Informe Tarea 1 De Señales

Universidad de Concepción, Chile

Ingeniería Civil Biomédica, DIE

TAREA Nº1 Procesamiento Digital de Señales

11 DE ABRIL DEL 2018 Fernanda Ignacia Aguilar Soto 2014416871 Ingeniería Civil Biomédica

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1) Genere 2 períodos de una señal digital en Matlab según las siguientes especificaciones. i) señal senoidal ii) amplitud 5 V iii) frecuencia 50 Hz iv) fase 45° 2) Genere otra señal senoidal de distinta frecuencia, amplitud y fase. Muestre 2 períodos de la señal, indicando explícitamente cuales son los valores de los parámetros utilizados.

I. Métodos Se denomina sinusoide o senoide a la curva que representa gráficamente la función seno y también a dicha función en sí. Su forma más básica en función del tiempo (t) es: 𝑦(𝑡) = 𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑)

(1)

Donde A es la amplitud de oscilación, 𝜔 es la velocidad angular y 𝜑 la fase inicial [1]. La frecuencia angular 𝜔, esta dada por: 𝜔 = 2𝜋𝑓

(2)

Donde 𝑓 es la frecuencia de oscilación [2]. El periodo de oscilación 𝑇 , está dado por [3]: 𝑇=

1 𝑓

(3)

Para poder graficar en Matlab, bien una señal digital, se debe utilizar una correcta frecuencia de muestreo. Por definición sabemos que la frecuencia de muestreo es el número de muestras por unidad de tiempo que se toman de una señal continua para producir una señal discreta, durante el proceso necesario para convertirla de analógica en digital. El teorema de muestreo de Nyquist dice que, si la frecuencia más alta contenida en una señal análoga de banda limitada 𝑓(𝑡) es 𝑓max y la señal se muestrea a una velocidad 1/T > 2 𝑓max, entonces la señal 𝑓(𝑡) se puede recuperar totalmente a partir de sus muestras [4]. Donde: 2𝐹𝑚𝑎𝑥 ∶ 𝑓𝑟𝑒𝑐𝑢𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑁𝑦𝑞𝑢𝑖𝑠𝑡

(4)

1 𝑇

(5)

> 2𝑓𝑚𝑎𝑥

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II. Desarrollo y Resultados Véase en Figura 1, la señal digital que se generó en Matlab, donde se muestra dos periodos de una señal senoidal, cuya amplitud es de 5[V], frecuencia 50[Hz] y fase de 45°.

Figura 1.

Véase en Figura 2, el código que se utilizó en Matlab para graficar la señal solicitada.

Figura 2.

Inicialmente se definió una variable “a”, que representaba la amplitud de 5[V], “f” la frecuencia de 50[Hz] y “fa” el desfase de 45. Para graficar la función seno, se decidió trabajar en radianes. Para poder graficar, primero debemos tener en cuenta la forma básica de esta del tiempo (t) que está dada por (1). Se pedía graficar dos periodos de la señal, en este caso como la frecuencia era de 50[Hz], los dos periodos serian hasta el tiempo 0.04[s]. Se determino el tiempo de muestreo, basándose en el teorema de Nyquist (5). Considerando la frecuencia máxima de 50[Hz], por lo que el tiempo de muestreo debería ser menor a 0.01[s]. Finalmente se decide utilizar un tiempo de muestreo mucho menor que es de 0.0001[s]. Para poder graficar correctamente la señal digital solicitada, se debió 3

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eliminar un elemento de la muestra, que era el último. Esto se hizo con la parte del código en que t = t(1:end-1). Por último, con la función plot, se grafica la señal sinusoidal. Para generar la segunda señal senoidal, se consideró una amplitud “a2” de 10[V], una frecuencia “f2” de 20[Hz] y una fase “fa2” de 90°, donde se decidió trabajar en Matlab con radianes y no en grados. Véase en Figura 3, la señal digital generada en Matlab.

Figura 3.

Véase en Figura 4, el código que se utilizó en Matlab para graficar la señal solicitada.

Figura 4.

Al igual que en la primera señal, en esta también se pedía graficar dos periodos de la señal, en este caso como la frecuencia es de 20[Hz], los dos periodos serian hasta el tiempo 0.1[s]. Se determino el tiempo de muestreo, basándose en el teorema de Nyquist (5). Considerando la frecuencia máxima de 20[Hz], por lo que el tiempo de muestreo debería ser menor a 0.025[s]. Finalmente se decide utilizar un tiempo de muestreo mucho menor que es de 0.0001[s]. Para poder graficar correctamente la señal 4

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digital solicitada, se debió eliminar un elemento de la muestra, que era el último. Esto se hizo con la parte del código en que t2 = t2(1:end-1). Por último, con la función plot, se grafica la señal sinusoidal. Véase en Figura 5, ambas señales senoidales, donde se puede apreciar que estas son distintas debido a que tienen distinta frecuencia. La primera señal que se encuentra a mano izquierda de Figura 5, tiene una frecuencia mayor que la segunda señal (primera señal a 50[Hz] y segunda señal a 20[Hz]). El aumento de frecuencia implica un aumento de las oscilaciones, por ende, más periodos por unidad de tiempo.

Figura 5. Véase en Figura 6, el código que se utilizó en Matlab para graficar ambas señales superpuestas.

Figura 6.

En Figura 7, podemos ver la gráfica de la señal senoidal n°1, a distinto tiempo de muestreo. El primer grafico el tiempo de muestreo es de 0.0001[s] mientras que en el segundo grafico el tiempo de muestreo es de 0.0025[s]. Donde ambos tiempos de muestreos cumplen con el teorema de Nyquist.

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Se observa que mientras menor sea el tiempo de muestreo, la señal es más parecida a la original. Se puede concluir que la resolución depende de cuan pequeño sea el tiempo de muestreo.

Figura 7. Véase en Figura 8, el código que se utilizó en Matlab para graficar ambas señales superpuestas.

Figura 8.

Ahora bien, las señales que anteriormente se mostraron, eran señales que cumplían con el teorema de muestreo de Nyquist. En Figura 9. Se puede ver la señal senoidal n°1, tiene un tiempo de muestreo de 0.0001[s], lo cual cumple con el teorema de Nyquist (5). Ya que según este teorema el tiempo de muestreo, en este caso con una frecuencia máxima 50[Hz], debía ser menor a 0.01[s]. La segunda señal de Figura 9, podemos ver graficada la señal n°1 con un tiempo de muestreo de 0.01[s]. Donde no se cumple el teorema de Nyquist. Vemos que, al graficar, ha habido perdida de información, entre los puntos donde se hizo el muestreo. Por lo que se concluye que esta es una de las importancias de utilizar un correcto tiempo de muestreo.

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Figura 9.

Figura 10.

III. Referencias [1]Función seno [Web en línea]< https://matematica.laguia2000.com/general/funcion-seno > [Fecha de consulta: 9-042018]. [2]Frecuencia Angular [Web en línea]< https://luz.izt.uam.mx/wiki/index.php/Frecuencia_angular> [Fecha de consulta: 904-2018]. [3]Periodo de oscilación [Web en línea]< https://www.fisicapractica.com/frecuencia-periodo.php> [Fecha de consulta: 904-2018]. [4]Teorema de Nyquist [Web en línea]< http://www.eveliux.com/mx/Teoria-del-muestreo-de-Nyquist.html> [Fecha de consulta: 9-04-2018].

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