Integral, Turunan Dan Limit.docx

Integral 1. Hasil ∫ 6𝑥 √3𝑥 2 + 2 dx Jawab : Misal : u=3x2 𝑑𝑢 𝑑𝑥

= 6𝑥

𝑑𝑢= 6x 𝑑𝑥 𝑑𝑢

𝑑𝑥 = 6𝑥

1

= ∫ 6𝑥 (3𝑥 2 + 5)2 ×

∫ 6𝑥 √3𝑥 2 + 2 dx

𝑑𝑢 6𝑥

1 2

= ∫ 𝑈 × 𝑑𝑢 = =

1

1

× 𝑈 2+1 + 𝐶

1 2

1+ 1 3 2

3

× 𝑈2 + 𝐶 3

2

= 3 (3𝑥 2 + 5)2 + C 6𝑥 2

2. Hasil dari ∫ √𝑥 3

−4

𝑑𝑥

Jawab : Misal : u = x3 - 4 𝑑𝑢 𝑑𝑥

= 3𝑥 2

𝑑𝑢= 3𝑥 2 𝑑𝑥 𝑑𝑢

𝑑𝑥 = 3𝑥 2 6𝑥 2

∫ √𝑥 3 −4 𝑑𝑥

1

= ∫ 6𝑥 2 (𝑥 3 − 4)2 × 𝑑𝑥 1

= ∫ 6𝑥 2 . 𝑈 2 ×

𝑑𝑢 3𝑥 2

1 2

= 2 ∫ 𝑈 . 𝑑𝑢 =2 =2

1 1 − +1 2

1 1 2

1

× 𝑈 −2+1 + 𝐶 1

× 𝑈2 + 𝐶 1

= 4 𝑈2+ C 1

= 4 (𝑥 3 − 4)2 + C = 4 √𝑥 3 − 4 + 𝐶

2

3. Hasil dari ∫1 (4𝑥 2 − 𝑥 + 5)𝑑𝑥 Jawab : 2

2 4

1

∫1 (4𝑥 2 − 𝑥 + 5)𝑑𝑥 = ∫1 (3 𝑥 3 − 2 𝑥 2 + 5𝑥) 𝑑𝑥 4

1

= 3 𝑥 3 − 2 𝑥 2 + 5𝑥

2 1

4

= (3 (2)3 × 56

1

4

1

𝑥 2 + 5 (2)) − (3 (1)1 − 2 (1)1 + 5(1)) 2

35

=(3)−(6) =

77 6

= 12

5 6

4. Hasil dari ∫ 𝑐𝑜𝑠 4 2𝑥 sin 2𝑥 𝑑𝑥 Jawab : ∫ 𝑐𝑜𝑠 4 2𝑥 sin 2𝑥 𝑑𝑥

1

= ∫ − 2(4+1) 𝑐𝑜𝑠 (4+1) . 2𝑥 + 𝐶 1

= − 10 𝑐𝑜𝑠 5 . 2𝑥 + 𝐶

Turunan 2𝑥−5

1. Diketahui 𝑓(𝑥) = 3𝑥−4 dari 𝑓 ′ (𝑥) adalah turunan pertama dan f(x). Nilai 𝑓 ′ (1). . ? Jawab : 2𝑥 − 5 3𝑥 − 4 𝑢′ 𝑣 − 𝑢𝑣 ′ 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑣2 2 (3𝑥−4)−(2𝑥−5)3 = (3𝑥−4)2 𝑓(𝑥) =

=

6𝑥−8−6𝑥+15 (3𝑥−4)2 7

=

(3𝑥−4)2 7

𝑓 ′ (1) = (3(1)−4)2 =

7 (−1)2

=7 2. Jika 𝑓(𝑥) =

sin 𝑥−cos 𝑥 sin 𝑥

Jawab : sin 𝑥 − cos 𝑥 sin 𝑥 ′ 𝑢 𝑣 − 𝑢𝑣 ′ 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑣2 𝑓(𝑥) =

1

maka nilai 𝑓 ′ (3 𝜋) ?

= = =

((𝑐𝑜𝑠 𝑥+𝑠𝑖𝑛 𝑥) sin 𝑥)+((𝑠𝑖𝑛𝑥−cos 𝑥) cos 𝑥) (sin 𝑥) 2 (𝑐𝑜𝑠 𝑥.sin 𝑥+ 𝑠𝑖𝑛2 𝑥)−(sin 𝑥.cos 𝑥+𝑐𝑜𝑠 2 𝑥) 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 cos 𝑥.sin 𝑥+𝑠𝑖𝑛2 𝑥−sin 𝑥.cos 𝑥+𝑐𝑜𝑠 2 𝑥

= = 𝑓 ′ (1) =

= = =

𝑠𝑖𝑛2 𝑥 𝑠𝑖𝑛2 𝑥+ 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 1 𝑠𝑖𝑛2 𝑥

1 1 𝑠𝑖𝑛2 (3 (180°)) 1 𝑠𝑖𝑛2 60 1 3 4

4 3

3. Pembangunan sebuah gedung akan diselesaikan dalam x hari. Biaya pembangunan gedung per hari (210 −

2500 𝑥

− 3𝑥) juta rupiah. Biaya minimum

pembangunan gedung sebesar . . . . juta rupiah. Jawab : Biaya/hari = (210 −

2500 𝑥

− 3𝑥) 𝑗𝑡

𝐵(𝑥) = 210𝑥 −2500 - 3𝑥 2 𝐵 ′ (𝑥) = 210 − 6𝑥 Jika : 𝐵 ′ (𝑥) = 0 210 − 6𝑥 = 0 210 = 6𝑥 𝑥 =

210 6

𝑥 = 35 𝐵(35) = 210𝑥 − 2500 − 3𝑥 2 = 210 (35) − 2500 − 3(35)2 = 7350 − 2500 − 3675 = 1175 𝑗𝑢𝑡𝑎 𝑟𝑢𝑝𝑖𝑎ℎ 4. Hasil turunan ketiga dari 𝑓(𝑥) = 3𝑥 4 + 5𝑥 3 − 2𝑥 + 1 Jawab : 𝑓(𝑥) = 3𝑥 4 + 5𝑥 3 − 2𝑥 + 1 𝑓 ′ (𝑥) = 12𝑥 3 + 15𝑥 2 − 2 𝑓 ′′ (𝑥) = 36𝑥 2 + 30𝑥 𝑓 ′′′ (𝑥) = 72𝑥 + 30

𝑓 ′′′ (1) = 72(1) + 30 = 102

Limit 1. Tentukan nilai dari

2. Nilai dari

3. Nilai dari Jawab:

4. Tentukan hasil dari soal limit berikut

adalah...