Informe 1.docx

I.

Marco Teórico

Básicamente, las propiedades dinámicas de las plantas pueden ser aproximadas por las características temporales de sistemas más simples. Se entiende por modelos simples, aquellos que definen su dinámica por ecuaciones diferenciales lineales de primer o de segundo orden. Como se verá en el siguiente capítulo, los modelos de los equipos pueden ser abordados por funciones de transferencias sencillas. Este paso se da en una doble vertiente. Desde el punto de vista del análisis, al reducir el modelo se podrá predecir sus características temporales, empleando expresiones matemáticas de los modelos sencillos. Por otro lado, desde la visión del diseño, se suele emplear las medidas de las características temporales de los modelos simples para fijar los requisitos del comportamiento dinámico de los sistemas a compensar. Por todas estas razones, este tema pretende analizar el comportamiento dinámico temporal de los sistemas simples, fijando su evolución temporal así como de tantos parámetros como exija, para su determinación matemática. Sistemas de primer orden Se denomina orden de un sistema al grado de su polinomio característico, esto es, al número de polos que tiene el sistema en su conjunto. La función de transferencia de un sistema de primer orden es: 𝐺(𝑠) =

𝑁(𝑠) (𝑠 + 𝑎)

donde N(s)es el polinomio del numerador de coeficientes constante al ser de tipo LTI. Por el principio de causalidad, el grado de N(s) es uno o cero, bien es una constante o es un cero de primer orden. Considérese el caso más simple, el numerador corresponde a una ganancia. La relación entre la entrada y salida del sistema vendrá dada por una ecuación diferencia ordinaria de primer orden: 𝑇ẏ(𝑡) + 𝑦(𝑡) = 𝑘𝑥(𝑡) donde x(t)representa la señal en la entrada e y(t) es la salida. Aplicando a ambos lados de la igualdad la transformada de Laplace y considerando condiciones iniciales nulas, se conseguirá la FDT de los sistemas de primer orden: 𝐺(𝑠) =

𝑌(𝑠) 𝑘 𝑘/𝑇 = = 𝑋(𝑠) 1 + 𝑇𝑠 𝑠 + 1

𝑇

El valor de k será la ganancia estática del equipo y T será la constante de tiempo. En general, denominando ai y bi a los coeficientes de los polinomios del denominador y del numerador, respectivamente, de grado i, las dos FDT de primer orden de los sistemas causales serán:

𝑎1 𝑦 + 𝑎0 𝑦 = 𝑏0 𝑥 𝐺(𝑠) =

𝑏0 𝑎1 𝑠 + 𝑎0

𝑎1 𝑦 + 𝑎0 𝑦 = 𝑏0 𝑥 + 𝑏1 𝑥 𝐺(𝑠) =

𝑏0 + 𝑏1 𝑠 𝑎0 + 𝑎1 𝑠

Sin embargo, para determinar la respuesta dinámica del sistema de primer orden se empleará el modelo de la ecuación. En el caso de que tuviera un cero de primer orden, desde luego, su dinámica cambiará. Pero desde el punto de vista metodológico, se planteará como la adición de un cero al sistema simple definido. Estos aspectos serán tratados en el capítulo siguiente. Por tanto, se va a tratar de definir la respuesta dinámica de un sistema simple de primer orden y si poseyese un cero, su efecto se verá como una adición a la dinámica del sistema simple.

II.

Conclusiones y Recomendaciones

Lo que se concluye es que si efectivamente se ha podido realizar ejemplos, pudiendo observar su comportamiento a través de sus gráficas mediante el simulador de MATLAB, apreciando al mismo tiempo la forma que toma la gráfica. Se puede concluir que con mayor frecuencia es más fácil conseguir y/o graficar los valores de carga y descarga según el diseño. En cuanto a las observaciones se puede ver que la teórica es correcta y cumple como corresponde gracias a las simulaciones hechas en MATLAB.

III. Practica Verificar t2%, tr, a y τ. 𝑡

𝑉0 = (1 − 𝑒 −𝑅𝐶 ) 𝑢(𝑡) 1

𝐺(𝑠) =

𝑅𝐶 1

𝑠 + 𝑅𝐶

1. R = 100 Ώ C = 10uF A=1 𝜏 = 𝑅𝐶 = 1 [𝑚𝑠] 1 1 𝑎 = = 1000[ ] 𝜏 𝑠 4 𝑡2% = = 4[𝑚𝑠] 𝑎 2.2 𝑡𝑟 = = 2.2[𝑚𝑠] 𝑎

𝜏 = 5𝜏 2 𝑇 = 10 [𝑚𝑠] 𝑓 = 100 [𝐻𝑧] 5 𝑑𝑖𝑣 → 100%

𝑥 𝑑𝑖𝑣 → 63.2% 63.2% ∗ 5 𝑑𝑖𝑣 𝑥= 100% 𝑥 = 3.16 𝑑𝑖𝑣 𝐶𝐴𝑅𝐺𝐴 𝑥 = 1.35 𝑑𝑖𝑣 𝐷𝐸𝑆𝐶𝐴𝑅𝐺𝐴

2. R = 10K Ώ C = 0.22uF A=1 𝜏 = 𝑅𝐶 = 2.2 [𝑚𝑠] 1 1 𝑎 = = 454.54[ ] 𝜏 𝑠 4 𝑡2% = = 8.8[𝑚𝑠] 𝑎 2.2 𝑡𝑟 = = 4.84[𝑚𝑠] 𝑎

𝜏 = 5𝜏 2 5𝜏 = [11𝑚𝑠] 𝑓 = 100 [𝐻𝑧] 5 𝑑𝑖𝑣 → 100% 𝑥 𝑑𝑖𝑣 → 63.2% 63.2% ∗ 5 𝑑𝑖𝑣 𝑥= 100% 𝑥 = 3.16 𝑑𝑖𝑣 𝐶𝐴𝑅𝐺𝐴

3. R = 510 Ώ C = 1uF A=1 𝜏 = 𝑅𝐶 = 0.51 [𝑚𝑠] 1 1 𝑎 = = 1960.78[ ] 𝜏 𝑠 4 𝑡2% = = 2.04[𝑚𝑠] 𝑎 2.2 𝑡𝑟 = = 1.12[𝑚𝑠] 𝑎

5𝜏 = 2.55[𝑚𝑠] 𝜏 = 5𝜏 2 𝑇 = 5.1[𝑚𝑠] 𝑓 = 190 [𝐻𝑧] 𝑥 = 1.35 𝑑𝑖𝑣 𝐷𝐸𝑆𝐶𝐴𝑅𝐺𝐴 4. R = 47 Ώ C = 6.8uF A=1 𝜏 = 𝑅𝐶 = 319.6 [𝑢𝑠]

1 1 = 3128.91[ ] 𝜏 𝑠 4 𝑡2% = = 1.28[𝑚𝑠] 𝑎 2.2 𝑡𝑟 = = 0.70[𝑚𝑠] 𝑎 𝑎=

5𝜏 = 1.598[𝑚𝑠] 𝜏 = 5𝜏 2 𝑇 = 3.196[𝑚𝑠] 𝑓 = 312.9 [𝐻𝑧] 𝑥 = 1.35 𝑑𝑖𝑣 𝐷𝐸𝑆𝐶𝐴𝑅𝐺𝐴