Integral Tak Tentu Dan Tertentu I.ppt

Integral Tak Tentu dan Integral Tertentu

Pengertian Integral • Jika F(x) adalah fungsi umum yang bersifat F’(x) = f(x), • maka F(x) merupakan antiturunan atau integral dari f(x).

Pengintegralan fungsi f(x) terhadap x dinotasikan sebagai berikut :

 • 

f  x dx  F  x   c

notasi integral (yang diperkenalkan oleh Leibniz, seorang matematikawan Jerman) • f(x) fungsi integran • F(x) fungsi integral umum yang bersifat F’(x) f(x) • c konstanta pengintegralan

1 n 1 f x   x c n 1 ,n

• Jika f ‘(x) = xn, maka ≠ -1, dengan c sebagai konstanta

Integral Tak Tentu • apabila terdapat fungsi F(x) yang dapat didiferensialkan pada interval sedemikian hingga maka antiturunan dari f(x) adalah F(x) + c • Secara matematis, ditulis



f  x dx  F  x   c

• di mana • Lambang integral yang dx  menyatakan operasi antiturunan • f(x) Fungsi integran, yaitu fungsi yang dicari antiturunannya • c Konstanta

Teorema 1 • Jika n bilangan rasional dan n ≠ 1, maka 1 n 1 n , c adalah konstanta. x dx  x  c  n 1

Teorema 2 • Jika f fungsi yang terintegralkan dan k suatu konstanta, maka

    kf x dx  k f x dx  

Teorema 3 • Jika f dan g fungsi-fungsi yang terintegralkan, maka

          f x  g x dx  f x dx  g x dx   

Teorema 4 • Jika f dan g fungsi-fungsi yang terintegralkan, maka

          f x  g x dx  f x dx  g x dx   

Teorema 5 • Aturan integral substitusi • Jika u suatu fungsi yang dapat didiferensialkan dan r suatu bilangan rasional tak nol maka

 ux 

r

1 t 1 u x   c u ' x dx  r 1

, dimana c adalah konstanta dan r ≠ -1.

Teorema 6 • Aturan integral parsial • Jika u dan v fungsi-fungsi yang dapat didiferensialkan, maka

udv  uv  vdu  

Teorema 7 • Aturan integral trigonometri

cos xdx  sin x  c 

 sin xdx   cos x  c 1  cos 2 x  tan x  c • dimana c adalah konstanta.

METODE SUBTITUSI Dalam menyelesaikan masalah integrasi pertama - tama kita mengusahakan mengubahnya menjadi bentuk rumus dasar dengan menggunakan variabel lain ( subtitusi )

Contoh :

1. 2 x ( x 2  4)5 dx  ... Jawab : u = x2 + 4





du du = 2x dx  dx  2x



du 1 6 1 2 5 6 u 2x  u du  u  c  ( x  4)  c 2x 6 6

2.

5

2 x 2 dx x3  1

...( buat latihan )

INTEGRAL PARSIAL Misalkan u dan v fungsi yang differensiabel terhadap x, maka : d(u.v) = v.du + u.dv u.dv = d(u.v) – v.du

 u.dv   d (u.v)  v.du  u.dv  u.v   v.du yang

perlu diperhatikan pada metode ini adalah : (1). Bagian yang terpilih sebagai dv harus mudah diintegral. (2).



u. dv v du harus lebih mudah dari 

Contoh :

 ln x dx

=

u. dv 

Jawab :

u  ln x

dv = dx

1 du  dx x v=x

Jadi :

 ln x dx

= xln x -

 dx

= x ln x – x + c

INTEGRAL FUNGSI RASIONAL Sebuah polinom dalam x adalah sebuah fungsi berbentuk :

a0 x n  a1 x n 1  a 2 x n  2  ......  a n 1 x  a n Fungsi H(x) disebut fungsi rasional jika : P( x) H ( x)  Q( x)

dimana P(x) dan Q(x) adalah polinom Jika derajat P(x) lebih rendah dari derajat Q(x), maka H(x) disebut “Rasional Sejati” Contoh :

2x 2  x  2 H ( x)  3 x  2x 2  x  2

Sedangkan jika derajat P(x) lebih tinggi dari derajat Q(x), maka H(x) disebut “Rasional Tidak Sejati”

Contoh :

x 4  10 x 2  3x  1 3x  23 2 H ( x)   x 6 2 2 x 4 x 4 Untuk menyelesaikan integral dalam bentuk fungsi rasional,

P( x) : ditulis sebagai jumlah dari bagian yang lebih Q( x) sederhana dengan menguraikan Q(x) dalam hasil kali faktor-faktor linier atau kuadratis, yaitu :

1. Faktor Q(x) semua linier dan tak berulang,

Q( x)  ( x  a1 )( x  a2 ).....( x  an ) , maka

:

An A1 A2 P( x)    .....  Q( x) ( x  a1 ) ( x  a2 ) ( x  an )

2. Faktor Q(x) semua linier berulang,

Q( x )  ( x  a ) n , maka

:

An A1 A2 P( x )    .....  Q( x ) ( x  a ) ( x  a ) 2 ( x  a) n

3. Q(x) adalah kuadratis, Q( x)  (ax 2  bx  c)(dx 2  ex  f ) , maka

:

P( x) Ax  B Cx  D   Q( x) (ax 2  bx  c) (dx 2  ex  f )

contoh :

( x  1) 1. 2 dx  .... x x2 jawab : x 1 A B A( x  1)  B( x  2)    ( x  2)( x  1) x  2 x  1 ( x  2)( x  1) 

2 – 1 = A(2+1) 1 = 3A  A = 1/3 x = -1  -1 – 1 = B(-1-2) = -2= -3B  B = 2/3 Jadi, 1 dx 2 dx ( x  1)  x 2  x  2 dx  3 x  2 + 3 x 1 x=2





1 2  ln | x  2 |  ln | x  1 | c 3 3

( x  1) 2. 2 dx  .... x  2x 1 x 1 A B A( x  1)  B    2 2 x  1 ( x  1) ( x  1) ( x  1) 2 x=1 mis, x = 0

 

1+1=B B=2 0 +1 = A(0 – 1) + B 1=-A+2 A=1

Jadi,

( x  1)  x 2  2 x  1 dx 

dx  x 1

dx + 2 ( x  1) 2

2  ln | x  1 |  c ( x  1)

SUBTITUSI TRIGONOMETRI ,

Jika Integran mengandung salah satu dari bentuk :

a 2  b2 x2 ,

a 2  b 2 x 2 , atau

b2 x2  a2

dan tidak memiliki faktor irrasional lainnya, maka dapat ditransformasikan ke dalam fungsi trigonometri dengan menggunakan variabel baru :

Bentuk

a b x 2

2

2

a2  b2 x2 b2 x 2  a 2

Subtitusi

Memperoleh

a sin z b a x  tg z b

a 2  b2 x 2  a cos z

x

x

a sec z b

a 2  b2 x 2  a sec z

b 2 x 2  a 2  a tg z

contoh : 1.

,

9  4x2 dx  .... x

jawab : 3 x  sin z 2 Jadi,





3 dx  cos zdz 2

9  4x 2  3 cos z

9  4x2 3 cos z 3 cos 2 z dx   ( cos z dz )  3 dz 3 x sin z sin z 2 2 2

1  sin z 3 dz  3 cos ec z dz  3 sin z dz sin z = 3 ln |cosec z – ctg z| + 3 cos z + c





3  9  4x2  3 ln | |  9  4x2  c 2x

2.

dx x

2

4 x

2

 ....

jawab : ,

x  2 tg z

 dx  2 sec 2 zdz

4  x 2  2 sec z

Jadi,

x

dx 2

4  x2



2 sec 2 z cos z dz   (4tg 2 z)(2 sec z)  4 sin 2 z dz

2 1 1 d (sin z ) 4  x c     c 2  4 sin z 4 sin z 4x

Integral TerTentu • Integral tertentu adalah integral dari suatu fungsi yang nilai-nilai variabel bebasnya (memiliki batas-batas) tertentu. • Jika fungsi terdefinisi pada interval tertutup [a,b] , maka

integral tertentu dari a ke b dinyatakan oleh : • Dimana :

b

f ( x ) dx  a

•

f(x) a b

: integran : batas bawah : batas atas

KAIDAH-KAIDAH INTEGRASI TERTENTU

 f ( x)dx  F ( x) a

 F (b)  F (a)

a

5

4



f ( x)dx  0

a

b

a

 f ( x)dx   f ( x)dx a

b

2

 

x  1 52 1 5 5   x dx   x  2  2 2   2 5  5 2 5 1  32  32  0 5 2

a

5

x  1 55 1 5 5   x dx   x  5  2 2   2 5  5 2 5 1  3125  32  618,6 5 5

b

b

5

4

2

 

x  1 52 1   x dx       x 5   25  55  5 5  5 5 5 1   32  3125  618,6 5 2

5

4

 

KAIDAH-KAIDAH INTEGRASI TERTENTU b

b

 kf ( x)dx  k  f ( x)dx a

a

b

b

b

a

a

a

  f ( x)  g ( x)dx   f ( x)dx   g ( x)dx

5

x  1 55 2 5x dx  5  5   5. 5 x 2 2  3125  32  3093 5

5

 

4

 x 5

2

4



5

5

2

2

 5 x 4 dx   x 4 dx   5 x 4 dx  618,6  3093  3.7111,6

c

 a

b

b

c

a

f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx

3

5

5

2

3

2

4 4 4 x dx  x dx  x    dx  618,6