IQSpresenta una IQS IQS IQS IQS horizontal en y = 1/a. IQS √ La función IQSpresenta dosIQS IQS IQS IQS ramas, una a cada lado de la asíntota vertical, IQS ningunaIQS IQS puntos deIQS IQS IQS de las cuáles presenta inflexión. IQS √ La función IQS IQS IQS IQS IQS sólo cruza los ejes en el origen (0; 0). IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 10

y=1/(ax+b)

8 6 4

a<0

2

1/b

0

-1

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0,4

0,6

0,8

1

-2

a>0

-b/a

-4

-8

-10

5

y=x / (ax + b)

4

1/a

a>0

3 2 1 0

-1

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0

0,2

-1

a<0

-b/a

-2 -3 -4 -5

Introducción al Cálculo Numérico. IQS.

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7. AJUSTE DE ECUACIONES EMPÍRICAS

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS LOGISTICA IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS La función logística presenta como principal característica que o bien está IQS acotada IQS IQS IQS IQS IQS en el intervalo (0; 1) cuando el parámetro a es positivo, o bien si a es IQS negativo IQS IQS IQS IQS IQS siempre es negativa o mayor que la unidad. Otra característica IQS relevante IQS IQS IQS (y = 0IQS IQS es la presencia de dos asíntotas horizontales e y = 1). es positivo, IQS Cuando aIQS IQS IQS IQS IQS tiene forma sigmoidea y presenta un punto de inflexión. IQS √ La función IQS IQS IQS IQS IQS √ La función corta el eje de ordenadas en el punto (0; 1/(1+a)). IQS Si a es negativo, IQS la funciónIQS IQS IQS IQS presenta un asíntota vertical en x = -ln(a)/b y no IQS presenta óptimos IQS ni puntosIQS IQS IQS IQS de inflexión. IQS IQS IQS IQS IQS IQS LOGARITMICA IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS La función logarítmica sólo está definida para valores positivos de x. Además, IQS √ Es monótona IQS y no presenta IQSpuntos de inflexión. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 5

y=1 / (1 + a exp(bx))

4 3

-ln a / b

a<0 b>0

2 1

a>0 b>0

0

-1

a<0 b<0

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,4

1,6

1,8

1

-1 -2 -3 -4

4

y

y = a ln(x) + b

3

exp(− b / a)

2

a<0

1 0

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

-1 -2

a>0

-3 -4 -5 -6

Introducción al Cálculo Numérico. IQS.

x

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Este material forma parte del libro: Tomàs, X.; Cuadros, J.; González, L..(2006). Introducción al Cálculo Numérico. Institut Químic de Sarrià. ISBN: 84-611-0645-8.

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS una asíntota vertical ordenadas (x =IQS 0). IQS √ Presenta IQS IQS en el eje deIQS IQS el eje de abscisasIQS en el punto (exp(-b/a);0) IQS √ Cruza IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS RECIPROCA DE LA EXPONENCIAL INVERSA IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Para terminar, IQSla función recíproca IQS de la IQS IQSpresenta lasIQS exponencial inversa IQS características IQSsiguientes: IQS IQS IQS IQS definida paraIQS valores de x mayores tiende al origenIQS y IQS √ Sólo está IQS IQS que cero,IQS un punto de inflexión. IQS presenta IQS IQS IQS IQS IQS √ No corta a los ejes y presenta una asíntota vertical en x = exp(-b/a) y un IQS asíntotaIQS IQS IQS IQS IQS horizontal en el eje de abscisas. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 7.3 Rectificación. IQS IQS IQS IQS IQS paso más importante en el ajuste de una ecuación empírica sea la IQS Tal vez elIQS IQS IQS IQS IQS rectificación. Como ya se ha expuesto en el capítulo de representaciones IQS gráficas, IQS IQS IQS IQS IQS se entiende por rectificar una función el representarla utilizando IQS escalas tales IQS IQS corresponda IQSa una líneaIQS IQS que su representación recta. IQS Esto significa IQS IQS que función IQS IQS que debe escogerse se situará enIQS el eje de abscisas se situará enIQS el de ordenadas IQS (escalas funcionales). IQS y que función IQS IQS IQS la rectificación de una función exponencial inversa será: IQS Por ejemplo, IQS IQS IQS IQS IQS b b IQS IQS IQS IQS IQS y = IQS ae x ⇒ ln y = ln a + x IQS Para lograrIQS IQS IQS IQS IQS la rectificación será necesario definir el eje de ordenadas como una IQS escala logarítmica IQS y el eje de IQS IQS IQS abscisas comoIQS una escala de inversos. IQS IQS IQS IQS IQS IQS 8

y=1/ (a ln(x) + b)

6

exp(-b/a)

4

a<0

2

0

a>0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

-2

-4

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS en el caso de IQS una función exponencial los cambios de IQS Por tanto,IQS IQS inversa,IQS IQS Y = ln y y X = 1/x conducen a Y = AX + B, la IQS variable (escalas IQS funcionales) IQS IQS IQS IQS ecuación de la recta a representar. IQS Si se considera IQSla función logística: IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 1 IQS IQS IQS y= IQS IQS IQS 1 + aebx IQS IQS IQS 1 − 1 = ae bx IQS IQS IQS IQS IQS IQS y IQS IQS IQS IQS IQS IQS 1  ln  − 1 = ln a + bx IQS IQS IQS y  IQS IQS IQS de variable a realizar − y)/y] y X = IQS x, y las constantes IQS el cambio IQS IQSserá: Y = ln[(1 IQS IQS la recta resultante serán A = b y B = ln a. IQS de IQS IQS IQS IQS IQS La rectificación permite ver si realmente los datos siguen la función escogida y IQS por tanto comprobar IQS que seIQS IQS IQS IQS ajustan a dicho modelo. Además permite detectar IQS provisionalmente IQS algún punto IQS IQS IQS erróneo, aquél cuya distanciaIQS a la recta es muy la distancia del segundo distante a la misma. IQS superior aIQS IQS punto más IQS IQS IQS operativa, una vez seleccionada la función, es la siguiente: IQS La secuencia IQS IQS IQS IQS IQS • Se rectifica la misma decidiendo que tipo de escala ha de corresponder a IQS las ordenadas IQS y cual a lasIQS IQS IQS IQS abscisas. IQS • Se representan IQS los datos IQSutilizando dichas IQS escalas funcionales IQS o bienIQS IQS escalasIQS IQS los datos IQS IQS métricas. Si rectifican, siguen la función,IQS en caso contrario pensar en otras funciones. IQS habrá que IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Ejemplo 7.3 IQS IQS IQS IQS IQS IQS la funcionalidad que relaciona los datos de la tabla adjunta: IQS Determinar IQS IQS IQS IQS IQS x y x y IQS IQS IQS IQS IQS IQS 1,00 0,8000 10,75 1,2081 1,73 0,9899 11,27 1,2101 IQS IQS IQS IQS IQS IQS 2,71 1,0839 12,43 1,2138 4,27 13,76 1,2173 IQS IQS IQS IQS 1,1446 IQS IQS 5,77 1,1720 15,09 1,2202 7,24 16,15 1,2221 IQS IQS IQS IQS 1,1878 IQS IQS 8,00 1,1938 17,62 1,2245 9,13 19,10 1,2264 IQS IQS IQS IQS 1,2007 IQS IQS 10,12 1,2055 IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

7. AJUSTE DE ECUACIONES EMPÍRICAS

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IQS IQS IQS IQS IQS IQSpara la identificación IQS por vía numérica IQS son: IQS IQS Los cálculos IQS IQS IQS y_aIQS y_g IQS y_h 1,1600 1,15409806 1,14702351 IQS IQS IQS IQS IQS x_a 9,77294118 1,20381729 0,04377611 0,04971923 0,05679378 x_g 7,64914781 1,19103011 0,03098894 0,03693205 0,04400661 IQS IQS IQS IQS IQS x_h 5,00267342 1,1579835 -0,00205768 0,00388544 0,01095999 IQS IQS IQS IQS IQS La representación gráfica de los datos es: IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 1,40 y IQS IQS IQS IQS IQS 1,20 IQS IQS IQS IQS IQS 1,00 IQS IQS IQS IQS IQS 0,80 IQS IQS IQS IQS IQS 0,60 IQS IQS IQS IQS IQS 0,40 IQS0,00 5,00 IQS 10,00 IQS IQS 15,00 20,00 IQS 25,00 x IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS La vía numérica apunta a la función hiperbólica como relación entre las IQS IQS variables. Por vía gráfica,IQS se observan dosIQS asíntotas y una de ellas puede IQS corresponder a la recta x = 0, de forma que la opción por una hipérbola IQS En consecuencia IQS se construye IQS el gráfico IQS parece razonable. y vs. 1 / x para IQS comprobar que con estos datos se obtiene una recta y = a + b / x. IQS IQS IQS IQS IQS 1,40 IQS IQS IQS IQS IQS y IQS IQS IQS IQS IQS 1,20 IQS IQS IQS IQS IQS 1,00 IQS IQS IQS IQS IQS 0,80 IQS IQS IQS IQS IQS 0,60 IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 0,40 1,20 IQS0,00 0,20IQS0,40 0,60IQS0,80 1,00IQS IQS 1/x IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Introducción al Cálculo Numérico. IQS.

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

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i

i

j

j

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–1

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 7.4 Ajuste. IQS IQS IQS IQS IQS que se han desarrollado para la determinación de IQS De los numerosos IQS métodosIQS IQS IQS IQS las constantes de los diferentes tipos de funciones, sólo se van a exponer IQS aquellos que IQS IQS IQS IQS IQS tienen utilidad práctica y son sencillos de aplicar. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 7.4.1 Método de los puntos seleccionados IQS El métodoIQS IQS IQS IQS IQS de los puntos seleccionados consiste en tomar un conjunto de IQS puntos deIQS IQS IQS IQS IQS la tabla de datos y utilizarlos para resolver el sistema de ecuaciones IQS de los parámetros IQS de la función. IQS IQS IQS IQS si se trata de ajustar exponencial: IQS IQS Por ejemplo, IQS IQS una funciónIQS IQS yi e bx IQS IQS y i = aIQS IQS IQS b(x − x ) IQS = e bx yj e IQS IQS  y j = aIQS IQS IQS IQS yi  IQS IQS IQS IQS IQS  ln IQS  yj  y i  a= IQS IQS b = (x IQS IQS IQS IQS i − x j) e bx IQS Este método IQS IQS IQS IQS IQS presenta como principal inconveniente el elevado error que se IQS puede cometer IQSen función de IQS IQS Cuando se IQS IQS los puntos escogidos. utiliza se suelen posible que estén entre sí. IQS escoger puntos IQSfiables y a ser IQS IQSlo más alejados IQS IQS con tres constantes se utiliza para IQS estimar una de las IQS En funciones IQS IQS solamenteIQS IQS constantes y aún así como primer valor aproximado. IQS Su ventajaIQS IQS IQS IQS IQS es la sencillez de aplicación y hacer innecesaria su rectificación. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Ejemplo 7.4 IQS IQS IQS IQS IQS IQS Según laIQS IQS IQS(EPA), la concentración IQS letal IQS US Environmental Protection Agency un 50% de la población (LD50 en µg L ) de un metal pesado en agua IQS para IQS IQS IQS IQS IQS depende de la dureza del agua (D en mg L de CaCO ) y se puede a partir de la siguiente IQS determinar IQS IQS expresión: IQS IQS IQS ln (LD50 ) = a ⋅ ln D+b IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS dependiendo IQSlas constantes IQS IQS a y b de cadaIQS metal pesado. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

7. AJUSTE DE ECUACIONES EMPÍRICAS

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS A partir de los datos de laIQS tabla adjunta, que corresponden a los valores de IQS toxicidad para aguas de diferente dureza contaminadas con cadmio, IQS IQS IQS IQSpropuesta IQS determine, para dicho metal, los parámetros a y b de la ecuación por la EPA. IQS IQS IQS IQS IQS D (mg/L D (mg/L D (mg/L LD50 (µ µg/L)IQS LD50 (µ µg/L) IQS IQS IQSLD50 (µµg/L)IQS CaCO ) CaCO ) CaCO ) 5,00 0,134IQS 40,00 1,395 75,00 2,835 IQS IQS IQS IQS 10,00 0,292 45,00 1,593 80,00 3,049 15,00 0,461IQS 50,00 1,795 85,00 3,265 IQS IQS IQS IQS 20,00 0,638 55,00 1,998 90,00 3,483 25,00 2,204 95,00 3,702 IQS 0,821IQS 60,00 IQS IQS IQS 30,00 1,009 65,00 2,413 100,00 3,922 35,00 2,623 IQS 1,200IQS 70,00 IQS IQS IQS IQS gráficaIQS IQS IQS La representación de los datos es: IQS IQS IQS IQS IQS IQS 4,5 IQS IQS IQS IQS IQS 4,0 IQS IQS IQS IQS IQS 3,5 IQS IQS IQS IQS IQS 3,0 IQS IQS IQS IQS IQS 2,5 IQS IQS IQS IQS IQS 2,0 1,5 IQS IQS IQS IQS IQS 1,0 IQS IQS IQS IQS IQS 0,5 IQS IQS IQS IQS IQS 0,0 IQS IQS 40 60IQS 80 100IQS120 IQS 0 20 DIQS (mg / L) IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS El gráfico no muestra ningún punto erróneo, por tanto, para resolver el IQS IQS IQS se pueden IQSescoger el IQS problema por el método de los puntos seleccionados primer y el último punto. Por tanto el sistema a resolver es: IQS IQS IQS IQS IQS 0,134 = ln 5 ⋅ a + b  lnIQS IQS IQS IQS IQS  ln 3 , 922 = ln 100 ⋅ a + b  IQS IQS IQS IQS IQS − 2,00991548 = 1,60943791⋅ a + b  IQS IQS = 4,60517019 IQS ⋅ a + b IQS IQS  1,36660173 IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 3

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LD50 (ug / L)

IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

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2

n+1

i

k ,i

j

i=0

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS cuya resolución IQS lleva a: IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQSba == 1-,312710913 IQS IQS IQS ,82392765 IQS IQS IQS IQS IQS IQS Por consiguiente, la función que ajusta los datos de toxicidad del cadmio IQS soluble enIQS IQS IQS IQS IQS agua en función de la dureza del agua resulta ser: IQS IQS IQS IQS ln (IQS LC50) = 1,12711 lnIQS D − 3,82393 IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS cuadrados (LSM) IQS 7.4.2 Método IQSde mínimosIQS IQS IQS IQS aunque no siempre adecuado, es sin embargo el más IQS Este método, IQS IQS es el másIQS IQS IQS en las aplicaciones habituales ya que tiene importantes implicaciones IQS utilizado IQS IQS IQS IQS IQS matemáticas y estadísticas que permiten una mejor explotación de sus IQS resultados.IQS IQS IQS IQS IQS IQS En cualquier IQS IQSo Cálculo seIQS IQS IQS texto de Algebra puede encontrar la deducción del lo tanto en este momento bastaIQS recordar que elIQS criterio propuesto IQS mismo, porIQS IQS IQS en 1801 para establecer la “mejor” función es: IQS por GaussIQS IQS IQS IQS IQS = ∑ [ y − f (x b IQS ) ] → mínimo IQS IQS IQS SQRIQS IQS IQS donde SQR IQSes la sumaIQS IQS IQS IQS de los cuadrados de las residuales, y éstas IQS corresponden IQSa la diferencia IQS IQSexperimentales IQSde la variableIQS entre los valores y los calculados que según esta IQS dependiente IQS IQSsegún la función. IQS ObserveIQS IQS la función puedeIQS ser de cualquier IQS tipo, el subíndiceIQS j indica el número IQS definición IQS IQS parámetros a ajustar y el subíndice k el número de variables independientes IQS de IQS IQS IQS IQS IQS que se consideran. IQS AplicandoIQS IQS IQS IQS IQS la condición de mínimo a la función SQR, (∂ SQR ∂ b j ) = 0 , se IQS obtiene elIQS IQS IQS IQS IQS sistema de j ecuaciones cuya solución lleva a los valores de los b IQS parámetrosIQS IQS IQS IQS de la función a IQS ajustar. se aplica sobre una función deIQS una variable independiente IQS Si el método IQS IQS IQS (x) conIQS y dicha funciónIQS se ha rectificado, las variables IQS a IQS dos parámetros IQS de ajusteIQS IQS son X e Y. En tal caso la relación existente entre estas dos variables IQS considerar IQS IQS IQS IQS IQS será siempre una línea recta y por lo tanto se puede utilizar un polinomio de IQS aproximación IQSde primer grado IQSpara determinar IQSlos parámetros IQSA y B de IQS la IQS función rectificada: IQS IQS IQS IQS IQS

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS (n + 1)∑ XY −IQS IQS IQS IQS IQS IQS ∑ X∑ Y A= (n + 1)∑ X 2 −IQS (∑ X) 2 IQS IQS IQS IQS IQS Y∑ X 2 − ∑ X∑ XY ∑ IQS IQS IQS IQS IQS IQS B= 2 (∑ X) (n + 1)∑ X 2 −IQS IQS IQS IQS IQS IQS función empírica original se calcularán a partir de A IQS Los parámetros IQSa y b de laIQS IQS IQS IQS y B, teniendo en cuenta los cambios realizados para lograr la rectificación de la IQS función. IQS IQS IQS IQS IQS IQS El principalIQS IQS IQS IQS problema de este método es suIQS sensibilidad a los puntos erróneos, IQS de forma IQS IQScuidado paraIQS IQS antes deIQS que se deberá tener detectarlos y eliminarlos ajustada. Si existen IQS dar por buena IQSla función IQS IQSpuntos erróneos IQSen los datosIQS y no se eliminan previamente, puede optarse, como alternativa, por IQS originales IQS IQS IQS IQS IQS la aplicación de métodos robustos que se expondrán al final de este capítulo. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Ejemplo 7.5 IQS IQS IQS IQS IQS IQS Para resolver IQSpor mínimosIQS IQS IQS IQS cuadrados el problema del Ejemplo 7.4, dado que propuesta ya está rectificada, basta obtener el logaritmo IQS la funciónIQS IQS IQS IQS natural deIQS los datos. IQS IQS IQS IQS IQS IQS D (mg/L CaCO ) X = ln D Y = ln LD50 LDC50 (µ µg/L) 1,60943791 − 2,00991548 IQS IQS 5 IQS0,134 IQS IQS IQS 10 0,292 2,30258509 − 1,23100148 2,7080502 − 0,77435724 IQS IQS 15 IQS0,461 IQS IQS IQS 20 0,638 2,99573227 − 0,449417 3,21887582 IQS IQS 25 IQS0,821 IQS IQS IQS − 0,19723217 30 1,009 3,40119738 0,00895974 IQS IQS 35 IQS1,200 IQS 3,55534806 0,18232156 IQS IQS 40 1,395 3,68887945 0,33289442 IQS IQS 45 IQS1,593 IQS IQS IQS 3,80666249 0,46561903 50 1,795 3,91202301 0,58500502 IQS IQS 55 IQS1,998 IQS IQS IQS 4,00733319 0,69214668 60 2,204 4,09434456 0,79027389 IQS IQS 65 IQS2,413 IQS IQS IQS 4,17438727 0,88087079 70 2,623 4,24849524 0,9643187 IQS IQS 75 IQS2,835 IQS IQS IQS 4,31748811 1,04204194 80 3,049 4,38202663 1,11481367 IQS IQS 85 IQS3,265 IQS IQS IQS 4,44265126 1,18325976 4,49980967 1,24789399 IQS IQS 90 IQS3,483 IQS IQS IQS 95 3,702 4,55387689 1,30887321 4,60517019 1,36660173 IQS IQS 100 IQS3,922 IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

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i

i

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Los cálculos IQSparciales paraIQS IQS IQS la determinación de los parámetros de la recta IQS IQS son: nIQS IQS X = 74,524375 IQS X 2 = 290 IQS IQS + 1 = 20 ,24366 ∑ ∑ IQS IQS IQS IQS IQS IQS X Y = 42,113627 ∑ ∑ Y = 7,5039708 IQS Los valores IQS IQS IQS IQS IQS de los parámetros de la recta (Y=AX+B) y los de la función son: IQS IQS IQS IQS IQS IQS A = a = 1,127706136 IQS IQS IQS IQS IQS IQS B = b = − 3,82688119 IQS La función IQS IQScuadrados es:IQS IQS ajustada por elIQS método de mínimos IQS IQS IQS IQS IQS ln (LC 50) = 1,12771 lnIQS D − 3,82688 IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Otros métodos IQSde ajuste utilizados IQS son: IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS de los promedios de la mediana simple IQS • MétodoIQS IQS• Método IQS IQS IQS de los momentos • Método de la mediana repetida IQS • MétodoIQS IQS IQS IQS IQS • Método LAD o LAV • Método LMS IQS • MétodoIQS IQS IQS IQS IQS LTS • Método de mínimos cuadrados ponderados IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 7.5 Análisis IQSde residuales. IQS IQS IQS IQS de residuales es una herramienta sencilla que facilita la detección de IQS El análisisIQS IQS IQS IQS IQS puntos erróneos y la comprobación del ajuste de una ecuación empírica, es IQS decir su validación. IQS IQS IQS IQS IQS IQS Una formaIQS IQS es la representación IQS de realizar el IQS análisis de residuales de IQS la = y – f(x) frenteIQS a x. IQS función g(x)IQS IQS IQS IQS esta representación con los valores de IQS Para realizar IQS IQS hay que construir IQS una tablaIQS IQS ) para cada uno de los valores tabulados de x . IQS yEn–laf(xrepresentación IQS se puede IQS IQS IQS IQS observar si la función propuesta se ajusta o no a IQS los datos. IQS IQS IQS IQS IQS IQS Si el ajusteIQS IQS en el análisis IQS IQS es correcto, entonces de residualesIQS se ha de observar IQS que: IQS IQS IQS IQS IQS eje de abscisas. IQS • Las residuales IQS están centradas IQS entorno alIQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS residuales sigueIQS la ley normal de probabilidad (la IQS
La distribución IQS de las IQS IQS IQS de residuales están cercanas al eje y a medida que aumenta la IQS mayoríaIQS IQS IQS IQS IQS distancia al mismo disminuye el número de residuales). IQS
Las residuales IQS no presentan IQS ningunaIQS IQS IQS funcionalidad o tendencia ni IQS autocorrelación. IQS IQS IQS IQS IQS IQS
La dispersión IQS de las residuales IQS es constante IQS IQS IQS (homocedasticidad). IQS IQS IQS IQS IQS IQS presenta funcionalidad, o no está centrado respecto al eje de IQS Si el gráfico IQS IQS IQS IQS IQS abscisas, el ajuste es defectuoso ya sea porque la función no es la adecuada o IQS porque el IQS IQS IQS IQS IQS ajuste se ha realizado de forma incorrecta. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Ajuste Ajuste incorrecto. IQS IQScorrecto. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 7.6 Errores IQSde la función IQS IQS IQS IQS ajustada. IQS Para estimar IQSla bondad deIQS IQS se utilizan,IQS IQS la función ajustada entre otros, dos IQS parámetrosIQS de error: el error IQS cuadrático medio IQS y el error relativo IQS medio. IQS el caso de la aproximación polinomial, cuadrático permite IQS Como en IQS IQS IQS el error IQS IQS varias expresiones mientras que el error relativo medio informa del IQS comparar IQS IQS IQS IQS IQS error de los cálculos que se puedan realizar con la función. Las expresiones de IQS cálculo sonIQS IQS IQS IQS IQS las que ya se han visto en capítulos anteriores: IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS2 ∑ (y i − fIQS IQS IQS (x i ))2 Varianza: σ = + 1) IQS IQS IQS n + 1 − (mIQS IQS IQS IQS Error cuadrático IQS medio: IQS IQS IQS (y i − fIQS (x i ))2 ∑ σ= + 1) IQS IQS IQS n + 1 − (mIQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS y i − f (xIQS IQS IQS ) ∑ y i i IQS IQS Error relativo IQS IQS IQS IQS medio: e(%) = ⋅ 100 n +1 IQS en las queIQS IQS IQS IQS IQS (n + 1) es el número de puntos y (m + 1) el número de parámetros IQS (constantes) IQS IQS IQS IQS IQS ajustados. se calculan siempre estudio y nunca IQS Estos errores IQS IQS sobre la variable IQS objetivo de IQS IQS o manipulada. IQS sobre la expresión IQS rectificada IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 7.7 Detección IQS de puntosIQS IQS de aproximación. IQS IQS erróneos en problemas pueden establecer IQS En la detección IQSde puntos erróneos IQS o anómalos IQS(outliers) se IQS IQS la intuición deIQS su presencia y IQS la comprobaciónIQS de su naturaleza IQS dos etapas: IQS IQS IQS anómala. IQS IQS IQS IQS IQS IQS 7.7.1 Intuición IQS de la presencia IQSde puntosIQS IQS IQS anómalos IQS Normalmente IQS IQS se detectan IQSsobre algunoIQS IQS los puntos erróneos de los diferentes se construyenIQS en el proceso de ajuste de una ecuación IQS gráficos que IQS IQS IQS empírica:IQS la tabla de datos, gráfico de los datos rectificados y del análisis de IQS gráfico deIQS IQS IQS IQS IQS residuales. Esta es una de las razones por las que se recomienda que siempre IQS que se proceda IQSal ajuste deIQS IQS IQS IQS una función se construya alguno de estos gráficos. IQS De los tresIQS IQS de puntosIQS gráficos, el másIQS sensible a la presencia erróneos y por IQS lo permite detectarlos seguridad es el IQS correspondiente IQS al IQS tanto el que IQS IQScon mayorIQS residuales. IQS análisis deIQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 1,2 IQS IQS IQS IQS IQS IQS 1 IQS IQS IQS IQS IQS 0,8 IQS 0,6 IQS IQS IQS IQS IQS IQS 0,4 IQS IQS IQS IQS IQS 0,2 IQS 0 IQS IQS IQS IQS IQS 2,5 3 1,5 1 IQS -0,20 IQS 0,5 IQS IQS 2 IQS IQS -0,4 IQS IQS IQS IQS IQS IQS (recuerde que se representan las IQS En los gráficos IQS de residuales IQSanteriores IQS IQS IQS (y – y valor de x) se muestran algunas IQS diferenciasIQS IQS) para cadaIQS IQS IQS situaciones en las que puede concluirse la existencia de puntos erróneos. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Comprobación de puntos sospechosos IQS 7.7.2 IQS IQS IQS IQS IQS La comprobación de puntos sospechosos se realiza desde la óptica estadística. IQS Un criterioIQS IQS IQSrobusto de IQS utilizado es la determinación del IQS valor de un estimador la estándar de las IQS residuales. IQS desviaciónIQS IQS IQS IQS  IQS 5 IQS IQS IQS σˆ = 1,4826 ⋅ 1IQS +  Med ({(y − f (x IQS ) ) }) ( n + 1 ) − ( m + 1 )   IQS IQS IQS IQS IQS IQS donde (n + 1) es el número de puntos, (m + 1) el número de parámetros y Med IQS la función IQS IQS IQS IQS IQS mediana. IQS Se consideran IQSerróneos losIQS IQS IQS IQS puntos para los que su residual al cuadrado es (2,5 σˆ ) . IQS superior aIQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 7.7.3 Consideraciones IQS IQSen la detección IQS de puntosIQS aIQS tener en cuenta IQS erróneos IQS IQS IQS IQS IQS proceder a un ajuste mínimos cuadrados IQS Antes de IQS IQSnumérico por IQS IQS es siempreIQS representar gráficamente los datos y tener presente las IQS recomendable IQS IQS IQS IQS IQS siguientes recomendaciones: IQS • En un IQS IQS IQS IQS IQS ajuste por mínimos cuadrados puede ocurrir que los puntos erróneos IQS no seanIQS IQS IQS IQS detectables si no se efectúa el IQS ajuste sin tenerlos en cuenta. Hay puntos erróneos IQS realmente lo sonIQS a partir del ajuste IQS que comprobar IQS que los IQS IQS sin ellos. IQS obtenidoIQS IQS IQS IQS IQS calculada

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS erróneo puede enmascarar otros. ha detectado IQS y IQS • Un punto IQS IQS IQSUna vez seIQS un punto erróneo hay que verificar que no existen más. IQS eliminado IQS IQS IQS IQS IQS 20% de puntos erróneos hay que recurrir, IQS • Si existe IQSmás de unIQS IQS IQS IQS necesariamente, a métodos robustos para identificarlos. IQS • Los puntos IQSerróneos enIQS IQS IQS IQS los extremos de la tabla son difíciles de detectar. La IQS presencia IQS IQS IQS IQS también IQS de otros puntos erróneos puede hacer que aquellos lo No hay que descartar terminales si IQS no se está seguro IQS parezcan. IQS IQS los puntos IQS IQS son erróneos. IQS de que IQS IQS IQS IQS IQS Una vez detectados y comprobados, los puntos erróneos se eliminan y el IQS • ajuste IQS IQS IQS IQS IQS se efectúa sin tenerlos en cuenta. IQS Un procedimiento IQS habitual IQS IQS IQS consiste en usarIQS un método robusto de ajuste para IQS detectar losIQS IQS IQSel método deIQS puntos anómalos (outliers) y aIQS continuación utilizar los puntos no descartados. IQS mínimos cuadrados IQS para ajustar IQSla función aIQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Ejemplo 7.6 IQS IQS IQS IQS IQS IQS El número adimensional ψ se utiliza en Termodinámica aplicada para la IQS estimación IQS IQS de la entalpía IQS de vaporización de un compuestoIQS químico. Uno deIQS los modelos más simplesIQS de ajuste de ψ con la temperaturaIQS corresponde a laIQS IQS expresión: IQS IQS 2 IQS IQS IQS  T IQS IQS IQS  ψ = a  b IQS IQS IQS  T + IQS IQS IQS TIQS es la temperatura en K y a y b sonIQS los parámetros IQS del ajuste. IQS donde IQS IQS La tabla adjunta presenta los valores de ψ a diferentes temperaturas (T en K) IQS para el perfluoropropano. IQS IQS IQS IQS IQS T (K) ψ IQS IQS IQS T (K) IQSψ IQS IQS 195 7,88306 220 7,54313 IQS IQS 200 IQS IQS IQS IQS 7,80633 225 7,48645 7,73438 230 7,43283 IQS IQS 205 IQS IQS IQS IQS 210 7,66777 235 7,38203 7,60314 IQS IQS 215 IQS IQS IQS IQS de estos datos: IQS IQS Aa) partir IQS IQS IQS IQS Rectificar el modelo propuesto. Ajustar los parámetrosIQS a y b del modelo. IQS b)c) Determinar IQS IQS IQS IQS el error relativo medio y el error cuadrático medio del ajuste. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 1 =IQS IQS b 1 1 La expresión propuesta se rectifica de la forma: + ψ IQS aT a IQS IQS IQS IQS b IQS IQS IQS X = 1IQS IQS A= T a de formaIQS que, si Y=AX+B,IQS se tiene: IQS IQS 1IQS 1 Y= B= ψ a IQS IQS IQS IQS IQS La tabla de datos ya rectificada es: IQS IQS IQS IQS IQS (K) 1/T 1/ψ ψ ψ IQS T195 IQS IQS0,3561661 IQS IQS 7,88306 0,00512821 7,80633 0,00500000 0,35791224 IQS 200 IQS0,35957314 IQS IQS 205 IQS 7,73438 0,00487805 7,66777 0,00476190 0,36113157 IQS 210 IQS0,36266321 IQS IQS 215 IQS 7,60314 0,00465116 7,54313 0,00454545 0,36410296 IQS 220 IQS IQS IQS IQS 225 7,48645 0,00444444 0,36547867 7,43283 0,00434783 0,36679457 IQS 230 IQS IQS IQS IQS 235 7,38203 0,00425532 0,36805447 IQS IQS IQS IQS IQS El gráfico rectificado es: IQS IQS IQS IQS 1/ ψ IQS 0,37 IQS IQS IQS IQS IQS 0,368 0,366 IQS IQS IQS IQS IQS 0,364 IQS IQS IQS IQS IQS 0,362 IQS IQS IQS IQS IQS 0,36 0,358 IQS IQS IQS IQS IQS 0,356 IQS IQS IQS IQS IQS 0,354 IQS IQS IQS0,0048 0,005 IQS 0,0052 IQS 0,004 0,0042 0,0044 0,0046 IQS IQS IQS IQS1/T IQS Aplicando el método de mínimos cuadrados, los parámetrosIQS de la recta y losIQS IQS IQS IQS del ajuste resultan: A = -13,6226854 IQS IQS IQS IQS IQS B = 0,42602202 IQS IQS IQS IQS IQS 1 a= = 5,50980089 IQS IQS IQS IQS IQS B2 A IQS IQS IQS IQS IQS b = = − 31,976482 B IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 0,5

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 2 IQS T   La función que se ajusta a los datos es:   IQS IQS IQSψ = 5,50980 IQS  T − 31,9765  IQS IQS se calculaIQS IQS IQS A continuación el cuadro para laIQS comprobación del ajuste. IQS IQSf(x) IQS T (K) RIQS = ψ − f(x) (ψ ψ −IQS f(x)) ψ 195 7,88306 7,88323741 -0,00017741 3,14746E-08 IQS IQS IQS IQS IQS 200 7,80633 7,80648895 -0,00015895 2,52644E-08 205 7,73438 7,73451972 -0,00013972 1,95208E-08 IQS IQS IQS IQS IQS 210 7,66777 7,6668989 0,0008711 7,58821E-07 215 7,60314 IQS 7,60324573 -0,00010573 1,11796E-08 IQS IQS IQS IQS 220 7,54313 7,5432225 -9,2499E-05 8,55598E-09 225 7,48645 IQS 7,4865286 -7,8596E-05 6,17725E-09 IQS IQS IQS IQS 230 7,43283 7,43289561 -6,5611E-05 4,30477E-09 235 7,38203 IQS 7,38208313 -5,3131E-05 2,82287E-09 IQS IQS IQS IQS IQSestándar deIQS IQS IQS La desviación los residuales es aproximadamente 2,7 10 y el IQS valor crítico respecto al que se comparan las residuales al cuadrado es IQS IQS 4,52 10 IQS . La comparación de los valores IQS de la tabla con este último valor IQS señala la presencia de un posible punto erróneo. IQS IQS IQS IQS IQS IQS0,0010 IQS IQS IQS IQS R IQS IQS IQS IQS IQS 0,0008 IQS IQS IQS IQS IQS 0,0006 IQS IQS IQS IQS IQS 0,0004 IQS IQS IQS IQS IQS IQS0,0002 IQS IQS IQS IQS IQS0,0000190 IQS IQS IQS240 IQS 200 210 220 230 T IQS-0,0002 IQS IQS IQS IQS IQS-0,0004 IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Este análisis gráfico de residuales manifiesta que el valor de ψ a 210 K es erróneo,IQS por lo tanto, se repite mínimos cuadrados, IQSel ajuste, porIQS IQSsin este IQS punto, obteniendo como nueva expresión: IQS IQS IQS 2 IQS IQS T   ψ = 5,51011 IQS IQS IQS IQS IQS   T − 31,9701 IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 2

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS El cuadro correspondienteIQS a la validación del nuevo ajuste es: IQS IQS(ψψ − f(x))^2 IQSe IQS f(x) T IQS (K) R = ψ − f(x) ψ 195 7,88306 7,88305953 4,6636E-07 2,1749E-13 5,91595E-08 IQS7,80633 7,80633089 IQS -8,9218E-07 IQS7,9599E-13 IQS IQS 200 1,14289E-07 205 7,73438 7,73438001 -5,7036E-09 3,2531E-17 7,37435E-10 IQS7,60314 7,60313887 IQS 1,1261E-06 IQS1,2682E-12 IQS IQS 215 1,48115E-07 220 7,54313 7,5431304 -3,9602E-07 1,5683E-13 5,25004E-08 IQS7,48645 7,48645028 IQS -2,7894E-07 IQS7,781E-14 IQS IQS 225 3,726E-08 230 7,43283 7,4328302 -1,9868E-07 3,9474E-14 2,67302E-08 IQS IQS IQS IQS IQS 235 7,38203 7,38202982 1,7895E-07 3,2024E-14 2,42415E-08 IQSestándar deIQS IQS IQS La desviación los residuales es aproximadamente 9,32 10 y el IQS valor crítico respecto al que se comparan las residuales al cuadrado 5,42 10IQS IQS IQS IQS IQS , lo que lleva a concluir que ahora no se detectan puntos erróneos. IQS IQS IQS IQS IQS Se comprueba que el punto descartado es erróneo ya que la residual al cuadrado es mayor que elIQS valor crítico. IQS IQS IQS IQS T (K) f(x) IQS R = ψ − f(x) (ψ ψIQS − f(x))^2 ψ IQS IQS IQS 210 7,66777 7,66677621 0,00099379 9,87626E-07 IQS IQS IQS IQS IQS El error relativo medio del ajuste es del 5,8 10 % y el error cuadrático medio 6,6 10 .IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 0,0000015 IQS IQS IQS IQS IQS R IQS0,0000010 IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS0,0000005 IQS IQS IQS IQS IQS0,0000000 IQS IQS IQS IQS 190 195 200 205 210IQS 215 220 225 230IQS 235 240 IQS IQS IQS T IQS-0,0000005 IQS IQS IQS IQS IQS-0,0000010 IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS El análisis gráfico de residuales evidencia que ninguno de los puntos de este IQS erróneoIQS IQSde escaladoIQS segundoIQS ajuste puede considerarse (Observe el cambio en el ejeIQS de ordenadas). IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS -7

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Este material forma parte del libro: Tomàs, X.; Cuadros, J.; González, L..(2006). Introducción al Cálculo Numérico. Institut Químic de Sarrià. ISBN: 84-611-0645-8.

7. AJUSTE DE ECUACIONES EMPÍRICAS

IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS de tres constantes. IQS 7.8 Ecuaciones IQS empíricas IQS IQS IQS IQS Para ajustar expresiones de tres constantes se pueden utilizar diferentes IQS técnicas, entre IQSellas la regresión IQSno lineal, elIQS IQS IQS ajuste sobre la expresión derivada IQS o el uso combinado IQS de diversos IQSmétodos deIQS IQS IQS ajuste. IQS A continuación IQSse va a exponer IQS el ajusteIQS IQS IQS de funciones con tres constantes de forma combinada de los puntos seleccionados y IQS el IQS utilizando IQS IQSel métodoIQS IQS mínimos cuadrados para aquellos tipos de función más frecuentes IQS método deIQS IQS IQS IQS IQS como son los de funciones: potencial, hipérbola, exponencial y exponencial IQS inversa. IQS IQS IQS IQS IQS IQS En todos los IQS IQSadecuar el IQS IQS dos de lasIQS casos se intentará sistema para determinar de mínimos cuadrados. IQS tres constantes IQSpor el método IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 7.8.1 Exponencial de tres constantes IQS Si se aplica IQS IQS IQS IQS IQS el método de los puntos seleccionados a la función exponencial IQS resulta: IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS  y = ae IQS IQS bx +c 1 bx IQS IQSy = aebx + cIQS IQS y 2 = ae IQS IQS +c bx +c IQS IQS IQS IQS y 3 = ae IQS IQS +x ) IQS (y1 − c )(IQS IQS (y1 − c )(y 2 − c )IQS y 2 − c ) = a 2 e b(xIQS ) b(x + x − 2 x IQS = e  − c )2 = a 2 e 2bxIQS (y 3 − c )2 IQS IQS  (y 3IQS IQS IQS x1 + x 2 IQS Si x 3 =IQS IQS IQS IQS IQS 2 IQS IQS IQS IQS IQS IQS (y1 − c )(y 2 − c ) = 1 c = y1y 2 − y 32 IQS (y − cIQS IQS IQS IQS y1 + y 2 − 2y 3 IQS )2 3 IQS IQS IQS IQS IQS IQS procedimiento IQS para el ajusteIQS de una función IQS De acuerdo IQScon ello, elIQS IQS de tres constantes comportará los siguientes pasos: IQS exponencial IQS IQS IQS IQS IQS • Seleccionar dos puntos x y x , con poco error y distantes entre sí. IQS • CalcularIQS IQS IQS IQS IQS su media aritmética (x ) e interpolar para obtener y (obviamente si IQS no estáIQS IQS IQS IQS IQS tabulado). IQS • CalcularIQS IQS IQS IQS IQS c. los datos: ln(yIQS − c) vs x. IQS • Rectificar IQS IQS IQS IQS

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7. AJUSTE DE ECUACIONES EMPÍRICAS

IQS IQS IQS IQS IQS IQS b por mínimos cuadrados. IQS • Si rectifican, IQScalcular a yIQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Potencial de tres constantes IQS 7.8.2 IQS IQS IQS IQS IQS De acuerdo con el método de los puntos seleccionados se tiene: IQS IQS IQS IQS IQS IQS b y = ax + c IQS IQS b IQS IQS 1 1b IQS IQS y = ax + c y 2 = ax 2 + c IQS IQS IQS IQSy = ax b IQS IQS + c  3 3 IQS (y IQS IQS IQS IQS IQS b 2 (y1 − c )(y 2 − c ) = (x x x 2 )b  1 − c )(y 2 − c ) = a (x1x 2 ) 2 IQS  IQS 2 IQS 2b IQS IQS1 2 3 IQS 2 ( ) y − c = a x ( y − c ) 3 3 3  IQS Si xIQS IQS IQS IQS IQS 3 = x1x 2 IQS (y −IQS IQSy y − y 2IQS IQS IQS )( ) c y − c 1 2 3 1 2 = 1 IQS c= IQS IQS IQS IQS 2 y1 + y 2 − 2yIQS (y 3 − c ) 3 IQS y, en consecuencia, IQS el procedimiento IQS paraIQS IQS IQS el ajuste de una potencial de tres IQS constantesIQS IQS IQS IQS comportará las IQS siguientes etapas: x y x , con pocoIQS error y distantesIQS entre sí. IQS • Seleccionar IQSdos puntosIQS IQS y (si no está ya su media geométrica IQS • CalcularIQS IQS (x ) e interpolar IQSpara obtener IQS IQS IQS tabulado). IQS IQS IQS IQS IQS • Calcular c. IQS • Rectificar IQS IQS IQS IQS IQS los datos ln(y − c) vs x. IQS • Si rectifican, IQScalcular a yIQS IQS IQS IQS b por mínimos cuadrados. IQS IQS IQS IQS IQS IQS de tres constantes IQS 7.8.3 Exponencial IQS inversaIQS IQS IQS IQS el método de los puntos seleccionados se obtiene: IQS AplicandoIQS IQS IQS IQS IQS b / x +c IQS IQS b / x IQS IQS y1 = ae bIQS IQS /x y = ae +c +c IQS IQS IQS IQSy 2 = aebIQS IQS /x y = ae + c 3  IQS IQS IQS IQS IQS 1 1 2IQS   1 1    b  + −  b  + (y1 − c )(y 2 − c )IQS IQS (y − c )(IQS IQS x x xIQS x x    2 IQS =e y2 − c) = a e 1 2 (y 3 − c ) IQS x IQS  (y 3IQS IQS IQS − c )2 = a 2 e 2b /IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

7. AJUSTE DE ECUACIONES EMPÍRICAS

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS y1y 2 − y 32 ( y1 − c )(y 2 − c ) 1 1 1 1    + =1 c= IQS Si x 3 =IQS 2  x1 x 2  IQS (y 3 − c )2 IQS yIQS 1 + y 2 − 2y 3 IQS IQS Por consiguiente, IQS el procedimiento IQS para el IQS IQS inversaIQS ajuste de una exponencial IQS de tres constantes IQS comportará IQS los pasos siguientes: IQS IQS IQS x y x , con pocoIQS error y distantesIQS entre sí. IQS • Seleccionar IQSdos puntosIQS IQS su media armónica (x ) e interpolar para obtener y (si no se IQS • CalcularIQS IQS IQS IQS IQS encuentra ya tabulado). IQS • CalcularIQS IQS IQS IQS IQS c. IQS • Rectificar IQS IQS IQS IQS los datos ln(y IQS − c) vs x. IQS • Si rectifican, IQScalcular a yIQS IQS IQS IQS b por mínimos cuadrados. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 7.8.4 Hipérbola IQS de tres constantes IQS IQS IQS IQS Se selecciona un punto en la zona central de la tabla (x , y ): IQS IQS x IQS IQSx IQS IQS k c y k IQS = + c IQS IQS IQSy = a + bx +IQS IQS a + bx k xIQS xIQS x k k IQS IQS IQS c = yk − y = IQS+ y k − a + bx k a + bx a + bx k IQS IQS IQS IQS IQS IQS a (x − x k ) y − yk = IQS IQS IQS IQS (a +IQS bx ) (a + bx k ) IQS  x − x k  IQS b2 IQS IQS IQS IQS IQS = b+ x k  x + (a + bx k )  y − y k  a  IQS IQS IQS IQS IQS IQS de tres constantes IQS El procedimiento IQS para ajustar IQSuna hipérbola IQS IQS comportaráIQS siguientes etapas: IQS ahora las IQS IQS IQS IQS IQS • Seleccionar un punto x con poco error y centrado en la tabla de datos. IQS • Rectificar IQS IQS IQS IQS IQS todos los datos, excepto el punto escogido, (x − x )/(y − y ) vs x. IQS • Si rectifican, IQScalcular a yIQS IQS IQS IQS b por mínimos cuadrados. IQS • CalcularIQS IQS IQS IQS IQS c. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS A continuación se expone un ejemplo de aplicación del ajuste de una función IQS potencial IQS IQS IQS IQS IQS de tres constantes, correspondiente a la ecuación del virial, una de IQS las ecuaciones IQSde estado deIQS IQS IQS IQS un gas. IQS IQS IQS IQS IQS IQS 2

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Ejemplo 7.7 IQS IQS IQS IQS IQS coeficiente deIQS la expresión delIQS virial (B) para el IQS dióxido de IQS El segundo IQS IQS carbono (CO ) varía con la temperatura según muestra la tabla adjunta. IQS IQS IQS IQS IQS IQS T (K) B (L/mol) T (K) B (L/mol) IQS IQS 50 IQS IQS IQS 95 − 1,11256 − 0,53579IQS 100 − 1,00086 − 0,50262 IQS IQS 55 IQS IQS IQS 105 60 − 0,91176 − 0,47598IQS 110 − 0,83327 IQS IQS 65 IQS IQS −− 0,44773 IQS IQS 70 115 − 0,76236 0,42237 120 − 0,70766 IQS IQS 75 IQS IQS − 0,40114IQS IQS 80 125 − 0,65490 − 0,38148 IQS IQS 85 IQS IQS − 0,36216IQS IQS 130 − 0,62820 135 − 0,56948 IQS IQS 90 IQS IQS − 0,34542IQS IQS β la expresión IQS B=α+ IQS Dependencia IQSpuede representarse IQS mediante IQS IQS Tδ B es el segundoIQS coeficiente del virial T la temperatura IQS en la queIQS IQS(en L mol ) yIQS IQS (en K). A partir de los datos tabulados: IQS - Determine IQSel valor de IQS IQS IQS IQS la constante α por el método de los puntos seleccionados. IQS - Utilice IQS IQS en el apartado IQSanterior paraIQS IQS el valor de α obtenido rectificar la función y los datos de la tabla. IQS - Determine IQSpor el método IQS IQS IQS IQS de mínimos cuadrados el valor de las el error relativo medio del ajuste. IQS constantes IQSβ y δ y calcule IQS IQS IQS IQS el problema es IQS una potencial deIQS tres constantes. IQS IQS La expresión IQSpropuesta enIQS β B=α+ = αIQS + βT − δ IQS IQS IQS IQS IQS δ T primerIQS paso para evaluar de una forma IQS simple los parámetros IQS Elecuación IQS IQSde la IQS consiste en calcular la tercera constante por el método de los y rectificar para encontrar las dos constantesIQS IQS puntos seleccionados IQS IQS los datosIQS IQS que restan por el método de mínimos cuadrados. La representación de los IQS datos deIQS la tabla es: IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS -1

0,00000

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS El gráfico parece indicar que puede haber IQS un punto erróneoIQS (T = 85 K) y queIQS los puntos extremos son suficientemente fiables para calcular a partir de ellos IQS IQS IQS IQS IQS la tercera constante. La tabla IQS de cálculo de la constante siguiente: IQS α es laIQS IQS IQS x ;IQS y 50 IQS − 1,11256 IQS IQS IQS x;y 135 − 0,34542 IQS IQS IQS IQS x ;IQS y 82,1583836 − 0,63646309 IQS entre xIQS El puntoIQS x es la media geométrica y x . El valor y IQS se ha obtenido IQS por interpolación lineal en la tabla de datos. A partir de estos puntos el valor IQS IQS IQS IQS IQS de α es de 0,11231752. IQS IQS IQS IQS IQS Una vez conocido α se puede rectificar la función en la forma: IQS IQS IQS IQS IQS ln (B − α ) = ln β − δ ln T IQS IQS Y = N + MX IQS IQS IQS M = −δ IQS IQSX = ln T IQS IQS IQS Y = ln (B − α ) N = ln β IQS IQS IQS IQS IQS Pero esta rectificación no es posible ya que B − α toma, para toda la tabla, IQS de forma IQS IQScalcular los logaritmos. IQS IQS valores negativos, que no se pueden Como alternativa, se puede rectificar la función de la siguiente forma: IQS IQS IQS IQS IQS − B = −α − β T − δ IQS IQS IQS IQS ln (α − B ) = ln (− βIQS ) − δ ln T IQS IQS Y = N + MX IQS IQS IQS X = ln T M = −δ IQS IQS IQS IQS IQS Y = ln (α − B ) N = ln (− β) IQS IQS IQS IQS IQS Con lo que la tabla de datos rectificada es ahora: IQS ln(T) IQS IQS IQS IQS ln(T) ln(α α − B) ln(α α− B) 0,20284085 4,55387689 IQS3,91202301IQS IQS − 0,43369868 IQS IQS 4,00733319 0,10721855 4,60517019 − 0,48623462 IQS4,09434456IQS IQS − 0,53052248 IQS IQS 0,02379222 4,65396035 − 0,05594883 4,70048037 − 0,57973365 IQS4,17438727 IQS IQS IQS IQS 4,24849524 − 0,13390001 4,74493213 − 0,62607279 − 0,19847836 4,78749174 IQS4,31748811 IQS IQS − 0,66658799 IQS IQS 4,38202663 − 0,26498492 4,82831374 − 0,70562973 IQS4,44265126IQS IQS − 0,74554105 IQS IQS − 0,30040599 4,86753445 − 0,38302256 4,90527478 − 0,78145937 IQS4,49980967IQS IQS IQS IQS El gráfico de la rectificación se muestra en la página siguiente. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 3

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQSln(α - B) 0,4 IQS IQS IQS 0,2 IQS IQS IQS IQS 0,0 IQS IQS IQS IQS 3,8 4,0 4,2 4,4 4,6 4,8 5,0 -0,2 IQS IQS IQS IQS ln(T) IQS -0,4 IQS IQS IQS IQS -0,6 IQS IQS IQS IQS -0,8 IQS IQS IQS IQS -1,0 IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS En el gráfico el punto (85 K; − 0,62820 L mol ) puede ser IQSse observa que IQS IQS IQS erróneo. El ajuste sin considerar el punto sospechoso, resulta: IQS IQS IQS IQS − 59,39818 B = 0,1123175 + IQS IQS IQS IQS T 0,9922329 IQS IQS AjustadaIQS la expresión, hay que comprobarIQS el ajuste, justificar el punto erróneo y calcular el error relativo medio. IQS IQS IQS IQS La tabla para la comprobación del ajuste es: IQS IQS IQS IQS T (K) B (L/mol) R = B − f(T) (B − f(T)) e 50 6,94418E-08 0,00023686 − 1,11256 IQS IQS − 0,00026IQS IQS 55 0,00093 8,69351E-07 0,00093159 − 1,00086 IQS60 IQS − 0,00212IQS4,493E-06 0,00232481 IQS − 0,91176 − 0,83327 − 0,00166 2,73952E-06 0,00198633 IQS65 IQS 0,00234IQS IQS 70 5,45585E-06 0,00306388 − 0,76236 9,86089E-07 0,00140324 − 0,70766 − 0,00099 IQS75 IQS IQS IQS 80 0,00097 9,32046E-07 0,00147416 − 0,65490 2,74474E-06 0,00290919 − 0,56948 IQS90 IQS 0,00166IQS IQS 95 1,24316E-07 0,00065806 − 0,53579 − 0,00035 IQS IQS 0,00067IQS IQS 100 4,55464E-07 0,00134272 − 0,50262 105 − 0,47598 − 0,00178 3,16047E-06 0,00373497 IQS IQS 0,00001IQS IQS 110 2,12255E-10 3,254E-05 − 0,44773 115 0,00121 1,46177E-06 IQS 0,0028625 − 0,42237 IQS IQS IQS 120 0,00028 7,82929E-08 0,00069753 − 0,40114 125 2,05467E-07 0,00118823 − 0,38148 IQS IQS − 0,00045IQS IQS 130 0,00004 1,32983E-09 0,00010069 − 0,36216 IQS IQS − 0,00066IQS IQS 135 4,4111E-07 0,00192276 − 0,34542 IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS -1

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IQS IQS IQS IQS IQS IQSpara el puntoIQS IQS IQS Los cálculos erróneo son: IQS IQS T(K) IQS IQS IQS B (L/mol) BIQS − f(T) (B − f(T)) − 0,62820 − 0,01718 0,000295196 IQS 85 IQS IQS IQS IQS y los gráficos del análisis de residuales (sin y con el punto erróneo) que se IQS IQS IQS IQS obtienenIQS son: IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS B - f(t) IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS T (K)IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS La desviación estándar de los residuales es aproximadamente 1,9 10 y el IQS IQS que tiene IQS IQS valor crítico asociado 2,2 IQS 10 . El punto sospechoso, una residual al cuadrado de 3,0 10 es, por tanto, erróneo. IQS IQS IQS IQS IQS El error relativo medio del ajuste es de 0,16 %. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 2

0,003 B - f(t) 0,002 0,001

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7. AJUSTE DE ECUACIONES EMPÍRICAS

IQS IQS IQS IQS IQS IQS de cuatro constantes. IQS 7.9 Ecuaciones IQS empíricas IQS IQS IQS IQS con poca frecuencia, no es extraño encontrarse con IQS Aunque relativamente IQS IQS IQS IQS IQS funciones que presentan un determinado comportamiento para valores IQS pequeñosIQS IQS IQS IQS IQS de x y otro para valores grandes, o viceversa. Estas funciones IQS pueden estudiarse IQS por fragmentos. IQS IQS IQS IQS IQS Un caso concreto IQS es el deIQS IQS IQS las funciones que tienden a unaIQS recta (tienen una de x que tienden infinito. Es posible IQS asíntota oblicua) IQS para valores IQS IQSa cero o a IQS IQS tratar estas funciones como funciones suma de una recta y una IQS entonces IQS IQS IQS IQS IQS función tal que presente una asíntota horizontal, es decir, considerar que IQS dichas funciones IQS tienen como IQS IQS IQS IQS expresión f(x)=r(x)+g(x). IQS En este caso, IQS IQS IQS IQS el procedimiento de análisis será el siguiente: IQS representativos IQS de la tendencia IQS • Seleccionar IQS un conjunto IQSde puntos IQS IQS IQS asintótica. IQS IQS IQS IQS IQS una recta [r(x) = ax + b] a estos puntos. IQS • AjustarIQS IQS IQS IQS IQS • Estudiar la tabla y − r(x) vs x e intentar ajustar una ecuación empírica g(x). IQS • CalcularIQS IQS IQS IQS IQS los errores a partir de la función suma: f(x)=r(x)+g(x). IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 7.10 Regresión IQS lineal múltiple. IQS IQS IQS IQS mayor frecuencia se presenta la situación relativa al ajuste a los IQS Con muchaIQS IQS IQS IQS IQS datos de funciones multilineales. Se dice que una función es multilineal cuando IQS el valor deIQS IQS IQS IQS IQS la misma es la combinación lineal de dos o más variables. IQS IQS IQS IQS IQS IQS f (v 1, v 2 ,...) = ∑ ai v i i IQS IQS IQS IQS IQS IQS Cualquier función que se pueda expresar como una combinación lineal de IQS funciones IQS IQS IQS IQS IQS podrá ajustarse resolviendo el sistema incompatible formado por las IQS expresiones IQS IQS IQSel método general IQS de mínimosIQS de cada punto, es decir, aplicando IQS cuadradosIQS IQS IQS IQS IQS (LSM). Si la función es: IQS IQS IQSy = ∑m a j f j (IQS IQS IQS x) IQS IQS IQS j = 0 IQS IQS IQS datos es: IQS y la tabla de IQS IQS IQS IQS IQS x x x … x IQS IQS IQS IQS IQS IQS y y y … y IQS IQS IQS IQS IQS IQS

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Introducción al Cálculo Numérico. IQS.

Este material forma parte del libro: Tomàs, X.; Cuadros, J.; González, L..(2006). Introducción al Cálculo Numérico. Institut Químic de Sarrià. ISBN: 84-611-0645-8.

7. AJUSTE DE ECUACIONES EMPÍRICAS

IQS IQS IQS IQS IQS IQS a resolver es: IQS IQS el sistemaIQS IQS IQS IQS f1 (x 0 ) K fm (xIQS y  0 ) IQS IQS  f0 (x 0 ) IQS IQS   a 0   0 IQS   ( ) ( ) ( ) f x f x K f x y  1 1 1 m 1   a1   IQS IQS  f00 (x 21 ) IQS IQS IQS  = y IQS f1 (x 2 ) K fm (x 2 )    M   2   M IQS M O M IQS   IQS IQS  M IQS IQS    am    f1 (x n ) K fm (x n ) IQS IQS  f0 (x n ) IQS IQS  y m IQS IQS se resuelve como un sistema incompatible y con los parámetros del IQS El sistemaIQS IQS IQS IQS IQS ajuste se realiza la comprobación y se determinan los errores. (En Excel esto IQS puede realizarse IQS con la función: IQSESTIMACION.LINEAL) IQS IQS IQS IQS Así, de acuerdo IQScon lo expuesto IQShasta aquí,IQS IQS IQS una aproximación polinomial no es una regresión multilineal cada una deIQS las variables del IQS más que IQS IQS en la que IQS IQS una de las diferentes potencias de x. IQS sistema esIQS IQS IQS IQS IQS Esta técnica permitirá ajustar cualquier expresión linealizable de más de dos IQS constantesIQS IQS IQS IQS IQS como por ejemplo, la expresión de Frost – Kalkwarf – Thodos: IQS IQS IQS B IQS Pvp IQS IQS ln(Pvp ) = A − + C ln(T ) + D IQS IQS IQS T IQS T 2 IQS IQS es la presiónIQS de vapor a presión (en bar) y T IQS la IQS donde PvpIQS IQS constanteIQS (en K). IQS temperatura IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 7.11 Regresión IQS no lineal.IQS IQS IQS IQS expresiones sonIQS linealizables. Las expresiones no IQS Sin embargo, IQSno todas lasIQS IQS IQS se pueden resolver mediante métodos numéricos de resolución de IQS linealizables IQS IQS IQS IQS IQS ecuaciones y de sistemas o mediante métodos de optimización. Existen IQS diversos métodos IQS aplicablesIQS IQS IQS IQS entre ellos el método de Newton. IQS A continuación IQSse expone como IQSse puede transformar IQS el problema IQSde ajuste deIQS de resolución de un sistema deIQS ecuaciones. IQS una expresión IQSa un problema IQS IQS IQS que se deseaIQS ajustar una expresión b, c), minimizando IQS Supongamos IQS IQS y = f(x, a, IQS IQS del ajuste s (a, b, c). IQS la varianzaIQS IQS IQS IQS IQS 2 ) ∑ (y i − f (x i , a,b, c )IQS IQS IQS s 2 = IQS IQS IQS i = s 2 (a, b, c ) IQS IQS IQS n − 1 IQS IQS IQS En el mínimo las derivadas parciales respecto a los tres parámetros se IQS anularán: IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS ∂s 2 (a,b, c ) IQS IQS IQS =0  IQS IQS IQS 2 (∂a ) IQS IQS IQS ∂s a, b, c =0 IQS IQS IQS ∂b IQS IQS IQS 2 IQS IQS IQS ∂s (∂ac,b, c ) IQS IQS IQS =0 IQS IQS IQS IQS IQS IQS Con lo que éste será el sistema de ecuaciones a resolver (Este ajuste puede IQS abordarseIQS IQS IQS IQS IQS en Excel utilizando la aplicación SOLVER). IQS IQS IQS IQS IQS IQS es necesario IQS tener presentesIQS algunas consideraciones IQS Con todo,IQS IQS a esteIQS del ajuste: IQS procedimiento IQSde resoluciónIQS IQS IQS IQS El método numérico de resolución del sistema no siempre converge. Es IQS • muy IQS IQS IQS IQS IQS sensible a los puntos iniciales, es decir a los valores de partida de a, b y IQS c. Puede IQS IQS IQS por el método IQS de puntosIQS ser conveniente iniciar la resolución IQS seleccionados. IQS IQS IQS IQS IQS solución del sistema y puntos de silla IQS • No todaIQS IQS es un mínimo. IQS MáximosIQS IQS resuelven el sistema. IQS tambiénIQS IQS IQS IQS IQS Algunos ejemplos de expresiones que se ajusten por regresión no lineal son, IQS por ejemplo: IQS IQS IQS IQS IQS IQS • La ecuación IQSde gases reales IQSde Van der IQS IQS IQS Waals. IQS • Sistemas IQS IQSexponenciales IQS IQS cinéticos que IQS conducen a funciones dobles: dx IQS IQS IQSy = aebx + ceIQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 7.12 Criterios para la selección de un modelo IQS La decisiónIQS IQS IQS IQS IQS sobre la adecuación de una función empírica o de un modelo ha de IQS contemplarIQS IQS IQS IQS IQS diferentes aspectos. Todos ellos son fundamentales y el hecho de IQS que no seIQS IQS IQSinvalidarlo IQS IQS cumpla alguno de los requisitos puede como modelo para de datos. IQS la representación IQS de la tablaIQS IQS IQS IQS criterios, un modelo ha de ser: IQS Entre otrosIQS IQS IQS IQS IQS • Teóricamente consistente. IQS Si el modelo IQS se basa en IQS IQS IQS IQS la consideración que los parámetros han de ser IQS positivos IQS IQSdel ajuste llevan IQS a parámetros IQSnegativos, IQS y los resultados el ciertamente no es correcto. IQS IQS resultado IQS IQS IQS IQS

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS • Estadísticamente IQS significativo. IQS IQS IQS IQS diferentes herramientas determinar si un IQS ExistenIQS IQS estadísticas IQSque permitenIQS IQS es significativo o no. Estos procedimientos estadísticos no se IQS ajuste IQS IQS IQS IQS IQS incluyen en este curso de Cálculo, sino que por ahora simplemente se IQS considerará IQScomo criterio IQSque el errorIQS IQSsea un valorIQS cuadrático medio IQS numérico IQS IQS IQS IQS IQS suficientemente pequeño. datos. IQS • Representatividad IQS de losIQS IQS IQS IQS ha de cumplir un ajuste es que represente la IQS La tercera IQScondición que IQS IQS IQS IQS variación de los datos. Ello se comprueba, por ejemplo, mediante el análisis IQS de residuales IQS que, comoIQS IQS IQS IQS se ha expuesto anteriormente, no ha de manifestar IQS ningunaIQS IQSsino una distribución IQS aleatoria IQSde los puntosIQS tendencia definida, al eje de abscisas. IQS entornoIQS IQS IQS IQS IQS modelo que cumple IQS Cuando existe IQSmás de unIQS IQS estos criterios, IQSes preferibleIQS Cálculo, aquel modelo que sea más significativo, es IQS desde el punto IQSde vista delIQS IQS IQS IQS decir, aquel que tenga un menor error cuadrático medio. En la práctica, ésta no IQS es el únicoIQS IQS IQS IQS IQS criterio, sino que también debe sopesarse, por ejemplo, la sencillez IQS del modelo,IQS IQS IQS IQS IQS su interpretación física o química, etc. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 7.13 Métodos robustos de ajuste. IQS Tal vez una IQS IQS IQS IQS IQS de las principales limitaciones del método de mínimos cuadrados IQS es la faltaIQS IQS IQS IQS de adecuación del modelo ajustado cuando entreIQS los datos existen IQS puntos anómalos. IQS IQS IQS IQS IQS solución a esteIQS problema puedeIQS consistir en realizar IQS Una posible IQS IQSun análisis deIQS un primer ajuste del modelo a todos los datos y IQS las residuales IQSobtenidas tras IQS IQS IQS IQS establecer un criterio que permita eliminar razonadamente aquellos puntos que IQS no cumplan IQS IQS IQS IQS IQS dicho criterio. Por ejemplo, hemos visto uno de tales criterios IQS basado enIQS IQS IQS la aplicación de la desviación IQS estándar de los IQS residuales. Como basados en IQS consideracionesIQS estadísticas que IQS éste, existen IQSotros criterios IQS IQS IQS también permiten IQS la detección IQSde la presencia IQSde puntos anómalos. IQS Caso deIQS detectar con algún criterio predeterminado la presencia de algún punto IQS anómalo, IQS IQS IQS IQS IQS resulta razonable eliminarlo y rehacer el ajuste del modelo utilizando IQS el resto deIQS IQS IQS IQS IQS los datos. IQS IQS IQS IQS IQS IQS

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS la utilización de IQS los denominadosIQS métodos robustos IQS Otra alternativa IQSconsiste enIQS IQS Se entiende por método de ajuste robusto un método diseñado para IQS de ajuste.IQS IQS IQS IQS IQS ajustar correctamente los parámetros de una función a una tabla de datos IQS minimizando IQS IQS IQS IQS IQS la influencia de los puntos anómalos. IQS ExpresadoIQS IQS IQS IQS un ajusteIQS de forma simple, un método robusto de ajuste proporciona IQS correcto del IQS IQS IQS IQS IQS modelo incluso en presencia de puntos anómalos en la tabla de necesidad de eliminar dichos puntos anómalos. IQS datos, sin IQS IQSpreviamenteIQS IQS IQS suelen caracterizar por su punto de rotura IQS Los métodos IQSrobustos seIQS IQS IQS IQS (breakdown point) que indica la proporción máxima de puntos erróneos IQS presentesIQS IQS IQS IQS IQS en una tabla de datos que el método puede aceptar sin que por ello IQS se modifique IQS IQS IQS IQS IQS el resultado final. exponer únicamente IQS En este apartado IQS se van aIQS IQSlos dos métodos IQS robustos deIQS más sencillos, el método de la mediana simple (SM) y el método IQS ajuste lineal IQS IQS IQS IQS IQS de la mediana repetida (RM), y se introducen las ideas básicas del método IQS robusto deIQS IQS IQS IQS IQS ajuste más utilizado, el método LMS o método de la mínima IQS mediana deIQS IQS también IQS IQS cuadrados, curiosamente propuesto porIQS Gauss. IQS IQS IQS IQS IQS IQS simple (SM).IQS IQS 7.13.1 Método IQSde la mediana IQS IQS IQS de la mediana simple se aplica sobre los datos rectificados y es IQS El métodoIQS IQS IQS IQS IQS estrictamente un método de regresión lineal robusta. Los parámetros de la IQS recta (Y =IQS IQS IQS IQS IQS AX + B) se calculan según las expresiones siguientes: IQS IQS IQS IQS IQS  yIQS j − y i   A = Mediana  IQS IQS IQS IQS IQS 0 ≤ i < j ≤ n  xIQS j − xi  B = Mediana (y i IQS − A ⋅ xi ) IQS IQS IQS IQS IQS 0≤i≤n IQS La secuencia IQS IQS IQS IQS simple esIQS operativa para la aplicación del método de la mediana IQS la siguiente: IQS IQS IQS IQS IQS de la tabla se calcula de la recta que IQS • Para cada IQSpar de puntosIQS IQS la pendiente IQS IQS ellos. IQS pasa porIQS IQS IQS IQS IQS • Se escoge como pendiente (A) de la recta de ajuste final, la mediana de las IQS pendientes IQS IQS IQS IQS IQS entre todos los pares de puntos. IQS • Se calcula IQSla ordenada IQS IQS en el origen paraIQS cada uno de losIQS puntos de la tabla la pendiente antes IQS utilizando IQS IQScalculada (A).IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS como ordenada en el origen IQS de la recta (B), IQS la mediana de las IQS • Se toma IQS IQS IQS que se han obtenido. IQS ordenadas IQS IQS IQS IQS IQS acepta una proporción de puntos erróneos del orden de un 40 %. IQS El métodoIQS IQS IQS IQS IQS IQS 7.13.2 Método IQSde la mediana IQS IQS IQS IQS repetida (RM). IQS El métodoIQS IQSun método de IQS IQS de la mediana IQS repetida es también regresión lineal por tanto se aplica sobre los datosIQS rectificados. Los parámetros de IQS la IQS robusta y IQS IQS IQS AX+B) se calculan según las siguientes expresiones: IQS recta (Y =IQS IQS IQS IQS IQS   y j − yi    IQS IQS IQS IQS IQS A = IQS Mediana  Mediana    − x x 0≤i ≤n 0≤i≠ j≤n  j i   IQS IQS IQS IQS IQS IQS B = Mediana (y i − A ⋅ x i ) 0≤i ≤n IQS IQS IQS IQS IQS IQS la secuencia operativa para la aplicación del método es: IQS En este caso, IQS IQS IQS IQS IQS • Se calcula la pendiente para cada par de puntos de la tabla. IQS • Para cada IQSpunto, se calcula IQS la medianaIQS IQS IQS de las pendientes en las dicho IQS punto interviene. IQS IQS IQS IQS IQS de las medianasIQS obtenidas paraIQS cada punto. Este IQS • Se calcula IQSla mediana IQS IQS la pendiente de IQS la recta ajustada IQS (A) IQS valor esIQS IQS IQS en el origen para cada uno de los puntos con la IQS • Se calcula IQSla ordenadaIQS IQS IQS IQS pendiente escogida (A). IQS • Se toma IQS IQS IQS IQS IQS como ordenada en el origen de la recta (B), la mediana de las IQS ordenadas IQS IQS IQS IQS calculadas. IQS acepta una proporción erróneos del 50 %. IQS El métodoIQS IQS de puntosIQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 7.13.3 Otros métodos robustos de ajuste IQS Todos losIQS IQS IQS IQS IQS métodos de regresión se basan en un criterio de minimización para IQS el que hayIQS IQS IQS que encontrar el valor mínimo, en función de losIQS parámetros. En IQS la IQS tabla siguiente IQS se muestran IQSlos criteriosIQS IQS IQS de los métodos de ajuste más Excepto el método cuadrados (LSM), IQS habituales.IQS IQS de mínimos IQS IQS el resto deIQS métodos robustos. IQS métodos son IQS IQS IQS IQS IQS Como se ha expuesto al presentar la regresión no lineal, la minimización de IQS cualquieraIQS IQS IQS IQS IQS de estos criterios de ajuste conduce a un sistema de ecuaciones no IQS lineal que IQS IQS IQS IQS debe resolverse.IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS ser sencilla e IQS incluso puede converger IQS Esta resolución IQS puede noIQS IQS a falsosIQS Será por tanto necesario tomar las precauciones pertinentes para IQS mínimos. IQS IQS IQS IQS IQS lograr el resultado óptimo. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS MétodoIQS IQS a minimizar IQS IQS IQS Criterio Punto de rotura IQS LSM IQS IQS IQS IQS CR = ∑ (y i − f (x iIQS ))2 IQS IQS IQS i IQS IQS IQS ~ 25 % LAD − LAV CR = y − f (x i ) IQS IQS IQS∑i i IQS IQS IQS IQS LMS IQS IQS~ 50 % IQS CRIQS = Mediana (y i − IQS f (x i ))2 i IQS LTS IQS IQSn 2 IQS IQS~ 50 % IQS ))2 CR = ∑ (y o − f (x oIQS IQS IQS IQS IQS IQS o=0 IQS IQSdonde o es laIQS IQS IQS IQS posición en la serie de puntos IQS IQSordenada enIQS IQS IQS sentido creciente del cuadrado IQS de las residuales. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS RS IQS CR = ∑ IQS IQS ? IQS w (y i − f (x i )) (y iIQS − f (x i ))2 i IQS IQS IQS IQS IQS IQS donde w() es una función de ponderación que IQS IQS IQSde las residuales. IQS IQS IQS depende IQS IQS IQS IQS IQS IQS aproximada puede considerarse que el método LMS es mejor que IQS el IQS De forma IQS IQS IQS IQS y este más robusto que el método SM. Los métodos LMS y LTS IQS método RMIQS IQS IQS IQS IQS pueden dar resultados correctos hasta con un 50% de puntos erróneos. IQS A pesar deIQS IQS IQS IQS IQS la existencia de métodos robustos, el método que proporciona más IQS informaciónIQS IQS el método IQS de mínimosIQS es, desde el IQS punto de vista estadístico, y ésta es la razón por la que se IQS acostumbran a utilizar IQS cuadradosIQS IQS IQSlos métodosIQS de puntos erróneos y posteriormente al IQS robustos como IQSdetectores IQS IQS IQSse procede IQS final aplicando el método de mínimos cuadrados, si es que se desea IQS ajuste IQS IQS IQS IQS IQS efectuar una explotación estadística del modelo ajustado. IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

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IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

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Este material forma parte del libro: Tomàs, X.; Cuadros, J.; González, L..(2006). Introducción al Cálculo Numérico. Institut Químic de Sarrià. ISBN: 84-611-0645-8.

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Este material forma parte del libro: Tomàs, X.; Cuadros, J.; González, L..(2006). Introducción al Cálculo Numérico. Institut Químic de Sarrià. ISBN: 84-611-0645-8.

IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS Fe de erratas del libro Introducción al Cálculo IQS Numérico IQS(ISBN: 84-611-0645-8) IQS IQS IQS IQS febrero de 2010.IQS IQS Erratas detectadas IQS a 15 deIQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS 1, página 1, línea 16 del texto, el texto: IQS En el capítulo IQSmargen IQSpredeterminado IQS IQS IQS …un de error dicho resultado final… figurar como: IQS debería …un IQS IQS IQS IQS IQS margen de error predeterminado de dicho resultado final… IQS IQS IQS IQS IQS IQS En el capítulo 1, página 2, línea 16 del texto, el texto: …durante un eclipse de Sol, Eddinton observa la posición… IQS IQS IQS IQS IQS IQS debería figurar como: IQS IQS un eclipse IQS IQSobserva la posición… IQS IQS …durante de Sol, Eddington IQS En el capítulo IQS1, página 6,IQS IQS IQS IQS línea 16 del texto, el texto: …conocimiento Baste recordar…IQS IQS debería figurar IQScomo: IQS humano. IQS IQS Basta recordar…IQS IQS IQS …conocimiento IQS humano. IQS IQS IQS En el capítulo IQS1, página 18,IQS IQS IQS IQS línea 23 del texto, el título: SUSTITUCION DE VALORES IQS debería figurar IQScomo: IQS IQS IQS IQS SUSTITUCIÓN DE VALORES IQS IQS IQS IQS IQS IQS 19, línea 11 del Ejemplo 1.1, la expresión: IQS En el capítulo IQS1, página IQS IQS IQS IQS ε = [z(Máximo) – z(Mínimo) / 2 = ± 0,001 IQS debería figurar IQScomo: IQS IQS IQS IQS ε = [z(Máximo) – z(Mínimo)] / 2 = ± 0,001 IQS IQS IQS IQS IQS IQS 19, línea 1 del texto después del Ejemplo 1.1, el título: IQS En el capítulo IQS1, página DEDUCCION IQS MATEMATICA IQS IQS IQS IQS debería figurar IQScomo: DEDUCCIÓN IQS MATEMÁTICA IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS En el capítulo 1, página 21, línea 3 del texto, el título: IQS IQS ASIMILACION IQS A DIFERENCIALES IQS IQS IQS debería figurar como: IQS IQS ASIMILACIÓN IQS A DIFERENCIALES IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS

IQS IQS IQS IQS IQS IQS la tabla deberíaIQS aparecer como:IQS IQS En el capítulo IQS1, página 24,IQS IQS Error absoluto Error relativo IQS IQS IQS IQS IQS IQS z=x±y±… ε =ε +ε +… IQS IQS IQS IQS IQS IQS z=xy… e =e +e +… IQS IQS IQS IQS z =IQS x/y e = e + e IQS IQS IQS ε = e IQS IQS IQS z =IQS Ln x z =IQS log x 10) IQS IQSε = e / (LnIQS IQS IQS z IQS =x e = |k| e |ε IQS IQSε = |k x IQS IQS IQS z IQS =k k)| ε e = |Ln k| ε IQS IQS IQSε = |k (LnIQS IQS z = 10 10) ε e = (Ln 10) ε IQS IQS IQSε = 10 (LnIQS IQS IQS z=e ε IQS IQS IQS ε = e IQS IQSe = ε IQS z=x ε = |y x | ε + |x (Ln x)| ε IQS IQS IQS IQS IQS IQS z = sen x ε = |cos x| ε IQS IQS IQS ε = |sen x|IQS IQS IQS z = cos x ε IQS IQSε = ε / cosIQS IQS IQS z =IQS tg x x IQS IQS IQS IQS IQS z =IQS sec x ε = |sen x / cos x| ε z = cosec IQS IQSx IQS IQS IQS IQS x| ε ε = |cos x / sen sen x ) ]ε ε = [1 / (1 – xIQS IQS z = arc IQS IQS IQS IQS z = arc tg x ε = [1 / (1 +IQS x )] ε IQS IQS IQS IQS IQS IQS En el capítulo IQS2, página 42,IQS IQS IQS IQS línea 7 del texto, el título: CONSTRUCCION IQS debería figurar IQScomo: IQS DE ESCALAS IQS METRICASIQS IQS IQS IQS CONSTRUCCIÓN IQS DE ESCALAS IQS MÉTRICASIQS IQS IQS En el capítulo IQS2, página 44,IQS IQS IQS2.2, la IQS línea 6 del texto y línea 9 del Ejemplo IQS expresión:IQS IQS IQS IQS IQS L escala = m (x −x ) IQS debería figurar IQScomo: IQS IQS IQS IQS L escala = m (x − x ) IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS En el capítulo IQS2, página 45,IQS IQS IQS IQS línea 19 del texto, el título: DE ESCALAS FUNCIONALES IQS debería figurar IQSCONSTRUCCION IQS IQS IQS IQS como: IQS IQSCONSTRUCCIÓN IQS DE ESCALAS IQSFUNCIONALES IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS z

x

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Este material forma parte del libro: Tomàs, X.; Cuadros, J.; González, L..(2006). Introducción al Cálculo Numérico. Institut Químic de Sarrià. ISBN: 84-611-0645-8.

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Este material forma parte del libro: Tomàs, X.; Cuadros, J.; González, L..(2006). Introducción al Cálculo Numérico. Institut Químic de Sarrià. ISBN: 84-611-0645-8.

IQS IQS IQS IQS IQS impresiones, enIQS el capítulo 4, página IQS En algunasIQS IQS155, la fórmula: IQS 2 ′′ h f (x ) IQS IQS f (x + h)IQS = f (x ) + hf ′(x ) +IQS + O (h3 IQS 2! IQS debería figurar IQScomo: IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS h2f ′′(x ) 3 f (x + h ) = f (x ) + hf ′(x ) + + O (h ) 2! IQS IQS IQS IQS IQS IQS En algunasIQS IQS189, la fórmula: IQS impresiones, enIQS el capítulo 5, página m1p − 1 IQS I ≅ In,IQS IQS IQS IQS ( In,m − In,m ) = In,m + β (In,m − In,m m ,m = In,m + p −1 p −1 (mIQS 2 − m1 ) IQS IQS IQS IQS IQS debería figurar IQScomo: IQS IQS IQS m1p − 1 (In,m IQS (In,m − In,m ) − In,m ) = In,m + βIQS IQS I ≅ In,mIQS ,m = In,m + −1 (mp2IQS − m1p − 1) IQS IQS IQS IQS IQS 5, página 196, línea 23 del texto, el texto: IQS En el capítulo IQS IQS IQS …para el númeroIQS de puntos más frecuentemente utilizados. IQS debería figurar IQScomo: IQS IQS IQS …para los números de puntos más frecuentemente utilizados. IQS IQS IQS IQS IQS En el capítulo 5, página 200, línea 15 del texto, el texto: IQS IQS…para los grados IQS de polinomio IQS IQS más utilizados… debería figurar como: IQS IQS…para los IQS IQS IQS números de puntos más utilizados… IQS En el capítulo IQS6, página 217, IQS IQS IQS línea 5 del texto, el texto: …substituciónIQS de la derivada por un valor aproximado. IQS debería figurar IQS IQS IQS como: …sustitución de la derivada porIQS un valor aproximado. IQS IQS IQS IQS IQS En el capítulo IQS7, página 231, IQS IQSel texto: IQS línea 21 del texto, …media de la variable independiente. IQS debería figurar IQScomo: IQS IQS IQS de la variable dependiente. IQS IQS …media IQS IQS IQS 7, página 267, línea 5 del texto, el texto: IQS En el capítulo IQS IQS IQS IQS …método RM y este más robusto que el método SM… IQS debería figurar IQScomo: IQS IQS IQS …método RM y éste más robusto que el método SM… IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS IQS