Integral De Superficie 2 (nxpowerlite).pdf

INTEGRALES DE SUPERFICIE

SUPERFICIES PARAMETRIZADAS

DefiniciÓn Sea T un abierto conexo de IR2. Una superficie parametrizada es una aplicaciÓn

r: T (u, v)

~

IR3

~

r (u, v)

=( x (u, v), y (u, v), z (u, v) )

que cumple las siguientes condiciones: (1) las funciones componentes x {u, v}, y (u, v). z (u. v) son continuas y tienen primeras derivadas parciales continuas en T

(2) El producto vectorial

~~

1\

~ ~ *O

'V (u, v)

E

z

T

ar

ar

-1\-

au

v r

av

>

---+----.l....----u

u =u

O

x Habitualmente se designa por superficie S a la imagen por la aplicaciÓn r del abierto conexo T; u, v reciben el nombre de parámetros de la superficie.

ObservaciÓn la condiciÓn (2) de la definiciÓn de superficie parametrizada hace referencia a lo siguiente:

Fijando uno de los parámetros u = Uo o v = Vo obtenemos dos curvas contenidas en la superficie, que reciben el nombre de curvas coordenadas; drldv, drldu representan los vectores tangentes a cada una de dichas curvas, ya que cada derivación parcial deja fija la otra componente. La condición drldu 1\ drldv ":1= O equivale a decir que los vectores drldu, drldv son linealmente independientes, para todo valor (u, v), es decir, para todo punto de la superficie S. Así estos dos vectores generan en cada punto un subespacio vectorial de dimensión dos que corresponde al subespacio director del plano tangente a la superficie en cada punto. Producto vectorial fundamental En la parametrización de una superficie el vector drldu 1\ drldv recibe el nombre de producto vectorial fundamental. Este vector es perpendicular a la dirección del plano tangente: es un vector normal a la superficie en cada punto, no necesariamente unitario. Plano tangente a una superficie La expresión de la ecuación del plano tangente a la superficie S en el punto de parámetros (uo. vol es: x - X (u o' vo)

dX I dU (u o' vol

dX I dV (u o' vol

y - y (u ' v ) o o

ay I dU (u o' vo)

ay I dV (u o' vol

z - z (u o' vol

dZ I dU (u o' vol

dZ I dV (u ' v ) o o

= O

Métodos básicos de parametrización de superficies (1) Parametrización a través de la gráfica de una función.

Supongamos que una superficie venga dada como la gráfica de una función de dos variables f: IR2 --7 IR (x, y) --7 f (x, y) Si se cumplen para la función f las condiciones de regularidad exigidas en el apartado (1) de la definición de superficie parametrizada, entonces, tomando x, y como parámetros: (x, y)

--7

r (x, y) = ( X, y, f (x, y) )

(X, y) E Dom (f)

oorx

se verifica

oory

1\

of

of

= (- ox ,- oy , 1 )

"#

(O, O, O )

por lo que se cumple la condición (2) de la definición, tratándose, por tanto, de una parametrización efectiva.

(2) Parametrización de superficies particulares.

- Esfera de centro (O, O, O) Y radio R. X2 + y2 + z2 = R2

Expresión implícita:

z

Expresión paramétrica: x = R sen u cos v y = R sen u sen v

~+--+--y

O ::; v ::; 21t

R

z = R cos u

x Parametrizaciones dadas por gráficas de funciones:

T

Casquete superior:

(x, y)

T

Casquete inferior:

(x, y) siendo

T

= { (x, y) E

IR

2

/ x2 +

~

~

~

~

IR (x,

3

y, +

J

2 R - x2 _ y2 )

3 IR (x, y, -

l ::; R2 }

- Cilindro circular recto con eje de simetría OZ. Expresión implícita:

O
.J R2 - x2 - y 2 )

z Expresión paramétrica: x = Rcos u

o :s;

y = R sen u k.---1-"+--

Y

u :s; 27t

ZE

z=z

IR

x - Cono circular recto centrado en (O, O, O), con eje de simetría OZ. Expresión implícita:

2 X2 + y2 = R z2 X

Expresión paramétrica:

= R z cos u

y = R z sen u

O :s; u :s; 27t

z E IR - {O}

z=z

z

Z

.k-+-~--y

----.----y

x

Para z = O, vértice del cono, no existe plano tangente.

AREA DE UNA SUPERFICIE

Teorema Sea S una superficie de IR3 parametrizada en la forma: IR2 :::> T (u, v)

~ ~

IR3 r (u, v) = ( x (u, v), y (u, v), z (u, v) )

entonces: Area de S

= A (S) = JI

11

~~

(u, v)

1\

~~

(u, v) 11 du dv

T

Caso particu lar Si la superficie S viene dada por la gráfica de una función f: IR2 ~ IR, es decir, si la parametrización de S es: S' ~ IR3 (x, y) ~ (x, y, f (x, y) ) entonces: A(S) =

JI J (éJf/éJx)2+(df/éJy)2+ 1

dxdy

S'

z

S' proyección sobre el plano xy de S ~----~--------y

x

INTEGRAL DE SUPERFICIE DE CAMPOS ESCALARES

El concepto de integral de superficie de campos escalares es una generalización natural del concepto de integral doble en el plano, así que su definición es paralela a la de aquella_

Sea S una superficie de IR3 parametrizada en la forma: ~

IR2 :::> T

~

(u, v)

r (u, v) = ( x (u, v), y (u, v), z (u, v) )

~

F: IR3

Sea el campo escalar

IR3

IR

(x, y, z) ~ F (x, y, z)

y supongamos que F está definido y es continuo en todo punto de la superficie S. Los pasos que conducirían a la definición de la integral de superficie del campo escalar F consistirían en subdividir la superficie S en n regiones, valorando en un punto arbitrario de cada una de ellas el campo escalar multiplicado por el área de cada región; hecho esto se calcularía la suma de estos productos y tomando cada vez un número mayor de particiones, por paso al límite, obtendríamos la siguiente: Definición La integral de superficie del campo escalar F sobre la superficie S es:

JJ F dS S

: =

JI F ( r (u, v)) 11 g~

1\

~~

11 du dv

T

Propiedades (1) La integral de superficie de un campo escalar es independiente de la parametrización escogida para la superficie S. (2) Si el campo escalar que se integra es F (x, y, z)

JJ dS = JI 11 S

:~

1\

T

g~

= 1 queda:

11 du dv

= A (S)

motivo por el cual dS recibe el nombre de diferencial de superficie, o mejor, diferencial de área. (3)

JI (F + G ) dS = JI F dS + JI S

(4)

S

JI k F dS = k JI F dS S

S

G dS

S

ke IR

(5) Si S = S1

U

S2 donde S1

(1

S2 es a lo sumo una curva,

JI F dS = JI F dS + JI F dS S

S1

S2

Aplicaciones Supongamos que Jl = Jl (x, y, z) es la función de densidad de una lámina curvada S de grosor despreciable. Masa de S = M (S)

Entonces:

= JI

Jl (x, y, z) dS

S

(1) Centro de masas de una lámina curvada Si denotamos por (x, y, z) las coordenadas del centro de masas:

x

= M1(S) JI

y = M 1(S) JI

x Jl (x, y, z) dS

y Jl (x, y, z) dS

S

S

z

= M1(S) JI

z Jl (x, y, z) dS

S

(2) Momentos de inercia de una lámina curvada Sea r una recta y denotemos por d (x, y, z) la distancia de la recta r al punto (x, y, z) de la lámina curvada S. El momento de inercia de S respecto a la recta r resulta ser: Ir

= JI

2

d (x, y, z) Jl (x, y, z) dS

S

INTEGRAL DE SUPERFICIE DE CAMPOS VECTORIALES

Sea S una superficie de IR3 parametrizada en la forma: IR2 => T

~

IR3

(u, v) ~ r (u, v)

= ( x (u, v), y (u, v), z (u, v) )

Sea F un campo vectorial que esté definido y sea continuo en un abierto U de I R3 que contenga a la superficie S,

F: U ~ IR3 (x, y, z) ~ F (x, y, z) = ( F1(x, y, z), F2 (x, y, Z), F3 (x, y, z) ) Sea n vector normal unitario a la superficie S, es decir:

DefiniciÓn Definimos la integral de superficie del campo vectorial F sobre la superficie S como la integral de superficie del campo escalar F· n sobre la superficie S.

JI

F· n dS =

s

JI

F ( r (u, v) ) . (

~~

A

~~

)

du dv

T

éJ (x,z) éJ (x,y) éJ (u,v) , éJ (u,v)

JJs

F· n dS

= JIT

éJ(y,z) éJ(z,x) éJ(x,y) [F 1(r(u,v))":\( ) +F2 (r(u,v)) ":\( )+F3 (r(u,v))":\( )ldUdv o U,v o U,v o U,v

o bien:

JI

F· n dS =

s

JJ F1 dy

A

dz + F2 dz A dx + F3 dx

s

Propiedades (1)

JI (F + G ) . n dS = JI s

(2)

JI (k F ) . n dS S

)

F· n dS +

s

= k

JI F· n dS S

JI

G· n dS

s

k E IR

A

dy

(3) Si S = S1

U

S2 donde S1 (") S2 es a lo sumo una curva,

JJ F· n 8

dS =

JJ F· n dS + JI 8

F· n dS

82

1

(4) El valor de la integral de superficie de un campo vectorial es, salvo el signo, independiente de la parametrización escogida.

Elección del vector normal (1) Superficies cerradas. Tomaremos n como el vector normal exterior.

(2) Superficies abiertas. Tomaremos, si es posible, el vector normal ascendente. - tercera componente positiva -

S

Interpretación Si F es un campo vectorial, F· n es un campo escalar que representa la componente normal a la superficie S del campo F.

Fn

= F· n

Si el campo vectorial F (x, y, z) representa un campo de fuerzas en el espacio (campo eléctrico, magnético, ... ) entonces

JI S

F· n dS

representa el flujo que atraviesa S por unidad de tiempo.

Teoría de fluidos Supongamos que tenemos un fluido estacionario, es decir, aquel que posee en cada punto una velocidad independiente del tiempo v (x, y, z); sea Jl (x, y, z) la densidad del fluido en cada punto; definimos: F (x, y, z) = Jl (x, y, z) v (x, y, z)

F (x, y, z) recibe el nombre de densidad de flujo de la corriente de fluido y representa la masa de fluido que circula por (x, y, z) en la dirección de v por unidad de área y unidad de tiempo. La integral

JI

F· n dS

S

representa el flujo del campo F que atraviesa la superficie S y, por tanto, la masa total de fluido que atraviesa S por unidad de tiempo.

TEOREMA DE STOKES

El teorema de Stokes expresa una relación entre la integral de línea de un campo vectorial y la integral de superficie.

Teorema de Stokes Sea el campo vectorial F: IR3 (x, y, z)

~ ~

IR3 F (x, y, z) = ( F1 (x, y, z), F2 (x, y, z), F3(x, y, z) )

cuyas componentes sean funciones continuas con primeras derivadas parciales continuas en un abierto que contenga a la superficie S. Sea S una superficie parametrizada de IR3 cuya frontera sea una curva cerrada, simple y regular a trozos.

e

Supongamos que e está orientada de forma que al recorrer la frontera del lado de la normal a S deja la superficie a la izquierda. Entonces:

f F· dr = JI

e

S

rot F . n dS

Caso particular: Teorema de Green Supongamos que S es una región del plano xy.

z Parametrización de S:

x= x }

y=y ¡---t----

Y

(x, y) E S

z=O

ar ay ar ax 1\

= (O, O, 1)

x Sea F un campo de IR2 cumpliendo las condiciones del teorema de Stokes: F (x, y, O) = ( P (x, y), Q (x, y), O ) entonces:

f P dx + Q dy = ffs ( ~ ~ - ~ Py

e

) dx dy

expresión que recoge el teorema de Green como caso particular del teorema de Stokes.

TEMA 3. PROBLEMAS 3.1

3.2

Encontrar una representación paramétrica de las siguientes superficies, así como la ecuación del plano tangente en el punto indicado en cada caso: (a)

x+y+z=O

P=(1,O,-1)

(b)

x2 + z2 = a2

P = (a, 1, O)

(e)

z = 2 - x2 - y2

P = (1, 1, O)

(d)

Y = z2

P = (2,1,1)

(e)

x2 + y2 + z2 = 1

P = (1/2, 112.12/2)

(f)

x2 y2 2 -+-+z =1

P = (O, O, 1)

4

9

Calcular el área de las siguientes superficies: (a) región que en el plano x + y + z = 1 determina el cilindro x2 + y2 = 1. (b) porción de esfera x2 + y2 + z2 = 1 interior al cilindro x2 + y2 = y. (e) porción de la superficie z2 = 2xy que se proyecta en el primer cuadrante del plano xy limitada por los planos x = 2. Y = 1.

3.3

Calcular el área de la superficie determinada por la porción de la esfera x2 + y2 + z2 = 1 interior a la esfera x2 + y2 + (z - 1)2 = 1.

3.4

Calcular el área de las siguientes superficies: (a) porción de la esfera x2 + y2 + z2 = 1 comprendida entre los planos

z = 12 12 Y z = -12 12. (b) porción del cilindro parabólico z (O, O). (1, O), (1. 1).

= y2

sobre el triángulo de vértices

(e) porción del paraboloide hiperbólico z = xy interior al cilindro circular x2 + y2 = 4. 3.5

Calcular el área de la porción de semiesfera x2 + (y - a)2 + z2 interior al cilindro x2 + y2 = ay.

= a2,

z ~ O,

3.6

Calcular el área de las siguientes superficies: (a) porción del cono z2 = x2 + y2 situada por encima del plano z = O Y limitada por la esfera x2 + y2 + z2 = 2x. (b) porción del cono z2 = x2 + y2 situada entre los planos x + 2z = 3 Y z=O.

(c) porción del paraboloide 2z = 4 - x2 - y2 sobre el disco de centro (O, O) Y radio 12. (d) porción del cilindro z2 + x2 = 25 interior al cilindro x2 + y2 = 25. 3.7

Calcular el área de la superficie del recinto limitado por los planos z = 1/5, z = 4/5 Y las esferas x2 + y2 + z2 = 1, x2 + y2 + (z - 1)2 = 1.

3.8

Calcular las integrales de superficie de los campos escalares F sobre las superficies S indicadas: (a) F (x, y, z) = z2

S == casquete de z = 1/2 (x2 + y2) para O ~ z ~ 1.

(b) F (x, y, z) = xy

S == x2 + y2 + z2 = a2 en el primer octante.

(c) F (x, y, z) = x2y2z2

S == x2 + y2 + z2 = 1.

3.9

Probar que el momento de inercia de un recipiente esférico hueco alrededor de uno de sus diámetros es 2/3 M R2, siendo M su masa y R el radio, suponiendo que su densidad es constante.

3.10

Calcular las integrales de superficie de los campos escalares F sobre las superficies S que se indican: (a) F (x,

y, z) = z

(b) F (x, y, z) = x2yz

3.11

S == casquete más pequeño en que el plano y + z = 1 divide a la esfera x2 + y2 + z2 = 1.

Calcular las coordenadas del centro de masas de un casquete esférico homogéneo de la esfera x2 + y2 + z2 = R2.

3.12 Calcular las integrales de superficie de los campos vectoriales F sobre las superficies S que se indican: (a) F(x,y,z)=

1

Jx2+ y2

(y,-y,1)

(b) F (x, y, z) = ( sen xyz , z(x - y) x2 + y2) I

S == porción del plano y = 2z limitado por el hiperboloide de una hoja x2 + y2 - z2 = 1. (c) F (x, y z) = ( xz , yz , z2 ) I

S == primer octante del elipsoide 4x2 + 9y2 + z2 = 1.

3.13 Calcular las integrales de superficie de los campos vectoriales F sobre las superficies S que se indican: (a) F (x, y, z) = (yz , xz , xy )

S == cubo con centro el origen y aristas de longitud 2.

(b) F (x, y, z) = (x - y, y - z, x - y) S == frontera de [0,1]3.

3.14 Calcular las siguientes integrales de superficie: (a)

ff (x + y) dy

1\

dz + (y + z) dz 1\ dx + (x + z) dx 1\ dy

S

S == superficie del cuerpo limitado por z = 4 - x2 - y2 Y z = O. (b)

ff xy dy

1\

dz + y2 dz 1\ dx + y2 dx

1\

dy

S

S == superficie del cuerpo O S; x S; 1 , O S; Y S; 1, O S; z (c)

ff y dy

1\

dz + x dx 1\ dz + dx

1\

S;

1.

dy

S

S == r (t, u) = ( t cos u , t sen u , u ), O S; t

S;

1, O S; u S; 21t

3.15 Calcular el flujo que atraviesa la superficie del primer octante de la esfera x2 + y2 + z2 = R2 en la dirección de la normal ascendente, para el campo F (x, y, z) = ( yz, xz, xy ).

3.16

El flujo de un fluido tiene el campo F (x, y, z) = ( x, - 2x - y, z) como vector densidad de flujo. Sea S el hemisferio superior (z ~ O) de la esfera x2 + y2 + z2 = 1. Calcular la masa de fluido que atraviesa S por unidad de tiempo en la dirección de la normal ascendente.

3.17 Verificar el teorema de Stokes con el cálculo de las integrales de línea sobre las trayectorias C de los campos vectoriales F que se indican: (a) F (x, y, z)

= (z, x, y )

C curva intersección del plano y + z = 2 Y el cilindro x2 + y2

= 1.

(b) F (x, y, z) = ( y - z, z - y, x - y ) C curva intersección del cilindro x2 + y2 = 1 Y el plano x + z = 1. (c) F (x, y, z)

=( x2 + y, yz, x - z2 )

C curva intersección del plano 2x + y + 2z = 2 Y los tres planos coordenados.

(d) F (x, y, z) = ( x, y, O ) C curva intersección del paraboloide circular x2 + y2 = 4.

z = x2 + y2

con el cilindro

3.18 Emplear dos superficies diferentes para calcular las siguientes integrales de línea mediante el teorema de Stokes. (a)

J y dx +

Z

dy + x dz

e

C curva intersección de la esfera x2 + y2 + z2 con a> O. (b)

= a2

y el plano z

= a/2,

J(y2 - xz) dx + (x2 + zy) dy + (x2 + y2) dz

e

C curva intersección del plano 2x + 2y + 2z = 1 con el paraboloide z = x2 + y2. (c)

J(y + x) dx + (x + z) dy + z2 dz

e

3.19

C curva intersección del cono z2

= x2 + y2

Calcular el valor de la integral de línea

J F . dr e

Y el plano z

= 1.

siendo C una curva cerrada

que limita un recinto sobre el plano xy de 3 unidades de área, y el campo: F (x, y, z)

3.20

= (y3 Ch x + Sh y sen z,

3y2 Sh x Ch z + 4x, y (Sh x + Ch z) )

Probar que las siguientes integrales de línea tienen los valores que a continuación se detallan: (a)

f y dx +

Z

dy + x dz =

-/3

1t

e

C curva intersección de la esfera x2 + y2 + z2 = 1 con x + y + z (b)

f (y + z) dx + (z + x) dy + (x + y) dz = O e

(c)

C curva intersección del cilindro x2 + y2

= 2y

f (y - z) dx + (z - x) dy + (x - y) dz = - 10

1t

C curva intersección del cilindro x2 + y2

=1

e (d)

Y el plano y

= z.

Y el plano x + z/4

= 1.

f (y2 + z2) dx + (x2 + z2) dy + (x2 + y2) dz = 41t e

C curva intersección de la semiesfera x2 + y2 + z2 cilindro x2 + y2 = 2x. 3.21

= 1.

= 4x,

z ~ O, yel

Calcular cada una de las siguientes integrales de línea: (a)

f (y2 + z2) dx + (x2 + z2) dy + (x2 + y2) dz e C ={x + y + z =a}

(b)

í) {

x2 + y2 =a2/4 }

f (y2 + z2) dx + (x2 + z2) dy + (x2 + y2) dz e C

(c)

={x2 + y2 + z2 = 4y } í ) { x2 + y2 = 2y }

f y dx +

Z

dy + x dz

e

e ={x2 + y2 + z2 = 1 } 3.22

í) {

y + z =1 }

Sobre la trayectoria intersección del plano x + y + z = 3/2 con la frontera del cubo unidad, a [O, 1]3, calcular la integral de línea del campo vectorial F (x, y, z) = ( y2 - z2, z2 - x2 , x2 _y2 ).

SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS DEL TEMA 3

3. 1

Encontrar una representación paramétrica de las siguientes superficies, así como la ecuación del plano tangente en el punto indicado en cada caso: (a)

P=(1,0,-1)

x+y+z=O

Parametrización r = r (x, y):

dr _

O

1 d x - ( -1

Plano tangente:

(b)

X2

+ z2 = a 2

J

x=x } y=y z=-x-y

-ª.l. -

1 (-1OJ

x -1

1 O O 1 -1 -1

dY -

Y

z+1

x,ye IR

'ti x, y

= O;

x+y+z=O

P = (a, 1, O)

z Parametrización: r = r (u,v)

;-'-+---1-- y

x=acosu} y=v z = asen u

Ue

[O, 21t]

ve IR

x Valor de los parámetros en P = (a, 1, O) ,

dd vr

u = O, v = 1.

= (0,1)

Plano tangente:

x- a y-1 z

(O1 J O

O O 01 a O

=0;

x-a = O

z = 2 - X2 -

(e)

P = (1, 1, O)

y2

z 2

Parametrización: r = r (x,y) x=x

}

y=y

r---+--y

2

z=2-x -y

2

X

,ye IR

x x = 1, Y = 1.

Valor de los parámetros en P = (1, 1, O) ,

~~

(1,1) =

(-~ J

x- 1 1

ar ay

(d)

-2

(1,1)

O

Y- 1 O 1 z -2 -2

Plano tangente:

(O1 J

-

= O;

2x + 2y + z - 4 = O

P = (2, 1, 1)

z Parametrización: r = r (x,z)

r-----y x =_ zX 2 }

Y

x,ze IR

z=z

x

Valor de los parámetros en P = (2, 1, 1) ,

arl ax

= (2,1)

(1J O O

arl = az (2,1 )

x = 2, z = 1.

x- 2 1 y-1 z -1

Plano tangente:

O O

O 2 1

= O;

y-2z+1 = O

P = (1/2, 1/2, f2 /2)

(e)

z Parametrización: r = r (u,y)

x = sen u cos y }

~-+---t-1-

O
y = sen u sen y

Y

0~Y~21t

z = cos u

x Valor de los parámetros en P = (1/2,1/2,

ar 1/2 1/2 J au (~ ,~)-- ( -f2 /2 x - 1/2 Y - 1/2

-1/2 1/2 z - f2 /2 -f2 /2 O

Plano tangente:

(f)

X2

y2

4

9

ar ay

2

- + - + z =1

1/2 1/2

f2 /2),

(~~) 4 '4

= O;

u= : ' y= :

= (-1/2J 1/2 O

x + y + f2 z - 2

=O

P = (O, O, 1)

La parametrización que, en principio, podríamos considerar habitual:

z 1 x = 2 sen u ces y }

~---~-y

3

x

y = 3 sen u sen y z=

cosu

O
no permite calcular plano tangente en el punto P = (O, 0, 1) "polo norte" del elipsoide, pues allí ar/au 1\ ar/av = O. Consideramos entonces la siguiente parametrización r = r (u, v):

z /

(x, y, z)

)L----L.---

x = 2 sen u cos v } y=3cosu z = sen u sen v .

Y

O
x Valor de los parámetros en P = (O, 0, 1), u = 1t/2, v = 1tI2.

ar

ar au

av

Plano tangente:

3.2

°° z-1 ° ° x

(~ .~

=

(-2)°

) °

-2

Y -3

= O;

z -1 =

°

Calcular el área de las siguientes superficies:

(a) región que en el plano x + y + z = 1 determina el cilindro x2 + y2 = 1.

Parametrización de S:

x=x } y=y z = f (x, y) = 1 - x - y

af/ax=-1, Dominio de parámetros:

(x, y) E T

af/ay=-1 T = { (x, y) / x2 + y2 :s:; 1 }

Area (S)

= JI T

J

(a f / a x)2 + (a f/ a y)2 + 1 dx dy

JI [3 dx dy =

=

T =

[3 Area ( T) =

=1

(b) porción de esfera x2 + y2 + z2

13 1t

interior al cilindro x2 + y2

= y.

Calculamos el área de la cuarta parte de la superficie S, correspondiente al hemisferio superior y a la porción que se proyecta sobre el primer cuadrante del plano xy; Area (S) = 4 Area (S1)

z

y 222 + (y - 1/2) = (1/2)

X

T k---~--y

_ _.-:::.........01::::-_ _

X

x Parametrización de S1:

Area(S1)

= JI T

=

J

(af/ax)2+(af/ay)2+ 1 dxdy

JI T

Frontera del recinto T:

+J 1 - x2 _y2

z = f (x, y) =

x2 + y2

1 dx dy 1 - x2 _y2

J

= y,

completando cuadrados:

222 x +(y-1/2) = (1/2) La otra frontera de T es el eje OY:

Cambio de variable:

=

x = r cos e } y = r sen e

x~O, y~O

x= O

J (r, 8) = r

=

o ~ e ~ 1tI2 o ~ r ~ sen e

Descripción de T en polares:

Area ( S) = 2 1t - 4 (e) porción de la superficie z2 = 2xy que se proyecta en el primer cuadrante del plano xy limitada por los planos x = 2, Y = 1.

Parametrización de S: df

z

ax = Area (S)

= ff T

Y

df

ay

j2xy

J (a 1/ ax}2 + (a

x = j2xy

=

/i ay}2 + 1 dx dy

4 r;: = -12 (2-.' 2 2 3

3.3

O ~ x ~ 2, O ~ Y ~ 1

= f (x, y) = j 2xy

4 r;: + --.' 2 ) 3

Jo 1 ~ dy dx o 2xy

=4

Calcular el área de la superficie determinada por la porción de la esfera x2 + y2 + z2 = 1 interior a la esfera x2 + y2 + (z - 1)2 = 1.

Parametrización de S:

z = f (x, y) =

+J 1 - x2 _y2

z

y

x Proyección de la curva intersección de ambas esferas: 2 2 z - (z - 1) = 1

1 z=2

La curva intersección está contenida en el plano z = 1/2, por lo tanto, su proyección en el plano xy será: que es la frontera de T. Area (S)

= JJ T

En polares

J (a

f / a x)2 + (a f / ay)2 + 1 dx dy

T

X = r cos e } y = r sen e J (r, e)

2ft

Area (S)

=J

=r,

J1 - 1x2 _y2

'.

T se descnbe como.

[f3

13 /2

J .f17 dr de = 2 1-~

1t

O O

3.4

= JJ

-

J1 -,2 L

dx dy

O::;; e : ; 21t O::;; r ::;; f3 /2

12

= 1t

O

Calcular el área de las siguientes superficies: (a) porción de la esfera x2 + y2 + z2

z =f2 /2 Y z =

- f2 /2.

=1

comprendida entre los planos

z

5

z

;-.---t--y

;-.---t--y

x

z = -/2/2

x

Por la simetría de la figura: Area (5) Parametrización de 51:

Area (51)

= JJ T

J (a = JI T

= 8 Area (51) =

z = f (x, y)

+J 1 - x2 _y2

f / ax)2 + (a f / ay)2 + 1 dx dy 1

J1 - x2 _y2

=

dx dy

Determinación de T:

y

X2+y2+Z2= 1 }

z=o -+----=~-'---

En polares

x r cos a } y ~ r sen a J (r, a) = r, T se describe como:

x/2

Area (Sl)

=f

1

f

o 12 /2

6

1-~

'Tt/2 [

drde

Area (8) =

=f

..{1"7

O

212 1t

x

12 /2o ~~ ar ~~ 11t/2

]1

= 'f2 /2

121t 4

(b) porción del cilindro parabólico z = y2 sobre el triángulo de vértices (O, O), (1, O), (1, 1).

z

y (1,1 )

T ~---y

(0,0)

O $y $1 y$x$1

T: x

a

a

f f a x = O, a y = 2y

2

Parametrización de S: z = f (x, y) = y ;

JI J (a f / a x)2 + (a f / a y)2 + 1 dx dy = ] JJ4y2 + 1 dx dy =

Area (S) =

oy

T

1

1

J4y2 + 1 (1 - y) dy = J(2J y2 + 1/4 - 2yJ y2 + 1/4 ) dy =

=J o

x

(1,0)

o

= [ yj l

+ 1/4 +

!

In (y +

Jl

1

+ 1/4 ) - ;

(l + 1/4 )3/2] = O

(e) porción del paraboloide hiperbólico z = xy interior al cilindro circular x2 + y2 = 4.

Parametrización de S:

z = f (x, y) = x y af/ax

Area (S) =

=y

para x2 + y2

$

4

aflay =x

JI J (a f / a x)2 + (a f / a y)2 + 1 dx dy = Ji Jy2 + x2 + 1 dx dy T

T

Efectuando un cambio a coordenadas polares el dominio de parámetros T: x2 + y2 ~ 4

3.5

x = r cos 9 } J (r, 9) y = r sen 9

=r

se describe como:

Calcular el área de la porción de semiesfera x2 + (y - a)2 + z2 = a 2, z ~ O, interior al cilindro x2 + y2 = ay.

Por la simetría de la figura, consideraremos 8 1 como la mitad de la superficie 8 que se proyecta en el primer cuadrante del plano xy.

y

z

~---+-----ll--y

---~~~~----x

x Parametrización de

af ax =

8 1:

z

= f (x. y)

J

2 2 2 a - x - (y - a)

af

-x

Ja2 - x2 -

Area (8) = 2

= +

(y - a)

2

ay =

Ja2 - ·.2x - (y - a)2

JI J (a f / a x)2 + (a f / a y)2 + 1 dx dy = T

= 2

- (y - a)

JI T

a dx dy 2 2 a - x2 - (y - a)

J

Las fronteras de T son, por un lado, la circunferencia x2 + y2 = ay que completando cuadrados es: 222 X + (y - 812) = (812) y, por otro lado, el eje OY cuya ecuación es:

x=O

Por la forma del integrando tomamos coordenadas polares centradas en el punto (O, a): x= rcos9 } y = a + r sen 9

J (r, 9) = r

Las fronteras de T se transforman en:

-+

X2 + y2 = ay

r = - a sen 9 ;

por lo que T se describe como:

J J

= - 2a

O

2

21t [ a 2 a -

J

~

9 =37t12

-+

37t12 ~ 9 ~ 21t O ~ r ~ - a sen 9

21t - a senO Area (8) = 2 31t/2

x =O

J J

r dr d9 = - 2a 31t/2

a2 _ ~

] - a sen a = O

21t

J (cos 9 - 1 ) d9 = 2a2 (~

-1)

31t/2

3.6

Calcular el área de las siguientes superficies:

(a) porción del cono z2 = x2 + y2 situada por encima del plano z = O Y limitada por la esfera x2 + y2 + z2 = 2x.

z y

-k:~IQ----

Y

-b'~::r:,r--

X

1 2

2

(x - 1/2) + Y x

= (112)2

Parametrización de 8:

Area (8)

z

= f (x, y) = +

Jx2 + y2

J (d f / d x)2 + (d f / d y}2 + 1 dx dy = JJ f2 dx dy

= JI T

T

La frontera de T resulta de la proyección de la curva intersección del cono y de la esfera:

2

2

(x - 1/2) + Y = (1/2)

2

circunferencia de centro (1/2, O) Y radio 1/2. Entonces: Area (8) =

f2

JI

1 dx dy =

f2

Area (T) =

f2

1t

(1/2)2 =

~ 1t

T

(b) porción del cono z2 = x2 + y2 situada entre los planos x + 2z = 3 Y z = O.

z

y

x

Parametrización de 8:

Area (8)

= Ji

z

J (a

= f (x, y)

=

+J x2 + y2

f la x)2 + (a 11 a y)2 + 1 dx dy =

T

JI J2 dx dy T

La frontera de T es la proyección de la curva intersección del cono con el plano:

(x + 1)

2

2

elipse de semiejes 2, Area (8)

= J2

fJ 1 dx dy = J2

2

f3.

Area (T) =

J2 2 f3

1t

= 2/6

1t

T

(e) porción del paraboloide 2z Y radio

=4 - x2 - y2

sobre el disco de centro (O, O)

J2. z

y

;----i-t---

Y

x Parametrización de 8:

z

21 2 = f (x, y) = 2 - -1 x -- y 2 2

aflax=-x

aflay=-y

Area (8)

= SS T

J {a

f I a x)2 + {a f I ay)2 + 1 dx dy

En coordenadas polares

21t 12J = S S,2 + 1

Jx2 + y2 + 1 dx dy

T x = r cos a

y = r sen a

} J (r, a) = r,

se expresa como:

Area (8)

= JJ

r dr de

el recinto T: O~a~21t

O~r~f2

[2

3/2

= 21t ~ "3 (,2 + 1)

o

o o

(d) porción del cilindro z2 + x2

= 25

f2 t = ~1t

interior al cilindro x2 + y2

(313 - 1)

= 25.

El dibujo representa la octava parte de la superficie cuya área queremos calcular, concretamente la que corresponde al primer octante del espacio xyz. z

y

;.-------;-1---..,-- Y

5

x Parametrización de la porción de 8:

z = f(x, y) =

+.J 25 - x2

af _ O ay -

Area (8)

0~x~5

Descripción de T:

O ~ Y ~ .jr--_-x-2

25

5 J25-x 2

Area (8)

= 40

J J o

3.7

O

5

1 dy dx 25 - x2

J

= 40

Jdx = 200 o

Calcular el área de la superficie del recinto limitado por los planos z z = 4/5 Y las esferas x2 + y2 + z2 = 1, x2 + y2 + (z - 1)2 = 1.

= 1/5,

En sección:

z

z 84

4/5 Á..._ _-+-_.....A x2 + y2 + z2 = 1 Z=

1

"'C"--f--~Y x2 + y2 + (z _1)2 = 1 ~""j::::::::::"_----=' y x Este recinto está limitado por cuatro fronteras: Disco sobre el plano z = 1/5 limitado por x2 + y2 + (z - 1)2 = 1 Proyección en el plano xy:

x2 + y2 = (3/5)2

Porción de esfera x2 + y2 + (z - 1)2 = 1 limitada por z = 1/5 Y por la esfera x2 + y2 + z2 = 1 Proyección de las curvas intersección en el plano xy:

Porción de esfera x2 + y2 + z2 ra x2 + y2 + (z - 1)2 = 1

= 1 limitada por

z

= 4/5

Proyección de las curvas intersección en el plano xy:

Y por la esfe-

S 4:

Disco sobre el plano z = 4/5 limitado por x2 + y2 + z2 Proyección en el plano xy:

=1

x2 + y2 = (3/5)2

Las áreas de las superficies S1 y S4 son iguales, así como las de las superficies S2 y S3; basta observar su simetría respecto al plano z = 1/2.

Cálculo del área de S3: Parametrización:

z = f (x, y) = +

J1 - x2 _y2

y En polares:

x=rcose } y = r sen e J (r, e) = r O$e$27t

Descripción de T:

/3 f f

2x =

o

Area (S)

3.8

[]/3 J ~

/2

~

3/5

4

=~

i~

dr de = 21t -

3/5 $ r $13/2

/2

1_

=

~1t

3/5

Area (S.) I

= 91t

25

+ 31t + 31t + 91t 5 5 25

= 48

25

1t

Calcular las integrales de superficie de los campos escalares F sobre las superficies S indicadas:

s == casquete de

(a) F (x, y, z) = z2

z = 1/2 (x 2 + y2) para O S; z

S;

1.

La integral de superficie de un campo escalar F viene dada por:

JI

F dS

= JI

S

F ( r (u, v))

~~

11

~~

1\

11

du dv

T

siendo T el dominio de los parámetros que describen la superficie S. Si la parametrización de S viene dada por r (x, y) en la forma: x=x } y=y z = f(x, y)

(x, y)

JI

F dS =

S

T,

E

la fórmula anterior se expresa como:

JI F (x, y)

11

~~

~r

1\

11 dx dy

Y

T

siendo 11

lll\ll ax ay

i 1

11 = 11

o

.

k af/ax 1 af/ay

b

11 =

J (af/ax)2+(af/ay)2+ 1

Este es el caso que nos ocupa en este ejercicio.

z

Parametrización de S: z =f (x, y) =1 ( x2 + y2 ) 2

x

Por lo tanto:

JI F dS = JI [~ S

(x 2 + y2)]2

Jx2 + y2 + 1

dx dy

T

El dominio de parámetros T es la proyección sobre el plano xy de la superficie S y su frontera resulta ser la proyección de la curva intersección del

paraboloide con el plano z = 1. z=

~

2

(x + y2) }

z=1 x = r cos 9 } J (r, 9) = r y =r sen 9

Efectuando en la integral un cambio a polares: el recinto T se expresa como:

o S; 9 S; 27t Os;rs;[2

r= tg t =

dr=

1

dt

2

cos t arctg f2

= 11 2

J

o

arctg f2

5

sen t dt = 11 cos 8 t 2

J

o

2

(1

w

2

cos t) cos8 t

sen t dí =

ya que cos (arctg f2 ) =

la

(b) F (x, y, z) = xy

S == x2 + y2 + z2 = a2 en el primer octante.

Parametrización de S:

z

= f (x, y) = +,j a2

w

x2 _ y2

11

-ª.L

1\

ax

-ª.L

Ja2 -ax2 - y2

11 =

ay

z

y

;----7--y

x

JI F dS = JI x y

Por lo tanto:

S

T

Ja2 _ax2 _y2

dx dy

El recinto T es la proyección en el plano xy de la esfera x2 + y2 + z2 = a2 (primer octante), es decir: x,y~O

x =r cos e } J (r, e) = r. y = r sen e

En polares:

T se describe como:

1[/2 a

JJF dS = J J ~ cos e sen e o o

S

= J sen e cose 1t/2

O 1tI2

4 1tJ/2

2

O

a

J O

2] = [ sen e 2

= -a

de

O

a

.J a

2

~ -

~

dr

.J a =

a 2

{

-

~

r dr de =

r =a sen t } dr = a cos t dt

=

1[/2 4 3 1t/2 a sen tacos t dt = 1. a4 sen3 t dt = a cos t 2

J

J

O

O

( 1 - cos 2 t) sen t

dt

= ---a 2

4 [

1· 3 ]1tI2 _ cos t - -3 cos t O -

a4 3

Esta integral de superficie se extiende a la esfera de radio unidad cen ..

trada en el origen de coordenadas. Dada la simetría de la figura y del campo F (x, y, z) = x2y2z2 respecto al origen de coordenadas: (x,y,z) H (-x,-y,-z) podemos extender el cálculo sólo al primer octante de la esfera, y luego multiplicar el resultado por ocho.

z y

i----+--y

x z = f (x, y) = +

Parametrización de S:

J1 - x2 _y2 af

-y

a-= y J1 - x2 _y2 11

ar

ar

1

ax/\ayll=J 1 - x2 _ y2

En coordenadas polares T se describe:

o ~ e ~ 1t/2 o ~ r~ 1

1t/2 1

8

ff F dS = 8 f f ~ cos2e r2 sen2e (1 - r2) s

=8

00

1t/2 2 2 f1 5 ~ r " 1 - r dr f cos e sen e de

o

o

f

1

J1-~ r = sen t

r dr de

}

= 1dr =cos t dt =

=

~2

- 8 -

J 1 + cos 291 O 2 ~2

=2

J(1 - cos

2

M

~Os 29 d9

xn 29) d9

o x/2

=2

J(~

M

~2

JO sen5 t cos t cos t dt =

J(1 - cos

2

2

2

t) cos t sen t dt

o x/2

co~ 49

) d9

O

J(- cos2 t + 2 cos4 t - cos6 t) ( - sen t ) dt =

O xl2

7

47t

cos t ]

7

3.9

=

O

= 105

Probar que el momento de inercia de un recipiente esférico hueco alrededor de uno de sus diámetros es 2/3 M R2, siendo M su masa y R el radio, suponiendo que su densidad es constante.

z Momento de inercia respecto a una recta r:

Ir

= JI ;(x, y, z)

J.1 (X, y, z) dS

S

Al tomar como diámetro el eje OZ:

x

2

2

a (x,y,z) = x +y

2

Como se trata de un recipiente homogéneo J.1 (x, y, z) = k. Así pues, hemos de calcular:

Ir

= JI

2 k (x + y2) dS

S

Parametrización de la esfera: (x, y, z)

x = R sen u cos v } y = R sen u sen v z= Rcosu

= r (u, v) 11

-ª.L au

1\

ar av

2 11 = R sen u

O
Ir

= ff

2 k (x + y2) dS

= JI

S

k ([x (u, v)]2 + [y (u, v)]2) 11

~~

1\

~~

11 du dv

=

T 27t 7t

=

f f k (R2 sen2u cos2v + R2 sen2u sen 2v ) R2 sen u du dv =

o o 4

=kR

27t

7t

f

dv

O

f sen

3

4 7t

u du

= 2 k 1t R

O

f (1 - cos2u ) sen u du =

O

Pero la masa total M del recipiente esférico homogéneo es:

M

= JI

Jl (x, y, z) dS

= JI

S

k dS

S

=k

27t 7t

2

f fR

2

sen u du dv

= 4 k 1t R

O O

Sustituyendo M en la expresión de Ir nos queda: I

r

= -ª3

4

k 1t R

=~ 3

2 2 4 k 1t R R

=~ 3

2 MR

3.10 Calcular las integrales de superficie de los campos escalares F sobre las superficies S que se indican: S == z = 1 - x2 - y2, z ~ O.

(a) F (x, y, z) = z

y

z 1

~---+-y

x Parametrización de S:

z

= f (x, y) = 1 - x2 -l

af = -2y ay

aafx = - 2x

JI F dS = JI z dS = JI (1 - x2 - y2 ) J4x2 + 4y2 + 1 s

S

En coordenadas po Iares X2 + y2 ~ 1

T yx = = rr cos sen e e

} J (r, ull) = r,

r----

JI F dS = f f (1 - ,2 ) J4,2 + 1 =

' T: elrecinto

se describe como: 2TC 1

s

dx dy

r dr de

=

o o

2TC

1

1

o

o

o

f de f (r - (3 ) J4,2 + 1 dr = 27t f (r J4,2 + 1 - (3 J4,2 + 1 ) dr

Calculamos por separado cada integral: 1

+ 1) fO rJ 4,2 + 1 dr = .18 [ (4,2 3/2 1

]

= _1 O

1

1 3/2 4,2 + 1 dr = [ 12,2 (4,2 + 1) ] O

f (3 J

o

1

3/2

~

12

(5Í5 -1 )

f1 r (4,2 + 1)3/2 dr = O

1

= _1 12

5/5 _ _ 1 [(4,2 + 1)5/2] = 5/5 __1_ (25/5 -1) 48 5/2 12 120

o

Finalmente:

(5Í5 - 1) - _1 5Í5 + _1_ (25Í5 - 1)] JIS F dS = 27t [ _1 12 12 1 20

(b) F (x, y, z)

= x2yz

s == casquete

=

(5Í5 - .11).1L 5

12

más pequeño en que el plano y + z = 1 divide a la esfera x2 + y2 + z2 = 1.

z = f (x, y) = +

Parametrización de S:

J1 • x2 • y2

JJ F dS = JI ~ y dx dy S

T

z

y 1

1---"'--

Y

X

Determinación del dominio de parámetros T. La frontera de T será la proyección sobre el plano xy de la curva intersección de la esfera y el plano.

completando cuadrados:

(y-1/2)

2

=1

( 1/2 )2 elipse de centro (O, 1/2) Y semiejes 12/2 y 1/2 Efectuando un cambio a coordenadas elípticas descentradas:

r:

x=

rcos e }

1 1 Y = - + - r sen e 2 2

o ~ e ~ 21t

el recinto T se describe como:

o ~ r~ 1

Por lo tanto:

12 2 JI F dS = 21tJ J1 (-f r cos e) (~ s

oo

12 21t 1

= 1~

+

~

r sen e)

12 :

r dr de

=

J J ~ cos e (1 + r sen e) dr de = 2

o o

In 21t

=

::a... J(.1 cos2e + .15 cos2e sen e ) de 16 o 4 21t

12

1

= 16 [ 8"

1 1 3 e + 16 sen 2e - 15 cos e ] o

=

=

12

64 1t

3.11 Calcular las coordenadas del centro de masas de un casquete esférico homogéneo de la esfera x2 + y2 + z2 = R2.

z y

Supondremos que el casquete esférico viene determinado sobre la esfera x2 + y2 + Z2 = R2 desde su parte superior hasta la intersección con el pIano z = a, O:S; a :s; R. Parametrización del casquete S:

Z

= f (x, y)

=+

JR - x 2

2 - y2

-y

df

dy =

JR - x - y 2

2

2

El dominio de parámetros T tiene por frontera la proyección de la curva intersección del plano y de la esfera: 2 x2 + y2 + z2 = R } z=a Al ser el casquete esférico homogéneo su densidad J.l (x, y, z) es constante. Masa (S) =

JI J.l (x, y, z) dS = JI k dS S

= k JI

S

T

R dx dy 2 R _ x2 _ y2

J

Tomando coordenadas polares, T se describe como:

o :s; 9 :s; 21t O:S; r :s;

21t

Masa (S) = kR

J

2 R

~a2

J J

o

o

= _ 2ltkR [

-Jr-~-2-_~-

Buscamos ahora las coordenadas Por simetría

JR

r

2

2

R -a _

2ltkR (R _ al

o

rx. y, z)

del centro de masas.

x=y = O

z = Mas~ (S) J1 z

J.l (x, y, z) dS

= Mas~ (S)

k

J1

z dS

2

-

a2

Nos limitaremos a calcular esta última integral con la misma parametrización de S:

ya que T es un círculo de radio

JR2 - a2

Sustituyendo en la expresión de

z=

z:

JI

2

1 k z d8 = 1 R1t (R _ a2) = R + a Masa (8) S 2itkR (R - a) 2

siendo, por lo tanto, el centro de masas el punto:

(X, y, z) = (O, O, R; a )

3. 1 2 Calcular las integrales de superficie de los campos vectoriales F sobre las superficies 8 que se indican: (a)F(x,y,z)=

1

Jx2+ y2

(y,-y,1)

2 8=z=1-x2 -y. OSzS1

Consideramos la siguiente parametrización de la superficie 8:

z x=VCOSU}

;.-----+-y

y=vsenu z= 1-v2

Osus2it OSvS1

x dr d u = (- v sen u • v cos u , O)

-ª..L au

A

dr d v = (cos u , sen u , - 2v)

iavl - (- 2v2cos U • - 2v2 sen u • - v )

El vector normal que se obtiene corresponde a la dirección descendente (3 i componente negativa); tomamos como vector normal el ascendente, al tratarse de una superficie abierta. Es decir: ( 2~cos u , 2v2sen u , v )

JI

21t1

F· n dS

= J J ~ (v sen u, - v sen u, 1) . (2v2cos u, 2v2sen u, v) dv du =

S

00

2x1

= J J [2v2 (sen u cos u - sen2u) + 1 ] dv du = OO 1

= J 2v

2

21t

dv

O

O

21t

2 1 2 1 1 = - [ "2 sen u - "2 u + "4 sen 2u ]

3

(b) F (x, y, z)

2x

1

O

o

J {sen u cos u - sen u} du + J du f dv = 2

O

41t + 21t = -

3

= ( sen xyz , z(x - y) , x2 + y2 )

s == porción del plano y = 2z limitado por el hiperboloide de una hoja x2

+ y2 - z2 = 1.

z

y

2/3/3

-t----y

---~~~~r---x

1

2

y2

x + - =1 x

413

Proyección de la curva intersección del plano y = 2z y el hiperboloide sobre el plano coordenado xy:

elipse centrada en (0,0) y de semiejes 1, 2./3 /3 La parametrización mediante coordenadas elípticas del interior de la curva proyección (dominio T), induce la parametrización poco habitual de la porción de plano S interior al hiperboloide:

z=y/2

x= v cos u } y = 2./3 /3 v sen u z = /3 /3 v sen u

~

0$v$1 O $ u $ 21t

~ ~ = (- v sen u ,2./3 /3 v cos u ,./3 /3 v cos u)

g~

= ( cos u , 2/3 /3 sen u , /3 /3 sen u )

aaru

"

aarv

~

~

= (O, -i 3 /3 v , - 2-i 3 /3 v )

Tomamos como normal ascendente el opuesto del vector obtenido: ( O , - ./3 /3 v , 2./3 /3 v ) Entonces:

ff

F· n dS =

s

21t1

=

J J (sen (2/3 v sen2u cos u), /3 /3 v sen u (v cos u - 2/3 /3 v sen u), 3

oo

1

=

21t

~

Jo v dv oJ (-31 sen u cos u + 1O-i9 3 3

sen 2u + 2./3 cos 2u) du = 4/3 1t 3

(e) F (x, y, z) = ( xz , yz , z2) S == primer octante del elipsoide 4x 2 + 9y2 + z2 = 1.

9

z Elipsoide:

n

;---1---

Y semiejes: 1/2, 1/3, 1

x z Parametrización del primer octante del elipsoide:

x = 1/2 sen u cos v }

o Su Sn:l2

y = 1/3 sen u sen v

k--+--Y

z=

O sv Sn:l2

cosu

x

~~

aavr -ª..L au

A

ar av

(~

=

= (

cos u cos v,

-1 2"

~

sen u sen v ,

cos u sen v , - sen u )

"31

sen u cos v , O )

(~ sen 2u cos v ~ sen 2 u sen v ~ sen u cos u )

=

3

'2

'6

que sirve como vector normal ascendente.

JI

1t/21t/2

F· n dS =

S

J J (~

sen u cos v cos u,

~

2

sen u sen v cosu. cos u)·

O O .

(~

1t/21t/2

=

sen u cos v • ~ sen u sen v

J J(~

O O

2

2

3

sen u cos u +

~

3

,~

sen u cos u ) dv du =

cos u sen u ) dv du =

3. 1 3 Calcular las integrales de superficie de los campos vectoriales F sobre las superficies 8 que se indican: (a) F (x, y, z) = ( yz , xz , xy)

8 == cubo con centro el origen y aristas de longitud 2.

z

1

)-

8

-+---tf--y

3

8=0[-1,1]

1

Nos encontramos ante una superficie cerrada que es unión de seis caras superficies regulares. Como superficie cerrada que es debemos tomar sobre cada una de sus caras el vector normal exterior. Actuamos de forma sistemática para la parametrización de cada cara y para la evaluación de la integral sobre la misma:

Cara (Parametrización)

xy=y =1} z=z

X=-1} y=y z=z

X =x } y=1 z=z

x-x } Y =-1 z=z

x=x} y=y z=1

x=x} y=y z =-1

JJ F· n dS

F·n

S 1 1

-1 sy S 1 -1 Sz S 1

(1,0,0)

yz

JJyzdydz=O -1-1 1 1

-1 sy S 1 -1 Sz S 1

(-1,0,0)

-1SxS1 -1 Sz S 1

(0,1,0)

-1 SxS1 -1 Sz S 1

(0,-1,0)

- yz

J J - yz dy dz = O -1 -1 1 1

xz

JJxzdxdz=O -1 -1 1 1

- xz

J J -xzdxdz = O -1 -1 1 1

-1 Sx S 1 -1 sy S 1

(0,0,1)

-1SxS1 -1 sy S 1

(0,0,-1 )

JI F· n dS S

n

xy

J Jxydxdy = O -1 -1 1 1

- xy

J J -xydxdy = O -1 -1

es la suma de los valores de la última columna:

JI

F· n dS = O

S

Observación: Esta integral podría calcularse mediante un único proceso de integración empleando el teorema de la divergencia; véase problema 4.22 (a).

(b) F (x, y, z) = (x - y, y - z, x - y) S == frontera de [O, 1]3.

z

3

S = d [0,1 ]

x Como en el apartado anterior efectuaremos la integral sobre cada cara y recogeremos los resultados en la siguiente tabla:

Cara (Parametrización)

x= 1} y=y z=z

x=O} y=y z=z

x=x} y=1 z=z

x=x} y=O z=z

x=x} y=y z=1

x=x} y=y z=O

0~y~1

n

(1,0,0)

1-Y

y

1 1

(0,1,0)

1-z

0~y~1

JJ(1 - z) dz dx = ~ OO 1 1

(0,-1,0)

z

IIzdzdx=~ 00 1 1

(0,0,1)

x-y

O~y ~1

0~x~1

IIYdydz=~ 00

O~z ~1

0~x~1

JJ(1 - y) dy dz = ~ 1 1

(-1,0,0)

O~z ~1

0~x~1

S

OO

O~z ~1

0~x~1

JIF.n dS

1 1

O~z ~1

0~y~1

F·n

J1(x - y) dy dx = O OO 1 1

(0,0,-1)

y-x

JJ(y - x) dy dx = O OO

JI F· n dS = 2 S

Observación: El teorema de la divergencia permite calcular de forma más ágil esta integral; véase problema 4.22 (b).

3.14 Calcular las siguientes integrales de superficie: (a)

fJ (x + y) dy

1\

dz + (y + z) dz 1\ dx + (x + z) dx 1\ dy

8

S E superficie del cuerpo limitado por z = 4 - x2 - y2 Y z = O.

Se trata de una superficie cerrada unión de dos superficies regulares.

z S=S1 US2

4

S 1 porción de pataboloide S2 disco en el plano z = O

Parametrización de S1: x=vcosu y=vsenu z=4-v2

}

O~u~21t O~v~2

n

~~

= (- v sen u , v cos u , O )

dr dU

-

dr

d v = (cos u , sen u , - 2v )

dr 2 2 dV = (- 2v-cos u ' - 2v-sen u - v )

1\ -

I

Hemos de tomar el normal exterior que para S1 es el ascendente; así pues, consideramos como normal:

fJ 8

1

21t 2

F· n dS

= J J(v (cos u + sen u) , v sen u + 4 - y2, v cos u + 4 - y2). O O

2n 2

=

J J [v (1 + 2 sen u cos u) + av2sen u - 2v sen u + v2cos 4

3

U

+ 4v] dv du =

o o

2n 2

J J (v3 + 4v) dv du + O = 241t

=

oo

x = veas u } y = v sen u z=O

Parametrización de S2:

aaru

avr a

= (- v sen u , v eas u , O )

= ( cos u , sen u , O )

que tiene el sentido exterior adecuado.

2n 2

JI F· n dS = J J (v (cos u + sen u), v sen u, v cos u) . (O. O, - v) dv du = 8

o o

2

2n 2

=

J J-

2 v cos

U

dv du =

oo

8

JJ xy dy

2

o

O

Jcos u du J-v2 dv = O

JI F· n dS = JJ F· n dS + JJ F· n dS

Por lo tanto:

(b)

2n

A

81

dz + y2 dz A dx + y2 dx

= 241t

82

A

dy

8 S == superficie del cuerpo O s x ~ 1, O S; Y ~ 1, O ~ z

S;

1.

La superficie S es cerrada y viene determinada por la unión de seis superficies regulares que son las seis caras.

z

S

= a [0,1]3

Cara (Parametrización)

xy=y =1} z=z

x=O} y=y

0~x~1

0~x~1 0~z~1

x=x} y=y

0~x~1

x=x} y=y z=O

11

(1,0,0)

y

(-1,0,0)

O

I

Iydydz = 00

O~y

::;;1

0::;;x~1

~

1 1

I SOdydz =

O

00 (0,1,0)

1

11 II1dxdz=1 00

(O,-1,O)

O

11 SOdxdz = O OO

(0,0,1 )

y2

0~z~1

z=z

z=1

S

0~z~1

x-x } y=1 x=x} y=O

SI F· n dS

F·n

0~z~1

0~y~1

z=z

z=z

0~y~1

n

S

11

I I y2dy dx = OO

(0,0,-1 )

1 3

11

_y2

I I -y2 dy dx = -~

0::;;y~1

00 JIF.n dS = 3

S

2

Observación: El cálculo de esta integral mediante el teorema de la divergencia se encuentra en el problema 4.22 (d).

( e)

II y dy

1\

dz + x dx 1\ dz + dx 1\ dy

S

S == r (t, u) = ( t cos u , t sen u • u ), O::;; t ::;; 1, O::;; u ~ 21t

El campo vectorial a integrar es F (x, y, z) = ( y

I

-

X,

1 ).

El signo negativo de la segunda componente es consecuencia de que en la integral aparece dx 1\ dz = - dz 1\ dx.

z

Parametrización de S: x=tcosu} y =tsenu z= u

ar at

aaur

x

aart

A

aaru

=

( sen u

I

-

= (cos

U

OStS1 Osus27t

I

sen u O ) I

= (- t sen u t cos U 1 ) I

COS U

I

t

I

)

que es el normal ascendente ya que O s t S 1.

21t1

JJ F· n dS = J J (t sen u • - t cos u • 1 ) . ( sen u • - cos s

U

I

t ) dt du =

oo

21t1

=

J J 2t dt du = 21t

oo

3. 1 5 Calcular el flujo que atraviesa la superficie del primer octante de la esfera x2 + y2 + z2 = R2 en la dirección de la normal ascendente, para el campo F (x, y, z) = ( yz, xz, xy ). El flujo que atraviesa la superficie S es:

JI

F· n dS

s

z Parametrización de S:

;---=~-+--

x

Y

x = R sen u cos v } y = R sen u sen v z=Rcosu

OSuS1t'l2 OSvS1rI2

g~

= (R cos u cos v • R cos u sen v , - R sen u )

g~

= (- R sen u sen v • R sen u cos v • O )

siendo éste el vector normal ascendente. Entonces:

JJ F· n dS

=

S x/2x/2

=

2

2

2

J J(R sen u cosu sen v, R sen u cos u cos v, R sen2u sen v cos v) .

O O 2 2 2 . ( R sen 2u cos v, R sen 2u sen v, R sen u cos u ) dv du =

= 3R

4

x/2

x/2

Jsen u cos u du Jsen v cos v dv = 3

o

O

3.16 El flujo de un fluido tiene el campo F (x, y, z) = ( x, - 2x - y, z) como vector densidad de flujo. Sea S el hemisferio superior (z ~ O) de la esfera x2 + y2 + z2 = 1. Calcular la masa de fluido que atraviesa S por unidad de tiempo en la dirección de la normal ascendente.

z Parametrización de S: x =sen u cos v }

y = senu senv z=cosu

x

g~

= (cos u cos V

g~ g~

" g~

I

COS

u sen v , - sen u )

= (- sen u sen v , sen u cos v , O )

2 2 = (sen u cos v , sen u sen v , sen u cos u )

Este es el vector normal ascendente, pues tiene la 3 il componente positiva. La masa de fluido que atraviesa S por unidad de tiempo es el flujo del fluido, es decir:

JI

F· n dS

s

En este caso:

JI

ft/2 2ft F· n dS =

S

J J (sen u cos v , - 2 sen u cos v - sen u sen v , cos u ) .

O O

. ( sen2u cos v I sen 2u sen v I sen u cos u ) dv du = ft/2 2ft

=J

J [sen u ( cos2v - 2 sen v cos v - sen2v ) + sen u cos2u ] dv du = 3

O O

=

ft/2

JO sen u du 2ftOJ (cos 2v - sen 2v ) dv + 21t [ j-j1cosr 1u 2 = O + 21t.1 = 21t O 3 3 3

3

3.17 Verificar el teorema de Stokes con el cálculo de las integrales de línea sobre las trayectorias e de los campos vectoriales F que se indican: (a) F (x, y, z) = ( z, x, y )

e curva intersección del plano

y + z = 2 Y el cilindro x2 + y2 = 1.

El teorema de Stokes afirma que si S es una superficie regular cuya frontera es una curva e cerrada y simple, entonces:

J F· dr = JJ

e

rot F . n dS

S

cumpliendo F las condiciones que en el enunciado del teorema se exigen.

z Parametrización de S: x=x } y=y z =2-y

dr dx

1\

dr ( ) d Y = 0, 1, 1

normal ascendente

x Verificar el teorema supone comprobar la igualdad, para lo que procederemos así:

12) Cálculo de la integral de superficie

Ji

rot F . n dS

S

F (x, y, z) = (z, x, y)

rot F = (1, 1, 1)

Ji rot F . n dS = JJ (1, 1, 1) . (O, 1, 1) dx dy = Ji 2 dx dy = 2 Area (T) =21t S

T

T

22) Cálculo de la integral de línea

J F· dr

e Parametrización de la curva C:

x =cost } y = sen t z =2 - sen t

t E [0,21t1

21t

J F· dr = J(2 - sen t , cos t , sen t ) . ( - sen t , cos t , - cos t ) dt =

e

o

21t

=

J (1 - 2 sen t - sen t cos t ) dt = 21t

o

Queda, por tanto, comprobado el teorema.

(b) F (x, y, z) = (y - z, z - y, x - y)

e curva intersección del cilindro

x2 + y2 = 1 Y el plano x + z = 1.

z

y

"""'-I----y

x 12) Cálculo de la integral de superficie

JI

rot F· n dS

S

S es la porción de plano z = 1 - x limitado por el cilindro x2 + y2 = 1. Parametrización de S:

~~

x=vcosu } y = v sen u z = 1 - v cos u

1\

~~

= (- v ,

°,-

v)

S

F· n dS =

[O, 21t] [0,1]

= (cos u, sen u, - cos u)

normal ascendente:

F (x, y, z) = (y - z , z - y , x - y)

JI

VE

~~

= (- v sen u, v cos u, v sen u )

~~

U E

(v,

°,

v)

rot F = ( - 2 , - 2 , - 1 )

21t 1

21t 1

o o

o o

J J (- 2, - 2, - 1 ) . ( v, 0, v ) dv du = J J -3v dv du = - 31t

22) Cálculo de la integral de línea

J F· dr

e

Proyección de la curva intersección sobre el plano xy:

Parametrización de C:

x = cos t } Y = sen t z = 1 - cos t

t E [O,21t]

21t

J F· dr = J (sen t - 1 + cos t , 1 - cos t - sen t , cos t - sen t ) .

e

o

. ( - sen t , cos t , sen t ) dt = 21t

= J (-1

- sen~ + sen t + cos t - sen t cos t ) dt

=

o

J(-1 - 1 - c~s 2t ) dt + ° = - 31t

21t

=

o

(e) F (x, y, z) = (x2 + y, yz, x - z2) C curva intersección del plano coordenados.

2x + y + 2z = 2

Y los tres planos

y

z

~--y

(0,2,0) x 1º) Cálculo de la integral de superficie

JJ rot F· n dS S

Parametrización de S:

x=x

}

y=y z = 1 - x - y/2

dr

dx

1\

dr

d Y = (1 , 1/2 , 1 )

O~x~1

°

~ y ~ 2 - 2x

es el vector normal ascendente

F (x, y, z) = ( x2 + y , yz , x - z2 )

rot F = ( - y , - 1 ,- 1 )

Entonces: 1 2 - 2x

JJ rot F· n dS = J J (-y, -1, -1 ) . ( 1, 1/2, 1 ) dy dx = S

O

O

12-2x

=

3

f f (- y -"2 ) dy dx o o

-1 1

=

2 f [(2 - 2x) o

22) Cálculo de la integral de línea

2

13

+ 3 (2 - 2x) ] dx = - 6

f F· dr C

La trayectoria C se descompone en tres: X=1-t} y=2t

z=O

f C

1

F· dr =

f

te [0,1]

Segmento de (1, O, O) a (O, 2, O)

2

1

O

1

2

f

«1 - t) + 2t, 0,1 - t)· (-1,2, O) dt =

(-1 - t ) dt = -:

O

x=O

y = 2 - 2t

}

t e [O, 1]

Segmento de (O, 2, O) a (O, O, 1)

z=t

f

F· dr =

C2

1

f

2

(2 - 2t, (2 - 2t) t, - t ). (O. -2, 1) dt =

O }

z= 1-t

f

F . dr =

C3 por lo tanto:

2

(3t - 4t ) dt = -1

O

x= t

Y= O

1

f

t e [O, 1]

1 2 f (t, O, t - (1

Segmento de (O, O, 1) a (1, O, O)

2

- t) ). (1, O, -1) dt =

O

f1

2

(2t - 3t + 1 ) dt =

'61

O + -1 = -13 fC F . dr = --43- 16 6

(d) F (x, y, z) = ( x, y, O) C curva intersección del paraboloide circular x2 + y2 = 4.

z = x2 + y2 con el cilindro

z

Parametrización de S:

Z

12) Cálculo de la integral de superficie

2

= f (x, y) = x + y

2

JJ rot F . n dS s

F ( x. Y. z) = (x. y, O)

rot F = ( O , O • O )

JJ rot F· n dS = JJ O dS = O s

s

22) Cálculo de la integral de línea

J F· dr e

2

Parametrización de la curva C:

X

+y2=4 } z=4

X=2cost} y = 2 sen t t z=4

E

2x

2x

o

o

[O, 21t]

J F· dr = J (2 cos t, 2 sen t, O ) . ( - 2 sen t, 2 cos t, O ) dt = J Odt = O

e

3.18 Emplear dos superficies diferentes para calcular las siguientes integrales de línea mediante el teorema de Stokes. (a)

Jy dx +

Z

dy + x dz

e

C curva intersección de la esfera x2 + y2 + z2 = a2 y el plano z = a/2, con a> O. En las condiciones de su enunciado, el teorema de Stokes afirma que

J F· dr = JI rot F . n dS

e

s

para cualquier superficie S que tenga por frontera la curva cerrada

e.

z

y

-----:~:::::~4--- y

x Tomaremos, en primer lugar, como superficie S con frontera de plano z = a/2 limitado por la esfera x2 + y2 + z2 = a2,

Parametrización de S:

x=x } Y=Y (x, y) e T; z= a/2

ar ax

1\

dr dY

e,

la porción

= (O, 0, 1)

Determinación de la frontera del dominio de parámetros T:

T es un círculo de centro (O, O) Y radio

JI

= JI

= - JI

1 dx dy

=

Tomamos ahora, en segundo lugar, como superficie S con frontera casquete de esfera limitado por el plano z = a/2.

e,

rot F· n dS

S

(-1, -1, -1 ) . ( 0,0, 1 ) dx dy

T

T

= - Area (T) =

Parametrización de S:

- 31t a2 4 el

JJ rot F-n dS = JI (-1, -1, -1)-( S

T

=-JJ( T

En polares

x , 2 a - x2 - y2

J

Y ,1 )dxdy 2 a _ x2 _ y2

J

x+y +1)dxdy 2 a _ x2 _ y2

J

x = r cos O } y = r sen O J (r, O)

= r,

T se describe como:

JJ rot F - n dS = -2rcJ 13/2J a[ r (cos O + sen O) o

S

= -

J (cos O + sen O) dO J

o (b)

Ja

o

2

13 /2 a ~

2rc

=

o

-

~

O ~ O ~ 21t

J3

o~r~2a

+ 1 1 r dr dO

13 /2 a

Ja2 - ~

dr - 21t

J

=

3

1t 2 r dr = - 4 a

o

J(y2 - xz) dx + (x2 + zy) dy + (x2 + y2) dz

e

e

curva intersección del plano 2x + 2y + 2z = 1 con el paraboloide z = x2 + y2.

z y

2 2 (x + 1/2) + (y + 1/2) = 1

x 2

2

2

2

F (x, y, z) = (y - xz • x + zy • x + y )

rot F = ( y , - 3x I 2x - 2y )

En primer lugar, tomamos como superficie S con frontera plano interior al paraboloide.

e la porción de

Parametrización de S:

a

r ax

z = f (x, y) = 1/2 - x - y

a

r ( ay = 1,1,1)

A

Para determinar los límites de los parámetros x,y buscamos la proyección sobre el plano xy de la curva C: 2

+y2 } z= ~ -x-y Z=X

2 2 (x + 1/2) + (y + 1/2) = 1

221 x +y ='2 -x-y

Entonces:

JJ rot F . n dS = JJ (y, - 3x , 2x - 2y ) . (1, 1, 1) dx dy = JJ (- y - x ) dx dy S

T

T x = -1/2 + r cos e } y =-1/2 + r sen e

Efectuando un cambio a polares descentradas:

J (r, e)

=r

el dominio de parámetros T se describe como:

21t 1

JJ rot F . n dS = J J (~ -r sen e + ~

- r cos e ) r dr de =

oo

S

= 21t

1

21t

1

o

o

o

J r dr - J (sen e + cos e) de J ~ dr = 1t - o = 1t

Consideramos ahora como superficie S con frontera C la porción de paraboloide delimitada por el plano. x=x } y =y 2 2 z = f (x, y) = x + y

Parametrización de S:

ar

ax

-

ar = (- 2x - 2y 1) ay "

A -

JI S

=

JI T

rot F . n dS

= JI

(x, y)

E

T

que es el vector normal ascendente

(y , - 3x , 2x - 2y ) . ( - 2x , - 2y , 1 ) dx dy

T 21t 1

(4xy + 2x - 2y ) dx dy =

J J [4 (-~ + r cos e) ( -~ + r sen e) +

oo

=

+ 2 (-~ + r ces e ) - 2

(-~

+ r sen e )] r dr de =

21t 1

=

J J(r - 4,2sen e + 4r3sen e cos e ) dr de = 1t

oo (e)

J (y + x) dx + (x + z) dy + z2 dz e C curva intersección del cono z2 = x2 + y2 Y el plano z = 1.

z F(x,y,z) = (y+x,x+z,z 2 ) rot F = (- 1 ,O , O )

x Consideramos como superficie S con frontera C el plano z = 1 limitado por el cono z2 = x2 + y2.

~z=1 =~}

Parametrización de S:

x2 + y2

~1

dr

dx

dr

A

d Y = (O, O, 1)

JJ rot F· n dS = JJ (-1, O, O) . (O, O, 1) dx dy = JJ Odx dy = O S

T

T

Consideramos ahora como superficie S con frontera C el cono entre los planos z = O Y z = 1. x = v ces u} y = v sen u z=v

Parametrización de S:

aaur

A

0
aavr = (v ces u , v sen u , - v )

vector normal ascendente: 21t 1

O ~ u ~ 21t

( - v cos u , - v sen u , v )

JJ rot F· n dS = J J(-1, O, O)· ( - v cos u, - v sen u, v) dv du = S

O O

21t 1

=

f fv

21t COS

u dv du =

O O

f

1

COS

u du

O

3.19 Calcular el valor de la integral de línea

f v dv = O O

f F· dr

siendo C una curva cerrada

e

que limita un recinto sobre el plano xy de 3 unidades de área, y el campo: F (x, y, z) = (y3 Ch x + Sh y sen z, 3y2 Sh x Ch z + 4x, y (Sh x + Ch z) )

k

a/ay

a/az

3y2 Sh x Ch z + 4x

y (Sh x + Ch z)

a/ax

rot F =

y3Ch x + Sh y sen z

rot F = (Sh x + Ch z - 3y2 Sh x Sh z , Sh y cos z - y Ch x , , 3y 2 Ch x Chz + 4 - 3y2 Ch x - Chy sen z )

Parametrización de la superficie S del plano xy:

z

x=X}

y=y

(0,0,1 ) ~-+---y

z=o

ar ar axl\-=¡¡Y=

(0,0,1)

normal ascendente

x Por el teorema de Stokes:

f F·dr = JI rot F·n dS = ff (3y2Ch x Ch O + 4 -3y2Ch x -Ch y sen O) dx dy =

e

s

s

=

ff 4 dx dy = 4 JI 1 dx dy = s

s

4 Area (S) = 4· 3 = 12

3.20 Probar que las siguientes integrales de línea tienen los valores que a continuación se detallan: (a)

Jy dx +

Z

dy + x dz = - J3

1t

e

e curva intersección de la esfera

x2 + y2 + z2 = 1 con x + y + z = 1.

Un plano como x + y + z = O al cortar una esfera como x2 + y2 + z2 = 1 determina sobre ella una circunferencia. Vamos a ver cuál es la proyección de dicha curva sobre el plano xy: 222 + Y + (- x - y) = 1

X

de donde: Se trata de una elipse en el plano xy. El hecho de aparecer el término cruzado xy es debido a que sus ejes de simetría no son paralelos a los ejes coordenados. Si buscamos sus direcciones principales veremos que son las de vectores (1, 1) Y (1, -1). Por lo tanto la elipse tiene la forma:

y (1,1)

(1,-1)

Los ejes de simetría son las rectas y = x , y = - x respectivamente. Para hallar los semiejes a, b de esta elipse, buscamos los puntos de corte de la elipse con dichos ejes: x2 + y2 + xy = 1/2} y=x Puntos:

3x2 = 1/2

( 16/6, 16 /6 ) , ( - 16 /6 , - 16 /6 )

semieje a = d ( (O, O) • (16 /6, 16 /6»

=

J3 /3

X2 + y2 + xy = 1/2 }

X2 = 1/2

y=- x

( 12 /2, -12/2 ) , ( -12 /2

Puntos:

,12 /2 )

semieje b = d ( (O, O) , (12 /2, -12 /2» Para calcular

= 1

f y dx + Z dy + x dz emplearemos el teorema de Stokes: e f F· dr = JI rot F . n dS e

s

siendo F (x, y, z) = ( y , z , x ),

rot F = ( - 1 , - 1 ,- 1 )

Tomamos como superficie S la porción de plano delimitada por la esfera: x=x } y=y z=-x-y

CJr ( CJ x = 1, CJ r CJ x

A

Entonces:

ar

CJ Y = (1, 1, 1)

que es el vector normal ascendente.

f y dx + Z dy + x dz = JI rot F . n dS

=

s

JI (-1, -1, -1) . (1, 1, 1) dx dy = - 3 JI 1 dx dy = - 3 Area ( T ) T

T

pero T es el interior de una elipse y su área es a b 1t = por lo tanto:

(b)

~ 21

O, - 1), CJCJrY = (O, 1, - 1 )

e =

x2 + y2 + xy

dominio de parametros T:

Jy dx +

e

Z

dy + x dz = - 3

.f3

1t

3

= - f3

r:

1t

1t

f (y + z) dx + (z + x) dy + (x + y) dz = O e

e curva intersección del cilindro

x2 + y2 = 2y Y el plano y = z.

Emplearemos el teorema de Stokes. F (x, y, z)

= (y + z , z + x , x + y ) ,

rot F = ( O O O ) I

I

z

Cilindro ~--7"''''--+----

Y

2

2

x +(y-1) =1

x

J F· dr = JI rot F . n dS = O

e (e)

s

J(y-z)dx+(z-x)dy+(x-y)dz = -101t

e

C curva intersección del cilindro x2 + y2 = 1 Y el plano x + z/4 = 1. Emplearemos el teorema de Stokes. F (x, y, z) = ( y - z , z - x , x - y ) ,

rot F = ( - 2 , - 2 , - 2 )

z

Parametrización de S:

x= x } y=y z = 4 (1 - x)

z=4(1-x)

---i-+--y

x Dominio de parámetros T:

aarx

1\

X2 + y2 ::;; 1. Círculo unidad.

aary = (4, O, 1)

vector normal ascendente

J(y - z) dx + (z - x) dy + (x - y) dz = JI (- 2, - 2, - 2 ) . ( 4, O, 1 ) dx dy = e

T

= - 1O Area ( T) = - 1O1t (d)

J (y2 + z2) dx + (x2 + z2) dy + (x2 + y2) dz = 41t e

e curva intersección de la semiesfera

x2 + y2 + z2 = 4x, z ~ O, yel

cilindro x2 + y2 = 2x.

El cálculo de la integral se efectuará por medio del teorema de Stokes. F (x, y, z)

= ( y2 + z2 , x2 + z2 , x2 + y2 )

z Parametrización de S:

;:;=~ z

4 - {x _2)2 _y2

}

para (x - 1)2 + y2 S; 1

La circunferencia x2 + y2 = 2x es la frontera del dominio de parámetros T, es decir, (x - 1)2 + y2 = 1. Por lo tanto. T es el círculo de centro (1, O) Y radio 1. ar ax

1\

ar _ ( x - 2 Y 1 ) ay I 2 2' I 2 2' " 4 - (x - 2) - Y " 4 - (x - 2) - Y

que es vector normal ascendente. Entonces:

J F· dr = J(y2 + z2) dx + (x2 + z2) dy + (x2 + y2) dz = JI rot F . n dS e

e

= JI T

2 ( Y-

s

J

4 - (x - 2)2 - y2

,J

4 - (x - 2)2 - y2 -

X , X-

Y) .

=

y Descripción del dominio T:

--~~~~--------x

2

y=-J 1-(x-1)2

O~x~2

_Jr-~-_-(X-_-1-)2 ~

dy dx + 4

y

~+

J

1 - (x - 1)2

JI 1 dx dy = T

3.21 Calcular cada una de las siguientes integrales de línea:

J(y2 + z2) dx + (x2 + z2) dy + (x2 + y2) dz

(a)

e

e ={x + y + z =a} n

{ x2 + y2 =a2/4 }

Por el teorema de Stokes:

JF

1

e

dx + F2 dy + F3 dz

= JI

rot F . n dS

s

F (x. y z) = ( y2 + z2 • x2 + z2 x2 + y2 ) I

I

con S tal que

as =e

z Parametrización de S: x=x } y=y z=a-x-y

x Dominio de parámetros T: círculo de centro (O, O) Y radio a/2.

ar

ar

ax"ay=(1,1,1) Entonces:

vector normal ascendente

J(y2 + z2) dx + (x2 + z2) dy + (x2 + y2) dz = e

= 2

JI ( y - (a - x - y ) , a - x - y - x , x - y ). ( 1, 1, 1 ) dx dy = T

= 2

JI Odx dy = O T

(b)

J(y2 + z2) dx + (x2 + z2) dy + (x2 + y2) dz e

e = { x2 + y2 + z2 = 4y }

(l {

x2 + y2 = 2y }

X2 + y2 + z2 = 4y es la esfera x2 + (y - 2)2 + z2 = 2 2 x2 + y2 = 2y es el cilindro x2 + (y - 1)2 = 1 El cilindro corta al plano xy en una circunferencia de igual ecuación.

z Parametrización de S:

x2 +(y-1)2 =1

x dr

ar _ ( x ay 2 2 4 - x - (y - 2)

A

J

dX

y-2

'J 4 - x2- (y - 2)2 ' 1

)

que es el vector normal ascendente. Aplicando el teorema de Stokes: rot F =2 ( Y - z • z - x • x - y )

J (y2 + z2) dx + (x2 + z2) dy + (x2 + y2) dz =

e

= 2 JI

( y - J4 - x2 - {y - 2)2 ,J4 - x2 - (y - 2)2 - x,

X - Y ).

T

= 2 JI

(

T

2x - 2 ) dx dy 2 4 - x2 _ (y _ 2)

J

=

Y

2 T

Descripción del dominio T: X2 + {y _1)2 = 1

_ _...;;:¡,,¡+"";..,..-._ _

X

-J

OS Y S 2 1 • {y • 1)2 S X So +

Jr-1-.-{y-.-1-)2

2

= 2

J1 -

(y _1)2

J J

J

O '.----2 -V 1 - (y - 1)

2 [

= 4

J -J4 - x2 - (y - 2)

2

]J

O

(e)

Jy dx +

Z

JI

2x dx dy - 4 1 dx dy = 2 4 - X2 - (y - 2) T

1_(y_1)2

-J 1_ly_1)2

dy - 4 Area (T) = O - 41t = - 41t

dy + x dz

e

C = { x2 + y2 + z2 = 1 }

í"I {

Y+ z = 1 }

En las condiciones del teorema de Stokes, si

JF1 dx + F2 dy + F3 dz = JI

e

as = c: rot F . n dS

s

rotF=(-1 ,-1 ,-1)

F (x, y, z) = (y , z , x)

z

y 1

-1

1

x

Superficie S con frontera C:

~: ~

}

(x, y)

E

T

z= 1-Y

axr a

1\

aayr

= (0, 1, 1 )

vector normal ascendente

Determinación del dominio de parámetros T: su frontera es la proyección de la curva intersección del plano con la esfera.

2 _.;;..;.x2 __ + (y -1/2) (./2 /2 )2 ( 1/2 )2

2 X2 + 2 (y - 1/2) = 1/2

Elipse de centro (O, 1/2) Y semiejes

J y dx +

Z

dy + x dz =

e

= -2

1 dx dy

Y 1/2

JI rot F . n dS = JJ (-1, -1, -1) . (O, 1, 1) dx dy = s

JIT

./2 /2

=1

T

= - 2 Area (T) = - 2 -./2 2

-1 2

1t

= - -12 2

1t

3.22 Sobre la trayectoria intersección del plano x + y + z = 3/2 con la frontera del cubo unidad, a [O, 1]3, calcular la integral de línea del campo vectorial F (x, y, z) = ( y2 - z2 z2 - x2 , x2 - y2 ). I

z x+y+z=3/2

Parametrización de S: x=x

y=y z = 3/2 - x - y (x, y)

E

}

T

-+---:::;i/i-- Y CJr

CJr

Tx " ay x

= (1, 1, 1)

normal ascendente

,

y

x+y=3/2 ,

Determinación del dominio T:

,

X+ Y +Z=312} x+y= 312

z=o

,,

x+ Y +Z=3I2} x+y=1l2 z= 1

3/2

F (x, y. z) = ( y2 - z2, z2 - x2 • x2 - y2 ) ;

rotF=-2 (y+z ,x +z ,x+y)

Por el teorema de Stokes:

f (y2 - z2) dx + (z2 - x2) dy + (x2 - y2) dz = JI rot F . n dS

e

=

s

= JI

-2 ( Y + 3/2 - x - y , x + 3/2 - x - y , x + y ) . (1. 1. 1) dx dy =

T

= JI

-6 dx dy = - 6 JI

T

T

1 dx dy = - 6 Area (T) = - 6

¡

= -

~